Введение к работе
Диссертация посвящена изучению качественных свойств решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка.
Изучаются следующие дифференциальные уравнения:
га—1
у(п) + ^ф)у^+р(х)\у\к-1у = 0, (1)
уЫ(х) = V (х, у(х), у'(х),..., у^-1\х)) \у{х)\к-1у{х), (2)
У(п) =Ро\у(х)\к-1у(х), (3)
у(п)+р(х)\у\к-1у = 0, (4)
г"мл ( Тх (Гі(х)л (r««»)))+ Ш" = <5>
r''ix>l(---i(ri{x)l(rix> »))-)-1^ = №
d ( d ( , , d
и неравенства:
d / d Ґ , s d
r"(*;И(*<*>»)^)>м,'' (7)
га—1
i=o
га—1 га—1
Г"'+ >;(*) ya)^-p*Mfc, (Ю)
i=o
га—1
yW + ^a^^Up^yl*. (П)
j=o
АктуаЛЬНОСТЬ ТеМЫ. Уравнения (1) - (6) являются обобщениями хороню известного уравнения Эмдена - Фаулера
у" + Х\у\^у = 0, (12)
которое впервые появилось в работе Р. Эмдена1 в начале XX века в связи с изучением политропной (степенной) модели газа, которая, в частности, описывает равновесные конфигурации звезд, подчиняющиеся политроп-ному уравнению состояния.2 При этом уравнение (12) получалось заменой переменных из уравнения
і |(f|) + |^ 0, (13)
в котором переменная обозначает величину, пропорциональную расстоянию от центра звезды, а функция (в())к — величину, пропорциональную плотности звезды.
Подобные уравнения встречаются также в теории физики плазмы, газовой динамике и при описании поперечников Колмогорова.
Асимптотические свойства решений уравнения (12) при различных значениях о и к подробно изучены в монографиях Р. Беллмана3, Дж. Сан-соне4 и Ф. Хартмана5. В эти монографиях описываются также асимптотические свойства решений уравнения (4) при п = 2.
Для уравнений вида (4) при п > 2 и (2) вопросы продолжаемости и непродолжаемости решений, вопросы, связанные с их колеблемостью и неколеблемостью, оценки продолжаемых и непродолжаемых решений изучались в работах И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия6, В. А. Кондратьева и В. С. Самовола7, Н. А. Изобова8, В. А. Рабцевича9, В. А. Коз-
1R. Emden. Gaskugeln. Leipzig, 1907.
2Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. Москва, МГУ, 1981.
3 Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.:
Иностранная литература. 1954.
4 Самсоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.2. М.: Иностран
ная литература. 1954.
ъХартманФ. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.
6 Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с.
7Кондратьев В. А., Самовол В. С. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена- Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1981, т.17, № 4, с.749-750.
8Изобов Н. А. Об уравнениях Эмдена - Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями. — Мат. заметки, 1984, т. 35, № 2, с. 189-199.
9Изобов Н. А., Рабцевич В. А. О неулучшаемости условия И. Т. Кигурадзе -Г. Г. Квиникадзе существования неограниченных правильных решений уравнения Эмдена-Фаулера. — Дифф. уравнения, 1987, т. 23, № 11, с. 1872-1881.
лова10, А. А. Конькова11'12, А. Д. Мышкиса13 и др. Результаты, полученные до 1990 года, и подробная библиография содержатся в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия14. В этой работе описано также асимптотическое поведение всех возможных решений этого уравнения при п = 2. В частности, И. Т. Кигурадзе доказано, что для уравнения (2) существует решение с любой наперед заданной вертикальной асимптотой, а при п = 2 доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику. В той же работе была выдвинута гипотеза (задача 16.4): доказать, что при п > 2 все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику.
Полная асимптотическая классификация решений уравнения (4) при п = 2 и р(х) < 0 была получена В. А. Кондратьевым и В. А. Никишки-ным15.
Следует отметить также монографию А. Д. Брюно16, в которой разработаны алгоритмы локального и асимптотического анализа решений дифференциальных уравнений.
