Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия 32
Глава 2. Наблюдаемость 39
Глава 3. Наблюдатели полного фазового вектора для полностью определенных линейных систем 82
Глава 4. Функциональные наблюдатели для полностью определенных линейных систем 100
Глава 5. Асимптотические наблюдатели для линейных системс неопределенностью 198
Глава 6. Наблюдатели для билинейных систем 247
Глава 7. Наблюдатели для дискретных систем 283
- Наблюдатели полного фазового вектора для полностью определенных линейных систем
- Функциональные наблюдатели для полностью определенных линейных систем
- Асимптотические наблюдатели для линейных системс неопределенностью
- Наблюдатели для билинейных систем
Введение к работе
Актуальность работы.
Задача о синтезе наблюдателей состояния для динамических систем, в том числе и для систем автоматического управления, является классической и имеет богатую историю.
Далее всюду для определенности под динамической системой имеем ввиду систему управления. В конечномерном случае при непрерывном времени система автоматического управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой зависит от входа системы u(t), выбором которого можно влиять на свойства данной системы. В общем виде подобная система задается векторным дифференциальным уравнением
x = f(x,utt), *>0, (0.1)
где жбі"- фазовый вектор системы. Необходимость в наблюдателе состояния обусловлена тем, что при решении задач управления зачастую доступна информация не о фазовом векторе х, а только о некоторой функции от х
V = h{x), (0.2)
которую называют выходом системы, что, вообще говоря, затрудняет решение задачи управления с надлежащим качеством.
Под задачей построения наблюдателя состояния понимают синтез динамической системы, формирующего оценку вектора состояний по доступной информации о системе, ее измеряемым выходу и входу. Решению этой задачи для различных классов систем при тех или иных предположениях о параметрах системы, о доступной информации, посвящено огромное число работ.
В 1963 г. Давид Лгоенбергер заложил основы теории наблюдателей для линейных стационарных систем управления. До сих пор появляются работы,
обобщающие или распространяющие эту теорию на новые классы систем.
Существует ряд основных задач, связанных с теорией построения наблюдателей. Первая задача состоит в получении ответа на вопрос, а возможно ли в принципе для данной системы по имеющейся информации восстановление (построение оценки) полного фазового вектора системы? Соответствующую задачу называют задачей, о наблюдаемости динамической системы.
Полное решение этой проблемы получено для многих видов динамических систем, в том числе для линейных стационарных многосвязных систем управления, которые описываются уравнениями вида
х — Ах + Ви,
(0.3)
у = Сх,
где жІп- неизвестный фазовый вектор системы, и Є Rm, убМ'- известные вход и выход системы, соответственно; А, В п С — постоянные матрицы соответствующих размеров. Задача о наблюдаемости решена также и для линейных нестационарных систем, а так же для частных случаев нелинейных систем. Однако для ряда нелинейных систем (например для билинейных) исчерпывающего решения не получено.
Для тех систем, которые допускают восстановление фазового вектора по имеющейся информации (такие системы называются наблюдаемыми) встает задача о получении оценки х(і) фазового вектора x(t). Для решение этой задачи традиционно используют вспомогательные динамические системы, которые и формируют указанную оценку. В общем случае такие системы могут
быть записаны в виде
z — q(z,u,y),
К h (0.4)
x=p(z,u,y).
Такие системы и называют наблюдателями. Здесь синтезу подлежат функции д{.) ир(.), размерность вектора z(t) называют размерностью наблюдателя. Если оценка x(i) асимптотически сходится к фазовому вектору системы
x(t), то наблюдатель называют асимптотическим (если, кроме того, имеет место оценка \\x(t) — хфЦ1 < СЬ||5(0) — ж(0)||е~7*, где константы 7 > О, Со > 0, то такой наблюдатель называют экспоненциальным). Для линейных стационарных полностью определенных систем (0.3) эта задача получила исчерпывающее решение.
