Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы Гачаев Ахмед Магомедович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и сопутствующим интегральные операторы

1.1. Постановка задачи 25

1.2. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках 28

1.3.О качественных свойствах несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнениями в частных производных смешанного типа 40

1.4. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному уравнению дробного порядка

1.5. Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования 58

1.6. Об одном способе приближенного решения уравнений дробного порядка 66

1.7. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка 70

Глава 2. Некоторые вопросы полноты систем собственных функций операторов дробного дифференцирования

2.1.О полноте систем собственных функций оператора дробного дифференцирования 75

2.2 . О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах 87

Глава 3. Применение дифференциальных уравнений дробного порядка

3.1. Модель деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка... 95

3.2. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте 101

Заключение 109

Список литературы 111

• Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках
• Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования
• . О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах
• Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте

Введение к работе

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Тому подтверждение монография A.M. Нахушева [75], посвященная основополагающим элементам дробного исчисления и их приложениям к проблемам математического моделирования различных процессов в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью. Интенсификации фундаментальных и прикладных исследований в области дробного дифференциального исчисления значительно способствовали проблеме описания нелокальных краевых задач со смещением для основных типов уравнений математической физики и биологии [78], выход в свет в 1972 г. книги "Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений" коллектива авторов Х.Г. Бжихатлова, И.М. Карасева, И.П. Лесковского, A.M. Нахушева [21], а также весьма содержательного обобщающего труда С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Мари-чева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", изданного в г. Минске в 1987 г. [91]. Необходимость развития теории дифференциальных уравнений сделала востребованными монографии Ю.И. Бабеико "Тепло- массообмеп. Метод расчета тепловых и диф-фузионых потоков" [16| и "The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) "[104] авторов Oldham Keitk В., Spanier Jerome, которая вышла в Лондоне в 1974 г.

Фундаментальное значение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка и ее прикладных аспектов безусловно сыграют монографии В.А. Нахушевой [84], А.В.Псху [88], Л.И.Сербиной (93).

Существуют различные определения операции дробного интегрирования и дифференцирования, которые для достаточного гладких функций, как правило, совпадают.

В предлагаемой работе эти операции понимаются в смысле Римана-Лиувилля и следуя А.М.Нахушеву [75] оператор дробного интстродиффе-ренцирования порядка а с началом в точке а Є К и с концом в точке х Є Ш порядка |а|, действующего на функцию ip(t) Є L[A, В] по переменной і, обозначается через D%_x . По определению

D>(t) = {

г-а) [ -a) J

а < О,

sign (a; —a) f ip(t)dt

Г(-а) J {x-t)^a+v

(p(t), а = О,

signal (_Х - _a)|^D-M-VM, а > О,

где [а] - целая часть а, которая удовлетворяет неравенству [а] < а < [а]+1; T(z) - гамма-функция Эйлера; а, х Є [А, В].

При 0 < а < 1 класс функций и = и(х), представимых в виде

и(х) = с{х - a)^a_1 + D^f[t, u{t)], с = const, (1)

f[x,u(x)] Є L[a,b]

порождает обыкновенное дифференциальное уравнение порядка а:

D^a_aAt) = f(x,u)₁ а<х<Ь. (2)

В частности, интегральное уравнение Абеля [98]

D^f(t) = и(х), 0 < а < 1, а < х < Ъ (3)

в случае, когда дробный интеграл D~^xu{t) от правой части и(х) является абсолютно непрерывным на сегменте [а, Ь] порождает следующее простейшее дифференциальное уравнение дробного порядка

D^a_0xu(t) = f(x). (4)

Через АС^а~¹[а,Ь] обозначим класс функций и(х), представленный в виде (1). При а = 1 этот класс совпадает с классом АС[а, 6].

В силу (1) для уравнения (2) можно задать видоизмененное начальное условие

]іт{х-аУ~^аи{х) = С. (5)

Поскольку D"~^l(t — а)^а~¹ — Г (а) условие (5) можно заменить нелокальным условием

HmZ^W-Ci, (б)

х-а

где Сі, как и С, - заданное число.

Уравнение (4), как формула обращения уравнения Абеля (3), является первоосновой теории дифференциальных уравнений произвольного порядка, хотя предполагается (см. [91, с.615]), что началом развития этой теории следует считать дискуссию о способах решения уравнения

xD^u = и. (7)

Здесь Б^г/²и ~ Dq_x u(t) - дробная производная порядка 1/2 от функции и = и(х).

Так как

[xD_te^1/2_U(t)] = xD^'²u(t) + D-_a^lJ\(t),

то замена v = D^J u{t) Є АС[0,6] связывает (7) с вырождающимся при х = 0 дифференциальным уравнением неріюго порядка

(ху)' - D^v(t) - v{x), 0

Задаче Коши как о локальной, так и в нелокальной постановках для уравнений вида (2) с произвольным а > 0 посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей.

При 0 < а < 1 задачу (2), (5) принято называть задачей Коши в локальной постановке, а задачу (2), (6) - задачей Коши в нелокальной постановке.

Задаче Коши в локальной (в том числе классической) и нелокальной постановках для уравнения вида (2) посвящено значительное число работ. Среди работ последних лет следует отметить работы А.А. Килбаса и СМ. Марзана [61], А.А. Ворошилова и А.А. Килбаса [24], В.М. Головизнина и И.А. Короткина [39], В.А. Чадаева [95], [96).

В работах М.М. Држбашяна [40]-[49] исследованы задача типа Коши и задача типа Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Диссертационная работа выполнена в этом направлении. Здесь исследуются вопросы существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в ло-

кальной и нелокальной постановках, а также доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным условием сопряжения и изучены качественные свойства нссамосопряженпого интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа. Исследованы вопросы полноты системы собственных функций краевых задач для дифференциальных операторов дробного порядка.

Подобные проблемы находятся в настоящее время в центре внимания многих исследователей, работающих в области дробного интегродиффе-ренцирования и его приложений.

