Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Вопросы статистических оценок финансовых рисков 10
1.1 . Текущие подходы к оценке рисков. 10
1.2 . Обзор проблематики статистических оценок риска 21
1.3 . Основные подходы к оценке рыночного риска 31
1.4 . Основные подходы к портфельной агрегации оценок рыночного риска 43
1.5 . Основные модели портфельной оценки кредитного риска 47
Глава 2 Статистические оценки рисков на основе универсальных семейств распределений 71
2.1. Вопросы качества аппроксимации при оценке риска 71
2.2 . Аппроксимация изменений рисковых факторов 83
2.3 . Статистическая верификация качества оценок финансовых рисков 102
2.4 . Портфельная агрегация оценок риска 107
Глава 3 Анализ применимости предлагаемых подходов 112
3.1 . Оценка состояния ценных бумаг 112
3.2 . Аппроксимация распределений фондового и долгового рынка 118
3.3 . Оценка рыночного риска на фондовом рынке 127
3.4. Оценка кредитного риска на долговом рынке 147
Заключение 155
Литература 161
A. Статистические и экопометрическис методы, анализ данных 161
B. Анализ и управление рисками 163
C. Отимизационные алгоритмы 168
ПРИЛОЖЕНИЯ 1
- Текущие подходы к оценке рисков.
- Вопросы качества аппроксимации при оценке риска
- Оценка состояния ценных бумаг
Введение к работе
Актуальность исследовании
Управление рисками в рыночной экономике является важным компонентом общего менеджмента. Высококонкурентная среда рано и ли поздно приводит к неблагоприятным сочетаниям внешних и внутренних факторов, способных поставить под угрозу деятельность всей компании. Единственной альтернативой страхования бизнес рисков является деятельность специалистов компании, направленная на управление финансовыми и другими рисками. Более всего управление финансовыми рисками актуально для финансовых компаний
- банков, инвестиционных и управляющий, действующих на рынке ценных бумаг.
Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена развитием и возрастающей ролью рынков капитала в российской экономике, устойчиво развивающихся после августовского дефолта российской экономики. Развитие рынков цепных бумаг обуславливает развитие методов прикладной финансовой статистики, призванной дать специалистам по ценным бумагам адекватный аппарат исследования инвестиционной привлекательности бумаг.
Особое внимание при этом получают те статистические методы, которые дают возможность наиболее четко и аккуратно оценить финансовые риски, возникающие при инвестициях в ценных бумаги различных видов. Любая деятельность на рынке ценных бумаг сопряжена с финансовым риском убытков вследствие влияния целого набора факторов. Среди финансовых рисков наиболее опасными считаются рыночные и кредитные риски. Неблагоприятное влияние этих рисков может негативно сказаться на прибыльности финансовых организаций. Эффективность работы на данном рынке напрямую связана со способностью управлять финансовыми рисками.
Одним из важнейших этапов управления финансовыми рисками является их адекватная статистическая оценка. В западной теории методология оценки рисков достаточно проработана и практически апробирована. Одним из самых популярных и признанных подходов в оценке рисков является оценка стоимости под риском (CUP, в западной литературе
- СПР). Это подтверждается, например, тем, что Базельский комитет рекомендовал
использование показателя СПР для определения банковских лимитов.
Однако условия, для которых разрабатывалась эта методология, отличаются от российских. В частности, это выражается в следующем:
становление российского рынка еще не завершено, в связи с чем финансовые рынки
характеризуются нестабильностью;
для полноценного применения методов оценки необходима историческая информация, которой очень мало, так как становление финансового рынка в России началось только в начале 90-х годов;
отсутствие полноценной рыночной информации, как статистика банкротств предприятий, рыночные и кредитные спреды;
использование предположений, которые не применимы к российскому фондовому рынку.
В связи с перечисленными проблемами актуальными являются анализ существующих методов статистической оценки показателя стоимости под риском и выработка на его основе новых мер по их адаптации к российскому финансовому рынку.
Использование современного статистического аппарата и вычислительных средств позволяет выработать новые методы оценки СПР, основанные на более адекватных предположениях относительно статистических характеристик случайных величин. Развитие финансовой статистики является основой для разработки новых подходов к управлению финансовыми рисками. Таким образом, актуальность исследования существующих и выработки новых методов статистический оценки рисков обусловлена необходимостью
развития системы управления рыночными и кредитными рисками на российском рынке ценных бумаг;
разработки статистических методов оценки рыночных и кредитных рисков, адаптированных к российскому фондовому рынку.
