Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Исторический обзор 11
1. Первый период солитонных исследований 11
2. Дальнейшая история солитонных исследований 13
3. Различные подходы к задачам, интегрируемым МОЗР 21
Глава II. Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения диффузии 29
1. Получение уравнений с частными производными обладающих операторной структурой Лакса 29
2. Построение другой коммутационной формы в виде уравнения ну левой кривизны 47
3. Исследование вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения yqx + /c(ln g)xv =qt 54
4. Решение уравнения yqx + k(\nq)xx = qt методом обратной задачи рассеяния 57
Глава III. Построение точных решений нелинейного уравнения диффузии с помощью прямых методов 64
1. Решение нелинейного уравнения диффузии с помощью метода Хироты 64
2. Применение других «прямых» методов 77
2.1. Метод бегущих волн 77
2.2. Автомодельное решение 87
2.3. Решение в виде функций Вейерштрасса 89
3. Исследование решения уравнения yq2qx+k(qxxq-qx2} = qtq2 вблизи подвижного сингулярного многообразия %{x,t) = 0 92
Заключение 97
Литература
- Дальнейшая история солитонных исследований
- Различные подходы к задачам, интегрируемым МОЗР
- Исследование вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения yqx + /c(ln g)xv =qt
- Применение других «прямых» методов
Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании прикладных задач во всех областях естествознания, все больше находят применение нелинейные модели с частными производными, описывающие, как говорят "тонкие" эффекты. К таким задачам, например, относятся задачи нелинейной оптики, связанные с оптическими каналами связи, теории плазмы, современной теории гравитации, химические и биологические процессы в которых принципиальные свойства описываются нелинейными связями. Таким образом, исследования нелинейных уравнений и разработка конструктивных методов отыскания точных решений этих уравнений имеют большую практическую ценность и значимость. Среди современных теорий, позволяющих решать подобные задачи, выделяется теория солитонов.
Если явление описывается солитонным уравнением, то оно таит в себе большие преимущества в возможности применения к исследованию всего арсенала солитонной математики. Сюда входят: бесконечное число законов сохранения, наличие Лаксовой пары, связь Пенлеве уравнения в частных производных с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), формализм Хироты для построения п-солитонных решений, преобразования Бэклунда и др.
Хорошо известно, что из операторного уравнения изоспектральной деформации, которое называют также уравнением Лакса, можно получить со-литонные уравнения допускающие возможность интегрирования МОЗР и отыскания точных решений. При использовании других способов, в частности методов численного решения дифференциальных уравнений, возникают проблемы интерпретации полученных результатов, не всегда ясно, что порождает тот или иной наблюдаемый эффект.
Построение новых уравнений, обладающих операторной структурой Лакса является актуальной задачей, так как позволяет расширить класс точно интегрируемых моделей, имеющих практическое значение.
Проблемы, связанные с вопросами теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в работах Дж. Рассела, Д. Кортевега, Г. де Вриза, Р. Миуры, Б.Б. Кадомцева, В.И. Карпмана, А. Бэклунда, С. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала, П. Лакса, В.Е. Захарова, А.Б. Шабата, М. Абловица, X. Сигура, Р. Хироты, СП. Новикова, О.И. Богоявленского и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.
Цель работы - получить нелинейные уравнения с частными производными, имеющие операторную структуру Лакса. Исследовать нелинейное уравнение диффузии при вполне определенных значениях функции, описывающей возмущение.
Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния, с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения и решение краевой задачи. В работе также используются метод Хироты и метод бегущих волн, с помощью которых найдены точные решения исследуемого уравнения для различных значений возмущающей функции. Кроме того, применяются классические методы математической физики, теории обобщенных функций и теории дифференциального исчисления функций многих переменных.
Научная новизна отражена в следующих результатах:
Получены нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.
Определена связь между операторными структурами Лакса и уравнения нулевой кривизны для случая, когда коэффициенты операторов зависят от квадратных матриц.
