Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача идентификации функций источника для системы составного типа 29
1, Постановка задачи 29
2. Приведение к прямой вспомогательной задаче 30
3. Теоремы существования и единственности решения вспомогательной задачи 32
4. Теоремы существования и единственности задачи идентификации 43
5. Исследование поведения решения задачи идентификации при t —ь оо 49
Глава 2. Задача идентификации функций источника для системы составного типа в многомерном случае 59
1. Постановка задачи 59
2. Приведение к прямой вспомогательной задаче 60
3. Теорема существования решения прямой задачи 62
4. Теоремы существования и единственности задачи идентификации 74
5. Исследование поведения решения при t -> +оо 79
Глава 3. О стабилизации решения задачи идентификации функции источника для уравнения параболического типа 88
1. Постановка задачи 88
2. Приведение к прямой вспомогательной задаче 89
3. Исследование поведения решения при t -> +оо 90
Список литературы 108
Список работ автора по теме диссертации 118
- Теоремы существования и единственности решения вспомогательной задачи
- Теоремы существования и единственности задачи идентификации
- Теоремы существования и единственности задачи идентификации
- Приведение к прямой вспомогательной задаче
Введение к работе
В различных областях науки и техники с целью познания закономерностей работы некоторого объекта или природного явления проводятся эксперименты самого различного вида Цель эксперимента - выявление главных закономерностей процесса и формирование на их основе некоторой математической модели Однако очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение такого эксперимента дорого В этом случае приходится делать заключение о свойствах изучаемого объекта или явлепия по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям [24]
С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины)
Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений
В связи с тем, что практически все обратные задачи являются некорректными с точки зрения их постановки, то существенный прогресс в исследовании стал возможен лишь в последние десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач, большой вклад в разработку которой сделан отечественными математиками А.Н. Тихоновым, М М Лаврентьевым, В.К. Ивановым, Морозовым В А и многими другими [26], [37], [42], [66], [68]
Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г Герглотцу [78[ и Е.Вихерту [86]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю М Бе-резанским в работе [21] Дальнейшее исследование многомерных обратных задач проводились М М Лаврентьевым [38, 42], В.Г. Романовым [57, 60], ЮЕ Аниконовым [1, 6], А.Д Искендеровым [29, 31], М.В Клибаыовым [34], А И Прилепко [46, 47], Н Я Безнощенко [8, 11] и другими Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [41].
Обратная задача называется одномерной, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят только от одной переменной, в противном случае обратная задача — многомерная
Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основном связаны с задачами идентификации входных данных параболических уравнений и систем составного типа.
Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [25], [64], [75], [77], [83], [85] и других
В работах [61, 62, 63] исследовалась корректность обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид f(t)g(x) или f(t) + д(х)
В [70] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника F[t,x) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F(t, х) = f(t)g(x)
Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коти в случае одного и двух неизвестных коэффициентов посвящены работы [8, 11], [12, 19], [75], [17], [17]
В диссертации получены следующие результаты
Доказана однозначная разрешимость "в целом" одномерной обратной задачи для системы составного типа, состоящей из параболического уравнения и уравнения первого порядка, в случае, когда оба уравнения содержат неизвестную функцию источника, которая зависит только от временной переменной Изучено поведение решения обратной задачи при t -л Ч-оо
Доказаны теоремы однозначной разрешимости "в целом "для обратной задачи идентификации двух функций источника для системы составного типа в многомерном случае Исследованы вопросы стабилизации решения при t -^ +оо
Исследовано поведение решения многомерной обратной задачи идентификации функции источника для многомерного параболического уравнения при і —> +оо Получены достаточные условия ограниченности решения и его стремления к нулю при t —э- +оо.
Все сформулированные выше задачи рассматривались в случае данных Коши В основе исследования разрешимости рассматриваемых задач лежит метод, позволяющий с использованием преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегродифференциального уравнения или системы уравнений Процедура сведеиия обратной задачи к прямой впервые предложена Ю Е Аниконовым Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4] ,[5], [6], [14], [15], [221, [75] и др.
Основным методом, применяющимся в диссертации при доказательстве разрешимости задач и исследовании поведения их решений при t —> +оо является метод слабой аппроксимации (МСА). Данный метод формировался в основном в работах российских математиков Н.Н Яненко, А А Самарского, их учеников и последователей В [16] приведено подробное описание МСА и систематизированы имеющиеся результаты
Диссертация состоит из введения, главы, в которой приведены некоторые вспомогательные утверждения, трех глав собственных исследований, списка цитируемой литературы и списка работ автора по теме диссертации
В первой главе в полосе G[o,r] = {{t, ж)|0 ^ t ^ Т, х Є Е{\ рассматривается задача идентификации четверки действительнозначных функций (u1 (i, x),u2(t, re),дг(і), g2(t)), удовлетворяющих системе уравнений «* + Е Ы*Н + Е M*)«fc = v{t)ulx + ^СОЖ аО, fc=l fc=l 'А + Е Ы*Н + Е М*)«* = «?2(*Ж*.ж) и условиям ufc(0, ж) = и%{х), х Є Еъ (1 2) ї/(і, 0) - *(*), t Є [0, Г], fc = 1, 2. (1 3)
Считаем, что входные данные удовлетворяют условиям согласования «*(0)=/3*(0), A = l,2. (14)
Здесь ajfc(t), bjfcfi), иЦх), pk(t), к, j ~ 1,2, /(і, ж), /і(і,ж), і/(і) — заданные дей ствител ьноз начные функции
Системы такого вида описывают колебания среды с учетом влияния теплопроводности [54, 55], различные линеаризованные задачи механики неоднородных жидкостей.
