Исследование переходных процессов при решении непрерывно-дискретных краевых задач Гаскевич, Игорь Всеволодович

Содержание к диссертации

Введение

1. Первая начально-краевая задача для уравнения с непрерывно-дискретными параметрами 20

1.1. Постановка некоторых краевых задач математической физики с непрерывно-дискретными параметрами 21

1.2. Теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач 37

1.3. Некоторые методы решения непрерывно-дискретных краевых задач 57

1.4. Построение решений соответствующих переходным процессам в некоторых одномерных системах с непрерывно-дискретными параметрами . 67

2. Метод учета переходных процессов в некоторых непрерывно-дискретных системах 83

2.1. Общая схема метода учета переходного процесса в колеблющихся системах 83

2.2. Применение метода учета переходного процесса для стационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами 92

2.3. Применение метода учета переходного процесса для нестационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами 101

2.4. Об оценках переходных процессов 112

Выводы 121

Литература 123

• Теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач
• Построение решений соответствующих переходным процессам в некоторых одномерных системах с непрерывно-дискретными параметрами
• Общая схема метода учета переходного процесса в колеблющихся системах
• Применение метода учета переходного процесса для нестационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами

Введение к работе

В последнее время все больший интерес проявляется к исследованию динамических систем с распределенно-сосредоточенными параметрами,о чем свидетельствует появление все возрастающего числа публикаций,касающихся этой темы. Это естественно, так как стремление к повышению эффективности и качества функционирования систем требует учета всего многообразия факторов,влияющих на их функционирование.

Динамическое поведение системы с распределенными параметрами может исследоваться либо путем аппроксимации динамической системы системой конечного числа дискретных компонент,связанных между собой невесомыми связями и сведения исследования системы к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с общим порядком,равным числу степеней свободы у аппроксимирующей системы, либо путем изучения дифференциальных уравнений в частных производных с гладкими коэффициентами, описывающих динамику системы [ 8,12,42 ] .Оба направления имеют определенные достоинства и недостатки.Первое при своей наглядности и простоте методов имеет ограниченное применение в случае сложного распределения параметров системы, второе, несомненно, более точно отражающее свойства распределенной системы,более трудоемко и малоэффективно в случае наличия в системе сосредоточенных факторов типа дискретных масс, сил,моментов и др.

Кроме того, в реальных условиях приходится иметь дело с динамическими системами, поведение которых не может быть удовлетворительно описано ни одним из вышеизложенных подходов.Речь идет о системах с распределенно-сосредоточенными параметрами, которые приходится исследовать в рамках теории краевых задач

для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами.К таким системам относятся стержневые системы, нагруженные сосредоточенными массами [ 56 ] , несущие поверхности летательных аппаратов [ 4 ] , корпуса судов [ 39 ] , канатные дороги [ 45 ] различные системы электрических линий с включенными в них распределенными и сосредоточенными ин-дуктивностями и емкостями [ 7 ] и другие. В теории колебаний непрерывно-дискретной краевой задачей называется краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных о колебаниях распределенной динамической системы,параметры которой имеют переменные кусочно-непрерывные и дискретные значения [ 47 ] .Исследовать непрерывно-дискретные краевые задачи приходится в случаях,когда с одной стороны в системе, математической моделью которой является непрерывно-дискретная краевая задача, имеются неоднородности дискретного характера в виде сосредоточенных масс, моментов инерции, сил, емкостей,индуктивностей и т.п., что не позволяет рассматривать задачу как гладкую, а с другой стороны суммарное воздействие на систему распределенных факторов сравнимо с воздействием сосредоточенных факторов, что не дает возможности аппроксимировать исходную систему системой сосредоточенных взаимосвязанных компонент,или же приводит к неприемлемо большому числу степеней свободы в аппроксимирующей системе, что в свою очередь увеличивает объем вычислений. Таким образом,непрерывно-дискретные краевые задачи как математические модели систем с распределенно-сосредоточенными параметрами могут служить единым подходом к исследованию динамических систем как с распределенными, так и сосредоточенными параметрами. В пределах такого подхода возможно единое исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами и краевых задач для дифференци-

ально-разностных уравнений [ 7 ] .

Особенностью исследования поведения динамической системы с распределенно-сосредоточенными параметрами является то, что необходимо решать дифференциальное уравнение в частных производных с переменными коэффициентами,имеющими в области интегрирования произвольное число нарушений гладкости,непрерывности и других особенностей. Влияние таких особенностей учитывается условиями сопряжения,накладываемыми на решения исходного уравнения и его производные, что существенно усложняет решение таких задач [ 43 - 45, 47,86,87 ] .Условия сопряжения представляют собой математическое выражение различных физических закономерностей,таких как непрерывность среды,равенства различных физических величин,участвующих в описании данной физической системы. Именно наличием кроме нарушений гладкости и непрерывности сосредоточенных факторов, которые учитываются условиями сопряжения, непрерывно-дискретные краевые задачи отличаются от тесно к ним примыкающих задач.дифракции [ 50,51 ] и краевых задач с разрывными коэффициентами [ 18 ] .