Цели и задачи исследования
Целью исследования вляется анализ существующих, обоснование новых подходов к оценке и управлению финансовыми рисками на российском рынке ценных бумаг.
Достижение поставленной цели в диссертационной работе осуществлялось через решение следующих задач;
проведение анализа существующих подходов к оценке рыночных и кредитных рисков;
выявление основных факторов качества оценки финансовых рисков
проведение анализа основных факторов качества оценки финансовых рисков (статистических подходов к оценке ликвидности и аппроксимации распределений доходности ценных бумаг);
формирование методов, основанных на использовании универсальных семейств распределений для оценки рыночных рисков;
формирование методов, основанных на использовании универсальных семейств распределений для оценки кредитного риска;
Решение каждой их этих задач осуществлялось через рассмотрение теоретических положений, имеющих повсеместное распространение и предлагаемых автором, с последующим тестированием их на российском фондовом и долговом рынке
Объект и предмет исследования
Объектом исследования является два основных сегмента российского рынка ценных бумаг - фондовый рынок акций и долговой рынок облигаций.
Предметом исследования является процесс оценки рыночных и кредитных рисков при использовании показателя стоимости под риском.
Научная новизна и практическая значимость
Научная новизна результатов исследования состоит:
в разработке методики оценки уровня ликвидности ценных бумаг на основе кластерного анализа;
в формировании подхода к аппроксимации доходностей ценных бумаг в зависимости от уровня ликвидности;
в разработке подхода к выбору ниалучшей спецификации модели прогнозирования первого и второго моментов на основе статистического скоринга наличия в остатках эффектов отклонения от заданного распределения;
в разработке подходов к получению статистических оценок рыночных рисков на рынках акций и облигаций на основе универсальных семейств распределений,
в формировании улучшенного подхода к статистической верификации качества оценки рыночного риска на основе скорректированного показателя реального доверительного интервала;
в разработке подходов к получению статистических оценок кредитных рисков на рынках акций и облигаций на основе универсальных семейств распределений.
Практическая значимость результатов диссертации состоит в следующем:
разработана методика расчета уровня ликвидности ценных бумаг на основе набора эмпирически наблюдаемых характеристик ликвидности;
выявлена необходимость учета уровня ликвидности при аппроксимации доходностей ценных бумаг;
разработана методика оценки рыночных и кредитных рисков на российском рынке облигаций с использованием универсальных семейств распределения;
предложены рекомендации по использованию существующих комплексных подходов оценки кредитных рисков на российском рынке облигаций;
предложен алгоритм управления рыночными и кредитными рисками, возникающими
по портфелю облигаций с использованием методов оценки рисков, основанных на
функциях распределения Пирсона.
Методологическая и теоретическая основа
Теоретическую базу исследования составили работы западных специалистов в статистике и экономике посвященные вопросам оценки финансовых рисков: Jorion P., Crouphy М., Galai D., Linsmeier Т., Pearson N., Pritsker M. Использовались технические документы по оценке кредитных рисков корпораций J.P.Morgan, KMV, Credit Suisse, а также документация Базельского комитета, Группы 30, ассоциации профессиональных финансовых менеджеров, Coopers & Lybrand и другие.
Использовались работы отечественных специалистов: Меньшикова И,С, Шелагина Д.А., Хохлова Н.В., Балабанова К.Г., Вахрушева Д.С., Мельникова А.В., Шапкина А.С., Белякова А.В., Буянова В.П., Гранатурова В.М. и др.
Методологической основой исследования послужили законы диалектической логики, единство логического, эволюционного и исторического. В процессе работы применялись общенаучные методы и приемы: научная абстракция, классификации и группировки, логический и функциональный анализ, сравнение, обобщение, аналогия, моделирование, системный и исторический анализ.
Информационная база и программное обеспечение Информационная базу исследования составили:
исторические данные по торгам с площадок ММВБ, РТС, полученные с сайта Инвестиционной компании Финнам (wwwjmrnaru )
данные аналитических и информационных агентств (Standard & Poors, Moody's), полученные с сайта консалтинговой компании СБонда ()
законодательные акты Российской Федерации, нормативные документы Министерства финансов Российской Федерации и Банка России, определяющие порядок осуществления операций с облигациями, полученные из справочной системы Гарант.
