Содержание к диссертации
Введение
I. Обзор.
1.1. Устройство скелетной мышцы (6)
1.2. Механические эксперименты и математические модели (12)
1.3. Биохимический цикл работы поперечных мостиков (19)
1.4. Скачок температуры (27)
1.5. Растяжимость актиновых и миозиновых нитей (30)
ГЛАВА II. Возможность вязкоупругости .
2.1. Предварительные замечания (37)
2.2. Элементарная кинетическая схема (38)
2.3. Модель, учитывающая растяжимость белковых нитей (44)
2.4. Динамическая модель. Учёт предварительного напряжения (47)
2.5. Введение дополнительной координаты (50)
2.6. Модель вязкоупругих мостиков (52)
2.7. Комбинированная модель (56)
2.8. Численное решение. Оценка констант (57)
2.9. Результаты вычислений. Комментарий (60)
2.10. Результаты вычислений. Сравнение разных моделей (66)
ГЛАВА III. Моделирование термомеханических процессов .
3.1. Общие слова (72)
3.2. Устройство модели. Скачок температуры (73)
3.3. Численное решение. Оценка констант (76)
3.4. Результаты вычислений. Простые скачки температуры (81)
3.5. Результаты вычислений. Двойные скачки (96)
ГЛАВА IV. Моделирование биохимического цикла
4.1. Вступление (103)
4.2. Скачки концентраций АДФ и фосфата. Описание модели (104)
4.3. Скачки концентраций АДФ и фосфата. Численное решение. Оценка констант (108)
4.4. Результаты вычислений. Скачки концентрации фосфата (109)
4.5. Результаты вычислений. Скачки концентрации АДФ (113)
4.6. Скачки концентрации АТФ. Описание модели (117)
4.7. Скачки концентрации АТФ. Численное решение. Оценка констант (125)
4.8. Результаты вычислений. Поведение модели и вариация параметров (127)
4.9. Результаты вычислений. Сравнение с экспериментом (132) Заключение (143)
Приложение.
Список литературных источников (145)
- Биохимический цикл работы поперечных мостиков
- Динамическая модель. Учёт предварительного напряжения
- Численное решение. Оценка констант
- Результаты вычислений. Скачки концентрации фосфата
Введение к работе
Актуальность проблемы. В основе современных представлений о механике мышечного сокращения лежит теория скользящих нитей [3,4], объясняющая этот процесс движением друг между другом нитей белков актина и миозина, приводящим к изменению длины мышечных волокон. Такое движение обеспечивается взаимодействием глобулярных голов миозина (образующих в этом случае так называемые «поперечные мостики») с актином. Со времён классической модели Э.Ф.Хаксли [11] для описания механических свойств активно сокращающейся мышцы используют кинетические модели, не учитывая при этом вклада растяжимости нитей миозина и актина в общую податливость волокна. Однако, в последние годы ряд рентгено-структурных и механических экспериментов [119,120,122,123] показал, что податливость нитей сравнима с податливостью голов миозина, и поэтому ею нельзя пренебрегать. Это обстоятельство обусловливает различие микродеформаций поперечных мостиков в различных точках зоны перекрытия актиновых и миозиновых нитей и вызывает необходимость построения и анализа соответствующих математических моделей.
Конечная растяжимость белковых нитей может существенно влиять на нестационарные ответы механического напряжения на импульсные воздействия, такие как скачки температуры и концентраций химических веществ в мышечной клетке, а также ступенчатое изменение её длины, используемые экспериментаторами для изучения молекулярного механизма сокращения мышц. Модели, учитывающие такое влияние, нужны для правильной интерпретации результатов этих экспериментов, в частности, для объяснения наблюдаемых различий кинетики структурных и механических изменений в мышечных волокнах.