При исследовании динамических систем с распределенно-сосредоточенными параметрами для описания воздействия сосредоточенных факторов часто используются сингулярные обобщенные функции Г 32,53,54,91-93 ] . В этом случае динамическое поведение системы описывается краевой задачей для уравнения в частных производных с коэффициентами,содержащими сингулярные обобщенные функции [ 56 ] .В работе будет показано единство этих двух подходов к формулировке краевых задач о динамическом поведении системы с распределенно-сосредоточенными параметрами. Поэтому под названием непрерывно-дискретные краевые задачи будем подразумевать также краевые задачи для уравнений в частных производных, содержащих сингулярные обобщенные функции в качестве

коэффициентов.

Остановимся на некоторых результатах, полученных в области исследования и решения непрерывно-дискретных краевых задач и приводящих к ним динамических систем с распределенно-сосредото-ченными параметрами. Отметим,что в области практического исследования таких систем основные результаты были связаны с исследованием динамики несущих поверхностей летательных аппаратов [2 - 6 1 .Математическим аппаратом, используемым для этого,был аппарат интегральных уравнений,содержащих внеинтегральные члены, зависящие от значений неизвестных функций от промежуточных значений пространственных координат.Динамику систем описывали интегро-дифференциальные уравнения следующего вида [ 5 ]

«M^Z-GMMi^S- |GMm(s)^fi)_d, _ (в.і)

где IjfHjt) - неизвестная функция, a u^Sj.ni., Ю (^) г-заданы. Собственные частоты системы вследствие чего определялись интегральным уравнением с параметром со¹ с неизвестной функцией А (ъ) и заданными М {. , Yy\ (S) , G (?, S)

і о

Исследование и решение уравнений типа (B.I) и (В.2) привело к изучению [ 1,19,27 ] их обобщений вида (В.З),(В.4)

у(_аД)= Л К(х$дШс1б +1 KMd QC*,*), (в.з)

S ^6t Й

_{Ш). Ь]Н(х,*)Ш)4е(з). №.4)}

- неубывающие ограниченные на функции.

Для уравнений таких типов получены традиционные для теории интегральных уравнений результаты. В дальнейших исследованиях в этом направлении изучались обобщения этих уравнений на случаи неограниченных областей и неограниченного распределения характеристик системы б*(х) , 6?(ссД) [7,37] .Рассматривались также вопросы взаимосвязи дифференциальных и интегральных нагруженных уравнений при использовании их для описания динамики систем со сложным распределением параметров [ 1,7] . В [ 7] делается также попытка объединить в рамках единого подхода исследование непрерывных и дискретных краевых задач.

Кроме этого при исследовании механических систем с распре-деленно-сосредоточенными параметрами многими авторами применялся другой подход. Основу его составляло использование дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач для них в качестве математических моделей таких систем. Это привело с одной стороны к рассмотрению краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами,содержащими сингулярные обобщенные функции [ 16,17,90 ] ,а с другой стороны к непрерывно-дискретным краевым задачам [45,46,47,48 ] . В работах [55, 57 ] рассматриваются механические системы, поведение которых описывается начально-краевыми задачами для уравнений следующего вида:

(т.<₊Z>i $ 6"й) 4іг ⁺ -fr ( ЕІф -)=0, св. 5)

где 1т>₀(х') , Е1(ос^ известные ступенчатые функции, Сое) -функция единичного импульса.

Методы решения уравнений типа (В.6) даются в [ 92,93 ]

(В. 6)

В этих и других работах получены достаточно полные результаты, относящиеся к исследованию поведения конкретных физических систем и к построению методов решения конкретных краевых задач. Однако универсального, достаточно точно отражающего качественные стороны поведения таких систем метода получено не было.

Аналогично в [43,44] рассматриваются непрерывно-дискретные задачи следующего вида:

Р'Ф ^=Т%е ⁺ $^(х'^{) *^е^-"^х^¹⁼¹<- "^{i >0}> ^(в-⁷⁾

U^)=U,₁fc,t)_iTf||'-|g=m^,t>0_/

«ft, 0)- fCx), &(*,<)) = ffa , асе (0,1)-

^{4/(0,1) = <ц(1Д)-о , t >0}_t

где действие сосредоточенных факторов учитывалось введением условий сопряжения (В.8). Обобщению непрерывно-дискретных краевых задач на случай нестационарных динамических систем, а также систем,описываемых дифференциальными уравнениями в част-

них производных четных порядков посвящены работы [ 45,47 ] .

Дальнейшему исследованию непрерывно-дискретных краевых задач, разработке методов их решения и исследования динамического поведения систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами, а также выяснению единства непрерывно-дискретных краевых задач и краевых задач для уравнения в частных производных с коэффициентами, содержащими сингулярные обобщенные функции и посвящена настоящая работа.

В связи с наличием указанных выше особенностей у непрерывно-дискретных краевых задач в методах их исследования и решения возникает ряд специфических черт. Рассмотрим некоторые из них.

