Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач Бобохонов Кулихон

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Равномерная ограниченность и существование решений сингулярно возмущенной краевой задачи

1. Подпространства Е (А),Е0 (А),Е+ (А) 13

2. Равномерная ограниченность решений 19

3. Существование решения 34

4. Функция Грина краевой задачи 37

Глава 2. Асимптотическое интегрирование

5. Линейная краевая задача с диагнолизуемой обратимой матрицей 44

6. Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой матрицей 58

7. Асимптотика функции Грина : случай диагонализуемой обратимой матрицы 67

8. Асимптотика функции Грина: случай диагонализуемой необратимой матрицы 78

9. Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 90

Литература 102

• Равномерная ограниченность решений
• Функция Грина краевой задачи
• Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой матрицей
• Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи об

асимптотическом интегрировании одного класса сингулярно возмущённых

линейных краевых задач вида

Иг (\)L(A)x==r-A(t)x = h(t)_t 0ⁿ, є>0, at

(2)P₀x(0) = x₀, /^(1) = ^.

Исследование сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений начинается с работ Лиувилля [39], Хорна [60], Прандтла [54], Шлезингера [61], Биркгофа [2],. Эти работы положили начало появлению теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений связано с фундаментальными работами А. Н. Тихонова [59], В. Вазова [9], М. Лайтхилла [38], Н. Н. Боголюбова [1], Ю. А. Митропольского [48, 49], А.Б. Васильевой [12-14], М. И. Вишика и Люстерника [15-18], В. Ф. Бутузова [5-7], М. И. Иманалиева [26-28], С. А. Ломова [40-45], В. П. Маслова [46, 47]. В настоящее время разработаны различные методы асимптотического интегрирования линейных и нелинейных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений.

Общие вопросы теории сингулярно возмущенных задач и обзор современного состояния этой теории приведены в статье [45], где излагается метод регуляризации Ломова, развитый на основе уточнения понятия асимптотического ряда и являющийся основой теории асимптотического интегрирования широкого класса сингулярно возмущенных задач. Метод регуляризации Ломова является одним из вариантов развития метода Вишика-Люстерника, «объединенный с двумя новыми идеями: 1)с идеей перехода в пространство большого числа переменных, позволяющей описать аргументы существенно особых сингулярностей; 2)с идеей использования спектральной теории переменных операторов, позволяющей точно описать сингулярную зависимость решения от малого параметра» [45].

В дальнейшем метод регуляризации Ломова применительно к различным сингулярно возмущённым задачам развит в работах С. А. Ломова [40-45], В. И. Прохоренко [55], В. Ф. Сафонова [56, 57], А. Г. Елисеева [21-25], М. А. Валиева [10, 11], М. П. Мягковой [53], А. А. Коняева [32, 33], В. А. Стрижкова [58], А. А. Бободжанова [3, 4], В. И. Качалова [31]. Наиболее полное изложение метода приведено в монографии Ломова С. А. [43].

В настоящей диссертационной работе исследованы условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для асимптотического интегрирования краевых задач вида (1)-(2) и нахождения асимптотики функции Грина этих задач.

Вопросы нахождения асимптотики решений сингулярно возмущённых краевых задач исследованы в работах С. А. Ломова [40-45], Н. А. Ивановой [29], А. А. Киняева [32 ,33]. В монографии С. А. Ломова [43] рассматривая систему (1) с краевыми условиями вида:

(3) ?x(0)+Qx(l)=x₀ .

в условиях так называемого стабильного спектра матрицы-функции A(t) путём замены переменных и выделения основных диагональных слагаемых в преобразованной системе находится асимптотика функции Грина данной краевой задачи в следующем виде:

^ГГ_иАГ_2] Ч^Г2₂ЛГ_2|

(

G(x,s,e) = <

Л,АГ_П

V^A^n

A\t,s,s) = exp

\{t;s,e) = exp

Г_]2ЛТ₂₂

ГцМ"₂2 J

А,лг₁₂ і^х

-{K₀dx о

—

Л₀ = diag{A_] (і,є),...,Л_к (t,e)} Ли =diag{A_k+] (/,4- А ('.*)}

r_u(f,s) r_x2(t,e)

r(t,e) =

_«tf

Г_2](і,є) r₂₂(t,e)_J r(t,e)=B(i)+b(t,e),

_{*(*)=(* to-A(0)=}

(B_u(t) B_t2(ty

5,,(/) - блок размера к x к B₂₂(t) - блок размера(п-к)х(п-к) Но, задача нахождения асимптотического ряда функции Грина краевой задачи непосредственным применением метода регуляризации Ломова не была изучена. По этому в середине 80-х годов профессором С. А. Ломовым автору было предложено исследовать условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики функции Грина какого - нибудь класса краевых задач.