В [76] доказана теорема однозначной разрешимости "в целом" для обратной задачи вида (1 1)-(1 3) в случае, когда h(t,x) = О
В [20] исследован вопрос о влиянии вязкости на гладкость двух групп компонент решений систем, расщепляющихся на параболическую систему и гиперболическую систему уравнений первого порядка Примеры нелинейных систем составного типа задач механики неоднородных жидкостей см , например, в [7]
В предположении существования преобразования Фурье функций и (, х), u2[t,x) по переменной х обратная задача (1 1) — (1 3) приводится к прямой задаче Коши для линейной системы интегродифференциальных уравнений в полосе С?[о,т] = {{t,y) [ 0 = t < Т, у Є Е\] v] ~ iyaikvk + bJkvk = -y2vvl+ +Re І 7і - ialk J yvkdy + v f y2vldy J f-% 0) F{t, y), V -co } ^щ v% - iya2kvk + b2kvk = J yvkdy\h-\t^)H{t,y), = h- шы vk(0,y)=vk(y). (16)
Здесь F{t,y) и H(t,y) — образы Фурье функций f{t,x) и h(ttx) соответственно, Vq(jj), v2(y) — образы Фурье функций Uq(x) и и%(х), 7і — 0і + бц/31 + біг/?2, 72 = ft1' + ^21/31 + &22/З2 Под выражениями вида zksh понимается сумма по повторяющемуся индексу
Предположим, что при всех t Є [О, Т] справедливы соотношения /3*(*)Є СЧМ), А = 1,2,
М*)Л*(*) Є С([0,Т]), 6*к(*) > |i, 3,к = 1,2;
К*) є с([о,т]), »/(*)> о /(*, 0) ^ 5, Л(і, 0) > 5, /^ 5 = const > 0.
Предположим также, что функции F{t,y), Я(і,у), Vq(j/), v{y) в Gp.T] удовлетворяют неравенствам \yk+eP\ + \yk+vl\^C, 4 = 0,1...,5, |у*+ЄЯI + \yk^v\\ < С, 4 = 0,1...,6, dyVQ
Здесь и далее иод С будем понимать некоторые неотрицательные постоянные вообще говоря, различные, є — произвольная постоянная, удовлетворяющая условию 0 < є < 1 Имеет место
Теорема 1. Пусть выполнены условия (1 7), (1.8) и при всех і Є [0,Т] справедливо соотношение _2кя[ J (1+1^2+^3)1^]dy>dj d = consf > 0 (19)
Тогда задача (1.5) - (1.6) в G^t] имеет единственное решение (v1^2) класса C^(<5[(Vr]) = {/|/ Є C(G^T]),^ Є С(<5[0]Т])}; удовлетворяющее соотношениям (і + М5+є)И + (і + |у|6+є)И+ + (і + М1+) \ < С. (1 10)
Для обратной задачи (1.1)-(1.3) справедлива
Теорема 2. Пусть выполняются условия (1.7), (1.8) и (1.9). Тогда со- отношения uk{t, х) = Re /* u*(i, у)е*»кЛ/, fc = 1,2, -boo +oo 5J(*) - Re ( 7] - mlfc / yvkdy + 1// yVdy ГЧ*, 0), -oo —oo <72(i) = Re 72 - ий У Л J Л-Ч*, 0) определяют единственное решение задачи (1 1) (1.3) е классе Ct ^(^[о.т]) Здесь v — (-и1, г;2) — решение задачи (1 5)-(1 6)
Замечание 1. Условия (1 8). (1 9) сформулированы в терминах образов Фурье В диссертации приведен пример условий на функции f(t,x), h(t,x), ио{у)і ио{у)і гарантирующих, что их образы Фурье будут удовлетворять соотношениям (18), (19)
В 5 главы L проведено исследование поведение решения задачи (11)-(1 3) при t —> +СО В случае, когда h(t, х) = О такое исследование проводилось в [76]
Рассмотрим обратную задачу (11) - (13) в полуплоскости G[o!+OCl) = {(,x)\t ^ Q,x Є Е\\ и соответствующую ей прямую задачу (1 5) - (1 6) в полуплоскости G[0;+oo) = {&y)\t ^ 0,г/ Є Ег]
Предположим, что в Сг[о,+оо) справедливы следующие соотношения \ykF\ + \ykH\ + \ykvl\ + \ykvl\ < С, k = О,1, 2, 3, 3 + є (1 11) /Зж(*),/32(*) Є C\t ^ 0), і/ф.оц(t),M*) Є С(< ^ 0), |о„(і)| < С7, \b%3{t)\ ^ С, Ьи(і) 5» І* > 0, м = 1,2, (1.12) z/(i)> 0, /(,0) > 5>0, h(t,0)>5>0.
Кроме того, пусть существует t* такое, что для всех t ^ tM имеет место неравенство M^MM^+I^I+It'WI+It'WI ^ <*(*), (і із) где a(t) таково, что / a(t) dt < оо о Пусть также при всех t ^ 0 справедливо соотношение ^2)0221 J (1 + |у|+у2)|Я| dy > Du Di = congt > Q (1 u)
Справедливы следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть выполняются условия (1.11) - (1 14), и
Ъц—j / {l+\y\+y2)\F\dy > D2, >2 ^ const > 0. (1 15)
Гозда для решения (w1^, ж), u2(i, #),(^(2), #2 (і)) задачи (1.1) -(1.3) е С[0;+Оо) гшетот место неравенства + у (I^M)! + І»І(г,а;)| + luLfoaOl) ^ < С, о } (1 16) (t,aO| + \ul{t,x)\+j (\и2{т,х)\ + Й(г,я)|) dr < С,
И*)1 + /|/ИМт<С; /с = 1,2.
Лемма 2. Пусть выполнены условия (1.11) - (1-14), а также при всех ai2(t) == 02i{t) ~ О, / v{t) dt < оо. о
Тогда для решенья (ul(t,x),u2(t,x),gl(t),g2(t)) задачи (11) - (1 3) е (?[о,+оо) имеют место неравенства (1 16)
Лемма 3. Пусть выполнены все условия леммы 1 Тогда если
Ы+Ы+Ы+^Ыт2! >о, і—Н-оо то для решения (и1,и2,д1,д2) задачи (1 1) - (1.3) имеют место соотношения Ііш ( sup |ufe(i,ж)[ + sup \u^.(t,x)\+ + sup !«*,.(<,x)| + |5*(i)|) - 0, ft = 1,2.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию обратной задачи для системы составного типа, состоящей из многомерного параболического уравнения и уравнения первого порядка Оба уравнения содержат неизвестную функцию источника
В многомерной полосе G[0ir] = {(t, ж,г)|0 ^t^-Т^хЄ En,z Е\] рассматривается задача идентификации тройки действительнозначных функций u(t,x,z) — (и1^,х,z),u2(t,x,z)), дг(і}х), g2{t,x), удовлетворяющих системе уравнений «J + Е u(*)ui, + ci(> х)и\ + Е М*> х)ик = г=1 Jt=i = Aw1 + i/(t, ж)и^ + д*(*, x)/(t, x, 2), (1 17) u? + E aa(*)«*!, + сг(*, x)v?x + E &2fc(*> x)«* =
1=1 A=l = ^2(t,x)/i(i,x,z), начальным данным п(0,ж,2г) = г*о(ж, 0), и0(ж,^) = (wj(ж, ^),^(3^))) (ж, .г) Є ^i+i, (1 18) и условию переопределения u(t, х, 0) = j3(t,x), j3(i,x)=(p\t,x),!3%x)), xtEn, іє[0,Г]. (119)
Здесь /3k(t,x) - заданные действительнозначные функции, удовлетворяющие условию согласования ад0(ж,0) =/3(0,2:), а? Є #„.
