Введение к работе
Актуальность работы.
При построении моделей, описывающих процессы различной природы в химии, биохимии, робототехники, экономики, аэродинамики и других областей, часто используют сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Этот факт объясняется тем, что в таких системах происходят процессы резко отличающиеся по скоростям.
(1)
(2)
Система дифференциальных уравнений называется сингулярно возмущенной, если в ней при части производных присутствует малый параметр. Такую систему можно записать в виде
x = f (t,x,y,e))
єу = g(t,x,y,),
где t Є R, x Є Rm, у Є Rn, є — малый положительный параметр.
Интенсивное развитие авиации, приборостроения, химической промышленности и других областей науки и техники незамедлительно вызвало большую заинтересованность многих ученых к развитию теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.
Стремление к более точному математическому описанию моделей, описывающих реальные процессы, как правило, приводит к усложнению системы и увеличению количества уравнений, входящих в нее. Данный факт делает актуальной тему поиска эффективных методов понижения размерности систем дифференциальных уравнений. Решение подобных проблем требует применения не только асимптотических методов. Хороших результатов помогает добиться использование геометрических методов анализа.
Свои истоки геометрическая теория динамических систем находит в работах А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова. Большое распространение получил метод интегральных многообразий. Этот метод применялся в работах многих ученых для анализа моделей, описанных с помощью сингулярно возмущенных систем.
Диссертация посвящена понижению размерности систем дифференциальных уравнений, основанному на идеях теории интегральных много
образий медленных движений, и некоторым методам редукции моделей химической кинетики.
Интегральное многообразие y = h(t, x, є) называется медленным, если выполняется условие lim h(t, x, є) = h0(t, x), где h0(t, x) является изолированным решением вырожденного уравнения g(t, x, y, 0) = 0, получаемого из уравнения (2) при є = 0.
(3)
(4)
Теорема А.Н. Тихонова о предельном переходе позволяет свести анализ исходной модели к исследованию решений вырожденной системы
x = f (t,x,y,0)
0 = g(t,x,y,0).
Для рассмотрения некоторых моделей такой подход вполне приемлем, но для большинства прикладных задач данное приближение является слишком грубым. Кроме того это приближение справедливо только для конечного промежутка времени.
Дальше для исследования сингулярно возмущенных систем может быть выбрано по меньшей мере одно из двух следующих направлений:
-
если решение вырожденной задачи (3), (4) x = x0(t), y = y0(t) не обладает достаточной точностью для конкретной задачи, то его можно уточнить с помощью асимптотических методов (например, метода пограничных функций Тихонова-Васильевой);
-
второй подход основан на разделении быстрых и медленных движений. С высокой степенью точности строится уравнение для медленной переменной, а быстрая переменная определяется из соотношения вида y = h(t, x, є). Метод интегральных многообразий позволяет производить исследование на бесконечном промежутке времени.
В диссертации используется второй метод для анализа сингулярно возмущенных систем. В результате порядок исходной системы понижается, а полученная новая система дифференциальных уравнений отражает качественное поведение исходной модели с высокой степенью точности. Рассмотренные в диссертации задачи подтверждают эффективность метода интегральных многообразий.
Цель работы. Получение упрощенной системы дифференциальных уравнений более низкого порядка, решение которой будет обладать всеми характеристиками качественного поведения решения исходной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений; сравнение некоторых методов редукции моделей химической кинетики с методом интегральных многообразий и доказательство того факта, что в основе этих методов лежит метод интегральных многообразий, который является более простым и эффективным средством исследования сингулярно возмущенных дифференциальных систем.
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.
Научная новизна. В работе доказаны новые теоремы об обосновании асимптотического разложения медленных интегральных многообразий в случаях неявного и параметрического задания многообразия; итерационный метод обобщен на векторный случай и случай нелинейной зависимости от быстрых переменных; доказаны следующие теоремы: теорема о связи итерационного метода с методом интегральных многообразий, теорема о связи CSP-метода с методом интегральных многообразий, теорема о связи ILDM-метода с методом интегральных многообразий.
Практическая и теоретическая ценность. Математические результаты, полученные в диссертации, позволяют находить медленные интегральные многообразия в неявном и параметрическом виде. Доказанные теоремы о связи некоторых химических методов редукции с методом интегральных многообразий дает возможность эффективнее производить понижение порядка систем дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(Самара, 2012), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2013), на четвертой международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" (Москва, 2013), на Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 2013), на Самарском городском семинаре по математическому моделированию (СГАУ, Самара, 2013), на всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения - СамДиф 2013" (Самара, 2013), на межвузовском научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством проф., д.ф.-м.н. И.В. Аста- шовой (МГУ им. М.В. Ломоносова, МЭСИ), доц.,к.ф.-м.н. В.А. Никиш- кина (МЭСИ), проф. д.ф.-м.н. А.В. Филиновского (МГТУ им. Н.Э. Баумана, МГУ им. М.В. Ломоносова) (Москва, 2013).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми- нобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [6], [7] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 91 наименование. Объем диссертации составляет 122 страницы текста.
