Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Групповое преследование одного и нескольких убегающих 20
1.1. Вспомогательные результаты 20
1.2. Групповое преследование одного убегающего в примере Понтрягина 23
1.3. Поимка заданного числа убегающих в примере Понтрягина 36
1.4. Колебательный конфликтно управляемый процесс с одним убегающим 50
1.5. Поимка заданного числа убегающих в колебательном конфликтно управляемом процессе 56
1.6. Простое групповое преследование заданного числа убегающих, имеющих преимущество в скорости 60
Глава 2. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы преследователей 66
2.1. Мягкое убегание жестко скоординированных убегающих от объектов с меньшей маневренностью 66
2.2. Уклонение жестко скоординированных убегающих в шаре от группы инерционных преследователей 86
Список литературы 89
- Групповое преследование одного убегающего в примере Понтрягина
- Поимка заданного числа убегающих в колебательном конфликтно управляемом процессе
- Простое групповое преследование заданного числа убегающих, имеющих преимущество в скорости
- Уклонение жестко скоординированных убегающих в шаре от группы инерционных преследователей
Введение к работе
Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.
Предлагаемая работа посвящена дифференциальным играм преследования-убегания с участием двух групп (преследователей и убегающих). Потребность изучения таких задач возникает при решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.
Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. БраЙсона, У. Флеминга, Ю. То, Б. Н. Пшеничного, Л. А. Матроска.
Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики Н. Н. Красовский и Л. С. Понтрягин.
К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.
В работе [105] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорости убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы.
Были получены необходимые и достаточные условия ПОИМКИ.
Ф. Л. Черноусько в работе [130] рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения.
Указанные работы были, по существу, первыми, посвященными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.
В работе [24] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков - один и тот же выпуклый компакт.
Работа [21] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай /-поимки.
В работе [151] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной /-поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением.
В работах [47, 114] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым.
В работе [26] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия г-кратной поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что все игроки обладают простым движением с максимальной по норме скоростью, равной единице.
В работе [45] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностью. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе - поимка и получена оценка времени поимки.
Работа [80] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.
Задачи простого преследования с "линией жизни" рассмотрены Л. А. Петросяном в [92].
А. М. Ковшов в [49] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере.
По всей видимости, первой работой, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [79]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.
Работа [144] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры.
Хотя с момента первой публикации, посвященной задаче преследования группой преследователей группы убегающих прошло более 20 лет, число публикаций посвященных данной задаче невелико.
В работе [78] рассматривалась задача простого преследования группой
преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают свое управление на интервал [0, оо). Были получены необходимые и достаточные условия поимки.
В работах [56, 146] рассматривалась задача преследования четырьмя преследователями на плоскости двух убегающих.
В работе [119] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жестко скоординированные убегающие) . Цель группы преследователей - поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.
Работы Д. А. Вагина и Н. Н. Петрова [18, 90] дополняют предыдущую работу.
Среди других работ, посвященных задаче простого преследования, отметим работы [1, 6, 22, 35, 57, 63, 64, 94, 121, 123, 141, 153, 154].
Обобщением задачи простого преследования является пример Понтря-гина [98]. Данному примеру посвящена обширная литература, так как он является модельным для анализа полученных различных условий поимки и убегания.
В работе [109] В. Н. Пшеничный и И. С. Раппопорт рассмотрели задачу преследования группой преследователей одного убегающего в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид
+ az = и, \\и\\ < 1, а < 0.
Были получены необходимые и достаточные условия поимки.
В работе [87] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки.
В работе [89] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями.
Задача преследования жестко скоординированных убегающих группой преследователей в примере Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях участников рассмотрена в [19]. Получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.
В работе [88] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t = 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы множества D. Были получены достаточные условия поимки.
"Мягкая" поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [43].
В работе [145] А. А. Чикрий и П. В. Прокопович рассмотрели задачу уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид
z = и, \\и\\ < 1.
При условии дискриминации преследователей были получены достаточные
условия убегания.
Задачи уклонения одного убегающего, обладающего большей маневренностью, от группы преследователей в примере Понтрягина рассматривались ранее Н. Ю. Сатимовым и Б. Б. Рихсиевым в [122]. При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания.
Пример Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников рассматривался также в работах [28, 38, 39, 40, 41, 60, 67, 95, 98,120, 142].
Квазилинейные динамические процессы представляют собой естественное обобщение рассмотренных выше задач.
При условии дискриминации убегающего в работах Н. Л. Григоренко [28], А. А. Чикрия [142] рассмотрены различные методы группового преследования одного убегающего в квазилинейных динамических процессах. Получены достаточные условия поимки и г-кратной поимки.
