Содержание к диссертации
Введение
1 Спектральная задача с сильно неоднородной плотностью для оператора Лапласа 24.
1.1 Постановка задачи для оператора Лапласа 24
1.2 Случай0<т<2 26
1.3 Случай m > 2 44
1.4 Случай т ~ 2 55
2 Спектральная задача с сильно неоднородной плотностью для системы теории упругости 69
2.1 Постановка задачи для системы теории упругости 69
2.2 Случай 0<т< 2 70
2.3 Случай т > 2 81
2.4 Случай т~ 2 88
Библиография 100
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена вопросам предельного поведения спектров краевых задач с быстро меняющимся типом граничных условий в областях с большим количеством концентрированных масс, расположенных непериодически вдоль границы области:
Задачи усреднения нередко возникают в теории упругости, гидродинамике, теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации,. теории дисперсионных сред и других разделах физики и механики. Они состоят в том, чтобы построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, для этого удобнее перейти от микроскопического описания этой среды к макроскопическому, т.е. рассматривать усредненные характеристики такой среды.
Непосредственное численное решение большинства таких задач затруднительно даже на современном уровне развития ЭВМ, поскольку требуется построить разностную схему с очень мелкой сеткой. Усредненные уравнения позволяют с большой точностью определить эффективные характеристики первоначальной среды, что обеспечивается близостью решений соответствующих краевых задач для исходного и усредненного уравнений. Численное решение усредненной задачи существенно менее трудоемко, чем исходной. Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными, было начато в 70-х годах XX века. Отметим, что отдельные задачи усреднения рассматривались классиками естествознания Пуассоном, Максвеллом, Рэлеем еще в XIX веке.
В настоящее время теория усреднения представляет собой бурно развивающуюся область научных исследований, имеющую широкие приложения в физике и технике, развитие которой во многом определяется именно самими постановками физических задач. В книге [64] А. Бен-суссана, С. Л. Лионса и Дж. Папаниколау подведен итог обширных исследований по усреднению дифференциальных уравнений и систем с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. Теория
усреднения эллиптических и параболических операторов, систем теории упругости с периодическими, почти-периодическими и случайными коэффициентами была построена в работах В. В. Жикова, С. М. Козлова, О. А. Олейник.В их книге [30] приведена подробная библиография по вопросам усреднения и G — сходимости операторов. Вопрос усреднения решений краевых задач в перфорированных областях или областях с мелкозернистой границей впервые был подвергнут детальному исследованию в 60-е годы В. А. Марченко и Е. Я. Хруеловым (см. [36]). Метод двухмасштабных разложений для большого класса задач усреднения был впервые применен в работах Н. С. Бахвалова (см. [5],[6], а также [7]). Множество задач с сингулярными возмущениями также было изучено Э. Санчес - Паленсией (см. [100]): Вопросы усреднения собственных значений и собственных функций краевых задач для эллиптических уравнений и систем теории упругости в пористых и сильно неоднородных областях рассматривались в работах О: А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А, С. Шамаева (см.[48]).
Изучением различных колебательных систем с сильно неоднородной плотностью ранее занимались многие исследователи, поскольку широкий круг вопросов механики сплошной среды тесно связан с такими задачами.
Еще в 1913 году академик А. Н. Крылов в своей книге [33] рассматривает задачу о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами (подобная задача также изучена СП. Тимошенко в [55]). Его результаты нашли широкое применение в механике, например, в книге показано как к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих" клапанов и т. д. Много задач такого рода обязаны своим возникновением развитию самолетостроения. В [56] авторы отмечают, что изучение вопросов устойчивости вибраций крыльев летательных аппаратов сводится к задаче вычисления собственных частот колебаний балки переменного сечения, нагруженной сосредоточенными массами (моторами). Аналогичная задача также возникает при расчете колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и самоиндукциями.
В книге [15] Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна изучаются спектральные свойства одномерных колебательных систем — бесконечных струн и стержней. Авторы проводят анализ нагруженных интегральных операторов и исследуют поведение собственных частот.
Вначале авторы рассматривали предельное поведение задач при стремлении дополнительной массы М к нулю или бесконечности. Построенные модели, однако, обладали общим недостатком: закрепление дополнительной массы М предполагалось точечным, к плотности системы добавлялся член М6(х), где 6(х) обозначает 8— функцию Дирака, т.е. не учитывались размеры того множества, где фактически была сосредоточена масса..
