Содержание к диссертации
Введение
1 Фунциональные наблюдатели для систем со скалярным выходом (SO) 26
1.1 Метод псевдовходов 26
1 Описание метода, постановка задачи 26
2 Определение псевдовхода 28
3 Построение наблюдателя для скалярного функционала (SOSF) 29
4 Условия существования наблюдателя к-то порядка . 32
5 Доказательство необходимых условий существования наблюдателя 34
1.2 Метод скалярных наблюдателей 36
1 Описание метода 36
2 Определение скалярного наблюдателя 37
3 Условие восстанавливаемости функционала скалярным наблюдателем 38
4 Построение наблюдателя для произвольного скалярного функционала (SOSF) 40
5 Необходимые и достаточные условия существования наблюдателя к-го порядка 42
6 Случай кратных корней 48
7 Случай комплексных корней 56
1.3 Применение методов синтеза наблюдателя для случая векторного функционала (SOMF) 59
1 Метод псевдовходов 59
2 Метод скалярных наблюдателей 62
2 Фунциональные наблюдатели для систем с векторным выходом (МО) 66
2.1 Случай скалярного функционала (MOSF) 66
1 Приведение системы к канонической наблюдаемой форме для систем с векторным выходом 66
2 Модификация метода скалярных наблюдателей для случая векторного выхода 70
3 Построение наблюдателя для скалярного функционала 71
4 Достаточные условия существования наблюдателя к-го порядка 73
5 Доказательство необходимости условий существования наблюдателя к-то порядка 74
2.2 Анализ задачи синтеза наблюдателя для векторного функционала (MOMF) 78
1 Особенности случая векторного выхода системы и векторного функционала 78
2 Необходимые и достаточные условия существования наблюдателя для векторного функционала 80
3 Оценка минимального порядка функционального наблюдателя в общем случае (MOMF) 83
3.1 Алгоритм построения наблюдателя 83
1 Приближение условий существования наблюдателя системами линейных уравнений 83
2 Описание алгоритма построения наблюдателя пони женного порядка 84
3 Оценка порядка наблюдателя в случае применимости алгоритма 90
4 Класс функционалов, к которым алгоритм не применим 91
5 Применимость алгоритма почти для всех функционалов 95
3.2 Оценка сверху минимального порядка наблюдателя 103
1 Сравнение с существующими оценками 103
2 Пример выигрыша по сравнению с существующими
оценками 104
3 Пример, в котором минимальный порядок наблюдате
ля меньше полученной оценки 105
4 Функциональные наблюдатели для неопределенных систем 107
4.1 Гипервыходные системы 108
1 Предположения о структуре системы и ее нулевой динамике 108
2 Сведение задачи о функциональном наблюдателе для неопределенной системы к задаче о функциональном наблюдателе для определенной системы 109
3 Функциональные наблюдатели для неопределенных систем 111
4.2 Квадратные системы 116
1 Применение метода скалярных наблюдателей к квадратным системам 117
2 Достаточные условия существования наблюдателя для случая скалярного функционала и квадратной системы 122
Приложение
Литература
- Построение наблюдателя для скалярного функционала (SOSF)
- Приведение системы к канонической наблюдаемой форме для систем с векторным выходом
- Приближение условий существования наблюдателя системами линейных уравнений
- Предположения о структуре системы и ее нулевой динамике
Введение к работе
Обзор
Оценивание фазового вектора динамической системы по измерениям её выхода является одной из классических задач теории автоматического управления. Для решения этой задачи, как правило, строятся вспомогательные динамические системы - наблюдатели, которые и формируют оценку фазового вектора системы.
Наблюдателем называется динамическая система, которая получает на входе известные вход и выход исходной системы, а на выходе дает оценку вектора состояния этой системы. Часто желательно, чтобы размерность наблюдателя была минимальной. Для линейных конечномерных полностью определенных систем построение минимальных наблюдателей полного фазового вектора указано Люенбергером [1]. Построенный им наблюдатель имеет порядок (п — г), где п - порядок системы, а г - число линейно независимых выходов.