В работе [95] Ю. В. Пилипенко и А. А. Чикрий рассматривали квазилинейные процессы, для которых условие Л. С. Понтрягина [98] выполнено лишь на некоторых интервалах числовой полуоси, последнее обстоятельство может иметь место, например, если однородная система осуществляет периодические колебательные движения. При дискриминации убегающего получены достаточные условия поимки группой преследователей.
Среди других работ посвященных задачам преследования и убегания в квазилинейных процессах со многими участниками отметим [27, 31, 50, 71, 84, 118, 122, 134, 135, 136].
Ниже приведены краткий обзор данной работы и список публикаций автора по теме диссертации.
Краткий обзор работы
Работа состоит из двух глав и восьми параграфов. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена задачам группового преследования одного и нескольких убегающих.
Первый параграф носит вспомогательный характер, здесь доказаны некоторые свойства почти периодических функций специального вида и приведена теорема Холла о существовании системы различных представителей.
Определение 1. Для множеств Jp,{3 Є М = {1,2,... ,г} существует система различных представителей, если можно выбрать попарно различные элементы Лі, «2) j г такие, что щ Є Jp, ft М.
Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве R"{v ^ 2).
Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Pi, Р%^..., Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением
xf + aizf-1) + а2х\1~2) + + ЩХі = иіу щ V, (1)
закон движения убегающего Е имеет вид
yil) + ai2/c'_1) + а2у{1~2) + -+ал/ = «, ибК (2)
При t — 0 заданы начальные условия
х\ч)(0) = Л?, 2/(?)() = уч* причем X? Ї Y0 для всех i, Z0 = (X?,Yq).
Здесь и далее х{,у,щ,у Є Я", а.\,а.ъ,...,щ Є Я1, V ~ строго выпуклый компакт Rv такой, что IntV ф 0, * Є / = {1,2,..., п}, 0 = 0,1,..., I — 1. Вместо (1), (2) рассмотрим уравнение с начальными условиями
2 + О!^1"4 4- a2zt2) + + 01 = щ - v, 49)(0) = 2? « А? - У».
Определение 2. В игре Г возможна поимка, если существует момент То — To(Zg), что для любого допустимого управления v(i) найдутся допустимые управления
Ui(t) = Ui{t, Zq, v(s), 0 ^ s ^ t)
такие, что для некоторых т є [0, То], а Є I выполнено za(r) = 0.
Всюду под допустимыми понимаются управления из класса измеримых функций, удовлетворяющие указанным ограничениям.
Через ipq обозначим решение уравнения с начальными условиями
w(0) = 0,...,^^(0) = 0, и/<«>(0) = 1, ^+^(0) = 0,...,0^(0) = 0. Предположение 1. Все корни характеристического уравнения
Xі + аїЛ1-1 + а2\1~2 Ч |-о/ = 0
являются простыми и чисто мнимыми. Пусть далее,
Считаем, что &() ф 0 для всех г, t > 0, ибо если Q(r) = 0 при некоторых а /, т > 0, то преследователь Ра ловит убегающего Е к моменту т, полагая ua(t)=v{t), *є[0,г].
Обозначим через / кривые
Я* = {(*),* [0, оо)}.
Условие 1. Существуют h Є Ні такие, что
О Є Intco{frJ}.
Теоремаї. Пусть выполнены предположение 1 и условие 1. Тогда в игре Г возможна поимка.
Условие 2. Начальные позиции участников таковы, что
О Intco{Zf}.
Следствие 1. Пусть выполнены предположение 1 и условие 2. Тогда в игре Г возможна поимка.
Теорема 2. Пусть выполнено предположение i, v = 2 и п = 2. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.
В третьем параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Pi, Р2,..., Рп и m убегающих Е\,Е2, - ., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением (1), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
yf + aiyf~l) + a2yf'2) + + ащ = vjy Vj Є V. (3)
При t = 0 заданы начальные условия
х(0) = Л* у(0) = VI причем X? ? Yf для всех itjt ZQ = {X?,Y?).
Здесь и далее у^ Vj R?, j J = {1,2,..., т].
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (Ц г ^ т) убегающих, при условии, что сначала убегающие выбирают свои управления сразу на [0, оо), а затем преследователи, на основе информации о выборе убегающих, выбирают свои управления, и, кроме того, каждый преследователь может "поймать" не более одного убегающего. Считаем, что п^т.