Исправить этот существенный недостаток удалось в конце 70-х годов французскому математику Э. Санчес- Паленсии (см. [100]). Методами возмущения спектра операторов он рассмотрел задачу, где присоединенная к системе масса была сконцентрирована в є —окрестности внутренней точки (є— малый параметр, описывающий концентрацию массы).
Другой подход к подобным задачам был выработан академиком О. А.. Олейник в серии своих работ [44] — [47], [91]. Обоснование модели Олейник - Санчес-Паленсии, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с локальными присоединенными массами сделал Ю. Д. Головатый (см.[17]).
Из результатов, полученных Э. Санчес-Паленсией и О. А- Олейник, вытекает, что первые N собственных частот изученных ими колебательных систем можно сделать сколь угодно малыми, если присоединить относительно большую концентрированную массу, при этом несущественно, концентрируется ли масса во внутренней точке или концевой. Характер поведения собственных частот этих систем зависит от способа сосредоточения массы. Полученный эффект подтверждается экспериментально: "... добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение формы колебаний ...." (см. [62]). Все это может быть использовано, например, для приложений в теории резонанса.
Опишем данную модель в наиболее общей постановке. Пусть колебания механической системы в области ІЇ С Rd происходят по закону
д2и д
< u{Q,x) = uQ(x), ^у
ut(0,x) = иг(х),
Qw(x, «-)«(*,х) = 0,. (t,x)eM+xdn, j = 1,...,/,.
ь (jib
где u(t, x) — смещение точки x fi относительно положения равновесия
в момент времени t, Pt Q*J\ j = 1,..., I — дифференциальные операторы, р{х) — плотность распределения масс, а функции щ(х),щ(х) заданы. Представляя решение (1) в виде u(t,x) = v(x)eiy^t1 получим
Р(х, -^-)v(x) + Ар(х) v(x) — 0, х EQ,
QU){x,—)v(x)=Q, xedtt, ^ = 1,..., г. ох
За неоднородность плотности колебательной системы отвечает функция-
Р(х) = Рп(^) + Рв(х) Хв{х), где рп(х) > 0 в S1— плотность колебательной системы, а плотность включений Б (концентрированных масс) рв{х) > 0 в В, хв{я) — характеристическая функция множества В.
Введение малого параметра возмущения задачи производится следующим образом. Естественно предполагать, что отношение объемов В и Q есть малый параметр є —* 0, а отношение средних значений плотностей - большой, т.е.
(mesB'1) f рв(х)<іх
в—__ = є~т, т ЄМ+.
{mesbi ) f pfi{x) ax
Таким образом, ставится задача изучения влияния сосредоточенной массы на спектр колебательной системы при различных значениях параметра т.
Можно перечислить целый ряд результатов, полученных в рамках данной модели. Не претендуя на полноту, отметим некоторые из них.
В [ 100] Э. Санчес - Паленсия рассмотрел эту задачу в случае, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле и d = т = 3. В работах О. А. Олейник и ее учеников [46] — [48] это сделано для всех mud.
В [24] авторы исследовали случай одной концентрированной массы для Р = ^ с граничным условием Дирихле и d = 1. В случае конечного числа концентрированных масс это работа была проделана О. А. Олейник и Т. С. Соболевой в [49].
В работах Н. О. Бабича [1] — [4] изучена асимптотика собственных элементов задачи для стержня с одной концентрированной мас-
сой. В [2] рассматривается феномен глобальных колебаний для собственных функций с большими номерами с помощью техники ВКБ-разложений.
В работе Ю. Д. Головатого и И. А. Головача [22] впервые дана полная двухмасштабная асимптотика глобальных колебаний струны с граничным условием Дирихле.
Задача о колебаниях упругого стержня и упругой пластинки с концентрированными массами изучена в работах Ю. Д. Головатого [18] — [19], [69]j [70]. Эффект локальных колебаний систем с присоединенными массами изучен им в [21]. Другими методами подобные задачи были изучены в [73], [74].
Колебания мембраны с концентрированной массой было различными методами рассмотрено в работах [75], [94], [95].
