Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краевые задачи со смещением для дифференциальных уравнений гиперболического типа 21
1.1, Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования и некоторые их свойства 21
1.2. Нелокальная краевая задача для уравнения Геллерстедта 25
1.3. Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области 42
1.4. О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1 57
1.5. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а = -1 71
Глава 2. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа 85
2.1. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода 85
2.2. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода 91
2.3. О нелокальных задачах для параболо-гиперболичского уравнения с дробной производной 96
2.4. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной 107
Библиографический список использованной литературы 110
- Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области
- О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1
- О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода
- О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в ограниченных областях, а также для уравнений смешанного типа с дробной производной в неограниченных областях.
В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Теория краевых задач для таких уравнений является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Основополагающими в развитии этой теории стали труды Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [94]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи. Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит А.В. Бицадзе, СП. Пулькину, В.А. Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, A.M. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, Р.С. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, О.А. Репина, Л.С. Пулькиной, А.А. Андреева, и др. Среди опубликованных за последние годы работ, отметим следующие: [5-6], [8-11], [13-14], [22-25], [26-27], [29], [33-34], [40], [43], [47], [48-50], [58], [65-66], [69], [70-71], [77-79], [90-91], [92].
Необходимость решения современных проблем физики, как отмечает в своей обзорной работе А.А. Самарский [81], повлекла за собой возникновение качественно нового класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе А.А. Дезина [19].
Это такие задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.
На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стекловым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.
Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и A.M. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.
Благодаря исследованиям A.M. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58].
Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева [82].
Результаты настоящей диссертации являются продолжением исследований [31-32], [73], [95] в этом направлении. В работе поставлен и исследован ряд новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и парабол о-гиперболического типа с дробной производной первого и второго родов. Отличительной особенностью этих задач является наличие в краевом условии производных и интегралов дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса.
Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, поскольку вырождающиеся дифференциальные уравнения с частными производными связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии, математическим моделированием различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики. Следует отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов как в теории дробного интегродиффренцирования, так и в области дифференциальных и интегральных уравнений.
В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа.
В диссертации получены следующие новые результаты.
1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования.
2. Для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии.
3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смещением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии.
4. Выявлены условия, обеспечивающие выполнение принципов экстремума при доказательстве единственности решений.
5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида.
6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач.
Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов
Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
Основные результаты диссертации докладывались на:
Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.);
- научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.);
- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Мордовском государственном университете (Саранск, 2002 г.);
- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Самарском государственном архитектурно-строительном университете (Самара, 2002);
- всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2003-2004 гг.);
- третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» в Казанском государственном университете (Казань, 2003 г.);
- десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука в Национальном техническом университете Украины «КПИ» (Киев, 2004 г.);
- третьей и пятой международных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2002 г., 2004 г.);
- семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2003-2004 гг. (руководитель - д. ф.-м, н., профессор В.П. Радченко).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [105]-[120].
Автор диссертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за поддержку и постоянное внимание к работе.
Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области
На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стекловым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы А.В. Бицадзе, А.А. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.
Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и A.M. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.
Благодаря исследованиям A.M. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58]. Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева [82]. Новым этапом развития этой теории было положено работами японского математика М. Сайго [98-102]. В его работах для гиперболического уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона (Э.Д.П.) в краевых условиях появились интегралы и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре. Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и операторы подобной структуры, посвятили свои работы М.М. Смирнов [84], М.С. Салахитдинов, А. Хасанов [80], О.А. Репин [72-76], [31-32], А.А. Килбас [31-32], Д. Аманов [1], СИ. Макаров [45-46], СЮ. Назаров [54-55], А.А. Андреев, Е.Н. Огородников [2-3] и другие математики. Результаты настоящей диссертации являются продолжением исследований [31-32], [73], [95] в этом направлении. В работе поставлен и исследован ряд новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и парабол о-гиперболического типа с дробной производной первого и второго родов. Отличительной особенностью этих задач является наличие в краевом условии производных и интегралов дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса. Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, поскольку вырождающиеся дифференциальные уравнения с частными производными связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии, математическим моделированием различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики. Следует отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов как в теории дробного интегродиффренцирования, так и в области дифференциальных и интегральных уравнений. В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа. В диссертации получены следующие новые результаты. 1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования. 2. Для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии. 3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смещением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии. 4. Выявлены условия, обеспечивающие выполнение принципов экстремума при доказательстве единственности решений. 5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида. 6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1
Как и в случае задачи 2.1, единственность решения задачи 2.2 вытекает из аналога принципа экстремума А.В. Бицадзе [10]. Вопрос же разрешимости задачи 2.2, с помощью известного метода регуляризации Карлемана-Векуа [15, 51], эквивалентным образом сведен к вопросу разрешимости уравнения Фредгольма второго рода. Безусловная разрешимость этого уравнения следует из единственности решения задачи 2.2.
