Содержание к диссертации
Введение
1 Аналитический обзор литературы 16
1.1 Адаптация кости как процесс саморегуляции 17
1.2 Механочувствительность костных клеток 21
1.2.1 Концепция деформационной механочувствительности 22
1.2.2 Концепция повреждаемости 24
1.3 Стимулы адаптации 25
1.4 Отклик костных клеток на стимул 29
1.5 Модели адаптации костной ткани 31
1.5.1 Изотропная активность костных клеток 31
1.5.2 Анизотропная активность костных клеток 40
1.6 Выводы 44
2 Биомеханическая модель адаптации костной ткани 47
2.1 Модели структуры костной ткани 49
2.1.1 Губчатая костная ткань 49
2.1.2 Плотная костная ткань 51
2.1.2.1 Модель первого уровня 52
2.1.2.2 Модель второго уровня 53
2.2 Зависимости технических характеристик упругости костной ткани от параметров структуры 54
2.2.1 Зависимости модуля упругости и коэффициента Пуассона губчатой костной ткани от объёмного содержания матрикса
2.2.2 Зависимости технических характеристик упругости кортикальной костной ткани бедренной и большеберцовой костей от величины среднего радиуса гаверсовых каналов 56
2.2.2.1 Определение технических характеристик упругости матрикса костной ткани бедренной кости 58
2.2.2.2 Влияние величины радиуса гаверсового канала на технические характеристики упругости кортикальной костной ткани бедренной кости g
2.2.2.3 Влияние величины радиуса гаверсового канала на технические характеристики упругости кортикальной костной ткани большеберцовой кости б 2.3 Кинетическое уравнение структурной адаптации 69
2.3.1 Деформационный стимул адаптации 69
2.3.2 Балансовый фактор ремоделирования костной ткани как функция деформационного стимула адаптации 70
2.3.3 Скорость изменения радиуса пор губчатой и плотной костной ткани как функция деформационного стимула адаптации 72
2.4 Кинетическое уравнение связи тензора жёсткости костной ткани с деформационным стимулом адаптации 75
2.4.1 Определение компонент тензора адаптационной чувствительности губчатой костной ткани 77
2.4.2 Определение компонент тензора адаптационной чувствительности плотной костной ткани 30
2.4.2.1 Одноуровневая модель структуры 80
2.4.2.2 Использование эффективных характеристик упругости 85
2.4.2.3 Модель «реологической» адаптации 2.5 Феноменологическое уравнение линейной адаптационной пороупругости костной ткани 94
2.6 Выводы 96
Начально-краевая задача линейной адаптационной пороупругости 99
3.1 Уравнения начально-краевой задачи кости нижней конечности человека ЮО
3.2 Выводы 102
Адаптация губчатой костной ткани после остеосинтеза шейки бедра резьбовыми фиксаторами ЮЗ
4.1 Методика предоперационного определения индивидуальных механических характеристик и параметров структуры губчатой костной ткани проксимального отдела бедра пациента
4.1.1 Материалы и образцы 107
4.1.2 Определение локальной объёмной оптической плотности Ю8
4.1.3 Определение физической плотности сырой костной ткани но 4.1.4 Определение минеральной плотности Ц2
4.1.5 Сравнительный анализ полученных результатов по плотности ИЗ
4.1.6 Определение среднего радиуса и плотности сферических пор структуры губчатой костной ткани ЦДАЛЛ Определение касательных напряжений разрушения костной ткани головки бедра 123
4.2 Определение усилия осевого сжатия шейки оперированного бедра при ходьбе на костылях
4.2.1 Рефлекс на растяжение мышц тазобедренной группы 131
4.2.2 Оценка величины реакции тазовой кости 133
4.3 Биомеханическая модель адаптационной пороупругости системы «отломки кости - фиксаторы» 134
4.3.1 Аппроксимация исследуемой области кости 134
4.3.2 Применение жёстких фиксаторов 136
4.3.2.1 Установка фиксаторов 137
4.3.2.2 Варианты установки фиксаторов 139
4.3.2.3 Изменение механических свойств костной ткани и усилия сжатия отломков в послеоперационном периоде при различных вариантах установки фиксаторов j 40
4.3.2.4 Параметрическая чувствительность модели 142
4.3.2.5 Выбор индивидуального момента установки фиксаторов 144
4.3.2.6 Клиническое применение 147
4.3.3 Применение упругих фиксаторов 154
4.3.3.1 Уравнение связи, налагаемой фиксаторами 154
4.3.3.2 Равновесие системы «отломки кости - фиксаторы» в момент окончания установки фиксаторов 156
4.3.3.3 Влияние жёсткости пружины и момента затяжки фиксаторов на изменение механических свойств костной ткани и усилия сжатия отломков в послеоперационном периоде 160
4.4 Выводы 165
5 Взаимодействие бедренной компоненты эндопротеза тазобедренного сустава с костью в послеоперационном периоде 168
5.1 Предоперационный выбор типа бедренной компоненты эндопротеза 170
5.1.1 Модель адаптации кортикального слоя кости, охватывающего ножку эндопротеза 171
5.1.2 Механизм взаимодействия и сравнительная оценка эффективности процессов внешней и структурной адаптации кортикальной костной ткани 174
5.1.3 Влияние уровня нагрузки на изменение пористости и модуля упругости 177
5.1.4 Критерий эргодичности выбора типа бедренной компоненты эндопротеза 179
5.1.5 Пространственная модель системы «кость - эндопротез»...
