Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае 24
1.1 Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений 24
1.2 Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения 37
Глава 2. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом 58
2.1 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х = 0 58
2.2 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х ~ од 64
2.3 Примеры. Функция Иоста и S-матрица 81
Литература 88
- Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений
- Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения
- Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х ~ од
- Примеры. Функция Иоста и S-матрица
Введение к работе
Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т.д.
Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с конца XIX века, служит предметом многочисленных исследований. Различные результаты этих исследований изложены в работах [6, 10,11,14,22,27,29 - 32,34, 36 - 38,43].
В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т. д., основное место занимает изучение систем с гамильтонианом
Н(х,р)=р?Е„ + к2А(х), где к - большой параметр.
Приведем необходимые в дальнейшем определения.
Рассмотрим систему из п уравнений на интервале / = [а, Ь] (конечном или бесконечном):
D2y(x) = к2 А(х)у, (0.1)
где D = d/их, к-большой параметр. Обозначим через X,- (х), 1
Определение 1. Точка Хо является точкой поворота системы (0.1), если уравнение
с1еі|Л2/-А:2Дх0)| = 0 (jfc*0) имеет кратный корень.
Т. е., точка хо является точкой поворота системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица А(хо) имеет кратное или нулевое собственное значение.
Определение 2. Особая точка х = + со называется однородной особой точкой системы (0.1), если
Л Ах)
lim —— = с.к Ф 0,1, оо при любых/ к. *->+х Лк (х)
Другими словами, существует функция q (х) такая, что при всех/ Aj(x) * Cjq(x) (х -> +оо), сj Ф 0, Cj ф ск (/ Ф к),
т. е. собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* + со и асимптотически некратные.
Ранее И. М. Рапопортом [27] бьша установлена следующая теорема для случая кратных собственных значений системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Теорема 0.1. Система дифференциальных уравнений
fyn +J V".
—г- = w,(t)y j + y„q+j+] + 2Х+ЛІ (ОУі, j = 1.2,».,/, -1,
at k=i
dyn +i "
= 4(t)ynq+iq + IX+'«.*^*' q = l,2,...,m, />/0>0,
dt * ,T'' - ",т',"
Cwj№H e Д'о.). * = ІД-.,W = ^.-../,, p = 1,2,...,m; q = 1,2,...,m; »,=/„+/,+... + /,_,; /0 =0; /, +/2 +... + lm =n имеет и частных решения вида:
y^j= \+w wH exp К ^dt'
'о
/ = 1,2,...,/ ; y' = 1,2,...,/ ; /? = l,2,...,m; # = l,2,...,m,
где J]n (х) - функции, непрерывные в интервале [to, со), и
n„f+JJIp+,И = —-Tj при ; < І, ^,+,^+/(00) = 1, ?7,v+/,„p+, И = 0 при./ > /,
7,,,+,.,,,+/(«О = О ПРИ Я*Р,
при том условии, если функции wq (0, q = 1, 2, ..., т удовлетворяют следующим требованиям:
wq (і) е L (to, ti), q = 1, 2, ...,m при любом конечном //;
существует такое достаточно большое То, что при / > То ни одна из функций
Re wq (/) - Re wp (t) + не меняет знака.
3) Если какая-либо из функций Re w (t) - Re w (t) + -— при /
неположительна и в то же время иесуммируема в интервале (То, ос), то после умножения на / эта функция становится строго отрицательной при / >1\ Большой вклад в развитие асимптотических методов для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений внесли М. А. Наймарк 123], И. М. Рапопорт [27] и М. В. Федорюк [36 - 38].
Идея метода исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений заключаегся в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к виду, называемому /--диагональным.
Определение 3. Система дифференциальных уравнений I порядка
DY = (Л (х) + D (х)) Y, рассматриваемая на некотором промежутке (0, со), называется /.-диагональной, если
матрица А (х) является диагональной, причем ее элементы локально-суммируемы, разности их действительных частей знакопостоянны, а все элементы матрицы D (х) суммируемые на (О, со) функции.
Однако в случае, когда матрица А (х) имеет нулевое или кратное собственное значение, заданную систему необходимо приводить не к Z-диагональному, а к несколько более общему виду, называемому нами в дальнейшем блочно-диагональным.
Хорошо изученным является случай одинакового порядка роста собственных значений матрицы А (х) при х —* + оо [11]. В этом случае точка х = + оо является однородной особой точкой системы (0.1) и асимптотика решений при х —> + оо выражается только через линейные характеристики матрицы А (х) (т. е. через собственные значения и собственные векторы).
Основную трудность представляет случай, когда точка х = + оо не является однородной для системы (0.1).