В методе регуляризации Ломова разработан общий подход для нахождения асимптотики решений широкого класса сингулярно возмущённых задач. Возможность применения данного метода обусловлена решением следующих трёх взаимосвязанных задач:

1. выбор основных сингулярностей, участвующих в уточнённом асимптотическом ряде ;

2. однозначная разрешимость итерационных задач;

3. оценка остаточного члена..

Решение этих задач применительно к системе (1) с начальным и условиями к сингулярно возмущённым задачам некоторых типов при определённых условиях позволяет найти асимптотику решения в виде асимптотического ряда. Имеющиеся способы решения трёх выше указанных задач относительно краевой задачи (1)-(2) непосредственно не применимы. Основная трудность связана согласованием краевых условий (2) с выбором основных сингулярностей и дальнейшим обеспечением однозначной разрешимости итерационных задач, а также и ограниченности приближённых решений при є-»0. В связи с этим представляет интерес находить условия существования решений краевой задачи (1)-(2) при малых є и их ограниченность при є—»0.

Вопросы разрешимости краевых задач для систем (1) с краевыми условиями вида (3) исследованы в работах А.А. Коняева [32, 33]. Им исследованы так же асимптотика решений данной краевой задачи непосредственно не применяя метод регуляризации Ломова, а используя методику нахождения асимптотики функции Грина, изложенную в монографии [43].

В работе Н. А. Ивановой [29], используя понятия функции типа пограничного слоя, введёное М. И. Вишиком и Л:А. Люстерником находится асимптотика функции Грина краевой задачи

]?є'а_к+І(х)у^ІІ+'\х)+^(х)у^и)(х) = 0, х_х <х<х₂,

у^и)(х_]) = 0, 0 =/+*).

Представляет интерес находить асимптотику функции Грина краевой задачи (1 )-(2) методом регуляризации Ломова.

В вопросах разрешимости и ограниченности (при малых є) решений краевой задачи (1)-(2) имеет важное значение наличие одной из оценок

(4) 4^ф_в(А)уІ + \Р₀у(0^ + \Р_іУ(Ц,'

(5) d\\y\\ < -\\L_E(A)y\\ + \Р₀у(0)\ + \Р_ху(\)\, є

где ||-норма вектора, \\-норма в пространстве С([о,і],С"), у є C'([o,l]),C".

Оценки (4), (5), иногда называемые коэрцитивными оценками, не встречаются в теории сингулярно возмущенных задач. Исследование наличия таких оценок актуально тем, что:

4. процесс получения этих оценок идейно близок с идеями предельного перехода в сингулярно возмущённых задачах;

5. позволяют исследовать разрешимость краевой задачи и легко оценивать остаточный член асимптотического ряда.

Коэрцитивные оценки для определённых классов дифференциальных операторов и различных функциональных пространствах исследованы в работах Э.М. Мухамадиева [50-52], и их учеников. В настоящей работе

применительно к оператору L_E(A) _в основном применяется и развивается методика получения оценок вида (4), . изложенная в работах Э.М. Мухаммадиева, где исследуются ограниченные и полуограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными ограниченными коэффициентами.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена исследованию условий равномерной по Є ограниченности решений краевой задачи (1)-(2) и выяснению условий существования решения и функции Грина этой задачи. В перЕом параграфе введены под пространства Е_(А),Е₀(А),Е₊(А)

являющиеся прямой суммой корневых подпространств матрицы А соответствующие собственным значениям с отрицательной, нулевой и положительной вещественной частью. Изучены некоторые свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений связанные с подпространствами Е_(А),Е₊(А). Результаты этого параграфа являются общеизвестными и применяются в последующих параграфах.

Во втором параграфе изучаются условия существования

положительных d , q , для которых, при є є (0,є₀) и любой вектор-функции y(t) є С ([ОДJ; С" J имеет место неравенство

(4) d\\y\\ < \\LJA)y\\ + \Р_оу(0)\ + \Р_іУ(\)\
или неравенство

(5) 4НІ ^ -\\L(A)y\\ ₊ \P₀y(0)\ ₊ \P_]y(\)\,

где 11 -евклидовая норма в С" , |||-норма пространства c([0,l]/C"). Наличие

неравенства (4) означает равномерную по Є ограниченность решений краевой задачи (1) - (2). А неравенство (5) показывает, что решения краевой

задачи (1)-(2) относительно Є при Є —>0 имеют порядок не выше Неравенства (4), (5) являются первым шагом к нахождению асимптотики решений краевых задач вида (1 )-(2).