Справедливо отмечено в монографии A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение"(2003 г.) "... дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алеросва Т.С. [1]—[15], Барретта Д.Х. [100], Вольтерра В. [23], Ви-мана А. [106], Глушака А.В. [37]-[38], Джрбашяна М.М. [40]-[47], Зарубина А.Н., Карасева А.А., Килбаса А.А. [91], Летникова А.В., Маричева О.И. [91], Нахушева A.M. [75]-[83], Нахушсвой В.А. [81]-[85], Нерсесяна А.Б. [48]-[49], Псху А.В. [88], Репина О.А., Самко С.Г. [91], Ссрбиной Л.И. [93].

Вопросы распределения пулей функции типа Миттаг-Леффлсра исследованы многими авторами (см. Wiman А. [106], Седлсцкий A.M. [87],

[92], ПоповА.Ю. [86]-[87], Псху А.В. Щ).

Содержательность класса целых функций типа Миттаг-Леффлера и его асимптотические свойства объясняют интерес к вопросу о вещественных пулях, тесно связанному с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка, рассматривался в работах Алсроева Т.С. [3]-[15], Джрбашяна М.М. [41]-[43], Нахушева A.M. [75]-[83]), Нерсесяиа А.Б. [48]-[49], Попова АЛО. [86]-[87], Псху А.В. [89], Ссдлецкого A.M. [87], [92].

Работа состоит из трех глав, посвященных исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующих интегральных операторов.

Сформулируем основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующие интегральные операторы.

Пусть: 7 — {70)71)72} ~ точка из трехмерного евклидова простран-ства 1R³ с координатами 7j Є]0,1], j = 0,1,2; crj- = ХІ7₃'-1, / = 0* + 1, к — 0,1,2; р — 1/(72 > 0 j Dq_x - оператор дробного дифференцирования порядка \у\ с началом в точке 0, который действует па функцию ip{x) из области его определения D{D$_X) С L[0,1], где V(z) - гамма-функция Эйлера; L[0,1] - пространство абсолютно суммируемых функций;

ЩМі) = {

1 [ 4>(t)dt

_{г(-л)У (я-*)}¹_{-*' ^}^<и_'

Введем интегродифференциальные операторы

^{Д }} ~ dx-d-ть)⁷ - Г(1 - 7о) J (*- О⁷⁰'

^{П }}~ dx-V-n) <&*^{П }} - Г(1 - 71) J {x- i)⁷¹ '

где p - 1 < a < p = 1,2,...;

d~t^1-^ d⁷¹ d^{70 D} " ^/W ~ ds-d-ft) dx^dx^^f{x)-

Предполагается, что эти операторы имеют смысл, по крайней мере, почти

всюду на [0,1].

Легко видеть, что D^f(x) = D^_x"^lf{t), fc = 0,1;

(}-(<*) f(r)

-^-IU = DU(t), [а]-К a <„=[<»];

Рассматривается следующая задача: найти решение и(х) уравнения

D^{a2)u(x) - [A + q{x)]u(x) = О, (8)

где А - спектральный параметр, q(x) Є С[0,1], из класса С}0,1] П L[0,1], удослегворяюгцее видоизмеиешгому (локальному) начальному условию Копій

V 1-70 f \ X V Ж^1_7СИ(^)-^ _х /₀ч

hm I^{і 7о}и(ж) = do, lim — = ді, (9)

х-*0 х-*0 ж⁷'

где 7о > 1 ~ 72 j ^а ^о ^ <5i - заданные числа.

Решение задачи (8)-(9) ищется в классе С$[0,1] функций, прсдстави-мых в виде v(x)x~^s, где v(x) С[0,1], 5 = const < 1.

Доказана

Теорема 1.1. Пусть q(x) удовлетворяет условию Липшица. Тогда в классе Cfi[0,1] задача (8)-(9) имеет и притом единственное решение и = и(х).

Рассматривается задача:

Найти решение и(х) уравнения

d&>u(t) = l\ + q(x)]u{x), (10)

где 8q'_x = ^Щх~ - регуляризоваипый оператор дробного дифференцирования порядка 7i с началом в точке 0нс концом в точке х из класса С[0,1] П С*]0, 1], удовлетворяющее краевым условиям

и(0) = *₀₎ и{1) = 6₂, (И)

где 8q и 5% - заданные числа.

Доказаны

Теорема 1.2. Пусть q(x) Є C^l[Q, 1] u q'{x) > 0, A > -g(0). Тогда задача (10)-(11} безусловно u однозначно разрешима.

Теорема 1.3. Пусть q(x) = const. Тогда условие

E_p(X_q;a₂)^0, А > -#) (12)

является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (Ю)-(И). При выполнении условия (12) её решение и{х)

определяется формулой

и(х) = 5₀E_p(X_qx^ 1) + x^E_p(X_qx^ a₂)[S₂ - S₀E_p(X_q; l)}/E_p(X_q; а₂).

Теорема 1.4. Пусть q(x) = const, E_p(X_q; 1} ф 0. Тогда смешанная задача

lim ' = 6_h и(1) = 6₂,

для уравнения

Dlu^l(t) = [\ + _q(x)]u(x), (13)

имеет единственное решение

и(х) = б^Е^Х^;!) + 5₁T{a₂)E_p(X_qx'⁷²;a2)x^ai,

So = [fc - hr(~2)E_p(\_q;a₂)]/E_p(X_q; 1).

Теорема 1.5. Задача Коши и(0) = 6а эквивалентна интегральному уравнению Волыперра второго рода

и(х) = s_ax^uE_p{X_qx^;fi₀) - СаХ^ЕріКр'^іи) +

-YY{a₂)D-^E_p[X_q(x - t)^; a₂]q₀(t)u(t), (14)

где s_a = <$оГ(^о) и c_a ~ — d\T{pL\) - произвольные постоянные, X_q = A+g(0), q₀(x) = q{x) - q{0),

CO J.

Е,М = Е,[г,_Яа] = ¹щ_ШІ

fc=0

- функция типа Миттаг-Леффлера по терминологии М.М. Доісрбашяиа, которое в классе С[0,1] всегда разрешимо и притом единственным образом.

