Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи. 17
1.1 Определение стратифицированного множества 17
1.2 Физическая интерпретация 23
1.3 Координаты на стратифицированном множестве 25
1.4 Стратифицированная мера 28
1.5 Функциональные пространства 30
1.6 Прочность 31
1.7 Оператор Лапласа-Бельтрами 33
1.8 Задача Дирихле 36
2 р-гармонические функции 37
2.1 Понятие шара на стратифицированном множестве 37
2.2 р-гармонические функции 40
2.3 Теорема о среднем на стратифицированном множестве . 42
2.4 Свойства р-гармонических и р-субгармонических функций 46
2.5 Гармоническая функция в окрестпоти нуль-мерных стратов в случае R2 50
2.6 Фундаментальное решение и функция Грина 66
2.6.1 Фундаментальное решение 66
2.6.2 Формула Пуассона 70
2.7 Неравенство Харнака 71
2.7.1 Сферический аналог неравенства Харнака 71
2.7.2 Неравенство Харнака 73
2.7.3 О равномерной сходимости р-гармонической функции 75
3 Метод Пуанкаре-Перрона. 77
3.1 Метод Пуанкаре-Перрона для классической задачи Дирихле. 77
3.2 Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве 80
Литература 84
- Координаты на стратифицированном множестве
- Функциональные пространства
- Теорема о среднем на стратифицированном множестве
- О равномерной сходимости р-гармонической функции
Введение к работе
К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа, имеющих разные размерности и различные физические характеристики, в частности разные элементы могут иметь разную плотность. Стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы. Примером является задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мембран, другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут иметь разные коэффициенты диффузии и разные размерности.
Уравнения на стратифицированных множествах позволяют по новому взглянуть на результаты классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах задачи Дирихле и Зарембы оказываются одинаковыми по методу исследования. Таким образом, вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, которое относится на первый взгляд к разным задачам, можно получить одну теорему. Кроме того, в некоторых случаях рассмотрение задачи как задачи на стратифицированном множестве позволяет упростить некоторые построения.
До конца 70-х годов исследованию поведения систем составного типа посвящены лишь отдельные работы. Одной из первых была работа Ку-
ранта (1926 г.) посвященная изучению колебаний мембраны, ко внутренней части которой прикреплена натянутая струна. В 70-е годы появляются работы Lumer'a [51], а позднее работы S.Nicase [48],[49] и J. Von Bellow [52],[53]. Ю.В. Покорным и его учениками изучаются упругие системы, составленные из конечного числа струн [37]-[39]. О.М. Пенкиным и его учениками изучаются структуры, составленные из струн и мембран[19], [23]-[34]. В какой-то степени к рассмотренной тематике можно отнести работы В.В. Жикова, О. А. Олейника, А.С. Шамаева по методу усреднения. Некоторые работы С.Л. Соболева и Б.Ю. Стернина [42] посвящены задачам, где стратифицированную структуру имеет граница. Эти работы продолжены С.А. Назаровым [22] и Б.А. Пламеневским.
Особенно интенсивно данная тематика развивается в последнее время.
Целью данной работы является постановка краевых задач на стратифицированном множестве для случая так называемого мягкого Лапласиана, получение результатов о разрешимости этих задач и распространение метода Пуанкаре-Перрона на эллиптические уравнения на стратифицированном множестве, изучение свойств гармонических и субгармонических функций на стратифицированном можестве.
В работе исследованы свойства гармонических и субгармонических функций для систем составного типа. Получено фундаментальное решение для стратифицированного шара и аналог формулы Пуассона. Доказан аналог классической теоремы о среднем, неравенство Харнака и следствия из него. Доказано существование классического решения на стратифицированном множестве.
Основные результаты работы являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Разработанная методика может быть использована при изучении систем составного типа.
Основные результаты опубликованы в [1]-[10]. Они докладывались и обсуждались на Воронежских зимних и весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач", международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, конференции И.Г. Петровского (МГУ). Из совместных работ [1],[2],[4] в диссертационную работу вошли только результаты, принадлежащие диссертанту. Работа [7] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Работа состоит из введения и трех глав. Первая глава работы посвящена постановке задачи, определению стратифицированного множества и необходимых для дальнейшего исследования понятий. Вводится ряд ограничений на геометрию множества, главным из которых является то, что страты должны быть плоскими и усиленно прочно примыкать друг к другу.