Задача для бигармонического оператора с граничным условием Дирихле и плотностью, возмущенной в окрестности гладкой замкнутой кривой, лежащей внутри области, рассмотрена в [23]. Случай граничного условия Неймана был изучен в [34].
В работах Ю. Д. Головатого и В. М. Флюда [16] и [71] найдено асимптотическое разложение решения уравнения колебаний струны со стандартным возмущением плотности при т < 2.
Случай, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Неймана разобран в [20]; Другими методами эта задача была рассмотрена С. А. Назаровым в [90], [40] в случае d = 3.
В [51 ] Н. У. Рахманов исследовал первую и третью краевые задачи для оператора Лапласа (d > 2) в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс.
Ю. Д. Головатым, С. А. Назаровым и О. А. Олейник в [25] и [26] были найдены асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа.
Случай, когда Р — оператор системы теории упругости, рассмотрен в [27], [96], [97].
В несколько другой постановке аналогичные задачи были рассмотрены в [94], [98], [99].
Следует заметить, однако, что сфера применения этой модели еще существенно ограничена, поскольку закон колебания груза или уплотнения не обязан описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы.
Значительное число работ было посвящено задачам с большим количеством периодически расположенных концентрированных масс, см. [57], [63]^ [72], [77] - [85]. В работе [57] также дается оценка скорости сходимости собственных значений такой задачи.
Задачи с концентрированными массами в областях с тонкими отростками, со стержнями и другими возмущениями были подробно изучены в работах Т. А. Мельника и С. А. Назарова [37] — [39], [86] — [89], а также [42].
К задачам с концентрированными массами на границе области тесно примыкают задачи с частой сменой граничных условий. Это краевые задачи в областях, некоторое подмножество границы.которых состоит из большого числа непересекающихся частей, зависящих от одного или нескольких малых параметров. Как правило, при стремлении параметров к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю. На этом выделенном подмножестве ставится краевое условие одного типа, а на остальной части границы — другого, и рассматривается предельное поведение решений данной краевой задачи при стремлении малых параметров к нулю. Усреднению задач такого рода посвящено огромное количество работ. Вопросы построения асимптотических разложений решений и собственных элементов эллиптических задач с частой сменой граничных условий Дирихле, Неймана или третьего краевого условия изучены в [8] — [14], [61]. Случай, когда подмножество границы имеет периодическую либо локально-периодическую структуру изучен также в работах [60], [67], [68], [92], [93]. Непериодический случай рассмотрен в [9], [29], [58], [59], [66].
Случай0<т<2
Настоящая диссертация посвящена вопросам предельного поведения спектров краевых задач с быстро меняющимся типом граничных условий в областях с большим количеством концентрированных масс, расположенных непериодически вдоль границы области: Задачи усреднения нередко возникают в теории упругости, гидродинамике, теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации,. теории дисперсионных сред и других разделах физики и механики. Они состоят в том, чтобы построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, для этого удобнее перейти от микроскопического описания этой среды к макроскопическому, т.е. рассматривать усредненные характеристики такой среды. Непосредственное численное решение большинства таких задач затруднительно даже на современном уровне развития ЭВМ, поскольку требуется построить разностную схему с очень мелкой сеткой. Усредненные уравнения позволяют с большой точностью определить эффективные характеристики первоначальной среды, что обеспечивается близостью решений соответствующих краевых задач для исходного и усредненного уравнений. Численное решение усредненной задачи существенно менее трудоемко, чем исходной. Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными, было начато в 70-х годах XX века. Отметим, что отдельные задачи усреднения рассматривались классиками естествознания Пуассоном, Максвеллом, Рэлеем еще в XIX веке. В настоящее время теория усреднения представляет собой бурно развивающуюся область научных исследований, имеющую широкие приложения в физике и технике, развитие которой во многом определяется именно самими постановками физических задач. В книге [64] А. Бен-суссана, С. Л. Лионса и Дж. Папаниколау подведен итог обширных исследований по усреднению дифференциальных уравнений и систем с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. Теория усреднения эллиптических и параболических операторов, систем теории упругости с периодическими, почти-периодическими и случайными коэффициентами была построена в работах В. В. Жикова, С. М. Козлова, О. А. Олейник.В их книге [30] приведена подробная библиография по вопросам усреднения и G — сходимости операторов. Вопрос усреднения решений краевых задач в перфорированных областях или областях с мелкозернистой границей впервые был подвергнут детальному исследованию в 60-е годы В. А. Марченко и Е. Я. Хруеловым (см. [36]). Метод двухмасштабных разложений для большого класса задач усреднения был впервые применен в работах Н. С. Бахвалова (см. [5],[6], а также [7]). Множество задач с сингулярными возмущениями также было изучено Э. Санчес - Паленсией (см. [100]):