В ряде случаев, например, при решении задач стабилизации, информация о полном фазовом векторе системы не требуется, и можно обойтись информацией лишь о некотором скалярном или векторном функционале от этого вектора. В связи с этим возникает задача о построении функционального наблюдателя, то есть динамической системы, формирующей асимптотическую оценку искомого функционала. Подобная задача имеет
смысл, так как размерность такого наблюдателя может оказаться ниже размерности наблюдателя Люенбергера для полного фазового вектора.
Данная диссертация посвящена методам построения функциональных наблюдателей минимального порядка. Сформулируем в наиболее общей форме задачу о построении функционального наблюдателя для линейных конечномерных систем. Рассматривается линейная стационарная конечномерная1 динамическая система
х = Ах + Ви: (0.1) у = Сх,
где x(t) Є Rn - неизвестный фазовый вектор, u(t) Є Ш.т, y(t) 6ЁГ- известные вход и выход системы, а А Є Rnxn, В Є Rmxn и С Є Knxr - известные постоянные матрицы. Не ограничивая общности, предполагается, что rank С = г, то есть все выходы линейно независимы.
Пусть задан неизвестный линейный функционал от фазового вектора
a(t) = Fx(t) Є W
с известной постоянной матрицей F Є Шрхп полного ранга2.
Задача состоит в том, чтобы построить наблюдатель минимального порядка, использующий вход и выход исходной системы (0.1) и дающий на выходе асимптотическую оценку искомого функционала a (t) такую, что ошибка оценивания
e{t) = &{t) — cr(t) —* 0 при t —» со.
Такой наблюдатель называется асимптотическим. Функциональный
1 Далее упоминание о конечномерности обычно опускается. 2Далее предполагается, что р < га, rank F = р.
наблюдатель в общем случае имеет вид [5]
z = Pz + Qu + Ry,
(0.2)
a = Tz + 72/)
где a(t) Є Шр - оценка a(t) Є Шр, z(t) Є М.к - фазовый вектор наблюдателя, а Р Є Mfexfc, Q Є Mfcxw, R є R*xr, Г Є Шрхк и 7 Є Rpxr - постоянные матрицы, подлежащие определению. Число к называется порядком наблюдателя (0.2).
Впервые возможность построения таких наблюдателей исследована Люенбергером [3]. Оказалось, что порядок функционального наблюдателя для систем с несколькими выходами может быть понижен, по сравнению с классическим наблюдателем состояния, имеющим порядок (п — г), где г -число линейно независимых выходов. Люенбергер использовал каноническую форму наблюдаемости для системы со многими выходами [3] и показал, что для любого скалярного функционала a(t) = Fx(t), F Є ^1*tmesnj существует асимптотический наблюдатель порядка
к = 1/-1,
где і/ - индекс наблюдаемости системы (0.1). Все собственные значения такого наблюдателя могут выбираться произвольно. Для систем с одним выходом функциональный наблюдатель Люенбергера имеет тот же порядок, что и наблюдатель Люенбергера для полного фазового вектора, так как в этом случае и = п. Однако, при большем числе выходов системы возможно существенно понизить порядок функционального наблюдателя по сравнению с наблюдателем состояния.
Существенно, что динамические свойства функциональных наблю-
дателєй Люенбергера назначаются по произволу. Если отказаться от этого условия, а потребовать только асимптотической (экспоненциальной) сходимости оценки a(t) к функционалу <т(), то размерность функционального наблюдателя можно уменьшить.
Необходимые и достаточные условия существования асимптотического функционального наблюдателя (0.2) заданного порядка к были впервые получены Fortmann и Williamson [13]. Они приводятся в форме, данной в монографии O'Reilly [5]:
Утверждение 1 (O'Reilly [5]). Наблюдатель (0.2) к-го порядка асимптотически восстанавливает функционал a = Fx тогда и только тогда, когда существует постоянная матрица Н Є Шкхп такая, что выполнены
условия
1) Р — устойчивая матрица,
2) НА-РН = RC,
(0.3)
Q = HB,
F = TH + iC.