5.1.6 Анализ эргодичности ряда типовых конструкций эндопротезов 183
5.2 Оценка влияния хирургического фактора (остеотомии) на послеоперационное изменение плотности и механических свойств кортикального слоя бедра, охватывающего ножку эндопротеза ,
5.2.1 Влияние остеотомии на потерю массы кости 189
5.2.2 Влияние остеотомии на снижение модуля упругости костной ткани 194
5.3 Выводы 197
Контролируемое восстановление структуры, упругих и прочностных свойств костной ткани 199
6.1 Выбор реабилитационного режима нагрузок губчатой
кости проксимального отдела бедра 204
6.1.1 Нагрузки и конечноэлементная аппроксимация 205
6.1.2 Сравнение схем реабилитационных нагрузок 208
6.2 Выбор реабилитационного режима нагрузок фрагмента
большеберцовой кости 211
6.2.1 Уравнения начально-краевой задачи адаптационной пороупругости для фрагмента большеберцовой кости 213
6.2.2 Определение параметров а\ и а2 модели «реологической» адаптации 216
6.2.3 Анализ режимов реабилитации 220
6.3 Выводы 226
Заключение
- Стимулы адаптации
- Зависимости модуля упругости и коэффициента Пуассона губчатой костной ткани от объёмного содержания матрикса
- Определение физической плотности сырой костной ткани но 4.1.4 Определение минеральной плотности
- Влияние уровня нагрузки на изменение пористости и модуля упругости
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Решением ЮНЕСКО наиболее важным научным направлением в 21 веке признано изучение процессов в живых организмах и тканях как обладающее наибольшим инновационным потенциалом. Следуя мировым тенденциям, в Российской Федерации это направление исследований определено как приоритетное среди фундаментальных наук (Перечень приоритетных научных направлений РФ), что отражается, например, в ежегодном распределении средств финансирования Российским фондом фундаментальных исследований.
Одной из важных фундаментальных научных проблем в живых системах является развитие теории и методов моделирования биомеханических процессов в костной ткани человека (Лощилов, 1971; Пряхин, 1973; Янсон, 1975; Стецула и др., 1975; Авдеев и др., 1985; Регирер и др., 1985, 1999, 2000; Штейн и др., 2000; Frost, 1964; Brown, et al., 1980; Currey, 1984; Davy, et al., 1987; Martin, et al., 1989 и др.).
Большой интерес исследователей на протяжении последних 40 – 50 лет привлекает процесс приспособления (адаптации) костной ткани к изменяющимся нагрузкам (Стецула, и др., 1984; Cowin, et al., 1976, 1984, 2001; Hegedus, et al., 1976; Currey, 1984, 2003; Carter, et al., 1989; Huiskes, et al., 1987; Jacobs, et al., 1997; Hart, et al., 1984; Weinbaum, et al., 1994; Turner, et al., 1997 и др.), поскольку, с одной стороны, адаптация является одним из уникальных мало изученных свойств живой костной ткани и, с другой стороны, продвижение в данном направлении позволит решить ряд важных медицинских проблем. Особенно следует выделить такие острые проблемы травматологии нижней конечности человека, как 1) улучшение условий сращения отломков при хирургическом лечении переломов шейки бедра, 2) увеличение срока службы эндопротеза тазобедренного сустава и 3) создание методики контролируемой реабилитации кости после операции или травмы.