Однако для линейных систем с неопределенностью (возмущенных систем) вида
х = Ах + Ви + >,
(0.5)
у = Сх,
где Є Rfc — неизвестное возмущение, задача о синтезе асимптотических наблюдателей полностью еще не решена. До сих пор появляются работы, в которых предлагаются подходы к решению указанной проблемы при различных предположения относительно параметров системы (0.5) и неизвестного возмущения .
Еще сложнее обстоит дело с синтезом наблюдателей в нелинейном случае, на сегодня эта задача решена лишь для некоторых классов нелинейных динамических систем.
В теории автоматического управления часто, помимо устойчивости замкнутой системы, предъявляются те или иные дополнительные требования к свойствам регулятора. В частности, нередко требуется, чтобы размерность наблюдателя 2 (т. е. размерность фазового вектора z(t) динамической системы (0.4)) была минимальна. В результате появилась проблема, связанная с построением минимального наблюдателя, т. е. наблюдателя минимального динамического порядка, т.е. минимальной размерности.
Для линейных стационарных полностью определенных систем (0.3) эта задача оценивания полного фазового вектора получила исчерпывающее ре-
1 || || - какая-либо норма в R"
2 Наблюдатель, как правило, часть регулятора
шение в работах Люенбергера. В тоже время для решения задач управления зачастую не требуется знать весь фазовый вектор системы, а достаточно располагать информацией лишь о некотором функционале от этого вектора, например следующего вида
а = h(x) Є Шр, (0.6)
где h(.)- известная достаточно гладкая функция. В этом случае имеет место задача о построении оценки для этого функционала, или иначе говоря, задача о построении функционального наблюдателя. Разумеется, эта задача имеет смысл, когда размерность такого наблюдателя оказывается ниже размерности наблюдателя, восстанавливающего полный фазовый вектор.
В случае линейной стационарной системы без неопределенности и линейного функционала
а = Нх, - (0.7)
эта задача рассматривалась в монографии О'Рейли Ц, где предложены методы построения функциональных наблюдателей и получена оценка сверху для размерности таких наблюдателей. Однако задача о функциональном наблюдателе минимальной размерности актуальна до сих пор.
Кроме того, самостоятельный интерес представляет задача о синтезе функциональных наблюдателей для линейных и нелинейных стационарных и нестационарных систем с неопределенностью.
Аналогичные задачи, т.е. задачи о наблюдаемости, о синтезе наблюдателя, о построении наблюдателя в условиях неопределенности, о синтезе функциональных наблюдателей, о минимальном наблюдателе и т.н., имеют место и для дискретных регулируемых систем, в частности, для линейных дискретных систем управления, которые описываются уравнениями
{
Xk+i — Axk + Вщ, yk = Cxk, k = 0,1,2,...
где, как и ранее, жб!п- фазовый вектор, и Є Шт и у Є R' — вход и выход системы, соответственно.
Для линейных стационарных систем большинство результатов переносятся с непрерывного случая на дискретный, хотя для последнего имеются особенности и существенные отличия.
Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка общей теории построения наблюдателей для систем в условиях неопределенности, а так же разработка общей теории построения минимальных функциональных наблюдателей.
Для первой из поставленных задач должны быть предложены новые алгоритмы синтеза асимптотических наблюдателей для линейных стационарных динамических систем в условиях неопределенности при различных условиях на параметры системы (различные сочетания размерностей входов и выходов, различные относительные порядки системы и т.д.). Полученные алгоритмы построения наблюдателей для систем дифференциальных уравнений должны быть перенесены и на дискретные системы.
Для второй задачи, а именно для задачи синтеза функциональных наблюдателей, требуется рассмотреть две смежные, но тем не менее существенно различные постановки задачи:
1) Задача о построении функционального наблюдателя минимально возможного порядка с каким-либо устойчивым спектром;
2)Задача о построении минимальных функциональных наблюдателей с наперед заданными динамическими свойствами (заданным спектром, заданной скоростью сходимости).