В дальнейшем, Moore и Ledwich удалось [21] преобразовать условия (0.3) и понизить число неизвестных, которые требуется определить при синтезе наблюдателя. В случае г = 1 (скалярный выход) число неизвестных не превосходит к. Они также дали оценку снизу минимального порядка функционального наблюдателя kmin. Рассматривается матрица
ЩъТГН-^Ъ R2 ... Rn
где N{7iT) - матрица наблюдаемости пары {^,Т}, Н - неизвестная матрица из условий существования наблюдателя (0.3). Матрицы Щ содержат
известные элементы, зависящие от матрицы системы, матриц входа и выхода, а также матрицы функционала. Также, они включают и неизвестные элементы, которые зависят от выбора матриц наблюдателя. Размерность и структура матриц Щ определяется структурой исходной системы и размерностью восстанавливаемого функционала. Число кт{п определяется-как число строк матрицы ( Дг Д2 ... Rn ), которые линейно независимы при любых значениях неизвестных параметров. Приведен алгоритм построения минимального функционального наблюдателя, который заключается в последовательном переборе значений к, начиная с нижней границы ктіп до (п — г). Для этих значений к последовательно проверяется возможность выполнения условий (0.3). Таким образом, находится минимальное к = к*, для которого эти условия могут быть выполнены. Очевидно, ктіп < к* < (п — г). Полученный Moore и Ledwich алгоритм неудобен в практическом применении из-за трудности задачи о существовании спектра наблюдателя, удовлетворяющего необходимым и достаточным условиям (0.3).
Одновременно со статьей Moore и Ledwich была опубликована работа по функциональным наблюдателям - Roman и Bullock [25], в которой используется теория минимальной реализации линейных динамических систем. Задачу о построении наблюдателя, а точнее, задачу о разрешимости условий (0.3), авторы сводят к задаче минимальной реализации некоторой динамической системы триплетом {Q:P, Т}. Они получают систему уравнений
L = TPi~1Q, г = 1,..., N,
где L - преобразованная матрица функционала, Q - преобразованная мат-
рица выхода системы, а неизвестные матрицы наблюдателя (0.2) Т и Р подлежат определению. Далее, как и в [21], приводятся преобразованные необходимые и достаточные условия существования наблюдателя, однако здесь авторы приводят также условия существования наблюдателя с собственными значениями, задаваемыми по произволу, для случаев SOMF (г = 1, р > 1) и MOSF (г > 1, р = 1).
Представляет интерес и случай MOMF (р > 1, г > 1), для которого дано лишь необходимое условие существования наблюдателя. Из этого условия следует оценка снизу минимального порядка наблюдателя
1-р где - параметр, зависящий от индексов управляемости пары {Q, Р}, которые определяют структуру и порядок наблюдателя.
В работе Tsui [42] приведена оценка сверху минимального порядка функционального наблюдателя для системы с г выходами и ^мерного функционала:
min(p,r) г=1
где к* - минимальный порядок наблюдателя, щ - индексы наблюдаемости системы, упорядоченные по неубыванию. Tsui утверждает, что данная оценка является неулучшаемой, однако это верно лишь частично - почти для всех функционалов эта оценка может быть улучшена, как показано в Главе 3 настоящей работы.
Работа Aldeen и Trinh [44] дает простой алгоритм построения функционального наблюдателя порядка
к>р{п~г\
где г - число выходов системы, ар- размерность оцениваемого функционала. Авторы подчеркивают, что их метод достаточно прост, не требует дополнительных преобразований системы и дает порядок наблюдателя, близкий к к* из работы Tsui [42]. Собственные значения наблюдателя, также как и в [42] могут назначаться произвольно.
Можно также выделить работу Darouach [40], который привел необходимые и достаточные условия существования функционального наблюдателя (0.2) специального класса к = р, то есть с порядком, равным размерности восстанавливаемого функционала:
fFA^
\F/
'сА^
rank
rank
'сА^
\F/
/
\
(0.5)
,VsC,Res>0.
rank
= rank
sF-FA
\
Для получения этих условий Darouach использует тот факт, что при к = р матрица Т Є Wxk наблюдателя (0.2) является квадратной. Оказывается, в этом случае, не ограничивая общности, можно предположить Т = І Є Wxp, где / — единичная матрица, и записать третье условие из (0.3) в виде F = Н + 7(7. Это существенно упрощает необходимые и достаточные условия построения наблюдателя и позволяет преобразовать их к виду (0.5).
