Введение к работе
Состояние вопроса и актуальность темы. Уравнениями составного типа (здесь и далее все уравнения рассматриваются над полем действительных чисел) в литературе принято называть уравнения с частными производными, имеющие а каждой точке области своего задания характеристики разного рода (действительные и комплексные), уравнения третьего и более высокого порядков с кратными характеристиками, уравнения, старшая часть которых представима в виде суперпозиции двух или большего числа операторов ненулевого порядка с коэффициентами из того же поля- Систематическое исследование уравнений составного типа началось с работ К. Адамара, где впервые были изучены краевые задачи для модельных уравнений составного типа в случае характеристик разного рода, хотя отдельные уравнения, например, уравнения Кортвега-де Бриза, изучались и ранее. Исследования Ж. Адамара продолжили 0. Сестранд, Л. Вольфзрсдорф, Л. КаттаОрига и другие; определенные итоги (на свое время) были подведены в монографиях М. С. Салахитдинова, А. Джураева, Т. Д. Джураева; в последнее время ксследовашш краевых задач для различных классов уравнений сосгавного типа посвящены работы М. С. Салахитдинова, Т. Д. Джураева, Ю. А. Дубинского, В. Н. Врагова, М. Мередова, С. АОдиназарова, В. И. Корзюка, А. В. Кажихова, В. А. Маловичко, С. Г. Пяткова и других.
С уравнениями составного типа, рассматриваемыми в диссертации, тесно связаны уравнения, получившие в последнее время название неклассических - уравнения смешанного типа второго и высокого порядков, уравнения смешанно-составного типа, операторно-дифференциальные уравнения. Исследования таких уравнения начались с работ Ф. Трнкома, М. Б, Келдыша, У. А. Лаврентьева, И. Н. Векуа, Ф. И. Франкля, Л. В. Овсянникова, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко; фундаментальные результаты, связанные с разрешимостью и свойствами решений краевых задач, получены в циклах работ А. Б. Бицэдзе, К. О. Фридрихеа, Р. .Такса, Л. Хермандера, 0. А.Олейник, Л. Д. Лизоркіша, И. IT. Біглика, С. А. Терсенова, И. А. Киггриянова, В. П. Глуїнко,
М. М. Смирнова, В. Н. Врагова, Е. И. Моисеева. В 1951 годз М. В. Келдаш впервые показал, что постановка краевой задача для вырождающихся уравнений имеет принципиальные отличия о< постановки краевой задачи для невырождаюиикея уравнений и более того, различные классы выроясдающихся уравнений имею: принципиальные различия меясду собой в постановках краевы; задач (так, например, для уравнений с характеристически] вырождением носители граничных условий существенным образо! определяются с помощью младших коэффициентов). Новым атапої развития теории краевых задач для неклассических уравнени: математической физики явилась работа Г. Фикера, где дл. общих эллиптико-параболичэскиж уравнений второго порядк. была предложена единая постановка краевой задачи; в это: задаче, как и в задаче М. В. Келдыша, носители граничны условий определялись с помощью коэффициентов уравнения. Дальнейшем краевые задачи для эллиптико-параболически уравнений исследовались многими авторами; наиболее полны результаты по задаче Г. Фйкеры приведены в монографи 0. А. Олейншс и Е. В. Радкевича.
В. Н. Врагов в 1977 году предложил новую краевую задач для уравнений второго порядка с произвольным многообразие изменения типа (в частности, эти уравнения могут быть и эллил тико-параболическими), Как и для задачи Г. Фикера", носите л граничных условий в задаче Б, Н. Врагова определялись с по мощью коэффициентов уравнения. Исследования В. Н. Врагова был продолжены в работах Г. Д. Каратолраклиева, А. Г. Кузьмина В. В. Катрахова, К. А. Ларькина, С. Г. Пяткова и других.
В настоящей диссертации будут исследованы уравнения сое тавного типа вида
LU н 1Аи + Ви = f(x), (1)
где А, В, I - дифференциальные операторы еидэ
Аи atJ (х)их х + al(x)ux + а(х)и,
і j і
Ви s biJ(x)v.r „ + Ь1(х)и^ + Ь(х)и,
2 з а. (х) — + а(х), дх.
оператор А предполагается зллнптико-параболическим. Заме титл, [то в класс уравнений И) входят эллитико-параболические 'равнения, гиперболо-параболические уравнения и уравнения с ге опре деленной характеристической формой, изученные В. Н. Вра-'овым, уравнения третьего порядка с характеристиками разного юла, с краткими характеристиками, вырождающиеся уравнения третьего порядка. Целями исследования будут: в рамках единого годхода постановка краевых задач в терминах коэффициентов для сравнений третьего порядка вида (1), охватывающая в частных ілучаях постановки Г. Фикера и В. Н. Врагова, некоторые ізвестние постановки краевых задач для модельных уравнений третьего порядка; исследование существования и единственности зеыений Ене зависимости от размерности пространства и от 5ЛИЗОСТИ уравнения к модельному; выделение уравнений, имеющих эегулярнне решения.