Необходимо указать, что для уравнений (18) и (22) могут быть поставлены задачи, аналогичные задачам 2Л-2.2.
Задача С. Найти функцию U(x,y) C(D)nC\D] UJ)nCl(D2 UJ)H C\C2{DX UD2)t удовлетворяющую уравнению (18) в каждой из областей Dx и D2, а также краевым условиям (19), (23) и условиям сопряжения (21). Задача D. Найти регулярное в области D решение U(x,y) уравнения (22), удовлетворяющее условиям (19), (20) и условиям сопряжения (24). Метод решения задач А и В аналогичен методу решения задач 2.1 -2.2. В 2.3-2.4 рассматриваются уравнения параболо-гиперболического типа, содержащие дробную производную по второй переменной. В области параболичности у 0 эти уравнения имеют вид 0 а 1 от функции U(x,y) по второй переменной [82, с. 341]: Как отмечает в своей диссертации С.Х. Геккиева, «дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение. Такие уравнения могут выступать в качестве математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой [57], [59], [60]». В частности, уравнение (25) описывает диффузию в пористой (фрактальной) среде [96]. Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией рассмотрены в публикациях [35]-[37], [88], [93]. Краевым задачам для дифференциальных уравнений с дробной производной посвящены труды ряда авторов. Так, в [38]-[39] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии -17-дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [61]-[62], [67]. В статьях P.P. Нигматуллина [64], [96] показано, что в среде с фрактальной геометрией процесс диффузии описывается обобщенным уравнением переноса: dac(xj) d2c(x,t) дґ дх2 где 0 а 1, c(x,t) - концентрация, d = const - коэффициент диффузии. Такая структура может служить моделью пористой среды, где имеет место процесс диффузии. В 2.3 рассматривается параболо-гиперболическое уравнение U - " U, у 0, 0 = (26) (-уУи -U y У $,т -\,т 0, которое имеет вырождение первого рода при т 0, и вырождение второго рода при -1 т 0. Пусть D = D U D", где D+ = {( ,у): 0 х «; \уу О} — полуполоса, a D -область, лежащая в нижней полуплоскости (у 0) и ограниченная характеристиками уравнения (26) и отрезком [ОД] прямой у = 0 Задача 2.3. Найти решение U(xty) уравнения (26) при т 0, в области D, удовлетворяющее краевым условиям Щ0,у)-щ(у),и(1,у)-і 3(у), (27) + Аь№ "- --и2Миут\х) - g(x) У Є/ , (28) а также условиям сопряжения lim у1 й U (х, у) = lim U (х, у) (х Є 7), (29) lim y}-a{yu"U(x,y)\ = lim Uy(x,y) (хЄІ). (ЗО) -18-Задача 2.4. Найти решение U(x,y) уравнения (26) при -1 /п 0, в области D, удовлетворяющее краевым условиям (27)-(28), а также условиям сопряжения (29)-(30). Решения U(x, у) поставленных задач ищутся в классе дважды дифференцируемых функций в области D, таких что у -аи{х,у) с(ЇУ), и(х,у)ЄС(ГГ), у-н{у и)у GC(zr и fay) :0 х 1,у=0}), єс2( ия-), уєс2(/г). В задачах 2.3-2.4: g(x)BC(J)C\C2(J), (р}(у), Р2(У) _ заданные функции, такие, что ул а р{{у)9 уь 1(у)ЄС(І)+), рлф) = 2(0) = 0; ж Р , АХ1А2,Аг,Ь,с —действительные числа, причем, Ах и Аг числа 2{т + 2) одинаковых знаков, А, и А3 - противоположных знаков, а с 0. Единственность решений задач 2.3-2.4 вытекает из аналога принципа экстремума А.В. Бицадзе [10]. Существование решения задач 2.3-2.4 доказывается путем эквивалентного сведения задач 2.3-2.4 к интегральному уравнению Вольтерра второго рода v(x) - С(х) + fv(0( - tfdt, r(\ + 2j3){ где By = const, С(х)ЄЦа,Ь], Ца,Ь] - пространство действительных функций ь р{х) с конечной нормой р = j #)(f)fifr, и последующим использованием теоре в мы, приведенной в книге [20, с. 123].