Пусть матрица А(х) - матрица п-го порядка, имеющая специальный вид:
( лі^ 1 ,-Л ,Аі(х) 0 ч ( ~ ~ /Л
А(х) =
А2 (Х) ^2х(и-2) (Х)
\Ап-2)х2ІХ) Лп_2(Х)
О Ап_2(х)
+
О ^2х(«-2) (Х)
к^(п-2)х7 (Х) О
= А0(х) + А{х).
Здесь Аг(х) - матрица второго порядка,
Ап-2(х) - матрица (п-2)-го порядка,
элементы матриц А2х(п-2)(х) мА(„.2)Х2(х) суммируемы на /хо, со).
Наша работа посвящена исследованию системы (0.1) в двух случаях, которые ранее не рассматривались:
матрица Ао (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо;
матрица Ао (х) имеет кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х—* + 00.
Далее кратко изложено содержание диссертации с сопутствующими разъяснениями.
Первый параграф первой главы диссертации посвящен изучению асимптотического поведения решений системы (0.1) в случае, когда матрица Ао (х) имеет одно кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —-> + да, т.е. удовлетворяют определению 2.
Обозначим кратное собственное значение Л, (х) = Л2 (х) = Л(х).
Сведем систему (0.1) к системе первого порядка. Для этого введем в рассмотрение вектор-столбец Y(x, к) и матрицу В(х):
^ ( О К<ъ,-*,(х)Л
+
KJ*).
В(2М(х) О
В(х) =
f ад йх^АЛ гад о
U(2„-4)JX) B2nJX)
= В0(х) + В(х),
У(х,к) =
k-]Dyt(x,k)
Уп(х,к) {k-xDyn{x,k),
ад =
ґ 0 1 0 0^
аи(х) 0 ап(х) 0
^а2](х) 0 а22(х) 0
"4x(2n-4)W
' 0 0 ... 0
а,з (х) а|4(х)...а,„(х)
О 0 ... 0
{<*п(х) аи{х)... а2й(х)
0...0^ 0...0 0...0 0...0
о
Д2„-4(*)
' "(2п-4м(Х/ ~
А-2« О
аА](х) 0 а4,(х) О й»і(^ 0 ajx) 0
Тогда система (0.1) эквивалентна уравнению:
DY=kB(x)Y. (0.2)
Легко проверить, что собственные значения матрицы Во(х) есть функции вида:
//*(*) = ±/1д*Л \
Таким образом, матрица Во(х) имеет 2« собственных значений, среди которых 2 кратных собственных значения, кратность каждого равна 2.
Чтобы привести систему (0.2) к блочно-диагональному виду, необходимо провести ряд замен. Осуществим преобразование Y(x ,к) ^ Т(х) Z(x, к), где матрица Т(х) находится из матричного уравнения:
Г'(х) В(х) Т(х) = Л(х)
и имеет следующий вид:
Т(х) =
(Т,(х) О '
Матрицы Г/ (х) и Г? ($ определяются следующим образом.
В качестве матрицы Г? (х) берется матрица
Т2(х) =
{ Ux)
Т0(х)Л^(х) -Т0(х)А1'\х)
здесь То (х) - матрица, приводящая матрицу А„_2 (х) к диагональному виду.
Матрица Г/ (х) приводит матрицу В4(х) к жордаиовой форме и находится из матричного уравнения:
Т{'(х)В4(х)Т,(х)=Л1(х).
Здесь введены следующие обозначения:
Л(х) =
(ЛЛх)
A2(x)j
, где
А(х) =
Л(х) О
4т
Л2(х) =
Ч/2(*) о Л
О -Лї2(х)
, All\x) = diag(j^,...,jX(x))
Z(x,k).
Хз(х) Х„(х) - собственные значения матрицы А„.2 (х).
В результате преобразования получим следующую систему:
< Ф/х) Ф2(х,кр Ф3(х,к) Ф4(х),
DZ(x, к) = (к Л(х) - Г'(х) DT(x)) Z (х, к).
Перепишем систему (0.3) в виде:
(кЛЛх) О }
Z(x, к) -
DZ(x, к) =
кЛ2 (х)
(0.3)
Здесь Ф1(х) = Т]](х)ОТ1(х), Ф2(х,к) = кТ;\х)ВН2п_МТ2(х)
Ф3(х,к) = кТ2-,(х)В{Ъ,^(х)Т1(х), Ф4(х) = T2\x)DT2{x)
Осуществим второе преобразование:
Z(x,k) =
K/x,k) О
К2(х,к)_
V(x,k),
где К{(х,к) =
( 1г+клСх(х) О Л
г\л/ j
12 +к~{С2(х)
Матрица G\(x) определена следующим образом:
G2(x) = -Gx(x). Mi(x)-Mj(x)
8Jx) = 0,gl/x) = (-\y{-jJ^, 1
2-у]Л(х)
K2(x,k) = I + k''G(x), (G(x)\ =
/',(*) = -jAtM'Mn+i-ii*) = -fiiMAJ = l-,n~2.