Значительнее место в диссертации уделяется новым классам активно изучаемых в последнее время уравнений Соболева - Га-їьперна (псевдопараболических или псевдогиперболических урав-іений по иной терминологии). Исследования таких уравнений на-тл С. Л. Соболев и затем продолжили С. А. Галыгерн, А. Г. Состюченко, Г. И. Эскин, А. А. Дезин, С. А. Габов, А. Г. Свеш-іиков, Буй Ан Тон, Р. Е. Шовалтер,' Ы. X. Шхануков, Б. К-о Ка-чантаров, И. Е. Егоров, П. А. Авилес, Дх. Сандефур, Н. А. Іарькин, С. Г. Пятков, С. В. Попов, Г. А. Свиридюк и другие; значительная часть результатов, относящихся в основном к чинейныы уравнениям, приведена в монографиях Г. Гаевского, І. Грегера и К. Захариаса, С. В. Успенского, Г. В. Демиденко и 3. Г. Перепелісина, С. Я. ЯкубоЕа, С. А. Габова и А. Г. Свеыни-совз. Нелинейным уравнениям посвящены работы Д. М. Гринберга, ?. '-.(зккгмі, Р. Л. Дэвиса, К. Дафермоса, Е. Ибихары, Е. Ямзди, Л. Туцумн, X. Энглера, X. Шхера, Б. А. Бубнова, Н. А. Ларь-дана, Г. И. Лаптева, А. Л. Гладкова. Уравнения типа псевдола-заболнческих и псевдогиперболических при реализациях неко-
торых моделей гидро- и газодинамики, теории упругости исследовали А. П. Осколков, Ю. Я. Белов, К. Я. Леонов, В. 3. Фу-раев и другие; значительная библиография и существенные результаты приведены в монографиях Н. А. Ларькина, В. А. Новикова и Н. Н. Яненко и В. П. Маслова и П.- П. Мосолова.
В диссертации изучаются как линейные уравнения Соболева - Гальперна, так и нелинейные; приводятся новые условия разрешимости, изучаются новые свойства решений. Актуальность данных исследований можно обосновать как собственно потребностями математической теории, так и потребностями математического моделирования,. т.е. потребностями изучения краевых задач для линейных и нелинейных уравнений, возникающих при описании конкретных физических процессов.
Отметим также такой аспект теории краевых задач для уравнений составного типа, как использование результатов для этих уравнений при регуляризации и исследовании краевых задач для уравнений низшего (например, второго) порядка - см. работы В. Н. Врагоьа, И. Е. Егорова (примеры подобного исполь-вания приведены и в диссертации), а также при исследовагпш смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов - см. работы В. Н. Врагова, С. В. Рихтера, Р. С. КамалоЕа.
Отдельной главой в диссертации исследуются нелинейные эллиптические к параболические уравнения высокого порядка с составным оператором в главной части. Таїсіє уравнения можно отнести к уравнениям составного типа с кратными характеристиками; их исследования существенно затруднены как высоким порядком, так и нелинейностью. Среди работ, посвященных близким вопросам теории краевых задач для нелинейных эллиптических и параболических уравнений высокого порядка, отметим работы С. И. ПохожаеЕа, И. В. Скршшика, Ю. А. Дубинского, С. Н. Крунасова, Д. Р. Даннингера, В. Б. Гогаи и других.