Кроме того, целью работы является решение задач о наблюдаемости и о построении асимптотических наблюдателей для одного из классов нелинейных управляемых систем - билинейных (по управлению и фазовому вектору) динамических систем.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
Предложена теория построения асимптотических наблюдателей для гипервыходных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода превышает размерность неизвестного входа). При этом предложены два различных метода решения этой задачи: метод декомпозиции системы к специальному виду и метод "псевдовходов". Для каждого их методов строго.изложены алгоритмы построения асимптотических наблюдателей, получены условиях их применимости.
Разработана теория построения наблюдателей для квадратных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода совпадает с размерностью неизвестного входа). Для решения задачи' был развит подход с использование иерархии коэффициентов обратной связи в наблюдателе. В этом случае задача решается с наперед заданной точностью.
Предложены методы построения асимптотических функциональных наблюдателей минимального порядка (т.е. наблюдателей, восстанавливающих заданный линейный функционал от фазового вектора) с каким-либо устойчивым спектром. Получены необходимые и достаточные условия существования функциональных наблюдателей заданного порядка. Разработаны два подхода к решению задачи: метод скалярных наблюдателей и метод "псевдовходов".
Предложены методы построения функциональных наблюдателей с заданным устойчивым спектром (заданной скоростью сходимости), получены оценки сверху на размерность таких наблюдателей.
Предложены методы синтеза асимптотических наблюдателей для билинейных динамических систем. Полностью решена задача о равномерной
по управлению наблюдаемости для планарных систем, для них.так же полностью решена задача о построении асимптотических наблюдателей. Для многомерных билинейных систем решена задача о синтезе наблюдателей при различных случаях вырождения матрицы билинейности.
6. Разработанные алгоритмы построения наблюдателей (для систем с неопределенностью и функциональных наблюдателей) обобщены на дискретные линейные стационарные системы.
В работе использованы методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости.
Практическая значимость. Работа имеет как теоретическую, так и практическую составляющие. Предложенные в работе оригинальные методы построения асимптотических наблюдателей для различных классов линейных стационарных систем имеют важное теоретическое значение, они позволяют решать не только задачи синтеза наблюдателей, но и могут выступить основой для решения других смежных задач теории автоматического управления: задачи стабилизации систем у условиях неопределенности, задачи оценивания параметров динамических систем, оценивания внешних воздействий. Теоретическую ценность представляет собой разработанная теория наблюдаемости для билинейных динамических систем.
Минимальные и функциональные наблюдатели, помимо теоретического интереса, имеют практическую ценность. Это обусловлено тем, что наблюдатели являются частью систем автоматического управления и понижение их порядка ведет к повышению быстродействия таких систем, упрощению их конструкции (и как следствие к повышению их надежности).
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамиче-
ских систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление "под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001; на научной школе -конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Институт механики имени Е.А. Девяпина) 2004 год; Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г, г. Пёрсславль); на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.С Пятницкого (ИПУ РАН), 2006; на Второй' Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008; на Тихоновских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2008г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работе, из них 25 работ - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит их семи глав (первая из них - вводная). Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В
конце приведена библиография из 123 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, потом в алфавитном порядке работы на латинице.
Наблюдатели полного фазового вектора для полностью определенных линейных систем
Для линейных стационарных систем большинство результатов переносятся с непрерывного случая на дискретный, хотя для последнего имеются особенности и существенные отличия.
Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка общей теории построения наблюдателей для систем в условиях неопределенности, а так же разработка общей теории построения минимальных функциональных наблюдателей.
Для первой из поставленных задач должны быть предложены новые алгоритмы синтеза асимптотических наблюдателей для линейных стационарных динамических систем в условиях неопределенности при различных условиях на параметры системы (различные сочетания размерностей входов и выходов, различные относительные порядки системы и т.д.). Полученные алгоритмы построения наблюдателей для систем дифференциальных уравнений должны быть перенесены и на дискретные системы.