Можно дать следующее определение стратифицированного множества. Будем называть стратифицированным множеством тройку (Q, ^, <р), где О, - связное подмножество Rn, J2 набор его подмножеств (стратов crmj, где т- размерность страта, j - его порядковый номер), мр- отображение, описывающее "способ связки" О, из элементов системы ]Г . Размерность стратифицированного множества 7 будем обозначать d - это максималь-
пая размерность стратов, из которых состоит множество.
Считается, что замыкание страта компактно. В главе вводится понятие стратифицированной меры, как сумма мер по стратам
fi(Q) = ^ft(wfl аы) 1.4.1
и интеграла на стратифицированном множестве для функции из Са(0,)
J ud(i = Y; [ fdV- 1Л-2
Далее обсуждаются ограничения, накладываемые на структуру стратифицированного множества, обеспечивающие классическую разрешимость задачи Дирихле. Во-первых, мы считаем, что множество О, сотоит из "плоских" стратов, то есть рассматривается множество, состоящее из многогранников. Требуется чтобы рассматриваемое множество было усиленно прочным, то есть чтобы для любого страта размерпоси к, где к < d — 2, существовала сколь угодно малая окрестность U страта 6 такая что множество U \ оы является связным.
Дивергенция поля градиента в точке X определяется по формуле:
vf=Y, ^tiffl + VH^W, 1.7.1
где ищ У (Tk-u означает примыкание страта ощ к (Тк-и (иными словами Vk-ij С сгм )> v единичная нормаль к сгк-и, направленная внутрь страта, по которому в данный момент идет суммирование, Vjt-i F (X) - обычная к — 1 мерная дивергенция. Запись F \щ (X) означает продолжение по непрерывности поля F с ищ в точку X, то есть предел F(Y), когда
Y Є Okj стремится к X Є
Геометрия стратифицированного множества может быть достаточно сложной. При этом в целом, как правило, оно не является многообразием даже локально. Поэтому нет возможности ввести координаты на всем множестве. В результате этого в работе вводятся коордиаты автономно на каждом страте, специальным образом согласованные в местах примыкания. Отметим, что в дальнейшем используется следующие обозначения: заглавными буквами обозначаются точки стратов (X точка страта ям), ей соответствуют локальные координаты х1, ...,хк.
Для постановки краевых задач удобно разбить множество Q на части. А именно, через fio С Г2 обозначим любое связное открытое подмножество Q, (каждый страт является многообразием с топологией, индуцированной из Жп), составленное из стратов и такое, что Qo = О. Разность Q\Qo обозначим сЮ - это граница Qo- Мы будем предполагать, что дП0 ф 0.
На fio задается оператор Лапласа, на сЮо - краевые условия.
Рассматриваемый нами Лапласиан имеет вид
Ари = V(pVu), 1.7.4
где Vw - поле градиента непрерывной на О, функции, непрерывно дифференцируемой в каждом страте, а внешний значок означает взятие дивергенции по упомянутой стратифицированной мере. Во всей работе предполагается, что р - так называемая "стратифицированная константа", то есть ее сужение на каждый страт является постоянной функцией. При этом р отлична от нуля (точнее положительна) только на стратах старшей размерности. Такой Лапласиан Ар называется в работе мягким.
Заметим, что при наложенных на рассматриваемое множество ограничениях оператор Лапласа на стратах максимальной и на единицу меньшей размерности будет иметь соответственно следующий вид:
РіАи = 0,Х Єсту, 1-7.6
&ри(Х)= J2 Pj(^u)\kj(X),Xead-lh 1.7.7
где i/j - нормаль к dd-il в точке X направленная внутрь <7ф-, d - размерность множества, на котором задается оператор.
На стратах меньшей размерности дифференциальных соотношений нет, имеется лишь условие непрерывности.
На О, задается задача Дирихле.
Ари = О, X еПо 1.8.1
и |шо= Ч> 1-8.2
В данной работе исследуется вопрос о существовании классического решения поставленной задачи. Решение ищется в классе функций C%(Q) - непрерывных на Q функций, имеющих непрерывные вторые производные внутри стратов, причем первые производные существуют вплоть до граничных стратов страта akj, лежащих в Qo-
Во второй главе формулируются и доказываются теоремы, которые позволят в дальнейшем применить метод Пуанкаре-Перрона. Даются определения р-гармонической и р-субгармонической функций и доказываются их свойства на множестве О,. Приводятся формула фундаментального решения и формула Пуассона.