В работах [70]-[71] впервые в достаточно простой форме в 2005 г. были получены необходимые и достаточные условия существования функци-
онального наблюдателя заданного порядка для данного скалярного функционала, которые подробно изложены в настоящей работе.
Параллельно, аналогичный результат в 2006 г. получил коллектив авторов из Deakin University (Trinh, Tran, Nahavandi [46]). Они привели следующее ранговое условие, выполнение которого для некоторого устойчивого спектра 5i,..., Sk гарантирует существование асимптотического наблюдателя порядка к с этим спектром:
rankL/V(5l) N(s2) ... N(sk) J = rank Ш8і) N(s2) ... N(sk) F?
(0.6) где столбцы N(si) зависят только от собственных значений Si и матриц исходной системы, а столбец Щ - только от матрицы восстанавливаемого функционала F. Фактически, для выполнения условия требуется выбрать такой набор устойчивых собственных значений Si, г — 1,..., fc, чтобы столбец Щ линейно выражался через столбцы N(si), г = 1,..., fc.
Таким образом, исследование возможности построения наблюдателя заданного порядка к для данного функционала a = Fx сводится к вопросу о существовании такого набора Si, г = 1,..., к. Используя условия (0.6), авторы приводят несколько примеров решения задачи о минимальном порядке наблюдателя в частных случаях. Однако, в общем случае, когда требуется исследовать вопрос о выполнении условия (0.6) при достаточно больших к, эта задача пока не имеет удовлетворительного решения и требует дальнейшего упрощения.
Заметим, что хотя задача о минимальном функциональном наблюдателе хорошо известна уже более 30 лет, начиная с работ Люенбергера, до сих пор не найдено такого ее решения, которое по детерминированно-
Построение наблюдателя для скалярного функционала (SOSF)
Оценивание фазового вектора динамической системы по измерениям её выхода является одной из классических задач теории автоматического управления. Для решения этой задачи, как правило, строятся вспомогательные динамические системы - наблюдатели, которые и формируют оценку фазового вектора системы.
Наблюдателем называется динамическая система, которая получает на входе известные вход и выход исходной системы, а на выходе дает оценку вектора состояния этой системы. Часто желательно, чтобы размерность наблюдателя была минимальной. Для линейных конечномерных полностью определенных систем построение минимальных наблюдателей полного фазового вектора указано Люенбергером [1]. Построенный им наблюдатель имеет порядок (п — г), где п - порядок системы, а г - число линейно независимых выходов.
В ряде случаев, например, при решении задач стабилизации, информация о полном фазовом векторе системы не требуется, и можно обойтись информацией лишь о некотором скалярном или векторном функционале от этого вектора. В связи с этим возникает задача о построении функционального наблюдателя, то есть динамической системы, формирующей асимптотическую оценку искомого функционала. Подобная задача имеет смысл, так как размерность такого наблюдателя может оказаться ниже размерности наблюдателя Люенбергера для полного фазового вектора.
Данная диссертация посвящена методам построения функциональных наблюдателей минимального порядка. Сформулируем в наиболее общей форме задачу о построении функционального наблюдателя для линейных конечномерных систем. Рассматривается линейная стационарная конечномерная1 динамическая система х = Ах + Ви: (0.1) у = Сх, где x(t) Є Rn - неизвестный фазовый вектор, u(t) Є Ш.т, y(t) 6ЁГ- известные вход и выход системы, а А Є Rnxn, В Є Rmxn и С Є Knxr - известные постоянные матрицы. Не ограничивая общности, предполагается, что rank С = г, то есть все выходы линейно независимы. Пусть задан неизвестный линейный функционал от фазового вектора a(t) = Fx(t) Є W с известной постоянной матрицей F Є Шрхп полного ранга2. Задача состоит в том, чтобы построить наблюдатель минимального порядка, использующий вход и выход исходной системы (0.1) и дающий на выходе асимптотическую оценку искомого функционала a (t) такую, что ошибка оценивания e{t) = &{t) — cr(t) — 0 при t —» со. Такой наблюдатель называется асимптотическим. Функциональный 1 Далее упоминание о конечномерности обычно опускается. 2Далее предполагается, что р га, rank F = р. наблюдатель в общем случае имеет вид [5] z = Pz + Qu + Ry, (0.2) a = Tz + 72/) где a(t) Є Шр - оценка a(t) Є Шр, z(t) Є М.к - фазовый вектор наблюдателя, а Р Є Mfexfc, Q Є Mfcxw, R є R xr, Г Є Шрхк и 7 Є Rpxr - постоянные матрицы, подлежащие определению. Число к называется порядком наблюдателя (0.2).