Вместо (1), (3) рассмотрим уравнение с начальными условиями z+a1z-1) +
Определение 3. В игре Г возможна поимка, если существует момент То — Tq(Zq), что для любой совокупности допустимых управлений Vj(t) найдутся допустимые управления
Ui{t) - Ui(t, Z0, Vj(s), s Є [0, сю))
обладающие следующим свойством: существуют множества
Ncl, McJ, \N\ = \M\=r
такие, что каждый убегающий Ер,0 Є М ловится не позднее момента То некоторым преследователем Ра,а Є N, причем если преследователь Ра ловит убегающего Ер, то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение впреследователь Ра ловит убегающего Ер" означает, что для некоторого тар Є [0, То] выполнено zap{rap) — 0. Пусть
Ш = <А>(04+vi(*)4+ +w-i(t)4-1.
Считаем, что &j{t) ф 0 для всех г, j,t > 0. Обозначим через H%j кривые
#«-{&(*)> *ЄІ0,оо)}.
Условие 3. Для каждого к Є {0,1,...,г — 1} верно следующее: для любого множества N С /, \N\ = п — к найдется такое множество М с J, \М\ = г — fc, что для всех j3 М
0 Intco{tfa, а N}.
ТеоремаЗ. Пусть выполнены предположение 1 и условие 3. Тогда в игре Г возможна поимка.
Следствие 2. Пусть т — г — 1, выполнено предположение 1, и = 2 и п = 1. Тогда в игре Г возможна поимка из любых начальных позиций.
Условие 4. Для каждого к Є {0,1,..., г — 1} верно следующее: для любого множества N С /iliV] = п — к найдется такое множество М С J, \М\ = г — к, что для всех /З Є М
О Intco{^g, а N}.
СледствиеЗ. Пусть выполнены предположение 1 и условие 4-Тогда в игре Г возможна поимка.
В четвертом параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п 4-1 лиц: п преследователей Pi, Р2,..., Рп и убегающего Е. Движение каждого преследователя Р{ описывается уравнением
щ — Ахі + щ, ще V, (4)
закон движения убегающего Е имеет вид
у = Ay + v, v eV. (5)
При t — 0 заданы начальные условия
Xi(0) = Xft 2/(0) = У0, причем X? ф Y0 для всех i, Z0 = (X?,Y).
Здесь и далее А — постоянная квадратная порядка v матрица. Вместо (4), (5) рассмотрим уравнение с начальными условиями
Zi = Azi + щ - v, ф) = Z? = X?- Y.
Определение 4. В игре Г возможна поимка, если существует момент Tq — Tq(Zq), что для любого допустимого управления v(t) найдутся допустимые управления
щ{г) = щ(г, Z0, v(t))
такие, что для некоторых г [05Хо], а Є / выполнено za(r) — 0. Пусть Ф ~ фундаментальная матрица системы
ш = Aw
такая, что Ф(0) = I. Считаем, что Ф(і)2? ф 0 для всех г, t > 0. Предположение 2. Все корни характеристического уравнения
det(A - А2) = 0
являются простыми и чисто мнимыми.
Теорема 4. Пусть выполнены предположение 2 и условие 2. Тогда в игре Г возможна поимка.
В пятом параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Р±, Р2,..., Рп и т убегающих E\t І?2> - і Ет. Движение каждого преследователя Р» описывается уравнением (4), закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
Уз ~ ЛУі + "і* Щ Є V. (6)
При t = 0 заданы начальные условия
Хі(0) = X?, 1/,-(0) = Yfy причем Л? ^ V}0 для всех ijy Z0 = (Л?,ї?).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее г (1 ^ г ^ т) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе. Вместо (4), (б) рассмотрим уравнение
Zij — AZij + Щ — Vjy ZijyJ) — ii — І — І "
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 3.
Считаем, что
Теоремаб. Пусть выполнены предположение 2 и условие 4- Тогда в игре Г возможна поимка,
В последнем параграфе первой главы рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Рі,Лг,...,Р« и m убегающих Е\,Е2,... >Ет. Движение каждого преследователя Р{ описывается уравнением
±і = щ, \\щ\\ ^ 1, (7)
закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
yj = vj, \\vj\\ <7» 7>1- (8)
При t = 0 заданы начальные условия
r<(0)=Aj, 10(0)=1^, причем Л? ±Yf для всех г, j, Z0 = (X?,^).
Цель группы преследователей - "поймать" не менее r(l^r^m) убегающих, при условии указанном в третьем параграфе.
Возможность поимки в игре Г понимаем в смысле определения 3, где выражение "преследователь Ра ловит убегающего Ерп означает, что для некоторого та0 Є [0,То] выполнено ха{гар) — У0{та/з).