После этого преобразования получим систему:
DV(x,k) =
Чх'к) Чп-2)\
А2(х,к)
{Р(п-2)х2
V(x,k)-
(Mt{x,k) М2(х,к)) КМ}(х,к) МА(х,к)
V(x,k).
Здесь Л\(х, к) =
Ы{х) I
О кЛ{х)
\
Лг (х, к) = кЛг (х) - diag(T2~l (x)DT2 (х)), М](х,к)^К;\х,к)Ф1(х)К1(х,к) + К;](х,к)ОК1(х,к),
М2{х,к) = АГ,"'(хД)Ф2(хД)А:2(хД), М3(х,к) = К-\х,к)<Чх*)Чх^),
М4(х,к) = К-'(х,к)Ф4(х)К2(х,к) + K2l(x,k)DK2(x,k).
Далее доказывается ряд вспомогательных лемм. Основным результатом этого параграфа является теорема 1.2, которая дает асимптотические формулы для 2п линейно-независимых решений системы (0.2). Оказывается, что асимптотические формулы для 2п - 2 решений определяются поведением собственных чисел Л}(х),...,Лп(х) и имеют вид, аналогичный известным формулам М. В. Федорюка. Асимптотическое поведение оставшихся двух решений зависит от поведения собственных чисел \ (х) и Л2 (х), полученные для них асимптотические формулы являются новыми.
Пусть для элементов матрицы А2(х) выполняется:
ап(х) = а(х)(\ + а(х)); ап(х) = а(х); ап(х) = а(х)(-\ + а(х)); a2l(x) = -а(х).
Замечание. Такой вид коэффициентов матрицы А2(х) используется для удобства и наглядности вычислений. Все теоремы, относящиеся к этому случаю, остаются справедливыми и в случае, когда матрица А2(х) имеет произвольный вид.
Обозначим:
/7, з (х, к) = к^А(х), //2 4 (х, к) = -к^Щх),
Д (х, к) = кЩх) - (Т-1 (x)DT2 (х)\, Д,+, (х, к) = -kJjJx) - (Г2-' (x)DT2 (x))n+ln+i,
/,7 = 3,..., и.
Теорема 1.2. Предположим, что выполнены следующие условия:
А(х)еС2(1);
На отрезке Інет точек поворота матрицы Ап.2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений);
3) Существует функция q (х) такая, что при ecexj
Xj (х) * cfl{x) (х -» +оо), сj * 0, сj * ck (j * k), 3
Пусть эту асимптотику можно два раза дифференцировать.
з |Zty(x)| 0 (х -> +00),
ill \q(x)\'2p2'l(x)DT2(x) -»0 (х->+оо);
4) Функции
Re(/i; (х, )), Re(//; (х, Л) ± /7, (х, к)), Щр, (х, к) ± Д. (х, к)) + -, 1
не меняют знак при х el. Если какая-либо из функций
Яе(^,(хД)-Д(хД)) + 2^-^-, \
кратность корня fij (х), неположительна при х > 0 и в то же время
несуммируема в интервале ( <х>), то после умнооюения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо;
5) juj (х, к) є 1(х0, х,) при любом конечном X/;
6) ХШ хЩ^,х^х(м2(хЛ)) (Мі(х,к% є I(x0,oo),
а (х) а (х) а (х) J
1система (0.2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —+ оо справедливы следующие асимптотические формулы:
yt(x,k)« x -ехр Щх)
y$(x,k)*±-==exp Щх)
±к)<Щі)<1і
±k]JX(i)dt
у)(х,к) = w;(x,fc)(/, (x) + ГУ±(хД)), 3<./<п, хе І,к>к0>\ \
w){x,k) = -1^cxV[±k]jrX~(t)dl- ]f;(x)Dfj(x)},
yAj(x)
f/x), / /x) - правые и левые собственные векторы матрицы А„.2(х) соответственно [11].
Пример. В качестве матрицы А2 (х) можно рассмотреть матрицу:
А2(х) =
ґр\х) + р(х) р(х) ^
-р{х) р2(х)-р(х)
; р(х) = х",а> 1.
Асимптотические формулы для решений, соответствующих кратным корням, имеют
вид:
+ —
y;(x,k)*x 2 ехр
у*(х,к)я±х 2 ехр
±k\t"dt
±k\iadt
В параграфе 1.2 мы рассматриваем систему (0.1), состоящую из п уравнений, матрица An (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + со.
После ряда преобразований система (0.1) сводится к новой системе, к которой мы можем применить теорему Рапопорта. Обозначим:
Д. (х ,к) = * Д(х) - (т2-] (x)DT2 (x)l, Д,+, (*,*) = -ЛгдДДх) - (г;1 (х) DT2 (д)Ц,+,., /,У = 3,..., я.
Л&)- собственные числа матрицы Ло(Зс).