Вопросы усреднения собственных значений и собственных функций краевых задач для эллиптических уравнений и систем теории упругости в пористых и сильно неоднородных областях рассматривались в работах О: А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А, С. Шамаева (см.[48]). Изучением различных колебательных систем с сильно неоднородной плотностью ранее занимались многие исследователи, поскольку широкий круг вопросов механики сплошной среды тесно связан с такими задачами. Еще в 1913 году академик А. Н. Крылов в своей книге [33] рассматривает задачу о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами (подобная задача также изучена СП. Тимошенко в [55]). Его результаты нашли широкое применение в механике, например, в книге показано как к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих" клапанов и т. д. Много задач такого рода обязаны своим возникновением развитию самолетостроения. В [56] авторы отмечают, что изучение вопросов устойчивости вибраций крыльев летательных аппаратов сводится к задаче вычисления собственных частот колебаний балки переменного сечения, нагруженной сосредоточенными массами (моторами). Аналогичная задача также возникает при расчете колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и самоиндукциями. В книге [15] Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна изучаются спектральные свойства одномерных колебательных систем — бесконечных струн и стержней. Авторы проводят анализ нагруженных интегральных операторов и исследуют поведение собственных частот. Вначале авторы рассматривали предельное поведение задач при стремлении дополнительной массы М к нулю или бесконечности. Построенные модели, однако, обладали общим недостатком: закрепление дополнительной массы М предполагалось точечным, к плотности системы добавлялся член М6(х), где 6(х) обозначает 8— функцию Дирака, т.е. не учитывались размеры того множества, где фактически была сосредоточена масса.. Исправить этот существенный недостаток удалось в конце 70-х годов французскому математику Э. Санчес- Паленсии (см. [100]). Методами возмущения спектра операторов он рассмотрел задачу, где присоединенная к системе масса была сконцентрирована в є —окрестности внутренней точки (є— малый параметр, описывающий концентрацию массы). Другой подход к подобным задачам был выработан академиком О. А.. Олейник в серии своих работ [44] — [47], [91]. Обоснование модели Олейник - Санчес-Паленсии, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с локальными присоединенными массами сделал Ю. Д. Головатый (см.[17]). Из результатов, полученных Э. Санчес-Паленсией и О. А- Олейник, вытекает, что первые N собственных частот изученных ими колебательных систем можно сделать сколь угодно малыми, если присоединить относительно большую концентрированную массу, при этом несущественно, концентрируется ли масса во внутренней точке или концевой. Характер поведения собственных частот этих систем зависит от способа сосредоточения массы. Полученный эффект подтверждается экспериментально: "... добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение формы колебаний ...." (см. [62]). Все это может быть использовано, например, для приложений в теории резонанса. Опишем данную модель в наиболее общей постановке. Пусть колебания механической системы в области ІЇ С Rd происходят по закону
Случай т ~ 2
Исправить этот существенный недостаток удалось в конце 70-х годов французскому математику Э. Санчес- Паленсии (см. [100]). Методами возмущения спектра операторов он рассмотрел задачу, где присоединенная к системе масса была сконцентрирована в є —окрестности внутренней точки (є— малый параметр, описывающий концентрацию массы). Другой подход к подобным задачам был выработан академиком О. А.. Олейник в серии своих работ [44] — [47], [91]. Обоснование модели Олейник - Санчес-Паленсии, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с локальными присоединенными массами сделал Ю. Д. Головатый (см.