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для того чтобы неравенство (4) выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы матрица-функция A(t) и матрицы

Р₀, Р, удовлетворяли следующим условиям:

6. V/є [0,l] cr(A(t))слШ= 0,

7. Е_ (л(о))пKerP₀ = {0}, Е₊ (А{\))г>KerP_t = {о}, где

Теорема 2.2. Пусть матрица A(t) непрерывно дифференцируема и
имеет п взаимно различных собственных значений /1,(/),...,^(/), которые
таксисе непрерывно дифференцируемы. Пусть соответствующие

соответственные векторы b_l(t),...,b_n(t) непрерывно дифференцируемы и выполнены условия:

1. P₀b_t(0), і=їр -базис ЬР_пС^п,

2. Pfifi), j = p + \,n -базис ЬР_ХС",

3. Re A (/) < 0, i = lp, ReJL(t)>0, i = p + l,n

4) либо a) < b*, b'_t >= 0, i = \,p, j = p + \,n
либо 6) =0, i = \,p, j = p + l,n

либо в) Re A, (0 ^^-«o < 0 ї = 1,А ^ є [0,1] , либо г) Re A, (/) > Д > 0 j = р + \,п, t є [0,1] ' 5) для любого j = р + \,п, либо Re А (о) > 0, либо P₀b_t (О) = 0

для любого i-\,p, либо Re Л, (о) < 0, либо P_fb_i (]) = 0 Тогда _ч существует числа d > 0, ₀ > 0 такие, что для любой y(t)e С¹ ([0,1], С) при є є (0,₀) имеет место оценка

"Ми.,,,-) j^Hw-i⁺Mf>}+\р,Щ

Существенная роль этих теорем состоит в том, что

1) утверждают наличие так называемых коэрцитивных оценок для^
рассматриваемого класса сингулярно возмущенных дифференциальных
операторов

2) являются первым этапом к исследованию условий существования
решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2);

3) позволяют легко оценить остаточный член асимптотики решения краевой
задачи (1)-(2), построенный методом регуляризации Ломова.

Теоремы 2.1, 2.2 доказываются методом, часто используемым в исследованиях [50,51, 52]. Доказательство теоремы в какой-то мере связано с задачей предельного перехода в сингулярно возмущенном дифференциальном уравнении.

В третьем параграфе изучены условия существования единственного решения краевой задачи (1)-(2) при малых положительных значениях Є. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия

(8) a(A(t))niR = 0, V/e[0,l]

(9) KerP₀nE_(A(0))={0}> KerP_lnE_t(A(\))={0}-

(10) x₀eP_QC", х,є^С"

(11) . P₀E_(a(0)) = P₀C\ РЛШ)=Ф
Тогда задача {3.1)- (3.2.) имеет единственное решение.
Теорема 3.2. Пусть

(12) х₀еР₀С", х.е/'С

и выполнены условия теоремы 2.2. Тогда существует единственное решение задачи (1) - (2) при є є(0,є₀).

Условия теорем 3.1, 3.2 обеспечивают существование единственной функции Грина краевой задачи (1)-(2) при достаточно малых положительных Є. Это доказывается в теоремах 4.1, 4.2, составляющих основное содержание четвертого параграфа.

Результаты первой главы являются основополагающими при исследовании условий, обеспечивающих возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики решения и функции Грина краевой задачи (1 )-(2).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию асимптотики решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2) и состоит из 5-9.

В пятом параграфе изучается асимптотическое интегрирование краевой задачи (1)-(2) методом регуляризации Ломова в случае, когда выполнены условия (6), (7) и условия

(13) Р₀Е_(А(0)) = Р₀С^п, Р_хЕХа(\))= Р\ х_иєР₀С\ х, є/>С\

14. ( матрица-функция A\t) и вектор-функция hyt) бесконечно ( дифференцируемы на отрезке [0,1 ];

15. ( при каждом t [ОД] собственные значения X\t),...,Л (/) ( матрицы A\t) различные и

ReA_y(f) < 0, у = \,р, Re Я, (г) >0,1 = р + \,п-

где р не зависит от t.