Определение 2.2.1. Функция и Є Cj(fi) заданная на Qq называется р-гармонической если на Qq она удовлетворяет уравнению
Ари = О,
где оператор Ар определяется исходя из формулы (1.7.6),(1.7.7).
В связи с достаточно сложной структурой рассматриваемого множества приходится ввести ограничение на радиус рассматриваемых шаров, поэтому вводится понятие допустимого шара. Пусть Б Є o~k-u и г > О не превосходит расстояния от S до всех стратов ощ > &k-iu не содержащих Б в своих замыканиях (такие г назовем допустимыми, шары с таким радиусом так же будем называть допустимыми). Тогда пересечение шара В(Б,г) С Rn с Q будем называть стратифицированным шаром и обозначать В(Е,г). Аналогично определяется стратифицированная сфера S(E, г). Сферу S(E,r) так же можно рассматривать как стратифицированное множество, считая ее d-1 мерными стратами пересечение S(E,r) П сгф- = Sf'1. Меру \і на 5(Н, г) определяем так же как и выше. Многие результаты для р-гармонических функций, в частности теорема о среднем и фундаментальное решение получены в шаре.
Определение 2.2.2.Непрерывная функция и(Х) заданная на fio называется р-субгармонической если она удовлетворяет условию
^ * Е PJeBi{E,r)) I **>-*,
B«(S,r) дВ(Е,г)
где р = pi, если X Є o-di} 5,-(5, г) = В(Е, г) Г) о&.
Теорема 2.3.1.(Теорема о среднем) Пусть В(Б, г)- простой стратифицированный шар, и(Х)- р-гармоническая функция, тогда справед-
ливо следующее равенство
«(H) = -= ,яр/д xv / pu(X)dsr, 2.3.1
Bt(E,r) дВ{Е,г)
где р = pi, если X Є стд, Д-(Н, г) = 5(5, г) П (
На основании теоремы о среднем доказывается ряд важных свойств для р-гармонических и р-субгармонических функций.
Например, следующая теорема представляет строгий принцип максимума.
Теорема 2.4.1. Если и - р-гармоническая в Qq функция, то она не может иметь нетривиальных локальных экстремумов в Qo-
При этом X называют точкой нетривиального локального экстремума функции и, если, во-первых, это точка локального экстремума, а, во-вторых, и не постянна ни в какой окрестности точки X.
Сразу, как следствие, получаем следующую теорему:
Теорема 2.4.2. Задачи Дирихле (1.8.1)(1.8.2) имеет не более одного решения в классе Cl{Q).
Кроме этого удается доказать следующие свойства р-гармонических и р-субгармонических функций.
Теорема 2А.Ъ.Если и р-субгармоническая функция, то она не имеет внутри этого множества точек нетривиального максимума.
Теорема 2АА.Если v\,V2,...,vn- р-субгармонические функции в области Qq, то функция v = max(v\,V2,..., vn) так же р-субгармоническая в IV
Определение 2.4.1 Пусть и{Х) непрерывна па О, и Br = В(Е,г) - допустимый шар (5 Є О). Через Мвг[и](Х) обозначим функцию, которая совпадает с и(Х) вне шара, а в шаре является решением задачи
Дирихле
Apv = 0,X B(E,r)
v \дв= и
Такая функция называется "р-гармонической срезкой" функции и(Х).
Теорема 2.4.5.Пусть и{Х) р-субгармоническая функция, тогда функция Мв[и]{Х) тако/се является р-субгармоиической, причем для любого X eQ выполнено Мв[и]{Х) > и(Х).
Теорема 2.4.6. Если последовательность непрерывных в некоторой замкнутой ограниченной области К и р-гармонических в этой области функций равномерно сходится на границе области, то она так оке равномерно сходится на всей рассматриваемой области.
Важную роль в реализации метода Пуакаре-Перрона играет фундаментальное решение для допустимого шара, центр которого лежит в страте максимальной или на единицу меньшей размерности. Функцию G(X, Y) определим следующим образом:
( Pl + РіК(х,у) + ^-у), X,Ye Bh
2д ч ' 2pi
G(X,Y) = l
K(x,y), XeBjV^llYeBt,
2.6.4
где x получается из х заменой xd на — xd, то есть х является отражением
х, a Pi - сумма всех pj (j ф I), соответствующих всем сг<# >- а<і-\і- Мы
полагаем Р\ = 0, если к o~d-ii примыкает только один с?-мерный страт.