Для нелинейного уравнения диффузии
yqx (х, 0 + /с (In g(x, t)) w = qt (x, 0,
а) найдены две операторные структуры Лакса;
б) рассмотрен вопрос о наличии бесконечной последовательности законов
сохранения;
в) получено решение методом обратной задачи рассеяния;
г) найдены решения с помощью метода Хироты;
д) метода бегущих волн, автомодельное решение;
е) найдено «локальное» представление общего решения данного уравне
ния в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного
многообразия %(x,t) = 0.
4. Получены решения уравнения
yqx(х,0 + к(lnq(x,*))_та -2fx(х,t) = qt(х,t)
для различных возмущений, представленных функцией flx,t) с помощью «прямых» методов:
а) метода Хироты,
б) метода бегущих волн,
в) решения в виде функций Вейерштрасса.
5. Определен вид возмущающей функции Дх,0 уравнения
yqx (х, t) + к (In q(x, /))хї - 2fx (x, t) = qt (x, t),
если решение q(x,t) имеет:
а) вид одиночного солитона,
б) двусолитонный вид.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что одно из полученных уравнений является нелинейным уравнением диффузии (при замене переменной - нелинейным уравнением теплопроводности), что определяет область применения полученных результатов. Одной из характерных ситуаций, в которых встречается рассматриваемое уравнение, является перенос пассивной примеси, например, тепла в турбулентной среде с нелинейным турбулентным коэффициентом теплопроводности.
Результаты диссертации также могут составить содержание специального курса для студентов математического или физического факультета.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту: 1. Полученные нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.
Определенная связь между операторными структурами Лакса и уравнением нулевой кривизны для случая, когда коэффициенты операторов зависят от квадратных матриц.
Для нелинейного уравнения диффузии
yqx (х, 0 + к (in q(x, /))e = qt (х, /),
а) найденные две операторные структуры Лакса;
б) построение бесконечной последовательности законов сохранения;
в) решение методом обратной задачи рассеяния;
г) решения с помощью метода Хироты;
д) решение с помощью метода бегущих волн, автомодельное решение;
е) найденное «локальное» представление общего решения данного урав
нения в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного
многообразия %(x,t) = 0.
4. Полученные решения уравнения
yqx0,0 + (inq(x,ґ))хї -2fx(x,t) = qt(x,t)
для различных возмущений, представленных функцией ftxj) с помощью «прямых» методов:
а) метода Хироты,
б) метода бегущих волн,
в) решения в виде функций Вейерштрасса.
5. Определенный вид возмущающей функции f[x,t) уравнения
У9х(.х^).+ к(Ыд(х,0)^-2/х(х31) = qt{x,t),
для решений q(x,f) если:
а) q(x,f) имеет вид одиночного солитона,
б) q(x, f) имеет двусолитонный вид.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ [92]-[99]. Из имеющихся совместных работ [96]-[99] в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором
Перейдем к изложению краткого содержания работы.
Первая глава включает в себя историю вопроса и основные теоретические положения, используемые в работе. Здесь приводится описание различных направлений исследований по проблеме диссертации.
Вторая глава посвящена применению теории обратных задач к нелинейному уравнению диффузии.
В первом параграфе для случая, когда L, А дифференциальные операторы первого порядка, удовлетворяющие уравнению Лакса
L =[L,A] = LA~AL
и имеющие вид:
L = a \-и
A = /3-^ + v, дх
и.
Ґаи аиЛ
A А»
"12
где а
=
- постоянные матрицы,, и
V 21 ^22 J
\игх
*22У
Рі\ Ріг J
fv V л
41 42 VV21 V22 J
матрицы с компонентами, зависящими от х и t, приводится вы
вод нелинейных уравнений с частными производными, обладающих операторной структурой Лакса. Одно из полученных уравнений является одномерным нелинейным уравнением диффузии:
yqx + &(lng)xv -2fx=qt, (1)
где 7, А: - постоянные величины, q(x,t) я/[х,ґ) - функции двух переменных.
Для уравнения (1) найдено еще одно операторное представление в лак-совой форме, существенно используемое в дальнейшем.
Во втором параграфе формулируются теоремы, позволяющие установить связь между двумя операторными структурами, применяемыми при решении методом обратной задачи рассеяния.