Для второй задачи, а именно для задачи синтеза функциональных наблюдателей, требуется рассмотреть две смежные, но тем не менее существенно различные постановки задачи: 1) Задача о построении функционального наблюдателя минимально возможного порядка с каким-либо устойчивым спектром; 2)Задача о построении минимальных функциональных наблюдателей с наперед заданными динамическими свойствами (заданным спектром, заданной скоростью сходимости). Кроме того, целью работы является решение задач о наблюдаемости и о построении асимптотических наблюдателей для одного из классов нелинейных управляемых систем - билинейных (по управлению и фазовому вектору) динамических систем. Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты: 1. Предложена теория построения асимптотических наблюдателей для гипервыходных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода превышает размерность неизвестного входа). При этом предложены два различных метода решения этой задачи: метод декомпозиции системы к специальному виду и метод "псевдовходов". Для каждого их методов строго.изложены алгоритмы построения асимптотических наблюдателей, получены условиях их применимости. 2. Разработана теория построения наблюдателей для квадратных векторных линейных стационарных систем с неопределенностью (т.е. для систем, у которых размерность измеряемого выхода совпадает с размерностью неизвестного входа). Для решения задачи был развит подход с использование иерархии коэффициентов обратной связи в наблюдателе. В этом случае задача решается с наперед заданной точностью. 3. Предложены методы построения асимптотических функциональных наблюдателей минимального порядка (т.е. наблюдателей, восстанавливающих заданный линейный функционал от фазового вектора) с каким-либо устойчивым спектром. Получены необходимые и достаточные условия существования функциональных наблюдателей заданного порядка. Разработаны два подхода к решению задачи: метод скалярных наблюдателей и метод "псевдовходов". 4. Предложены методы построения функциональных наблюдателей с заданным устойчивым спектром (заданной скоростью сходимости), получены оценки сверху на размерность таких наблюдателей. 5. Предложены методы синтеза асимптотических наблюдателей для билинейных динамических систем. Полностью решена задача о равномерной по управлению наблюдаемости для планарных систем, для них.так же полностью решена задача о построении асимптотических наблюдателей. Для многомерных билинейных систем решена задача о синтезе наблюдателей при различных случаях вырождения матрицы билинейности. 6. Разработанные алгоритмы построения наблюдателей (для систем с неопределенностью и функциональных наблюдателей) обобщены на дискретные линейные стационарные системы. В работе использованы методы теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости. Практическая значимость. Работа имеет как теоретическую, так и практическую составляющие. Предложенные в работе оригинальные методы построения асимптотических наблюдателей для различных классов линейных стационарных систем имеют важное теоретическое значение, они позволяют решать не только задачи синтеза наблюдателей, но и могут выступить основой для решения других смежных задач теории автоматического управления: задачи стабилизации систем у условиях неопределенности, задачи оценивания параметров динамических систем, оценивания внешних воздействий. Теоретическую ценность представляет собой разработанная теория наблюдаемости для билинейных динамических систем.
Минимальные и функциональные наблюдатели, помимо теоретического интереса, имеют практическую ценность. Это обусловлено тем, что наблюдатели являются частью систем автоматического управления и понижение их порядка ведет к повышению быстродействия таких систем, упрощению их конструкции (и как следствие к повышению их надежности).