В качественной теории дифференциальных уравнений наряду с задачами об описании асимптотического поведения решений данного уравнения представляют интерес задачи об оценках решений. Так, в работе В. А. Кондратьева17 получены интегральные оценки решений полулинейных эллиптических уравнений. В работе Г. Г. Квиникадзе и И. Т. Кигурадзе18 приводятся оценки решений уравнения (4), обладающих некоторыми общими свойствами, например, решений, имеющих
10Kozlov V. A. On Kneser solutions of higher order nonlinear ordinary differential equations. — Ark. Mat., 1999, v. 37 , № 2, p. 305-322.
^Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Известия РАН, сер. Математика, 2001, т. 65, № 2, с. 81-126.
12Коньков А. А. Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. — Современная математика. Фундаментальные направления, 2004, т. 7, с. 3-158.
13Мышкис А. Д. Пример непродолжимого на всю ось решения дифференциального уравнения второго порядка колебательного типа.— Диф. уравнения. 1969, т. 5, № 12, с. 2267-2268.
14 И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с.
15Кондратьев В. А., Никишкин В. А. О положительных решениях уравнения у" = р(х)ук. В сб. «Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением», Саранск, 1980, с. 134-141.
16Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука. Физматлит, 1998, 288 с.
17Кондратьев В. А. О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений. — Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1991, т. 16, с. 186-190.
18 Квиникадзе Г. Г., Кигурадзе И. Т. О быстро растущих решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.— Сообщ. АН ГССР, 1982, т. 106, № 3, с. 465-468.
вертикальную асимптоту.
Получение оценок решений с общей областью определения интересно не только с точки зрения получения качественных характеристик решения, но и в связи с тем, что они дают возможность доказать отсутствие глобально определенных нетривиальных решений. В монографии Э. Митидиери, С. И. Похожаева19 получены, в частности, условия отсутствия глобальных решений дифференциального неравенства У^ ^ Qo\y\k, к > 1, qo = const.
Дж. Хей20 доказал аналогичный результат для неравенства у^п> ^ Qi(t)\y\kl + Q2(t)\y\k2 + - + qm(t)\y\km- А. А. Коньков21 получил априорные оценки решений уравнения (4) с нелинейностью более общего вида.
Проблема существования неколеблющихся решений и колеблемости всех решений дифференциального уравнения - одна из важных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Она была подробно изучена для уравнения (1) в случае qj(x) = О, j = О,..., п — 1. Для п = 2 F. Atkinson22 доказал следующий критерий колеблемости всех решений.
Теорема (F. Atkinson). Пусть f(x) непрерывная и положительная при х ^ О функция. Пусть к — целое число, большее 1. Тогда все решения уравнения
y" + f(x)y2k-1=0
являются колеблющимися тогда и только тогда, когда
/ xf(x) dx = сю. о
Заметим, что в линейном случае последнее условие является необходимым, но не достаточным. Свойства колеблемости решений линейных
19 Mumuduepu Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений
нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. — Труды МИАН
им. В. А. Стеклова, 2001, т. 234, 383 с.
20 Хей Дж. О необходимых условиях существования глобальных решений нелиней
ных обыкновенных дифференциальных неравенств высокого порядка. — Дифференц.
уравнения, 2002, т. 38, № 3, с. 362-368.
21 Коньков А. А. О решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений. — Известия РАН, сер. Математика, 2001, т. 65, № 2, с. 81-126.
22Atkinson F. V. On second order nonlinear oscillations. — Pacif. J. Math., 1955, v. 5, № 1, p. 643-647.
уравнений исследовались в работах Т. А. Чантурия23'24'25, В. А. Кондратьева26'27, D. L. Lovelady28'29, и И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия30, где содержится подробная библиография вопроса.
Для нелинейных уравнений второго порядка более общего вида
y" + p(x)f(y) = 0 и у" + д(х,у)=0,
теоремы, подобные теореме F. Atkinson, были получены в работах
S. A. Belohorec31, И. Т. Кигурадзе32, J. W. Masci and J. S. W. Wong33'34'35.
Для нелинейных уравнений 3-го и 4-го порядка вопросы колеблемости
исследовали В. А. Кондратьев и В. С. Самовол36, Т. Kusano и М. Naito37,
23 Чантурия Т. А. Интегральные признаки колеблемости решений линейных диф
ференциальных уравнений высших порядков. — Дифференц. уравнения, 1980, т. 16,
№ 3, с. 470-482 и № 4, с. 635-644.