Выше отмечалось,что универсальным методом, используемым для решения краевых задач с непрерывно-дискретными коэффициентами,является метод интегральных уравнений [ I - 7 ] .Особенностью здесь является то,что используется аппарат так называемых нагруженных интегральных уравнений Фредгольма с интегралом типа Стильтьеса. Сущность метода интегральных уравнений состоит в переходе от формализма дифференциальных уравнений,при котором действие сосредоточенных факторов учитывается условиями сопряжения или коэффициентами,включающими сингулярные обобщенные функции,к формализму нагруженных интегральных уравнений,на которые распространяются ряд основных результатов теории интегральных уравнений Г 1,27] .Метод обладает рядом достоинств таких как наглядность,простота, экономичность, однако к недостаткам такого метода следует отнести необходимость предварительного построения функции Грина. Аналитическое построение функции Грина осуществляется достаточно просто в случае динамических систем с постоянными характеристиками.В случае же переменных и тем более непрерывно-дискретных параметров динамической сие -темы такое построение функции Грина затруднено,а подчас просто

невозможно [ 4,6 ] .Все это существенно ограничивает область применения этого метода рамками теоретического и качественного исследования систем с распределенно-сосредоточенными параметрами.

Для нахождения решения непрерывно-дискретных краевых задач, описывающих динамику распределенно-сосредоточенных систем, применяется метод Фурье, в основе которого лежит возможность разложения решения по собственным функциям соответствующей спектральной краевой задачи. Вопросы разложимости и полноты систем таких функций, а также асимптотические свойства изучались для краевых задач с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка с помощью метода интегральных уравнений с интегралом типа Стильтьеса [ 1,7,19,27 ] .Существенным здесь является то,что решение необходимо искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи, имеющей переменные параметры и сосредоточенные включения. Однако область применения этого метода ограничена достаточно узким классом уравнений, в который не попадают наиболее интересные с точки зрения практического применения краевые задачи,например,различного рода задачи о колебаниях нестационарных динамических систем [25,26 ] .Практическое применение метода разделения переменных Фурье к решению непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядков можно найти в [ 36,38,56,58,73,86 ] .

Применение вариационных методов к решению непрерывно-дискретных краевых задач имеет ряд специфических особенностей, в силу чего область их приложений оказывается также ограниченной. Это связано с выбором подходящей фундаментальной системы функций, удовлетворяющей дополнительным условиям - условиям сопряжения^ также с вопросами оценки сходимости при-

блаженного решения,полученного таким методом, к точному решению исходной задачи. Кроме того, применение вариационных методов типа Ритца требует выполнения положительной определенности оператора в данной задаче [ 28,47,68 ] .

При решении спектральных и начально-краевых задач с непрерывно-дискретными параметрами весьма эффективным оказывается метод нормальных фундаментальных систем решений [ 43 ] .Сущность его заключается в том,что решение на участках непрерывности ищется в виде линейной комбинации функций с единичной начальной матрицей [ 8,43 ] или нормальной системы решений уравнения исходной задачи с произвольными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты определяются по рекуррентным формулам,что оказывается весьма полезным при реализации алгоритма решения задачи на ЭВМ. Причем рекуррентными формулами учитываются все особенности задачи на интервале интегрирования. Главной особенностью этого метода является то,что порядок определения не зависит от числа вычисляемых собственных функций,и остается всегда постоянным и равным числу краевых условий на одном из концов интервала интегрирования. Кроме этого, рекуррентные формулы остаются по своей структуре неизменными при исследовании динамических систем,не содержащих сосредоточенных компонент. Все это позволяет объединить изучение динамики системы с непрерывно-дискретными, непрерывными или только дискретными параметрами.

Из приведенного краткого обзора методов решения непрерывно-дискретных краевых задач следует актуальность разработки более простых методов исследования систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами,которые учитывали б_ы качественные стороны поведения таких систем. При исследовании колеблющихся систем особое внимание уделяется двум состояниям таких систем: состоянию установившихся вынужденных колебаний и состоянию пе-

реходного процесса [ 14,20,38,72,78,79] .В реальных физических и механических системах период переходного процесса продолжается конечное время,по истечение которого начинается период установившихся колебаний в форме динамического равновесия [8,13,62,65 ] .Математической моделью данной физической системы являются неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных,решение которых можно представить в виде следующей суммы:

V(^i) - _Q (х$ + 11 < (лД) + Г(ос,і:), (В.9)

где й₀ (осД) и ^(х,"^ - функции, представленные рядами Фурье и описывающие свободные колебания системы,вызванные начальным возбуждением системы и внешней нагрузкой,a f(x, і) -установившиеся колебания.

В механических колеблющихся системах переходный процесс возникает за счет наличия всевозможных демпфирующих факторов, которые в краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных описываются дополнительными дифференциальными членами в уравнении движения [ 83,84 ] .Причин,способствующих демпфированию, много, учесть их все практически невозможно^ добавление в уравнение краевой задачи дифференциальных членов,учитывающих их, только усложняет задачу, но достоверности описанию явления не прибавляет.Все это и вид решения (В.9) дают основания учитывать демпфирование не дифференциальными членами, а специальным образом построенным дополнительным возмущающим членом в дифференциальном уравнении, описывающем колебательный процесс. Тогда решение краевой задачи находилось бы в виде суммы двух частных решений,а не в виде (В.9).