Цель работы состояла в построении и численном анализе математических моделей механических свойств мышечного волокна в различных экспериментально реализуемых условиях с учётом существенной растяжимости нитей актина и миозина. При этом были поставлены следующие задачи: - выяснить, может ли учёт вязкоупругих свойств поперечных мостиков, будучи рассмотрен наряду с традиционными кинетическими схемами и в условиях податливых белковых нитей, помочь лучше интерпретировать существующие экспериментальные данные о быстрой релаксации напряжения после ступенчатых деформаций мышечных волокон; исследовать, как податливость актиновых и миозиновых нитей, а также её перераспределение между ними, влияют на ответы силы, развиваемой мышечными волокнами, в экспериментах с импульсными изменениями их длины, температуры или концентраций химических веществ; установить, может ли учёт податливости белковых нитей объяснить появление медленной фазы изменения уровня силы в перечисленных экспериментах, а также наблюдаемые различия кинетики структурных и механических ответов волокна;
Научная новизна: впервые предложены распределённые модели кинетики миозиновых поперечных мостиков и алгоритмы численного решения соответствующих систем интегро-дифференциальных уравнений; впервые проведено моделирование влияния податливости белковых нитей на наблюдаемые механические свойства мышечных волокон в экспериментах со скачками температуры, концентраций АТФ, АДФ и неорганического фосфата, а также со ступенчатыми изменениями длины волокна; - впервые промоделировано возможное влияние вязкоупругих свойств миозиновых мостиков на быструю фазу ответа механического напряжения на ступенчатые изменения длины волокна различной амплитуды.
Научная и практическая ценность. Полученные результаты дополняют современные представления о фундаментальной проблеме биомеханики - механизме работы скелетной мышцы. Практическая ценность работы состоит в том, что результаты математического моделирования могут быть использованы для интерпретации и анализа различных экспериментальных данных.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III, IV и V Всероссийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1996, 1998, 2000), на международной конференции по новым методам исследования мышц и биологической подвижности (Пущино, 1998), на конференциях международных стипендиатов Медицинского института Говарда Хыоза (Москва, 1999; Вашингтон, США, 2000), на II съезде биофизиков России (Москва, 1999), на международном симпозиуме «Проблемы биологической подвижности: новые методы исследований» (Пущино, 2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на 27-ой, 28-ой и 30-ой Европейских конференциях по исследованию мышц (Йорк, Великобритания, 1999; Лунд, Швеция, 2000; Павия, Италия, 2001), на всероссийских рабочих совещаниях «Биомеханика-1999» и «Биомеханика-2001» (Санкт-Петербург), а также на семинаре по биомеханике в Институте механики МГУ.
Биохимический цикл работы поперечных мостиков
Основная идея этих экспериментов состяла в том, что скорость деформации слишком велика для того, чтобы поперечные мостики, в каком бы состоянии они не находились, смогли изменить его непосредственно в момент скачка, а значит, фазу быстрого восстановления силы Тх = Т2 можно рассматривать как иллюстрацию кинетики поведения мостиков. Тем самым было положено начало современному этапу развития кинетической теории мышечного сокращения, объявлены принципы сопряжённого с ней математического моделирования. Была предложена первая простейшая модель, описывающая кинетический цикл мостика как состоящий из "отсоединённого" (от актина) состояния и двух "присоединённых". Переходя из одного присоединённого состояния в другое, мостик совершал механическую работу, характеризуемую т.н. " силогенерирующим шагом" мостика, перемещением шарнира, соединяющего миозиновую голову (С-1) с ее "хвостом" (С-2), в процессе конформационной перестройки (рис. 1.7). Были оценены скорости перехода мостиков из одного состояния в другое и величина упомянутого шага.
Публикация тех же авторов в 1981 году [24] явила свету один из самых важных неверных результатов в современной истории исследований мышечного сокращения. Эксперименты по измерению силы и жёсткости волокна они проводили при различных длинах саркомеров, но фиксированной длине зон перекрытия толстых и тонких нитей в них. Таким образом оценивали, какая доля жёсткости волокна сосредоточена в прицепленных поперечных мостиках (пребывающих, разумеется, внутри зоны перекрытия), а какая - в самих нитях. К сожалению, недостаточная точность измерительной техники привела к завышенной оценке: от 80 до 90 процентов податливости было приписано мостикам, а белковые нити постановили считать для большинства задач абсолютно жёсткими.
В статье 1985 г. Форд, Хаксли и Симоне [25] исследовали зависимости мгновенной жёсткости и кинетики быстрых ответов напряжения на деформацию от скорости изменения длины волокна, а в работе 1986 г. [26] такие же эксперименты были проделаны не на плато изометрического тетануса, а в ходе его развития. Полученные данные были интерпретированы в рамках теории Хаксли-Симонса 1971 г. [20]. В согласии с результатами работы [24] изменение количества мостиков, участвующих в сокращении, оценивали как пропорциональное изменению жёсткости волокна.
Важнейшее наблюдение, заставившее пересмотреть многие казавшиеся незыблемыми положения теории мышечного сокращения, представили в 1992 году ученик Э. Хаксли, Ломбарди (V. ЬотЬагсН) совместно с Пиаццези (в. ПаггевО и Линари (М. Упаи) [27]. Они первыми сумели с устрашающим временным разрешением (частота датчика силы - 50 кГц, длительность деформации 70 мкс) зафиксировать быстрые ответы волокна на растяжение и сокращение. Они заметили, что мышца, укорачиваемая последовательными "ступеньками" с интервалами в несколько миллисекунд ( 5 мс - по достижении устойчивого уровня Т2) обнаруживает склонность не "суммировать" реакции на несколько последовательных сокращений, но воспроизводить первоначальную реакцию. Тем самым было доказано, что поперечные мостики, перецепляясь, в состоянии очень быстро восстанавливать свою способность к новой силогенерации. Это удивительное явление было названо репраймингом (герппшщ).
Позднее ([28,29]) то же обнаружилось и в опытах с рентгеновской дифракцией мышцы. Наблюдали т.н. "меридиональный рефлекс 14.5 нм", обязанный своим происхождением упорядоченности расположения мостиков на толстой нити. При прицеплении их к актину рефлекс сохраняется, и он тем ярче, чем большее число мостиков присоединено, чем они "перпендикулярнее" к оси волокна и чем ближе их расположение к периодической структуре [30,31]. Выяснилось, что интенсивность рефлекса восстанавливается заметно быстрее уровня силы (такое видели и раньше [30], не придавая этому должного значения).
Необычайность феномена состояла в том, что скорость репрайминга оказалась слишком быстрой для того, чтобы мостик мог гидролизовать АТФ в каждом цикле отсоединения (характерная скорость репрайминга 100 с"1, а скорость гидролиза АТФ в мышцах лягушки при 0С около 1 с 1). Для устранения этого противоречия авторы работы [27] предположили, что гидролизовать молекулу АТФ можно частями, так что единственной молекулы доставало бы для двух или более силогенерирующих шагов.
Динамическая модель. Учёт предварительного напряжения
Для того, чтобы показать, как и почему устроены кинетические модели поведения мышцы, требуется наглядный и предельно простой пример, позволяющий, в то же время, ясно представить суть дела. По счастью, за лучшим из таких примеров не придётся ходить далеко. Его доставляет нам уже упоминавшаяся в первой главе хрестоматийная работа Хаксли и Симонса 1971 года [20]. Именно в ней впервые была очерчена простейшая схема, по образу и подобию которой в дальнейшем и строились современные кинетические модели.
Изложим, вслед за авторами, главные правила, на которые они, как позже и многие другие, опирались, строя математическое описание взаимодействий актиновой и миозиновой молекул: 1 нити белков совершенно неэластичны; нити не скользят друг относительно друга, исключая момент изменения длины волокна; поперечный мостик соединён с миозином посредством линейно упругой пружины; эта пружина способна как растягиваться, так и сжиматься по сравнению со своим равновесным состоянием; при изометрическом сокращении каждый из присоединённых к актину мостиков проводит одинаковое время в любом из допустимых идеализированных состояний; время, которое тратит мостик на переход из одного состояния в другое, ничтожно по сравнению со временем, которое он проводит собственно в этих состояниях.
Дополнительное правило 0 гласило, что мостики отсоединяются и заново присоединяются к актину достаточно медленно, чтобы эти процессы можно было не учитывать при рассмотрении механических ответов в ходе быстрых изменений длины волокна и в первые несколько миллисекунд после их окончания.
Первое правило, как выяснилось несколько лет назад и о чём подробно было написано в пункте 1.5., выведено из ложных посылок, а потому его следует отвергнуть. Правила 2,6 удобны и приемлемы, нет никаких причин, дающих повод в них усомниться. Правило 5 есть не более, чем упрощающее модель необязательное предположение, мало кем использованное, кроме авторов работы [20]. Правило 4 выглядит совершенно естественным дополнением к 3 . Что же до самого третьего правила, то в последнее время появились серьёзные основания присмотреться к нему повнимательнее. Это занятие и составит содержание настоящей главы.
Но не станем забегать вперёд и вернёмся пока к модели Хаксли- Симонса. Рис. 1.7 помогает вообразить аскетическое существо модели: всего два значимых состояния: 1 - мостик связан с актином, но не совершил силогенерирующий шаг, и 2 - после развития активного усилия голова миозина повёрнута, упругая пружина растянута. Увеличение длины пружины при переходе 1 -» 2 авторы [20] и назвали длиной силогенерирующего шага, раз и навсегда обозначив её буквой Н.
Приведём другие обозначения: у - (как и выше) перемещение толстой нити относительно тонкой, когда волокно растягивают или укорачивают (другими словами, величина скачка изменения длины полусаркомера), - значение у, соответствующее падению силы с изометрического уровня до нуля, кс - жёсткость пружины мостика в расчёте на единицу длины (тут индекс "с" происходит от английского "cross-bridge", "поперечный мостик"), р - вероятность того, что мостик пребывает в состоянии 2 (тогда 1 -р есть вероятность его нахождения в первом состоянии), F - сила пружины на единицу длины (F{ и F2 для состояний 1 и 2 соответственно), k+ характеризует скорость перехода
Численное решение. Оценка констант
Отказ от учёта вязкоупругих свойств мостика приводит к тому, что даже при максимально "широком" распределении мостиков по их отклонению от равновесия (8=5,5 нм), график Т2(у) превращается почти что в ломаную с пологим участком -в у 3 и участками, параллельными прямой Тх(у). При более реалистичном значении 8=3,4 нм расчётная зависимость Т2(у) становится немонотонной и резко отличается от экспериментальной. Эти изменения хорошо видны на рис. 2.9а. Напротив, пренебрежение традиционной схемой силогенерации в комбинированной модели приводит к тому, что кривая Т2{у) приближается к прямой.
Как было уже упомянуто в п. 1.5., Э.Хаксли и С. Тайдсуэл (З.ПёезхуеИ) в работе [125] показали, что модель [20], дополнительно учитывающая растяжимость актиновых нитей 23], не позволяет воспроизвести экспериментальные данные, что удаётся, однако, в том случае, если предположить, что мостики присоединяются к ближайшему актиновому мономеру и тем самым распределяются по их отклонению от равновесия. Это соответствовало бы осреднению мостиков по их отклонению от равновесия с шириной распределения в 5,5 нм или, в терминах обсуждаемой модели, 8=2,75 нм. Но, как показано на рис. 2.9а, зависимость Т2(у) даже при 8=3,4 нм остаётся сильно немонотонной. При взгляде на рис. 2.10, взятый из работы [125], ясно видно, что модель Хаксли-Тайдсуэла обладает тем же изъяном без поправки на осреднение. Такое расхождение результатов моделирования объясняется тем, что авторы [125] использовали иную постановку задачи, считая, что мостики, гидролизуя одну молекулу АТФ, совершают не один, а целых 2 силогенерирующих шага, по 4,5 нм каждый. Кроме того, обсуждаемая схема более точно учитывает растяжимость актина и миозина, чем модель [125], предполагая распределение деформаций вдоль зоны перекрытия нитей (в реальных расчётах зона перекрытия разбивалась на 34 отрезка), в то время как авторы [125] довольствовались лишь одним податливым участком, соединённым последовательно со "среднестатистическим" мостиком и без таковой (сплошная линия).
С другой стороны, предположение о том, что большинство мостиков в ходе изометрического сокращения не развивают активного усилия, но обладают нелинейными вязкоупругими свойствами, позволяет объяснить результаты экспериментов с быстрыми ступенчатыми деформациями мышечных волокон. Это согласуется с данными рентгеновских [126], микроскопических [127] и ЭПР [128] экспериментов, демонстрирующих, что в сокращающейся мышце лишь малая доля поперечных мостиков сильно и стереоспецифически связана с актином, в то время как остальные присоединённые мостики обладают значительной подвижностью.
Таким образом, учёт возможных вязкоупругих свойств мостиков, в сочетании с традиционной схемой шарнирного поворота миозиновых голов, обеспечивает наилучшее приближение существующих данных наблюдений за быстрыми фазами ответа мышечного волокна на ступенчатые изменения его длины.
До сих пор подробно рассматривалась первая, быстрая фаза ответа мышцы на изменение внешних условий. Процессы, происходившие при этом, можно было считать настолько скорыми, что, вслед за Хаксли и Симонсом [20], позволительно было пренебречь более медленным отцеплением поперечных мостиков от актина, равно как и их присоединением к нему. В этих условиях общее число мостиков можно было считать постоянным. Упростив модель таким образом, мы рассмотрели гипотезу о возможной вязкоупругости мостиков.
Обратимся теперь к моделированию менее быстрых процессов. Исследуя их, с одной стороны, нельзя уже игнорировать изменение числа мостиков, участвующих в сокращении, а значит, должно вводить в рассмотрение более сложные, чем раньше, кинетические схемы. С другой стороны, нет необходимости особо учитывать наиболее быстрые фазы механических ответов мышцы на различные внешние воздействия и поэтому можно не вводить в рассмотрение, например, вязкоупругие свойства мостиков.
Наконец, прежде чем перейти непосредственно к новой модели, отметим одно немаловажное обстоятельство. Дело в том, что, поскольку актиновые, да и миозиновые нити существенно растяжимы, механическое состояние мостика, сиречь его микродеформация и сила, развиваемая им, зависят не только от его внутренней конформации, но и от того, насколько далеко успел он переместиться относительно своей родной миозиновой нити за счёт растяжения или сжатия актиновой. Проще говоря, чтобы учесть вклад данного мостика в силогенерацию, нужно знать не только где он соединяется с актином внутри зоны перекрытия, но и когда произошло это соединение. То есть, текущие характеристики мостиков будут зависеть, помимо прочего, от "даты их рождения", мгновения, когда они прицепятся к актину, став мостиками в полном смысле этого слова.
Результаты вычислений. Скачки концентрации фосфата
Опытные данные (см. ниже) свидетельствуют о том, что существует вероятность кратковременного отцепления даже ригорного (в отсутствии АТФ и АДФ) или ригороподобного (с присоединённой молекулой АДФ) мостика. При этом, так как сродство такого мостика к актину велико, он словно бы "соскальзываетi" на соседний мономер тонкой нити в энергетически более выгодное, т. е. менее деформированное состояние. Это состояние мы и вводим в рассмотрение, приписывая ему индекс "W". Разумеется, такое состояние должно характеризоваться меньшим отклонением мостика от своего внутреннего равновесия или, в используемых обозначениях, меньшей величиной Н. Возникает два резонных вопроса. Первый: почему мы игнорировали такую возможность раньше (п. 4.2) и не можем этого сделать теперь? Второй: почему мы не приписываем способность соскальзывания мостикам, находящимся в состоянии.
Ответ на первый вопрос. До сих пор мы имели дело с кинетически более простыми процессами, скачками концентраций АДФ и Фн. Они происходила/условиях нормальной работы мышцы, когда можно было рассматривать концентрации как переходящие скачком с одного стационарного уровня на другой, не учитывая их кинетики. Теперь же на силогенерацию существенно влияет постоянное изменение уровней [7], [Д и [Р] (см. ниже) и корректное моделирование без введения в схему новых состояний становится невозможным.
Ответ на второй вопрос. Весь цикл, представленный на рис. 4.8., разбивается необратимыми переходами (4,4\) - О и 2 3 на два полуизолированных участка. В рамках первого (0 1 2) возможно достаточно быстрое движение мостиков по кинетическому циклу с их отсоединением и присоединением, которое не зависит от текущих значений [7] и [!)]. Поэтому добавление в такую схему нового состояния вроде "2\" не могло бы существенно повлиять на общую картину и только усложнило бы систему уравнений.
Естественно, вместе с новыми состояниями на схеме возникли и новые переходы: мостикам разрешается необратимо соскальзывать (ясно, что обратное движение энергетически невозможно), переходя из 3 в 3\ (константа скорости кт) и из 4 в 4\У (соответственно, кт). Конечно, допустимы и переходы 3\У о 4У/, сопровождаемые, как и 3 - 4, сбросом/присоединением ДДФ (константы к4+у/ и к4 ). Позволительно также уходить в свободное состояние 0 из 4\ (по- прежнему ко, особая константа не вводилась).
Экспериментальные обоснования для такого изменения модели достаточно весомы. В самом деле, при малых [7] в экспериментах с импульсным фотолизом наблюдается позднее падение силы (см., напр., рис. 4.14), которое происходит в условиях малого изменения концентраций АТФ, АДФ и Фн. Это означает, что мостики способны, оставаясь в одном и том же "ригороподобном" биохимическом состоянии, перемещаться в другое механическое. Таким образом, нужно допустить возможность отцепления мостиков, совершивших силогенерацию. Их последующее быстрое присоединение неизбежно (см. выше), а соединиться они могут только с наиболее "удобным", энергетически выгодным мономером актина. Эти соображения и определяют выбор кинетической схемы (рис. 4.8), объясняя качественно разную реакцию волокна на высвобождение малого или же относительно большого количества АТФ (см. ниже).
Сохраним, как и раньше, скрытое внутри состояния 4 (а теперь и 4\У), присоединение АТФ с константой равновесия к4Т (принимали к4Ш=кАТ) и сопутствующей формулой (4.2.2), равно как и сброс фосфата внутри состояния 2 с константой к2Р и выражение (4.2.1).
Система кинетических уравнений (4.2.3) понятным образом поменяется. В третьем и четвёртом уравнениях появятся новые слагаемые, связанные с переходами в состояния 3\ и 4\У. Кроме того, для этих последних потребуется завести отдельные уравнения. Приведём обновлённую систему целиком:
К сказанному выше, в п. 4.3, можно добавить очень немногое. Вычисления проводились по тем же самым схемам и алгоритмам. Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в начальный момент времени мышца полагается пребывающей в состоянии ригора, в терминах модели, определяемое так: все мостики считаются прицепленными к актину и оказываются в состояниях 3 и 4.
Затем, выделение АТФ в результате импульсного фотолиза моделировали скачком концентрации [7] при малых значениях [В] и [Р], и рассчитывали временной ход активации (к+= 20) или релаксации (к+= 0) мышцы. Значения констант приведены ниже: 700 нм, у = 0,777, ц2 = 2. Правила их выбора вполне соответствуют принятым в п. 4.3. Время обезразмеривалось так же. Отношение Н/Н выбрано так, чтобы ригорная сила составляла 30% от максимальной теоретически возможной (\/=0,3), что наблюдается в большинстве "ригорных" экспериментов (см., напр. [67]). Весьма точная оценка для Св получена из [65]. Общее представление о реакции модели на мгновенное увеличение концентрации АТФ можно составить, взглянув на рис. 4.9. В случае активации ригорной мышцы (рис. 4.9а), запускаемой в присутствии 0,02 мМ АДФ, расчётные кривые, соответствующие разным количествам высвобождаемой АТФ, далее [7]0 (0,3 мМ и 1 мМ), существенно отличаются. Эти отличия, однако, становятся заметными лишь с некоторого момента. Начальное падение силы с ригорного уровня связано с первичным отцеплением мостиков, и на этой стадии кривые почти идентичны. Они так же продолжают повторять друг друга и в ходе развития активного сокращения, сопровождаемого ростом силы. Дальнейшие же различия следует, по- видимому, отнести на счёт нехватки АТФ для продолжения силогенерации в первом случае: 0,3 мМ АТФ расходуются быстро, мостики успевают гидролизовать всего по одной-две молекулы АТФ, а затем начинают вновь "собираться" в "ригорных" состояниях (сначала 3 и 4, а после - 3\ и 4\У). Развитие событий во втором случае ([7]0=1мМ) отличается не радикально, но лишь отставанием во времени: мостики имеют возможность дольше участвовать в сократительном цикле (см. рис. 4.8). Приведённые рассуждения наглядно иллюстрируются рисунком 4.10, показывающим, как изменяется со временем доля мостиков, пребывающих в "ригорных" и "неригорных" состояниях ([7]0 = О.ЗмМ - рис. 4.10а, [7]0=1мМ - рис. 4.106).
Похожие диссертации на Математическое моделирование механических свойств скелетных мышц с учётом растяжимости белковых нитей