[17]). Из результатов, полученных Э. Санчес-Паленсией и О. А- Олейник, вытекает, что первые N собственных частот изученных ими колебательных систем можно сделать сколь угодно малыми, если присоединить относительно большую концентрированную массу, при этом несущественно, концентрируется ли масса во внутренней точке или концевой. Характер поведения собственных частот этих систем зависит от способа сосредоточения массы. Полученный эффект подтверждается экспериментально: "... добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение формы колебаний ...." (см. [62]). Все это может быть использовано, например, для приложений в теории резонанса. Опишем данную модель в наиболее общей постановке. Пусть колебания механической системы в области ІЇ С Rd проиходят по закону в момент времени t, Pt Q J\ j = 1,..., I — дифференциальные операторы, р{х) — плотность распределения масс, а функции щ(х),щ(х) заданы. Представляя решение (1) в виде u(t,x) = v(x)eiy t1 получим За неоднородность плотности колебательной системы отвечает функция плотность колебательной системы, а плотность включений Б (концентрированных масс) рв{х) 0 в В, хв{я) — характеристическая функция множества В. Введение малого параметра возмущения задачи производится следующим образом. Естественно предполагать, что отношение объемов В и Q есть малый параметр є — 0, а отношение средних значений плотностей - большой, т.е. Таким образом, ставится задача изучения влияния сосредоточенной массы на спектр колебательной системы при различных значениях параметра т. Можно перечислить целый ряд результатов, полученных в рамках данной модели. Не претендуя на полноту, отметим некоторые из них. В [ 100] Э. Санчес - Паленсия рассмотрел эту задачу в случае, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле и d = т = 3. В работах О. А. Олейник и ее учеников [46] — [48] это сделано для всех mud. В [24] авторы исследовали случай одной концентрированной массы для Р = с граничным условием
Дирихле и d = 1. В случае конечного числа концентрированных масс это работа была проделана О. А. Олейник и Т. С. Соболевой в [49]. В работах Н. О. Бабича [1] — [4] изучена асимптотика собственных элементов задачи для стержня с одной концентрированной мас сой. В [2] рассматривается феномен глобальных колебаний для собственных функций с большими номерами с помощью техники ВКБ-разложений. В работе Ю. Д. Головатого и И. А. Головача [22] впервые дана полная двухмасштабная асимптотика глобальных колебаний струны с граничным условием Дирихле. Задача о колебаниях упругого стержня и упругой пластинки с концентрированными массами изучена в работах Ю. Д. Головатого [18] — [19], [69]j [70]. Эффект локальных колебаний систем с присоединенными массами изучен им в [21]. Другими методами подобные задачи были изучены в [73], [74]. Колебания мембраны с концентрированной массой было различными методами рассмотрено в работах [75], [94], [95]. Задача для бигармонического оператора с граничным условием Дирихле и плотностью, возмущенной в окрестности гладкой замкнутой кривой, лежащей внутри области, рассмотрена в [23]. Случай граничного условия Неймана был изучен в [34]. В работах Ю. Д. Головатого и В. М. Флюда [16] и [71] найдено асимптотическое разложение решения уравнения колебаний струны со стандартным возмущением плотности при т 2. Случай, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Неймана разобран в [20]; Другими методами эта задача была рассмотрена С. А. Назаровым в [90], [40] в случае d = 3. В [51 ] Н. У. Рахманов исследовал первую и третью краевые задачи для оператора Лапласа (d 2) в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс. Ю. Д. Головатым, С. А. Назаровым и О. А. Олейник в [25] и [26] были найдены асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа. Случай, когда Р — оператор системы теории упругости, рассмотрен в [27], [96], [97]. В несколько другой постановке аналогичные задачи были рассмотрены в [94], [98], [99]. Следует заметить, однако, что сфера применения этой модели еще существенно ограничена, поскольку закон колебания груза или уплотнения не обязан описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы. Значительное число работ было посвящено задачам с большим количеством периодически расположенных концентрированных масс, см. [57], [63] [72], [77] - [85]. В работе [57] также дается оценка скорости сходимости собственных значений такой задачи. Задачи с концентрированными массами в областях с тонкими отростками, со стержнями и другими возмущениями были подробно изучены в работах Т. А. Мельника и С. А. Назарова [37] — [39], [86] — [89], а также [42]. К задачам с концентрированными массами на границе области тесно примыкают задачи с частой сменой граничных условий. Это краевые задачи в областях, некоторое подмножество границы.которых состоит из большого числа непересекающихся частей, зависящих от одного или нескольких малых параметров. Как правило, при стремлении параметров к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю. На этом выделенном подмножестве ставится краевое условие одного типа, а на остальной части границы — другого, и рассматривается предельное поведение решений данной краевой задачи при стремлении малых параметров к нулю. Усреднению задач такого рода посвящено огромное количество работ. Вопросы построения асимптотических разложений решений и собственных элементов эллиптических задач с частой сменой граничных условий Дирихле, Неймана или третьего краевого условия изучены в [8] — [14], [61]. Случай, когда подмножество границы имеет периодическую либо локально-периодическую структуру изучен также в работах [60], [67], [68], [92], [93]. Непериодический случай рассмотрен в [9], [29], [58], [59], [66].