Функциональные наблюдатели для полностью определенных линейных систем
Более сложен для анализа случай квадратной системы, так же рассмотренный в Главе 5. Подробно рассматривается основной случай скалярной системы, т. е. системы со скалярными входом f(t) и выходом y(t) (т. е. I = т = = 1). В этом случае для системы (0.16) определена передаточная функция от входи / к выходу у где (3m{s) и an(s) — полиномы от 5 соответствующих степеней т и п. При этом an(s) = det(sl - А) = sn + ansn l + ... + ах — характеристический полином матрицы А, а полином — характеристический полином нулевой динамики системы, который является определителем матрицы Розенброка Относительным порядком системы (0.16) является число г = п — т, для него имеют место соотношения Относительно системы (0.16) предполагается, что ее нулевая динамика асимптотически устойчива, т. е. полином f3m(s) — гурвицев. При этом система является минимально-фазовой. Кроме того, пара {С, А} — наблюдаема, а пара {A, D} — управляема, т. е. система (0.16) находится в общем положении. Для решения задачи доказано вспомогательное утверждение Лемма 5.1. Пусть матрица Аь Є Enxn такова, что ее спектр может быть назначен, по произволу. Обозначим коэффициенты разложения матричной экспоненты через cxi{t), г = 0, ... , п — 1 : Тогда для любого ji 0 спектр Spec{.A/_,} может быть выбран так, что для всех ai(t) справедлива оценка а ( ) j—, г = 0,...,п-1, где Ni = const 0 и не зависят от /І. При решении задачи выделяется базовый случай системы с максимальным относительным порядком. В этом случае после приведения системы к каноническому виду с выделением нулевой динамики используется стандартный полноразмерный наблюдатель, при этом спектр матрицы Аь замкнутой системы выбирается соответствии с леммой 5.1, т. е. Spec{AL} = {/Дь...,/Дп}, Л, 0, г = 1,...,те, /г 0 Лі = 1, Аі+і Аг-, г = 1,...,п-1. Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 5.4. Пусть скалярная квадратная система (0.16) находится в общем положении, ее относительный порядок г = п, система приведена к каноническому виду. Пусть, кроме того, неизвестный вход f(t) равномерно ограничен известной константой FQ, т. е. /(i) F при t 0. Выберем вектор обратной связи L в наблюдателе так, чтобы спектр матрицы Ai = A — LC удовлетворял условиям (0.22). Тогда ошибка наблюдения е — у — у удовлетворяет оценке где константа К ь не зависит от коэффициента усиления fi. Таким образом, выбирая коэффициент усиления /л достаточно большим можно сделать погрешность оценивания меньше наперед заданной константы. В случае произвольного относительного порядка система сначала приводится к каноническому виду с выделением нулевой динамики, для минимально-фазовой системы строится асимптотический наблюдатель, восстанавливающий нулевую динамику системы, а затем решается задача для подсистемы с максимальным относительным порядком. Оценка погрешности в этом случае так же имеет вид (0.23) с той лишь разницей, что показатель экспоненты определяется спектром нулевой динамики системы. В Главе 6 рассматривается задача построения асимптотических наблюдателей для билинейных систем вида х = Ах + иВх, (0.24) у = Сх. Особенность этой системы в том, что при любых матрицах А, В и С эта система теряет управляемость в точке х = 0. Вначале рассматривается случай билинейной системы на плоскости. Для нелинейной системы проблему представляет собой даже получение условий наблюдаемости. Для билинейных систем на плоскости доказана Теорема 6.1. Билинейная система х — Ах + ubhx на плоскости со скалярным выходом у — Сх и произвольной ограниченной функцией \u(t)\ щ равномерно по t наблюдаема тогда и только тогда, когда Из этого утверждения можно получить достаточные и необходимые условия равномерной наблюдаемости, имеет место Лемма 6.3. 1. Пара {C,A-\-ubh}, где \u(t)\ щ, равномерно по t наблюдаема, если выполнено одно из следующих условий: С h фо, det ССА b) наблюдаема пара {С, А} и вектора С и h - коллинеарны; c) наблюдаема пара {С, А} и СЬ = 0. 2. Если пара {С, А + ubh}, где \u(t)\ щ, равномерно по t наблюдаема, то пара {С, А} - наблюдаема. Таким образом, в случае общего полооюения, равномерная наблюдаемость гарантированно имеет место при соблюдении ограничения
Асимптотические наблюдатели для линейных системс неопределенностью
Еще сложнее обстоит дело с синтезом наблюдателей в нелинейном случае, на сегодня эта задача решена лишь для некоторых классов нелинейных динамических систем.
В теории автоматического управления часто, помимо устойчивости замкнутой системы, предъявляются те или иные дополнительные требования к свойствам регулятора. В частности, нередко требуется, чтобы размерность наблюдателя 2 (т. е. размерность фазового вектора z{t) динамической системы (1.5)) была минимальна. В результате появилась проблема, связанная с построением минимального наблюдателя, т. е. наблюдателя минимального динамического порядка, т.е. минимальной размерности.