В качестве матрицы Тг (х) берется матрица
ВД =
Ux)
( ВД
1/2,
{Т0(х)А'>\х) -Т0(х)Л1'\х)
здесь То (х) - матрица, приводящая матрицу Л „.2 (х) к диагональному виду,
Ло/2(х) = diagyAi(x),...,JAn(x)) Матрица Г/ (х) приводит матрицу В4(х) к жордановой форме, находится из
матричного уравнения:
^Цх)
Лх(х)
ТГ'(х) В4(х) Т,(х) = Л,(х),
^0 10 0
0 0 ^Л2(х) 0
0 0 о
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) Для элементов матрицы А2(х) выполняется:
ац(х)а22(х) = аі2(х)сі2і(х). Тогда собственные числа матрицы А2(х) имеют следующий вид:
Яі(х) = 0, X 2(х) = а(х) = ац(х) + сі22(х);
А(х)єС2(І);
I la отрезке I нет точек поворота матрицы А„.2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений);
4) Существует функция q (х) такая, что при всех/
Xj (х) * Cjq{x) (х -> +оо), сj * О, сj * ск (у ф к), 3
|lty(x)||#(x)|~2 -» 0 (х -» +оо),
|^(х)|"2ІГ2ч(х)ОГ2(х) ->0 (х->+оо);
5) Функции
Re( Д (х, к)), Re(//j (х, к) + Д (х, к)), Re( Д (х, Л) ± Д (хД)) + -, 1 < у, / < п
не меняют знак при х в/. Если какая-либо из функций
Ке(Д(хД)-Д.(хД)) + -^А 1<У,/<я, \ кратность корня Д (х), неположительна при х > 0 и в то же время несуммируема в интервале (Хо, оо), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо; 6) Д(хД) є Z,(x0,X|) при любом конечном х/; 7) хЩ,х*Ш,хЩх№х^^^ л/фо 4Ф) аЧх) аНх) ацх)а^ \ а(х) —> 0 при х —» оо. Основной теоремой этого параграфа является следующая: Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1) - 7). Тогда система (0.2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —* со справедливы следующие асимптотические формулы: Я (хД) *х-2—, у, (x,k) *-—, ^(хД)«± 4/аді + k]^X2(l)dt у){х,к) = w*(x,k)(fj(x) + k-l w*(x,k) = -^exV[±k]jlWdt-]f;(x)Dfl(x)], уЯДх) х„ х„ f/x), f j(x) - правые и левые собственные векторы матрицы А„.2(х) соответственно [11]. Пример. В качестве матрицы /Ь (х) можно рассмотреть следующие: \.А2(х) ге2х-е'х еЛ \-e~ix е'х ; Л,(х) = 0;Л2(х) = е . В данном случае будем иметь: УІ (х,к) * хе~х, у; (х, к) *е~х, у2(х,к)*±ехр ±k\e'dt--x х.. 2 2. Л2(Х): I Y2a — Г~У v'1""^ Л Л Л ; 2,(х) = 0;Л2(х) = х ,а >\,у>0,а + у>\ Здесь получим: tfOU)**1-^, y-x{x,k)*x-{ia*r\ УІ(х,к)*±х 2exp ±k]t"dt Во второй главе нашей диссертации мы рассматриваем уравнение для парциальных волн, играющее существенную роль в теории потенциального рассеяния и выясняем асимптотическое поведение решений этого уравнения и их аналитические свойства. Теория потенциального рассеяния, являющаяся важнейшей проблемой квантовой механики, лежит в основе описания и интерпретации процессов рассеяния элементарных частиц, ядер, атомов, молекул при высоких и низких энергиях. Развитие теории потенциального рассеяния существенным образом опирается на основополагающие исследования советской математической школы, среди которых следует особенно отметить работы Л. Д. Фаддеева [35], И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [17], В. М Марченко [21] и многих других. В квантовой механике существуют, грубо говоря, всего лишь две задачи: прямая и обратная. Прямая задача - это нахождение волновой функции как решения уравнения Шредингера при заданном потенциале взаимодействия. Волновой функцией определяются все наблюдаемые свойства исследуемой системы. Обратная же задача заключается в восстановлении потенциала по данным рассеяния, извлекаемым из эксперимента. С появлением уравнения Шредингера необычайно расширилось физическое содержание математических понятий, связанных со спектрами дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Уравнениями этого типа, которые раньше применялись только для анализа механических колебаний, теперь стало возможным пользоваться и для описания атомов и молекул. Первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения конкретных численных расчетов для ядерной физики, а изучение общей теории матрицы рассеяния можно назвать статью Иоста [13]. В ней впервые были введены так называемые функции Иоста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии теории. Далее свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмапа [2, 3], затем начался быстрый рост числа работ, посвященных рассматриваемой проблеме. В 1957 г. Кури установил аналитические свойства полной амплитуды рассеяния. Результаты Кури были затем вновь получены в 1958-59 г.