Впервые возможность построения таких наблюдателей исследована Люенбергером [3]. Оказалось, что порядок функционального наблюдателя для систем с несколькими выходами может быть понижен, по сравнению с классическим наблюдателем состояния, имеющим порядок (п — г), где г -число линейно независимых выходов. Люенбергер использовал каноническую форму наблюдаемости для системы со многими выходами [3] и показал, что для любого скалярного функционала a(t) = Fx(t), F Є 1 tmesnj существует асимптотический наблюдатель порядка к = 1/-1, где і/ - индекс наблюдаемости системы (0.1). Все собственные значения такого наблюдателя могут выбираться произвольно. Для систем с одним выходом функциональный наблюдатель Люенбергера имеет тот же порядок, что и наблюдатель Люенбергера для полного фазового вектора, так как в этом случае и = п. Однако, при большем числе выходов системы возможно существенно понизить порядок функционального наблюдателя по сравнению с наблюдателем состояния.
Существенно, что динамические свойства функциональных наблюдателей Люенбергера назначаются по произволу. Если отказаться от этого условия, а потребовать только асимптотической (экспоненциальной) сходимости оценки a(t) к функционалу т(), то размерность функционального наблюдателя можно уменьшить.
Приведение системы к канонической наблюдаемой форме для систем с векторным выходом
Необходимые и достаточные условия существования асимптотического функционального наблюдателя (0.2) заданного порядка к были впервые получены Fortmann и Williamson [13]. Они приводятся в форме, данной в монографии O Reilly [5]: Утверждение 1 (O Reilly [5]). Наблюдатель (0.2) к-го порядка асимптотически восстанавливает функционал a = Fx тогда и только тогда, когда существует постоянная матрица Н Є Шкхп такая, что выполнены условия 1) Р — устойчивая матрица, 2) НА-РН = RC, (0.3) 3) Q = HB, 4) F = TH + iC. В дальнейшем, Moore и Ledwich удалось [21] преобразовать условия (0.3) и понизить число неизвестных, которые требуется определить при синтезе наблюдателя. В случае г = 1 (скалярный выход) число неизвестных не превосходит к. Они также дали оценку снизу минимального порядка функционального наблюдателя kmin. Рассматривается матрица где N{7iT) - матрица наблюдаемости пары { ,Т}, Н - неизвестная матрица из условий существования наблюдателя (0.3). Матрицы Щ содержат известные элементы, зависящие от матрицы системы, матриц входа и выхода, а также матрицы функционала. Также, они включают и неизвестные элементы, которые зависят от выбора матриц наблюдателя. Размерность и структура матриц Щ определяется структурой исходной системы и размерностью восстанавливаемого функционала. Число кт{п определяется-как число строк матрицы ( Дг Д2 ... Rn ), которые линейно независимы при любых значениях неизвестных параметров. Приведен алгоритм построения минимального функционального наблюдателя, который заключается в последовательном переборе значений к, начиная с нижней границы ктіп до (п — г). Для этих значений к последовательно проверяется возможность выполнения условий (0.3). Таким образом, находится минимальное к = к , для которого эти условия могут быть выполнены. Очевидно, ктіп к (п — г). Полученный Moore и Ledwich алгоритм неудобен в практическом применении из-за трудности задачи о существовании спектра наблюдателя, удовлетворяющего необходимым и достаточным условиям (0.3).