24 Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравне
ний высших порядков. — Докл. семинара Ин-та прикл. мат. им. И. Н. ВекуаТбилис.
гос. ун-та, 1982, т. 16, с. 3-72.
25 Чантурия Т. А. О колеблемости решений линейного обыкновенного диффе
ренциального уравнения общего вида. — Дифференц. уравнения, 1986, т. 22, № 11,
с. 1905-1915.
26Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка. — Труды ММО, 1959, т. 8, с. 259-281.
27Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения г/(") — р(х)у = 0. — Труды ММО, 1961, т. 10, с. 419-436.
28Lovelady D. L. On the oscillatory behavior of bounded solutions of higher order differential equations. — J. Diff. Equations, 1975, v. 19, № 1, p. 167-175.
29Lovelady D. L. An asymptotic analysis of an odd order linear differential equation. — Pacif. J. Math., 1975, v. 57, № 2, p. 475-480.
30Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с, гл. I.
31 Belohorec S. A criterion for oscillation and nonoscillation. — Acta F. R. N. Univ. Comen. Math., 1969, v. 20, p. 75-79.
32Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений уравнения и" + a(t)\u\n щпи = 0. — Cas. pest, mat., 1962, v. 87 , № 4, p. 492-495.
33 Masci J. W., Wong J. S. W. Oscillation of solutions to second-order nonlinear differ
ential equations. — Pacif. J. Math., 1968, v. 24 , № 1, p. 111-117.
34 Wong J. S. W. A note on second order nonlinear oscillation. — SIAM Review, 1968,
v. 10, p. 88-91.
35 Wong J. S. W. On second-order nonlinear oscillation. — Funkcialaj Ekvacioj, 1968,
v. 11, p. 207-234.
36Кондратьев В. А., Самовол В. С. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена- Фаулера. — Дифференц. уравнения, 1981, т. 17, № 4, с. 749-750.
37Kusano Т., Naito М. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations. — Canad. J. Math., 1976, v. 28, № 4, p. 840-852.
D. L. Lovelady38, V. R. Taylor, Jr.39, P. Waltman40.
Результат F. Atkinson был обобщен на уравнения высокого порядка
у(га) +p(x)\y(x)\ksgny = О
И. Т. Кигурадзе41 и Т. А. Чантурия42.
Уравнения вида (1) с некоторыми из коэффициентов qj(x) 7^ 0 были изучены также в других работах43'44'45'46'47'48'49, при этом некоторые из этих работ содержали нелинейности более общего вида.
ЦеЛЬ рабОТЫ И ОСНОВНЫе Задачи. Основной целью исследования является изучение качественных свойств решений дифференциальных уравнений и неравенств (1) - (11), в частности, получение для квазилинейного уравнения равномерных оценок положительных решений с общей областью определения, зависящих от оценок коэффициентов уравнения и не зависящих от самих коэффициентов; доказательство критерия колеблемости всех решений этого уравнения; получение результатов о равномерных оценках модулей решений для квазилинейных дифференциальных неравенств; изучение асимптотического поведения решений с вертикальной асимптотой для нелинейных уравнений
38 Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differ
ential equation. — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1975, (8)
58, № 4, p. 531-536.
39 Taylor W. E., Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations. —
Internat. J. Math., 1983, v. 6, № 3, p. 551-557.
40 Waltman P.Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. —
Pacif. J. Math, 1966, v. 18, p. 385-389.
41 Кигурадзе И. Т. О колеблемости решений уравнения dmu/dtm+a(t)\u\nsgnu = 0.
— Мат. сб., 1964, т. 65 , № 2, с. 172-187.
42Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990, 432 с, гл. IV.
43Kartsatos A. G. N th order oscillations with middle terms of order N — 2. — Pacific J. Math., 1976, v. 67, № 2, p. 477-488.
44Кигурадзе И. Т. Критерий колеблемости для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений. — Дифф.уравнения, 1992, т. 28, № 2, с. 207-219.