О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода
Лемма 1.9. Пусть Д, Є (-ДО) U (0, р), Д2=/?-1-Д,, А,+1-0 Л 1 Д уЗ-1-Д,, 0 Я2 /?-Д,, 0 Я3 1, а2 0, А,+1-/? тіп -Д,] si, Д, тіп[0,ц2 +1], ОолЦА -І-Д, -Д] 1 при a Aj+l-/?, (либо 0 тіп[Я, +a, + /7-1-Д15/7-1-Д, - Д] 1 при 0 a, Д, +1-/3); функции q (x) и r(j:) удовлетворяют соответственно условиям (1,2.5) и (1.3.4); F(x) задается формулой (1.3.23), атакже выполняется условие нормальности (1.3,33).
Для разрешимости сингулярного интегрального уравнения (1.3.32) в пространстве Н 2 [ОД] необходимо и достаточно выполнение условия (1.3.34). При выполнении этого условия уравнение (1.3.32) разрешимо и его единственное решение дается формулой где d определяется соотношением (1.3.33), a 9 - (1.3.29). Наконец рассмотрим случай А, +1 - /? + Д 2 0. Вводя обозначения в (1.3.13), получим характеристическое сингулярное интегральное уравнение Рассмотрим функцию Fx(x) = л,+і" (1-;е)-(д,+Ь0+А2 /( ) Поскольку, согласно (1.3.19), F x) =(l-x) (4+l" +A2)F(x), то можно воспользоваться теоремой 1.3 для функции F, (х). Получим -Потребуем, чтобы выполнялось условие Будем искать решение /л(х) уравнения (1.3.39) в весовом классе гельдеровских функций Н г ((1 - x)Al Х Р+Кг ;[0,1]). Функция Gx(x) для уравнения (1.3.39) имеет вид a(x) + ib(x) K1- 3Cos ( -A1)(l-x)(Al+1-ff+U3)- 3sin;r(jg-Ai)(1- r(Al+1";?+A2) " Ку -гзС08Л-( -Д])(1 где 0,(f) и 0 задаются соответственно формулами (1.3.42) и (1.3.29). Поэтому, согласно (1.3.40) и теореме 30.2 в [82], уравнение (1.3.39) имеет решение в Hi2 ((1 - х)Аі+1" +Л2 ;[0,1]) тогда и только тогда, когда } Ff -0. (1.3.44) "2"Z0(0 -55-Таким образом, получаем следующий результат. Лемма 1.10. Пусть А, Є(-/?,0)и(0,/?), Д, у?-1-Д]? А,+!-/? Д ;1, Д /?-1-Д,, 0 А2 -А], 0 Яз 1, «2 0, Д1+1- тіп[А],-/?2]І, Д2 min[0,/72 +1], 0 minf/1,,/9-1- А, - Д ] 1 при a Aj+1-Д, (либо 0 minf/lj+«!+уЗ-1-Д]?