Введение к работе
Актуальность темы. Имеется по меньшей мере три причины для изучения дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах (связных подмножествах эвклидова пространства, составленных из конечного числа его гладких подмногообразий, специальным образом примыкающих друг к другу).
Во-первых, к ним приходят при моделировании статических и динамических явлений в сложных физических системах. Примером является задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел. Другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут иметь разный коэффициент диффузии и могут даже отличаться размерностью (жидкость, перегороженная проницаемыми пленками, которые могут иметь собственную проводимость в направлении, касательном к ним).
Во-вторых, уравнение на стратифицированном множестве позволяет по новому взглянуть на результаты и методы классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах, краевые задачи Неймана и Вентцеля для уравнения Лапласа, а также уравнение Лапласа на сфере формально неразличимы. Кроме этой формальной схожести имеется сильное сходство в качественных свойствах решений этих задач. Тем самым мы получаем возможность вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, относящееся, на первый взгляд,, к различным задачам, получить одну теорему.
В третьих, как нам кажется, теория уравнений на стратифицированных множествах, окажется поставщиком новых идей, реализация которых в применении к классическому случаю может привести к упрощению некоторых хорошо известных построений. К примеру, пусть в области G эвклидова пространства рассматривается уравнение V(pVu) = 0 с достаточно
гладким коэффициентом р. Триангулирр#в6йдавдН»йф|>іаГ|сентьі а^ и
І БИБЛИОТЕКА |
з « о» 13$7*^(\
r-.-.гйяя р в каждом таком фрагменте константой, мы получим уравнение " ?, стратифицированном множестве (при этом рассматриваемое уравнение /(v~7u) = 0 в местах стыка элементов триангуляции трактуется специальным образом, основанным Ни, дифференцировании по мере). В данной расоте вопрос о классической разрешимости задачи Дирихле для подобного уравнения решается достаточно просто на основе модификации метода Пуанкаре - Перрона. Очевидно, задача рассматриваемого типа может слу-: ть аппроксимацией классической задачи Дирихле. Эпизодические работы по уравнениям на стратифицированных множе-л-вах появлялись давно. Первая, известная нам работа, о колебаниях мем-5:з.яы, перегоро-,кенноЯ струной, была опубликована в 1228 году Р.Курантом .'.-ггалько позже Л.Коллатц применил разностный метод к решению по-дсбны-; задач. В конце 50-х годов М.Шахтзр рассмотрел так назыБ -змую судачу о трансмиссии, состоящую в следующем. Рассматриваются два эллиптических оператора в областях, имеющих общл:?. кусок граннцы. Тре-буэтся согласовать операторы в месте стыка так, чтобы состазной оператор в объединении областей и стыка обладал эллиптическими свойствами. Систематическое хсе изучение уравнений на стратифицированных мколсе-с?2а/ началось в 70-х годах. Отметив, во-первых уравнения ка так ь азы-ггзу.ых геометрических гргфах или топологические сетях (Г.Люмер, B.C. Павлов, М.Д.Уаддеев, Ю.В. Покорный, М.З.Соломяк и др.). Собственно теория уравнения на стратифицированных множєстеьх (без ограничений на размерности стратов) стала развиваться в 90-х годах. С одной стороны к ней вели работы по уравнениям в областях со стратифицированной граякгзй (типа граненого конуса) (С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский, В.А. Кондратьез), а с другой - работы по уравнениям в перфорированных областях и областях с сильными неоднородностями (В.В. Жиков, СМ. Козлов, О.А. Олейник, С.А. Назаров, А.С. Шамаев и др.). Последнее направление привело, в конечном итоге к уравнениям на так называемых сингулярных структурах (фактически, на стратифицированных множествах).
'" ' /Г; ;.'-.' »
« * і
flf*V -. )
* <. (* і ».< 4
В упомянутых работах рассмотрен широкий круг вопросов: разрешимость краевых задач, асимптотики спектра и т.п. Вместе с тем обращает на себя внимание отсутствие систематически развитой качественной теории эллиптических уравнений на стратифицированных множествах, включающей традиционный набор свойств типа принципа максимума, теорем о среднем, неравенства Харнака и т.п. В связи с этим данная работа, посвященная как раз этим вопросам, представляется нам актуальной.
Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00417 и 01-01-00418.
Цель работы. Цель данной работы - решение следующих задач:
разработка элементов математического анализа на стратифицированном множестве на уровне физических операторов типа дивергенции и лапласиана;
постановка эллиптических краевых задач второго и четвертого порядка на стратифицированном множестве в терминах производных по мере;
получение результатов о разрешимости таких задач в различных пространствах;
описание качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств на упомянутых множествах;
распространение классического метода Перрона - Пуанкаре на эллиптические уравнения на стратифицированных множествах.
Методика исследований. Методика исследований основана, главным образом, на аналогах теоретико-функциональных конструкций классического математического анализа:
- в постановочной части используется определение дифференциальных
операций типа дивергенции и градиента в терминах дифференцирова
ния по специальной стратифицированной мере;
при доказательстве разрешимости краевых задач используются аналоги пространств Соболева по указанной мере и простейшие аналоги теорем вложения, связанные с ними (типа неравенства Пуанкаре -Стеклова);
описание качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств основывается на аналогах классических интегральных тождеств, аналогах теоремы о среднем, аналоге теоремы Штурма о сравнении.
Применяются также методы функционального анализа, группирующиеся, в основном, вокруг понятия оператора, действующего в пространстве с конусом. В части, относящейся к описанию спектра частот собственных колебаний сеток из струн применяются также некоторые факты из теории разностных схем.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В их числе отметим следующие:
аналоги классических интегральных тождеств (формулы Остроградского - Гаусса, Грина);
аналог неравенства Пуанкаре - Стеклова;
теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле на так называемых прочных стратифицированных множествах в пространствах типа Соболева, а также в пространствах классического типа;
аналоги классической теоремы о среднем для гармонических функций и доказанные на их основе принципы максимума;
аналог леммы о нормальной производной;
оценки кратностей собственных значений задачи Штурма - Лиувилля на одномерных стратифицированных множествах.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических уравнений (в том числе и в классической постановке). Кроме того, разработанная методика может быть использована при моделировании систем составного типа и исследовании статических и динамических явлений в них.
Апробация работы. Результаты данной работы докладывались
на конференциях: «Понтрягинские чтения» в Воронеже в 1996-2002 гг.; в Воронежской (1999, 2001) и Саратовской (2002) школах по теории функций; на международных конференциях им. И.Г. Петровского (1994, 1998, 2001); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале (2002); на международной конференции «Partial Differential Equations on Multistructures» (Prance, Marceille, 1999); на конференции по динамическим системам в С.Петербурге (2000); на международной конференции «Колмогоров и современная математика» в Москве (2003).
на семинарах: Ю.В. Покорного (ВорГУ); А.Д. Мышкиса(МИЙТ); В.А. Кондратьева - Е.М. Ландиса(МГУ); В.А. Кондратьева - Н.Х. Розова -В.М. Миллионщикова (МГУ), О.А. Олейник (МГУ), А.А. Дезина - В.А. Ильина - Е.И. Моисеева (МГУ), В.В. Жикова - А.С. Шамаева - Т.А. Шапошниковой (МГУ), А.И. Перова (ВорГУ), Ю.Г. Борисовича (ВорГУ), О.А. Ладыженской (семинар им. В.И. Смирнова, Петербургское отделение МИ-РАН ), S. Nicaise (Univ. Valenciennes, France), И.А. Шишмарева (МГУ).
Публикации. Результаты данной работы опубликованы в статьях [1]-[21], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 191 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 64 наименования.