В [69] исследована обратная задача для одномерной системы составного типа, в которой т уравнений параболического типа и п уравнений первого порядка Неизвестная функция источника входит только в первые т уравнений и зависит только от переменной t Доказана теорема однозначной разрешимости "в целом" и изучено поведение решения при t —У +оо
С использованием преобразования Фурье обратная задача (1 17) - (1 19) приводится к прямой задаче идентификации пары функций vl(t./x,z), v2(t,x}z) в многомерной полосе G[o,r] = {(t, a;, g/)|0 = і ^ Т, ж Є Ет уеЕг] v] + aikvL - iyciv1 + biiv1 + bi2V2 = Avl - y1vv1+ v J y\ldy J f-1(t,xiO)F(t,xyy), (1 20) —oo / Vf, + d2kvlk - iyC<2,V2 + 62lV + h2V2 —
Здесь F(t,x,y), #(і,ж,ї/), Vq(s,j/) — образы Фурье функций f(t,x,z), h{t,x,z) Uq(x,z) соответственно, ^(t^x) = j3} + Ь\фк + аіфі — Д/3\ j2(t, х) — j3f + Ьчфк + а2іРхг Под выражениями вида а/6(, a&6fc понимается сумма по повторяющемуся индексу
Предположим, что коэффициенты в (4 1) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие при і Є [0,Т], х Є Еп следующим условиям- \Daxck{t,x)\^C, \D«v{tyx)\^C, *(*,«)> О, \ЩЬзк&х)\ К С, hk{t,x) ^ 60 > 0, (1 22) \D«/3k(t:x)\ + \D*p\t,x)\t:C: j,* = 1,2, Н<3, /(t, ж, 0) > 5, /i(t, ж, 0) > 5, 5 = const > 0. Предположим также, что функции F(t, ж, у), H(t,ж,у), ^(ж,у), ^(ж,у) в G\q}t] удовлетворяют следующим соотношениям \yk+D-F\ + \yk+eDaxH\ + \yh+W%vl\ + \ук+єоуо\ ^ С, \а\ <3, A = 0,1,...9, yk^~D*F
,к-\-є тла тт \<Х„,1 у дуихщ .fc+є г~Іуо>і (123) \а\ < 2, к = 0,1,...9.
Здесь С — некоторые константы, є — произвольная постоянная, удовлетворяющая условию 0 < є < 1
Справедлива следующая
Теорема 3. Пусть выполнены условия (1 22), (1.23). Гогс'а для любого фиксированного Г > 0 существует решение задачи (1 20), (1 21) б классе C^(G[0,T]) = {f\D*f Є С(<5[0,т]),М ^ 2;f Є C(Gm)}, для которого справедливо соотношение а + ьі5+)і^і + (і+іуі1+)к"і+ + (1+ \y\^s)\Daxvk\ ^ С, \а\ = 1, 2, ft = 1, 2.
Для решения обратной задачи имеет место
Теорема 4. Пусть выполняются условия (1 22), (1 23) ТЬгда решение задачи (1 17) - (1.19) в классе C}^z{Gm) = {f\DaJ Є C(Gm\ \a\ < 2, -gpr Є C(G[o5y]);-^- Є C(G[o,T])} существует, единственно и определяется соотношениями *(*, ж, z) = Re f v*(i, ж> 2/)е^ <&> fe = 1,2, (1 24) g\t,x) -Re 71- ta f yvldy + v f y2vldy /^(^,0),
7~ x " ' (1-25) g%x) - Re ( 72 - ІС2 J yv2dy J ^(^,0).
Здесь (и1,-и2) — решение задачи (1 20) - (1 21)
Замечание. Условия (1 23) сформулированы в терминах образов Фурье В диссертации приведен пример условий на функции /(і, х, у), h(t, х, у), и\{х,у), UQ(x,y) при выполнении которых образы Фурье вышеперечисленных функций будут удовлетворять соотношениям (1 23)
В 5 главы 2 исследованы вопросы стабилизации решения задачи (1 17)-(1 19)
Рассмотрим задачу (1 17) - (1 19) на множестве
С[0]+оо) = {(*, х, z)\t ^ 0, х Є ?n, z Є Ej}
Основные результаты о поведении решения задачи (1 17)-(1 19) при і -Л +00 сформулированы в следующих леммах
Лемма 4. Пусть в С[о]+Оо) выполнены условия (1 22), (1 23); а также M^i-a/^^' + ^^'a + M + ^IFft,,^)^- -2\b2i(t,x)\^Dt h2{t,x)-2 l '^^'a + M + y^lgft.g.rilrfy- -2|Ь12(ї,ж)|>І).
М*,аО| + И*,яг)| M^L , 1.1 , ..2s (126)
Здесь D > 0 - некоторая постоянная.
Тогда, если для всех (t, х) Є G[0,+oo) справедливо соотношение f {b%x)\ + \^(ttx)\)dt^Ct то в G[o)+O0) имеет место неравенство \ub(t, x, z)\+\ukz(t, x, z)\ + \ukzz(t, x, z)\ + \gk{t, x)\ < C, * = 1, 2. р > 1— const
Лемма 5. Пусть в G[o.+oo) выполнены условия (1 22), (1 23), (1 26) и 8ир|7Ч01+*пф|72(*)1<:гП:
Тогда в G\q!+00) имеет место соотношение (к = \.,2) lim [ V^ sup uk(t,x,z)
Н- sup |д*(*,ж)| I =0.