Обозначим через Ац множество точек пространства R", которые преследователем Р{ могут достигаться не позже, чем убегающим Ej. Отметим, что каждое из множеств Ац — замкнутый шар. Далее, Aj(N) = [J Aaj - мно-
аЄЛГ
жество точек пространства Rv, которые хотя бы одним из преследователей Ра,а N достигаются не позже, чем убегающим Ej.
Пусть tj - луч с началом в точке Y^y pj - непрерывная кривая с началом в точке Y^ такая, что для любого положительного числа L найдется точка р Є pj, для которой |jp — У?|| ^ L.
Предположение 3. Если для некоторых N С / и (3 J существует кривая рр, для которой Ap{N)C\pp — 0, то существует луч Zp такой, что
Условие 5. Для каждого к Є {0,1,...,г — 1} верно следующее: для любого множества N С /, \N\ — п — к найдется такое множество М С J,\М\ =r — k, что для всехр Є М и р
Теорема 6. Пусть выполнено предположение 3. В игре Г возможна поимка тогда и только тогда, когда выполнено условие 5.
Вторая глава состоит из двух параграфов, в ней рассматриваются задачи уклонения всей группы жестко скоординированных убегающих от группы преследователей.
В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра Т п + т лиц: п преследователей Рі,р2,... ,Рп и т убегающих Е±, &2,..., Ет. Движение каждого преследователя Р» описывается уравнением
х^=щ, IKIK1, (9)
закон движения каждого убегающего Ej имеет вид
vlmj) = v, Н<7, 7 Є (ОД), (Ю)
где щ > 7Пу ^ 1 для всех z, j. При = 0 заданы начальные условия
ж«*>(0) = A**, yj*J(0) - if, причем X? ф Yf* для всех ij,j3j.
Здесь и далее cti = 0,1,..., щ — 1, / — 0,1,..., rrij — 1.
Определение 5. В игре Г возможно мягкое убегание, если для любых допустимых управлений щ{1) найдется допустимое управление
v(t) = v{t,xiai\t)tyf*\t))
такое, что х\' (і) ф yj() для всех t [0,оо).
Действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t по величинам {я:|- (i), jA (t)} для всех убегающих Ej выбирает одно и тоже управление v(t).
Теорема 7. В игре Г возможно мягкое убегание из любых начальных позиций.
В последнем параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п+т лиц: п преследователей Pi, Р2,..., Рп и т убегающих E\t Ei,..., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением (9), где щ^2 для всех г, закон движения каждого убегающего Ej имеет вид (10), где щ = 1 для всех j. При t = 0 заданы начальные условия
x\ai)(0) = Х?\ й(0) = Yj\ причем Xf ф Y? для всех i,j.
Дополнительно предполагается, что убегающий Ej не покидает пределы шара 5)(1^, Го), где го положительное число.
Определение 6. В игре Г возможно уклонение от встречи в шаре, если для любых допустимых управлений щ{1) найдется допустимое управление
v(t)=v(t,x
такое, что 2i(t) ф Vj{t) и yj(t) Є 2)(1^,7) для всех t [0,оо)_
Теоремав, 5 игре Г возможно уклонение от встречи в шаре из любых начальных позиций.
Публикации автора по теме диссертации
Благодатских А,И. Две задачи группового преследования// Известия ИМИ, №1(21), 2001, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-14.
Благодатских А.И. Пример Понтрягина со многими убегающими// Известия ИМИ, №2(25), 2002, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 23-26.
Благодатских А.И. Уклонение от группы инерционных объектов// Шестая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция: Материалы конференции. Часть 2, Ижевск: УдГУ, 2004, с. 77.
Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих в одной задаче группового преследования// Известия ИМИ, №2(30), 2004, Ижевск: Изд-во УдГУ, с. 3-24.
Благодатских А.И. Одна задача уклонения жестко скоординированных убегающих// Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов, Екатеринбург: УрО РАН, 2004, с. 147-148.
Благодатских А.И. Об одной задаче уклонения от многих преследователей// Проблемы современного математического образования в ВУЗах и школах России: Тезисы докладов, Киров: ВятГГУ, 2004, с. 137-138.
Благодатских А.И. Уклонение жестко скоординированных убегающих от группы инерционных объектов// Известия РАН. Теория и системы управления, 2004, №6, с. 143-149.
Благодатских А.И. О некоторых задачах группового преследования// Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики: Труды международной конференции. Т.2, Узбекистан, Ташкент, 2004, с. 33-36.