Положим также Р = Pi + pi. Через К(х,у) обозначена классическая
функция Грина задачи Дирихле в обычном d-мерном шаре В(, г) С Ш1
К сожалению для шаров с центрами в стратах размерности d — 2 и
меньше найти формулу не удалось.
В случае d = 2 проблему представляют лишь сферы с центрами в нуль-мерных стратах. В некоторых случаях мы можем предъявить формулу для фундаментального решения. Например, если шар состоит из секторов круга с углами 90 и внутри шара нет угловых особенностей, то формула имеет вид
' Pl + V, v) + ^K{xt tf)+
2pi v '"' Ірі
G(X, Y) = {
+ 2L^LK{xi у**)*^Лк{х, y),X,YBl
K(x,y*) + K(x,y),X є Bj (j^l),Ye Bh
2.6.5
где у = (yh y2), y** = (-2/1, 2/2), У* = (2/1, -2/2), У = (-2/1, -2/2)-
В результате имеем следующую теорему.
Теорема 2.6.1. G(X,Y) = -pG(X, Y) является фундаментальным решением оператора Др.
Заметим, что если строить функцию G(X, F) отправляясь от функ-ции Грина оператора Лапласа, то G так же будет функцией Грина. В этом случае получаем аналог формулы Пуассона для решения задачи Дирихле (1.8.1)(1.8.2) в шаре
и(Х) = - J pp(Y)dGi^Y)dti, (2.6.6)
BB(E,r)
где р = pi на adi.
На основании сформулированных выше теорем удается доказать сферический аналог неравенства Харнака для допустимых шаров, на основании которого доказывается теорема о равномерной сходимости р-субгар-
монических функций.
Теорема 2.7.1. Пусть и - неотрицательная на Qo р-гармоническая функция и В(Е, R) С Qo - допустимый шар. Е Є о~ті или Е Є сгт-ij-Максимальная размерность стратов равна т. Тогда при р < R и некоторых независящих от и констант С\ и С*2, имеем
(R + p)m~l ^)-^)-1 (R-p)m-l ^ J
для любого X Є В(Е, R), удаленного от X на расстояние р.
В случае, когда d=2, получается неравенство Харнка для произвольных подмножеств Qq (компактно вложенных в Qq)
Теорема 2.7.2. Пусть ш - компактное подмножество Q,q d(Qo) = 2. Тогда существует такая константа С, что для любой неотрицательной р-гармопической функции и выполняется неравенство
max и(Х) < С min и(Х). 2.7.2
ХЄш Хеш
Следует заметить, что мы не можем доказать это неравенство на основе только неравенств Харнака (поскольку они получены не для всех сфер). Не можем мы его получить и на основе теоремы о среднем (в отличие от классического случая), поэтому доказательство получается комбинированием того и другого.
Теорема 2.7.3. Если неубывающая или невозрастающая последовательность р-гармопических функций в области ЄІ сходится в некоторой точке множества Q, то она сходится во всех точках Q и сходимость равномерна в любой замкнутой внутренней подобласти к функции гармоничной в Q.
В случае, когда имеется плоский стратифицированный шар, где центром шара является нуль-мерный внутренний страт, а двумерные страты - сектора с углами по 90 удается получить аналог формулы Пуассона.
і с
и(а>р) = ^/ ^^Ъ^Р + S(^pcos2n(^cos2na+
Pi (р \ 2п
Н — sin 2ткр sin 2па) I — ) )dy>
В третьей главе приводится реализация метода Пуанкаре-Перрона сначала для случая, когда множество состоит из прямоугольных ячеек в Ж2, а затем для специального класса стратифицированных множеств в случае W1.
Определение 3.1.1. Определим мнооїсество (7^(0) - мпооїсество ниоісних функций, как множество р-субгармонических функций, не превосходящих на границе заданной непрерывной функции (р.
cr^(fi) = {и : и Є C(Q) Псг(ОД, и(Х) ^ <р{Х),Х Є дП0} 3.1.1
Определение 3.1.2. Функцию W^X) определим следующим образом
WV{X) = sup и{Х), X Є Q 3.1.2
и будем называть ее верхней огибающей семейства a^(fi).