A5Kusano Т., Naito М. Nonlinear oscillation of fourth-order differential equations. — Canad. J. Math., 1976, v. 28, № 4, p.840-852.
46Lovelady D. L. On the oscillatory behavior of bounded solutions of higher order differential equations. — J. Diff. Equations, 1975, v. 19, № 1, p. 167-175.
47Lovelady D. L. An oscillation criterion for a fourth-order integrally superlinear differential equation. — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur, 1975, (8) 58, № 4, p. 531-536.
48 Taylor W. E., Jr. Oscillation criteria for certain nonlinear fourth order equations.
— Internat. J. Math., 1983, v. 6, № 3, p. 551-557.
49 Waltman P.Oscillation criteria for third order nonlinear differential equations. —
Pacif. J. Math, 1966, v. 18, p.385-389.
произвольного порядка; для уравнений третьего и четвертого порядка без младших производных описание асимптотического поведения всех возможных решений в случае регулярных и сингулярных нелинейно-стей; исследование асимптотического поведения решений и получение равномерных оценок модуля и аргумента решений одномерного уравнения Шредингера.
Методы ИССЛеДОВаНИЯ. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и топологии.
Для получения равномерных оценок решений уравнения (1) в главе 1, неравенства (8) в главе 2 и доказательства критерия колеблемости всех решений уравнения (1) в главе 3 используется представление оператора
т dn ^ . . d? dxn ^ J v ' dxJ
j=0
в виде оператора квазипроизводной
УИ(Ж) = Г"(Ж)^(---^(Г1(Ж)1(Г(Ж)У))---)'
где Tj{x) — достаточно гладкие положительные функции.
В работах G. Polya50, Ch. I. de la Vallee-Poussin51, А. Левина52 приводятся некоторые достаточные условия такого представления линейных дифференциальных операторов, но для получения результатов данной работы требуется, чтобы данное представление имело коэффициенты, обладающие специальными свойствами. В главе 2 данной работы потребовалось доказать существование такого оператора квазипроизводной, коэффициенты которого на отрезке имеют соответствующие оценки. В главе 3 данной работы коэффициенты квазилинейного оператора строятся таким образом, что их пределы при х —> +оо равны 1, что используется в доказательстве теоремы 3.
Для доказательства основных результатов глав 4-7 в работе применяется замена переменных, позволяющая свести исходное уравнение п-го
50 G. Polya On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous
differential equation. — Trans. Amer. Math. Soc, 1924, v. 24, p. 312-324.
51 Ch.I. de la Vallee-Poussin Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre. De
termination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordre
n. — Journ. Math. Pur. et Appl., 1929, v. 9, № 8, p. 125-144.
52Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^п' +pi(t)x^n~1' + -+pn(t)x = 0. УМН, 1969, т. 24, вып. 2 (146), с. 43-96.
порядка к динамической системе на (п — 1)-мерной компактной сфере. Изучение асимптотического поведения траекторий полученной системы на сфере дает возможность исследовать асимптотическое поведение всех решений исходного уравнения.
Научная НОВИЗНа. Все результаты работы являются новыми. Основные из них — следующие:
для уравнений (1), (5) и (6) получены равномерные оценки положительных решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов уравнения и не зависящие от самих коэффициентов;
доказан критерий колеблемости всех решений уравнений (1) и (5) (обобщение теоремы Аткинсона);
для квазилинейных неравенств (8) - (11) получены равномерные оценки модулей решений с общей областью определения, зависящие от оценок коэффициентов неравенств и не зависящие от самих коэффициентов;
для уравнения (2) произвольного порядка доказано существование решения с вертикальной асимптотой, имеющего степенную асимптотику, а для уравнений четного порядка — кнезеровских решений, имеющих степенную асимптотику; при этом для уравнений третьего и четвертого порядков доказано, что все решения с вертикальной асимптотой имеют степенную асимптотику (гипотеза И. Т. Кигурадзе), а для уравнений четвертого порядка — что все кнезеровские решения имеют степенную асимптотику;
для уравнения (4) третьего и уравнения (3) третьего и четвертого порядков получена асимптотическая классификация всех решений в случаях регулярных и сингулярных нелинейностей;
исследовано асимптотическое поведение решении и получены равномерные оценки модуля и аргумента решений нелинейного одномерного уравнения Шредингера.