Теорема 2.7. Если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет представление Лакса Lt + [L, А] = 0, причем порядок
дифференциального оператора L не ниже порядка дифференциального оператора А, то такое уравнение имеет и операторное представление в виде
уравнения нулевой кривизны Р(- Qx + [P,Q] = 0.
Если же коэффициенты L-A - пары представляют собой некоторые квадратные матрицы, то формально верна обратная
Теорема 2.8. Если некоторое нелинейное уравнение в частных производных имеет операторную структуру в виде уравнения нулевой кривизны, то для него можно получить операторное уравнение Лакса с помощью подста-
(~ дЛ новки Lq>= P-I— (р, -Acp-Qcp, где I - единичная матрица, (р - произволь-
\ дх)
ная функция, L,A,P,Q - линейные дифференциальные операторы с матричными коэффициентами.
Для уравнения (1) приведен пример построения структуры в виде уравнения нулевой кривизны.
Третий параграф посвящен исследованию вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения
Yqx+kQnq)xx=qt (2)
с помощью метода, предложенного В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом [64].
Четвертый параграф содержит решение уравнения (2) методом обратной задачи рассеяния
Теорема 2.10. Если в уравнении yq^+kQnq)^ = qt функция q{x,t) стремится к нулю вместе со всеми своими производными, ——>с при х—»±<х> (с -
const), собственные значения /л вещественны, то уравнение имеет решение
вида:
-2ikch ехр Г-2с [х + (7 + i)t)~\ 1 + h ехр [-2с (х + (/ + i)t)]
где h - постоянная величина.
Третья глава диссертационной работы посвящена нахождению точных решений уравнения (1) для различных значений возмущающей функции f[x,t).
В первом параграфе применен метод Хироты к уравнению yqx + к(Ы q) - If = qt или после умножения на q2
9
yq\+k{qxxq-qx2) = (qt+2fx)q\ (3)
а) Найдено решение уравнения (3) при / = 0. Для этого случая доказано от
сутствие 77-СОЛИТОННЫХ решений.
б) Найдено решение этого уравнения при условии f = —, где с - const. Дока-
зано отсутствие и-солитонных решений.
в) Проведен анализ уравнения (3) и указаны условия, при которых возможно
возникновение солитонного и двусолитонного решений.
Во втором параграфе для решения уравнения (1) применены другие «прямые» методы.
Предположим, что решение уравнения (1) имеет вид бегущей волны q(x,t) = g(x + bt) = g(z), Ъ-const, f = f(g), тогда оно после интегрирования по z примет вид:
hg + kQ*g),-2f = C, (4)
здесь у -Ъ = h и С - постоянная интегрирования.
Для уравнения (4) найдены решения в следующих случаях: l-7(g) = 0;
f(g) = cng2+cng + cu,TRe cn,cl2,cu-const;
f = cug2 (cn-const), C=0, h^O;
4- f = cng2+cng (cu,cn-const), C=0,
~ h,
5- f(g) = — , hi- const;
~ h
6- f(g) = -1-,/-const;
7. j (z.) = -kth(z), где z-x + yt, С = 0.
Уравнение (1) с помощью замены переменной q-eq, где q{x,t) — функция
e"4t=kqxx+yeq~qx-2fx
приводится к уравнению теплопроводности с зависимостью свойств среды от
температуры. В частном случае при рОи отсутствии внешних источников
получаем уравнение eqq( =kqxx, для которого найдено автомодельное решение
2\kt\ q(x,t) = )n-Lr1. х
Получены решения уравнения (1) в виде функций Вейерштрасса для
случая, когда -2fx = С0 = const и когда возмущение является функцией Вей-
~ ~ к
ерштрасса: f(x,i) = f{x + yf) = f(z) = —{z) ,где z-x + yt, у - комплексная
постоянная.
В третьем параграфе найдено разложение решения уравнения (2) в виде обобщенного ряда Лорана вблизи подвижного сингулярного многообразия ^(x,t) = 0. При этом показано отсутствие подвижных критических точек, что говорит о выполнении свойства Пенлеве.
В заключении формулируются основные выводы диссертационной работы.
Пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета Редькиной Татьяне Валентиновне, а также коллегам-математикам за внимание и поддержку в процессе исследований, посвященных данной тематике.
Дальнейшая история солитонных исследований
Для второго периода, начавшегося в 1940-х годах с исследования Е. Ферми, Дж. Пастой и С. Уламом (ФПУ) [18] одной задачи динамики решеточных моделей, характерно развитие разнообразных аналитических и численных методов. Работа ФПУ представляет собой одну из первых успешных попыток использовать только что созданные вычислительные машины для изучения проблемы, которая несколько превышала аналитические возможности того времени. Роль вычислительных машин в течение этого периода истории солитонов трудно переоценить. В самом деле, при численном моделировании ряда физических процессов неизменно обнаруживались солитонные явления. Эти исследования широко обсуждались в литературе о солитонах (см. например, [38], [44], [45]).
Дальнейшие успехи солитонов сопровождались проводившимися параллельно экспериментальными и теоретическими исследованиями по распространению когерентных световых импульсов в двухуровневой среде (С. Мак-кол и Е. Хан [33]). И опять же именно изучение результатов численного счета позволило обнаружить возникновение устойчивых импульсов, а также распадение одного импульса на несколько более малых. Солитонные явления в описанных задачах получили название самоиндуцированной прозрачности [34]. В это же время было обнаружено [29], что уравнения простой модели распространения оптических импульсов поддаются исследованию при помощи техники преобразования Бэклунда [43]. Тем самым были найдены аналитические выражения, описывающие выделение чисто TV-солитонных мод [30]. Одновременно при помощи метода обратной задачи рассеяния были получены формулы для многосолитонных решений уравнений Кортевега-де Вриза.
Возникновение МОЗР связано с работой С. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала и Р. Миуры [20], [21], в которой они рассматривали уравнение Шредингера - 1 + U(x,t)f = k2f (1.1) ах с убывающим на бесконечности потенциалом и(х), здесь/- специальное решение (1.1), /с - постоянная величина. Если потенциал меняется во времени как функция u{x,t) в уравнении Кортевега - де Вриза (КдВ): ut - 6иих + ню = 0, (1-2) то его точные решения могут быть получены с помощью решения обратной задачи для уравнения (1.1).
Схема решения задачи Коши включает три этапа: 1) вычисление данных рассеяния по начальному условию с помощью решения уравнений на собственные функции; 2) решение задачи Коши в терминах данных рассеяния; 3) восстановление потенциала по данным рассеяния, т.е. решение обратной задачи. Работа П. Лакса [70] вызвала существенное развитие метода обратной задачи и способствовала пониманию его математической природы. Он показал, что уравнение (1.2), как, впрочем, и другие тесно связанные с ним эволюционные уравнения, эквивалентны условию изоспектральной интегрируемости для пары линейных операторов.
Пусть даны сравнительно простые дифференциальные операторы L и В, зависящие от функции и(х, f), такие что выполняются следующие условия: а) существует однопараметрическое семейство унитарных операторов U, удовлетворяющих уравнению Ut = BU, б) L унитарно эквивалентен относительно U, т.е. оператор U \t)L(t)U(t) не зависит от t, в) операторы L и В не обладают коммутационным свойством при действии друг на друга, г) U{t) есть эволюционный оператор: p(t) = U(t)g (0). Тогда, как отмечает Лаке, выполняется следующее:
Все собственные значения ju оператора L с заданными условиями нормировки L(0)(p(0) = ju p(0) являются интегралами движения: /ut 0. П. Уравнение Lt=[B,L) = BL-LB (1.3) с указанными выше свойствами, эквивалентно линейной системе L(p = jLi(p, (1.4) Pt=Bq , , (1.5) где (р - собственная функция, /л - собственное значение оператора L.
Различные подходы к задачам, интегрируемым МОЗР
Если редукция неизвестна, то непосредственную проверку рассматриваемого уравнения на свойство Пенлеве можно провести исходя из вида точного решения, или установить характер подвижных особенностей исходя из локальных свойств решений.