При q(x) = const решение и(х) задаётся формулой

и{х) = 6q[1 + \х*Е_р(\х*\ 1 + ₇₂)]. (15)

Уравнение (8) при 7о = 71 — 1 , 72 = <* — 1 переходит в уравнение

dg_xu{t) = [\ + q(x)]u(x), (16)

где д$_х = Dq~ ^2 - оператор, область определения которого принадлежит классу 5²[0,1] всех функций и(х), измеримых на [0,1] вместе со своими производными до второго порядка.

Уравнение (8) при q(x) = 0, А = и^а известно как дробное осциляци-онное уравнение.

Теорема 1.6. Задача Дирихле (11) для уравнения (16) в классе АС^х[0,1] имеет единственное решение и{х), если

q(x)eC%l}₁ А>-#), q'(x)>0. (17)

Во втором параграфе доказана теорема существования и единственности решения задачи Три ком и с нелокальным линейным условием сопряжения и исследованы качественные свойства несамосопряженпого интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа.

На евклидовой плоскости с декартовыми ортогональными координатами х и у рассмотрим модельное уравнение в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа

^1У] дх* ду¹+^п(~у)> ^[i*>

*W = (^llVy>'

[О, Vy<0 - функция ХевисаЙда.

Уравнение (18) в верхней полуплоскости у > О совпадает с уравнением Фурье

д^ ⁼ ду' ⁽¹⁹⁾

а в нижнем - с гиперболическим уравнением

Пусть: П - область, ограниченная отрезками AAq , AqBq , BqB прямых х — 0, у = уо, х ~ г соответственно и характеристиками

. s-, ^ і \ ^т+² „ г.»-, > і -\ ^т+-

АС: х {-у)~ = О, ВС : х + (-у)"⁵" = г

m + 2^ ^J> ' m + 2^{v Jl}

уравнения (20); Q.⁺ = {(х,у) : 0 < х < г, 0 < у < уо} - параболическая

часть смешанной области S1; П^_ - часть области "2, лежащая в нижней

полуплоскости у < 0, ограниченная характеристиками АС, 0 < х < г/2 ,

ВС, г/2 < х < г и отрезком АВ; ]0, г[= {(х, 0) : 0 < х < г] ;

и+{х,у), V(x,y)ett⁺,

и =

(21)

и (ж,у), V(x,y) Є О ; Z?q_x - оператор дробного интегродиффереицирования порядка |1| с началом в точке 0 [75, с. 9].

Для уравнения (18) в области Q рассмотрим краевую задачу типа задачи Трикоми с нелокальным условием линейного сопряжения и следующей постановке.

Рассм атр и в ается

Задача 1. Найти регулярное в областях Q⁺ , Q" решение (21) уравнения (18) со следующими свойствами:

и⁺ Є C(U⁺) Л С^г{П⁺ф, г[), и~ Є С(Q-) П С\а-и]0, г[); (22)

_У+(_Ж}0) = гГ(х,0) - XD^u~{t,0), 0<х<г;

(23)

<9(и⁺ — и )

у=0

= 0, 0 < ж < г;

(24)

и⁺(0,у) = p₀fa), и⁺{г,у) = yv(y), 0 < 2/ < да;

(25)

и ,„ = ^(#), 0 < х < г, (26)

где U -замыкание Q, А - спектральный параметр, ipo(y) и С^г[0, г], ф(х) = u |,- (¹¹^) ^Щ " ^заД^анная функция из С³[0, г],

Нелокальное условие сопряжения задается уравнением (23), а локальные краевые условия (24) и (25) совпадают с условиями Трикоми. При А = 0 задача 1 идентична аналогу задачи Трикоми [20], [51].

Из (23), (26) при х = 0 и (25) при у = 0 следует, что равенство

V>₀(0) = V(0) (27)

является необходимым условием согласования граничных данных.

Справедлива

Лемма 1.1. Пусть: существует решение (21) задачи (18); т(х) = = и~(х,0), v(x) = |f ; x~h{x) Є L[0,r]. Тогда

t"{x)-\t{x) = v{x), (28)

r(2P)D^r(t) = [p_mv(x) + xtDl-Mt)]m, (29)

t(0) =

Отмстим, что в работах Алеросва Т.С. [3]—[10] подобные утверждения

доказывались исключительно для задач вида

u" + ADjj> = 0, 0<а< 1,

(1.4.20)

u(0) = 0, u(l) = 0.

(1.4.21)

Никакие обобщения для случая 1 < а < 2 полностью не проводились, хотя про возможность обобщения полученных результатов оговаривалось.

Таким образом, теорема 1,10 дает возможность полностью исследовать задачу (1.4.20)-(1.4.21) в случае 1 < а < 2.

И еще одно важное замечание. Оператор

^{А(,и =} rv¹) / ^ " *)^^1у()^-

~ I x(l-t)i>-^lu(t)dt

сходится к оператору

X 1

Aqu = {х- t)u(t)dt - х(1- t)u(t)dt

в обобщенном смысле, т.е. при р —> - \\А_р — Aq\\ -* 0, или, что то же

самое

X X

_f^J— j(x - tfr^lu{t)dt - ^^ J(x - t)S-^lu(t)dt-

x l

- (х- t)u(t)dt + / x(l ~ t)u(t)dt

1 при p -+ - .

Если учесть, что Ad является оператором, обратным по отношению к

обыкновенному дифференциальному оператору второго порядка, то можно

утверждать, что при достаточно малых а можно получить спектр, близкий к обыкновенному дифференциальному оператору 2-го порядка.

1.5. Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования

Рассмотрим оператор

X і

Аи = j^y J(x - *)Н_и(і)«й - jJ-_ J_x(l - tf>-^lu(t)dt.
о 0

Положим, что 1 > - , отсюда следует, р > 2.

р 2

Отметим, что при р > 2 квадрат ядра оператора А не является интегрируемым, т.е. уже оператор А не действует из Ьч в hi.