Д-1-А, - Д] 1 при 0 йэ Aj + 1-/?); функции # (х) и r(jc) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.3.4); аг(х), Ь}(х) и F}(x) заданы формулами (1.3.36)-(1.3.38), а также выполняется условие нормальности (1.3.41). Для разрешимости сингулярного интегрального уравнения (1.3.39) в пространстве #O2((1-JC)AI+,_P+A:;[0,1]) необходимо и достаточно выполнение условия (1.3.44). При выполнении этого условия уравнение (1.3.39) разрешимо в HQ- ((1 - jc)il+1 fl+ is ;[0,1]) и его единственное решение дается формулой где ,(л:) определяется соотношением (1.3.41), в -(1.3.29) и ZQ(x) -(1.3.43). Результаты 1.3 и лемм 1.8 - 1.10 дают нам возможность сформулировать основные утверждения в форме трех теорем. Теорема 1.7. Пусть Д, Є(-/?,0)и(0,/?)3 Д-1-Д, Д2 0, аг2 0, Д,+1-/? АІ, Д -1-Д,, 0 А2 /?-Д]т 0 Х, 1, A min[0,7?2 +1], Д,+1-/ї min[/L15-/?2]sl, 0 тт[Л,,/3-1- Д, -Д] 1 при of, з» Aj +1 — 3, (либо 0 тіп[Л, +а, + /7-1- Д /ї-1-Д, -Д] 1 при 0 а, А, +1-/7); функции р(х) и т(х) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.3.4); Д, А2, Аъ, В2, В j - ненулевые константы и выполняется условие (1.3.25). Тогда краевая задача (1.2.3), (1.3.3), (1.2.7)-(1.2.8) для гиперболического уравнения (1.3.1) имеет единственное решение U(x,y), определяемое -56-формулой (1.3.7), где Теорема 1.8. Пусть А, Є (-ДО) U (0, р), Д, +1 - J3 Я s 1, Д /? -1 - Л,, 0 Л2 /?-Д,, 0 Я3 1, Д, 4-1-/? тіп[Л,,-Д]й1, Д min[0, 2+1], а2 0, 0 mm[Af y?-l-A, - Д] 1 при ах Д, 4-1- Д (либо 0 min[A,+а,+/?-1-А,,/ї-1-Д,-Д] 1 при 0 а, А; 4-1-/?); функции # (JC) и т(х) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.3.4); Ах, А2, А3, В2, Д - ненулевые константы и выполняются условия (1.3.33) и (1.3.34). Тогда краевая задача (1.2.3), (1.3.3), (1.2.7)-(1.2.8) (где Д2 = /?-1-А,) для гиперболического уравнения (1.3.1) имеет единственное решение U(x,y), определяемое формулой (1.3.7), где КО - л(0 " "А Теорема 1.9. Пусть А, Є (-ДО) U (0,/7), Д2 /7-1-Др A,+l-j0 Asl, Д /?-1-А3, 0 Л2 -Д„ 0 Л3 1, «2 0, Д, +l-yff тііі[А1,-Д] 1, Д min[0,//2 +1], 0 minf/tp/J-l-A, - Д] 1 при а} А +1-/3, (либо О тіп[Я, +сг, + /?-1-Д,,/?-1-Д, - Д ] 1 при 0 а, А, 4-1-/?); функции )( ) и т(х) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.3.4); А,,А2,Л3, В2,ВЪ - ненулевые константы и выполняются условия (1.3.41) и (1.3.44).
О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной
Поэтому, согласно (1.5.38) и теореме 30.2 в [82], уравнение (1.5.37) имеет решение в Я02 (0 - х) 2;[0,1]) тогда и только тогда, когда Таким образом, получаем следующий результат.