г. более изящными способами рядом других авторов. Большой вклад в дальнейшее развитие теории внесли Мандельстам [19], Мартин [20], Боукок [4], Бланксбеклер, Шараи и Фубини, Альфаро и Редже [7]. В работах этих авторов рассматриваются по большей части потенциалы, представимые в виде суперпозиции потенциалов Юкавы, имеющие некоторое правильное поведение (так называемые юкавские потенциалы). По сути дела, эти потенциалы являются преобразованием Лапласа некоторой (обобщенной) функции, их особенностью является то, что они могут быть определены для комплексных X. В [7] рассматриваются потенциалы, удовлетворяющие следующим условиям: 1) V(x) непрерывна, 2) \\V(x)\k = М(с)<оо, с>0, с а 3) \x\V(x)\k = N{a) При этом сна могут принимать произвольные значения (с, а > 0). Потенциалы, для которых выполняются эти условия, будем называть регулярными, а не удовлетворяющие им - сингулярными. Условия 2) и 3) являются слишком жесткими, они означают, что потенциал должен иметь некоторое правильное поведение в нуле и на бесконечности. Эти условия не выполняются, например, для кулоновского потенциала V(x) = и потенциала с непроницаемой сердцевиной. Хотя именно эти два потенциала наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных процессов. Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо разработана, и обратная задача тоже решена. Также хорошо изучен случай для потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского. Ирсдацци и Редже [26] сумели исследовать ситуацию для потенциала V(x), ведущего при х —* 0 как —+ —. Лимич и Жакшич рассмотрели более широкий класс потенциалов, х х аналитических при х = Re z > 0. Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли. В этой задаче V(x) - но существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т. е. V(x) = со для х < R, где R - радиус Земли. В книге Сабатье и Шадана [42] рассмотрены короткодействующие- потенциалы, сингулярные вблизи начала координат и осциллирующие таким образом, что если ввести функцию W(r) = -\V{l)dt, то она будет удовлетворять условиям: W(r) є L1 (0,оо) , \\mrlV(r) = 0. r-»0 Т. е., хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция W(r) была «хорошей». Например, W(r) = r-ae-"rSin ехр-V г) ,а<\. Мы же исследуем уравнение для парциальных волн с потенциалом V (х), для которого кроме условий 1) и 3), выполняется следующее: 4) jV(x)dx сходится условно, 5) |Д*)| = jV(t) dt < а(х), где а(х) - убывающая функция, 6) ]а(/)<#єі'(0,оо). (0.5) Рассмотрим уравнение для парциальных волн: Для удобства дальнейшего исследования этого уравнения вместо / введем число Я = 1+1/2, после чего (0.5) перепишется в виде: V'(x) + Г-±±-у(х) V(x) = 0, (0.6) четное относительно Д. В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (0.6) с граничными условиями при х = 0. Для доказательства существования решения <р (Х,к,х) и его аналитичности по X мы рассматриваем два интегральных уравнения: <р(Л,к,х) = хл+т+~\ І-) J, /2 -V(t)](p(X,k,4)dt, дср(Л,к,х) _ л+112 V fr-Y + х'-'Чпх—Ц-f і 22' + ±)fit[k2-V(?>] + J) хф2-У(ї)}<р(Л,к,№ Kx) yt; \n?-(p(X,k,%) + x Вводя формальные итерационные разложения для этих уравнений, мы доказываем их сходимость. Результат сформулирован в виде теоремы: Теорема 2.1. Функция (р (К, к, х) является целой функцией к" в каждой ограниченной области комплексной к - тоскости и аналитической функцией X в области Re X = ц > 0. Во втором параграфе исследуется уравнение (0.6) с граничными условиями при х = оо. Здесь рассматриваются следующие интегральные уравнения: /(Л,к,х) = /0(Л,к,х) + + )тЯ,и,у/1М^ + ШЫ1/(ЛХу)]АМ с1у, (0.7, ; су ду + А(х)ДЛ,к,х) + 8/{Л,к,х) _д/„(Л,к,х) дх дх дВ(Л,к,х,у) д/(Л,к,у) д2В(Л,к,х,у) + - дх ду ДЛ,к,у)]А(у)с1у. (0.8) Где ІПЛ,к,х)\,(х>0 =.Ш,к,х) = ^ е^'2^І2Чі[2\кх), \ ^ J fi) /// ' - функция Ганкеля II рода, В(Л, к, х,у) = —[/0(Я, к, y)f0 (Л,-к, x)-f0(A,k, x)f0 (Я-к, у)], 2к А(у)= \V{t)dt Далее снова вводятся в рассмотрение формальные итерационные ряды и с помощью ряда оценок по индукции доказываются оценки сверху для этих рядов: \ДЛХх)\<2\.ШХх)\< я-0 < с\к\х ^,+Ш Ч1 + ИХУ и=0 Ґ2\к\ + \у\Сїа{У)СІУ \" я=0 ca(x)ja(y)dy У ' c\k\x ' 4l + №/ e** exp 2Ш + 1 > Г -|аО>)ф exp т-«(х)|п(у)ф Для ряда, составленного из производных, получена более грубая оценка: д/(Л,к,х) «-о д/„(А,к,х) с\к\х ,Л.ї ч-|//| + І/2 f ( Vі Wy Ж+l \a(y)dy + \\ a(x) + 2\k\ + \ 2Ш + Г тут- exp rrr aM [яООФ I + с -Lfrp- Ja(y)dy exp —r-p- с \a(y)dy \k\ Щ x A rl ж v n * )) Таким образом, справедлива Теорема 2.2. Функция f (X, k, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области b=Im к< 0. В последнем параграфе второй главы рассматриваются примеры потенциалов, удовлетворяющих нашим условиям I), 3) и 4) - 6): V{x) = Sinex; V(x) = xaSinx V > 0, /? > a + 2. Затем мы вводим в рассмотрение функцию Иоста и S-матрицу: fti іл ur f(A,k) = W{f, ох ох S(z,k)=J^e<xJLiw=e^, f(A-k) F(A-k) где S (X, к) называется сдвигом фазы. Основная теорема этого параграфа формулируется следующим образом: Теорема 2.5. Функция/(X, к), рассматриваемая как функция двух переменных X и к, является апаяитической в прямом произведении областей Imk< 0 и Re X > 0. Свойства S (X, к) непосредственно следуют из свойств/(Я к). Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на 2 и 3 параграфа соответственно и списка литературы из 47 названий. Каждый параграф диссертации содержит двойную нумерацию, в которой первый номер указывает на нОхМер главы, а второй - на номер леммы или теоремы в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются в диссертации формулы. В диссертации используются стандартные обозначения. Символом с, с индексами или без, обозначаются положительные постоянные, конкретные значения которых безразличны. Для обозначения единичной матрицы используется буква /, для нулевой матрицы буква О. В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Султанаеву Я. Т. за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе. Первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения конкретных численных расчетов для ядерной физики, а изучение общей теории матрицы рассеяния можно назвать статью Иоста [13]. В ней впервые были введены так называемые функции Иоста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии теории. Далее свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмапа [2, 3], затем начался быстрый рост числа работ, посвященных рассматриваемой проблеме. В 1957 г. Кури установил аналитические свойства полной амплитуды рассеяния. Результаты Кури были затем вновь получены в 1958-59 г.г. более изящными способами рядом других авторов. Большой вклад в дальнейшее развитие теории внесли Мандельстам [19], Мартин [20], Боукок [4], Бланксбеклер, Шараи и Фубини, Альфаро и Редже [7]. В работах этих авторов рассматриваются по большей части потенциалы, представимые в виде суперпозиции потенциалов Юкавы, имеющие некоторое правильное поведение (так называемые юкавские потенциалы). По сути дела, эти потенциалы являются преобразованием Лапласа некоторой (обобщенной) функции, их особенностью является то, что они могут быть определены для комплексных X. В [7] рассматриваются потенциалы, удовлетворяющие следующим условиям: 1) V(x) непрерывна, При этом сна могут принимать произвольные значения (с, а 0). Потенциалы, для которых выполняются эти условия, будем называть регулярными, а не удовлетворяющие им - сингулярными. Условия 2) и 3) являются слишком жесткими, они означают, что потенциал должен иметь некоторое правильное поведение в нуле и на бесконечности. Эти условия не выполняются, например, для кулоновского потенциала V(x) = и потенциала с непроницаемой сердцевиной. Хотя именно эти два потенциала наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных процессов. Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо разработана, и обратная задача тоже решена. Также хорошо изучен случай для потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского. Ирсдацци и Редже [26] сумели исследовать ситуацию для потенциала V(x), ведущего при х — 0 как —+ —. Лимич и Жакшич рассмотрели более широкий класс потенциалов, х х аналитических при х = Re z 0. Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли. В этой задаче V(x) - но существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т. е. V(x) = со для х R, где R - радиус Земли. В книге Сабатье и Шадана [42] рассмотрены короткодействующие- потенциалы, сингулярные вблизи начала координат и осциллирующие таким образом, что если ввести функцию то она будет удовлетворять условиям: W(r) є L1 (0,ОО) , \\mrlV(r) = 0. Т. е., хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция W(r) была «хорошей». Например, Мы же исследуем уравнение для парциальных волн с потенциалом V (х), для которого кроме условий 1) и 3), выполняется следующее: Для удобства дальнейшего исследования этого уравнения вместо / введем число Я = 1+1/2, после чего (0.5) перепишется в виде: четное относительно Д. В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (0.6) с граничными условиями при х = 0. Для доказательства аналитичности f(X, к, х) относительно достаточно показать, что каждый член f„(X, к, х) является аналитической функцией к или же, что последовательность производных по к также сводится равномерно и непрерывна по к. Можно, очевидно, вывести свойства / (X, к, х) как функции к или X, исходя из свойств р (X, к, х) (решение уравнения (2.2) при х = 0) как функции X и к, не рассматривая еще одно интегральное уравнение [7]. Так как р (Я, к, х) является аналитической по X при \х 0, следовательно/(Я, к, х) является аналитической функцией к в области Ъ 0. Итак, справедлива следующая Теорема 2.2. Функция f (X, к, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области Ъ 0. Пусть теперь b = Im к 0, тогда все сказанное выше остается справедливым, если выполняется условие: ja(t)e2hl dt є L] (0,oo). И оценки для итерационных рядов принимают вид: При х = со снова введем формальные итерационные разложения аналогично (2.13) и (2.14) и установим оценку сверху для членов этих итерационных разложений при Ъ 0: При х = 0 анализ уравнения (2.23) полностью соответствует общему случаю. 