Нередко частное решение краевой задачи находится сравнительно простыми средствами, в то время как применение метода $урье для нахождения решения,описывающего переходный процесс, может быть невозможным, либо связанным со значительными трудностями.Особое значение разработка такого метода описания переходного процесса приобретает в связи с исследованием непрерывно-дискретных краевых задач.для дифференциальных уравнений в частных производных, для которых применение классических методов,базирующихся на использовании полных систем функций [ 67,68 1 ,сопряжено со значительными трудностями. Первые попытки исследования переходных процессов в системах с рас-пределенно-сосредоточенными параметрами в рамках такого под -хода относятся к работам [ 42-44 ] .Здесь предложена общая методика построения добавочного демпфирующего члена в правой части уравнения движения динамических систем,математическими моделями для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи. Дальнейшей разработке и детализации метода учета переходных процессов посвящены работы [ 21-23 ] .

Рассмотрим теперь некоторые проблемы теоретического характера, связанные с изучением краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами и исследованием раопределенно-сосредоточенных динамических систем. Проблема исследования краевых задач,которые являются математическими моделями для распределенных систем,включающих сосредоточенные факторы, традиционно вызывала большой интерес у математиков,что нашло свое отражение в публикациях,посвященных этой теме [ 9,29,32,45,47,51,55,81, 86 ] .Математическим аппаратом описания сосредоточенных факторов являются сингулярные обобщенные функции [ 90 ] . Как отмечалось выше, использование для учета сосредоточенных факто-

ров обобщенных функций приводит к формулировке соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами, представляющими собой обобщенные функции.Решению таких краевых задач, описывающих поведение конкретных физических систем,посвящено достаточно количество работ [29,42, 53,57,59,73,78 ] . Однако большинство работ, посвященных этой теме, отличаются тем,что основное внимание в них уделялось исследованию краевых задач,отвечающих системам с сосредоточенными факторами внешнего характера, т.е. рассматривались системы распределенные, но испытывающие сосредоточенные внешние воздействия. Это привело к тому,что была построена теория краевых задач для уравнений,содержащих элементы из негативных соболевских пространств в правых частях уравнений [ 10,60,61, 70 ] .При этом теория краевых задач с сингулярными обобщенными коэффициентами, к которым относятся непрерывно-дискретные задачи, развивалась недостаточно. В то же время существует хорошо развитая теория обобщенных решений из соболевских пространств для краевых задач с разрывными коэффициентами. В рамках этой теории доказаны такие важные с точек зрения теории и практики вопросы как существование и единственность решений этих краевых задач в соответствующих пространствах,непрерывная зависимость решений от данных задачи, соответствующая гладкость обобщенных решений,теорема разложимости по собственным функциям этих задач и другие [ 10,11,49,52,61,70,82 J . Эта теория с соответствующими изменениями может быть использована для исследования непрерывно-дискретных краевых задач теории колебаний для уравнений в частных производных произвольного четного порядка.

В соответствии со всем вышеизложенным целью настоящей -работы является разработка и исследование нового подхода к

моделированию переходных процессов в динамических системах с распределенными параметрами,математической моделью для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных,основанных на использовании результатов качественного анализа динамических систем, а также исследование вопросов существования,единственности и непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений в частных производных от данных непрерывно-дискретных краевых задач. Основным моментом здесь является то,что цель состоит в получении решения, описывающего переходной процесс не в виде ряда Фурье, а в виде специальным образом построенной функции, учитывающей качественное поведение динамической системы в период переходного процесса,что существенно упрощает решение непрерывно-дискретных краевых задач.

При исследовании существования, единственности и непрерывной зависимости решений непрерывно-дискретных краевых задач от исходных данных, в работе широко используются методы функционального анализа [ 10,34,71,80,82 ] ,теории функций [ 17, 74 ] , теории дифференциальных уравнений в частных производных [11,40,49,52,66, 89 ] , а при разработке методов учета переходных процессов - методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [ 30,75,77 ] и теории колебаний [ 8,12, 85,86 ] .

Работа состоит из введения , двух глав , выводов и библиографии.В диссертации принята двойная нумерация формул: С & , 5 ) , - & - номер главы, 6 - номер формулы в главе.

В первой главе исследуются вопросы существования, единственности и корректности непрерывно-дискретных краевых задач для уравнений в частных производных порядка 2 in .в параграфе I.I рассматриваются некоторые механические системы,ис-

следование которых приводит к изучению непрерывно-дискретных краевых задач для уравнений в частных производных, и сформулированы соответствующие краевые задачи математической физики. Исследование ведется с точек зрения двух трактовок непрерывно-дискретных краевых задач, классической - использующей условия сопряжения, и обобщенной - основанной на применении методов теории обобщенных функций.Формулируется общая начально-краевая задача для уравнения с одномерным дифференциальным оператором произвольного четного порядка. Теоремы существования и единст- . венности обобщенного решения данной задачи из пространства "Wy^' (Ut, J*) и соответствующей ей спектральной задачи из пространства W_a CQ) доказаны в 1,2.Здесь же исследуется непрерывная зависимость решения задачи от начальных данных задачи и правой части уравнения. В 1.3 изучается возможность применения некоторых методов к решению непрерывно-дискретных краевых задач. В этом параграфе доказывается сходимость ряда Фурье,представляющего собой решение описанной задачи в соответствующем пространстве, а также исследуются вопросы сходимости приближенных решений, полученных вариационными методами Бубнова-Галеркина, к точному решению задачи. Параграф 1.4 посвящен исследованию переходных процессов в динамических системах, математическими моделями которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи. Рассматриваются различные виды возмущающих воздействий.