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение п-то порядка вида dny Jdn xy dy \ —7 = F —ЛТ — У 2 dz" dz" dz J где F- функция аналитическая по независимой переменной z и рациональная по всем остальным аргументам. Поведение решения (решений) такого уравнения в подвижной особой точке определяется посредством анализа ведущего члена разложения y{z) = a{z - z0)a, где а и а необходимо определить, a ZQ - произвольная точка в комплексной плоскости (т.е. положение подвижной особенности). Анализ ведущего члена позволяет охарактеризовать поведение решения в особой точке. Для того чтобы установить поведение в окрестности сингулярности необходимо прибегнуть к локальному разложению в ряд. Если особенность действительно является неподвижным полюсом, такое разложение будет представлять собой простой ряд Лорана. В случае уравнений с частными производными проверяется поведение решения (решений) в окрестности сингулярного многообразия (zp...,zj = 0, где - аналитическая в окрестности многообразия функция и комплексных-переменных. Используя разложение, являющееся обобщенным рядом Лорана ь ./=о где u(zx,...,zn) - решение рассматриваемого уравнения, «необходимо определить, проводим анализ по аналогии с анализом для обыкновенных диффе ренциальных уравнений. Если обобщенный ряд Лорана действительно служит «локальным» представлением общего решения рассматриваемого уравнения вблизи подвижного сингулярного многообразия, то оно обладает свойством Пенлеве.
Поиск задачи рассеяния. Пусть дана система, структура которой в принципе позволяет применить МОЗР. Возникает вопрос существования метода поиска спектральной проблемы, настолько эффективного, что его неуспех гарантирует отсутствие существования проблемы.
Исторически наиболее успешным методом поиска задач рассеяния было угадывание операторов. Псевдопотенциалы представляют другой подход, опирающийся на меньшее число гипотез и в ряде случаев являющийся исчерпывающим. X. Чень, И. Ли и С. Ли [14] предложили метод, основанный на линеаризации, который позволяет проверить эволюционное уравнение на интегрируемость и одновременно приводит к задаче рассеяния, если таковая существует. Сатсума предложил использовать солитонные решения и билинейные формы для построения преобразований Бэклунда и задач рассеяния. В ряде частных случаев использовались геометрические и теоретико-групповые методы. В работах О.И. Богоявленского [52], [54] рассмотрены новые операторные структуры, допускающие применение теории обратных задач.
Частные решения. С помощью «прямых» методов находятся частные решения, и исследование уравнения ограничивается изучением точных решений. Методы поиска этих частных решений обычно более просты, чем МОЗР, и позволяют избежать некоторых деликатных аналитических вопросов, возникающих при изучении задачи рассеяния. Прямые методы позволяют к тому же получить решения вне класса функций, в котором традиционно применяют МОЗР. Р. Хирота получил достаточно много значительных результатов в теории уравнений, допускающих солитонные решения. Прямые методы, в частности метод Хироты [25], практически всегда «срабатывают» для уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, а иногда ив случаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны.
Метод Хироты основан на следующих идеях:
1. Произвести замену зависимой переменной. Преобразование должно привести эволюционное уравнение к так называемой билинейной форме, квадратичной по зависимым переменным: F dt dt dx дх f(x,t)f(x ,t ) 4=t ,x=S = 0.
2. Рассмотреть формальные ряды теории возмущений для этого билинейного уравнения. В случае солитонных решений эти ряды обрываются. Для анализа полученного уравнения удобно ввести операторы Dx и Dt, изобретенные Хиротой, и их различные произведения: DmxDnta-b д__д_ дх дх \т дх дх \" a(x,t)b(x ,t ) х=х\І=Ґ Оператор D обладает многими свойствами, приведем некоторые из них [85, стр. 178-179]: -1 = Э , Dy-b = (-V)mDb-a, Da-a = 0, т-нечетное число, DD" ехр х - wxt) ехр(2х - w2t) - {кх - k2)m{-wl + w2)" exp\_(kx + k2)x-(wx + w2)/], где kij2, Wi - постоянные.