Одновременно со статьей Moore и Ledwich была опубликована работа по функциональным наблюдателям - Roman и Bullock [25], в которой используется теория минимальной реализации линейных динамических систем. Задачу о построении наблюдателя, а точнее, задачу о разрешимости условий (0.3), авторы сводят к задаче минимальной реализации некоторой динамической системы триплетом {Q:P, Т}. Они получают систему уравнений L = TPi 1Q, г = 1,..., N, где L - преобразованная матрица функционала, Q - преобразованная матрица выхода системы, а неизвестные матрицы наблюдателя (0.2) Т и Р подлежат определению. Далее, как и в [21], приводятся преобразованные необходимые и достаточные условия существования наблюдателя, однако здесь авторы приводят также условия существования наблюдателя с собственными значениями, задаваемыми по произволу, для случаев SOMF (г = 1, р 1) и MOSF (г 1, р = 1).
Представляет интерес и случай MOMF (р 1, г 1), для которого дано лишь необходимое условие существования наблюдателя. Из этого условия следует оценка снизу минимального порядка наблюдателя 1-р где - параметр, зависящий от индексов управляемости пары {Q, Р}, которые определяют структуру и порядок наблюдателя. В работе Tsui [42] приведена оценка сверху минимального порядка функционального наблюдателя для системы с г выходами и мерного функционала: min(p,r) г=1 где к - минимальный порядок наблюдателя, щ - индексы наблюдаемости системы, упорядоченные по неубыванию. Tsui утверждает, что данная оценка является неулучшаемой, однако это верно лишь частично - почти для всех функционалов эта оценка может быть улучшена, как показано в Главе 3 настоящей работы.
Работа Aldeen и Trinh [44] дает простой алгоритм построения функционального наблюдателя порядка где г - число выходов системы, ар- размерность оцениваемого функционала. Авторы подчеркивают, что их метод достаточно прост, не требует дополнительных преобразований системы и дает порядок наблюдателя, близкий к к из работы Tsui [42]. Собственные значения наблюдателя, также как и в [42] могут назначаться произвольно.
Приближение условий существования наблюдателя системами линейных уравнений
Оказывается, в этом случае, не ограничивая общности, можно предположить Т = І Є Wxp, где / — единичная матрица, и записать третье условие из (0.3) в виде F = Н + 7(7. Это существенно упрощает необходимые и достаточные условия построения наблюдателя и позволяет преобразовать их к виду (0.5). В работах [70]-[71] впервые в достаточно простой форме в 2005 г. были получены необходимые и достаточные условия существования функци 13 онального наблюдателя заданного порядка для данного скалярного функционала, которые подробно изложены в настоящей работе. Параллельно, аналогичный результат в 2006 г. получил коллектив авторов из Deakin University (Trinh, Tran, Nahavandi [46]). Они привели следующее ранговое условие, выполнение которого для некоторого устойчивого спектра 5i,..., Sk гарантирует существование асимптотического наблюдателя порядка к с этим спектром: rankL/V(5l) N(s2) ... N(sk) J = rank Ш8і) N(s2) ... N(sk) F? (0.6) где столбцы N(si) зависят только от собственных значений Si и матриц исходной системы, а столбец Щ - только от матрицы восстанавливаемого функционала F. Фактически, для выполнения условия требуется выбрать такой набор устойчивых собственных значений Si, г — 1,..., fc, чтобы столбец Щ линейно выражался через столбцы N(si), г = 1,..., fc. Таким образом, исследование возможности построения наблюдателя заданного порядка к для данного функционала a = Fx сводится к вопросу о существовании такого набора Si, г = 1,..., к. Используя условия (0.6), авторы приводят несколько примеров решения задачи о минимальном порядке наблюдателя в частных случаях. Однако, в общем случае, когда требуется исследовать вопрос о выполнении условия (0.6) при достаточно больших к, эта задача пока не имеет удовлетворительного решения и требует дальнейшего упрощения. Заметим, что хотя задача о минимальном функциональном наблюдателе хорошо известна уже более 30 лет, начиная с работ Люенбергера, до сих пор не найдено такого ее решения, которое по детерминированному алгоритму давало бы наблюдатель минимально возможного порядка. Решение в простом виде существует только для некоторых частных случаев. Это объясняется сложностью уравнений, которым должны удовлетворять неизвестные матрицы наблюдателя (0.2). Хотя удалось понизить число неизвестных в этих уравнениях путем различных их преобразований, их решение остается трудной задачей. Наибольшую трудность представляет требование устойчивости матрицы наблюдателя, так как его добавление делает систему уравнений нелинейной.