При определенных требования на геометрическое устройство Q имеет место следующая теорема
Теорема 3.1.1. Пусть граница множества Qo является регулярной. Тогда верхняя огибающая семейства функций <7<ДО) является искомым решением задачи Дирихле (1.8.8),(1.8.9).
Под регулярностью границы понимается выполнение следующего свойства в каждой точке из дО,о
Определение 3.1.3. Граница называется регулярной, если для любой точки X Є д1о существует барьер. То есть существует некоторая р-супергармоническая функция и>, такая что w(X) = 0 и w(Y) > О для любого Y Є fi \ X.
Как и в классическом случае доказательство этой теоремы состоит из двух независимых частей. Сначала доказывается что W^ - гармоническая функция (в случае стратифицировапого множества р-гармоническая функция), а затем, что Wv удовлетворяет граничным условиям, то есть
ИУап = Ч>.
Теорема применима, например, к случаю, когда на плоскости имеется область, удовлетворяющая условиям внутренней сферы, и разбитая на конечное число частей вертикальными и горизонтальными линиями. Граница области причисляется к Шо- Другой случай - цилиндрический слой в пространстве R3, разбитый на конечное число частей плоскостями, параллельными оси OZ, предполагается, что образующая цилиндра так же параллельна оси OZ. При этом, например, нижнее основание предполагается удовлетворяющим условию внутренней сферы. Требование выполнения условия внутренней сферы может быть ослаблено.
Для случая пространства большей размерности удается доказать разрешимость задачи Дирихле в случае, когда маломерные страты (страты, размерность которых меньше d и d — 1) не являются внутренними.
Координаты на стратифицированном множестве
Как уже отмечалось выше, геометрия стратифицированного множества может быть достаточно сложной. При этом даже в достаточно простом случае оно не является многообразием даже локально. В общем случае каждый страт является гладким подмногообразием в Жп, при этом он является Римановым многообразием с индуцированой из W1 метрикой. В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения. Точки многообразия будем обозначать заглавными буквами -X - точка страта сг&, ей соответствуют координаты уі,...,уп в Rn и ее локальные координаты х\ ..., #&. Рассматриваемое нами множество также не является многообразием, в связи с этим мы не можем ввести на нем локальные координаты. Поэтому введем некоторый набор координат, где координаты фактически задаются для каждого страта и согласовываются специальным образом в местах примыкания. Напомним, что мы рассматриваем случай, когда множество состоит из многогранников. Приведем сначала пример задания координат для частного случая в Ж3. Для этого рассмотрим частный случай стратифицированного множества, которое состоит из трех прямоугольных стратов, имеющих одну общую строну.
Зададим координатную ось х1 для сгц-страта, общего для всех сг2;, і = 1,3. А затем для каждого страта 6 доопределим еще одну координатную ось ж2, ортогональную к ж2, таким образом мы фактически получили отдельные координаты для каждого страта. Пример такого задания координат изображен на рисунке: В общем случае для задания локальных координат сначала определим какие-нибудь ортогональные координаты х1,... ,xd l на сгк-и, т.е. в общей "экваториальной" плоскости всех сг -, отвечающих стратам &kj - 0fc-H, а затем для каждого Okj дополним их еще одной координатной осью хк, ортогональной к Тк-и и такой, что хк принимает положительные значения на 6 и хк — 0 на (Jk-ij- хк определяется индивидуально для каждого вщ У &к-и- В дальнейшем путаницы из-за одинаковых обозначений возникать не будет так как из контекста будет ясно о какой координате идет речь. При введении координат подобным образом мы считаем, что каждый страт (Tkj однократно примыкает к 0"&_у, это не всегда так. На рисунке приведен пример, кратного примыкания страта. В этом случае для введения координат нужно мысленно разделить страт а на части однократно примыкающие к сгь-и и дополнительная ось вводится отдельно для каждого "куска". Для задания интеграла на стратифицированном множестве необходимо определить на нем стратифицированную меру. Определим ее на некотором подмножестве ш С fi. Для этого сначала определим меру на каждом страте 0. Каждый страт 6 является гладким многообразием и, следовательно, на нем мы можем определить обычную меру Лебега Цк = d(j,k- Тогда для шСП мера будет задаваться следующим соотношением: Множество, на котором определена мера //, называется измеримым. Таким образом, измеримость множества и равносильна измеримости каждого подмножества 0. В случае рассматриваемого множества у нас на каждом страте задана некоторая функция р(Х), постоянная в пределах этого страта (р(Х) = Рі, еслиХ Є %). Поэтому наряду с обычной мерой можно рассматривать "весовую", то есть когда на т& распределена некоторая плотность Pi. Тогда