Вторая глава содержит изложение метода учета переходного процесса в одномерной динамической системе с раопределенно-сосредоточенными параметрами, описываемых непрерывно-дискретными краевыми задачами для уравнений в частных производных. В параграфе 2.1 излагаются основные факты качественной теории динамических систем,на которых базируется идея метода учета

переходного процесса для непрерывно-дискретных краевых задач теории колебаний. В этом же параграфе метод применяется для исследования переходного процесса в случае непрерывно-распределенной одномерной упругой системы. Содержанием параграфа 2.2 является применение метода учета переходного процесса к изучению поведения стационарных распределенно-сосредоточенных динамических систем. Параграф 2.3 посвящен особенностям применения этого метода^!для построения описания переходного процесса в нестационарных непрерывно-дискретных системах. Рассматриваются системы с нестационарноетями различных типов.Некоторые неравенства,показывающие корректность метода учета переходного процесса, и примеры приведены в параграфе 2.4. Приведем обозначения, используемые в диссертации.

1г\ - множество действительных чисел, действительная прямая, эвклидово пространство размерности единица, Q s = Jx(R:0<3i

- граница области bd , то есть точки О и 6 ,

Q-Q UdQ , Qi -(aV-,,00:) _} ОС,- - точки на Q

3V-1 < 3 , t =* 1,— n*-1 , Q - подобласть Q

Ц_т= [Сое,*)' *eQ,-t eCo,T)j - цилиндр В ЭВКЛИДОВОМ пространстве IR ,

$,.= \(pL_x\): 8Q , і Є (О, Т) ] - боковая поверхность цилиндра Цу .

L_ZC^") - полное линейное нормированное пространство, состоящее из всех определенных и измеримых на ъс функций с конечной нормой

^{И^дЧ1Ч=($к1Чос}

'Z

,

-18 -Скалярное произведение в данном пространстве вводится так:

M_2Q * fy,fr)^s Wdx

Vv_z (Q) - полное нормированное пространство функций из имеющих обобщенные производные до порядка m из L г. СО) с нормой

«J* и скалярным произведением

_ыгьцшь

С⁰⁰ У) "* множество финитных бесконечно дифференцируемых функций на Q

*\Л/ ( Q) - подпространство пространства "W^COf) , полученное замыканием множества L₀ (Q) в норме ІГ I₂q W1 ' (Ц_т и) - гильбертово пространство,состоящее из элементов пространства L_t(U,-[_t м^ ,имеющих обобщенные производные по X до порядка m включительно из L _z (Цу) и по "t первого порядка из L _г ( Цу, |Ч) , со скалярным произведением

и нормой

0,1) _д ..(т,1) /_{г с 0} \у

t/

^2,0 СЦ7, f) - подпространство ІА/^' (Цу, juj , получаемое замыканием множества гладких функций из С₀ ( Цу) равных нулю ВбЛИЗИ О -j- В Норме К ' II 2 Ц яд '

W~^m () " пространство линейных функционалов на W/TQ) С ^т (Q ) - множество m -раз непрерывно дифференцируемых на S функций, допускающих вместе со своими производными непрерывное продолжение на Q.

^ С Ь} - область определения оператора L . \ і > ^ / ~ ^{значеше} Фуніщионала і на функции 4⁵.

5"Col- ОСц) - 5" -функция Дирака,функционал на множестве

ФУНКЦИЙ W_A^m03) : {бТх-ф. ^{= С}Р№),

[^.= ^ ( + 0, t) - 1(-0,*Ь) - скачок функции 11 Сх,+) в точке Xi .

5^ - символ Кронекера.

Теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач

В механических колеблющихся системах переходный процесс возникает за счет наличия всевозможных демпфирующих факторов, которые в краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных описываются дополнительными дифференциальными членами в уравнении движения [ 83,84 ] .Причин,способствующих демпфированию, много, учесть их все практически невозможно добавление в уравнение краевой задачи дифференциальных членов,учитывающих их, только усложняет задачу, но достоверности описанию явления не прибавляет.Все это и вид решения (В.9) дают основания учитывать демпфирование не дифференциальными членами, а специальным образом построенным дополнительным возмущающим членом в дифференциальном уравнении, описывающем колебательный процесс. Тогда решение краевой задачи находилось бы в виде суммы двух частных решений,а не в виде (В.9).