2. V(x) = xaSinxfi,aZ0,fi a + 2. В этом случае уравнение (2.11) имеет вид: Очевидно, что члены итерационных рядов мажорируются соответствующими членами разложения экспоненты и, следовательно, эти ряды сходятся при b = Im к О, р а + 2. Таким образом, мы доказали существование решения уравнения (2.2) с принятыми граничными условиями (2.3). При х = 0 анализ уравнения (2.23) также полностью соответствует общему случаю. Фукция Иоста и S-матрица Так как вронскиан каждой пары решений уравнения (2.2) не зависит от л;, можно ввести функцию: она называется функцией Иоста, поскольку незначительно отличается от соответствующей функции, введенной им для S-волн [13]. Функция Иоста может быть явно вычислена при V (х) = 0: Для дальнейшего удобно ввести нормированную функцию Иоста: которая равна единице при V (х) = 0. Функции f (±Х, ±к) полностью определяют связь между решениями с граничными условиями при х = 0 и решениями с граничными условиями при х - со. Значения функций Иоста не независимы, поскольку они удовлетворяют тождеству: А катализаторы с двумя активными центрами на атоме цинка, доступными для координации эпоксида, могут иметь одновременно два скоординированных эпоксида, и в этом случае, последовательное раскрытие эпоксидного кольца приводит к эфирным связям, что составляет конкуренцию координации СС . Coates и сотрудники сравнительно недавно разработали растворимый цинковый катализатор - Р N дииминат цинка (6), с хелатными р-дииминатными ZnOMe лигаНдами _ имеющий беспрецедентную активность достигнута в мягких условиях при давлении всего лишь 6,8 атм СОг и при 50С за 2 часа. Другой особенностью этого катализатора является его способность генерировать полимер с замечательно низкой полидисперсностью близкой к 1.1. Узкая полидисперсность объясняется быстрым инициированием и отсутствием передачи цепи или обрыва в течение полимеризации, вследствие преимуществ, вытекающих из гомогенного катализа. В 1999 году, Nozaki и сотрудники сообщили о первой успешной ассиметричной сополимеризации СОг и циклогексеноксида с использованием катализатора, который является производным от Ph диэтилцинка и хирального аминоспирта (7) [88] (структура Coatcs и сотрудники немедленно сообщили о системе для ассиметричного катализа даже с большей активностью и селективностью [89]. Попытки модифицировать упомянутый ранее Р-дииминатный катализатор (6) синтезом бж оксазолиновой системы с С 2 симметрией (вращение относительно оси второго порядка) - не привели к сколь-нибудь активному катализатору. Однако, синтез гибридного имин-оксазолинового лиганда, сделал возможным получение активного асимметричного катализатора (8). В дальнейшем, при изменении заместителей в оксазолиновой группе (R ), иминной группе (R ) и N-фенильиой группе (R3) был обнаружен оптимальный катализатор, который дал до 76% Непреднамеренно, усилия Nozaki и сотрудников в разработке асимметричного катализатора привели к интересному спектроскопическому открытию. Предыдущие разработки в области асимметричного катализа показали, что карбонильный углерод в изотактической и синдиотактической диадах в полициклогексенкарбонате проявляется при различных химических сдвигах в 13С ЯМР-спектрах. Эти изотактические и синдиотактические пики были идентифицированы использованием диастереомеров 2,2 -оксидициклогексанола, как модельных соединений [80]. Распределение ,3С ЯМ? пиков основанное на этих моделях принималось в литературе, и как результат, считалось, что полициклогексенкарбопат на определенных катализаторах получается преимущественно синдиотактическим [82]. Когда Nozaki и сотрудники впервые синтезировали асимметричный сополимер, 3С ЯМР-спектр показал, что сополимер был синдиотактическим, если предыдущие сообщения о соответствии пиков были правильными [88]. Однако полимер с высокой степенью оптической чистоты не мог быть синдиотактическим, поскольку это требовало бы от соседних звеньев противоположной хиралыюсти {Рис. 2.2.3.). В результате, Nozaki провел более полное исследование с лучшими модельными соединениями и обнаружил что, ранее принимаемое распределение пиков необходимо обратить [90]. Таким образом, энантиомерно