Случай 0<т< 2
Далее мы неоднократно будем использовать следующую лемму: Лемма 8 (Неравенство Корна) Пусть Q — ограниченная область с липшицевой границей. Пусть 7 лежит на Ш и представляется в виде х — ф(х\ ..., Xd-i), где (xi,..., Xd-i) пробегает открытое множество в Ftd l,ф(х\,...,Xd-i)— непрерывная функция. Тогда для любой v Є [H1(Qt y)]d выполнено Теорема 31 Если f 6 [L2,Pe{0.)]d, то существует единственное решение иє задачи (2.2) в случае О т 2 и имеет место оценка где константа Сш не зависит от є. Доказательство: По определению обобщенного решения для любого v Є [Н1 (Q, Гє U Vi)]d выполняется интегральное тождество: dx. (2.3) Докажем, что она удовлетворяет всем условиям Леммы 2 (Лакса - Миль-грама), если взять за Н пространство вектор - функций с компонентами из Я ГеІіГі). Пусть е{и)— тензор деформаций, т. е. матрица с компонентами (« ) = ї (Й + Й)- Положим Чтобы получить оценку dueller!)] , мы подставляем V = щ [Н1(0І,ГєиГі)](і в интегральное тождество (2.3). Тогда, используя неравенства Корна и Коши-Буняковского-Шварца, при достаточно малом є получаем В случае 0 т 2 будем предполагать, что расс Далее мы неоднократно будем использовать следующую лемму: Лемма 8 (Неравенство Корна) Пусть Q — ограниченная область с липшицевой границей. Пусть 7 лежит на Ш и представляется в виде х — ф(х\ ..., Xd-i), где (xi,..., Xd-i) пробегает открытое множество в Ftd l,ф(х\,...,Xd-i)— непрерывная функция. Тогда для любой v Є [H1(Qt y)]d выполнено Теорема 31 Если f 6 [L2,Pe{0.)]d, то существует единственное решение иє задачи (2.2) в случае О т 2 и имеет место оценка где константа Сш не зависит от є. Доказательство: По определению обобщенного решения для любого v Є [Н1 (Q, Гє U Vi)]d выполняется интегральное тождество: dx. (2.3) Докажем, что она удовлетворяет всем условиям Леммы 2 (Лакса - Миль-грама), если взять за Н пространство вектор - функций с компонентами из Я ГеІіГі). Пусть е{и)— тензор деформаций, т. е. матрица с компонентами (« ) = ї (Й + Й)- Положим Чтобы получить оценку dueller!)] , мы подставляем V = щ [Н1(0І,ГєиГі)](і в интегральное тождество (2.3). Тогда, используя неравенства Корна и Коши-Буняковского-Шварца, при достаточно малом є получаем В случае 0 т 2 будем предполагать, что расстояние между любыми двумя множествами Г" может быть порядка е. Рассмотрим следующую краевую задачу: Теорема существования и единственности для задачи (2.4) может быть доказана стандартным способом на базе Леммы 2. Напомним определение вспомогательной срезающей функции ф (см. [29] и [65]). Обозначим Ve= jft с = (jinTi) где 0 -----1)- -вокальная система сферических координат с центром в точке р" є Г ,п — ly...,Ne (см. Рис. 3). Докажем следующую теорему: Теорема 32 Пусть 0 а — + 1, тогда для решений щ задачи (2.1) и и задачи (2.4) имеет место неравенство где константа Cisi не зависит от є. Доказательство: Вычитая из интегрального тождества задачи (2.1) интегральное тождество задачи (2.4) и подставляя v — (и — и)-ф б. [# 2,1 U )] в качестве тестовой функции, а также принимая во внимание определение гре, получаем Используя неравенство Корна (см. Лемму 8) для функции (иЕ—и)фє [H1(n,Turl)]d, выводим Щ - и)фЕ\\{нг{п)у CiS2 е(К - «) ))11(1а(П)У. где eij(v) — тензор деформаций.