3. Использовать метод полной математической индукции для доказательства того факта, что предполагаемая солитонная формула действительно является решением рассматриваемого уравнения
Исследование вопроса о наличии бесконечной последовательности законов сохранения для уравнения yqx + /c(ln g)xv =qt
Метод обратной задачи рассеяния состоит из двух этапов: I) решения прямой задачи, заключающейся в отыскании данных рассеяния, II) решения обратной задачи - восстановления потенциала. Отметим, что решения обратных задач всегда более трудоемки, так как они основываются на интуиции авторов. Теорема 2.10. Если вуравнении yqx+kQnq)xx =qt функция q(x,f) стремится к нулю вместе со всеми своими производными, —- с, (с - const) при Ч х -» +00 собственные значения /л вещественны, то уравнение имеет решения вида: -likch ехр [-2с (х + (у + /) )] q (2.78) 1 + h ехр [-2с (х + (у + i)t) j где h - постоянная величина. Доказательство. I. Решение прямой задачи. В доказательстве теоремы 2.9 были получены решения уравнений (2.76), которые позволяют найти общее решение системы (2.76): y/(x,ju) = О 2 У О с, у/}(х, ку/2(х,/л) где с\, с2 - произвольные постоянные. Отсюда общее решение уравнения (2.75) есть (р(х,/л)=Ту/(х,/и) = Т где Ux . Ъ\(уЛ{х,1ху\ (I IV О с, v1 h 2 У \У2 у/2(х,ц) cv О О с, \Уг(х Р), :( ,//), ( ,//)) , (2.79) PX (x, lA = ic (x, ju) + c2\y2 (x, ju), (р2(х,/л) = c, ,( ,//)+ іс2У2 ( / ) Система (2.79) определяет значения собственных функций # (//,х,0)из уравнения L(x,0)(p(x,0) = ju(p(x,0). В теореме Лакса функции q?(ju,x,t) получаются с помощью эволюционного оператора /(/): g?(ju,x,t) = U(t)(p(ju,x,0). В рассматриваемом случае этот оператор определяется следующим образом: [7(0 = Ґісх с2 V \ lC2 J поэтому, чтобы перейти к p(/j,x,t) считаем, что константы сь с2 в (2.79) зависят еще от t, т.е. cx(t,ju), c2(t,ju) (t- рассматривается не как время, а как деформационный параметр). Тогда собственные функции также будут зависеть от t и (2.79) примет вид: РХ (.х, t, /л) = icx (t, /и) (x, /л) + c2 (t, ц)у/2 (x, /u), (p2 (x, t, ju) = c, (t, /u)y/x (x, ju) + ic2 (t, /u)i//2 (x, /J). Оператор U(t) заключает в себе данные рассеяния, которые необходимо найти для решения обратной задачи. Найдем данные рассеяния из уравнения -А р{х, t, /и) = pt (х, t, ju), которое равносильно -A U{i)q {x, ju, 0) = Ut p{x, /и, 0). Поскольку U(f) не зависти от искомой функции q, решать последнее будем на границах исследуемой области. Пусть при х - ±оо А - А , с учетом условий, определенных в теореме, получим:
Отметим, что q\ = -qi (q2 = -qH)- т-е- эти решения симметричны относительно плоскости xOt. Функции q\ и q2 отличаются знаком при с и значением постоянной интегрирования h\ (h2). И поскольку эти величины выбираются произвольно, можно общее решение представить функцией (2.78). Теорема доказана.
Замечание 1. Ранее рассмотренные нелинейные задачи, проинтегрированные МОЗР, сводились к нелинейному уравнению Шредингера. В описанном случае, задача на собственные значения никакими преобразованиями к уравнению Шредингера не сводится.
Замечание 2. Одним из существенных отличий также является функциональная зависимость данных рассеяния от деформационного параметра t, что указывает на отсутствие солитонных решений. Это подтверждается проведенным доказательством.
Ценность МОЗР состоит в том, что нелинейная задача решается по существу методами линейной теории. При определенных граничных условиях мы получаем общее решение задачи, которое пока невозможно получить никаким другим методом. Тем не менее, МОЗР не является единственно возможным подходом к решению нелинейных эволюционных уравнений с частными производными.