Нередко частное решение краевой задачи находится сравнительно простыми средствами, в то время как применение метода $урье для нахождения решения,описывающего переходный процесс, может быть невозможным, либо связанным со значительными трудностями.Особое значение разработка такого метода описания переходного процесса приобретает в связи с исследованием непрерывно-дискретных краевых задач.для дифференциальных уравнений в частных производных, для которых применение классических методов,базирующихся на использовании полных систем функций [ 67,68 1 ,сопряжено со значительными трудностями. Первые попытки исследования переходных процессов в системах с рас-пределенно-сосредоточенными параметрами в рамках такого под -хода относятся к работам [ 42-44 ] .Здесь предложена общая методика построения добавочного демпфирующего члена в правой части уравнения движения динамических систем,математическими моделями для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи. Дальнейшей разработке и детализации метода учета переходных процессов посвящены работы [ 21-23 ] .

Рассмотрим теперь некоторые проблемы теоретического характера, связанные с изучением краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами и исследованием раопределенно-сосредоточенных динамических систем. Проблема исследования краевых задач,которые являются математическими моделями для распределенных систем,включающих сосредоточенные факторы, традиционно вызывала большой интерес у математиков,что нашло свое отражение в публикациях,посвященных этой теме [ 9,29,32,45,47,51,55,81, 86 ] .Математическим аппаратом описания сосредоточенных факторов являются сингулярные обобщенные функции [ 90 ] . Как отмечалось выше, использование для учета сосредоточенных факторов обобщенных функций приводит к формулировке соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами, представляющими собой обобщенные функции.Решению таких краевых задач, описывающих поведение конкретных физических систем,посвящено достаточно количество работ [29,42, 53,57,59,73,78 ] . Однако большинство работ, посвященных этой теме, отличаются тем,что основное внимание в них уделялось исследованию краевых задач,отвечающих системам с сосредоточенными факторами внешнего характера, т.е. рассматривались системы распределенные, но испытывающие сосредоточенные внешние воздействия. Это привело к тому,что была построена теория краевых задач для уравнений,содержащих элементы из негативных соболевских пространств в правых частях уравнений [ 10,60,61, 70 ] .При этом теория краевых задач с сингулярными обобщенными коэффициентами, к которым относятся непрерывно-дискретные задачи, развивалась недостаточно. В то же время существует хорошо развитая теория обобщенных решений из соболевских пространств для краевых задач с разрывными коэффициентами. В рамках этой теории доказаны такие важные с точек зрения теории и практики вопросы как существование и единственность решений этих краевых задач в соответствующих пространствах,непрерывная зависимость решений от данных задачи, соответствующая гладкость обобщенных решений,теорема разложимости по собственным функциям этих задач и другие [ 10,11,49,52,61,70,82 J . Эта теория с соответствующими изменениями может быть использована для исследования непрерывно-дискретных краевых задач теории колебаний для уравнений в частных производных произвольного четного порядка.

В соответствии со всем вышеизложенным целью настоящей -работы является разработка и исследование нового подхода моделированию переходных процессов в динамических системах с распределенными параметрами,математической моделью для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных,основанных на использовании результатов качественного анализа динамических систем, а также исследование вопросов существования,единственности и непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений в частных производных от данных непрерывно-дискретных краевых задач. Основным моментом здесь является то,что цель состоит в получении решения, описывающего переходной процесс не в виде ряда Фурье, а в виде специальным образом построенной функции, учитывающей качественное поведение динамической системы в период переходного процесса,что существенно упрощает решение непрерывно-дискретных краевых задач.

При исследовании существования, единственности и непрерывной зависимости решений непрерывно-дискретных краевых задач от исходных данных, в работе широко используются методы функционального анализа [ 10,34,71,80,82 ] ,теории функций [ 17, 74 ] , теории дифференциальных уравнений в частных производных [11,40,49,52,66, 89 ] , а при разработке методов учета переходных процессов - методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [ 30,75,77 ] и теории колебаний [ 8,12, 85,86 ] .

Построение решений соответствующих переходным процессам в некоторых одномерных системах с непрерывно-дискретными параметрами

Вторая глава диссертации посвящена дальнейшей разработке метода учета переходных процессов в одномерных механических системах с непрерывно-дискретными параметрами, предложенного в [45,461 .В качестве математических моделей таких систем служат стационарные и нестационарные непрерывно-дискретные краевые задачи для уравнений в частных производных четных порядков. Основные факты теории колебаний,на которых базируется идея метода учета переходного процесса, излагаются в параграфе 2.1. Здесь же излагается алгоритм метода и методика выбора параметров решения. Применению метода учета переходного процесса для стационарных колебательных одномерных систем с непрерывно-дискретными параметрами, посвящен параграф 2.2. Содержанием параграфа 2.3 является изучение особенностей применения метода учета переходного процесса к нестационарным непрерывно-дискретным системам. В параграфе 2.4 приведены некоторые примеры и неравенства, показывающие корректность метода учета переходного процесса.

В данном параграфе будет рассмотрено поведение одномерных колебательных систем ,совершающих линейные колебания с учетом воздействия сил сопротивления различного происхождения.