9. Благодатских А.И. О двух колебательных конфликтно управляемых
процессах со многими участниками// Известия ИМИ, №2(32), 2005, Ижевск:
Изд-во УдГУ, с. 3-22.
10. Благодатских А.И. Об одном колебательном конфликтно управляе
мом процессе со многими участниками// Известия РАН. Теория и системы
управления, 2005, №2, с. 43-45.
Групповое преследование одного убегающего в примере Понтрягина
В пространстве Rv {v 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей /\, Р2,..., Рп и т убегающих Ei,E2,..., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением закон движения каждого убегающего Ej имеет вид где гц rrij 1 для всех г, j, Xi,Vj,Ui,v Є Ії". При t = 0 заданы начальные условия яН(0) = ,0 Є Лі, yf}(0) - if, ft- Є Mj, причем XfJ YjГ для всех г, j, ft- Є Mj. Здесь и всюду далее Определение 1.1. Управления Ui(t),v(t) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (1-і), (1-&) называются допустимыми. Определение 1.2. В игре Г возможно мягкое убегание, если для любых допустимых управлений щ(і) найдется допустимое управление такое, что x\j\i) ф yf (t), / Є Mj для всех t Є [0, со). Действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t [0, со) по величинам {я (0»а е №, уj (t),0j Л/j} для всех убегающих j выбирает одно и тоже управление v{t). Случай т = 1. Построим допустимое управление v(t) обеспечивающее мягкое убегание в задаче с одним убегающим Е\. Фиксируем произвольный единичный вектор е Rv. Из возможности мягкого убегания для v = 2, т.е. на плоскости, следует возможность мягкого убегания и при v 2. Действительно, если v 2, тогда выберем плоскость П, включающую в себя вектор YJ0 + е такую, что II(Xf) ф П(У ), /? Є Afi, где под Щг) понимается проекция точки 2ЄЙ" на плоскость П. Такая плоскость найдется в силу конечности числа преследователей п. Если задача мягкого убегания от проекций разрешима, то тем самым разрешима и исходная задача. Далее в этом пункте считаем и = 2. Выбираем единичный вектор е± перпендикулярный є против часовой стрелки. По е,ех как по орт-векторам получаем декартову систему координат. Решаем задачу в выбранной системе координат. Обозначим через zc - с координату вектора z Є Я", lc(t) = е(01, где Lc{t) - {а Є I: аГ1}( ) УсГ О} , fc(0 = ЮМ, где Qc(t) - {а Є / : xfiT t) = У Г С )} , 1) 2) Pi»P2 - положительные константы такие, что с - Рс/4 0 и v/(5i + 2pm + рх/4)2 + ( + 2р2п + рз/4)2 7, (1-3) например: Sc — Зрс/4, рс = /у/2{2п + 1). Лемма 1.1. Для любых р 0, а, &, &» »Са є Я1, Я 1 тахшш{[и/ — [,..., ы — 9} р, где О = { т + 2рк, к = 0,1,... ,д}. Доказательство. Выберем любое fc Є {0,1,2,..., q}. Предположим, что найдется номер г Є {1,2,. .., ?} такой, что j(a + 2рк) — г р. Для всех J Q\{ r 4- 2р&}, выполнено ((ст + 2pfc) — ш\ 2р, откуда ы — г р. Пусть лемма неверна, значит выполнено следующее условие: существуют р 0, сг, ь 2,..., С, Я1, fl 1 такие, что maxmin{w - &,..., \и - ,[} р, откуда следует, что для каждого к Є {0,1,2,..., q} найдется номер г Є {1,2,...,} такой, что \(а + 2pfc) — г р. Выше показано, что одному такому г может соответствовать не более одного к. При этом к принимает +1 значение, г - ровно д, поэтому существует по крайней мере одно значение к Є {0,1,2,..., q) такое, что ( т 4- 2pfc ) — г р для всех г {1,2,..., q}. Полученное противоречие завершает доказательство. Лемма доказана. Для каждого момента t Є [0, оо) определим множество Oct ) = {&е + 2реЦ ) + 2рЛ к = О,1,..., qc{t)} и величину шс(Ь) Є Пс(і) следующим образом: если qc(t) — 0, тогда u c(t) =5С + 2pclc(t); если qc(t) 1, тогда OJC(0 определяется из условия Ж» № - 1&,)( )ї=J3SA (ш - )( )) р (1-4) Неравенство в (1.4) следует из леммы 1.1. Для определенности: если существует несколько значений шс(і), то возьмем максимальное из них. Таким образом, для всех t 0 величина u)c{t) определена однозначно и wc{t) Є Q c = {6С + 2рск, к = 0,1,..., тг}. (1.5) Лемма 1.2 Для всех 0, Т 0 u г Є Мі справедливо: 1) область достижимости х) е леолеект t+T совпадает с множеством Л 1 xf+k)(t)Tk т - \ 2) область достижимости х в момент t + T совпадает с отрезком " x%+k){t)Tk Г - "С 1 x +k\t)Tk Т -г 3,) пусть VC{T) — vc(t) для всех r Є [і, і 4- Т], тогда =0 Доказательство. Интегрируя (1.1) и (1.2) на интервале [і, t + Т] получим справедливость всех трех утверждений.