В целом в диссертации предложены методы исследования общих ураыюний составного типа третьего порядка, специальных уравнений типа уравнений Собольиа - Гальперна, нелинейных уравнений. Предлоасено также рс-шг-нн
згєматической Цель работы - исследование корректности краевых задач для 5аях линейных уравнений составного типа третьего порядка; ис-гседование специальных классов уравнений составного типа /равнеїшй типа уравнений Соболева - Гальттерна); исследование глинейных уравнений составного типа, в том числе уравнений с эстущими коэффициентами и с немонотонными нелинейноетями; зеледование нелинейных параболических и эллиптических уравне-ій высокого порядка в дивергентной форме. При исследовании знкретных классов уравнений целью в ochoehom является дока-зтельство существования регулярных решений. Методика исследовании. При исследовании линейных задач ^пользуются методы функционального анализа, метод регуляриза-ш посредством дифференциального оператора более высокого эрядка, метод Галеркина. Для нелинейных задач применяются ме-эд регуляризаціш, метод срезок, используется техника, осно-інная на получении и применении априорных оценок; для уравне- 1Й С НеМОНОТОННЬШИ НеЛИНеЙЇЮСТЯМИ И ДЛЯ КЄЛИНЄЙІЩХ. ЭЛЛШ1ТИ- ;ских уравнений высокого порядка применяется метод, основаній на аналогах принципа максимума и принципа сравнения. Научная новизна и практическая ценность. В диссертации злучены следующие основпие результаты. Для обідих линейных уравнений составного типа с эллкп-іко-параболическим оператором в старшей части предлоїкеїш по-?ановки краевых задач и доказана их корректность. Изучены новые классы уравнений типа уравнений Соболе-і - Гальперна, для которых доказано существование регулярных мнений и изучены свойства решений при принцигшально нових їловиях на ковффициенты. Для нелинеиных уравнений третьего порядка типа пеев->гкперболических и псевдопараболическнх доказано существова-:е и единственность регулярных решений, изучены свойства тений. Исследован новый класс нелинейных гиперболических и евдогиперболических уравнений с растущими шіадісими членами. Для псеЕДопараболических уравнений о немонотонными не-нейностями в главной ччети, для псевдопараболических и поев- догиперболических уравнений с нелинейным немонотонным неподчиненным источником доказаны аналоги принципа максимума и принципа сравнения, построены верхние и нижние решения и исследована корректность начально-краевых задач и задачи Коші. Доказано существование регулярных решений для нелинейных параболических уравнений высокого порядка с дивергентной старшей частью в случае одной пространственной переменной. Для нелинейных эллиптических уравнений четвертого порядка дивергентного вида доказан аналог принципа максимума и на его основе исследованы разрешимость краевых задач и свойства решений для ряда новых классов таких уравнений. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты пс постановке краевых задач для общих уравнений составного типа могут послужить основой для дальнейшего изучения свойств решений, в том числе и для нелинейных уравнеїшй. Исследованные псевдогиперболические и псевдопараболические нелинейные уравнения с растущими младаими членами возникают в гидро- и газодинамике, в електродинамике; полученные теоретические результаты позволяют предсказывать свойства решений и могут служить основой для численных, расчетов. Результаты о корректности начально-краевых задач и задачи Коши для нелинейных уравнений третьего порядка с немонотонными источниками в ряде случаев могут быть применены для нелинейных интегро-дифреренциаль-ных уравнений типа Вольтерра, возникающих в математическое биологии. В целом методы данной работы могут быть использованы как при дальнейшем развитии теории уравнений составного типа, так и при исследовании конкретных прикладных задач. Апробация работы. Диссертация выполнена в 1979 - 1992 гг. в Институте математики СО РАН. Результаты ее докладывались ш научных семинарах Института, на заседаниях Сибирского математического общества, на семинарах по дифференциальным уравнениям и их приложениям в МИ АН России им. Б. А. Стеклова, в МГ1 им М. Б. Ломоносова, в С-П ОММ, в Институте математики АН Чехословакии, в Московском энергетическом институте, в Институте математики им. В. И. Романовского АН Узбекистана, б Институте вычислительных технологий СО РАН. Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: ш Г; совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества (,1980, 1986, 1988, 1993 гг.), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в дифференциальных уравнениях (Алма - Ата, 1979 г.), на Всесоюзных конференциях по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1982, 1992 гг.), на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1980, 1981 гг.), на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям и спектральной теории (Нальчик, I9S6 г., Алма-Ата, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям и оптимальному управлению (Ашгабат, I9S6 г.), на Международной конференции, посвященной 30-летию со дня рождения И. Н. Векуа (Тбилиси, 1Э87 г.), на расширенных заседаниях семинара им. И. Н. Векуа (Тбилиси, 1988 г.), на конференции "Нелинейные граничные задачи математической физики" (Донецк, 1979, 1983, 1987, 1989, 1991 гг.), на Уральской региональной конференции "Функционально-диффе-ренциальные уравнения" (Уфа, 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на школе-семинаре по качественной теорій дифференциальных уравнений гидродинамики (Барнаул, 1989г, Красноярск, 1992 г.), на советско-чехословацком совещании по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу (Братислава, 1988 г.), на советско-японском семинаре по обратным и некорректным задачам (Новосибирск, 1991 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 27], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ (с Н. А. Ларькшшм и Н. Н. Яненко) в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору. Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 334 страницах и состоит из Введения, четырех глав, Дополнения л списка литературы, который содержит 162 наименования.
Похожие диссертации на К теории уравнений составного типа