Третья глава диссертации посвящена вопросам стабилизации решения обратной задачи для многомерного уравнения параболического типа при t - +оо
В многомерной полосе G[o,+oo) = {(t,x,z)\ t ^ 0, х Є ^, Є Е{\ рассматривается задача Коши щ = Lx{u)+a(t)uzz+b(t)uz+c(t)u+g(t,x)f(t,x,z), u(0^x,z) = v,o(x,z), х Є Еп, z є Ex. Здесь Lx{u) = ^ a,*(t)^^ +^^(t)^, (127) (128) /х|Є]2 ^ Y, а3кШ& v eEn,te [О, Г], д = const > 0.
Коэффициенты ctjfe(t), dj{t), a(t), b(t), c(t), f(t,xyz) — непрерывные, действительнозначные функции своих аргументов, заданные при t ^ 0 и в С?[о!+00) соответственно Коэффициент g(t,x) является неизвестным и подлежит определению одновременно с функцией u(t, х, z)
Пусть выполняется условие переопределения u{t, х, 0) = 0(t, х), х Є Еп, t Є [0, Т], (1 29) где /3(t)~ заданная действительнозначная функция, удовлетворяющая условию согласования мо(Ж)О) = (0,2:), х Є Еп.
Теоремы существования и единственности задачи (1 27)-(1 29) доказаны в [74] В [69] проведено исследование поведения решения при t -л +оо для обратной задачи вида (1.27)-(1.29) в случае одномерного параболического уравнения
В предположении, что функция u{t,x,z) допускает преобразование Фурье по переменной z, приходим к задаче Коши для линейного интегро-дифференциального уравнения в С?р,+оо) — {(*>#> 2/) I 0 = t ^ Т\ х Є Еп, У^Ег} vt = Lx(v) — ay2v + tybv -j- ст+ ( у у \ (130) + Re 7 + a / y2vdy~tb / yv dy\ f \t,x,0)F(i,x,y), \ —oo — oo / v{Qtx,y)=vQ(xty). (131)
Здесь 7(i, х) = ft(t, x) - c(t)/3(t, as) - Lx{j3{t, x))
Предположим, что входные данные в G[0)+oo) удовлетворяют следующим условиям:
IM*)I + M*)l + И*)1 + ІВДІ + И*)1 * С, j, А = 1,2,
1^/3^,^)1 + 1^^(4^)1^(7, (132) /(t,ar,0) >>0, c(t) < 0.
Пусть для функций F(t,x,y) и г>о(з;,2/) в G[o,+oo) справедливы соотношения І^ОД + \yk+sDaxvQ\ < С, |а| = 3, А; = 0,1,.. .3, a a (133) |or| ^ 2j fc — 0,1, -.. 3, С, є = const > 0, є < 1.
Основные результаты исследования поведения решения задачи (1 27)-(1 29) при t —> +оо можно сформулировать в следующем виде
Лемма 6. Пусть в Gp,+
Лемма 7. Пусть в G[qi+0O) выполняются условия (1.32), (1.33), (1-34) и справедливо неравенство sup |7(*)| ^ 77"^> Р = const > L хЕп L+tv
Тогда для решения задачи (1 27)-(1 29) имеет место соотношение lim у^ sup u(t,x,z) + $щ>\д(і,х)\ ) =0.
Автор выражает благодарность научному руководителю Ю Я. Белову за помощь и ценные советы при работе над диссертацией, Т.Н. Шипиной за прочтение текста диссертации и полезные замечания, а также всем участникам семинара кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Красноярского госуниверситета за поддержку и активное обсуждение результатов
Вспомогательные утверждения
В данной главе приводятся некоторые обозначения, а также вспомогательные утверждения и теоремы, которые используются при дальнейшем изложении
1. Некоторые обозначения
Обозначим символом Еп n-мерное евклидово пространство действительных чисел Точку в Еп будем обозначать х = (ееi, ., хп)
Пусть а — мультииндекс, то есть а — (с*і,..., ап), где аг — целые неотрицательные числа, |а| = Y1 аг Под обозначением D"f(x) будем по- нимать частную производную функции f(x) порядка \а\: Daf(x) = df^
Символом Ck(Q) будем обозначать совокупность всех к-роз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на Q При к = 0 вместо С(П) будем писать С (О,) Здесь О, — некоторая область в Еп,иод Q будем понимать замыкание Q, Если в Ск(ї) ввести норму ||/||=^тах|^ч>)|, то пространство Ск(С1) превращается в банахово пространство [43]
Под обозначением Ct'x(Q,) будем понимать множество функций, непрерывно дифференцируемых в Q по t до порядка к включительно, по ж-до порядка I включительно Символом Ct'J^{Q) будем обозначать множество функций, иепрерывно дифференцируемых в Q по t до порядка к включительно, по х — до порядка I включительно и по z до порядка т включительно
Для сокращения объема изложения вводятся также следующие обозна-
А [Л] чения: Y\ = Y1 \у\3 в случае, если А - целое и Y\ = ^ \у\3 + \у\ если А не целое. Под символом [А] понимается целая часть А.
Под выражениями вида афі, афк будем понимать сумму по повторяю- щемуся индексу, то есть, например, ауу\. — ^a-iivl , b\kVk = ^ b\kVk
1=1 /:=1
2. Неравенства
Неравенство Коши. Для любых действительных чисел а ^ О, Ь ^ О справедливо неравенство аЪ < - ( га2 + -Ь2 ] , є > 0.
Неравенство Горонуолла. Пусть неотрицательная, измеримая и ограниченная на отрезке [0, *] функция г/() удовлетворяет неравенству t y{t)^C + j(A + By{T))dr, где постоянные A, S, С > 0 Тогда если 5 > 0, при 0 = t ^ t* имеет место оценка
Если В = 0, то
3. Теорема Арцела
Рассмотрим ограниченное в Еп множество Q и пространство С (О) непрерывных на Q функций /(ж) с нормой ||Л1с(П) = иіах|/(ж)|
Определение. Множество М нормированного пространства X называется компактным, если из каждой последовательности {_хп} С М можно выделить фундаментальную последовательность.