Поимка заданного числа убегающих в колебательном конфликтно управляемом процессе
Разберем всевозможные случаи их взаимного расположения: 1) 1 (т ) а?Уд (т ). В силу непрерывности этих функций, существует є 0, что a ift (i) х , (t), t Є [г — є,т ]. Кроме того, учитывая (1.12), х 1 1 ) x$ l\t), t Є [r є,т ); 2) (т ) a i (г ). Аналогично случаю 1, существует є 0, что &(0 а М. (О Г1) ) Є [т - е,т ); 3) 1« (т ) ів (г )- Этот случай имеет несколько вариантов: 3.1) существует є О, что ar (i) = х{у\і), t Є [г - є, г ], тогда и "«(i) = 1_1) ). Є [т - є, г ]; 3.2) существует є 0, что 2 (0 х[ }( ), t Є [т - , г ), тогда, подобно случаю 1, а 1 () xQ1- \t), t Є [т — є, т ); 3.3) существует є 0, что x J(t) х( (і), t Є [г - є, г ), тогда, подобно случаю 2, а 1" () 31- (i), 6 [г — є, г ). Теперь, перебирая все а 1 ,3 , s Є S% попарно, как а 1 ,31 , г, ,і[л , получим, что существует є% 0 такое, что расположение х j iT і s Sk друг относительно друга не изменяется на [т — е)т )-Последнее, без потери общности, означает: В (1.13) , - означает, что на всем промежутке [т — l»7" ) в первой строке формулы, знак либо , либо =, во второй строке, знак соответ ствует знаку первой строки, знак = соответствует =. Выбираем Є2 тіп{е2,в2,.. .,Є2І 0. Н.З. Из непрерывности а?і7 С ) следует существование є\ О, что ХМ(Т _ _ x( i)(T _ ») т/4 Д.Я всех / е// j0je )_ (1 14) Возьмем Єз — тіп{4, з --- ез} О-II.4. Определим є = тіп{еі,е2,Єз} О- (I-15) Из предположения, что Ит ті г следует, что до момента т — є т Ь—юо управление V\(t) определенно и существует номер р такой, что }, 1, -2 [т - е ,г ), где, согласно лемме 1.4, {tj}0 С W}0. Рассмотрим игру Г начиная с момента г —є и докажем, что найдется номер q : L+g) т , этим получим противоречие предположению о конечном значении Ит тК тем самым лемма будет доказана полностью. Ь—»оо Итак, момент і Є [г —е ,г ). Необходимо 2/п ( р) е # ( ) ПРИ некотором А; Є {1,2,..., г}. Напомним, что Существует, хотя бы одно, а Є Sk такое, что Уи ( р) = хь Ч р) Из (1.4) следует, что возможны два случая: 1) Vi(ty) Х)2 ( р) + Р\ {а это один или несколько последовательных индексов из Sk)- Из леммы 1.4 следует, что Следуя (1.13) в момент ij i должно выполнится одно из двух: а) У и (tp+i) — l1" ( p+i) этот случай невозможен в силу (1.16); б) Уп ( p+i) = xipl ( р-и)» Р ot {Р один или несколько последова тельных индексов из Sk)- Рассмотрим систему справедливость первого неравенства следует из (1.14) и (1.15), второй цепочки неравенств - из (1-16), (1.13). Из (1.17) получим, что «!( ) Йн-і) + ft/4, і [tpytp+l). Поэтому Vi(ip+i) по (1.10) будет определено так, что i) ( P+i)+ft. Продолжая далее, получим, что существует момент fP+i такой, что Из (LIS) получаем, что () ї/гГ"1 ), Є (іц,т ],а Є 5fc. Значит, чтобы ip+i+i Є [т — є І т ) необходимо выполнение равенства ї/1Г_1)( +і) - 4Г"1}( -и). Ч /Vfc, это означает, что у 1 } из множества if (г ) должен попасть в множество #it+i(e )- Из (1.11) на это потребуется времени, даже при максимальном Vi, которое по лемме 1.4 равно 6% 4- 2р\п 4- Pi/4, больше чем 2 , откуда р-И+1 — +1 2е . Итак, существует номер q = 1 + 1 : tp_,_9 т . 2) vi( J) х{1)(ф - pi. Аналогично доказывается существование q. Случай с = 2 рассматривается аналогично. Лемма доказана. Из лемм 1,4 и 1.5 следует, что определенные по формуле (1.10) функции vc таковы, что vc(t) [с — рс/4,5С + 2рсп + рс/4] для всех t Є [0, со). (1.19) Таким образом, полностью определена стратегия убегающего Е\: в каждый момент времени t 0 убегающий Е\ по (1.10) определяет vi(t) и #г( ) тем самым полностью задает свое управление v(t). Теорема 1.1. В игре Г при т = 1 возможно мягкое убегание из любых начальных позиций. Доказательство. Докажем, что стратегия убегающего, определяемая (1.10) является стратегией мягкого убегания. 1) Управление v(t), t [0, со) из класса кусочно-постоянных функций и меняет значение в моменты г Є {7i}&LoU{r&}fcLo В силу (1.19), (1.3) И ) II V( i + 2Pin + Pi/4)2 + ( + 2Р2« + Р2/4)2 7 2) Выполнение условия #( () ф У\ (t) для всех г є Мі и t 0 следует из лемм 1.4 и 1.5. Эти два утверждения полностью доказывают теорему. Теорема доказана. Случай т 2. Определим стратегию мягкого убегания для группы жестко скоординированных убегающих Ej.