внутренние нормативные документы ведущих российских организаторов торгов облигациями (правила торгов);
публикации в отечественной и зарубежной экономической периодике, общая и специальная литература в области оценки и управления рыночными и кредитными рисками на рынке облигаций.
Программное обеспечение, использованное при проведении и оформлении диссертационного исследования, определялось конкретными нуждами на различных этапах.
На этапе сбора информации о совокупности объектов исследования использовалась информационная среда R3000 компании Reuters.
При ознакомлении с существующими разработками в области управления рисками и используемыми статистическими методами преимущественно использовался Adobe Acrobat Reader компании Adobe.
Для хранения данных по истории изменений биржевых котировок использовалась среда управления базами данных MS Access компании Microsoft.
Пакет Matlab компании MathWorks применялся для проведения основного объема статистических расчетов. Несмотря на обилие специализированных статистических пакетов (Statistica, Eview, и др.) их основным недостатком является закрытость исходного кода и невозможность полноценной разработки собственных алгоритмов. Поэтому предпочтение было отдано более универсальному средству, коим является пакет Matlab.
Для проведения части вычислений и обработки полученных в пакете Matlab результатов использовался редактор текстовых таблиц MS Excel компании Microsoft.
Для визуализации в виде схем излагаемого автором материала использовался редактор схем MS Visio компании Microsoft.
На этапе подготовки итогового диссертационного исследования применялся редактор текста MS Word компании Microsoft.
Апробация и публикация результатов
Теоретические и практические положения диссертации нашли применение в деятельности компаний ОАО «Церих Кэпитал Менеджмент», ОАО «Московский банк реконструкции и развития» и ОАО «Судостроительный банк». Результаты исследования излагались диссертантом на ежегодных научных конференциях, проводимых в РЭА им. Г.В. Плеханова в 2001-2004 годах.
Рекомендации и предложения, представленные в диссертации, могут быть использованы Банком России, Министерством финансов РФ и Федеральной службой по финансовым рынкам при регулировании операций па фондовом рынке.
Основные положения исследования отражены в опубликованных научных трудах автора. По теме диссертации автором опубликованы 12 работы общим объемом 4,2 п.л.:
Лебедев С.А. , Инвестиции и капиталовложения, Четырнадцатые международные плехановские чтения: тезисы и доклады студентов-М.:Рос.экон.акад.,апр. 2001,0.1 п.л.
Лебедев С.А , Риск и неопределенность в экономике, Шестнадцатые международные плехановские чтения: тезисы и доклады студентов-М.:Рос.экон.акад.,апр. 2003, 0.1 п.л.
Зенков Б.Г., Коробкин А.Д., Лебедев С.А. Частотная система выявления инвестиционной привлекательности акций. Серия Прикладная бизнес-статистика, М: Из-во Рос.Экон.Акад.,2004,1.2 п.л.
Лебедев С.А., Фрактальная статистика как основа анализа нелинейных процессов на рынках капитала. Семнадцатые международные плехановские чтения: тезисы и доклады аспирантов - М.:Рос.экон.акад., апр. 2004, 0.1 п.л.
Лебедев С.А. , Подходы к аппроксимации распределений доходностей ценных бумаг, Восемнадцатые международные плехановские чтения: тезисы и доклады аспирантов -М.:Рос.экон.акад., апр. 2006,0.1 п.л.
Лебедев С.А., Тураров Р.Е., Анализ рыночного риска облигаций, Восемнадцатые международные плехановские чтения: тезисы и доклады студентов - М.:Рос.экон.акад., апр. 2006,0.1 п.л.
Лебедев С.А., Использование метода статистической кластеризации для анализа ликвидности ценных бумаг, Прикладная финансовая статистика банков и фондового рынка, в.1/06, М.:Рос.экон.акад., май 2006, 0.4 п.л.
Лебедев С.А., Оценка точности и верификация моделей рыночного риска, Прикладная финансовая статистика банков и фондового рынка, в,1/06, М.:Рос.экон.акад., май 2006, 0.4 п.л.
Лебедев С.А., Бэк-тестирование моделей кредитного риска, Прикладная финансовая статистика банков и фондового рынка, в.1/06, М.:Рос.экоп.акад., май 2006,0.4 п.л.
Лебедев С.А., Оценка устойчивости портфеля ценных бумаг, Прикладная финансовая статистика банков и фондового рынка, в.1/06, М.:Рос.экон.акад,, май 2006,0,4 п.л.