Для линейных стационарных полностью определенных систем (1.3) эта задача оценивания полного фазового вектора получила исчерпывающее решение в работах Люенбергера. В тоже время для решения задач управления зачастую не требуется знать весь фазовый вектор системы, а достаточно располагать информацией лишь о некотором функционале от этого вектора, например следующего вида где h(.) известная достаточно гладкая функция. В этом случае имеет место задача о построении оценки для этого функционала, или иначе говоря, задача о построении функционального наблюдателя. Разумеется, эта задача имеет смысл, когда размерность такого наблюдателя оказывается ниже размерности наблюдателя, восстанавливающего полный фазовый вектор.
В случае линейной стационарной системы без неопределенности и линейного функционала Наблюдатель, как. правило, часть ругулятора эта задача рассматривалась в монографии О Рейли [87], где предложены методы построения функциональных наблюдателей и получена оценка сверху для размерности таких наблюдателей. Однако задача о функциональном наблюдателе минимальной размерности получила решение только недавно. Кроме того, самостоятельный интерес представляет задача о синтезе функциональных наблюдателей для линейных и нелинейных стационарных и нестационарных систем с неопределенностью. Аналогичные задачи, т.е. задачи о наблюдаемости, о синтезе наблюдателя, о построении наблюдателя в условиях неопределенности, о синтезе функциональных наблюдателей, о минимальном наблюдателе и т.п., имеют место и для дискретных регулируемых систем, в частности, для линейных дискретных систем управления, которые описываются уравнениями где, как и ранее, жІп- фазовьп і вектор, и Мт и у Є Ш1 — вход и выход системы, соответственно. Для линейных стационарных систем большинство результатов переносятся с непрерывного случая на дискретный, хотя для последнего имеются особенности и существенные отличия. Рассмотрим задачу наблюдаемости, т. е. задачу о принципиальной возможности восстановления фазового вектора системы по измерениям ее выхода. Далее рассматривается линейная система вида где х Є Ш1 — неизвестный фазовый вектор; и Є Жш, у Є Ш.1 — известные вход и выход системы, соответственно. Пару (і , ж ) будем называть состоянием системы (в момент времени ), если х = x(t ). Решение системы, соответствующее управлению u(t) и начальному состоянию (to,#o)3 будем обозначать x(t, to,x0,u), а выход, соответственно, y(t,t0,xo,u), где t to Различают две задачи восстановления неизвестного вектора x{t). Задача наблюдения — задача оценки состояния системы в момент времени to по известным входу и выходу системы u(t) и y(t) при t to, т. е. задача восстановления начального значения фазового вектора по будущим измерениям входа и выхода. Задача идентификации — задача оценки состояния системы в момент времени t по данным о входе и выходе при t t , т. е. задача восстановления фазового вектора в текущий момент времени t по измерениям входа и выхода в прошлом. Эти определения восходят к работам Р. Калмана. Замечание 1.1. Часто не делают различия между наблюдением и идентификацией, объединяя эти понятия термином наблюдаемость. Иногда наблюдаемую систему определяют как систему, в которой по прошлым значениям выходных и входных величин можно восстановить текущее состояние системы. Выше эта задача была определена как задача идентификации.
Наблюдатели для билинейных систем
Векторы (А), как и для скалярной системы, являются левыми собственными векторами матрицы Аь — А — LC, имеющей собственное значение А, более того, А может быть собственным значением кратности I, так как оно является собственным значением каждого из диагональных блоков матрицы AL: матрица L Є Ж1хп имеет соотвегствующую блочную структуру, где внедиагональные блоки - нулевые. Отличие векторных систем заключается в том, что каждому А соответствует теперь I линейно независимых собственных векторов, образующих пространство Г2(А) (% являются по сути координатами в этом пространстве).