Теорема 1.11. Вне круга с центром в начале координат и радиуса

—, тт оператор А не имеет собственных значений.

Г(1 + р-і)

Доказательство. В теории линейных операторов [62], [94] доказывается существование конечного предела

ро = lim VPi

п-їоо

Число ро называется радиусом ограниченного оператора В. Известно также, что

Ро < \\В\\ и что спектральный радиус ро характеризуется тем, что из неравенства

|А| > Ро

вытекает существование ограниченного оператора

(В -му¹.

В частности, если В - вполне непрерывный линейный оператор, то / = |А₀[, где Ао - наибольшее по модулю собственное значение оператора В . Оценим спектральный радиус оператора А сверху:

х і

IV^і)

Ці + Р-¹)'

о о

Из чего и следует доказательство теоремы 1.2.

Более точную оценку можно получить, если воспользоваться следующим известным утверждением:

Пусть N и М - линейные ограниченные операторы, тогда

_PQ{N + M)₀{N) + po{M).

Так как наш оператор Л имеет вид

х 1

о о

то за операторы 7V и М примем операторы

^=г^/(*-0'~Ч0^

I Мч = -^~ j x(l-t)T\(t)dt.

Так как оператор N - вольтерров, то p(N) = 0.

Оператор М -одномерный, поэтому для тех р, для которых оператор М - вполне непрерывен, р{М) можно вычислить точно, р(М) = X, где А - собственное значение оператора. Так как К(х,Ь) - ядро оператора М - вырожденное, то характеристическое число оператора М определяется определителем Фредгольма d(X) этого уравнения

d{X) = \l-XKnl

(1+р-¹)

гср-¹)^!! = - у і(і -1)?-¹^ = —_ї ^¹

о Очевидно, что норма ядра

K{x,t) = x(l-t)>~¹

допускает оценку

I*-¹

Итак, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1.12. Вне круга с центром в начале координат и радиуса 1/Г(р^-1) оператор А не имеет характеристических чисел.

Теперь мы проанализируем тот факт, что вне круга с центром в начале координат и радиуса 2/Г(р^-1) оператор А не имеет собственных значений. Чем больше р, тем меньше 2/Г(р"¹), а если учесть, как связаны собственные числа оператора А и нули Е_Р(Х,2), то получается интересная картина, как для нулей функции Е_Р(Х, 2), так и для собственных функций

и собственных значений оператора А. Значительный интерес представляет их расположение при р -> со , то есть спектр оператора Л при достаточно больших р.

Из приведенных теорем следует, что вне круга с центром в начале координат и радиуса 1/Г(р~¹) функция .ЕДА; 2) не имеет нулей.

Если р достаточно мал, то в круге достаточно большого радиуса Е_р(Х;2) не имеет нулей. Этот интересный факт можно использовать при изучении нулей Е_Р(Х;2).

Вспомним асимптотику нулей функции E_p{z,\i) [41, с. 142]:

log/Л]

со.

₇f = е^±г'(2тпЦ> jl + o[-

Если р принимает достаточно большое значение, то ясно, что из выписанной асимптотики следует, что некоторые нули E_p(z,2) как угодно близко подходят к соответствующему единичному кругу.

При исследовании распределения нулей E_p{z,p) будет полезно провести анализ, основанный на следах степеней оператора Л, тем более, что даже в том случае, когда оператор Л но является ядерным, то есть и для тех р, для которых ряд

расходится (здесь Х_п(р) -нули функции Е_р(Х, 2)), следы для степеней Л^п

легко вычисляются.

Рассмотрим оператор

X і

^{Ли =} г(^) j^(x ~ *)'"^luW^di - f^T) J <^l - ФМ*№-

о о

Ясно, что если р > 1, то оператор А пс является ядерным, но мы

всегда можем вычислить сумму соответствующих степеней характеристических чисел оператора А.

Теперь покажем, что оператор А при р диссипативиый, т.е. его мнимая компонента

неотрицательная. Здесь і - мнимая единица: і ~ \/~1-

Для этого рассмотрим задачу D :

Г(2-

Vf^^+a"^{w = 0}'

u(0) = 0, u(l) = 0.

Оператор

J (і-т)"'¹ о

можно преобразовать следующим образом: обозначим через z{r) = и'(т), тогда имеем

/ и" _{(т) dT=}rjirL_dT.

J {t-r)⁰'¹ J {t-r)^a

о 0

Известно, что [75]

^{U J}~T(l-a)dxJ (x-ty

Г(1 - а)

ДО) , Г f'(t)

₊

(х - t)^a

отсюда

_{f №}

V{l-a)J [x~t)^a о

dt =

і d f f(t) _ /(0)

T(l-a)dxj {x-ty" х^аГ(1-а) о

Поэтому

f Ar)

T(l-a)J (t-r о

-dr =

1 d f z(t) , *(0)

-dr —

T(l-a)dtJ (t~r)^a t^aT{l-a)'

Рассмотрим следующую линейную форму

Здесь и(х) - функция, комплексно-сопряженная функции и(х) = Reu(x)-\-+ilmu(x): й(х) = Reu(x) ~ гІггш(а;).

Знак (и, v) - это знак скалярного произведения, т.е.

_Ж,Ч*)) = /«(,)№

Очевидно, что если z'(t) = и"{t), то

dx о

j {x-t)^a xⁿ [ ' ^v '

d f z(t)

dx о

fj3r^)-{f^\

d f u'{t)

dx J (x — t) о

^-_Л^й(_х)^{\ - (Ш}_Мх]^у

Распишем

і / X

_-^л,ад_{г/ /Si "}^Wdx_-

d f u'{t)

о / о \o

Используя формулу интегрирования по частям, получим, что

1 / X

j^U)*= /Д^іад

о \0 / \0

1 / х \ 1

о \о / о

1 / X

_-<⁰_>/й=* ^№

о о \0

1 / X \ 1 / X

о \о / о \0 /

Последний оператор диссипативеп. Введем функцию

д(х), хЄ[0,є], и_е(х) = <

и{х), х Є [є, 1], где є > 0, а д(х) такая, что 0 = 0. Очевидно, что

_{щ [1Л}^л_)^^х)_г⁼

r^rdt] ,u^f(x) \dx,
(х - 0 Г / "

поэтому оператор, порождающий задачу D , диссипативеп.