В теореме 5.1, составляющей основной результат пятого параграфа, доказано, что при этих условиях методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2), в виде

(16) 2У⁷*('»^(''4- ~,<р_й(*>)\

/:=0

(pj (t, є) =- |Я_у {s)ds, j = 1, p,

^Є 0

J 1

#>,(/,) =— \Z,(s)ds, l = p + l,n.

При оценке остаточного члена асимптотики используется неравенство (4). Далее, доказана следующая теорема

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия

1. матрица-функция A{t) и вектор-функция h(t) бесконечно дифференцируемы;

2. существует п взаимно различных (при каждом t) собственных значений Я,(/),..., Я_я(ґ) матрицы A\t);

3. 4(/)*0, Vf[

   • ReZXt)<0, г = \,р; ReA >0, j = p + l,n.

А также предположим, что соответствующие собственные
функции b\t\...,b_n\t) матрицы A\t) бесконечно

дифференцируемые и удовлетворяют условиям:
ш> 5) векторы Р₀Ь;(о), і = 1, р образуют базис в Р₀С"

векторы і^Ді), J; = р + \,п образуют базис в Р_{С",

6. либо а) Р₀Ь_/(0)=0, j = p + l,n; либоб) ReA (/)>0, j = p + \,n, / е [0,1],-

7. либо a) Pp_t(l) = 0, / = 1,/7 /

либо б) Re Я,, (t) < 0, / = 1, р, te [0,1] ;

8) \/і = Гр, <^P,b](tj>=0, J = p+l,n, te[0,1]

db it) ,_/4 —

Vj = p + \,n, <—f-^;, b,(t)>= 0, і=1,_А /є[0,1].

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид

где ю (г, ) = - j Я is )ds, j = \,p,

7,(/,^-) =--/Я/(j)^, 1 = р + \,П.

В шестом параграфе доказана теорема 6.1, в которой утверждается, что если выполнены условия теоремы 3.2, Я,(/) = 0, то методом регуляризации

Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1 )-(2), имеющий вид

Оказывается, как в случае задачи Коши [43], наличие слагаемого с

множителем Є в ряде (17) обусловлено необратимостью матрицы A(t)

( т.е. существованием нулевого собственного значения A (/) = 0). Оценка

остаточного члена проводится с помощью неравенства (5). А таю*'" имеет место

у Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.2, а вместо условия

3) выполняется условие

З^у) 4(0 = 0, 4(0*0, V/e[0,l], i = 2~n

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид

2 ^kz_k{t, <Р₂ ('> 4 . <Р'„ {*> )\

Аг=—I

(p_t (t, є) = - /Л (s)ds, j = 2, p,

"

(p,{t,s) = — \A_t{s)ds, I = p + \,n.

'

В седьмом параграфе методом регуляризации Ломова строится асимптотика функции Грина краевой задачи (1)-(2). Доказана теорема 7.1 утверждающая о том, что если выполнены условия теоремы 5.1, то методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2) в виде

(18) ^e^^t.s.tpXt.s.el.-.^^s.e)),

k=-\

і '

_l(t,s,s) = - {*,(№, j = \,p,

^J

_+j(t,s,e) = - JA/ЇЩ, j = \,p,

_nJt,s,e) = — U(%)d, l = p + \,n. На основе теорем 5.2, 7.1 вводится селующая теорема.

1 '

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия 1) -8) теоремы 5.2, но условия 6), 7) выполняются в следующем варианте

8. P₀b,(0)=0, j = p + l,n

9. 7ft(1)= 0, / = 1,/7

Тогда, методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функцию Грина краевой задачи (1)-(2) вида

J^^kZ_k((t,S_b2n(t,S,)))

с оценкой остаточного члена

swp\G{t,s,)-Y,^kZ_k(t,s,(p,{t,s,),...,(p_ln{t,s,s))\< D_N+i^N+l,

0k=-\ і

При построении асимптотики функции ' Грина самым важным и существенным является подходящий выбор основных сингулярностей <р_г у = 1,2«. Выбор этих сингулярностей был предложен автору С.А.

Ломовым. Оценка остаточного члена доказывается как при выводе неравенств (5), используя то, что функция Грина краевой задачи и матрицы-функции Z_k удовлетворяют краевым условиям и в точке t = S имеют

разрыв.

Результаты седьмого параграфа в восьмом параграфе переносятся на случай, когда выполнены условия теорем 6.1, 6.2. Доказывается, что методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2), имеющий вид

(19) Xe^kZ_k{t,s,_x(t,s,e),...,(p„(t,s,e),(p„_+l{t,s,\...,_2n{t,s,e)).

k=-\

При выводе асимптотики (19) модифицированы процедуры однозначного построения матриц-функций Z_k и оценке остаточного члена ряда,

имеющиеся в доказательстве теорем 7.1, 7.2 предыдущего параграфа.