Лебедев С.А., Вопросы качества аппроксимации доходностей ценных бумаг, Прикладная финансовая статистика банков и фондового рынка, в.1/06, М.:Рос.экон.акад., май 2006, 0.4 п.л.
Лебедев С.А., Оценка рыночных рисков ценных бумаг на основе семейств универсальных распределений, «Финансы и кредит» №29, М: Финансы и кредит, окт.2006,0.5 п.л.
Структура и наполнение
Структура диссертационного исследования построена на принципах системного подхода к исследованию1 и включает три крупные тематические главы, определяющие следующую схему изложения материала «сущность проблемы и ее постановка -
Б.А. Райзберг. Диссертация и ученая степень, М: Инфра-М, 2005
предлагаемые способы решения проблемы - подтверждение и практическое значение результатов исследования».
В первой главе рассмотрены общие подходы к вопросам управления рисками, дан обзор проблематики исследования данного вопроса на современном этапе развития методологии управлении рисками, поставлены и обоснованы предлагаемые автором пути решения проблемы качества статистических оценок риска.
Вторая глава посвящена обзору современных подходов к управлению рыночными и кредитными рисками. В пей более подробно освещены методы получения оценок рыночных и кредитных рисков, использованные автором для разработки собственных подходов.
В третьей главе автор излагает сформулированные им предложения по повышению качества оценок рыночного и кредитного риска - учет ликвидности в оценках, улучшение качества аппроксимации на основе использования универсальных семейств распределений.
В четвертой главе изложены практические результаты применения предлагаемых подходов.
Излагаемый в диссертационном исследовании материал сопровождается формулами, иллюстрациями, таблицами и схемами. В работе приведено 36 иллюстраций и схем, 97 таблиц и 215 формул. Работа изложена на 198 листах, включая основной текст и приложения.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.э.н. Коробкииу А.Д. и следующим специалистам в области управления рисками, без советов и рекомендаций которых написание данной работы было бы затруднителыю - Барбаумову В.Е., Лобанову А.А., Черемисиной М.В., Грошеву Ю.В., Золкипу Ю.В., Курюмову К.Н.
Текущие подходы к оценке рисков
Теория риска в применении к инвестиционному анализу начала интенсивно развиваться за рубежом с 50-х гг. прошлого столетия. Первое предложение по организации в финансовых компаниях отделов управления рисками было озвучено в 1956г [Л 103], Наибольшее число исследований, посвященных анализу риска, принадлежит американским ученым, но над этой проблемой активно работали и в западноевропейских странах. В то же время в нашей стране происходило развитие математического аппарата анализа рисков применительно к теории планирования эксперимента в технических и естественных областях знаний.
Необходимо различать понятия "риск" и "неопределенность". Неопределенность предполагает наличие факторов, при которых результаты действий не являются детерминированными, а степень возможного влияния этих факторов па результаты неизвестна. Факторы неопределенности подразделяются на внутренние и внешние. Внешние факторы - законодательство, реакция рынка на выпускаемую продукцию, действия конкурентов; внутренние - компетентность персонала фирмы, неадекватность определения характеристик проекта и др.
Риск - потенциальная, численно измеримая возможность потери. Концепция объективных вероятностей строится на интерпретации понятия вероятности как предельного значения частоты при бесконечно большом числе экспериментов, и оценка вероятности производится посредством вычисления частоты, с которой происходит данное событие. В противоположность этому при определении субъективных вероятностей на первое место выступает мнение индивида, отражающее состояние его информационного фонда.
В отличие от неопределенности вообще, риск является измеримой величиной, его количественной мерой может служить вероятность неблагоприятного исхода. В более узком смысле под риском понимается вероятность недополучения прибыли либо потери стоимости портфеля финансовых активов, доходов от инвестиционного проекта, компании в целом и т. д. Проблема управления рисками существует в любом секторе экономики - от сельского хозяйства и промышленности до торговли и финансов, что и объясняет ее постоянную актуальность.
Любая деятельность на финансовом рынке сопряжена с риском убытков вследствие действия большого количества различных факторов. Среди этих факторов могут быть колебания процентных ставок, изменения обменных курсов валют, изменение доходности портфеля акций вследствие рыночных колебаний, изменение налогового законодательства, политического режима, стихийные бедствия. После целого ряда финансовых кризисов проблема управления финансовыми рисками стала особенно актуальной для российских финансовых и нефинансовых компаний. Однако, если вопросы оценки рыночного риска ценных бумаг достаточно хорошо освещены как в российской, так и в зарубежной литературе, то тематика оценки кредитной составляющей риска вложений на финансовых рынках является достаточно мало исследуемой.