Из диссипативности последнего оператора следует, что его собственные значения лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости. Из этого факта следует очень важное свойство функции типа Миттаг-Лсффлера.

Следствие 1.1. Все нули функции Ер{\\2) лежат в правой полуплоскости.

1.6. Об одном способе приближенного решения уравнений

дробного порядка

Рассмотрим задачу

и" + АГ(2 - a)Dlu = в(х), (1.6.1)

u(0) = 0, и(1) = 0. (1.6.2)

Здесь Q(x) - известная функция. Задача (1.6.1)-(1.6.2) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода

и(х) + А \ J х(1 - t)^l-^au{t)dt - Их - ty-^au{t)dt і = F{x), (1.6.3)

і где F(x) — J G(x, t)Q(t)dt, причем

f(l-ar), 0

G{x,t) = <

s(l-t), tПриведем теорему, дающую оценку погрешности решения, которое получается при замене данного ядра па близкое к нему ядро, в частности, на вырожденное.

Теорема 1.13. Пусть даны, два интегральных уравнения

ъ
_S)ip(s)ds, (1.6.4)

а Ь

Ф{Ь) = Мі) + \[к₀{і,з)ф{8)йз₁ (1.6.5)

и пусть Ro(t,s_}\) -резольвента уравнения (1,6.4) с ядром Ko(t_ys)

Пусть далее имеют место неравенства ь

\K{t,s)-K₀(t,s)\dsVie [а,Ь];

\№-Ш)\<т j\m^x)ds\

Тогда, если выполнено условие

ф|(1 + |Л|М)<1,

то уравнение (1,6.4) имеет единственное решение (p(t) и разность между этим решением и решением ф(і) уравнения (1.6.5) удовлетворяет

оценке

і /ч ~<^ JV|A|(1 + |Л|М)²е _{1л т},__ч

|А|(1 + |Л|М)е

где N= sup i/(t)j

Чтобы воспользоваться этой теоремой, в уравнении (1.6.3) ядро

1-а/

-1(1-^-4(1-^1-

1, t <х,

G₀(x,t) = <

О, t>x заменим на вырожденное ядро ~х(1 — t)^[~^Q.

Тогда наша задача сведется к исследованию уравнения

(х) + A fx(l - tf-^au{t)dt = F{x).

(1.6.6)

Ядро последнего уравнения - вырожденное, его решение задается по

известной формуле

и(х) = F(x) + Л / Я(х, t, X)F(t)dt,

где R(x,t,X) - резольвента Фредгольма:

D(x,t,\)

R(x,t,X) =

d(A) '

⁰⁰ \т

Здесь D{x,t,X) = Y(~l)^m—B_m(x;t), где

m=0

/<"(,f) K(x,a\) ... K(x,a_r

B_m{x,t) = j... j

о 0

К(ац,і) K{a₂,a_l) ... K(a_m+i,a_m)

dai... da„

причем Kq (x,t) ~ Вычислим є:

K{a_m,t) К(а_т,ац) ... K(a_m+\,Q_m)

x(l - t)^l~^a, где d(X) = |1 - XK_n\, где

f І [-х{1 -1)¹-" + {x- t)^l~^aG{x, t) + x(l - t)^l~^a] | dt =

Поэтому К*)- Ф)1< 2з₍₂з-47А)-Итак, доказана теорема. Теорема 1.14. Если 0 < А < (3 — а) (2 — а)/24, то уравнение

и(х) + \1 ( х(\ - t)^l-ⁿu(t)di - j(x-t)^l-^au(t)dt\ =F{x) имеет единственное решение и разность между этим решением и реше-

нием

_{u=+%y$^fr-*-w}

уравнения

(х)

Г(2 - а)

о удовлетворяет оценке

23(23 -47А)

1.7. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного

порядка

Для уравнения

и"+ >> = Ли (1.7.1)

рассмотрим задачу

u(0)-/?u'(0) = 0, ы(1) = 0, (1.7.2)

где а ]0,1[, /3 Ж, X - спектральный параметр.

Проинтегрируем уравнение (1.7.1) дважды от 0 до х. Тогда, пользуясь формулами перестановки Дирихле и свойствами гамма-функции Эйлера, получим

XX X

u{t)dt. (1.7.3)

ооо Запишем (1.7.3) в виде

х х I t \ X

_I^du_'^{{t) +} _nb)f^d_(Iw^r^d_{4 =}^x_I^u_^^{dt (L7}_-⁴⁾

о о \о /о

Перепишем (1.7.4) в виде

^^щЬ)(/(Г%^*)1о=^А/^{оМЛ {L7}-⁵⁾

\о /о

или, что то же самое,

X X

"'^W - "'^{(0) +} Г(гЬ) / ^ҐГ^{М = А} / ^{U{t)dt (17}-⁶⁾

Проинтегрируем (1.7.G) еще раз от нуля до х , получим

X ( t

Ju\t)dt~uWjdt + ~--jj

_{Г «(О}

(t - 0^а

d}dt =

о ко

х t

= Л

I ju(t)d№

о о или, что то же самое

(1.7.7)

х ( t

и(х) - и(0) - и'(0)х +

Г(1-а)У W (*-fl о U

dO <й =

= А / fu()ddt.

о о Так как

Г(1-а)/ / (t-ty о 1о

^ )dt =

(1.7.8)

_{У (* - о,}

то (1.7,8) можно переписать в виде

и(х) - и(0) - u'(0)ic + p/g¹, ч f(^x - ty-^au{t)dt -

х t

A f fu()dtdt.