Доказанные в параграфах 7, 8 теоремы являются основными результатами диссертационной работы.

В девятом параграфе в качестве примера построена асимптотика функции Грина сингулярно возмущённой краевой задачи

20. s²y-a²(t)y = h(t)

21. У(0,є) = у(1,є) = 0

где a(t) непрерывно и положительно. Приводится алгоритм метода регуляризации Ломова применительно к этой задаче. Доказаны теоремы 9.1, 9.2, которые обосновывают корректность предложенного алгоритма.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].

Отдельные части диссертации докладывались на международных конференции проходившей в городе Москве (1993), Худжанде (2003) на международных, республиканских и областных конференциях проходивших

в городах Душанбе (1998-2000), Курган-Тюбе (1991-1997) Худжанде (1990-2002), в ряде выступлений на семинарах профессора С.А. Ломова (Москва, МЭИ 1987),профессора В.Ф. Сафонова ( Москва, МЭИ 1987 ), профессора Э.М. Мухамадиева (Худжанд, 1994-2002).

В заключении выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям член корреспонденту АН РТ, профессору Э.М. Мухамадиеву, доктору физико-математических наук А. А. Бободжанову за руководство над работой, за помощь и поддержку, оказанную ими на протяжении многих лет работы.

Равномерная ограниченность решений

Исходная задача (9.5) это система обыкновенных дифференциальных уравнений, а уравнение которые входят в задачах (9.10)-(9.17) является системами уравнений в частных производных, и полученные уравнение с постоянными коэффициентами, в которых входят как параметр. Мы их будем решать, грубо говоря, по тем же правилам, по которым решаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Чтобы показать решение (9.18)-(9.21) сначала опишем теорию нормальной и однозначных разрешимости итерационных задач.

Решение каждый из итерационных задач (єк) определяем в пространстве YuY матричных функций.

Нетрудно показать, что определяемые У, и J (B пространствах YuY соответственно) имеют вид: , Базис в пространстве KerJ] имеет вид: а базис в пространстве KerJ\ имеет вид: Для решения итерационных задач приводим следующую теоремы нормальной и однозначной разрешимости.

Тогда для разрешимости системы (9.18) (системы (9.19)) необходимо и достаточно, чтобы Р\ Доказательство. Проверим в утверждение теоремы для системы (9.18) (для системы (9.19) утверждение доказывается аналогично). Пусть я(/, ,г)еГ имеет вид и будем определять решения системы (9.18) в виде элемента пространства І . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты и получим следующую систему: Система (9.27) имеет единственное решение классе Решение системы (9.25) - (9.26) будем определять в виде их (t, )=B{t)zx (t, t\ и2 (t, ) = B(t)z2 (t, ) Тогда для уточнения Zx (t, q) и Z2 (t, g) получим следующие системы для столбцов Zj\ Zji матриц Zj (t,%) и Z2(t, )\ где hjt - j - ый столбец матриц Hl (t, ) (i = 1,2). Для разрешимости этих систем, необходимо и достаточно, чтобы При этом находим: где pJl(t, ),yj2(t, )eC!O[0,l] - произвольные скалярные функции, rji(t + 0,t) co,rJ2(4 + 0,t) co. Тогда система (9.25) - (9.26) имеют следующие решения Тогда нетрудно выяснить, что условия (9.28) эквивалентно условиям (9.22). Значит при условиях (9.22) система (9.1S) в пространстве Y имеет решение следующего вида: G(t.t.T)= [yu(t ( " +/12 2 (1,4 (ФГ +Г22( .?Ы У] + где (/,)єС([0,і],С4) - произвольные скалярные функции, причём f„fe + 0 ) oo,fy2fe + 0 ) oo. Введём обозначения В этом случае решение системы (18) получим в следующем виде (9.29) G(t,,T) = u{t,4)b,{ty +yl2(t,t)b2(t)eT\ /,,(/, 6,(0 1 +y21(t )b2{t)e } + [Pm(t)b2(t)e + /»21(0А,(0е , P2n(t)b2(t)eT +P22X(t)bx(t)er ]-A-\t)H0(t,4) Аналогично находится решение системы (19) в следующем виде _ (9.30) + \pu2{t)b2(ty +Pl2№(tV , P2n(t)b2(ty +Pm(t)b (ty }-A-\t)H0{t,t) Теорема доказана. Теорема 9.2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и правая часть удовлетворяет условию ортогональности (9.22)((9.23)). Тогда задачи (9.10) — (9.17) при дополнительных условиях (9.31) - -, (/,) = (9.32) -,7, (;,) = о однозначно разрешимы в классе Y х Y . Доказательство. Поскольку выполнены условии (9.22) - (9.23), то системы (9.18) - (9.19) соответственно имеют решении G EY и G eY придаваемые формулами (9.29) - (9.30). Доказательство теоремы проведём для системы (9.18)(для системы (9.19) доказательство проводится аналогично).