Определение. Говорят, что функции множества М равномерно ограничены в С(ІЇ), если существует постоянная К, такая что Н/Ц^П) ^ ^ Для всех / є М
Определение. Говорят, что функции множества М равностепенно непрерывны в Q, если для любого є > 0 существует S — 8(є) > 0, такое, что для любых х\х" Є П, удовлетворяющих неравенству \х' — х"\ < 5, имеет место неравенство \f{x!) — f{%")\ < > выполняющееся для всех / Є М
Теорема 1 (Арцела) [35] Для того, чтобы множество М С C(Q) было компактно в С (О,), необходимо и достаточно, чтобы функции из М были равномерно ограничены в С (О,) и равностепенно непрерывны в Q
4. Принцип максимума для параболического уравнения второго порядка
Рассмотрим для уравнения L(u) = /M, (2 1) где дифференциальный оператор L имеет вид задачу Копій в области G[o,t] = {(, ж)|0 ^ t ^ Т,х Є Еп} найти непрерывную в G[0i
Считаем, что коэффициенты уравнения удовлетворяют соотношениям a»j(*i3) =«j,!(<, &)»*, J = !."» 0< J^Oy^.a;)^, (2.3)
Кі(*іЯг)^с(и2 + і), |ь(*,*)|<с(м2 + і)1/2, , ч (2 4) c(t, х) < С, С = const > 0.
Теорема 2 (принципа максимума). Пусть и — классическое решение задачи Коши (2 1); (2 2), ограниченное снизу —d
Тогда всюду в G[o,ti справедливо неравенство \u{t,x)\ ^eMt(Nt + q).
Доказательство вышеприведенной теоремы а также других теорем принципа максимума дано в [27]
5. Метод слабой аппроксимации
Общая формулировка метода слабой аппроксимации
В банаховом пространстве В рассмотрим задачу Коши _-+L(t)« = /(*), іє[0,Т], и(0) = и0, (2 5) где L(t) - нелинейный неограниченный оператор с переменной областью определения D(L(t)), причем при каждом фиксированном є [О, Г] оператор L(i) отображает D(L(t)) вЗ.
Пусть L = L„ / = /, и p\D{Lt(t)) С Л(ОД). Мы счита- 1-і «=1 »—і ем, что операторы Lt(t) отображают D(Lt(t)) в В и функции ft(t) Є В, г ~ 1,. . , m
Наряду с задачей (2 5) рассмотрим семейство задач, зависящих от па- раметра г dt Здесь f LT{t)uT = frit), *є[0,Т], ur(0) = u0. (2 6) а функции а,,(т, і),/Зг(г,і) слабо аппроксимируют единицу, то есть для любых іі, 2 Є [О, Т] при т -» О / (о, (г, t) - 1) dt -+ 0, / (Д(т, ) - 1) dt -> 0.
Метод решения задачи (2 5), при котором в качестве приближенных решений ит, т > 0 берутся решения задачи (2 6) и решение и задачи (2 5) находится как предел при т —у О решений т/г ( — lim ит), будем называть т—i-Q методом слабой аппроксимации (МСА)
Часто коэффициенты аг(т, ), Д(г, *) выбирают в виде
I 0, в противном случае, n = 0,1,..., N - 1.
В этом случае нахождение решения ит задачи (2 6) сводится к решению последовательности задач Кош и: -\-rnLi(t)uT = mfi{t), т t Є (0, —1, ит(0) = wo, —первый дробный шаг, m пи т 2т~ —— + mL2(t)uT = mfyft), t Є (—, —], —второй дробный шаг at mm
В качестве начальных данных на этом шаге берется значение решения, полученного на первом дробном шаге в момент t = ^ Продолжая аналогичным образом, определяют решение на множествах [^, —],.. , ["-, т] Тем самым находят решение на интервале [0, г] - нулевом целом шаге После этого аналогично находят решение на множестве [т, 2т]- первом целом шаге, затем - на множестве [2т, Зт] и так далее Через конечное число шагов (число это равно N) решение ь7 находят ыа отрезке [0,Т] Задачу (2 6) называют расщеплением задачи (2 5)
Теорема метода слабой аппроксимации [74]
В полосе G[t0:il] = {(t, х,у) | to ^ t ^ t±, х Є Еп, у Є Е-\} рассмотрим интегродифференциальное уравнение — = Ф(і,іг, у,«,/(«)). (2 7)
Здесь и = щ-\-ги2, Ф = Фі + гФг комплекснозначные функции, функции Uk — щ(1;,х,у), Ф^ = Фь(*, %,у,й, J (и)) являются действительнозначными
Через й — (v^iV^y ...,t/p)) обозначена вектор-функция, компоненты которой определяются следующим образом i/> = v, i№ — вектор, составленный из производных первого порядка от V по х3, J = 1, . . , її, v^ — вектор, составленный из производных второго порядка от -и по ж и так далее; v^ — вектор, составленный из производных порядка р от v по х Таким образом, U ~ {V' Эх!1'"' дхп' &cj''"' &4'"*' дх{' "" dxpJ-Через J (и) обозначена вектор-функция J (и) — {jQ{u).Ji{v):...yJr(u)\ г > 0 - целое: Jk(u) = / ук u(t, х,у) dy, к = 0,1,..., г. —оо т
Полагаем Ф = J2 ^
Рассмотрим уравнение диТ m где функции ahT определяются соотношением aJiT — га, t0 + (п + ^)т < t ^ t0 + (п + )т, О в противном случае, гс = 0,1,...,7V- l;rN = ti-t0.