Финансовые риски возникли вместе с появлением денежного обращения и отношений "заемщик-кредитор". По мере развития финансовых систем спектр рисков постоянно расширялся, однако задача грамотного управления рисками встала необычайно остро как для участников финансового рынка, так и промышленных корпораций, а также государственных регулирующих органов лишь в последние 10-15 лет.
Характерной особенностью последнего времени стали не собственно банкротства отдельных компаний и банков или кризисы государственных финансов в различных странах, которые случались и раньше, а те масштабы и быстрота, с которой они возникают и распространяются. В нынешних условиях серия неудачных операций с производными ценными бумагами в течение нескольких недель может привести к неприемлемому ущербу даже для обладающего солидным запасом прочности банка или инвестиционного фонда.
Существует несколько факторов, способствующих повышению уязвимости финансовых институтов и все большего числа нефинансовых компаний, главным из которых признается бурное развитие рынка производных финансовых инструментов. Всю массу обращающихся в мире деривативов (многие из которых сами являются производными от других производных финансовых инструментов), многократно превосходящую по стоимости совокупный объем производимых товаров и услуг, часто сравнивают с перевернутой пирамидой, основывающейся на фундаменте реального производства и практически неограниченно расширяющейся кверху. Эта аналогия позволяет наглядно представить, что даже слабое или незначительное колебание в основании (положении фирм реального сектора) приводит к значительным сотрясениям "надстройки" - рынка производных ценных бумаг. Эти потрясения, безусловно, оказывают и сильное обратное воздействие на производителей товаров и услуг, которые все чаще используют финансовые деривативы не только для страхования своих позиций, но и для получения спекулятивной прибыли. Кроме того, возрастающая сложность структуры самих производных ценных бумаг существенно затрудняет проведение их адекватной оценки и своевременного предупреждения рисков.
Развитие средств телекоммуникаций дало возможность инвесторам заключать сделки в режиме реального времени практически на любом рынке из любой точки земного шара. Приход электронных систем торговли ценными бумагами резко преобразил внебиржевой фондовый рынок, сделав из него реального конкурента для крупнейших бирж мира, В середине 80-х годов широкое распространение получила так называемая "программная торговля", когда компьютер непрерывно отслеживает динамику цен активов одновременно на многих рынках с целью обнаружения малейшего ценового диспаритета и совершения арбитражных сделок. Обратной стороной программной торговли становится все большая непредсказуемость и неустойчивость рыночных цен. Так, "черный понедельник" 19 октября 1987 г., отмеченный грандиозным биржевым крахом в США, произошел, по мнению многих специалистов, во многом из-за эффекта положительной обратной связи, образовавшейся вследствие неумеренной активности компьютерных программ индексного арбитража [9],
Другим не менее важным фактором уязвимости является процесс глобализации мирового хозяйства, в котором национальные экономики оказываются все менее защищенными от влияния экономических кризисов в других странах. Недавним подтверждением этому может служить валютный и фондовый кризис в Юго-Восточной Азии, волны которого прокатились по всем странам мира во второй половине 1997 г., с особенной силой обрушившись на так называемые "развивающиеся рынки". Глобализация неразрывно связана с тенденцией ко все большему дерегулированию финансовых рынков, начало которому было положено в США в середине 1980-х гг. В процесс дерегулирования постепенно вовлекаются европейский и азиатские рынки, а также финансовые рынки стран с развивающейся и переходной экономикой. Основными направлениями дерегулирования являются отмена ограничений по банковским депозитным ставкам и комиссионным вознаграждениям для брокеров, а также постепенный допуск коммерческих банков к полноценным операциям на рынках ценных бумаг, в том числе и на срочных рынках.
Вопросы качества аппроксимации при оценке риска
Стандартные случайные величины Задача аппроксимации на основе типовых распределений решается итерационно и включает выполнение трех основных шагов [ЛИ]:
1. предварительного выбора вида закона распределения;
2. определения оценок параметров закона распределения;
3. оценки согласованности закона распределения и эмпирических данных.
Если заданный уровень согласованности достигнут, то задача считается решенной, а если нет, то шаги повторяются снова, начиная с первого шага, на котором выбирается другой вид закона, или начиная со второго - путем некоторого уточнения параметров распределения.