Если рассматривается поведение колеблющейся вследствие начального возбуждения диссипативной системы без воздействия внешних активных сил, то колебания такой системы характеризуются в первую очередь тем,что этот процесс затухает со временем [8,56,76,82] .Интенсивность затухания определяется интенсивностью рассеяния запасенной энергии. Это является следствием внешнего сопротивления среды движению системы, и внутреннего неупругого сопротивления системы [ 82,83 "] .В случае воздействия на систему внешней периодической нагрузки через некоторое время в системе устанавливаются периодические колебания в форме динамического равновесия [ 64 ] . Периода течение которого устанавливаются периодические колебания системы, является периодом переходного процесса [ 20 1 . Длительность этого процесса,очевидно, будет равна длительности суммарных свободных колебаний системы, вызванных начальным возбуждением системы и действием внешней периодической нагрузки. Для точного описания реальной физической системы рассматривают краевые задачи теории колебаний для уравнений в частных производных, содержащих кроме дифференциальных членов,описывающих инерциальные и упругие свойства системы,также члены , учитывающие различные демпфирующие факторы. Уравнения движения системы тогда приобретают вид К U - дифференциальный оператор, описывающий диссипативные свойства исследуемой системы. Для энергии системы, математической моделью которой является уравнение (2.1) , выполняется Последнее представляет собой математическое выражение закона сохранения энергии для систем, описываемых уравнением (2.1).

Методы решения уравнений такого типа достаточно громоздки, что затрудняет их применение в практических расчетах,а также недостаточно эффективны, особенно в применении к системам, описываемым уравнениями, содержащими переменные и сингулярные непрерывно-дискретные коэффициенты. Часто при решении задач теории колебаний удается найти частное решение неоднородного уравнения в замкнутом виде, соответствующее установившимся колебаниям системы при гармоническом внешнем возбуждении Г 44,80,86 ] .Переходной режим, вызванный наличием начального возмущения и внешнего воздействия,описывается некоторым решением однородного уравнения, представляющим собой затухающую функцию. Б случае применения метода Фурье к решению таких задач, эта функция представляется рядом Фурье. Этот ряд Фурье является решением однородного уравнения при неоднородных начальных условиях. Как известно,решение в таком случае может быть представлено в виде суммы где /0(СС,т) , 11 л (oct І) - ряды,описывающие свободные колебания систегды, /Iffa т) - описывают установившиеся колебания системы. Возникает задача [ 45,46 ] заменить решение однородного уравнения в замкнутом виде, соответствующим некоторому дополнительному воздействию ф (с1 г) при условии, что будут удовлетворены начальные и граничные условия,а также некоторые дополительные условия,налагаемые на решения краевой задачи.Эти условия возникают на основе дополнительных данных о поведении системы в период переходного процесса.

Иначе задача формулируется так: построить решение такое , чтобы соответствующая ему функция рассеяния энергии удовлетворяла следующему условию

Общая схема метода учета переходного процесса в колеблющихся системах

Как видно из (2.63), решение представлено в виде двух частных решений уравнения (2.62), одно из которых описывает незатухаю щие вынужденные колебания системы, а второе - убывающие со времени свободные колебания системы, отвечающие режиму переход ного процесса. Функция CL(x} .) построенная таким образом, представляет собой демпфирующую диссипативную силу в данной динамической системе. Действительно, колебания, вызы ваемые этой силой, обратны по фазе и совпадают по частоте с колебаниями, вызываемыми внешней возмущающей силой и уменьшают амплитуду последних в течение периода переходного процесса. Основные научные результатыt- полученные в диссертации, следу вдие:

Разработан метод учета переходных процессов в стационарных динамических системах при внешнем возмущении гармонического вида, математической моделью для которых являются неоднородные краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных произвольного четного порядка с непрерывно-дискретными коэффициентами. Решение краевой задачи построено в виде суммы двух частных решений неоднородного дифференциального уравнения, соответствующих гармоническому члену и специальным образом построенному возмущению,- Причем оба решения? в отличие от классического метода находятся без привлечения рядов Фурье, что существенно упрощает решение и приобретает особое значение ввиду простоты построения при инженерных расчетах реальных объектов и при исследовании самих решений.

С помощью указанного метода решена задача об исследовании переходного процесса для нестационарной динамической системы, которая описывается краевой задачей для нестационарного дифференциального уравнения в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами. Здесь также в отличие от классического подхода не привлекаются ряды Фурье, а решение находится в виде суммы частных решений, что существенно упрощает решение данных задач. 3. Дана оценка построенного указанным методом решения непрерывно-дискретной краевой задачи при исследовании переходного процесса в стационарной динамической системе. 4. Доказаны теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных произвольного четного порядка, являющихся математической моделью широкого класса динамических систем. 5. Установлены свойства собственных функций непрерывно-дискретных краевых задач для уравнений в частных производных произвольного четного порядка и свойства операторов таких задач. 6. Дано решение неоднородных непрерывно-дискретных краевых задач при различных неоднородных членах уравнений с использованием найденных свойств собственных функций этих задач и при влечением нормальных фундаментальных систем решений. 7. Рассмотрены методы Фурье и Галеркина в применении к непрерывно-дискретным краевым задачам. Доказана корректность применения методов к непрерывно-дискретным задачам. 8. Рассмотрены вопросы применения обобщенных функций к исследованию решений некоторых неоднородных непрерывно-дискретных краевых задач.