(1.7.9)

о о

Теперь очевидно, что решение уравнения (1.7.9), удовлетворяющее условию

u(0)-/7u'(0) = 0, совпадает с решением уравнения

X t

-A f fu{t)dtdt = u'{Q)(x + P). (1.7.10)

о о

Уравнение (1.7.10) решим с помощью преобразования Лапласа.

Пусть U(s) - изображение функции и(х), т.е. U(s) = и(х) или, что то же самое [50]

U(s)= I' e~^3tu(t)dt.

о Естественно, здесь предполагается, что решение уравнения (1.7.10) ищется

в классе функций u(t), где обеспечивается сходимость интегралов Лапласа.

Ясно, что функция

J(x - ty-^au(№

является сверткой функций х^г~^а и функции и{х).

Вспомним, что свертка функций /i(i), /2(і) определяется следующим

образом;

F(t) = j h(r)W~T)dr.

И теперь, чтобы найти изображение функции

j(x-i)^l'^au(t)dt

остается найти изображение функции x^l~^Q.

Известно, что изображение функции х'¹ при р, > — 1 равняется Г(/і + l)s~^1-''. Теперь из теоремы о свертывании оригиналов, т.е. из теоремы, которая гласит, что

t Jh(T)f2(t-T)dr = F₁(s)F₂(s), о

если fi(r) = Fi(s), /₂(т) === F₂(s), следует

f{x - t)^l-ⁿu(t)dt = U{s)s^a-²Y{2 - a). о

Далее найдем изображение функции

X t

jdtju(i)di. о о

Очевидно, что

х і

Jdtju(№? О о

X і

_{.и (')}

л '

Теперь изображающее уравнение имеет вид

1 А

1 , ^

1 +

U(s)

_s2-a _s2

«ч)(і+

отсюда имеем

^w s² + s^a-\

Теперь, пользуясь обратным преобразованием Лапласа, т.е. формулой

(7+ІСО

^{т =} _h\ ^eS_'^F{s)ds_'

(7-гоо

двойственной к формуле

F(s) = J e-^stf{t)dt,

получим, что

С+ІО0

и'(0) и(х) =

ds.

e^sx{l + (3s) s² + s^a -А

2ттг J

с-гоо

Из последнего соотношения следует, что А является собственным значением задачи (1.7.1)-(1.7.2) тогда и только тогда, когда А является нулем функции м(1, А):

С+200

^U(^^X) = ~KZT I .2 , ..„ \^ds-

ц'(0) Г e^s{l + Ps) 2т J s² + s^a-X'

с—ICO

Таким образом, доказаны теоремы:

Теорема 1.15. Число А является собственным значением задачи (1.7.1)-(1.7.2) тогда и только тогда, когда А является нулем функции

с+гсо

^{т = /}

e^s(l + (3s)

s¹ + s^a - А

С-100

ds.

Теорема 1.16. Пусть Xj является нулем функции U(X). Тогда соответствующей собственному значению Xj собственной (функцией задачи (1.7.1)-(1.7.2) является функция

с+гсо

ттп ^ f ^ +fob

^ЩХі_>^х)= _{J ^T^~x}^ds_-

с-гоо

Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Тому подтверждение монография A.M. Нахушева [75], посвященная основополагающим элементам дробного исчисления и их приложениям к проблемам математического моделирования различных процессов в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью. Интенсификации фундаментальных и прикладных исследований в области дробного дифференциального исчисления значительно способствовали проблеме описания нелокальных краевых задач со смещением для основных типов уравнений математической физики и биологии [78], выход в свет в 1972 г. книги "Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений" коллектива авторов Х.Г. Бжихатлова, И.М. Карасева, И.П. Лесковского, A.M. Нахушева [21], а также весьма содержательного обобщающего труда С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Мари-чева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", изданного в г. Минске в 1987 г. [91]. Необходимость развития теории дифференциальных уравнений сделала востребованными монографии Ю.И. Бабеико "Тепло- массообмеп. Метод расчета тепловых и диф-фузионых потоков" [16 и "The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) "[104] авторов Oldham Keitk В., Spanier Jerome, которая вышла в Лондоне в 1974 г. Фундаментальное значение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка и ее прикладных аспектов безусловно сыграют монографии В.А. Нахушевой [84], А.В.Псху [88], Л.И.Сербиной (93).

Существуют различные определения операции дробного интегрирования и дифференцирования, которые для достаточного гладких функций, как правило, совпадают. В предлагаемой работе эти операции понимаются в смысле Римана-Лиувилля и следуя А.М.Нахушеву [75] оператор дробного интстродиффе-ренцирования порядка а с началом в точке а Є К и с концом в точке х Є Ш порядка а, действующего на функцию ip(t) Є L[A, В] по переменной і, обозначается через D%x .

Задаче Коши в локальной (в том числе классической) и нелокальной постановках для уравнения вида (2) посвящено значительное число работ. Среди работ последних лет следует отметить работы А.А. Килбаса и СМ. Марзана [61], А.А. Ворошилова и А.А. Килбаса [24], В.М. Головизнина и И.А. Короткина [39], В.А. Чадаева [95], [96).

В работах М.М. Држбашяна [40]-[49] исследованы задача типа Коши и задача типа Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Диссертационная работа выполнена в этом направлении. Здесь исследуются вопросы существования и единственности решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка в ло кальной и нелокальной постановках, а также доказана теорема существования и единственности решения задачи Трикоми с нелокальным условием сопряжения и изучены качественные свойства нссамосопряженпого интегрального оператора, порожденного уравнением смешанного параболо-гиперболического типа. Исследованы вопросы полноты системы собственных функций краевых задач для дифференциальных операторов дробного порядка.

Подобные проблемы находятся в настоящее время в центре внимания многих исследователей, работающих в области дробного интегродиффе-ренцирования и его приложений.

Справедливо отмечено в монографии A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение"(2003 г.) "... дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".