Рассмотрим набор вещественных чисел Аг (г — 1,..., v — 1), удовлетворяющий условию: Выберем L Є Ш1хп так, что спектр Дь = A—LC содержит Аі, А2,..., Xu-i, причем спектр Агь = АЦ — ЬгСц содержит Ai, А2,..., A _i (т.е. для первой подсистемы максимальной размерности v\ — v используется весь набор Ai, А2,..., Ai/_i, а для остальных подсистем - его часть, соответствующая размеру подсистемы). При этом Ai является корнем кратности I матрицы Ль, а остальные Xj - корнями кратности не выше I. Каждому Xj соответствует ровно столько собственных векторов матрицы Л/,, какова его кратность, эти векторы соответствуют г-ым подсистемам и имеют общий вид (О,..., 0, Fi(Xj), 0,..., 0). В совокупности с векторами d = (0,..., 0, Сгг-, 0,..., 0) они образуют базис в пространстве Ru.о)
Заметим, что в "первом столбце" в (4.74) ровно v\ - векторов (включая (Си, 0,..., 0)), а в остальных не более щ (точнее в "г-ом столбце" - щ векторов). Среди указанного набора векторов есть ровно I - отвечающих собственному значению Лі ("первая строка"из (4.74)), они они образуют подпространство 1{\\) Є Шп размерности I. Собственные векторы, отвечающие Лг,..., А„_і, образуют подпространства О(Лг),. ., Г Л -і), а векторы (0,..., 0, Си, 0,..., 0) - подпространство Ц,, отвечающее измеряемому выходу у Є М.1. Все пространство Шп распадается в прямую сумму подпространств 7(Ai),Q(A2),..., (ЛІУ-І), Qy, т.е. любой вектор F Є Е1хп раскладывается в сумму Каждый функционал oi = F(Xi)x восстанавливается скалярным наблюдателем со спектром Х{, при этом Таким образом, имеет место Теорема 4.12. Пусть динамическая система (4-69) наблюдаема, I 1. Тогда скалярный функционал а — Fx восстанавливается наблюдателем с заданным спектром (удовлетворяющим условию (4.73)), порядок наблюдателя не превышает v — \, где v - индекс наблюдаемости системы. Рассмотрим теперь векторный функционал а — Fx Є Жрх1 где F Є Wxn, а р 1. Фактически, в этом случае требуется восстановить р скалярных функционалов одновременно одним наблюдателем порядка к. Матрицу F в каноническом базисе будем рассматривать в блочном виде где строки Fl Є Mlxn распадаются на подстроки F- 6 Rlx , соответствующие j-u подсистемам из канонического представления (4.71). В случае векторного функционала требуется построить наблюдатель, одновременно восстанавливающий компоненты oL = Flx этого функционала. Для решения задачи вновь используем метод скалярных наблюдателей. Будем решать эту задачу последовательно для скалярных функционалов а1 — Flx. Рассмотрение начнем с а1 = F1x. При этом считаем, что в строке Fl = (FIJF , ..., і7]1) первая подстрока Fl, соответствующая первому блоку максимальной размерности v\ из канонического представления (2.33), не равна тождественно нулю. Если это не так, то выберем среди строк F1 такую, которая удовлетворяет этому условию, и проведем перенумерацию строк F1. Если же все F[ = О, то это означает, что функционал а = Fx не зависит от первого блока из (4.71). В этом случае задача редуцируется к проблеме восстановления функционала а = Fx, где порядка (n — vi) с (/ — 1) выходом. Рассмотрение этой редуцированной задачи может быть проведению по такой же схеме. Итак, считаем, что Fl 0, более того, полагаем, что Fl не коллинеа-рен СЦ (т.е. Fl ф іСц), так как в противном случае, сделав линейное преобразование а1 = а1 — 72/1 с известным выходом у\, придем к обнулению соответствующего подвектора для функционала а1, что приводит к описанному выше случаю. Для восстановления функционала а1 = Fxx используем описанную выше схему восстановления скалярного функционала.