ТеорЄТИЧЄСКаЯ И Практическая ЦеННОСТЬ. Работа относится к области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в тех областях, где возникают вопросы о качественном и асимптотическом анализе решений нелинейных и квазилинейных
дифференциальных уравнений. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов.
АпробаЦИЯ рабОТЫ. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:
Расширенные заседания семинара ИПМ имени И. Н. Векуа. Тбилиси. 1985, 1988, 1990.
Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения». Воронеж, 1993, 1994, 1995, 2000, 2002, 2004, 2006, 2007.
Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2001, 2003.
Конференция «Современные методы нелинейного анализа». Воронеж, 1995.
Международный семинар «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 1995, 1996, 2005, 2007.
The First International Scientific and Practical Conference "Differential Equations and Applications". Saint-Petersburg, 1996.
International Colloquium on Differential Equations. Plovdiv, Bulgaria, 1996, 1997.
International Symposium "Complex Analysis and Related Topics". Cuernavaca, Mexico, 1996.
International Symposium Dedicated to the 90th Birthday Anniversary of Academician I.Vekua. Tbilisi, 1997.
4th Symposium on Mathematical Analysis and Its Applications. Aran-gelovac, Yugoslavia, 1997.
Международный семинар «Нелинейное моделирование и управление». Самара, 1997.
Mark Krein International Conference "Operator Theory And Applications". Odessa, Ukraine, 1997.
Conference on Differential Equations and Their Applications. (EQUADIFF -9) Brno, Czech Republic, 1997.
Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону, 1999.
Diffiety School. School in Geometry of Partial Differential Equations, S. Stefano Del Sole, Avellino, Italy, 2002.
International Petrovskii Conference "Differential Equations and Related Topics". Moscow, 1996, 2001, 2004, 2007.
3rd ISAAC Congress. Berlin, Germany, 2001.
Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2002, 2004, 2006.
International Conference "Function Spaces, Approximation Theory, Nonlinear Analysis" dedicated to the centennial of S. M. Nikolskii. Moscow, 2005.
Международная конференция «Чебышевские чтения» «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания.» Обнинск, 2006.
Международная конференция «Тихонов и современная математика», Москва, МГУ. 2006.
Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа. Новосибирск. 2007.
Conference on Differential Equations and their applications (EQUAD-IFF2007). Vienna, Austria, 2007.
14-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов. СГУ им. Н. Г. Чернышевского. 2008.
Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования». Москва. РУДН. 2008.
Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.
Кроме этого автор выступал с докладами на следующих научных семинарах:
Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. М. Миллионщикова, проф. В. А. Кондратьева, проф. Н. X. Розова— 1986, 1996, 1998, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008.
Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ п/р проф. В. А. Кондратьева, проф. Е. В. Радкевича — 1996, 2001, 2005.
Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ п/р проф. В. В. Жикова, проф. В. А. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой — 2005.
Научный семинар по дифференциальным уравнениям Владимирского государственного педагогического университета под руководством проф. В. В. Жикова, проф. Ю. В. Алхутова — 2005.
Научный семинар отдела теории функций Математического института им. Стеклова РАН п/р акад. С. М. Никольского — 2005, 2007.
Семинар математического отдела ИПМ им. М. В. Келдыша РАН под руководством проф. А. Д. Брюно — 2004, 2006.
Научный семинар кафедры теории функций механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. Г. Костюченко и проф. А. А. Шкаликова — 2007-2008.
Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) — 2002-2008.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 работах (14 — в изданиях, рекомендованных ВАК), среди которых 2 монографии. Их список приведен в конце автореферата.
Структура ДИССертаЦИИ. Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Общий объем работы — 240 страниц, список литературы включает 136 наименований. В работе имеется 12 поясняющих иллюстраций. Нумерация
теорем, лемм, формул и иллюстраций — двойная: номер главы и собственный номер, следствий — тройная: номер главы, номер теоремы и собственный номер. Во введении — независимая нумерация формул, а номера теорем совпадают с их номерами в основном тексте.