Функция Грина краевой задачи

Вопросы нахождения асимптотики решений сингулярно возмущённых краевых задач исследованы в работах С. А. Ломова [40-45], Н. А. Ивановой [29], А. А. Киняева [32 ,33]. В монографии С. А. Ломова [43] рассматривая систему (1) с краевыми условиями вида:

в условиях так называемого стабильного спектра матрицы-функции A(t) путём замены переменных и выделения основных диагональных слагаемых в преобразованной системе находится асимптотика функции Грина данной краевой задачи в следующем виде: ,,(/) - блок размера к x к B22(t) - блок размера(п-к)х(п-к) Но, задача нахождения асимптотического ряда функции Грина краевой задачи непосредственным применением метода регуляризации Ломова не была изучена. По этому в середине 80-х годов профессором С. А. Ломовым автору было предложено исследовать условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики функции Грина какого - нибудь класса краевых задач.

В методе регуляризации Ломова разработан общий подход для нахождения асимптотики решений широкого класса сингулярно возмущённых задач. Возможность применения данного метода обусловлена решением следующих трёх взаимосвязанных задач: 1) выбор основных сингулярностей, участвующих в уточнённом асимптотическом ряде ; 2) однозначная разрешимость итерационных задач; 3) оценка остаточного члена.. Решение этих задач применительно к системе (1) с начальным и условиями к сингулярно возмущённым задачам некоторых типов при определённых условиях позволяет найти асимптотику решения в виде асимптотического ряда. Имеющиеся способы решения трёх выше указанных задач относительно краевой задачи (1)-(2) непосредственно не применимы. Основная трудность связана согласованием краевых условий (2) с выбором основных сингулярностей и дальнейшим обеспечением однозначной разрешимости итерационных задач, а также и ограниченности приближённых решений при є-»0. В связи с этим представляет интерес находить условия существования решений краевой задачи (1)-(2) при малых є и их ограниченность при є—»0. Вопросы разрешимости краевых задач для систем (1) с краевыми условиями вида (3) исследованы в работах А.А. Коняева [32, 33]. Им исследованы так же асимптотика решений данной краевой задачи непосредственно не применяя метод регуляризации Ломова, а используя методику нахождения асимптотики функции Грина, изложенную в монографии [43]. В работе Н. А. Ивановой [29], используя понятия функции типа пограничного слоя, введёное М. И. Вишиком и Л:А. Люстерником находится асимптотика функции Грина краевой задачи Представляет интерес находить асимптотику функции Грина краевой задачи (1 )-(2) методом регуляризации Ломова. В вопросах разрешимости и ограниченности (при малых є) решений краевой задачи (1)-(2) имеет важное значение наличие одной из оценок где -норма вектора, \\-норма в пространстве С([о,і],С"), у є C ([o,l]),C". Оценки (4), (5), иногда называемые коэрцитивными оценками, не встречаются в теории сингулярно возмущенных задач. Исследование наличия таких оценок актуально тем, что: 1) процесс получения этих оценок идейно близок с идеями предельного перехода в сингулярно возмущённых задачах; 2) позволяют исследовать разрешимость краевой задачи и легко оценивать остаточный член асимптотического ряда. Коэрцитивные оценки для определённых классов дифференциальных операторов и различных функциональных пространствах исследованы в работах Э.М. Мухамадиева [50-52], и их учеников. В настоящей работе применительно к оператору LE(A) в основном применяется и развивается методика получения оценок вида (4), . изложенная в работах Э.М. Мухаммадиева, где исследуются ограниченные и полуограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными ограниченными коэффициентами. Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации. Первая глава диссертации посвящена исследованию условий равномерной по Є ограниченности решений краевой задачи (1)-(2) и выяснению условий существования решения и функции Грина этой задачи. В перЕом параграфе введены под пространства Е_(А),Е0(А),Е+(А) являющиеся прямой суммой корневых подпространств матрицы А соответствующие собственным значениям с отрицательной, нулевой и положительной вещественной частью. Изучены некоторые свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений связанные с подпространствами Е_(А),Е+(А). Результаты этого параграфа являются общеизвестными и применяются в последующих параграфах. Во втором параграфе изучаются условия существования положительных d , Q , для которых, при є є (0,є0) и любой вектор-функции y(t) є С ([ОДJ; С" J имеет место неравенств где 11 -евклидовая норма в С" , -норма пространства c([0,l]/C"). Наличие неравенства (4) означает равномерную по Є ограниченность решений краевой задачи (1) - (2). А неравенство (5) показывает, что решения краевой задачи (1)-(2) относительно Є при Є — 0 имеют порядок не выше Неравенства (4), (5) являются первым шагом к нахождению асимптотики решений краевых задач вида (1 )-(2). Доказаны следующие теоремы. Теорема 2.1. Для того чтобы неравенство (4) выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы матрица-функция A(t) и матрицы Р0, Р, удовлетворяли следующим условиям: Теорема 2.2. Пусть матрица A(t) непрерывно дифференцируема и имеет п взаимно различных собственных значений /1,(/),..., (/), которые таксисе непрерывно дифференцируемы.

Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой матрицей

Нахождение асимптотического ряда называют асимптотическим интегрированием сингулярно возмущенной краевой задачей. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенной краевой задачи представляется очень важным и позволяет при достаточно малых положительных значениях є с любой наперед заданной точностью порядка eN+l определить решение x(t,) задачи.

Асимптотический ряд, вообще говоря , может быть не сходящимся . Для одного решения x[t, Є) задачи (5.1 ) - ( 5.2 ) может существовать много асимптотических рядов . Множество асимптотических рядов обусловлено разнообразием методов построения и нахождения последовательности функций удовлетворяющих условию (5.3). Эту последовательность называют асимптотической последовательностью. Одним из известных методов построения и нахождения асимптотической последовательности (т.е. асимптотического интегрирования) решений сингулярно возмущенных задач является метод регуляризации Ломова. Изучим условия обеспечивающие построение и нахождение асимптотической последовательности решения x(t,S) сингулярно возмущенной краевой задачи (5.1 )-( 5.2 ) методом регуляризации Ломова. Пусть выполнены условия : 4) матрица функция A\t) и вектор функция h\t) бесконечно дифференцируемы на отрезке [ОЛ] , 5) при каждом t Є [0,lj собственные значения матрицы A[t) различные и Re Я (t) О, j = 1,/?, Re Я,(t) 0, / = р + l,Ji±q, где Р не зависит от t, р + q = п\ 6) х0єР0С\ ххєРхСп. Замечание 1. Из условий 1) , 2) в силу теоремы 2.1 вытекает существование d О, Є0 0 таких, что при є Є (О, 0) для любой y(t) е С1 ([0,l]; С ) имеет место неравенство Замечание 2. Из условий 1)- 3), 6) в силу теоремы 3.1 следует существование единственного решения x\t,s) краевой задачи (5.1) - ( 5.2 ) при. є(0,0) Замечание 3 . Из условий 4), 5) в силу леммы 2.1 следует ,что собственные значения AAt),.. .,An(t) бесконечно дифференцируемы и существуют соответствующие им линейно независимые собственные вектор - функции h (t\..., b \t), которые также бесконечно дифференцируемы . Замечание 4 . Из условий 4), 5) в силу леммы 2.1 ,2.2 вытекает ,что 1) при каждом t Є [ОД] числа Л\(t\...,An\t) ( комплексно сопряженные числам А,и),...,А и) являются собственными значениями эрмитово — сопряженной матрицы A {t) = \A{t)) ; 2) существуют линейно независимые и бесконечно дифференцируемые собственные вектор - функции матрицы - функции А и) , такие , что где (,)- скалярное произведение в С" , 3) для любой вектор - функции q[t) верно представление Замечание 5 .Из условий 2) , 3) вытекает , что любой вектор ЬєРС" (be PC") единственным образом представим в виде т.е. числа ах,...,ар (/?,,...,/?J определяются единственным образом через вектор b Теорема 5.1. Пусть выполнены условия 1)-6) .Тогда методом регуляризации Ломова моэюно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (5.1) - (5.2) имеющий вид 8t Доказательство. Следуя методу регуляризации Ломова , решение Xyt, ) задачи (5.1) - (5.2) ( которое согласно замечанию 2 при єє(0,0) существует ) будем искать в виде.

Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Отсюда, в силу линейной независимости векторов PJbxiO\..., PJb (О) и линейной независимости векторов Рр +:\l\...,Ppn\l) (см. замечание 3 и условия 3),4)), получим и набор чисел zj-, (l), / = /? + 1, П однозначно определяется числом z _1)(l). Очевидно, что множество решений уравнения Tz , =0 удовлетворяющих условиям {6,6 j не пусто (число z{t l)(i) пока произвольное). Следовательно, задача (6.5,) разрешима на множестве и0 Разрешимость задачи (6.50) Так как Относительно искомых функций z l)(t)9l = 2,р, zt {t) условия (б.9 ,),(6.10 ) вместе с условиями (6.7 ,),(6.8 J соответственно составляют задачу Коши. Поэтому из этих условий можно однозначно определить функции zl l)(t\l = 2,р, z( l){t). По уже известному значению 2H)(l) из второго равенства условия (б.б,) можно однозначно определить числа zl \t\l = р + 1,п. Теперь при / = /7 + 1,/7 по числу Z, _l)(l) из уравнения (б.9,) (решая задачу Коши) можно однозначно определить функции z{ [)(t\l = р + \,п. Таким образом, существует единственная г ЄІ/0, которая является решением задачи (6.5,) и для которой уравнение Tz = hit) разрешимо на множестве U . Решение последнего уравнения 0 W dt имеет вид: где функции z(t),l Ф j, І = 1,/ї, j = 2,n,z\(t\r = 2,n однозначно определяются вектор- функциями h(t),zч, а функции Z22(t),...,Zm(t),z\(t) произвольные . Для Z0 краевые условия задачи (6.50) принимают следующий вид If j p Отсюда однозначно определяются числа гдО),/ = 2,/7, Z,(0), a no произвольно заданному числу Z, (1) можно однозначно определить числа zl(\),l = р + 1,п, Таким образом. На множестве U задача (б.50) разрешима. Разрешимость задачи (б.5 \к \. До этого этапа однозначно определены вектор функции z_ltZ0,...,Zk_2 Є U.А для вектор функции числа гГ(0),/ = 2 , z;- (o), и если задавать число z " (l). То по нему можно определить числа z " (l), / = р +1, п\в остальном функции z (l), / = l,w; пока произвольные . Согласно (11.2)-(11.3) уравне ние 7z = разрешимо на множестве U только тогда, когда При / — 2, р по известному значению Z " (0) в силу дифференциального уравнения (6.9tl) можно однозначно определить функцию z _1 (t)l = 2,р. По известному значению Z, (0) в силу дифференциального уравнения (6.10А ,) можно однозначно определить функцию Zu (/),по уже известному значению Z _l(l) можно определить значения Z (1), I = р + 1, Yl\ А через них, в силу дифференциальных уравнений (6.9tl), можно однозначно определить функции z у), / = р + 1,«; Таким образом, существует единственное решение Z ЄІ/ задачи (6.5 ), для которой уравнение Tz = — разрешимо на множестве U. dt Множество решений этого уравнения представимо в виде ,7=1 7 где функции Z (t), I Ф j,l = 1, 72, У = 2,72, Z ( ), Г = 2,П однозначно определяются вектор функцией Zk_t, а функции Zk22(t),...,Zkm\t\z l\t) принимают следующий вид 1) существует единственный набор чисел z (0),/= 2,я, z (0), удовлетворяющий первому условия (б.6к) ; для любого значения z (l) существует единственный набор чисел z (l),/=/? + 1,«, удовлетворяющий второму равенству условия (6.6,). Следовательно, задача (б. 5А). разрешима на множестве U"

Похожие диссертации на Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач

Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных параболических уравнений четвертого порядкаАджалова, Наида Андам кызы

О смешанных задачах для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской Янов Сергей Иванович

Стабилизация решений внешних смешанных задач для одного класса эволюционных системКапитонов, Борис Викторович

Потенциалы, порожденные оператором обобщенного сдвига, и краевые задачи для одного класса сингулярных эллиптических уравненийМухлисов, Фоат Габдуллович

Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных псевдопараболических уравненийАлиев, Чингиз Ибрагим оглы

Краевые задачи для одного класса систем гиперболических и смешанных уравненийОвезова, Марал Мухаммедовна

Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскостиСаушкин Иван Николаевич

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа Мугафаров Марат Фавильевич

Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа Идрисов Ринат Галимович

Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типаАкимов Андрей Анатольевич