Применение метода учета переходного процесса для нестационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами

Для нахождения решения непрерывно-дискретных краевых задач, описывающих динамику распределенно-сосредоточенных систем, применяется метод Фурье, в основе которого лежит возможность разложения решения по собственным функциям соответствующей спектральной краевой задачи. Вопросы разложимости и полноты систем таких функций, а также асимптотические свойства изучались для краевых задач с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка с помощью метода интегральных уравнений с интегралом типа Стильтьеса [ 1,7,19,27 ] .Существенным здесь является то,что решение необходимо искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи, имеющей переменные параметры и сосредоточенные включения. Однако область применения этого метода ограничена достаточно узким классом уравнений, в который не попадают наиболее интересные с точки зрения практического применения краевые задачи,например,различного рода задачи о колебаниях нестационарных динамических систем [25,26 ] .Практическое применение метода разделения переменных Фурье к решению непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядков можно найти в [ 36,38,56,58,73,86 ] .

Применение вариационных методов к решению непрерывно-дискретных краевых задач имеет ряд специфических особенностей, в силу чего область их приложений оказывается также ограниченной. Это связано с выбором подходящей фундаментальной системы функций, удовлетворяющей дополнительным условиям - условиям сопряжения также с вопросами оценки сходимости приблаженного решения,полученного таким методом, к точному решению исходной задачи. Кроме того, применение вариационных методов типа Ритца требует выполнения положительной определенности оператора в данной задаче [ 28,47,68 ] .

При решении спектральных и начально-краевых задач с непрерывно-дискретными параметрами весьма эффективным оказывается метод нормальных фундаментальных систем решений [ 43 ] .Сущность его заключается в том,что решение на участках непрерывности ищется в виде линейной комбинации функций с единичной начальной матрицей [ 8,43 ] или нормальной системы решений уравнения исходной задачи с произвольными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты определяются по рекуррентным формулам,что оказывается весьма полезным при реализации алгоритма решения задачи на ЭВМ. Причем рекуррентными формулами учитываются все особенности задачи на интервале интегрирования. Главной особенностью этого метода является то,что порядок определения не зависит от числа вычисляемых собственных функций,и остается всегда постоянным и равным числу краевых условий на одном из концов интервала интегрирования. Кроме этого, рекуррентные формулы остаются по своей структуре неизменными при исследовании динамических систем,не содержащих сосредоточенных компонент. Все это позволяет объединить изучение динамики системы с непрерывно-дискретными, непрерывными или только дискретными параметрами.

Из приведенного краткого обзора методов решения непрерывно-дискретных краевых задач следует актуальность разработки более простых методов исследования систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами,которые учитывали бы качественные стороны поведения таких систем. При исследовании колеблющихся систем особое внимание уделяется двум состояниям таких систем: состоянию установившихся вынужденных колебаний и состоянию переходного процесса [ 14,20,38,72,78,79] .В реальных физических и механических системах период переходного процесса продолжается конечное время,по истечение которого начинается период установившихся колебаний в форме динамического равновесия [8,13,62,65 ] .Математической моделью данной физической системы являются неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных,решение которых можно представить в виде следующей суммы: где й0 (осД) и (х," - функции, представленные рядами Фурье и описывающие свободные колебания системы,вызванные начальным возбуждением системы и внешней нагрузкой,a f(x, і) -установившиеся колебания.

В механических колеблющихся системах переходный процесс возникает за счет наличия всевозможных демпфирующих факторов, которые в краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных описываются дополнительными дифференциальными членами в уравнении движения [ 83,84 ] .Причин,способствующих демпфированию, много, учесть их все практически невозможно добавление в уравнение краевой задачи дифференциальных членов,учитывающих их, только усложняет задачу, но достоверности описанию явления не прибавляет.Все это и вид решения (В.9) дают основания учитывать демпфирование не дифференциальными членами, а специальным образом построенным дополнительным возмущающим членом в дифференциальном уравнении, описывающем колебательный процесс. Тогда решение краевой задачи находилось бы в виде суммы двух частных решений,а не в виде (В.9).

Похожие диссертации на Исследование переходных процессов при решении непрерывно-дискретных краевых задач

Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессовУрывская, Татьяна Юрьевна

Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управленииКрасниченко, Любовь Сергеевна

Метод мажорант и минорант в исследовании решения краевых задач и задачи Коши для полулинейных параболических системЧурбанов, Владимир Владимирович

Исследование решений граничных задач для уравнения Бицадзе в ограниченной плоской области с общими линейными граничными условиямиИбрагимов, Натиг Сохраб оглы

Исследование решений нелинейных краевых задач с помощью метода колокацииПутятина, Татьяна Викторовна

Исследование слабого решения смешанных задач для квазилинейных уравнений Бегматов Абиркул

Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типаМухсинов Абдулкосим

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Исследование обратных задач и автомодельных решений уравнения ШредингераАбрамочкин, Евгений Григорьевич

Исследование одного класса точных решений в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле Савушкин Александр Юрьевич