Функциональные пространства
В работе используются следующие обозначения функциональных пространств. С (О,)- множество непрерывных на Q, функций. Через Co(fi) будем обозначать множество непрерывных на Q функций, которые на границе области 9Q обращаются в ноль. С(т( о)- множество функций, сужение которых на каждый страт с%-непрерывно. Введение этого функционального пространства обусловлено тем, что в пределах каждого из стратов функция может быть непрерывна, но иметь разрывы в целом на О,. C(Qo)- множество функций, сужение которых на каждый страт 0 имеет непрерывные частные производные порядка т включительно. При этом мы предполагаем, что производные первого порядка допускают продолжение по непрерывности на каждый Gk-ij ы- C(QQ)- множество функций из Cm(f2), обращающееся в ноль на д1о- В дальнейшем при доказательстве разрешимости поставленной краевой задачи мы будем искать функцию из класса C(Q) f] C(Qo). То есть наша функция должна быть непрерывна и достаточное количество раз дифференцируема в пределах каждого страта. Как уже отмечалось выше, нам необходимо чтобы рассматриваемое стратифицированное множество было прочным.
Дадим теперь строгое определение прочности. Определение 1.6.1. Стратифицированное мноэюество называется прочным, если для любых двух стратов ак{ и amj существует цепочка стра-тов CTkimu&ksms} - - -1 kvmv, обладающая следующими свойствами: На рисунке приведены примеры непрочного и прочного стратифици- рованного множества соответственно. Прежде чем переходить к постановке задачи Дирихле для множества О, мы должны определить понятие дивергенции на стратифицированном множестве. Подробнее о понятии дивергенции написанно в работах 11],[12]. Векторное поле F назовем касательным к Q,Q, если его сужение на каждый страт является касательным пространством к этому страту. В общем случае, если X Є (Тк-и- Дивергенция поля F в такой точке определяется по формуле: где Gkj У Ck-ii означает примыкание akj к Ок-и (иными словами выполнено Gk-ц С Jki ), v единичная нормаль к (Тк-ц, направленная внутрь страта, по которому в данный момент идет суммирование, Vk-i F (X) -обычная (& —1)-мерная дивергенция. Запись F \щ (X) означает продолжение по непрерывности поля F с akj в точку X, то есть предел F(Y), когда Y Є сщ стремится к X Є сгк-ij Множество F на которых мы по формуле (1.7.1) определяем обозначим C (fio)_ пространство функций, таких, что их сужение на 0 имеет непрерывные частные производные первого порядка, кроме того Пусть и : Q — W1. На О, задана стратификация и и Є C%(Q). Через Vw обозначим градиент. Заметим, что в X Є (Гц оператор \7и совпадает с обычным градиентом, который в локальных координатах имеет вид Vu = (Jp-, ...jp).
Определим теперь аналог оператора Лапласа- Бельтрами на стратифицированном множестве как или где Afc-i классический (k-1) - мерный оператор Лапласа-Бельтрами. В случае, когда на каждом из стратов задана некоторая постоянная в пределах каждого страта ак% функция р{Х) (р{Х) = pi, х Є аы аналог оператора Лапласа-Бельрами будет задаваться следующим образом: В этом случае, учитывая (1.7.1), мы можем переписать оператор в более подробном виде: В случае когда р 0 для стратов любой размерности мы будем называть этот оператор "жестким" Лапласианом. Если р 0 только в стратах максимальной размерности и р — 0 на остальных стратах, то в этом случае Лапласиан будем называть "мягким". Механическим примером, приводящим к "мягкому" Лапласиану, является система, состоящая только из мембран. К жесткому Лапласиану приводит система, состоящая из мембран, в местах стыковки которых находится струна.
Теорема о среднем на стратифицированном множестве
В этом пункте доказывается теорема, которая в дальнейшем позволит доказать ряд важных свойств р-гармонических функций, которы понадобятся для реализации метода Пуанкаре-Перрона. Напомним, что мы считаем р = р(Х) - стратифицированной константой, то есть она постоянна в пределах каждого страта. Кроме того, мы считаем ее положительной в стратах максимальной размерности и равной нулю на остальных стратах. Теорема 2.3.1 (Теорема о среднем).
Пусть В(Б,г)- допустимый стратифицированный шар, и(Х)- р-гармоническая функция, тогда справедливо следующее равенство: Замечание 2.3.1. В случае, когда Б принадлежит страту максимальной размерности, теорема ничем не отличается от классической. Очевидным следствием из теоремы о среднем, доказательство которого ничем не отличается от классического случая, является принцип максимума. Теорема 2.4.1. Если и(Х)- р-гармоническая в QQ функция, то она не моэюет иметь нетривиалпых локальных экстремумов в Qo- При этом Хо называют точкой нетривиального локального экстремума функции и(Х), если, во-первых, это точка локального экстремума, а, во-вторых, и{Х) не постоянна ни в какой окрестности точки XQ. Доказательство. Докажем, что и(Х) не имеет точек нетривиального максисума. Предположим противное, пусть существует XQ - точка нетривиального максимума. Тогда существует такая окрестность B(XQ, є) точки Хо, что для любого X Є В(Хо,є) выполнено U(XQ) и(Х). Заметим, что если є не является допустимым радиусом, то мы можем всегда взять є є, такое, что В(Хо,е ) будет допустимым шаром. Рассмотрим функцию v(X) — U(XQ) — и(Х) - неотрицательная функция, р-гармоническая, тогда для нее справедлива теорема о среднем для шара В(Хо1р), где р є : ция неотрицательна и непрерывна, следовательно v(X) = 0 на дВ(Хо, р), при р є . Тогда и(Х) = U(XQ) для любого X Є дВ(Хо,р) и значит функция и(Х) постоянна в шаре B(XQ, Є ) (В силу произвольности выбора р), получили противоречие. Аналогично доказывается отсутствие у р-гармонической функции и(Х) нетривиального минимума. Теперь мы можем доказать единственность решения задачи Дирихле, в случае когда оно существует. Теорема 2.4.2. Если решение задачи Дирихле (1.8.1),(1.8.2) существует, то оно единственно. Доказательство этой теоремы абсолютно аналогично классическому случаю и имеется, например, в [41].
Выше было дано определение р-субгармонической функции. Сформулируем теперь некоторые свойства, характерные для них. Теорема 2.4.3. Если и р-субгармоиическая в Q,Q функция, внутри некоторого замкнутого множества, то она не имеет точек нетривиального максимума внутри этого мнооїсества. Доказательство. Докажем, что и не имеет точек нетривиального максимума. Предположим противное, пусть существует XQ - точка нетривиального максимума, то есть в окрестности этой точки функция непостоянна. Поэтому в шаре В(Хо,е) для любого X выполнено U(XQ) и(Х). (Аналогично Теореме 2.4.1 можем считать шар допустимым.) Рассмотрим функцию v(X) .= и(Х) — U(XQ). Она будет р-субгармонической, тогда по определению для некоторого шара В(Хо,р) выполнено следующее неравенство: v(Xo) .JQB}X р)) J v(X)ds. V(XQ) = 0, причем выполнено )}дв(х0,р) неравенство v(X) 0, и следовательно имееи место следующее соотношение 0 Apv = 0 v \дв= и Такая функция называется "р-гармонической срезкой" функции и. Гармоническая срезка так же является р—субгармонической функцией, что следует непосредственно из ее определения. Сформулируем этот результат как теорему. Теорема 2.4.5. Если и р-субгармоническая функция то, Мвг[и] так же является р-субгармонической функцией. При этом р-гармоническая срезка не меньше р-гармонической функции, на основании которой она построена. То есть Мвг[и] и.