Области в комплексной плоскости, где нет собственных значений оператора дробного интегрирования

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алеросва Т.С. [1]—[15], Барретта Д.Х. [100], Вольтерра В. [23], Ви-мана А. [106], Глушака А.В. [37]-[38], Джрбашяна М.М. [40]-[47], Зарубина А.Н., Карасева А.А., Килбаса А.А. [91], Летникова А.В., Маричева О.И. [91], Нахушева A.M. [75]-[83], Нахушсвой В.А. [81]-[85], Нерсесяна А.Б. [48]-[49], Псху А.В. [88], Репина О.А., Самко С.Г. [91], Ссрбиной Л.И. [93].

Вопросы распределения пулей функции типа Миттаг-Леффлсра исследованы многими авторами (см. Wiman А. [106], Седлсцкий A.M. [87], [92], ПоповА.Ю. [86]-[87], Псху А.В. Щ). Содержательность класса целых функций типа Миттаг-Леффлера и его асимптотические свойства объясняют интерес к вопросу о вещественных пулях, тесно связанному с разрешимостью спектральных задач для уравнений дробного порядка, рассматривался в работах Алсроева Т.С. [3]-[15], Джрбашяна М.М. [41]-[43], Нахушева A.M. [75]-[83]), Нерсесяиа А.Б. [48]-[49], Попова АЛО. [86]-[87], Псху А.В. [89], Ссдлецкого A.M. [87], [92]. Работа состоит из трех глав, посвященных исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующих интегральных операторов. Сформулируем основные результаты диссертации. В первой главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и им сопутствующие интегральные операторы. Каждое нетривиальное решение этой задачи назовем собственной функцией, а соответствующее значение параметра А - собственным значением. В [44] излагается метод построения биортогоиальных систем собственных и присоединенных функций, порожденных задачей (2.1.3)-(2.1.5). М.М. Джрбашян [44] отмечает, что вопрос полноты систем собственных функций задачи (2.1.3)-(2.1.5) или более тонкий вопрос о том, что составляют ли эти системы базис в 1 (0,1), имеет безусловный интерес, но их решение, по-видимому, сопряжено со значительными аналитическими трудностями.

При q(x) = 0 полнота системы собственных функций была установлена Алероевым Т.С. [3]. Доказательство было получено с помощью теоремы Л и декого [64] [66]. Позже М.П. Маламуд [67]-[68] и его ученики также привели результаты, посвященные вопросам полноты системы собственных и присоединенных функций подобных задач. Их исследования опираются на известный аналог теоремы Наймарка [72]—[74]. Как отмечает М.П. Маламуд, их исследования дают возможность установить полноту только для аналитических потенциалов. Когда q(x) полуограничена, их методика не проходит.

Теперь изучим вопросы, связанные с полнотой системы собственных и присоединенных функций оператора А. Система {tpk} {к = 0,1,...) элементов линейного топологического пространства М называют полной, если замыкание ее линейной оболочки совпадает с М. Или, что то же самое: Систему {ipk} {к = 0,1,...) функций, голоморфных в области G, называют полной, если какова бы ни была голоморфная в G функция f(t), существует последователь!юсть линейных комбинаций рк CnXtpnit) с постоянными коэффициентами, которая равномерно сводится в области G к функции /.

Далее из того, что А-1 диссипативен и ядерный, следует, что система собственных и присоединенных функций оператора А"1 полна в г(0, 1) -Теорема Лидского [G4]-[66J утверждает, что условием полноты системы собственных и присоединенных функций линейного ограниченного оператора является ядерность и диссипативпость.

. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах

Теперь из теоремы Лидского [64]-[66] следует полнота системы собственных и присоединенных функций оператора А-1, или, что то же самое, полнота системы собственных и присоединенных функций оператора А. Теперь можно выписать систему собственных и присоединенных функций оператора А, т.е. конкретно выписать полную в 1 (0,1) систему функций. Еще раз отметим, что для полуограниченного потенциала q(x) подобный результат получен только в этой работе. 2.2. О полноте систем собственных функций оператора второго порядка с дробными производными в младших членах

В работе [58] были изучены деформационно-прочностные характеристики одного класса ароматических хлоросодержащих полиэфиров, которые обладают высокой прочностью аист 60% и синтезированных в работах Кехарсаевой Э.Р., Микитаева А.К., Алероева Т.С. [55]-[57],

На участке "больших" деформаций строится модель указанных полимеров, основанная на производных дробного порядка. В общем виде стандартная модель линейного вязкоупругого тела записывается в виде [19], [90], где а — cr(t) и є є(і) - напряжение и деформация в момент времени t; b(, EQ, ЕІ - заданные величины.

Линейное дифференциальное уравнение (относительно а при заданном є или наоборот) определяет соотношение между деформацией и напряжением. Легко видеть, что, известная модель Максвелла является частным случаем модели (3.1.1), и, следуя [75], будем называть моделью Бегл и Р. Л. и Торвика П.Дж. [19], [99].

В линейном уравнении (3.1.2) т означает время релаксации, Е - модуль упругости (например, полимера [18]). Впервые дробное исчисление при изучении вязкоупругих свойств полимеров использовано А. Джеман-том в работах [102], [103] и предложил использовать при моделировании многих вязкоупругих материалов производные дробного порядка.

Из модели (3.1.3) не следует уравнение Максвелла, что означает, что модель (3,1.3) лучше описывает деформационно- прочностные характеристики, чем модель Максвелла. Сами авторы модели (3.1.1) утверждают [75], что для моделирования многих вязкоупругих тел достаточно ограничиться моделью а + ЫУ&а = Е0є + ife (3.1.4) которая содержит всего пять параметров: Ъ, ft, EQ, Е\ И а, причем 0 а 1, 0 /? 1. Очевидно, что модели (3.1.1) и (3.1.4) являются частными случаями (3.1.3). Если в модели (3.1.4) положить j3 = Е Е$г (г = EQ Е"1), а затем предположить, что .Е"1 достаточно мало (полимер не имеет мгновенной упругости, а паши полимеры не имеют ее), то сс можно аппроксимировать уравнением, которое является частным случаем модели (3.1.4), а именно a(t) = E0D%te(t). (3.1.5) Уравнение (3.1.5), предложенное Скотт-Блэром [19, с.25], [22, с. 75], называют реологическим уравнением состояния. В [84] показано, что если напряжение a = a(t) удовлетворяет условию 1\та(є) -Iа = 0, то уравнение (3.1,5) можно заменить определяющим уравнением a{t) = Eodfeit), (3.1.6) то 6 - оператор дробного дифференцирования порядка а в смысле M.Caputo[101]: dfeit) = Dfc(t) - т{1Ф)а)іа, 0 а 1. Приведенный анализ в монографии [84] говорит о том, что если па-пряжение и = а (і) и деформация є — є (с) за конечное время не могут обращаться в бесконечность, то механические свойства вязкоупругих материалов, в частности, полимеров, можно описать не уравнением (3.1.4), а реологическим уравнением состояния (3.1.6).