Можно показать, что условия существования наблюдателя (0.3) при заданном к сводятся к системе полиномиальных уравнений и неравенств относительно элементов неизвестных матриц Р, Q, R, Т, 7 и Н. Условия (0.3), кроме первого, являются системами линейных уравнений, а первое условие с помощью критерия Гурвица можно записать в виде системы полиномиальных неравенств. Blondel [53] показал, что задача о поиске решений системы полиномиальных уравнений и неравенств является NP-полной задачей. Фактически, это означает, что с ростом числа неизвестных параметров сложность решения растет экспоненциально. Таким образом, для достаточно больших систем вычисления занимают много времени даже на современных ЭВМ, а задача упрощения условий существования наблюдателя остается актуальной до сих пор.
Также многими авторами рассматривались наблюдатели для неопределенных систем, то есть систем с неизвестной помехой на входе. Исходная система в этом случае имеет вид х = Ах + Ви + Dw, (0.7) у = Сх. Здесь х Є Шп — фазовый вектор системы; y{t) ЄІГ- известный выход системы; u{t) Є Шт — известный вход; w{t) Gl?- неизвестное возмущение, А, В, С и D - постоянные матрицы соответствующих размерностей. В основном используемые методы построения наблюдателей для таких систем сводятся к некоторому невырожденному преобразованию системы и выделению подсистемы, независимой от неизвестного возмущения. В литературе традиционно разделяются случаи г = q {квадратная система, неизвестное возмущение имеет ту же размерность, что и выход системы) и г q {гипервыходная система, размерность выхода больше размерности неизвестного возмущения). . Большинство известных работ о системах с неопределенностью [38],[33], [36], [41] было посвящено построению наблюдателей состояния различными методами. В частности, Bhattacharyya [33] использует геометрический подход, a Kobayashi и Nakamizu [36] - обращение системы.
Предположения о структуре системы и ее нулевой динамике
С основной задачей тесно связано получение необходимых и достаточных условий существования функционального наблюдателя порядка к в общем случае. Важно отметить, что необходимые и достаточные условия существования наблюдателя приводились в литературе и ранее, однако все они имеют достаточно сложную форму. Решение систем матричных уравнений, составляющих эти условия, представляется весьма трудной задачей. Таким образом, одной из задач работы было получение необходимых и достаточных условий в краткой и легко вычислимой форме.
Также, для того, чтобы необходимые и достаточные условия можно было применять в решении задач, требуется и алгоритм построения наблюдателя порядка к, который работает при условии, что условия обеспечивают возможность существования наблюдателя такого порядка. Такие алгоритмы, а также их программные реализации, предложены в работе и непосредственно вытекают из формулировки необходимых и достаточных условий. В случаях, когда не удается получить условия в простой форме, даны алгоритмы, позволяющие получить наблюдатели пониженного, но не обязательно минимального, порядка, а также улучшить ранее приведенные в литературе оценки минимального порядка наблюдателя. Если известны условия применимости алгоритма построения наблюдателя, то очевидным образом можно получить оценку сверху минимального порядка наблюдателя для класса функционалов, к которым алгоритм применим.
Все вышеописанные задачи относятся к полностью определенным системам, однако важный класс задач составляют задачи о наблюдателях для неопределенных систем. Под неопределенностью в данной работе понимается наличие на входе системы неизвестного возмущения. Для таких систем ставятся те же задачи, что и для полностью определенных, и применяются те же методы построения наблюдателей, однако наличие неопределенности ограничивает область применимости методов, а иногда и спектр получающегося наблюдателя. Наиболее простой способ построить наблюдатель для неопределенной системы - свести задачу к задаче о наблюдателе для полностью определенной системы, и это делается во всех случаях, где такой переход возможен. В оставшихся случаях требуется, налагая по возможности минимальные ограничения на систему и наблюдатель, применить, один из методов построения наблюдателей непосредственно к исходной системе.