богатый сополимер является изотактическим. Ароматические поликарбонаты являются хорошо известными термопластами, которые нашли разнообразное применение в промышленности. Алифатические поликарбонаты являются относительно новыми термопластами. Они могут использоваться для улучшения переработки полиолефинов, снижения усадки каландрированного полипропилена [99-101], для улучшения механических свойств бутадиен-стирольных резин [102] и для образования композиций с другими полимерами [103]. Они также имеют хороший потенциал в качестве биодеградируемых и биосовместимых материалов. Исследуется возможность их использования в тканевых имплантантах [104], в качестве матрицы для доставки лекарств в организм, упаковочной пленки и медицинских швов. В таблице 2.3.1. приведены свойства и области применения, наиболее интересного с промышленной точки зрения, полипропиленкарбоната. Наиболее перспективной областью применения этого полимера является производство упаковочных материалов, поскольку полимер обладает, помимо всех необходимых для этого свойств, биоде град иру ем остью и экологически безопасен. Взаимосвязь между характеристической вязкостью полипропиленкарбоната и среднечисловым молекулярным весом при 35С в бензоле выражается уравнением [105]: В настоящее время для определения молекулярно-массовых характеристик в основном применяют гель-проникающую хроматографию, используя в качестве сравнения полистирольный стандарт. Гидролиз полиалки лен карбонатов протекает достаточно легко, особенно в щелочных условиях [15]. Деградация полиалкиленкарбонатов может протекать на цинкорганических катализаторах и гидроксисодержащими веществами (вода, спирты) при температуре порядка 100С [106]. Данных о физических свойствах алифатических поликарбонатов, покрывающих широкий диапазон полимеров, немного [99]. В наиболее современных публикациях [107, 108], касающихся исследований физических свойств, рассматриваются термические, механические и реологические свойства. Полипропиленкарбонат, полипентенкарбонат, полигексенкарбонат, поли октен карбонат, полициклогексенкарбонат являются полностью аморфными [108]. Предположительно, это связано с используемыми каталитическими системами, которые генерируют химические микродефекты и препятствуют кристаллизации. Примерами, таких микродефектов являются эфирные фрагменты, образующиеся в течение сополимеризации из-за гомополимеризации алкиленоксидов. Термические свойства. Известно, что температура стеклования и температура начала разложения, увеличиваются с увеличением молекулярной массы полимеров. Это можно видеть на примере ППК (Табл. 2.3.2.). Наиболее стабильные результаты измерения температуры стеклования (Тсгскл) получают для образцов с числовыми молекулярными массами около 100 тысяч. Большинство каталитических систем генерируют полимер с молекулярной массой близкой к этому значению. Кроме того, строго чередующаяся структура полимера играет решающую роль в термической стабильности полимера [107]. Наличие большого количества эфирных включений значительно снижает температуры стеклования и разложения за счет нарушения упаковки полимера. Температура стеклования уменьшается также и с увеличением длины боковой цепи, если прослеживать ряд гомологов, начиная с полиэтиленкарбоната (за исключением полипропиленкарбоната). Поскольку главные цепи полимеров являются полярными, то наличие длинных подвижных неполярных боковых цепей понижает температуру стеклования, поскольку последние раздвигают главные цепи полимера, снижая величину диполярных взаимодействий между главными цепями. Также возможно, что количество диполярных взаимодействий на единицу объема снижается вследствие увеличения углеводородной доли в полимерах по отношению к полярной доле. Так температура стеклования понижается от +10С для полиэтиленкарбоната до —17С для полиоктен карбоната. Данный процесс аналогичен внутренней пластификации. Температура стеклования увеличивается с увеличением жесткости цепи. Поэтому полициклогексенкарбонат с жестким кольцом циклогексена, являющимся частью основной цепи, имеет очень высокую температуру стеклования Tg=105C (Mw=33800). Боковая -СНз группа полипропилен карбоната делает цепь более жесткой, чем в полиэтиленкарбонате, что и обуславливает более высокую температуру стеклования (+28С для Mw=28900).
ап(х) а,,(х)
Л Л Л
ах хАсимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений
Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения
Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х ~ од
Примеры. Функция Иоста и S-матрица
Похожие диссертации на Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами
