Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор различных моделей коллективного взаимодействия 13
1.1. Введение в теорию коллективного движения 13
1.1.1 Основные объекты исследования 13
1.1.2. Процессы 13
1.1.3. Применение методов статистической физики 14
1.2. Основные понятия 15
1.2.1. Структура, состав, размеры 15
1.2.2. Особь и сообщество; коммуникации 17
1.2.3. Типы движения 18
1.2.4. Моделирование 19
1.2.5. Исторические замечания 24
1.3. Описание движения одиночной особи 24
1.3.1. Социальная динамика 26
1.3.2. Уравнение энергии 28
1.4. Описание движения коллектива 29
1.4.1. Конечное число особей; детерминистский подход 31
1.4.2. Конечное число особей; стохастичность 32
1.4.3. Автоматные модели 33
1.4.4. Кинетические уравнения 35
1.4.5. Континуальные модели и гидродинамические уравнения 37
1.4.6. Типы коллективного движения, предсказываемые моделями 40
1.5. Особенности поведения применительно к транспортным потокам: модели, ситуации, результаты 40
1.5.1. Транспортные потоки 40
1.5.2. Люди; толпа 59
ГЛАВА 2 CLASS Устойчивость движения автобусов по расписанию и уравнения кинетики пассажиров для автономной модели следования 66 CLASS
2.1. Кинетика автобусов 66
2.2. Кинетика пассажиров 70
2.3. Автобусы, следующие по расписанию 73
2.4. Выводы 90
ГЛАВА 3 Модернизация автономной модели с учетом эволюционного параметра. Примеры реалистичных «программ движения» в случае возникновения отклонений. Исследование устойчивости 92
3.1. Кинетика автобусов 93
3.2. Выбор и обоснование стратегий водителя 101
3.2.1. Стратегия «отклонения одного знака» 101
3.2.2. Стратегия «жесткое следование расписанию» 106
3.2.3. Стратегия «борьба противоположных факторов» 114
3.3. Выводы 120
ГЛАВА 4 Связанная модель движения общественного транспорта с учетом влияния поведения пассажиров. Устойчивость системы 121
4.1. Основные уравнения для временных характеристик движения автобусов и уравнения кинетики пассажиров 121
4.2. Задаваемые величины и условия 123
4.3. Перемещение пассажиров в салоне автобуса 126
4.4. Движение по расписанию 129
4.5. Устойчивость в линейном приближении 131
4.6. Анализ устойчивости для различных стратегий водителя 136
4.7. Некоторые замечания об уменьшении степеней свободы в задаче 148 4.8.Выводы 159
Заключение 160
Приложение 1 162
Список литературы
- Применение методов статистической физики
- Кинетика пассажиров
- Стратегия «отклонения одного знака»
- Перемещение пассажиров в салоне автобуса
Введение к работе
В теории коллективного движения живых организмов одним из наиболее продвинутых направлений является исследование транспортных, в особенности автомобильных потоков. Естественно, что для общих задач о движении транспорта внутри большого города возникают вопросы организации общественного транспорта - автобусов, троллейбусов, трамваев, поездов метрополитена, электричек и т.д. Постановка соответствующих задач характеризуется наличием на заданном маршруте фиксированных остановок, достижение которых регламентируется расписанием, запрещением обгонов и взаимодействием в пути и на остановках с движением коллектива пассажиров. Близкие по идеям задачи возникают в исследованиях вертикального транспорта - лифтов, эскалаторов и др.
В работе, на примере системы «автобусы - пассажиры», рассматривается вопрос о моделировании взаимовлияния движений коллективов. Суть этого взаимовлияния, в данном случае, заключается в том, что прохождение автобуса по маршруту зависит, при прочих равных условиях, от длительности посадки и высадки пассажиров на остановках, а эти времена зависят от загрузки автобусов и скопления пассажиров на остановках. В свою очередь, число пассажиров в автобусах и на остановках зависит от движения автобусов по маршруту.
Цели работы заключаются в том, чтобы сформулировать общие уравнения и гипотезы, касающиеся поведения водителей и пассажиров в автономных и связанных моделях, с учетом различия пассажиров по пунктам назначения; рассмотреть случай движения автобусов по расписанию; получить и исследовать в линейном приближении уравнения для отклонений параметров системы от предписанных расписанием значений и определить области допустимых изменений управляющих параметров, в пределах которых система сохраняет устойчивость, а также определить возможные типы возмущений, которые при заданных значениях управляющих параметров могут привести систему в неустойчивое состояние; осуществить переход от автономных моделей к связанным моделям, в которых движение предыдущего автобуса влияет на скопление пассажиров ожидающих на остановке, а через него на динамику движения наблюдаемого экипажа.