Уравнение (2 8) слабо аппроксимирует уравнение (2 7) Наконец, рассмотрим уравнение где вектор-функции Ф|(, а^у,!!7",/(и7")) есть некоторые аппроксимации вектор-функций ty3(t, ж, ?/,«% J(uT)), зависящих от г
Ниже будем рассматривать классические решения уравнений (2 7), (2 8), (2 9) Под классическим решением уравнения (2 8), (2.9) мы понимаем функцию и7", непрерывную вместе со всеми своими производными по X, которые входят в уравнение (2.8), (2 9), обладающую кусочно непрерывной производной и\ в полосе G[to!tr] (w[ может иметь разрывы лишь на гиперплоскостях t — (п + j/m), п — 0,1,..., N — 1, tN ~ tY — q, j — 0,1,..., rn — 1 и удовлетворяющую уравнению (2.8), ((2.9)) в (^]
Условие 1. Функции Ф; определены , непрерывны при (і, х, у) Є G[f0)fl] и любых значениях других независимых переменных
Условие 2. Пусть классическое решение иТк системы (2 9) в G[f(J)il] для всех Тк > 0 существует Последовательность {гіг*} сходится к некоторой вектор-функции и в G[i0jtj] вместе со всеми производными по ж, входящими в (2 7), и эта сходимость равномерная в GW11 = {(, ж, у) | to 5 ^ іь ІЖІ ^ М, у 6 І?і} для всех фиксированных М
Условие 3. Интегралы Jj{uTh) сходятся абсолютно и равномерно по тк и (t,x) Є П[Мі] = {(*,ж) Mo ^ t < ti, а; Є #«} Интегралы J3(u) сходятся абсолютно и равномерно при (і, х) Є П^^і, и «7j(iijQ сходится к Jj (г*) равномерно в Пі-5 t > для всех фиксированных М при т& -> О
Условие 4. Для всех фиксированных М lam max |Ф'(і,ж,у,гГ*, /(и7"*)) - Ф^^аг^.й11, 7(гіи))| = 0,
1 'її
3 =0,1,...,7-. Здесь М > 0 -константа в условиях 1-4
Теорема З (МСА). Пуст,ь условия ї~4 выполнены Тогда вектор-функция u(t, ж, у) есоть решение системы (2 7) в (^]
Доказательство данной теоремы приведено в [74] (см доказательство теоремы 2 2)
Теоремы существования и единственности решения вспомогательной задачи
Задачу (3 9), (3 10) аппроксимируем задачами Коши для линейной ин-тегродифференциалы-юй системы обыкновенных дифференциальных урав- В данной задаче переменная у Є [—ЛГ, Ж] играет роль параметра Используя метод последовательных приближений, можно доказать, что при фиксированном N данная задача для любого конечного Т 0 имеет единственное решение {у1 ,у), v2,N(t,у)), принадлежащее классу С\ у (G№T ) А из теоремы о дифференцируемости решения по параметру (см, например, [45]) следует для каждого фиксированного номера N существование в Gj yi непрерывных производных vty , vjjj,N, к = 1,2 Нетрудно показать, что vk N(t, у) - 0 при \у\ JV, fc = 1,2 Покажем равномерную ограниченность последовательности решений Пусть Покажем, что множество пар функций (yl N, v2 7 ), удовлетворяет теореме Арцела о компактности в С (К,) для любого компакта К С G[O,T\ Так как равномерная в G[Q,T] ограниченность этого множества имеет место в силу (3 29), (3 30), то следует доказать его равностепенную непрерывность
Для этого достаточно показать равномерную по N ограниченность функций Разрешив уравнения системы (3 13) относительно v] , vt и воспользовавшись оценками (3 25)-(3 26), (3 29)-(3 30), получим неравенства Для доказательства ограниченности множества {vk,N} продифференцируем задачу (3.13)-(3.14) по у. Обозначим Vk,N = vk N, к — 1,2. Из (3 4), (3 8), свойств функций SN и неравенств (3 25),(3 26), (3 29),(3.30) следует, что функции Ff F равномерно по N ограничены Рассуждая так же, как и при доказательстве ограниченности семейства пар функций (v1,N\v2,N), получим, что для почти всех t Є [0,Т] имеет место система неравенств Доказано, что множества {Vy N}, к = 1,2 ограничены в G[o,r] равномерно по N Используя неравенства (3 31), (3 33). (3 34) можно показать равностепенную непрерывность семейства функций {v1,N ,v2,N} в G[o,r] Следовательно, выполнены условия теоремы Ар цел а на каждом компакте /С С G[Q p]
Диагональным методом выберем подпоследовательность (обозначения не меняем), сходящуюся в полосе GfO;T] Заметим, что согласно теоремы Арцела выбранная подпоследовательность будет сходиться равномерно на каждом компакте в G[o,T]- Функции W1, W2 являются непрерывными и в силу (3.29), (3.30), (3.35) удовлетворяют неравенствам Покажем, что функция W = (W1, W2) является решением задачи (3 9), (3.10) Заметим, что оценки (3 29), (3 30) гарантируют выполнение следующих соотношений. Для того, чтобы показать, что функции Wl, W2 удовлетворяют системе (3 9) разрешим уравнения системы (3 13) относительно vt и vt i и проинтегрируем по і на интервале (0,). Затем перейдем к пределу в полученных соотношениях при А —У оо и результат предельного перехода продифференцируем по t Выполнение начальных условий (3.10) для W очевидно Заметим, что непосредственно из системы уравнений (3 9) с учетом соотношений (3.36) вытекает следующее свойство решения задачи (3.9) - (3 10) Покажем теперь, что решение задачи (3 9), (3 10) единственно Предположим существование двух различных ее решений (v\,Vi) и (yl, vf) класса Ct-y(G[0,T})- удовлетворяющих соотношениям (3.36). Очевидно, что функция w = (w1, ш2), где ш1 = v\ — г 2, w2 = v\ — v\ является решением задачи
Теоремы существования и единственности задачи идентификации
Нетрудно доказать, что функции (и1, и2, g1, g2), определяемые соотношениями (3 38), (3 39), удовлетворяют системе (3 1) и начальным условиям (3 2) Для этого достаточно, учитывая оценки (3 36), (3 37), применить обратное преобразование Фурье к задаче (3 9), (3 10) и выделить из полученных соотношений действительную часть Покажем, что для u1 , х), u2(t, х) выполнено условия переопределения (3 3). Рассмотрим уравнения системы (3 1) в точке ж = 0с учетом (3 39) Обозначая A1 (t) = uT(i,0) - /31 (t), A2() = u2(i,0) - /32 (t) и учитывая условия согласования (3.5), получаем, что функции A1(t), A2(t) являются решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными данными Ах(0) = О, А2(0) = О Очевидно, что данная система имеет единственное решение Л1 = О, А2 = 0 и, следовательно uk{t,0) = /3 (), fc = 1,2, f Є [0,T] Таким образом, показали, что условие переопределения выполнено Покажем, что решение задачи (3 1) - (3 3) единственно Пусть U — (и1, и2, д1}д2) и U — (її1, її2, д1, /2) — два различных решения задачи (3 1) - (3 3) Введем функции Рассмотрим уравнения системы (3 41) при ж =0 с учетом (3 42) и выразим неизвестные коэффициенты а1 (і, ж) и а2(і, ж) из первого и второго уравнения соответственно Подставляя полученные выражения в (3 41) Из последнего неравенства следует, что при t - - выполнено соотно- 2 2 шение У !$?( )! = 0 Следовательно, ги (, ж) = 0 при (, х) є G[o,i/ceo) Повторяя рассуждения для t є [I/C50, 2/() получим, что іий(, ж) — 0, в [І/СБО,2/С50) Через конечное число шагов докажем, что wk = 0 в С т], на основании чего легко доказать, что U = U в G[o,r] Теорема 2 доказана. Замечание.
Для того, чтобы образы Фурье функций и$(х), UQ(X), F(t,x), H(ttx) в G[o,r] удовлетворяли условиям (3 8) достаточно потребовать чтобы при всех t Є [0,Т] были справедливы соотношения Рассмотрим задачу (3.1) - (3.3) в полуплоскости [(),+оо) — {(t- x)\t 0, а; Є Е{\ и соответствующую ей прямую задачу (3 9) - (3 10) в полуплоскости Gp +oo) — {( 2/Ж 0, у Є Е{\ Предположим, что в G[Q!+0O) справедливы следующие соотношения Здесь и далее под С и С3 понимаются некоторые константы, вообще говоря, различные, зависящие, может быть, от входных данных и не зависящие от Т Кроме того, пусть существует такое, что для всех t t имеет место неравенство где a(t) таково, что / a(t) dt о Пусть также при всех t 0 справедливо соотношение Зафиксируем некоторое T 0 и рассмотрим задачу (3 9), (ЗЛО) в полосе Gm ті Исследуем поведение ее решения при t —у +оо Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 1, приведенной в 3 настоящей главы, получаем, что решение (г?1, г?2) задачи (3 9), (3 10) удовлетворяет системе неравенств которые имеют место для почти всех t Є [О, Т] Заметим еще раз, что Т О — произвольное фиксированное число.
Проинтегрируем второе неравенство в (3.55) по t на промежутке от 0 до t, t Є [О, Т]. Затем, умножив неравенство на Y , проинтегрируем его по у от —оо до +оо Перенося член, содержащий интеграл от г 2, в левую часть, получаем Рассмотрим теперь первое неравенство в системе (3 55) Проинтегрируем его по t на промежутке от 0 до , t Є [О, X]. Затем, умножив неравенство на Y2, проинтегрируем его по у от — оо до +оо: Заметим, что полученные оценки (3 59), (3 60) справедливы для любого Т 0 Данное обстоятельство позволяет утверждать, что для функций u1(t,x) и2(,ж), д1 ), g2(t)} которые являются решением обратной задачи (3 1) - (3 3) и связаны с решением прямой формулами (3 3S) - (3 39), справедливы неравенства (3 54) Лемма 1 доказана. 54 Лемма 2. Пусть выполнены условия (3 49) - (3 52), а также при всех t О аї2{і) = 02i(t) = О, +00 (3 61) dt оо О Тогда для решения (ul(t,x),u2(t,x),gl(t),g2{t)) задачи (3 1) -(3 3) в G[0]+co) имеют место неравенства (3 54) Доказательство. Из (3 56) при Й21 = 0 следует неравенство Первое неравенство в системе (3 55) в этом случае примет вид И Усилим (3 63), отбросив неотрицательный член vy \v в левой части. Затем умножим неравенство на Y2 и проинтегрируем по і от 0 до і, і є [О, Т] Проинтегрировав получившееся соотношение по у от —со до + со и воспользовавшись условиями (3 49) - (3 51), получаем
Теоремы существования и единственности задачи идентификации
Применяя обратное преобразование Фурье к задаче (4 1), (4 2), учитывая при этом (4 13), нетрудно видеть, что функции (u1,it2,51)52)f определяемые соотношениями (4 41) - (4 42), удовлетворяют системе (4 1) и начальным условиям (4 2) Проверим выполнение условия переол ределеиия Рассмотрим уравнения системы (4 1) в точке z — 0 я примем во внимание, что Обозначая A1 ) = иг(і,х,0) - {t,x), X2(t,x) = u2(t,x,Q) - 02(t,x) и учитывая условия согласования (4 4), получаем что функции Xі (t: х), X2(t, х) являются решением задачи с начальными данными А1 (0, ж) = 0, А2(0,ж) = О Введем функции Применяя принцип максимума к первому и второму уравнениям системы (4 43), учитывая при этом начальные данные и монотонное возрастание го уравнения соответственно Подставляя полученные выражения в (4 44), приходим к прямой задаче определения пары функций (w1, )2) Применяя принцип максимума к первому и второму уравпояиям в (4 46), учитывая при этом (4 47) и монотонное возрастание функций Ф (), ФЦі), получаем гі;2(і,Ж,г)1 С18(ФК )+Фо( )) Продифференцировав уравнения системы (4 46) по z, аналогичным образом получим неравенства Из последнего неравенства следует, что при t - - выполнено соотношение 2 2 2 z №i(t)\ — Следовательно, wfc(t, ж, г) = 0 при (t,x,z) Є G[o,i/c23] Повторяя рассуждения для t Є [І/С23, 2/С23], получим что tuft(t, ж,,г) = 0 в G[i (723i2/c23]- Через конечное число шагов докажем, что wk = 0 в G[O,T] Теорема 2 доказана. Замечание.
Для того, чтобы образы Фурье функций UQ(X,Z), UQ(X,Z), F(t,x,z), H(t,x,z) в Gpp\ удовлетворяли условиям (412) достаточно потребовать чтобы при всех і Є [0, Т], х Є Еп были справедливы соотношения Рассмотрим задачу (41) - (4 3) в неограниченной области G[o,+oo) = {(ti%,z)\t 0, х Є I?n, z Є -Еі} В предположении существования преобразования Фурье функций и1, и2 по переменной z задача (4 1) -(43) приводится к прямой задаче для системы линейных интегродиффе-репциальных уравнений-(4 10) - (4 11) в области Cq0,+oo} = {( Ж Ї/Ж 0; х Є Еп,у Є Еі} Предположим, что входные данные в Сг[о,+оо) удовлетворяют условиям (4 5), (4 12), тогда при каждом фиксированном Т 0 решение задачи (4 1)-(4 3) в области G[o,r] = {{t, %,z)\ 0 = і = Т, же Еп, z Є Ej} согласно теоремы 2 4 настоящей главы существует, единственно и выражается через решение прямой задачи (4 10) - (4 11) соотношениями (4 41) - (4 42) Для исследования свойств решения задачи при і -л со применим метод слабой аппроксимации Рассмотрим расщепленную задачу (4 29) - (4 31) Доказано (см доказательство теоремы 1 3 настоящей главы), что при любом фиксированном Т 0 последовательность {V,T1, v2,Tk} решений расщепленной задачи (4 29) - (4 31) сходится к решению {vl,v2} задачи (4 10) - (4 И) Прежде чем перейти в исследованию свойств решения поставленной за-дачи, докажем следующее утверждение Лемма 3. Пусть y(t) — неотрицательная функция, непрерывная на любом отрезке [to, to + Щ (& 0) о 0) удовлетворяет неравенству и условию у (to) = /t0j где a(i), b(t) - непрерывные на [to, to + #] функции, удовлетворяющие на этом интервале соотношениям Тогда для ecext Є [to, to + 0] выполнено неравенство Проинтегрировав полученное неравенство по і на интервале (to,t), і Є [to, to+0] и разрешив результат интегрирования относительно г/(і), получим утверждение леммы Обратимся к расщеп л еной задаче (4.29) (4 31) Зафиксируем некоторое Т 0 Рассмотрим задачу, решаемую на втором дробном шаге m-го шага, а именно, систему (4 30) в области Gm = {(t, х, у)\(т+ )т і (га + 1)г, х Епу Є -Єї} с начальными данными Здесь vk T(x,y) — значения функций vk T{t,x,y)1 полученные на предыдущем дробном шаге при t = (т гт т Так как оценка (4.64) справедлива для любого Т О, то (4.64) имеет место всюду в С?[о,+оо)- Данный факт позволяет утверждать, что для функций иг(і,х,z), u2(tfx}z), дг(і,х), g2{t,x), которые являются решением задачи (4 1) - (4 3) и связаны с решением задачи (4 10) - (4 11) формулами (4 41) - (4 42). справедливы неравенства (4 56)
Приведение к прямой вспомогательной задаче
Предполагая, что функция u(t, х, z) допускает преобразование Фурье по переменной z, приходим к задаче Коши для линейного интегродифферен-циального уравнения в области (?р)+0О) = {{t,x,y)\ 0 t = Т, ж Є Еп: / Лт} Из (5 5), (5 8), (5 23) видно, что функция Ф(і,х,у) удовлетворяет условию (5.14) и, следовательно, для задачи, решаемой на втором дробном шаге, справедлива лемма 1, а для задачи, решаемой на первом дробном шаге — теорема принципа максимума для параболического уравнения Рассуждая так же, как и при получении оценки (5 23), получим, что для функции VT(t,x,y) справедливо неравенство Производные функции vr третьего порядка по х легко оцениваются рав-номерно по г в Gmy] аналогичным образом, после соответствующего дифференцирования задачи (5.9) (5.11). Таким образом, в G[Q,T\ справедлива оценка Дифференцируя задачу (5 9) - (5 11) по х до второго порядка, а затем по у. всякий раз будем получать задачи вида (5.25) - {5 27) Учитывая уже полученные оценки; указанным выше способом нетрудно доказать, что в G[Q,T] равномерно no г выполняется следующее неравенство Оценки (5 24), (5 32)- (5 34) гарантируют равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность по г семейства решений {vT} в С?[0, Т] вместе с их производными по х до второго порядка включительно Применяя теорему Арцела о компактности, диагональным методом можно выделить подпоследовательность { г} (обозначения не меняем) решений, сходящуюся вместе со своими производными по х до второго порядка включительно к некоторой функции w в G[Q,T]I причем равномерно на каждом компакте из Стдч Данный факт позволяет доказать (см доказательство теоремы 2 2 в [74]), что w - решение задачи (5 6) - (5 7) Ясно, что го є С,1;2 = {ПЩ( Є C(Gm), \а\ 2, U Є С(ё[оя1)} и в Обозначая rj(t, x) = u(t, x, 0) — /3(t, x) и учитывая условия согласования (5 4), получаем, что функция r)(t, х) является решением задачи Очевидно, что задача (5 38) - (5 39) имеет единственное классическое решение 7](t, х) = О Таким образом мы показали, что любое решение задачи (5 6), (5 7), удовлетворяющие соотношениям (5.35), определяет решение задачи (5.1)-(5 3), которое дается формулами (5.36), (5.37). Исследуем поведение решения задачи (5 2) - (5.3) при t —ї -boo. Для этого получим не зависящие от Т оценки для решения задачи (5 6) - (5 7) в области ?[о,т] Лемма 3.
Пусть в Gm+oo) выполняются неравенства (5 5), (5 8) и имеет мест.о соотношение Обратимся к расщепленной задаче (5 9) - (5 11) Рассмотрим задачу, решаемую на втором дробном шаге m-го целого шага, а именно, уравнение (5 10) в области Gm = {(t, х, у)\{т + \)т t (т + 1)г, х Є Епу Є Е1} с начальными данными Здесь vT(x,y) — значение функции vT(t,x,y)i полученное на предыдущем дробном шаге при t — (m + )т Рассмотрим следующий целый шаг [т = 1) Из теоремы принципа максимума следует, что на первом дробном шаге выполнено неравенство Отсюда и из (б 46) получаем, что на втором дробном шаге первого целого шага справедливо неравенство
Продолжая рассуждения, на втором дробном шаге второго целого шага получаем оценку Рассматривая последующие шаги, нетрудно убедиться, что на ттг-ом ша- Так как при любом фиксированном Т 0 при г —0 имеет место равномерная в G[O,T] СХОДИМОСТЬ последовательности решений vTk (і, ж, у) задачи (5 9) - (5.11) к решению v(t, ж, у) задачи (5.6) - (5 7) вместе со всеми производными по х до второго порядка включительно, то можно доказать неравенство Заметим, что неравенство (5.49) справедливо для любого фиксированного Т 0. Последняя оденка гарантирует, что для функций u(t,x,z), g(t, х), которые являются решением задачи (5 1) - (5.3) и связаны с решением задачи (5 6) - (5 7) формулами (5 36)-(5 37), справедливо неравенство (5 42)