Простое групповое преследование заданного числа убегающих, имеющих преимущество в скорости
В работах [56, 146] рассматривалась задача преследования четырьмя преследователями на плоскости двух убегающих.
В работе [119] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жестко скоординированные убегающие) . Цель группы преследователей - поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.
Работы Д. А. Вагина и Н. Н. Петрова [18, 90] дополняют предыдущую работу. Среди других работ, посвященных задаче простого преследования, отметим работы [1, 6, 22, 35, 57, 63, 64, 94, 121, 123, 141, 153, 154]. Обобщением задачи простого преследования является пример Понтря-гина [98]. Данному примеру посвящена обширная литература, так как он является модельным для анализа полученных различных условий поимки и убегания. В работе [109] В. Н. Пшеничный и И. С. Раппопорт рассмотрели задачу преследования группой преследователей одного убегающего в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид Были получены необходимые и достаточные условия поимки. В работе [87] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки. В работе [89] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями. Задача преследования жестко скоординированных убегающих группой преследователей в примере Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях участников рассмотрена в [19]. Получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего. В работе [88] Н. Н. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t = 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы множества D. Были получены достаточные условия поимки. "Мягкая" поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [43]. В работе [145] А. А. Чикрий и П. В. Прокопович рассмотрели задачу уклонения одного убегающего от группы преследователей в дифференциальной игре, закон движения каждого из участников в которой имеет вид При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания. Задачи уклонения одного убегающего, обладающего большей маневренностью, от группы преследователей в примере Понтрягина рассматривались ранее Н. Ю. Сатимовым и Б. Б. Рихсиевым в [122]. При условии дискриминации преследователей были получены достаточные условия убегания. Пример Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников рассматривался также в работах [28, 38, 39, 40, 41, 60, 67, 95, 98,120, 142]. Квазилинейные динамические процессы представляют собой естественное обобщение рассмотренных выше задач. При условии дискриминации убегающего в работах Н. Л. Григоренко [28], А. А. Чикрия [142] рассмотрены различные методы группового преследования одного убегающего в квазилинейных динамических процессах. Получены достаточные условия поимки и г-кратной поимки. В работе [95] Ю. В. Пилипенко и А. А. Чикрий рассматривали квазилинейные процессы, для которых условие Л. С. Понтрягина [98] выполнено лишь на некоторых интервалах числовой полуоси, последнее обстоятельство может иметь место, например, если однородная система осуществляет периодические колебательные движения. При дискриминации убегающего получены достаточные условия поимки группой преследователей. Среди других работ посвященных задачам преследования и убегания в квазилинейных процессах со многими участниками отметим [27, 31, 50, 71, 84, 118, 122, 134, 135, 136]. Ниже приведены краткий обзор данной работы и список публикаций автора по теме диссертации. Краткий обзор работы Работа состоит из двух глав и восьми параграфов. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена задачам группового преследования одного и нескольких убегающих. Первый параграф носит вспомогательный характер, здесь доказаны некоторые свойства почти периодических функций специального вида и приведена теорема Холла о существовании системы различных представителей. Определение 1. Для множеств Jp,{3 Є М = {1,2,... ,г} существует система различных представителей, если можно выбрать попарно различные элементы Лі, «2) J г такие, что щ Є Jp, ft М.