Структура и объем работы:
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 161 стр. текста, 64 стр. приложения и список литературы, включающий 252 библиографические ссылки.
В главе 1 представлено описание состояния проблемы в настоящее время, а также история развития вопроса. Описаны основные подходы к решению транспортных задач и моделирования коллективного движения пешеходов и пассажиров. Рассмотрены достоинства и недостатки этих подходов.
В первом разделе описаны основные объекты исследования, их локомоции (перемещения) и корректность применения методов механики в изучении таких систем.
Во втором разделе вводятся основные понятия, используемые при математическом моделировании указанных задач, описываются основные виды движений, ставятся вопросы, которые необходимо учитывать при построении моделей. Так же приводятся некоторые исторические замечания.
Раздел три полностью посвящен описанию движения одиночной особи. Вводятся понятия социальной механики для описания сил, влияющих на особь, так же приводятся уравнения энергии.
Четвертый раздел посвящен описанию движения коллектива. Представлены обзоры различных подходов к решению задач, данного типа, в том числе: детерминистский и стохастический подходы для конечного числа особей, автоматные модели, кинетические уравнения, континуальные модели, гидродинамические уравнения, сделан обзор типов движения, которые можно предсказать при математическом моделировании.
Пятый раздел посвящен обзору работ, как для транспортных задач, так и для задач коллективного движения пешеходов и пассажиров, использующих методы, подробно изложенные в четвертом разделе. Здесь же обсуждается переход от задач моделирования автомобильного движения, наиболее развитых в настоящее время, к задачам организации движения общественного транспорта и его изучения.
В главе 2 осуществляется постановка автономной задачи движения общественного транспорта (полное описание кинетики автобусов и пассажиров на произвольном маршруте), регламентированного расписанием. Проводится исследование устойчивости движения по расписанию в линейном приближении. Рассматривается пример возникновения хаотизации отклонений.
В первом разделе приводятся кинетические уравнения, задающие движение автобусов на маршруте.
Для замыкания системы уравнений, требуется описание кинетики пассажиров, которое приводится во втором разделе. Приводятся интегральные соотношения для описания количества пассажиров на остановке, ожидающих транспорт, а так же балансовые соотношения для числа садящихся, выходящих и находящихся внутри салона во время движения пассажиров.
Третий раздел посвящен описанию кинетики автобусов, с учетом регламентации движения расписанием. Вводятся понятия отклонений от расписания, и в терминах этих отклонений выписываются уравнения кинетики. Особенностью полученной системы, является то, что поведение каждого автобуса может быть проанализировано автономно, т.е. независимо от движения остальных экипажей. Для заданных функций, описывающих скорость на перегоне и время стоянки, проводится исследование их свойств и устойчивости движения по расписанию. Найден критерий для параметров задачи, соблюдая который, движение по расписанию сохраняет устойчивость при возникновении малых отклонений. Проведены численные эксперименты с целью проверки аналитических результатов построения иллюстративных рисунков и изучения эволюции конечных возмущений при различных начальных данных. Рассмотрены хаотические отклонения, возникающие при движении системы.
Четвертый раздел содержит замечания, касающиеся направлений, в которых возможно развитие и модернизация задачи.
В главе 3 представлено обобщение автономной модели движения автобусов по расписанию, построенной в главе 2, учитывающее более сложное поведение водителя, когда он руководствуется не только величиной опоздания, но и тем, удалось ли ее уменьшить на последнем пройденном перегоне. В линейном приближении анализируется устойчивость движения по расписанию для разнообразных примеров «программ движения» автобусов приведенных в работе. Предъявляются стратегии поведения, для которых движение автобуса, сохраняет устойчивость в первом приближении для любых значений параметров расписания, т.е. устойчивые стратегии.
В первом разделе вводится новый параметр задачи - эволюция отклонения времени отправления, который иллюстрирует тенденции для отклонений, возникающих в системе. Изменяются структуры функций, описывающих скорость и время стоянки на остановке и в отличие от главы 2, теперь не только скорость движения, но и время стоянки выбиралось с учетом опоздания прибытия (с ним и связано количество избыточных пассажиров) и эволюции опозданий отправления. Время стоянки зависит от отклонения времени прибытия автобуса на остановку, отклонения времени отправления с предыдущей и эволюции отклонения времени отправления. Скорость на перегоне - от отклонения времени отправления и его эволюции. Для этих модернизированных, более реалистичных структур функций общего вида, получен критерий линейной устойчивости.
Раздел два полностью посвящен описанию различных стратегий поведения водителя, учитывающих социальные и психологические факторы, с помощью механических функций. Найдены «программы движения» для нескольких моделей поведения водителя. Отклонения, возникающие в системе, имеют один знак (стратегия 2.1); водитель ориентируется только на соблюдение расписания, и не дожидается посадки всех пассажиров, ожидающих на остановке (стратегия 2.2); при выборе стратегии движения водитель находит компромиссное решение, т.к. происходит борьба противоположных мотивов -гуманности (перевозка всех ожидающих) и требования соблюдения расписания (стратегия 2.3). Критерий анализа устойчивости в линейном приближении общего вида переформулирован для каждой из этих стратегий, найдены области значений параметров, характеризующих расписание, в которых движение устойчиво. Стратегии 2.2 и 2.3 являются универсальными в том смысле, что для любого расписания, составленного с учетом областей допустимых значений характерных параметров, малые отклонения, возникающие в системе - затухают и движение возвращается к расписанию.
В главе 4 продолжена иерархия модернизации моделей движения общественного транспорта. Опираясь на кинематические соотношения для пассажиров, ожидающих прихода транспорта на остановках, находящихся в салоне во время движения, выходящих из автобуса или входящих в него, осуществлен переход от автономных к связанным моделям. Представлена замкнутая система уравнений, учитывающих влияние автобусов друг на друга. Представлены аналитические критерии линейной устойчивости для различных функций («программ движения»). На примере функции скорости, заданной для описания стратегии 3 предыдущей главы, исследована устойчивость движения по расписанию при возникновении возмущений двух типов - «бегущая волна» и «пульсирующий источник» - различного спектра (для задачи, в которой водителю предписано забирать всех пассажиров с остановки, не обращая внимания на опоздание). Исследовано влияние возмущений обоих типов друг на друга. Проведен анализ сведения данных возмущений к зависимости только от параметров расписания и данных, поступающих из транспортных компаний. На его основе разработаны рекомендации для составления расписаний.
В первом разделе представлены основные уравнения для временных характеристик движения автобусов и уравнения кинетики пассажиров.
Второй раздел касается определения величин, которые необходимо задавать при моделировании и для численного решения задачи. Из сведений, собираемых транспортными компаниями, можно получить значение скорости притока пассажиров на остановки в течение суток (вообще говоря, отдельно для каждого дня недели и для праздничных дней). Фиксируется также число пассажиров, выходящих на каждой остановке. Специальные опросы позволяют выяснить более детальные сведения, а именно распределение пассажиропотоков. Существуют также приемы регистрации временных характеристик движения. Все эти величины подвержены возмущениям из-за отклонения движения автобусов от расписания.
В общей модели заданными можно полагать значения параметров в идеализированных условиях, т.е. при абсолютно точном выполнении режима движения и невозмущенном притоке пассажиров на остановки. Это дает возможность переформулировать модель в терминах отклонений от регламентированного движения.
Кроме того, требуется еще ввести соотношения для функций управления, отражающие роль психологических, социальных и физических факторов, отражающие выбор водителем скорости на перегоне и продолжительности стоянки в соответствии со стремлением соблюсти предписанный режим движения, с одной стороны, и обеспечить некоторый желаемый или предписанный уровень обслуживания пассажиров, с другой. Все ситуации, сопряженные с выбором поведения, требуют отдельного конструирования функций, его описывающих, на основании всякого рода косвенных и интуитивных соображений, из наблюдений, аналогий, и просто из здравого смысла.
Раздел три, касается перемещения пассажиров внутри салона автобуса во время движения на перегоне, а также во время стоянки на остановке. Континуальный подход к движению пассажиров в салоне автобуса был бы оправдан для высокой концентрации пассажиров, а при произвольных концентрациях, от низких до высоких, будут предпочтительны микроскопические подходы, подобные тем, которые используются в задачах об аварийной эвакуации и возникновении паники [207,230 - 233].
При обсуждении задачи о распределении пассажиров в салоне, следует заметить, что в рамках рассматриваемых моделей само это распределение представляет лишь второстепенный интерес (в основном, оно существенно для проектировщиков внутренности салона). Главное - это определение связи продолжительности высадки и посадки с заполнением автобуса, количеством ожидающих пассажиров и некоторыми другими факторами. При сведении этих связей, хотя бы приближенно, к конечным соотношениям между корректно осредненными величинами, мы получим замыкающие соотношения для уравнений разд. 2 данной главы.
В разделе четыре, рассматривается движение автобусов по расписанию в случае, когда регламентированы времена прибытия на остановки и длительности стоянки. Опираясь на количественные и временные характеристики, определенные в первом разделе, получаем систему уравнений для этих величин. Здесь же осуществляется переход от автономных моделей к связанным.
Полученная система оказывается незамкнутой, и далее принимается гипотеза о том, что осуществляется невозмущенная высадка пассажиров из автобусов. Не слишком фантастичным, особенно при малых опозданиях, кажется предположение о том, что число пассажиров, выходящих на данной остановке из данного автобуса, не зависит от его опоздания. Тогда система уравнений замкнута. Она, отличается тем, что только уравнение баланса числа пассажиров на остановке содержит переменные с номерами двух последовательных автобусов одновременно. Во все остальные уравнения входят переменные только с одним индексом. Если принять такие упрощающие предположения, что все уравнения будут содержать переменные единственного номера автобуса, то придем к частному случаю «автономного» движения автобусов (рассмотренным в главах 2-3 данной работы).
Пятый раздел посвящен исследованию в линейном приближении устойчивости полученной системы. Соответствующую этим уравнениям постановку задачи будем здесь называть общей задачей (водитель выбирает и скорость, и длительность стоянки). Укажем два в некотором смысле предельных случая:
Задача А. Водителю предписано, не обращая внимания на длительность стоянок, забирать всех пассажиров с остановки, т.е. момент отправления совпадает с «опустошением» остановки. Тогда водитель свободен только в выборе скорости.
Задача Б. Водителю предоставлен выбор только времени посадки при условии высадки всех желающих.
Проводится линеаризация системы в окрестности нулевых отклонений от расписания. Во всех задачах ищем частные решения в форме GXp(r(X + qn), где в качестве аналога координаты рассматриваются номера остановок а, а в качестве временного параметра - номера автобусов п, как это делалось, например, в работе [175]. Это допустимо, если дополнительно предположить, что коэффициенты линеаризованных уравнений слабо зависят от номера остановки ОС, Полученная однородная система уравнений разрешима, относительно отклонений, если выполняется условие равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов системы, - критерий устойчивости. Раскрывая этот определитель, получаем дисперсионное уравнение с комплексными коэффициентами, зависящими от параметров уравнений и от величины отклонений идущих от автобуса к автобусу. Это уравнение - кубическое в случае распространения возмущения типа «бегущая волна» и линейное, для возмущения типа «пульсирующий источник».
Раздел шесть посвящен исследованию в задаче «А», с помощью полученного критерия, двух различных стратегий поведения водителя. Изучены свойства распространений возмущений различного спектра «бегущая волна» и «пульсирующий источник» по системе движущихся автобусов. Проведен обширный анализ устойчивости для различных типов расписаний и для различных входящих данных, на основе которого выработаны рекомендации составителям расписания.
Раздел семь посвящен изучению распространения возмущения от «источника» по системе. Для него проведено исследование, позволяющее установить зависимость параметров возмущения от параметров расписания и данных, поступающих из транспортных компаний. В данном исследовании удается свести изучение задачи устойчивости к анализу только параметров расписания и входящих данных. На основе полученных зависимостей можно говорить об оптимальности, в том или ином смысле, программ движения, выбираемых водителем.
В разделе восемь подытожено все сказанное в разделе, представлены полученные выводы.
Научная новизна работы. Новые результаты диссертации заключаются в следующем: представлена иерархия моделей следования общественного транспорта, основными переменными в которых являются отклонения временных характеристик (автономные модели), и отклонения временных и количественных характеристик с учетом взаимодействия системы автобусов с коллективом пассажиров (связанная модель); в линейном приближении исследована устойчивость построенных моделей при возникновении различных типов возмущений, распространяющихся по системе; с использованием найденных аналитически стратегий поведения водителя, определены области допустимых значений определяющих параметров, в пределах которых система сохраняет устойчивость, выявлено, для каких стратегий устойчивость движения по расписанию при возникновении малых отклонений сохраняется для всех возможных типов расписания.
Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы для постановки и решения различных задач коллективного движения. Примеры моделирования и анализа стратегий поведения могут быть полезны при исследовании влияния «социальных сил» и конструировании функций, описывающих движение под воздействием психологических и социальных факторов, в различных областях биомеханики. Полученные результаты могут представлять интерес при моделировании транспортных задач, составлении расписаний, разработке стратегий поведения водителей в транспортных компаниях и т.д.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [249, 250], были представлены на Третьей международной конференции по транспортной психологии г. Ноттингем (Великобритания) (ICTTP 2004), неоднократно обсуждались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН Е.И. Шемякина, профессора Н.Н. Смирнова, и семинарах лаборатории биомеханики НИИ механики МГУ. Докладывались на Конференции «Ломоносовские чтения» 2005, 2006; IX Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике, Н. Новгород, 2006; Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ в 2003, 2004, 2006 гг.; Всероссийской конференции по биомеханике 2002,2004, 2006 гг.
Применение методов статистической физики
Физики ранее других осознали, во-первых, что простые взаимодействия между одиночными частицами (слова «частицы» и «особи» в данном случае используются как синонимы) могут порождать сложное поведение совокупности частиц, и, во-вторых, что математическое описание поведения частиц имеет, независимо от физической природы частиц и их взаимодействий, некоторые фундаментальные общие черты. Поэтому совершенно различные, в том числе социальные, процессы в группах самых разных живых объектов могут быть описаны в рамках единых формальных подходов (именно подходов, а не уравнений, хотя отчасти и уравнений тоже).
Одна из особенностей изучения коллективов живых организмов заключена в сильном внутривидовом разбросе свойств особей, который существенно влияет на поведение коллектива. Поведение особей в коллективе не является ни абсолютно идентичным, ни точно следующим однозначным правилам. Поэтому в поведении каждой особи присутствует случайная составляющая, образующаяся из-за индивидуальных качеств особи, неточностей в выполнении движений и, конечно, внешних возмущений. Кроме того, при отсутствии внешних стимулов особь может совершать изначально присущее ей движение, внешне сходное со случайным блужданием [2 - 4]. Весь этот «шум» может заметно влиять на результирующую крупномасштабную картину движения коллектива [5].
В основе общих статистических теорий, описывающих поведение совокупностей живых объектов, лежат уравнения для эволюции присущих особям характеристик, в число которых входят состояние, возможности смены состояния и тенденции смены состояния. Все остальное заключено в конкретизации модели и формализма.
Дальнейшие сведения и подробности относительно применения методов статистической физики к проблеме коллективного поведения представлены в работах [6- 14].
Обсуждаемые далее вопросы группового механического движения живых объектов имеют множество аналогий и родственных проблем как в физике и механике, так и в теоретической биологии и т.п. Формальная сторона возникающих задач имеет глубокие связи с общими математическими теориями, описывающими поведение нелинейных систем.
В большинстве крупных групп особей возможны полное отсутствие иерархии, обезличение и нивелировка. Группы без иерархического подчинения составляют далее основной предмет обсуждения и будут для определенности называться коллективами. Отсутствие какой-либо иерархии не означает отсутствия порядка: иногда трудно отделаться от ощущения, что наблюдаемая совершенная согласованность движений в коллективе управляется неким «начальником» [15].
В отличие от однородного газа из абсолютно идентичных молекул, коллектив никогда не состоит из абсолютно идентичных особей. Поэтому само понятие однородности имеет для него несколько иной смысл: коллектив может рассматриваться как однородный, если существенные признаки особей (естественные скорости перемещения, задачи и цели движения, времена реакции на внешние факторы и т.д.) достаточно близки, причем мера близости и критерий достаточности в каждой задаче определяются особо. Как правило, для однородного коллектива имеет смысл понятие средней скорости. В зависимости от задачи коллектив может рассматриваться и как однородный, и как неоднородный, состоящий из двух или более субколлекзивов, различающихся по свойствам (например, особи разного пола или разных возрастных групп). Все особи в однородном коллективе (или субколлективе) равноправны, но могут различаться функционально в зависимости от пространственного расположения.
В некоторых случаях группа может быть существенно неоднородна и должна рассматриваться как совокупность субколлективов, например, встречные потоки пешеходов образуют существенно неоднородную группу, для которой средняя скорость не имеет смысла. В связи с этим заметим, что аналогии между особями в коллективе и частицами газа плодотворны, но не универсальны. Так, невозможно представить себе условия, при которых совершенно одинаковые молекулы двигались бы по каналу во взаимно противоположных направлениях (антисимметричная функция распределения). Для «газа пешеходов» это совершенно заурядная ситуация. Признаки, по которым рационально различать субколлективы [16 - 17], включают в себя не только цели движения, но и способы обмена информацией.
Численность коллектива и его плотность (число особей в расчете на единицу длины, площади или пространства) существенны для построения математических моделей.
В большой группе (в плотном автомобильном потоке или большом скоплении пешеходов) каждая особь имеет свою область «обзора», получая и обрабатывая информацию от ближайших особей. Для большой группы важно локальное распределение плотности. Плотность коллектива имеет решающее значение для качества жизни и качества жизнедеятельности [18-19].
Кинетика пассажиров
В течение суток общее время работы маршрута начинается с момента TQ - выхода первого автобуса на линию и заканчивается в момент 1А + ДЛ завершения высадки из последнего автобуса на конечной остановке. Общее время Т, когда пассажиры могут войти в автобус и совершить поездку, Г Т Л , A N Ф ф№ , A N ТІ 0 и і ., + Д _, :/=/ + Д _, -10. По определению Т и все другие временные характеристики суть показания часов, время Т не превышает длительности суток Td = 24 часа, а картина движения автобусов и пассажиров повторяется каждые сутки, т.е.
Временной интервал между приходами /7-го и Г/г — П-го автобусов внутри суточного цикла на остановку СС определяется соотношением т:=т:-т:-\п \. (2.02) «Ночной» перерыв между автобусами составляет Та =Т \Та - Та 1. Разумеется, можно было бы отказаться от такого определения времен и отсчитывать их от некоего начального момента, и тогда N, Т просто неограниченно возрастали бы. Выбор того или иного способа диктуется только соображениями удобства при решении конкретной задачи.
Время ожидания прихода ( и + lWo автобуса (после отправления и-го) вычисляется как с =с-д:- (2.03)
Время стоянки - это общее время, затраченное на высадку (Д ) и посадку ( Д ) пассажиров: Д = F (Дп , Д ). Оно было явно введено в уравнение (2.01) в статье [175], причем предполагалось, что высадка и посадка происходят одновременно, т.е. Д =шах(Д ,Д2+)- Альтернативный случай последовательной высадки и посадки, когда Д = Д + Д„+, рассматривался в [171]. Рекуррентные формулы для вычисления Т, Тпа последовательно получаются из уравнений (2.01), (2.02):
Последняя формула по смыслу полностью эквивалентна формуле (5) статьи [175]; различие связано только с более общей записью членов, отвечающих времени стоянки, и с другим порядком нумерации автобусов (автобус, предшествующий П-щ, здесь имеет номер (П — 1), а не (п +1J).
Начиная с работ [174, 175], принималось, что контрольной величиной для движения автобусов на линии служит временная характеристика, определенная типом расписания, а не линейная дистанция, как в [172]. Без специального обсуждения в качестве этой характеристики принималось время тпа между прибытиями на остановку двух последовательных автобусов. По аналогии с известной теорией Лайтхилла - Уизема - Ричардса [104] считалось, что средняя скорость на участке между остановками выбирается водителем из сравнения миновавшего временного интервала с заданным, т.е. имеет место зависимость и"а = V\Ja)- 8 действительности расписание может составляться так, что контрольная величина не будет совпадать с Хпа и эту зависимость придется заменить на другую (см. далее разд. 4).
Уравнения типа (2.05), использованные в [174], не содержали в правой части времен стоянки, а в качестве компенсации оптимальная скорость V, аналогично [151], учитывала поправку на посадку пассажиров (ср. (1.38)), где г - коэффициент, имеющий размерность Та:
Поправка на время посадки в формуле для оптимальной скорости стала ненужной, как только оно было явно введено в (2.05). Оптимальная скорость тогда задавалась в виде [175]
Таким образом, время посадки в (2.06) - (2.08) оценивалось как величина, пропорциональная интервалу следования хпа, а не истинному времени ожидания 5д, определенному формулой (2.03). Для редко приходящих автобусов это упрощение естественно, но оно сомнительно для процесса образования пачек, который представляет особый интерес.
Особый случай движения автобусов - движение по замкнутому (кольцевому) маршруту. Здесь представляют интерес движение как одиночного автобуса, совершающего много «оборотов», так и пары автобусов. Этот круг задач рассмотрен на основе аналогичного подхода в работах [173, 210 - 214], Некоторые из них учитывали возможность пропуска остановки [211, 214], конечную вместимость автобуса [213] и нелинейную связь времени посадки с числом пассажиров [214]. Краткий обзор исследований, выполненных до 2002 г., приведен в статье [160].
Заметим, что всякое обращение автобусов между начальной и конечной остановками может рассматриваться как движение по замкнутому маршруту, а при альтернативном (в сравнении с принятым выше) способе отсчета времени -как движение с неограниченным числом остановок.
Чтобы замкнуть уравнения (2.04), (2.05) или их обобщения, нужно определить времена высадки и посадки как функции переменных тпа или через дополнительные уравнения, а это, в свою очередь, требует анализа кинетики пассажиров. 2.2. Кинетика пассажиров
Все переменные, использованные до сих пор, были определены для дискретных, хотя и заранее не всегда известных, моментов времени. Этого было достаточно, для описания кинетики автобусов. Однако в кинетике пассажиров приходится иногда принимать во внимание непрерывную зависимость параметров от времени. Пусть Ра [tj, t \0,TdJ - количество пассажиров на остановке а; /?а - скорость прихода пассажиров на остановку извне. Во время стоянки определены также число вошедших пассажиров SaUJ и скорость входа sa (/J = Sa ytj, число вышедших пассажиров На (/)и скорость выхода ha (tj = На Ш, и число пассажиров в салоне M"(t). Схематично данные количественные характеристики изображены на рис. 2.2.
Стратегия «отклонения одного знака»
Для получения качественного результата, откажемся от условия равенства единице для безразмерных параметров 0,. Ф 1, 0Ц Ф1. Вспомнив, что они есть соответственно отношение времени стоянки к времени прохождения автобусом перегона между остановками, и отношение «крейсерской» скорости к максимально возможной, то отказ от равенства их единице выглядит оправданным, приближающим нас к реальности.
Рассмотрим устойчивость в линейном приближении для нескольких примеров функций управления, иллюстрирующих различные стратегии поведения водителя при выборе скорости на перегоне и времени стоянки. 3.2.1: Стратегия «отклонения одного знака» (1).
Считаем, что отклонение времени прихода на остановку а, отклонение времени отправления с остановки СС — \ и его эволюция суть величины одного знака. Выберем пробные функции управления следующим образом: К(ї7в.1, в_,) = 0)(+ 0.5(1-28,,)//(( .,)(1 + /1% )) для функции времени стоянки и функции скорости, соответственно. Необходимо сказать несколько слов о том, каким образом сконструированы эти функции.
Как уже говорилось выше, в описании модели, функция скорости зависит от двух параметров 7/, ц/, которые означают соответственно, отклонение времени отправления от расписания и его эволюцию. Аналогично тому, как это было сделано в главе 2, скорость приближается функцией гиперболического тангенса. При нулевых отклонениях (движение по расписанию) она принимает значение «крейсерской» скорости (т.е. скорости движения по расписанию). При значительных опозданиях асимптотически приближается снизу к максимально возможной скорости (взятой из технических характеристик автобуса), а при опережениях графика движения - сверху, к некоторой минимальной величине, отличной от нуля (см. рис. 3.5, 3.6 (данная функция скорости, для устойчивых значений параметров 0. = 0.3,0Ы = 0.49) и рис. 3.12, 3.13 (для неустойчивых значений параметров 0, =0.7,0U =0.8)). Физически она учитывает стремление обоих параметров одновременно, к одним и тем же пределам (к нулю (справа или слева одновременно) - движению по расписанию, к плюс бесконечности - движению с бесконечным опозданием, минус бесконечности -движению с бесконечным опережением).
Когда оба отклонения равны нулю, то функция принимает значение «крейсерской» скорости. При бесконечном опоздании - стремится к единице, что означает движение с максимально возможной по техническим характеристикам скоростью. При бесконечном опережении - стремится к нулю, т.е. водитель стремится снизить скорость до возможного минимума, при этом не останавливая экипаж.
Аналогичные рассуждения применяются и для конструирования функции Ф( ,77, ) времени стоянки. Действительно, когда параметры: отклонение времени прибытия, отклонение времени отправления с предыдущей остановки и его эволюция равны нулю - время стоянки соответствует величине, отведенной по расписанию. При бесконечном опоздании время стоянки стремится к нулю, так как водитель пытается максимально наверстать упущенное. При достаточно большом опережении время стоянки стремится к времени, которое требуется для прохождения перегона между остановками, что бы избежать образования «пачек» автобусов на остановках. Иллюстрации вышесказанного см. на рис. 3.7 - 3.11 для сочетания значений параметров, характеризующего устойчивый режим движения, и рис. 3.14 - 3.18 для неустойчивого режима. Это условие заложено в построении модели мы не разрешаем автобусам перегонять друг друга.
Так как время стоянки суть функция трех переменных, то ее четырехмерное изображение предъявить не представляется возможным. Для иллюстрации ее поведения представлены трехмерные проекции соответственно для трех случаев: эволюция отклонения времени отправления стремится к -оо (на рис. 3.7) для интервала значений отклонений (-3,3), (на рис. 3.8) для расширенного интервала значений отклонений (-10,10), при устойчивых значениях параметров и 3.14, 3.15 при неустойчивых (интервалы выбраны аналогично). Эволюция отклонения времени отправления стремится к +сона рис. 3.9 для устойчивых значений параметров и 3.16 для неустойчивых. Эволюция отклонения времени отправления стремится к нулю на рис. 3.10, 3.11 для устойчивых значений параметров и 3.17, 3.18 для неустойчивых, соответственно.
Итак, для данных функций скорости и отклонения времени стоянки, проведем проверку согласованности с условиями соблюдения здравого смысла (3.10).
Перемещение пассажиров в салоне автобуса
Суммирование (4.5), (4.6) по всем допустимым у с учетом (4.3), (4.4) приводит, как и следовало ожидать, к (4.1), (4.2). Число выходящих пассажиров в (4.5) не фигурирует благодаря второму равенству (4.4).
Если рассматривать уравнения (4.1), (4.5), (4.6) вместе с (4.3), (4.4) как систему рекуррентных уравнений относительно переменных Т,М",Р", тогда для ее решения необходимо задать функции U , Д , отражающие выбор водителя, и скорость прихода пассажиров Д . Скорость Una водитель регулирует, основываясь на временах прохождения остановок, а не на некой предписанной скорости движения, тогда как длительность стоянки Д - путем прямого сравнения с предписанным ее значением (см. в разд. 5, этой главы). Возможна ситуация, когда водитель вообще не выбирает длительность стоянки, а лишь следует сообразно внешним обстоятельствам (раздел 6 данной главы). Вопрос относительно количества садящихся пассажиров S рассмотрен в следующем разделе.
Данные, собираемые транспортными компаниями, включают в себя (см., например, [165]), в первую очередь, скорости /3a[t) притока пассажиров на остановки в течение суток (вообще говоря, отдельно для каждого дня недели и для праздничных дней). Фиксируется также число пассажиров Н , выходящих на каждой остановке. Специальные опросы позволяют выяснить более детальные сведения, а именно распределение пассажиропотоков, характеризуемое величинами М" и S". Существуют также приемы регистрации временных характеристик движения. Все эти величины подвержены возмущениям из-за отклонения движения автобусов от расписания. Задача моделирования состоит не столько в том, чтобы по некоторому набору измеренных параметров предсказать значения других, столько в том, чтобы понять причины отклонения от расписания, или, иными словами, понять, почему измеряемые параметры имеют именно такие значения, а не другие.
В общей модели заданными можно полагать значения параметров в идеализированных условиях, т.е. при абсолютно точном выполнении режима движения и невозмущенном притоке пассажиров на остановки. Это дает возможность переформулировать модель в терминах отклонений от регламентированного движения (разд. 5 этой главы).
Кроме того, требуются еще соотношения, отражающие роль психологических, социальных и физических факторов. Как уже говорилось, в уравнении (4.1) требуются дополнительные соотношения для величии Я-Р В-1» отражающие выбор водителем скорости на перегоне и продолжительности стоянки в соответствии со стремлением соблюсти предписанный режим движения, с одной стороны, и обеспечить некоторый желаемый или предписанный уровень обслуживания пассажиров, с другой.
Перед пассажиром также постоянно возникают задачи выбора, например, верить ли вывешенному расписанию или положиться на волю случая, садиться в автобус или подождать более свободного. Скорость fia ш притока пассажиров на остановки меняется в течение суток (вообще говоря, отдельно для каждого дня недели и для праздничных дней) и подвержена возмущениям из-за недоверия пассажиров к точности выполнения расписания, из-за погоды и прочих причин. Сопоставление измеренного темпа прихода пассажиров на остановки с вывешенными расписаниями позволяет количественно оценить долю пассажиров, верящих в расписание [228].
Все ситуации, сопряженные с выбором поведения, требуют отдельного конструирования функций, его описывающих, на основании всякого рода косвенных и интуитивных соображений, из наблюдений, аналогий, и просто из здравого смысла.
Возвратимся к соотношениям, характеризующим количество выходящих и входящих пассажиров. Относительно первых предполагается, что все выходят в пункте назначения, поэтому, как видно из (4.4), дополнительные сведения нужны только о числе садящихся пассажиров. Из (4.1), (4.2), (4.4) следует, что при известном (из наблюдательных данных) притоке пассажиров /?„ДП в течение всего времени движения, нужно ввести независимое уравнение для величины 5 „. Этой величиной водитель не управляет (или управляет частично через время стоянки). Пассажир также не может полностью ее выбрать, так как она зависит от внешних обстоятельств. Разумное предположение состоит в том, что число входящих пассажиров зависит от средней за время стоянки скорости посадки (человек в единицу времени), т.е. Здесь s" - скорость посадки, зависящая от конструктивных особенностей автобуса (если все автобусы одинаковы, верхний индекс можно удалить), от скопления пассажиров на остановке и от заполнения автобуса. Возможно, что имеет значение и распределение пассажиров на остановке и в автобусе по пунктам назначения. Пусть s" нормативная скорость входа пассажиров.