Применение других «прямых» методов
Определим поведение главной части решения рассматриваемого уравнения в окрестности подвижной особенности. В случае аналитических функций нескольких переменных особенности лежат на аналити 93 ческом многообразии. Для рассматриваемого уравнения это сингулярное многообразие определяется условием вида где - аналитическая в окрестности многообразия функция. Будем использовать разложение ; 00 g(x,t)= aj(t){x-x,(t))J, (3.40). j=-N где x-x0(t) и af{t) аналитические функции от х, t в окрестности многообразия. Определим, для какого значения Nряд (3.40) может удовлетворять уравнению (3.2). Положив ; = x-x0(t), оценим степени главной части ряда Лорана q-Г"; qqxx-1N-Z) ql-2"-2; - . Подставив в исходное уравнение (3.2) заданные оценки, получим, что старшие степени будут совпадать, если -3N -1 = -2N - 2, откуда JV = 1.
При некоторых степенях соответствующие cij(t) будут произвольны. Существование этих резонансов вытекает из теоремы Коши-Ковалевской для уравнений с частными производными, которая утверждает, что локальное разложение общего решения должно иметь столько произвольных функций, каков порядок уравнения. Для определения степеней которых появляются произвольные функции, представим q = b(t) +p(t)r\ (3.41) где г - постоянная, подлежащая определению, p(t) - произвольная функция, b{f)- коэффициент главной части разложения (3.41). Подставив (3.41) в (3.2) и приравняв линейные пор члены в полученном уравнении, будем иметь: р(г-3)Г4 +р((г-1)(г-2) + 2)Г4 +2р(г-1)Г4=0. (3.42) Элементарные преобразования (3.42) приводят к уравнению о(г-1)(г + 1) = 0. Для того, чтобы р было произвольным, необходимо, чтобы либо г = -1, либо г = 1. Корень г = 1 отвечает произвольности функции а2 (t), соответствующей степени . Второй корень г = -1 соответствует не степени -2 (что не согласуется с разложением (3.40)), а определяет произвольность самой функции . Проверим, действительно ли функции , и а2 (ґ) произвольны.
Выделив главную часть в разложении (3.40), найдем частные производ ное ные функции д = —— + aj (t)(x - JC0 (г))7 : X — XQ(t) /=о =7 - + 2 (0( -) 1 , q„ =7? r + tlJ(J-l)ajWx-XoY-2 , (X X0) J=l (X X0) j=2 я, =7 +- +2 (0( - -2 ( (0( - 1, {x xQ) x x0 j=0 j=1 где точка означает —, и подставим в (3.2). Поскольку сингулярное многооб dt разие определяется условиями вида В,{х,t)-0, коэффициенты при соответствующих степенях должны обращаться в ноль. Мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую решаем относительно а. и Ъ, выражая их через коэффициенты более низкого порядка. к 4: -уЬъ + k(2b2 -b2) = b3x0, откуда определяем коэффициент Ъ = . х0 + у :-2yb2a0+2kba0 = b2b + 2b2a0x0, 2Ьа0(к - (у + x0)b) = b2b .
Последнее равенство выполняется тождественно, если Ъ г к = 0, отку да следует, что х0 = 0, а это, означает, что ранее произвольная функция имеет специальный вид: х0 линейна по t, т.е. x0=mt + l, т и / - const, но при этом становится произвольной функцией a0(t). г: у(Ь2а{ -Ъ{а\ +2ba,)) + 4kbax = Ь2а0 -Ь2ахт + Ьт[а\ +2Ь з,), равенство единственным образом определяет а \ через а0 и ранее определенную функцию Ъ й] = г{Ьйо + а2о(Г + т)); Ък , : у{2Ьга2 + 2Ьа0ах -b(2a0ax + 2Ьа2)) = Ь2(ах -2а2т) + +2Ьа0(а0 — ахт) + bm(2a1a0 + 2Ьа2); преобразовав это выражение, получим, что коэффициент при функции а2 обращается в нуль, следовательно a2(t) становится произвольным коэффициентом ряда, но при этом не все члены равенства сокращаются, оставшиеся слагаемые дают уравнение для функции а0, которую мы ранее считали произвольной