Следовательно, Очевидно, что последний член правой части равенства (2.7) равен 2\иє — и\2 \ фє\2. Используя неравенство 2ab а2-\-Ь2 для оценки третьего члена в (2.7), получаем тояние между любыми двумя множествами Г" может быть порядка е. Рассмотрим следующую краевую задачу: Теорема существования и единственности для задачи (2.4) может быть доказана стандартным способом на базе Леммы 2. Напомним определение вспомогательной срезающей функции ф (см. [29] и [65]). Обозначим Ve= jft с = (jinTi) где 0 -----1)- -вокальная система сферических координат с центром в точке р" є Г ,п — ly...,Ne (см. Рис. 3). Докажем следующую теорему: Теорема 32 Пусть 0 а — + 1, тогда для решений щ задачи (2.1) и и задачи (2.4) имеет место неравенство где константа Cisi не зависит от є. Доказательство: Вычитая из интегрального тождества задачи (2.1) интегральное тождество задачи (2.4) и подставляя v — (и — и)-ф б. [# 2,1 U )] в качестве тестовой функции, а также принимая во внимание определение гре, получаем Используя неравенство Корна (см. Лемму 8) для функции (иЕ—и)фє [H1(n,Turl)]d, выводим Щ - и)фЕ\\{нг{п)у CiS2 е(К - «) ))11(1а(П)У. где eij(v) — тензор деформаций. Следовательно, Очевидно, что последний член правой части равенства (2.7) равен 2\иє — и\2 \ фє\2. Используя неравенство 2ab а2-\-Ь2 для оценки третьего члена в (2.7), получаем
Случай т~ 2
Для изучения предельного поведения собственных значений задачи (2.1) в случае т = 2 перейдем к локальным координатам и сделаем замену значение параметра /3 будет выбрано позднее. Перепишем задачу (2.1) в локальных координатах : (2.36) Здесь рГе = рее2. Функции {wf Є [Я1 , )]1 =1,2,...} образуют ортогональный базис в [Ь2,р{Щ)\а- Собственные значения {А , К = 1,2,...} занумерованы в порядке неубывания и повторяются с учетом кратности. Используя определение нормы в пространстве [Я(0)] для соответствующего решения в локальных коорди что следующая система является предельной для (2.1) в случае т = 2: где хв1 характеристическая функция множества В } 5JJ — символ Кро-некера. Собственные пары {(С О [H(Md ,Vl)}d х [Hl(n)]d,K = 1,2,...} образуют ортогональный базис в [L2{B )]d х [L2(fi)]d. Собственные значения {Л , К = 1,2,...} занумерованы в порядке неубывания и повторяются в соответствии с их кратностью. Проверим условия Теоремы 19 в этом случае. Обозначим как Но пространство {U = (U(),u(x)) : U [ (Bj)] , и є [Li{))d} со скалярным произведением Оператор Ло : Щ — Щ, соответствующий задаче (2.38), мы определим следующим образом. ющих краевых задач C (K(;Z)) = О на (2.40) соответственно. Обозначим за Н пространство [L2,Pl!:(i)]d со скалярным произведени ем dx. (Л,Ыяе=/[ЕМх)/ ? n fc=1 Определим оператор Ає : Нє — Нє следующим образом: Af = —и, где щ — решение задачи (2.2) в случае т = 2. Предположим, что U = (U(),u(x)) Є HQ. Определим Re : Но —+ Нє формулой п=1 \ Є J Пусть V подпространство HQ с элементами {К = (U(),u(x)) : U Є [ь2{в\)]\ и mm n СІ. Для всех U є V имеем \\ReUfHs=fpe и + є1-Ціпє\ Хщи Щ dx = J \u\2dx+ ЇЇ\ВЄ dx ІМІІ2(П)+ dx + Je-2\u\2dx + \\ne\aY: feT ufi—Щ В; «=1tf? \ є J +N\\n\-a J\U\2d4 + j 2\u\2dx+ 71=1 Rn fc=l \ Є J (2.41) стремится к Ц Цяо» поскольку третий и четвертый интеграл в правой части (2.41) стремятся к нулю ввиду Леммы 9. Таким образом, условие С1 выполнено. С2. Легко проверить самосопряженность, положительную определенность и компактность операторов А и:Ао,.