Введение к работе
Актуальность темы. Пусть Е комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (, ) и нормой || || и В, L линейные операторы, действующие в нем. Рассмотрим уравнение
But = Lu + f, te (О, Г), Г<оо. (0.1)
Краевые задачи для уравнения (0.1) представляют собой абстрактную форму многих краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, для интегро-дифференциальных уравнений. Даже в этот простейший класс уравнений входит значительное количество задач, возникающих в математической физике. Рассмотрим также уравнения
B(t)ut = L(t)u + f, *Є(0,Т), (0.2)
B(t)ut = G(t,u) + f, te(0,T), (0.3)
где B(t), L(t) - семейства линейных операторов, действующих в пространстве Е, G(t, ) - семейство монотонных операторов, действующих v.E.
Для уравнений Соболевского типа или близких к ним, а также и для некоторых уравнений, не принадлежащих соболевскому типу, корректна обычная задача Коши или задача близкая к ней. Иная ситуация в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева (как правило, это означает, что спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси). Ранее, в работах М.С. Бауэнди и П. Гривара, С.А. Терсснова, С.Г. Пяткова, Р. Билса, Н.В. Кислова, В. Гринберга, К.В.М. ваи дер Ми, X. Капера, Г. Леккеркеркера, А. Зеттла и др. были изучены корректные краевые задачи для модельных уравнений вида (0.2).
В абстрактной форме уравнения, не являющиеся уравнениями типа Соболева, рассматривали, например, Р. Биле, Н.В. Кислов, В. Гринберг, К.В.М. ван дер Ми и П.Ф. Звейфел, С.Г. Пятков. Эти авторы предполагали, что операторы L, В самосопряженные в гильбертовом пространстве Е, причем L либо положительный, либо неотрицательный с конечномерным ядром. Ставились краевые условия вида
Е+и(0) = и, Е~и(Т) = и? (Т < со), (0.4)
Е+и{0) = и+ (Т = со). (0.5)
где Е+ и Е~ - спектральные проекторы оператора В, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра. Для исследования этих задач применялись вариационные методы, основанные на проекционных теоремах типа Лакса-Мильграма, методы теории полугрупп и теории интерполяции, метод Фурье (разложение по собственным функциям). Доказаны теоремы существования решения задачи (0.1), (0.4) и ограниченного или убывающего на бесконечности решения задачи (0.1), (0.5). Было получено необходимое и достаточное условие единственности ограниченного на бесконечности решения. Решение уравнения было представлено в явном виде.
Итак, в вышеупомянутых работах предполагалось, что операторы Б, L самосопряжены. Естественным выглядит желание обобщить эти результаты в следующих направлениях: оператор L диссипативный; операторы В, L зависят от t; оператор в правой части нелинейный.
Пусть операторы L, В не зависят от параметра t. Тогда с уравнением (0.1) связана спектральная задача
Lu = ХВи. (0.6)
Центральное место занимает исследование вопроса о базиспости но Риссу собственных и присоединенных элементов задачи (0.6) в гильбертовом пространстве Fq с нормой
||u||Fo = \\\В\1'*и\\
(базис Рисса - это базис, ортонормированный относительно некоторого эквивалентного скалярного произведения данного гильбертовою пространства) . Пусть оператор В есть оператор умножения на веществен-нозначную функцию д{х) (г(1с Rn), a L - равномерно эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т, самосопряженный в Е = Ьг(П). Если функция д положительна или отрицательна в її, то результат по вопросу о базиспости является классическим. Если д меняет знак, то эта задача становится нетривиальной. Вопросы базиспости собственных и присоединенных элементов задачи (0.6) в этом случае стали исследоваться сравнительно недавно. Первыми работами, посвященными этим вопросам, были работа Р. Билса, М. Файермана и Г.Ф. Роуча, Г.К. Лангера и Б. Чургуса, С.Г. Пяткова. Ими найдены необходимые и достаточные условия, установлены достаточные условия, гарантирующие базисность по Риссу с.п.э. задачи (0.6).
После этого возник естественный вопрос: существуют ли операторы L, В такие, что собственные функции задачи (0.6) не образуют базис
Рисса в пространстве JFb? Первый пример такой функции, меняющей знак бесконечное число раз, был представлен С.Г. Пятковым. Еще один пример был построен А. Флейте. Недавно X. Волкмер установил некоторые результаты о плотности в случае т — 1 и п — 1. К сожалению, его доказательство, основанное на теореме Бэра о категориях, не было конструктивным и его статья не содержит нового примера.
Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача обобщить результаты вышеперечисленных работ на случай, когда оператор L равномерно диссипативен. Также рассмотрено более слабое условие: оператор L диссипативен и равномерно диссипативен на D{L) П М, где М - некоторое подпространство конечной коразмерности. Обобщение можно сделать и в следующем направлении: операторы В, L зависят от t, где операторы B{t) симметричны и обладают некоторой гладкостью и операторы L(t) равномерно диссипативны. Также исследовался вопрос о разрешимости краевых задач для квазилинейных операторно-дифференциалыгых уравнений вида с монотонным оператором в правой части. Дополнительно исследовалась структура функций д, для которых собственные функции задачи (0.6) не образуют базис Рисса в пространстве jFo (даже после соответствующей нормировки). Также рассматривался вопрос: как много существует таких весовых функций в различных пространствах.
Методы исследования. Для исследования указанных задач используются методы функционального анализа, в частности, проекционные теоремы, результаты спектральной теории, теории интерполяции, теории полугрупп, теории пространств с индефинитной метрикой.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
доказана разрешимость краевых задач для уравнения (0.2), установлено достаточное условие для единственности решения и исследована гладкость решения;
п случае Т < оо установлено существование решений краевых задач для уравнения (0.1), найдены достаточные условия для единственности и гладкости решения;
в случае Т = оо установлены необходимые и достаточные условия существования ограниченных и убывающих на бесконечности решений краевых задач для уравнения (0.1), найден критерий единственности ограниченного решения;
доказана разрешимость краевых задач для уравнения (0.3);
выделен класс нечетных весовых функций, для которых базис-ность но Риссу собственных функций задачи (0.6) в пространстве F0
места не имеет;
- показана плотность таких весовых функций в соответствующих пространствах.
Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Основная часть результатов носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче (0.1) с соответствующими операторами В и L. Данные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора A.M. Блохина, на семинаре профессора В.Н. Врагова, на семинаре профессора Т.И. Зеленяка, на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" в 1997 г., на Международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс".в 1999 г., на Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике в 1998, 2000 гг.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. В совместной работе [1] научному руководителю принадлежит постановка задачи, результаты автором получены самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц. Библиография содержит 114 наименований.