Таким образом, на участке больших деформаций [58], т.е. на участке 0,06 є 0,18 напряжение a(t) из-за достаточной малости Е-1 = 1-Ю3 для наших полимеров, то можно аппроксимировать интегральной кривой следующего уравнения: a(t) = д 65є. На участке вязкого течения а = 88 [58] существенным является тот факт, что значения формы {DQte {i),e{i)) лежат в угле JargAj , если є(0) = = e(t) = 0. Известно [16], что для уравнения (3.1.5) имеет место теорема существования и единственности, т.е. зная одну точку, через которую проходит интегральная кривая, можно восстановить всю интегральную кривую этого уравнения. В работе [75] определяющее уравнение eE = D a (3.1.7) названо обобщенным законом высокоэластичной деформации.

Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте

Общее решение уравнения (3.1.7) (относительно є = e(t)) при любом а Є [0,1] задается формулой еЕ = СЄ 1 + 07V, (3.1.8) где с - произвольная постоянная величина. Если к дифференциальному уравнению дробного порядка а (3.1.6) присоединить начальное условие limrt- o, (3.1.9) ТО С = QE . Если Го = 0, то модель (3,1.5) с условием (3,1.9) совпадает с моделью (3.1.7). Видим, что определяющее уравнение а + тЩьо = rEDfe, т = ± р = а+1 (3.1.10) является следствием модели (3.1.4). Модель (3.1,10) при а = 0 совпадает с моделью Максвелла (3.1.2) [75, с. 175]. Поэтому на (3,1,10) можно смотреть как на обобщенное уравнение или па его аналог в дробном исчислении.

Теорема. (Мацаева-Паланта [70]). Значения линейной формы (Jau}u) лежат в угле argA —, т.е. значения (Jl u,u) лежат в угле argA — . Это утверждение, безусловно, имеет физическое истолкование, хотя это и выходит за рамки пашей работы. Определенные особенности притока жидкости в проницаемых средах изучаются по данным гидродинамических исследований скважин [17]. При разработке нефтяных залежей используются различные зависимости дебита от перепада давления [97]. Безусловно, в общем случае, эти зависимости не являются линейными. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются: деформация коллектора, инерционные силы сопротивления, изменение свойств пласта и жидкости, а также действующей толщины пласта.

В призабойной зоне нарушается линейный закон [17]. Существует функциональная зависимость, учитывающая ииерциональ-ные составляющие сопротивления движению жидкости

Здесь Vp - градиент давления, // - динамическая жидкость, v - скорость фильтрации, к - проницаемость среды, )3 - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скоростей, /(/?, v) - безразмерная функция, полученная согласно тг-теореме анализа размерности [17]. Если предположить, что функция f(0,v) разлагается в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами разложения, получим Vp=_ y- OT. (3.2.1) к к Справедливость полученной двучленной зависимости допускается при описании процесса фильтрации жидкости в трещинном коллекторе [17], [97], с ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора. Это может быть связано с изменением действующей толщины пласта, которая для каждой конкретного коллектора при различных градиентах давления JVp (до критического значения Уркр) различна. При достижении VpKp действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления (см. рис. 1) [97].

Зависимость действующей толщины пласта от градиента давления Последующее измерение Vp] может привести к изменению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта. Подобные явления часто отмечаются на практике, в частности, на нефтяных залежах Белоруссии и Ставрополья [4], [97].

В диссертации, посвященной исследованию линейных краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка и их применению, получены следующие основные результаты: 1. Исследованы начальные и краевые задачи для широкого класса линейных дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной постановках. 2. Изучены качественные свойства нссамосопряжеиного интегрального оператора, порожденного уравнением в частных производных смешанного (параболо-гиперболического) типа. 3. Для класса интегральных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка, получены в терминах функций типа Миттаг-Леффлера явные выражения для собственных функций и собственных значений. 4. Доказана теорема, которая позволяет выделить области в комплексной плоскости, где нет собственных значений для класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка. 5. Доказана теорема о системе собственных и присоединенных функций класса линейных дифференциальных операторов дробного порядка с полуограниченным потенциалом. 6. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций с полуограниченным потенциалом. 7. Для дифференциального оператора второго порядка с дробными производными в младших членах установлена его диссипативностъ в случае полуограниченного потенциала. 8. Проведен конструктивный анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти к скважинам в трещинном деформируемом пласте.

Похожие диссертации на Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы

Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для гиперболического уравнения с оператором БесселяГафурова Сириня Мубарякшиновна

Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для параболического уравнения с оператором БесселяГарипов Ильнур Бурханович

Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространствеШалагинов Сергей Дмитриевич

Корректность краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, порожденных сингулярным оператором БесселяНазарова, Махмуда Хуспуддиновна

Сингулярные краевые задачи для уравнений математической физики с операторами БесселяХе, Кан Чер

Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов Гайсина Лилия Рамильевна

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет

Принцип Дирихле для B-гармонического и B-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора Рогова Наталия Владимировна

Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравненийМухлисов, Фоат Габдуллович

Исследование краевых задач : Проблема симметризации гиперболических уравнений второго порядка и сингулярное разложение дифференциальных операторов на полуосиГордиенко Валерий Михайлович