Выбор вида закона распределения осуществляется посредством анализа гистограммы распределения, оценок коэффициентов асимметрии и эксцесса. По степени "похожести" гистограммы и графиков плотностей распределения типовых законов или по "близости" значений оценок коэффициентов и диапазонов их теоретических значений выбираются распределения - кандидаты для последующей оценки параметров.
После выбора подходящего вида распределения производится оценка его параметров, используя методы максимального правдоподобия, моментов или квантилей..
Применительно к выбранному закону распределения производится проверка гипотезы о том, что имеющаяся выборка может принадлежать этому закону. Если гипотеза не отвергается, то можно считать, что задача аппроксимации решена. Если гипотеза отвергается, то возможны следующие действия: изменения значений оценок параметров распределения; выбор другого вида закона распределения; продолжение наблюдений и пополнение выборки. Конечно, такой подход не гарантирует нахождение "истинного" или даже подбора подходящего закона распределения.
Преимущество применения типовых законов распределения состоит в их хорошей изученности и возможности получения состоятельных, несмещенных и относительно высоко эффективных оценок параметров. Однако рассмотренные выше типовые законы распределения не обладают необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает необходимой общности представления случайных величин, которые встречаются при исследовании доходпостей финансовых инструментов.
Оценка состояния ценных бумаг
Необходимо рассмотреть вопросы использования методов, методы могут быть применены рассмотренных в п.1.5.
Автором предлагается использовать метод генетических алгоритмов для построения распределения из семейства Пирсона такого вида, что функция плотности этого распределения адекватна наблюдаемым данным.
Генетический алгоритм представляет собой метод изменения параметров некоторой функции таким образом, что данные изменения приводят к увеличению некоторого целевого критерия. Рассмотрим кратко принципы функционирования генетических алгоритмов.
Идея генетических алгоритмов заимствована у живой природы и состоит в организации эволюционного процесса, конечной целью которого является получение оптимального решения в сложной комбинаторной задаче. Разработчик генетических алгоритмов выступает в данном случае как "создатель", который должен правильно установить законы эволюции, чтобы достичь желаемой цели как можно быстрее. Впервые эти нестандартные идеи были применены к решению оптимизационных задач в середине 70-х годов [Л154],[Л159]. Примерно через десять лет появились первые теоретические обоснования этого подхода [Л163],[Л168],[Л169]. На сегодняшний день генетические алгоритмы доказали свою конкурентноспособность при решении многих NP-трудных задач [Л153],[Л162] и особенно в практических приложениях, где математические модели имеют сложную структуру и применение стандартных методов типа ветвей и границ, динамического или линейного программирования крайне затруднено.
Стандартный генетический алгоритм начинает свою работу с формирования начальной популяции 10 = {іі, І2, ..., is} — конечного набора допустимых решений задачи. Эти решения могут быть выбраны случайным образом или получены с помощью вероятностных алгоритмов [ЛІ48]. Выбор начальной популяции не имеет значения для сходимости процесса в асимптотике, однако формирование "хорошей" начальной популяции (например из множества локальных оптимумов) может заметно сократить время достижения глобального оптимума.
На каждом шаге эволюции с помощью вероятностного оператора селекции выбираются два решения, родители / ], h. Оператор скрещивания по решениям i\, h строит новое решение / , которое затем подвергается небольшим случайным модификациям, которые принято называть мутациями. Затем решение добавляется в популяцию, а решение с наименьшим значением целевой функции удаляется из популяции. Общая схема такого алгоритма может быть записана следующим образом.
1. Выбрать начальную популяцию Ц и положить / = max {/(і) і є/0}, k: = 0.
2. Пока не выполнен критерий остановки проводить следующее итерационные шаги
2.1. Выбрать родителей /[, h из популяции Ik. (селекция)
2.2. Построить / по I I, h. (скрещивание)
2.3. Модифицировать V. (мутация)
2.4. Если/ /( ), то/ : =/(Г).
2.5. Обновить популяцию и положить k: = к+1.
Остановимся подробнее на основных операторах этого алгоритма: селекции, скрещивании и мутации
Среди операторов селекции наиболее распространенными являются два вероятностных оператора пропорциопалыюй и турнирной селекции. При пропорциональной селекции вероятность на А-м шаге выбрать решение / в качестве одного из родителей задается формулой