Лемма 1.16. Пусть — а 0, с -а —, a + l Asl, а+1 А, І, 0 Я2 -а, or +1 min[2,,-c] si, /?, -а-1, а+1 1шп[Лр-Д,]й1, а2 0, /?2 min[0,i72 +1], 0 тт[Др - Д -а-1] 1 при а, а +1 (либо 0 minf/L, + а, -а-1, -/3, -а -1] 1 при 0 aL a+l); функции # (л:)и r(jc) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.2.6), а}(х), Ьг(х) и F x) заданы формулами (1.534)-(1.5.36), а также выполняется условие нормальности (1.5.39). Для разрешимости сингулярного интегрального уравнения (1.5.37) в пространстве //0г((1-лс) 2;[0,1]) необходимо и достаточно выполнение условия (1.5.42). При выполнении этого условия уравнение (1.5.37) разрешимо в і -, а-\-с+ HQl((1 - х) - ;[0Д]) и его единственное решение дается формулой где d}(x) определяется соотношением (1.5.39), в -(1.5.27) и Z0(x) -(1.5.41). Результаты 1.5 и лемм 1.14 - 1.16 дают нам возможность сформулировать основные утверждения в форме трех теорем. Теорема 1.13. Пусть — а 0, -а — с 0, a + l Asl, а +1 A, s 1, 0 Я2 -а, а +1 minf/l, ,-с] si, а +1 min[ А, ,-Д2 ] s 1, а2 0, Д -а-1, Д2 min[0,rj2 +1], 0 minfA,, - Д-а-1] 1 при а, а + 1 (либо 0 min[/l, +a} -a -1, - Д -a -1] 1 при 0 a, a:+l), функции (p(x) и z(x) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.2.6). Пусть Д., В. (г = 1,2,3) — ненулевые константы и выполняется условие (1.5.23). Тогда краевая задача (1.2.3), (1.5.2), (1.2.7) (1.5.3) для гиперболического уравнения (1.5.1) имеет единственное решение U(x,y), определяемое формулой (1.5.4), где Теорема 1.14. Пусть — а 0, or +1 Я 1, a+ 1 Л, si, 0 Л2 -a, a +1 mm[Aj,-с] s 1, а+1 тіп[Я1,-/?2]й1, Д -а-1, Д2 тіп[0, 72 +1], + 0 тіп[Л]5 - Д-a-l] l при c ст + 1 (либо 0 тіп[Я,+«!-cr-1, - Д -a -1] 1 при 0 a, a +1), a2 0; функции (д;) и г( ) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.2.6). Пусть Д, В. (i = 1,2,3) - ненулевые константы и выполняются условия (1.5.31) и (1.5.32). 1 Тогда краевая задача (1.2,3), (1.5.2), (1,2.7) (1.5.3) (где с = -а—) для гиперболического уравнения (1.5.1) имеет единственное решение U(x,y), определяемое формулой (1.5.4), где Теорема 1.15. Пусть — а 0, -а — с 0, а + 1 Я si, а+1 Я, si, 0 Л2 -а, а + 1 min[A1;-c] si, а + 1 minf - jsl, а2 0, Д -а-1, Д min[0, 2 +1], 0 min[A,, - Д-а-1] 1 при «, «+! (либо О тіп[Я, + а, - а -1, - Д - о: -1] 1 при 0 а, си + 1); функции (.х) и т(х) удовлетворяют соответственно условиям (1.2.5) и (1.2.6). Пусть Д., Д (І = 1,2,3) - ненулевые константы и выполняются условия (1.5.39) и (1.5.42). Тогда краевая задача (1.2.3), (1.5.2), (1.2.7) (1.5.3) для гиперболического уравнения (1.5.1) имеет единственное решение U{x,y), определяемое формулой (1.5,4), где Замечание 1.1. Необходимо отметить, что для уравнений (1.4.1) и (1.5.1) в области D, описанной в 1.4, поставлены и исследованы еще две задачи со смещением, результаты которых опубликованы в [117] и [118]. Эти задачи, также как и задачи 1.3-1.4, берут свое начало в работе [95]. Задача А. Найти функцию U(x,y)E:C(D) ПС2(D), удовлетворяющую уравнению (1.4.1) в области D , краевым условиям (1.2.3) и Задача В. Найти функцию Щх,у)ЄC(D) ПС2(D), удовлетворяющую уравнению (1.5.1) в области D, краевым условиям (1.2.3) и Краевые условия (1.4,3) и (1.5.2) — условия более общего вида, по сравнению с (1.5.44) и (1.5.45). Однако, нетрудно убедиться в том, что не существует таких значений параметров у операторов в (1,4.3) и (1.5.2), при которых условие (1.4.3) обращается в (1.5.44), а условие (1.5.2)- в (1.5.45).
Исследование поставленных задач производится по методике, аналогичной задачам 1.3-1.4. Используя решение задачи Коши для уравнений (1.4.1) и (1.5.1), а также свойства операторов М. Сайго и операторов Римана-Лиувилля, вопрос об однозначной разрешимости каждой из задач сводится к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Решения получены в явном виде.