а также равномерную компактность по є операторов А : Н е/Ия; = j(h W\2dx C246 \Ы\2[нцЩ4 Сш ll/Hfi n)] Здесь мы использовали Теорему 36 и неравенство Фридрихса в Ве. СЗ. Пусть J Q — (FQ(),fo{x)) Є HQ,
По определению оператора AQ : НоHQ, мы имеем AQFQ = (хв1 U(Q u(x))i гДе Щ) и и (г)— решения задач (2.39), (2.40) с F = FQ, f = /о, соответственно. натах v() = e u{eQ имеем Взяв /? = I — 1, окончательно выводим Далее неоднократно мы будем использовать следующий результат: Лемма 9 Для любой и є [Hl{BE)\d выполнено Доказательство Леммы 9 следует из утверждения Леммы 8. Предельное поведение спектра задачи (2.1) в случае т = 2 Пусть Md — отрицательное полупространство { Rd,d 0}, В\ = {tElRd: К\ 1,& 0}, rj = {Є Є Л : 1,& = 0}, а7 = {& = 0}\rJ (см. Рис. 4). Далее мы покажем, что следующая система является предельной для (2.1) в случае т = 2: где хв1 характеристическая функция множества В } 5JJ — символ Кро-некера. Собственные пары {(С О [H(Md ,Vl)}d х [Hl(n)]d,K = 1,2,...} образуют ортогональный базис в [L2{B )]d х [L2(fi)]d. Собственные значения {Л , К = 1,2,...} занумерованы в порядке неубывания и повторяются в соответствии с их кратностью. Проверим условия Теоремы 19 в этом случае. Обозначим как Но пространство {U = (U(),u(x)) : U [ (Bj)] , и є [Li{))d} со скалярным произведением Оператор Ло : Щ — Щ, соответствующий задаче (2.38), мы определим следующим образом. ющих краевых задач C (K(;Z)) = О на (2.40) соответственно. Обозначим за Н пространство [L2,Pl!:(i)]d со скалярным произведени ем dx. (Л,Ыяе=/[ЕМх)/ ? n fc=1 Определим оператор Ає : Нє — Нє следующим образом: Af = —и, где щ — решение задачи (2.2) в случае т = 2. Предположим, что U = (U(),u(x)) Є HQ. Определим Re : Но —+ Нє формулой п=1 \ Є J Пусть V подпространство HQ с элементами {К = (U(),u(x)) : U Є [ь2{в\)]\ и mm n СІ. Для всех U є V имеем \\ReUfHs=fpe и + є1-Ціпє\ Хщи Щ dx = J \u\2dx+ ЇЇ\ВЄ dx ІМІІ2(П)+ dx + Je-2\u\2dx + \\ne\aY: feT ufi—Щ В; «=1tf? \ є J +N\\n\-a J\U\2d4 + j 2\u\2dx+ 71=1 Rn fc=l \ Є J (2.41) стремится к Ц Цяо» поскольку третий и четвертый интеграл в правой части (2.41) стремятся к нулю ввиду Леммы 9. Таким образом, условие С1 выполнено. С2. Легко проверить самосопряженность, положительную определенность и компактность операторов А и:Ао,.а также равномерную компактность по є операторов А : Н е/Ия; = j(h W\2dx C246 \Ы\2[нцЩ4 Сш ll/Hfi n)] Здесь мы использовали Теорему 36 и неравенство Фридрихса в Ве. СЗ. Пусть J Q — (FQ(),fo{x)) Є HQ, По определению оператора AQ : HQ, мы имеем AQFQ = (хв1 U(Q u(x))i гДе Щ) и и (г)— решения задач (2.39), (2.40) с F = FQ, f = /о, соответственно.
