Методы многозначного анализа в качественной теории дифференциальных уравнений Гельман Борис Данилович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений 40

1. Основные факты теории многозначных отображений 40

2. Непрерывные сечения многозначных отображений 47

3. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений 50

4. Однозначные сечения и аппроксимации пересечения много значных отображений 53

Глава 2. Неподвижные точки многозначных отображений 58

1. Сжимающие многозначные отображения 58

1.1. Квазиметрика Хаусдорфа 58

1.2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений 60

1.3. Многозначные сжимающие отображения зависящие отпараметра 65

2. Гомотопические классы. Теорема биекции 71

3. Вращение вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами 80

Глава 3. О некоторых топологических свойствах множеств решений дифференциальных уравнений и включений 86

1. Топологическая размерность множества решений дифференциальных включений 86

1.1. Топологическая размерность множества неподвижных точек многозначных отображений 86

1.2. О топологической размерности множества решений дифференциальных включений 93

2. Связность и ацикличность множества решений дифференциальных и интегральных уравнений и включений 106

2.1. Принцип связности Красносельского-Перова множества неподвижных точек многозначных отображений 106

2.2. Ацикличность множества неподвижных точек много значных отображений 112

2.3. Ацикличность множества решений интегрального включения Вольтерра 119

3. Точки покоя обобщенных динамических систем 126

4. О топологической структуре множества решений абстрактного уравнения Вольтерра 138

Глава 4. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений Соболевского типа 145

1.0 некоторых свойствах сюръективных операторов 145

2. Вырожденные дифференциальные уравнения с липшицевой правой частью 152

2.1. Разрешимость операторных уравнений с липшицевой правой частью 152

2.2. О разрешимости задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений 157

3. Вырожденные дифференциальные уравнения с компактной правой частью 162

3.1. Разрешимость и свойства множества решений операторных уравнений с а-вполне непрерывной правой частью 162

3.2. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений с компактной правой частью 175

4. О разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений 181

4.1. Существование решений и топологическая размерность множества решений операторных включений 181

4.2. Разрешимость задачи Коши для вырожденных дифференциальных включений 194

5. О решениях вырожденных дифференциальных уравнений с нечетной правой частью 197

5.1. Теорема Борсука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах 197

5.2. О некоторых приложениях теоремы Борсука-Улама 203

6. О некоторых задачах управляемости 205

6.1. Об управляемости нелинейных систем с липшицевой правой частью 206

6.2. Об управляемости нелинейных систем с компактной правой частью 209

Литература 215

• Непрерывные сечения многозначных отображений
• Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений
• Связность и ацикличность множества решений дифференциальных и интегральных уравнений и включений
• О разрешимости задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений

Введение к работе

Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась в середине 20-го века и сразу нашла многочисленные приложения в различных разделах математики: в теории управляемых систем (А.Ф. Филиппов [78], Т. Важевский [141], В.Г. Болтянский [9], В.И. Благодатских [6], Ж.-П. Обэн [85], Б.Ш. Мордухович [61], К. Дейм-линг [94] и др.), в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (Е.А. Барбашин [3], [4], А.Ф. Филиппов [79], [80] и др.), в теории дифференциальных игр (Н.Н. Красовский [50], А.И. Субботин [51], А.Б. Куржанский [56], [57] и др.), выпуклом анализе и теории экстремальных задач (Р. Рокафеллар [68], А.Д. Иоффе и В.М. Тихомиров [48], И. Экланд и Р. Темам [82], Б.М. Пшеничный [65], Ф. Кларк [49] и др.), в теории обобщенных динамических систем (Е.А. Барбашин [2], А.Д. Мышкис [62], Е. Роксип [139], К.С. Сибирский [66] и др.) и многих других.

Теория дифференциальных включений, которая возникла в работах С. Зарембы [142] и А. Маршо [124], [125], после работ А.Ф. Филиппова и Т. Важевского стала широко использоваться для описания управляемых систем с обратной связью. В настоящее время имеется несколько достаточно содержательных и подробных монографий целиком или в значительной своей части излагающих различные аспекты теории дифференциальных включений. К числу таких работ можно отнести монографии Ф. Кларка, Б.Ш. Мордуховича, А.А. Толстоногова, А.Ф. Филиппова, Ж.П. Обена и А. Челлины, К. Даймлинга и некоторых других.

Отметим, что подробная библиография но теории многозначных отображений и их приложений до 1990 года содержится в обзорах: [15], [16], [44].

Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида

f(x) Є Ф{х) х Є Ф(х).

Решения этих включений в различных задачах могут интерпретироваться как оптимальные стратегии, равновесные цены, оптимальные траектории, точки покоя обобщенных динамических систем и т.д. Включения такого вида естественно возникают в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других вопросах современной математики.

Современная теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С. Какутани [117], С. Эйленберга и Д. Монтгомери [98], А. Гранаса [113], И. Яваровского [115], А.Д. Мышкиса [62], Л. Гурневича [111], Ю.Г. Борисовича, автора, В.В. Обуховского и многих других. Отметим, что некоторые результаты работы Воронежской школы в этом направлении подытожены в обзоре [13].

В настоящий момент актуальной задачей является изучение топологических свойств множества решений операторных включений. Некоторые результаты в этом направлении были получены в работах Ж.-М. Ласри и Р. Робера [120], Б. Ричери [130], Ж. Сан Раймонда [137], автора [30] и др. Они интерпретируются как топологические свойства множества решений дифференциального или интегрального включения, свойства множества решений управляемой системы и т.д.

Интересные приложения теория многозначных отображений нашла при изучении вырожденных дифференциальных уравнений

(ax)' = f(t,x)

a(x') = f(t,x).

Сингулярные дифференциальные уравнения имеют много конкретных интерпретаций (см., например, монографии [70], [99] и библиографию в них). Одним из первых задачу Коши для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных, изучал С.Л. Соболев [72]. С тех пор уравнения такого вида принято называть уравнениями Соболевского типа. Абстрактные дифференциальные уравнения Соболевского типа изучались в работах [25], [47], [5], [69] и многих других.

Целью работы является доказательство новых теорем существования решений дифференциальных уравнений и включений и изучение топологических свойств множества этих решений, основанное на исследовании топологических свойств множества неподвижных точек многозначных отображений и множества решений операторных включений.

К главным результатам можно отнести следующие:

1. Доказаны теоремы о топологической размерности интегральной воронки дифференциального включения.

2. Доказана теорема об ацикличности множества решений интегрального включения Вольтерра и выделен класс обобщенных динамических систем (аппроксимируемые динамические системы), для которого удается доказать теоремы о существовании точек покоя.

3. Доказаны теоремы существования решений задачи Коши для нового класса вырожденных дифференциальных уравнений Соболевского типа у которых правая часть является липшицевой по второму аргументу. Исследованы топологические свойства множества решений таких уравнений.

4. Доказаны теоремы существования решений задачи Коши для нового класса вырожденных дифференциальных уравнений и включений Соболевского типа у которых правая часть является вполне непрерывной. Исследованы топологические свойства множества решений таких уравнений.

5. Исследованы свойства множества решений задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений Соболевского типа у которых правая часть является нечетной по второму аргументу.

В работе развивается операторный подход к исследованию поставленных задач. При этом используются методы многозначного анализа, нелинейного функционального анализа и топологии.

Работа состоит из введения и четырех глав.

Первая глава является вспомогательной. Она посвящена изложению основных фактов теории многозначных отображений. В ней излагается предложенный автором ([38], [43]) новый простой подход к доказательству теорем о непрерывных однозначных сечениях и ^-аппроксимациях многозначных отображений с выпуклыми замкнутыми образами, которые используются в дальнейшем на протяжении всей работы. Подробная библиография по непрерывным сечениям многозначных отображений содержится в работах [67], [136].

Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство, F : X —> P(Y) - многозначное отображение.

1.2.1. Определение. Непрерывное отображение f : X -» Y называется сечением многозначного отображения F, если для любой точки х Є X выполнено включение f(x) Є F{x).

1.3.1. Определение. Многозначное отображение G : X — P(Y) на
зывается є-аппроксимацией многозначного отображения F, если гра
фик Fx{G) отображения G принадлежит є-окрестности графика
Tx{F) многозначного отобраэюения F.

В случае, если G является однозначным непрерывным отображением, говорят, что G - однозначная ^-аппроксимация многозначного отображения F.

1.3.2. Теорема. Пусть F : X —> Cv(Y) - полунепрерывное свер
ху многозначное отображение, тогда для любого є > 0 существует
полунепрерывное снизу многозначное отобраоїсение F : X —+ Cv(Y)
удовлетворяющее следующим условиям:

1. F{x) = (Е (pj(x)Aj), где {_ej, - выпуклые замкнутые множества в пространстве Y;

2. F{x) С F_e(x) для любого х Є X;

3. график T_X(F) с U(T_X(F)).

4. F_e(X) С co(F(X));

Опираясь на эту теорему и теорему Майкла о сечениях, легко получается теорема Челины о существовании однозначных непрерывных ^-аппроксимаций.

Также в этой главе доказана следующая теорема.

1.4.2. Теорема. Пусть F{ : X —> Cv(E), і = 0,1,..., fc, - полунепрерывные снизу многозначные отображения, Gj : X —> Cv(E), j = 1,..., s, - полунепрерывные сверху многозначные отображения. Если для любого х Є X пересечение

((W))nm^))^0,

то для любого є > 0 существует непрерывное отображение / : X —> Е

удовлетворяющее следующим условиям:

5. f_e является непрерывным сечением многозначного отображения Fq;

6. для любого х Є X расстояние p(f(x), Fi{x)) < є, і = 1,..., к;

7. отображение f является є-аппроксимацией многозначных отобра-эюений Gj, j = 1, ...,5.

Вторая глава диссертации посвящена изложению основных фактов теории неподвижных точек многозначных отображений. Для многозначных отображений, также как и для однозначных, существует различные подходы к изучению неподвижных точек, это метрические (сжимающие многозначные отображения) и топологические. В настоящей главе коротко рассмотриваются оба эти подхода.

В первом параграфе этой главы изучаются многозначные сжимающие отображения и доказывается теорема о неподвижной точке, обобщающая теорему Надлера.

2.1.5. Теорема. Пусть X - полное метрическое пространство, Br[xq] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке xq. Пусть F : Br[xq] —> С(Х) многозначное отображение. Пусть существует число к Є [0,1) такое, что выполнены следующие условия: (l)p(x_Q,F{x₀)

2. для любой точки х Є Br[xq] пересечение F{x) П 5д[хо] ф 0,

3. для любых х Є -Вд[жо] и у Є (F(x)nBR[xo\) справедливо неравенство

p,(F(x)nB_R[x₀},F{y)) < kp(x,y). Тогда, для любого числа Ri удовлетворяющего неравенству

p(x_0}F(x₀) _X

существует неподвижная точка х* отображения F такая, что

Более того, среди неподвиэюных точек отображения F существует

точка х* такая, что

2 р(х₀,х*) < y-^p{x₀,F(x_Q)).

Также в этой главе изучаются многозначные сжимающие отображения, зависящие от параметра.

Пусть Е - банахово пространство, X - замкнутое выпуклое подмножество в Е, Y - метрическое пространство. Пусть многозначное отобра,-жение F : X х Y —> Cv(X) удовлетворяет следующим условиям:

(1) существует такое число к Є [0,1), что для любых х\х" Є X и
любого у ЄУ справедливо неравенство:

h{F{x\y)-F{x\y)

(2) многозначное отображение F - полунепрерывно снизу по совокуп
ности переменных.

Справедлива следующая теорема.

2.1.10. Теорема. Пусть выполнены условия (1), (2), пусть А - замкнутое подмноэюество в Y, f : А —> X - непрерывное отображение такое, что f(y) є F(f(y),y) для любого у Є А.

Тогда существует непрерывное отображение g :Y —> X удовлетворяющее условиям:

а) д(у) Є F(g(y),y) для любого у Є Y;

б) отображение g является непрерывным продоло/сением отображения
I, т.е. g\_A = /.

В качестве следствия этой теоремы, доказывается теорема о структуре множества неподвижных точек многозначных сжимающих отображений.

2.1.12. Теорема. Пусть X - замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства Е, F : X —* Cv(X) - многозначное сжимающее отображение. Тогда множество К неподвижных точек этого отображения является сильным деформационным ретрактом пространства X.

Эта теорема уточняет теорему Ричери [137], в которой доказано, что в условиях теоремы 2.1.12 множество К является ретрактом пространства X .

Вторая часть этой главы посвящена доказательству теоремы биекции для многозначных векторных полей и построению теории вращения (топологической степени). Теоремы биекции для различных классов многозначных векторных полей изучались в работах [И], [12], [16] и других. В настоящем параграфе излагается предложенный автором подход к этой проблеме.

Пусть v : X —> Е - фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, F : X —> Kv(E) - полунепрерывное сверху компактное многозначное отображение. Рассмотрим многозначное отображение ф = у — F : X —> Kv(E). Такое отображение называется многозначным векторным полем с главной частью v и компактной частью F. Пусть А - замкнутое подмножество в X, а В - компактное подмножество в Е.

2.2.4. Определение. Будем говорить, что многозначное компактное векторное поле Ф допустимо относительно пар (X, А) и(Е,Е\В), еслиФ(А) С (Е\В). Обозначим V((X, А); (Е,Е\В)) множество допустимых многозначных компактных векторных полей с главной частью

V.

Вводится определение гомотопности допустимых многозначных компактных векторных полей, которое является отношением эквивалентности в множестве

V((X,A);(E,E\B)).

Обозначим множество различных гомотопических классов

ЩХ,А);(Е,Е\В)].

Так как однозначное непрерывное компактное отображение является частным случаем полунепрерывного сверху компактного многозначного отображения, то в множестве

V((X,A);(E,E\B))

можно выделить подмножество

Щ(Х,А);(Е,Е\В))

- множество допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей с главной частью v. Для которых также определяется понятие гомотопности, которое также разбивает множество

V₀((X,A);(E,E\B))

на множество

М[(Х,Л);(Я,Д\Я)]

различных гомотопических классов.

Очевидно, что гомотопический класс поля <р из множества

Щ(Х,А);(Е,Е\В)]

вкладывается в гомотопический класс этого же поля из множества

ЩХ,А);(Е,Е\В)]. 15

Возникает некоторое отображение вложения множества

Щ(Х,А);(Е,Е\В)]

во множество

ЩХ,А);(Е,Е\В)].

2.2.6. Теорема. Отображение вложения

т-.Щ^АУ^ЕХВЯ^ЩХ^У^ЕХВ)],

устанавливает биективное соответствие между этими множествами.

Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов многозначных векторных полей с выпуклыми образами. В диссертации рассмотривается абстрактная схема этого построения.

Отображение

y:V₀((X,A);(E,E\B))->G,

называется топологическим инвариантом на множестве

V₀((X,A);(E,E\B)),

если из того, что

Ч>о,<РіЄЩ(Х,А);(Е,Е\В))

и сро гомотопно ері в этом множестве, вытекает, что 7(^о) = 7(^1 )

Множество Go С G называется существенным для топологического инварианта j, если, для любого поля

^Є₀((Х,А);(,\)),

из того, что у((р) Є Gq, вытекает, что В С ф(Х).

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве Т>((Х, А); (Е, Е \ В)). Справедлива следующая теорема. 2.2.8. Теорема. Пусть топологический инвариант

>r:V_Q((X,A);(E,E\B))-+G

такой, что множество Gq С G является для него существенным. Тогда существует единственный топологический инвариант

y:V((X,A);(E,E\B))->G

такой, что:

1. если <р = v — f - однозначное векторное поле, то у(<р) = у ((f);

2. еслиФ = и-Ее V({X, А); (Е, Е\В)) и у{Ф) Є G₀, то В С Ф{Х), т.е. множество Go такоісе является существенным для -у.

В заключение главы, основываясь на теореме 2.2.8, дается построение вращения (топологической степени) многозначных векторных полей и приводятся его свойства.

Третья глава диссертации посвящена изучению топологических свойств множеств решений дифференциальных и интегральных включений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [26], [30], [108], [32], [35].

Первый параграф этой главы посвящен исследованию топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений Каратеодоревского типа. Топологическая размерность множества решений других типов дифференциальных включений изучалась в работах [86], [87].

Изучение топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений основано на изучении топологи-

ческой размерности множества неподвижных точек многозначных отображений. Эта проблема изучалась в работах Ж. Сан Раймонда [130], автора [26], [30], [104] и др.

Говорят, что топологическое пространство X имеет топологическую размерность dim(X) < п, если в любое конечное открытое покрытие X можно вписать конечное открытое покрытие кратности <п + 1.

Из этого определения вытекает, что если существует конечное открытое покрытие пространства X такое, что в него нельзя вписать конечное открытое покрытие кратности < п, то dim(X) > п. Топологическая размерность обладает рядом замечательных свойств (см., например, [1], [45]).

Пусть Е - банахово пространство, U - ограниченное открытое множество в Е, F : U -* Kv(E) - компактное многозначное отображение. Обозначим Л^Ф, U) множество неподвижных точек F.

3.1.3. Следствие. 1) Пусть F : U —» Kv(E) - непрерывное компактное многозначное отображение. Если: (а)Ф = і-ЕвЩи,ди), (Ь)₇(Ф,ЇЇ)Ї0,

(с) dim(F(x)) > п для любого х Є U, то dim(ІУ(Ф,І7)) > п.

2) Пусть Т - ограниченное выпуклое замкнутое подмножество банахова протранства Е, пусть F :Т —> Kv(T) - непрерывное компактное многозначное отображение. Если dim(F(x)) > п для любого х ЄТ, то dim(N(i-F,T)) >п.

Справедлива также следующая теорема о локальной размерности множества неподвижных точек.

3.1.5. Теорема. Пусть F : U —* Kv(E) - непрерывное компактное

многозначное отображение, Xq Є U - неподвижная точка отображения F. Если существует открытая окрестность W С U точки Xq и вполне непрерывное сечение f : W —> Е отображения F такие, что: 1) точка xq является единстветшй особой точкой вполне непрерывного

ПОЛЯ ip = i— f; 2) ind(ip, Xq) ф 0.

Тогда для любого є > 0 размерность

dim{N_XQfi{i - F,U)) > dim(F(x₀))_t

N_Xo>(i -F,U) = {xe N(i -F,U)\ || яг — яго ||< є].

Основываясь на этих теоремах были получены результаты о локальной и глобальной топологической размерности множества решений задачи Коши для дифференциальных включений Каратеодоревского типа.

Пусть G - открытая область в R^l х Rⁿ такая, что [to, to+/i] х B[x_Q, г] С G, где В[хо,г] - замкнутый шар радиуса г с центром в точке Xq. Пусть F : G —> Kv(Rⁿ) - многозначное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1. F(t, ) : B[xQ,r] —» Kv{Rⁿ) является непрерывным многозначным отображением для почти всех t Є [to, to -f h};

2. F(-,x) : [to)^o + h] — Kv{Rⁿ) является измеримым для всех х Є B[x_Q,r};

3. существует интегрируемые по Лебегу неотрицательные функции а, Ъ : [to, to + h] —> R¹ такие, что для любого х Є B[xq, г] выполнено неравенство:

max \\у\\< a(t) + b(t) \\ х \\

ysF(t,x)

для почти всех t Є [to, to + h].

Рассмотрим следующую задачу: х Є F(t,x), re (to) = Xq. Обозначим ([to> to+d\,Xo) множество решений этой задачи на промежутке [to, to+d].

Справедлива следующая теорема.

3.1.14. Теорема. Пусть F удовлетворяет условиям 1,2,3. Пусть множество

A = {t Є [to, to + h) | dim((F(t,x)) > 1 для любого x Є B[xq,t]}

измеримо и

_][т1л(АП{и>,и> + Н]) ₀

л-»о h

Тогда существует такое число /?₀, что для любого Д, 0 < (5 < J3q,

множество Е = E([to, to + 0\, xq) Ф 0 и размерность dz'm(E) = со.

Если условие 1) заменить условием Г) F(t, ) : B[xq, г] —> Kv{Rⁿ) является липшицевым с константой а для почти всех t Є [to,to + h], т.е. h(F(t,x),F(t,y)) < а\\х — y\\ для почти всех t Є [to, to + /i]. Тогда имеет место следующая теорема.

3.1.16. Теорема. Пусть F удовлетворяет условиям V, 2, 3. Пусть множество

A = {t Є [to, to + h] | dim((F(t, x)) > 1 для любого x Є 5[xo, r]}

измеримо и

_limM^n[to,to + ft])^ ₀

Тогда существует такое число (Зо, что для любого j3, 0 < /3 < Д, множество Е = E([to,to + /?],жо) Ф $ ^и для любого є > 0, и любого решения у Є ТІ, размерность dim(E_y,) = со, где

Z_y, = {zeE\ \\z-y\\

Второй параграф этой главы посвящен изучению свойств связности и ацикличности множеств решений дифференциальных и интегральных включений.

В 1959 году М.А. Красносельский и А.И. Перов [55] доказали известный принцип связности множества неподвижных точек однозначных вполне непрерывных отображений. Этот принцип широко применяется для исследования связности множеств решений различных классов дифференциальных уравнений. В диссертации рассмотривается обобщение принципа Красносельского-Перова на случай многозначных отображений.

3.2.2. Следствие. Пусть F : U —> Kv(E) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек на 8U. Пусть j(i — F, U) т^ 0. Если для любого S > 0 и любой точки Х\ Є N(i — F, U) существует однозначное вполне непрерывное отобраоїсение Д_Ж1 :U-^E такое,что:

4. fs,xi - является 5-аппроксимацией многозначного отображения F;

5. отображение Д_Х1 имеет связное множество неподвижных точек

Ns,_Xl;

3) существует точка у Є Ns_)Xl такая, что || у — Х\ ||< 5;
тогда множество N(i — F_:U) - непусто и связно.

В 1942 году Ароншайн [83] доказал, что интегральная воронка обыкновенного дифференциального уравнения является ацикличным множеством в пространстве непрерывных функций. Этот результат был обобщен в работе Ласри и Робера [120] на случай дифференциальных включений. В дальнейшем, ацикличность интегральной воронки была доказана для различных классов дифференциальных включений в работах

Л. Гурневича [110]; М.И. Каменского, В.В. Обуховского и П. Зекки [118] и др.

В настоящем параграфе рассматривается некоторая общая схема доказательства ацикличности множества решений операторных включений, опираясь на которую, устанавливается ацикличность множества решений интегрального включения Вольтерра.

Пусть X - метрическое пространство, Н^п(Х, G) - когомологии Алексан-дера-Чеха пространства X с коэффициентами в группе G (см., например [73]).

3.2.7. Определение. Будем говорить, что пространство X является G-ацикличным, если приведенные когомологии

Hⁿ{X,G) = 0

для любого п>0.

В дальнейшем будем опускать G и говорить просто об ацикличности, считая группу G фиксированной.

Пусть Е\, Ei - банаховы пространства, X - замкнутое подмножество в Ei, f : X —* Е2 - однозначное непрерывное собственное отображение, F : X —> К(Е2) - полунепрерывное сверху многозначное отображение такое, что К = F(X) - компакт в .. Рассмотрим следующее операторное включение:

f(x) Є F(x).

Обозначим множество решений этого включения А и пусть А ^ 0. Имеет место следующее утверждение.

3.2.11. Теорема. Если для любого є > 0 существует непрерывное отображение д : [0,1] х А х X —> Е^, удовлетворяющее следующим условиям:

6. g^e([0,1] x A x X) - относительно компактно в Е2;

7. для любых (А, х) Є [0,1] х А непрерывное отображение

gl_x=g(\,x,-):X-+E₂

является е- аппроксимацией F, причем уравнение }{и) = д^е(Х,х,и) имеет непустое ациклическое множество решений.

3. при X = О и любом х Є А справедливо тождество: }{х) = д^е(0,х,х);

4. при X = 1 существует ао Є X такое, что f(a_Q) = д(1,х,ао) для любого х Є А.

Тогда множество А ациклично.

Опираясь на эту теорему удается доказать ацикличность множества решений интегрального включения Вольтера. Для включений такого вида ранее в работе А.И. Булгакова и Л.Н. Ляпина [23] была установлена связность этого множества.

Пусть F : [a, b] х Rⁿ —» Kv(Rⁿ) - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям:

1. F(t, ) : Rⁿ —> Kv(Rⁿ) - полунепрерывное сверху многозначное отображение для почти всех t Є [а, 6],

2. F(-,x) : [а, Ъ] —» Kv{Rⁿ) содержит однозначное измеримое сечение для любого х Є Rⁿ;

(C) max И у || < v(t), где u(t) - суммируемая функция на промежутке

yF(t,x)

[а,Ь].

Пусть v : [а, Ь] х [а, Ь] —> L(Rⁿ) - однозначное отображение в пространство линейных непрерывных операторов в Rⁿ, удовлетворяющее следующим условиям:

(D) отображение v(t, ) : [а, Ь] —> L(Rⁿ) - измеримо для любого t Є [а, b] и
следующая функция k(t) = игагтах₃фд \\ v(t,s) || ограничена на [а, Ь];

(Е) для любого t\ Є [a, b] предел

їітьгаітах_ве[_ад \\ v(t,s) - v(t_hs) ||= 0. Рассмотрим следующее интегральное включение: x{t) eg(t)+ I v{t,s)F(s,x(s))ds_>

J О,

подразумевая под этим, что

^x(t) Є {y(t) = g(t) + /*v(i,5)/i(5)d5 I h(s) F(s,x(s))

для почти всех s Є [a, &]},

где # : [a, b] —> Rⁿ - некоторое фиксированное непрерывное отображение. 3.2.19. Теорема. Пусть выполнены условия (А)-(Е), тогда множество решений К включения Волътерра является ацикличным множеством в пространстве С^_ацдпу

Третий параграф этой главы посвящен изучению проблемы существования точек покоя обобщенных динамических систем. Обобщенные динамические системы возникли в связи с изучением обыкновенных дифференциальных уравнений без единственности и дифференциальных включений.

В 1954 году в работе А.Д. Мышкиса [62] была поставлена задача исследования точек покоя обобщенных динамических систем. В ней данная задача сводилась к изучению неподвижных точек многозначных отображений. Однако, эта задача оказалась очень сложной, т.к. описать структуру образов многозначного отображения, возникающего при изучении этой задачи в размерностях больших 1, оказалось невозможно.

В настоящем параграфе выделяется класс обобщенных динамических систем, для которых соответствующие многозначные отображения име-

ют специальный вид: они представляются в виде композиции однозначного непрерывного отображения и многозначного отображения с ациклическими образами. Так как для таких отображений развита теория неподвижных точек, то удается доказать некоторые теоремы о существовании точек покоя для динамических систем из этого класса.

Существует несколько различных определений обобщенной динамической системы (динамической системы без единственности). Наиболее распространенным является определение предложенное Е.А. Барбаши-ным.

Пусть X - топологическое пространство, R₊ - множество неотрицательных чисел.

3.3.1. Определение. Многозначное отображение Ф : X х R₊ — К{Х) называется обобщенной односторонней динамической системой, если выполнены следующие условия:

5. Ф(-, 0) : X —> X является idx;

6. для любых х Є X uti,t2 Є R+ справедливо равенство

ф(ф(ж,О,*2) = Ф0Мі + *2);

3. многозначное отображение Ф полунепрерывно сверху;

4. для любого x_Q Є X многозначное отображение Ф(хо, ) : R —> К(Х) непрерывно.

Точкой покоя односторонней динамической системы Ф называется точка хо Є X такая, что хо Є Ф(жо, t) для любого t Є R+.

3.3.8. Определение. Будем говорить, что односторонняя динамическая система Ф является аппроксимируемой на множестве X, если существует последовательность однозначных динамических систем {f_n},fn ' X х R₊ —> X (аппроксимирующее семейство) таких, что выполнены следующие условия:

1. для любых (х, і) Є X х R₊ предел lim p(f_n(x, t)\ Ф(ж, t)) — 0;

2. для любых є > 0, Г > 0 существует такое 5 = 6(є, Т) > 0, что для to,h Є [О, Г], ( t₀—ti |< 6 справедливо неравенство p(f_n(x, to); f_n(x,ti)) < є для любых п и х Є X.

Справедлива следующая теорема.

3.3.17. Теорема. Пусть X - компактное ANR-пространство, Ф -односторонняя динамическая система. Пусть выполнены следующие условия:

3. динамическая система Ф является аппроксимируемой на X;

4. существует такое Т R+, что множество Ф(Х, Т) ациклично в X.

Тогда система Ф имеет в X точку покоя.

Четвертый параграф этой главы посвящен изучению топологической структуры множества неподвижных точек произвольного абстрактного оператора Вольтерра.

Пусть С[_ад - пространство непрерывных вектор-функций со значениями в Rⁿ, Т = В_ГЩ С С[_ад - замкнутый шар радиуса г с центром в нуле этого пространства. Пусть g :Т —> С[_ад - вполне непрерывный оператор.

3.4.2. Определение. Будем говорить, что отображение g является оператором Вольтерра, если для любого є Є [0, b — а) и для любых функций х,у Є Г из того, что x(t) — y(t) для t Є [а, а + є] вытекает, что g{x){t) = g(y)(t) для t из того же промежутка [а, а-\-є].

Пусть отображение і : Rⁿ —» С\_ад является каноническим вложением, т.е. любому вектору h Є Rⁿ сопоставляется функция x(t) = h для любого t Є [a, b]. Если То = В_Г[0] - шар в пространстве Rⁿ радиуса г с центром в нуле, то і (То) С Т. Рассмотрим отображение до : Т₀ —> Rⁿ

определенное условием: go{h) ⁼ 5^(^))(0)- Обозначим А(д) - множество неподвижных точек отображения д, а А(д₀) - множество неподвижных точек отображения g_Q.

Имеет место следующая теорема.

3.4.4. Теорема. Пусть д : Т —> С^щ - вполне непрерывный оператор Волътерра. Если существует Sq > 0 такое, что для любого х Є Т норма образа \\д{х)\\ < г — Єц, mo отображение р : А(д) —* А(до), р(х) = х(а), порождает изоморфизм групп когомологий Александера-Чеха этих пространств.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению разрешимости задачи Коши и исследованию свойств интегральной воронки следующих сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах:

(ax)' = f(t,x)

a(x') = f(t,x)

в случае, когда а - замкнутый линейный сюръективный оператор, / -нелинейное отображение. Такие уравнения естественно возникают в теории дифференциальных уравнений.

Простейшим примером такой задачи является следующая конечномерная система:

a>(x') = f{t,x),

а(х(0)) = од,

где a: Rⁿ — R^k - линейный сюрьективный оператор, / : [0, Т] х Rⁿ —> R^k - непрерывное отображение, уо - фиксированная точка из R^k.

Первый параграф этой главы посвящен изучению свойств замкнутых линейных сюръективных операторов.

Пусть Е\,Е2~ два банаховых пространства, D(a) - линейное многообразие в Ei, a: D(a) С Е\ —» Еч - замкнутый линейный оператор, Кег(а) - ядро оператора а. Рассмотрим многозначное отображение

а"¹ : Е₂ -+ Cv{Ei), а'¹ (у) = {х Є Е_х \ а{х) = у).

Число

и -і,, >f{IMI I xeE_ha{x) = y}
\\а II = sup (—— г;— — -)

будем называть нормой многозначного отображения а^-1.

В этом параграфе приводятся некоторые примеры вычисления норм, доказывается липшицевость многозначного отображения а~¹ и изучаются некоторые другие свойства этого отображения.

Второй параграф этой главы посвящен изучению задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения с липшицевой правой частью.

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения, у которого левая часть является замкнутым сюръективиым оператором, а правая липшицево отображение.

Пусть Е\, Е₂ - два банаховых пространства, a : D(a) —> Е₂ - замкнутый линейный сюръективный оператор, / : Ei —» Е₂ - липшицево отображение, т.е. существует константа с > 0, такая, что для любых х\,Х2 Є Е\ выполнено неравенство: ||/(яі) - f(x₂)\\ < с\\х\ - х₂\\.

Изучается следующее уравнение:

а(х) = f{x). (4.2.1)

Пусть N(a, /) множество решений этого уравнения, т.е.

N(aJ) = {xeE₁\ a(x) = f(x)}.

4.2.1. Теорема. (1) Если с < тпртгь то множество решений N(a,f)
непусто и является сильным деформационным ретрактом простран
ства Ei.

(2) Если кроме этого Кег(а) ф {0}, то N(a,f) содержит, по крайней мере, две точки.

Рассмотрим теперь разрешимость уравнения (4.2.1) в шаре банахова пространства Е\.

Пусть xq Є Ei - некоторая точка, Б#[жо] - замкнутый шар радиуса R с центром в точке xq, f : Br[xq] —> Е₂ - липшицево отображение с константой Липшица с.

4.2.2. Теорема. Пусть отображения а и f удовлетворяют следую
щим условиям:

¹)^с< И>

2) существует такая точка yQ Є D(a), что а(уо) = f(xo) и

\\х₀-у₀\\<(1-с\\а-¹\\)Я

Тогда уравнение (4-2.1) имеет решение в шаре Br[xq].

Изучается также разрешимость уравнения (4.2.1) на сфере банахова пространства Е\.

Полученные теоремы применяются для изучения вырожденных дифференциальных уравнений.

Пусть a : D(a) С Е\ —> . - линейный замкнутый сюръективный оператор, xq Є D(a) - некоторая точка, Бд[:го] - замкнутый шар радиуса Я с центром в точке xq, f : [0, Г] х Br[xq] -* Eотображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(Li) f непрерывно по совокупности переменных; (L₂) / липшицево по второму аргументу с константой Липшица с. Рассмотрим следующую задачу:

(ax)' = f(t,x), (4.2.3)

а{х(0)) = а(х₀). (4.2.4)

Обозначим (:го, [0,/і]) - множество решений задачи (4.2.3), (4.2.4) на промежутке [0, h].

Имеет место следующая теорема.

4.2.6. Теорема. При сделанных предположениях существует та
кое Ло > 0, что задача (4-2.3), (4-2-4) имеет решение на промежутке

[О, До]-

В случае если правая часть дифференциального уравнения (4.2.3) определена на [О, Т] х Е\ и удовлетворяет условиям {Ь\) и (Ь₂), то можно больше сказать о свойствах множества решений задачи (4.2.3), (4.2.4).

4.2.7. Теорема. (1) При сделанных предположениях, существует
такое h > О, что задача (4-2.3), (4-2-4) имеет решение на промеоісут-
ке [0,h], и множество решений (#о,[0,h]) является сильным дефор
мационным ретрактом пространства С^щ^і)-

2. Если Кег{а) Ф {0}, то задача (4-2.3), (4-2-4) имеет, по крайней мере, два решения.

3. Если Кег(а) -ф {0}, и существует такое число т, что \\f(t,x)\\ < т для любых (t,x) Є [0,Т] х Е\, то множество решений Е(жо, [0, /г]) является неограниченным.

Третий параграф четвертой главы посвящен изучению вырожденных дифференциальных уравнений, у которых правая часть является вполне непрервной.

Первый раздел этого параграфа посвящен изучению операторного уравнения, у которого левая часть является замкнутым сюръективным оператором, а правая а-вполне непрерывное отображение.

Пусть Е\,Е2 - банаховы пространства, a : D(a) С Е\ —» Еч - замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть отображение / : X С Е\ —* Ei-

4.3.2. Определение. Будем говорить, что отображение f - вполне
\ непрерывно по модулю отображения а (или а-вполне непрерывно), ес-

ли оно непрерывно и для любого ограниченного множества А С Е2 и любого ограниченного множества В С X множество f(B Па~¹(А)) является компактным. Пустое множество по определению считается компактным.

Изучим разрешимость операторного уравнения (4.2.1) в случае когда отображение / является а-вполне непрерывным.

4.3.7. Теорема. Пусть a : D(a) С Е\ —> Е2 - замкнутый сюръективный линейный оператор, пусть а-вполне непрерывное отображение f : Е\ —> . удовлетворяет следующиму условию: существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х Є Ei справедливо неравенство: ||/(а:)|| < с\\х\\ + d. Если с < прттт; то N(a, /) Ф 0.

При некоторых естественных предположениях, множество N(a, /) является неограниченным и можно оценить размерность множества решений уравнения (4.2.1).

4.3.12. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 4-3.7, тогда

dim{N(a,f)) > dim{Ker{a)).

Рассмотрим уравнение (4.2.1) на шаре в пространстве Е\.

Пусть Xq Є Еі - некоторая точка, Дя[хо] ~ замкнутый шар радиуса R с центром в xq, f : Br[xq] — Е2 - вполне непрерывное отображение.

4.3.14. Теорема. Если существует такое число к > ||я^_1||, что для любой точки х Є Дй[хо] справедливо неравенство

||ф₀)-/(*)||<|,

то уравнение (4.2.1) имеет решение и топологическая размерность

dim{N(a,f)) > dim(Ker(a)).

Во втором разделе этого параграфа полученные теоремы применяются к изучению разрешимости задачи Коши для вырожденных дифференциальных уравнений с компактной правой частью.

Пусть a : D(a) С Е\ —> 1 - замкнутый линейный сюръективный оператор, xq Є Еі - произвольная точка,

B_R[x₀] = {xeEi |||я-Жо|| <Щ

- замкнутый шар в пространстве E_h / : [0,Т] х Br[xq) —> Е2 - непрерывное компактное отображение. Рассмотрим следующую задачу:

ax' = f(t,x), (4.3.8.)

х(0) = х₀. (4.3.9.)

Имеет место следующая теорема.

4.3.15. Теорема. При сделанных предположениях существует h > О такое, что задача (4-3.8), (4-3.9) имеет решение на промежутке [О, h]. ЕслиКег(а) ф {0}, то топологическая размерность dim(T_l(xQ, [0, h])) =

00.

Рассмотрим теперь следующую задачу:

(аг)' = /(Ы (4-3.11)

а(х(0)) = а(х₀). (4.3.12.)

Имеет место аналогичная теорема.

4.3.16. Теорема. При сделанных предположениях существует h > О такое, что задача (4-3.11), (4-3.12) имеет, решение на промежутке [О, Л].

Если Кег(а) Ф {0}_; то топологическая размерность dim(Y,(xo, [О, /г])) = со.

5 четвертом параграфе четвертой главы результаты 3 обобщаются на случай вырожденных дифференциальных включений (ах)' Є F(t,x), где а - замкнутый линейный оператор, F - а-вполне непрерывное многозначное отображение. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [34], [42].

Для операторных включений вида

а(х) Є F(x), (4.4.1)

где а является линейным замкнутым сюрьективным оператором, F - а-вполие непрерывным многозначным отображением, доказана следующая теорема.

4.4.7. Теорема. Пусть многозначное отображение F : Е\ —» Kv{E

1. F - а-вполне непрерывно;

2. существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого

х Є Е\ справедливо неравенство: min \\у\\ < с\\х\\ + d.

yeF(x)

Если с < утріть ^т0 N(a, F) является непустым множеством и

dim{N{a₎F)) > dim(Ker(a)).

В случае, если многозначное отображение F является непрерывным многозначным отображением, то в теореме 4.4.7 можно уточнить оценку размерности множества N(a,F).

4.4.10. Теорема. Пусть многозначное отображение F : Е\ —» Kv(E₂) удовлетворяет следующим условиям:

3. F - непрерывно и а-компактно;

4. dim(F(x)) > т для любого х Є Е\;

5. существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х Є Е\ справедливо неравенство: min \\у\\ < с\\х\\ + d.

yeF{x)

Если с < ш~тп, то множество N(a, F) непусто и dim(N(a, F)) > dim(Ker(a)) 4- т.

Применим доказанные теоремы к изучению следующей задачи.

Пусть Ei,E2 ~ сспарабельныс банаховы пространства, a : D(a) С Е\ —* Е₂ - линейный замкнутый сюръсктивный оператор, Xq Є D(a) - некоторая точка, F : [0,Т] х Е\ —> Kv{E2) - вполне непрерывное многозначное отображение.

Рассмотрим следующую задачу:

(ax)'eF(t,x), (4.4.6)

а(х(0)) = а(х₀). (4.4.7)

Решением задачи (4.4.6), (4.4.7) на промежутке [0, h], 0 < h < 7¹, называется абсолютно непрерывная функция х* : [О, h] —> D{a) С Е\ такая, что (ах*(і))' Є F(t, x*(t)) для почти всех t Є [0, /г] и а(х*(0)) = а(хо). Обозначим Е(а:о, [0, /г]) - множество решений этой задачи на промежутке

[О, Л].

Имеет место следующая теорема.

4.4.13. Теорема. (1) Если многозначное отображение F удовлетво-
і ряет следующему условию:

(а) существуют такие числа d\ и с^, ^ч^ для любых (t, х) Є [О, Т] х Е\ справедливо неравенство:

max ||2/||

yeF(t,x)

то существует число h Є (О,Т] такое, что задача (4-4-6), (4-4-V ^име~ ет решение па промежутке [0, h].

(2) Если выполнено условие (а) и Кег(а) ф {0}₇ то множество Е(жо, [0, h]) является неограниченным и dim(E(xQ, [О, h])) = со.

В пятом параграфе четвертой главы изучаются некоторые свойства решений следующей задачи:

(ax)' = f(t,x), (4.5.4)

ф(0)) = 0, (4.5.5)

в случае, когда правая часть /(, х) является нечетным по х отображением и Кег(а) ф {0}. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [39], [41].

Для изучения этой задачи используется бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама, доказанная автором.

Пусть Ei,E₂- банаховы пространства, a : D(a) С Е\ —> Еч - замкнутый линейный сюръективный оператор. Пусть 5_Г(0) - сфера радиуса г

с центром в нуле пространства Ei, отображение / : D(f) С S_r(0) —> 2 удовлетворяет следующим условиям:

6. D(f) = D(a) П S_r(0)-

7. f(—x) = —f(x) для любого х Є D(f);

8. отображение / является а-вполне непрерывным.

Обозначим множество решений этого уравнения N(a,f) С S_r(Q). 4.5.3. Теорема. Если dim(Ker а) > 1, то уравнение (4-2.1) на сфере S_r(0) имеет решение и dim(N(a,f)) > dim(Ker а) — 1.

Нетрудно проверить, что эта теорема является естественным обобщением теоремы Борсука-Улама на случай бесконечномерных банаховых пространств.

Пусть Е\,Е₂ - банаховы пространства, a : D(a) С Е\ —> Ег - линейный замкнутый сюръективный оператор и Кег(а) ф {0}. Пусть / : [0, со) х Е\ —> Ei - вполне непрерывное отображение, нечетное по второму аргументу. Рассмотрим задачу (4.5.4), (4.5.5).

Изучается следующий вопрос: существует ли решение я* задачи (4-5-4), (4-5-5) на заданном промежутке [0,/г] такое, что max ||:е*()|| = М, где М некоторое наперед заданное число. В этой связи отметим работы С. А. Брыкалова [20], [91], в которых изучались решения дифференциальных уравнений с заданными максимумом и минимумом.

Пусть Ем(0, [0,/г]) - множество решений этой задачи на промежутке [0,Л].

Имеет место следующая теорема.

4.5.4. Теорема. При сделанных предположениях, для любого числа h> 0 и любого числа М > 0 множество Ем(0, [0, h]) ^ 0 и топологическая размерность Йт(Ел/(яо> [0, /i])) = со.

В шестом параграфе четвертой главы теоремы о разрешимости операторных уравнений вида а(х) = f(x) будут применены к проблеме управляемости конечномерными нелинейными системами вида

х' = Ах + Ви + f(t, х, и),

где А и В - линейные операторы, / - нелинейное возмущение. Ранее, подобная задача изучалась в работах [93], [123], [127] и многих других. Отметим работу [102], в которой для решения подобной задачи применялись топологические методы. В настоящем разделе предлагается новый подход к решению этой задачи. Он позволяет не только доказать управляемость возмущенной системы, но и позволяет получить информацию о свойствах множества решений соответствующих краевых задач. Рассматрим управляемую систему:

х' - A(t)x - B(t)u = 0, (4.6.1)

х(0)=х₀, x(l) = x_h (4.6.2)

где А : [0,1] -> L(Rⁿ, Rⁿ), В : [0,1] -> L(R^m, Rⁿ) - суммируемые отображения.

Решением этой задачи будем называть такую пару (ж = x(t), и = u(t)), х Є ^4С([о,і],Д"), управление и Є (?од],я^т)> которые удовлетворяют уравнению (4.6.1) для почти всех t Є [0, lj и краевым условиям (4.6.2).

4.6.1. Определение. Будем говорить что система (4-6.1) вполне управляема, если задача (4-6.2) разрешима для любых Xq.xi Є Rⁿ.

Рассмотрим множество

D(a) = -4C([₀₎ij,fl») х І([о,і],Л"») ^с С([а,і],л^п) ^х ^,і],л)-Пусть линейный оператор a : D(a) —> L},_Ql]_Rn\ х Rⁿ х Rⁿ определен условием,

a{x,u){t) = {x'{t) - A(t)x(t) - B(t)u(t),x(0),x{l)).

Нетрудно проверить, что а является замкнутым линейным оператором.

4.6.2. Лемма. Система (4-6.1) вполне управляема, тогда и только тогда, когда оператор а является сюрьективным.

Некоторые критерии управляемости линейными системами содержатся в [60].

Рассмотрим теперь нелинейные системы. Пусть / : [0,1] х Rⁿ х R^m —>
Rⁿ - отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
I^а 1\) для любых х Є Rⁿ, и Є R^m отображение f_XiU = /(, х, и) : [0,1] —> Rⁿ

является сумируемым;

1-і) для почти всех t Є [0,1] отображение f_t = /(, , ) : Rⁿ х R^m —> Rⁿ является непрерывным;

/з) существует такое число с> 0, что для любых х, у Є Rⁿ, u,v Є Я^т и почти всех t Є [0,1] выполнено неравенство

||/(*,x,M)-/(i,y,v)||

Рассматрим следующую задачу:

х¹ - A(t)x - B(t)u = f(t, х, и), (4.6.3)

х(0) = х₀, х(1) = х_и (4.6.4)

где Л : [0,1] -* L(Rⁿ, Rⁿ), В : [0,1] -> (Я^т, Л⁷¹) - суммируемые отображения.

Будем говорить что система (4.6.3) вполне управляема, если задача (4.6.3), (4.6.4) разрешима для любых Xq,x\ Є Rⁿ.

Имеет место следующая теорема.

4.6.3. Теорема. Пусть системах¹—A{t)x — B{t)u — 0 вполне управляема. Пусть отображение f удовлетворяет условиям І\, 1ч и 1^. Если число с из условия 7з меньше цргти "то система (4-6.3) является вполне

управляемой, причем, для любыхXq,x\ Є Rⁿ, множество решений задачи (4-6.3), (4-6-4) является сильным деформационным ретрактом пространства С([₀₎1],Л») X Щ^\]Дгпу

Во втором разделе этого параграфа изучается управляемость системы (4.6.3), (4.6.4) в случае, когда отображение / удовлетворяет условиям

її), І2) И УСЛОВИЮ

/₃) существует суммируемая функция т — m(t) такая, что для любых (х, и) Е й! х Д^т и почти всех t Є [0,1] выполнено неравенство: \f{t,x,u)\

Имеет место следующая теорема.

4.6.8. Теорема. Пусть система х' + A{t)x + B(t)u = 0 управляема. Пусть отображение f удовлетворяет условиям /1,/2 ^и условию /₃. Тогда система (4-6.3) является управляемой, для любых х$,Хі Є Rⁿ множество решений задачи (4-6.3), (4-6-4)

N(x_Qixi) С j4C([_0ii]^») х L^_0jl]tRm)

является неограниченным и

dim(N(xo,xi)) = 00.

Непрерывные сечения многозначных отображений

Определение. Многозначное отображение F : X — P(Y) называется непрерывным, если оно одновременно является полунепре рывным и сверху и снизу.

Очевидно, что свойства непрерывных многозначных отображений вытекают из соответствующих свойств полунепрерывных сверху и снизу отображений. Подробнее об их свойстах смотри, например, в [14].

Рассмотрим один класс многозначных отображений, важный для дальнейших рассмотрений.

Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство, F : X — P(Y) - некоторое многозначное отображение. Будем говорить что F является U- отобра жением, если оно удовлетворяет двум условиям: a) график Tx{F) является открытым множеством в X х Y; b) для любой точки х Є X образ F(x) является выпуклым множеством.

Обозначим множество всех /-отображений из X в Y символом U{X, Y). Многозначные отображения принадлежащие Ы(Х, У) обладают следующими свойствами. (а) Если F Є U(X,Y), то оно является по лунепрерывным снизу. (Ь) Если F : X —» V(Y) - полунепрерывное снизу многозначное отображение, то для любого є 0 многозначное отображение F : X — V(Y), Fe(x) = U(F(x)), является U-отображением. (с) Пусть многозначные отображения Fi,...,Fn Є U(X, Y), если для ТІ любой точки х Є X пересечение П F((x) Ф 0, то многозначное отоб г=1 раоїсение П Fi Є U(X, Y).

Доказательство этого утверждения очевидно. Определение. Пусть F : X —» i (V) - многозначное отбра-жение: 1) отображение F называется компактным, если множество F(X) является относительно компактным в Y; 2) отображение F называется вполне непрерывным, если оно полунепрерывно сверху и для любого ограниченного множества В С X множество F(B) является относительно компактным в Y; 3) отображение F называется усиленно вполне непрерывным, если оно непрерывно и для любого ограниченного множества В С X множество F(B) является относительно компактным в Y. Рассмотрим теперь алгебраические операции над многозначными отображениями. Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство. Пусть F\,F2 : X — P{Y) - многозначные отображения.

Многозначное отображение F : X — P(Y) назовем суммой многозначных отображений F\ и F2, если для любой точки х Є X выполнено равенство F(x) = Fi{x) + F2(x) = {y = u + v\uE Fi{x),v Є F2(x)}.

Справедлива следующая теорема, доказательство которой содержится в [14]. P(Y) полунепрервны снизу, тогда их сумма F является полунепрерывным снизу многозначным отображением. 2) Пусть многозначные отображения Fi,i 2 : X —+ K(Y) полунепрервны сверху, тогда их сумма F является полунепрерывным сверху многозначным отображением. Рассмотрим другую операцию. Пусть F : X — P(Y) - многозначное отображение, а : X — R - числовая функция. 1. Многозначное отображение а F : X — называется произведением а на F. Справедлива следующая теорема, доказательство которой также содержится в [14].

Пусть функция а - непрерывна, 1) если многозначное отображение F : X — P(Y) полунепрервно снизу, то произведение a-F является полунепрерывным снизу многозначным отображением; 2) если многозначное отображение F : X — K(Y) полунепрервно сверху, тогда произведение а F является полунепрерывным сверху многозначным отображением. Пусть X - метрическое пространство, У - нормированное пространство, F : X — P(Y) - некоторое многозначное отображение. Непрерывное отображение / : X — У называется сечением многозначного отображения F, если для любой точки х Є X выполнено включение f(x) Є F(x). Пусть F Є U(X,Y), тогда для любого замкнутого множества А С X и любого сечения f : А — Y многозначного отображения F\A существует сечение f : X — Y многозначного отображения F такое, что }\А = /.

Доказательство. Пусть f\ - произвольное непрерывное продолжение отображения / на все пространство X. Тогда, в силу открытости графика отображения F, существует открытое множество U D А такое, что fi\u является сечением многозначного отображения F\u. Пусть точка х Є В — X \U, выберем произвольно точку ух Є F(x). В силу открытости графика отображения F, существует открытая окрестность U(x) точки х такая, что ух Є F(x ) для любой точки х Є U(x) и U(x)C\A = 0. Очевидно, что семейство {и(х)}хев образует открытое покрытие множества В. Выберем из этого покрытия локально конечное подпокрытие {U(xa)}aej.

Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений

Пусть X - полное метрическое пространство, F : BR[XQ] —» С(Х) многозначное отображение. Пусть существует число к Є [0,1) такое, что выполнены следующие условия: (l)p(x0iF(xQ) R(l-k), (2) для любой точки х 6 BR[XQ] пересечение F{x) П BR[XQ] ф 0, (3) для любыхх Є BR[XQ] иу Є {F(X)C\BR[X$]) справедливо неравенство р {х)ПВп1х0] {у)) кр(х,у). Тогда, для любого числа R\ удовлетворяющего неравенству p(xo,F(x0) Rx R(l-k), существует неподвижная точка х отображения F такая, что р{хо,х ) . (2.1.1.) Более того, среди неподвижных точек отображения F существует точка х такая, что р{х0, f0 Р( о, F{x0)). (2.1.2.)

Доказательство. Построим последовательность точек х$,Х\,... такую, что xneBR[x0] n = 0,1,..., xneF(xn-i) n = 1,2,..., р{хп+ихп) knRi п = 0,1,.... Эту последовательность будем строить индуктивно. Пусть точка XQ -центр нашего шара, точка х\ - произвольная точка из пересечения F(XQ)C\ BR[XQ] такая, что P(XQ, Х\) R\. Допустим, что уже построены n-f 1 точка нашей последовательности XQ,XI, ...,хп. Тогда Следовательно, существует такая точка хп+і Є F(xn), что р(хп,хп+1) knRh Проверим, что точка хп+\ принадлежит шару BR[XQ].

Таким образом точка хп+\ построена, индукция закончена. Нетрудно доказать, что построенная последовательность {хп} является фундаментальной. Действительно, что и доказывает фундаментальность.

Так как пространство X полно, а множество BR[XQ) замкнуто, то последовательность {хп} сходится к некоторой точке х Є BR[XQ]. Так как p(xQ,xn+i) j :, то переходя к пределу в этом неравенстве, получаем, что р(хо,х ) 5. Покажем, что точка х является неподвижной точкой многозначного отображения F. Действительно, p(xn+i,F(x,)) p (F(xn) П BR[x0],F(x,)) кр(хп,х ).

Следовательно, lim p(xn+i,F(x )) = 0. Так как множество F(x ) замкнуто, то х Є F(x ), т.е. ж является неподвижной точкой F. Так как то неравенство (2.1.1) доказано.

Докажем теперь неравенство (2.1.2). Если точка XQ является неподвижной точкой отображения F, то неравенство (2.1.2) справедливо. Пусть . Выберем число R\ так, чтобы у / (гг0, (а:о)) Лі (1-А;)Д.

Для этого числа R\ найдем неподвижную точку ж отображения F, удовлетворяющую неравенству (2.1.1). Тогда р(хо,х ) YZl - Y -fcP o, Л о)) Теорема доказана.

Эта теорема является обобщением одного из утверждений книги [48] (стр. 42) и почти полностью повторяет его доказательство. Также она обобщает одно из утверждений работы [96]. Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы. Пусть X - метрическое пространство, А - подмножество в X. Многозначное отображение F : А — С(Х) на зывается липшицевым, если существует положительное число к та кое, что для любых х и у из А выполнено неравенство: h(F(x),F{y)) kp(x,y). В этом случае к называется константой Липшица.

Если многозначное отображение F является липшицевым отображением с константой Липшица меньше единицы, то оно называется сжимающим.

Справедливо следующее утверждение ( см. [48]). Следствие. Пусть X - полное метрическое пространство, F : BR[XQ] —» С(Х) многозначное сжимающее отображение с констан той Липшица к Є [0,1).Пусть выполнено следующие условие: p(x0,F(x0) R{l-k).

Тогда, для любого числа R\, удовлетворяющего неравенству P(X0,F(XQ) ЯІ R(l-k), существует неподвижная точка х отображения F такая, что рЫ,х ) — . Более того среди неподвиоісних точек отображения F существует точка х такая, что 2 р(хо,х ) y p(xo,F(x0)).

Доказательство этого утверждения естественно вытекает из теоремы 2.1.5, т.к. p {F(x)nBR[x0],F(y)) p (F(x),F(y)) h(F(x),F(y)) kp(x,y). Из теоремы 2.1.5 также вытекает следующее утверждение, (см. [131]). Следствие. Пусть X - полное метрическое пространство, F : X — С(Х) многозначное сжимающее отображение с константой Липшица к Є [0,1). Пусть XQ - некоторая точка из пространства X и P(XQ,F(XQ)) 8.

Связность и ацикличность множества решений дифференциальных и интегральных уравнений и включений

В 1959 году М.А.Красносельский и А.И.Перов [55] доказали известный принцип связности множества неподвижных точек однозначных вполне непрерывных отображений. Этот принцип широко применяется для доказательства связности множеств решений различных классов дифференциальных уравнений.

В настоящем разделе доказывается обобщение принципа связности Красносельского-Перова для случая многозначных отображений. Однако, даже в случае однозначных отображений это обобщение является новым. Оно.позволяет получить необходимые и достаточные условия связности множества неподвижных точек вполне непрерывного однозначного отображения. Результаты этого раздела опубликованы в работах [26], [30].

Пусть Е - банахово пространство, U- ограниченное открытое множество в Е, F : U — Kv(E) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек на dU.

Теорема. Пусть F : U — Kv(E) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек на дії. Пусть {і — F, U) Ф 0. Если для любого є 0 и любой точки х\ є N(i - F: U) cy ществует однозначное вполне непрерывное отображение f}Xl :U — Е такое, что: 1) множество Х,Х1 = {хЄЇЇ\хЄ XF(x) + (1- X)fE,Xl{x), А Є [0,1]} принадлежит є-окрестности множества N(i — F, U); 2)отображение f)Xl имеет связное множество неподвижных точек N 3)существует точка у Є NM такая, что у — х\ е; тогда множество N(i — F,U) - непусто и связно.

Доказательство. Непустота множества N = N(i—F, U) вытекает из свойств вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей, докажем связность этого множества. Предположим противное, тогда множество N можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств N0 и Nh т.е. N = NoUNhNor\Ni = 0. Пусть є 0 такое число В силу свойств вращения многозначных векторных полей

Следовательно, одно из чисел 7о = т( F,U(No)) или 71 = 7( F, U(Ni)) отлично от нуля. Пусть для определенности 70 7 О Рассмотрим произвольную точку х\ Є iVi и отображение fM, удовлетворяющее условиям теоремы. Поля i—F и i—ftXl линейно гомотопны на границе области U(NQ), Т.К. особые точки этой гомотопии Хе Х1 лежат в U(N) = ВД)иОД) Тогда 7(i-F,W) = 7(»-/ад Ш1 О, т.е. отображение fM имеет в U(N0) неподвижную точку. Следовательно, NjXinU(No) ф. По условию теоремы известно, что ,Х1Пи{ ) ф. Так как то получаем, что множество N Xl является несвязным. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Следствие. Пусть F : U — Kv(E) - вполне непрерывное многозначное отображение без неподвижных точек па dU. Пусть {г— F, U) ф 0. Если для любого 5 0 и любой точки х\ Є N(i — F, U) существует однозначное вполне непрерывное отображение ДЖ1 : U — Е такое,что: 1) fs,Xi - является 5-аппроксимацией многозначного отображения F; 2) отображение f$tXl имеет связное множество неподвижных точек 3) существует точка у Є Ns)Xl такая, что у — х\ 5; тогда множество N(i — F,U) - непусто и связно.

Доказательство. Покажем, что для любого є 0 можно найти такое 6 0, что отображение fs)Xl будет удовлетворять условиям теоремы 3.2.1. Нуждается в проверке только пункт 1 теоремы 3.2.1. Предположим противное, тогда существует такое число SQ 0, что для любого натурального п, множество Хі = {хЇЇ\хЄ Щх) + (1- \)h„(x), 0 Л 1} не принадлежит Uo(N(i—F, [/)). Таким образом, найдутся точки хп Є U, уп Є F(xn) и Хп Є [0,1] такие, что будет выполняться равенство: хп = КУп + (1 - Ап)Д х,Ы- (3.2.1) Так как Д является —аппроксимацией многозначного отображения F, то существуют точки х п Є U и zn Є - ( ) такие, что \\хп - х п\\ и

Так как многозначное отображение F является компактным, то без ограничения общности можно считать, что последовательности {zn} — z и {Уп} — У - Тогда и последовательность {Дд. (жп)} также сходится к z . Также без ограничения общности можно считать, что последовательность {Лп} — Л . Тогда переходя к пределу в равенстве (3.2.1), также сходится к я . Так как график многозначного отображения F является замкнутым множеством, то z Є F(x ) и у Є F{x ). Таким образом, предельное равенство будет иметь вид: ж = \ у + (1 - K)z Є F(x ). Это противоречит получаем, что последовательность {хп} — х Є U. Следовательно, последовательность {х п} предположению, т.к. по предположению должно выполняться неравенство р(х„, N(i — F, U)) EQ 0.

Заметим, что даже в случае однозначных отображений следствие 3.2.2 является новым. Оно определяет необходимые и достаточные условия связности множества неподвижных точек.

Пусть /:[/—» Е - вполне непрерывное отображение без неподвижных точек на dU. Пусть {i — f,U) 0. Для того, чтобы множество N(i — f, U) было связным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) для любого 8 0 и любой точки Х\ Є N(i—f, U) существовало вполне непрерывное отображение ДХ1 : U — Е такое, что f(x) — fsM{x) 5 для любого х Є U;

О разрешимости задачи Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений

Применим доказанную теорему к изучению точек покоя обобщенных динамических систем. Пусть Ф : X х R+ —» X односторонняя обобщенная динамическая система.

Определение. Точкой покоя односторонней динамической системы Ф называется точка XQ Є X такая, что XQ Є ty(xQ,t) для любого t Є R+. Наличие точки покоя динамической системы эквивалентно существованию постоянной траектории этой системы. Справедливо следующее утверждение ( см.[62]).

Лемма. Пусть X - компактное метрическое пространство, многозначное отображение F : X х R+ — К(Х) удовлетворяет следу ющим условиям: 1) F(x, 0) = х для любого х Є X; 2) F(x,ti + t2) D F(F(x,h),t2) для 0 tht2 oo; 3) F полунепрерывное сверху многозначное отображение.

Тогда для существования точки покоя системы F необходимо и достаточно, чтобы для любого є 0 нашлись хе Є X и 6 Є (0, є) такие, что х Є F(x,S).

Очевидно, что односторонняя динамическая система Ф удовлетворяет условиям этой леммы. Следовательно, лемма 3.3.12 позволяет сводить теоремы существования точек покоя односторонних обобщенных динамических систем к теоремам о неподвижных точках многозначных отображений.

Определение. Метрическое пространство Y называется абсолютным окрестностным ретрактом (ANR-пространством), если для любого гомеоморфизма h отображающего Y на замкнутое подмно жество h(Y) метрического пространства X, множество h(Y) явля ется ретрактом некоторого открытого множества U С X такого, что h(Y) С U.

Справедлива следующая теорема ( см., например, [109]).

Теорема. Пусть У - компактное ацикличное ANR-простран ство, пусть многозначное отображение F : Y — K{Y) удовлетворя ет следующему условию: существуют метрическое пространство Z, непрерывное отображение I : Z — Y и полунепрерывное сверху много значное отображение G :Y — K(Z) с ациклическими образами такие, что F{x) = l-G{x) для любого х Є Y. Тогда многозначное отображение F имеет в Y неподвижную точку.

Заметим, что эта теорема является обобщением теоремы Какутани (см. [119]), т.к. любое замкнутое выпуклое ограниченное подмножество конечномерного пространства Rn является компактным ацикличным ANR-пространством.

Пусть Ф : X х R+ —» X - односторонняя динамическая система. 3.3.15. Определение. Множество Y С X называется инвариантным для Ч/, если для любых х Є Y,t Є R+ справедливо включение: V{x,t)c . Пусть X - компактное метрическое пространство, Ф : X х Я+ — К{Х) - односторонняя обобщенная динамическая система. Пусть компакт Y С X является инвариантным мноэюе-ством для Ф. Если: 1) множество Y является ацикличным ANR-пространством; 2) динамическая система Ф является аппроксимируемой; то динамическая система Ф имеет в Y точку покоя.

Доказательство. В силу теоремы 3.3.10, множество Е(#о [О,?1]) является ацикличным для любых XQ Є X, Т 0. Рассмотрим многозначное отображение FT : Y - K(Y) определенное условием: №о) = (2/ Є У г/ = 4П () Є Е( 0, [0, Т])}.

В силу свойства траекторий 3.3.5 обобщенных динамических систем, очевидно, что FT(XQ) = Ф(хо,Т) для любых XQ Є Y,T 0. С другой стороны, Fr(z0) = Z Цхо), где : Y - ВД[0ЗД), Е(я0) = Е( 0, [0, Т]) и имеет ациклические образы, а /: Сф}т},х) X, l(x(-)) = х(Т).

В силу леммы 3.3.7, многозначное отображение Е является полунепрерывным сверху. Очевидно также, что отображение I является непрерывным.Тогда, многозначное отображение FT удовлетворяет условиям теоремы 3.3.14, следовательно, у него существует неподвижная точка в У.

Таким образом, в силу произвольности Т получаем, что для любого є 0 существует точка х Y такая, что х Є FE(x) = Ф(х, є). Следовательно, в силу леммы 3.3.12 односторонняя динамическая система Ф имеет точку покоя в Y.

Похожие диссертации на Методы многозначного анализа в качественной теории дифференциальных уравнений

Конструкции негладкого и многозначного анализа в задачах динамической оптимизации и теории уравнений Гамильтона-ЯкобиЛахтин Алексей Станиславович

Качественный анализ ограниченных сферически-симметричных решений нелинейных уравнений теории поляПроцак, Людмила Витальевна

Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений с вырождениемКузнецова, Наталья Анатольевна

Дифференциальные неравенства и приближенные методы в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументомМаринец, Василий Васильевич

Метод характеристик в теории уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в теории управления Субботина Нина Николаевна

Приближенные методы в теории нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого и третьего родаОмуров, Таалайбек Дардайылович

Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемымиХатламаджиян Гаспар Лусегенович

Некоторые конструктивные методы теории функционально-дифференциальных уравненийКорытова, Марина Александровна

Применение метода факторизации в асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка Мохамед Камара Стиль

Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости Гатапов Баир Васильевич