Таким образом, естественно начать с системы со скалярным выходом (у = Сх еК)и скалярного восстаналиваемого функционала a = Fx є №. В этом случае матрица выхода системы и матрица функционала имеют размерности С Є Rlxn и F Є Rlxn соответственно, то есть г = р = 1. Этот случай обозначим как Single Output, Single Function (SOSF), по аналогии с распространенной классификацией систем по количеству входов и выходов SISO-SIMO-MISO-MIMO.
На примере случая SOSF наиболее просто проиллюстрировать два метода построения функциональных наблюдателей, описанных в данной работе - метод псевдовходов и метод скалярных наблюдателей. В этом случае они дают одинаковые необходимые и достаточные условия существования функционального наблюдателя порядка к. Наиболее простой вид эти условия принимают для систем со скалярным выходом, когда система находится в канонической наблюдаемой форме Люенбергера.
Таким образом, вопрос о существовании наблюдателя сводится к поиску пересечения множества решений системы линейных уравнений и мно 3В дальнейшем будем называть столбец I — (/i,..., lh)T, такой, что полином pi(s) = sk + sfc-1/fc + ... + її — устойчив, гурвицевъш столбцом. жества векторов, элементы которых являются коэффициентами гурвице-вых полиномов.
Результаты, полученные при анализе случая SOSF, легко распространить на случай г = 1, р 1, то есть систему со скалярным выходом и векторный функционал размерности р 1 (Single Output, Multiple Functions). В случае SOMF оба метода построения наблюдателей также приводят к одинаковым результатам, а необходимые и достаточные условия существования наблюдателя порядка к имеют чуть более сложный вид, чем в случае SOSF.
Более сложным является получение необходимых и достаточных условий существования функционального наблюдателя порядка к для систем с многими выходами (Multiple Outputs). В этом случае метод псевдовходов не применим, так как предполагает представление системы в виде одной передаточной функции. В случае MOSF метод скалярных наблюдателей с использованием канонической наблюдаемой формы Люенбергера [3],позволяет получить необходимые и достаточные условия, аналогичные условиям для случаев SOSF и SOMF. Метод скалярных наблюдателей для систем с векторным выходом описан в Главе 2.
Полученные в двух первых главах необходимые и достаточные условия существования наблюдателя порядка к позволяют осуществить следующий алгоритм построения функционального наблюдателя минимального порядка для классов систем и функционалов SOSF (или SOMF, MOSF) по одной и той же схеме: 1. Найти минимальное значение к = к : при котором выполняется ран 22 говое условие (0.9) (или аналогичное для случаев SOMF, MOSF). При любом значении к к система (0.8) разрешима. 2. Далее, перебором значений к (к к п — 1) находим минимальное значение к = к , при котором среди решений системы (0.8) (или аналогичной для случаев SOMF, MOSF) есть гурвицев столбец I. 3. Для найденного значения к — к и гурвицева столбца I строится наблюдатель, такой, что pi(s) - характеристический полином матрицы наблюдателя. Однако, наибольший интерес представляет случай системы с векторным выходом и векторного функционала (Multiple Outputs, Multiple Functions). Для этого случая пока не удалось найти простых необходимых и достаточных условий существования наблюдателя порядка к. Однако, в данной работе в Главе 3 приведена оценка сверху на порядок минимального функционального наблюдателя в этом случае, выполненная для почти всех функционалов размерности р:
Более интересен случай квадратной системы (г = т 1) с восстанавливаемым скалярным функионалом. Здесь, как и в случае гипервыходной системы, проводится преобразование системы с выделением нулевой динамики. Однако, далее к полученной MOSF-системе непосредственно применяется метод скалярных наблюдателей, что позволяет получить необходимое и достаточное условие существования наблюдателя порядка к. При этом собственные значения наблюдателя могут выбираться только из собственных значений нулевой динамики системы, которая должна быть устойчивой. Основные результаты диссертации изложены в работах [66]-[73]. Результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: 1. На международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004" (Москва, Россия, 2004 г.) 2. На научной школе-конференции "Мобильные роботы" (Москва, Россия, 2005 г.) 3. На международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" (Обнинск, Россия, 2007 г.) 4. Неоднократно на семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления при МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН С.К. Коровина (Москва, 2004-2008).