Уклонение жестко скоординированных убегающих в шаре от группы инерционных преследователей
В пространстве Rv {v 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей /\, Р2,..., Рп и т убегающих Ei,E2,..., Ет. Движение каждого преследователя Pi описывается уравнением закон движения каждого убегающего Ej имеет вид где гц rrij 1 для всех г, j, Xi,Vj,Ui,v Є Ії". При t = 0 заданы начальные условия яН(0) = ,0 Є Лі, yf}(0) - if, ft- Є Mj, причем XfJ YjГ для всех г, j, ft- Є Mj. Здесь и всюду далее Определение 1.1. Управления Ui(t),v(t) из класса измеримых функций, удовлетворяющие соответственно ограничениям из (1-і), (1-&) называются допустимыми. Определение 1.2. В игре Г возможно мягкое убегание, если для любых допустимых управлений щ(і) найдется допустимое управление такое, что x\j\i) ф yf (t), / Є Mj для всех t Є [0, со). Действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t [0, со) по величинам {я (0»а е №, уj (t),0j Л/j} для всех убегающих j выбирает одно и тоже управление v{t).
Случай т = 1. Построим допустимое управление v(t) обеспечивающее мягкое убегание в задаче с одним убегающим Е\. Фиксируем произвольный единичный вектор е Rv. Из возможности мягкого убегания для v = 2, т.е. на плоскости, следует возможность мягкого убегания и при v 2. Действительно, если v 2, тогда выберем плоскость П, включающую в себя вектор YJ0 + е такую, что II(Xf) ф П(У ), /? Є Afi, где под Щг) понимается проекция точки 2ЄЙ" на плоскость П. Такая плоскость найдется в силу конечности числа преследователей п. Если задача мягкого убегания от проекций разрешима, то тем самым разрешима и исходная задача. Далее в этом пункте считаем и = 2. Выбираем единичный вектор е± перпендикулярный є против часовой стрелки. По е,ех как по орт-векторам получаем декартову систему координат. Решаем задачу в выбранной системе координат. Обозначим через zc - с координату вектора z Є Я", lc(t) = е(01, где Lc{t) - {а Є I: аГ1}( ) УсГ О} , fc(0 = ЮМ, где Qc(t) - {а Є / : xfiT t) = У Г С )} , 1) 2) Pi»P2 - положительные константы такие, что с - Рс/4 0 и v/(5i + 2pm + рх/4)2 + ( + 2р2п + рз/4)2 7, (1-3) например: Sc — Зрс/4, рс = /у/2{2п + 1). Лемма 1.1. Для любых р 0, а, &, &» »Са є Я1, Я 1 тахшш{[и/ — [,..., ы — 9} р, где О = { т + 2рк, к = 0,1,... ,д}. Доказательство. Выберем любое fc Є {0,1,2,..., q}. Предположим, что найдется номер г Є {1,2,. .., ?} такой, что j(a + 2рк) — г р. Для всех J Q\{ r 4- 2р&}, выполнено ((ст + 2pfc) — ш\ 2р, откуда ы — г р. Пусть лемма неверна, значит выполнено следующее условие: существуют р 0, сг, ь 2,..., С, Я1, fl 1 такие, что maxmin{w - &,..., \и - ,[} р, откуда следует, что для каждого к Є {0,1,2,..., q} найдется номер г Є {1,2,...,} такой, что \(а + 2pfc) — г р. Выше показано, что одному такому г может соответствовать не более одного к. При этом к принимает +1 значение, г - ровно д, поэтому существует по крайней мере одно значение к Є {0,1,2,..., q) такое, что ( т 4- 2pfc ) — г р для всех г {1,2,..., q}. Полученное противоречие завершает доказательство. Лемма доказана. Для каждого момента t Є [0, оо) определим множество Oct ) = {&е + 2реЦ ) + 2рЛ к = О,1,..., qc{t)} и величину шс(Ь) Є Пс(і) следующим образом: если qc(t) — 0, тогда u c(t) =5С + 2pclc(t); если qc(t) 1, тогда OJC(0 определяется из условия Ж» № - 1&,)( )ї=J3SA (ш - )( )) р (1-4) Неравенство в (1.4) следует из леммы 1.1.