О равномерной сходимости р-гармонической функции
Пусть ип неубывающая последовательность р-гармонических функций и она сходится в точке Р. Покажем, что тогда она сходится в любой точке множества. Рассмотрим В(Р,є) и покажем, что тогда функция сходится в каждой точке этого шара. Рассмотрим последовательность vn = ип+р — ип- неотрицательная последовательность и, следовательно можем применить неравенство Харнака. Воспользуемся формулой (2.7.1) и выпмшем следующую оценку Откуда получаем,что из равномерной сходимости в точке Р следует равномерная сходимость в точке X находящейся в шаре В(Р,е). Так как существует покрытие нашего множества допустимыми шарами, то мы можем соединить любые две точки нашего множества цепочкой шаров и таким образом из сходимости в некоторой точке Р будет следовать сходимость в любой точке множества. В случае, когда выполнено обычное неравенство Харнака, мы имеем следующую оценку: Перейдем непосредственно к реализации метода Пуанкаре-Перрона. Для этого введем в рассмотрение класс, так называемых, нижних функций. Определение 3.1.1. Определим мнооїсество cfy(fl) - мнооїсество нижних функций, как мнооїсество р-субгармонических функций, не превосходящих на границе заданной непрерывной функции ір. ар(П) = {и:и C(Q) П (т(По), «РО р{Х), \Х Є ЗЗД (3.1.1) Где CT(QQ) - множество р-субгармонических на Qo функций. Определение 3.1.2. Функцию W X) определим следующим образом и будем называть ее верхней огибающей семейства функций а р{0) При определенных требованиях на геометрию стратифицированного множества О, (они были определены в (1.1)) мы можем сформулировать основной результат в виде теоремы. Теорема 3.1.1. Пусть граница множества Q,Q является регулярной. Тогда верхняя огибающая семейства функций а О,) является искомым решением задачи Дирихле (1.8.1),(1.8.2). Под регулярность границы мы понимаем выполнение в каждой точке из 8QQ следующего свойства. Определение 3.1.3. Граница называется регулярной, если для любой точки X Є д&о существует барьер. То есть существует некоторая р-супергармоиическая функция ш, такая что ш(Х) = 0 и OJ{Y) 0 для любого Y Є \ X. Определение 3.1.4. Будем называть точку X регулярной, если в этой точке существует барьер. Как и в классическом случае, доказательство этой теоремы состоит из двух независимых частей.
Сначала доказывается что Wv - гармоническая функция (в случае стратифицированого множества р-гармоническая функция), а затем, что Wv удовлетворяет граничным условиям, то есть W p\dti = у. Приведем краткую схему доказательства, которую можно более подробно посмотреть, например, в [13],[45]. Покажем сначала, что функция W является р-гармонической в некотором допустимом шаре B(E,R). Воспользуемся свойством р-субгармо-нических функций, что на любом открытом множестве р-субгармоничес- кую функцию, не являющуюся р-гармонической, можно сделать гармонической в некотором шаре, не изменяя ее в остальных точках. Заметим, что максимум конечного числа р-субгармонических функций является р-субгармонической функцией. Тогда мы можем построить последовательность {vn} р-субгармонических функций, сходящихся к и на плотном множестве в некотором шаре при г R. Эту последовательность можно считать равномерно ограниченной сверху любой р-гармонической или р-супергармонической функцией, при этом мы можем выбрать эту последовательность такой, что она будет ограничена снизу. Мы можем взять vn = max{m,vn}, где т - минимум функции ер - некоторая постоянная функция, которая так же является р-субгармонической. Из {vn} мы можем построить последовательность {Мдг[гу} - р-гармонических функций в шаре В(Е, г), которые на границе совпадают с vn. Таким образом {Мвг[г;п]} - неубывающая последовательность р-гармонических функций, сходящаяся на плотном множестве.
Тогда из теоремы Харнака следует, что можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность, которая сходится к р-гармонической функции, которая будет совпадать с W на плотном множестве, а следовательно, и во всем шаре В(Е, R). Граничным условиям W удовлетворяет в силу условия регуляности границы 8QQ. Пусть на плоскости имеется некоторая область Q, граница которой удовлетворяет условию внутренней сферы, то есть является регулярной. Границу области будем считать границей стратифицированного множества - OQQ, В качестве QQ будем рассматривать fi \ dQ. Разобьем область на конечное число областей вертикальными горизонтальными линиями. Полученные ячейки считаются двумерными стратами - сг2&, границы ячеек - одномерные страты - оц. На множестве задана стратифицированная константа р(Х), которая постоянна в пределах двумерных стратов. В остальных стратах (размерности ноль и один), как отмечалось выше, она равна нулю. Пример подобного множества приведен на рисунке: Докажем, что у задачи (1.8.1),(1.8.2), заданной на таком множесве, существует решение. Для этого построим последовательность р-субгармо-нических функций и покажем, что она будет равномерно сходиться к некоторой р-гармонической функции, которая на границе принимает заданное значение. Для этого нам надо показать сходимость в шаре В(Е, R). Рассмотрим покрытие нашего множества допустимыми шарами. Это можно сделать следующим образом.