Актуальность отмеченных медицинских проблем обостряется растущей в РФ заболеваемостью артритом и артрозом суставов, а также остеопорозом костной ткани (Андреева, и др., 2008). Эти болезни, ухудшая прочность костей, увеличивают риски переломов и, следовательно, возрастает потребность в совершенствовании как травматологической помощи, так и послеоперационной реабилитации во всех возрастных группах населения. Так к наиболее грозным переломам относятся переломы проксимального отдела бедренной кости. При остеосинтезе переломов шейки бедра резьбовыми фиксаторами наблюдается от 8,5 до 16% случаев несращения (Andersen, et al., 1984). Значимость проблемы переломов шейки бедра определяется также и тем, что 85% всех средств, расходуемых на лечение и реабилитацию больных остеопорозом, приходится на пациентов с переломом именно шейки бедра (Андреева, и др., 2008).
После тотального протезирования тазобедренного сустава в 69,7% случаев микроподвижность, возникшая при эксплуатации эндопротеза, приводит к необходимости ревизионного протезирования (Неверов, и др., 1997). При этом среди причин микроподвижности, независящих от техники операции, главную роль играет адаптационное развитие пористости плотной костной ткани как следствие её функциональной недогрузки (Engh, et al., 1992).
Крайне важным является учёт и использование индивидуальных адаптационных свойств костных тканей в процессе послеоперационной реабилитации, поскольку назначаемые в настоящее время среднестатистические реабилитационные нагрузки для некоторых пациентов оказываются чрезмерными, вызывающими в ряде случаев локальные повреждения структуры костной ткани, и, как следствие, нарушение процессов репаративной регенерации в кости (сращения перелома).
Существует ряд других медицинских проблем костной системы человека, требующих достоверных прогнозов поведения костных тканей пациента при изменении внешней нагрузки, например, в стоматологии, спортивной медицине, космической медицине.
Известно, что адаптационные свойства костной ткани являются мощным средством организма для восстановления нарушенных функций костной системы (Янсон, 1975; Currey, 2003). Однако в применяемых медицинских технологиях эти свойства учитываются субъективно, на основании интуиции и опыта врача, что не позволяет в ряде случаев достичь желаемого лечебного результата. Причиной этого положения является сложность процесса адаптации и отсутствие технических средств контроля над адаптационным изменением структуры и механических характеристик живой кости. В настоящее время единственным средством прогноза реакции костной ткани на изменение внешней механической нагрузки является биомеханическое моделирование.
Анализ известных моделей адаптации костной ткани показывает, что они по разным причинам не позволяют моделировать реальные процессы адаптации в кости пациента, поскольку не удовлетворяют требованиям медицинской практики: индивидуальность подхода, реальный масштаб времени, адекватность. В связи с этим разработка биомеханической модели адаптационных процессов в костной ткани, удовлетворяющей требованиям медицинской практики, является актуальной проблемой.
Цель исследования
Целью работы является создание биомеханической модели адаптационных процессов в костной ткани нижней конечности человека, удовлетворяющей требованиям медицинской практики, и её применение к проблемам травматологии.
Задачи исследования
-
Построение структурных моделей костной ткани как биокомпозита.
-
Разработка методики определения чувствительности костных клеток к деформационному стимулу адаптации.
-
Формулировка кинетических уравнений адаптационных изменений параметров структуры, жёсткости и минеральной компоненты состава костной ткани.
-
Формулировка определяющего соотношения костной ткани как пороупругой приспосабливающейся среды.
-
Установление зависимостей технических характеристик упругости кортикальной костной ткани от параметров структуры.
-
Экспериментальное определение зависимостей радиуса пор, плотности и прочности сырой губчатой костной ткани от объёмной оптической плотности проксимального отдела бедра.
-
Биомеханическое моделирование адаптационных изменений структуры и механических свойств губчатой костной ткани при хирургическом лечении переломов шейки бедра жесткими и упругими резьбовыми фиксаторами.
-
Оценка адекватности разработанной биомеханической модели адаптационных процессов по данным её клинического применения при хирургическом лечении переломов шейки бедра.
-
Биомеханическое моделирование взаимодействия в системе «бедренная кость – эндопротез» после протезирования тазобедренного сустава.
-
Оценка влияния остеотомии бедра на потерю массы и минеральной плотности костной ткани протезированного бедра.
-
Разработка биомеханической модели адаптационных изменений структуры, механических свойств и минерального содержания костной ткани в процессе прогнозируемого реабилитационного восстановления костной ткани.
Научная новизна
-
Впервые разработана математическая модель адаптационных процессов в губчатой и плотной костной ткани нижней конечности человека, учитывающая зависимость активности костных клеток от деформационного стимула и позволяющая прогнозировать в реальном масштабе времени изменения минерального содержания, пористости, упругих и прочностных свойств костной ткани, вызванные изменением нагрузки.
-
Впервые методом пространственного КЭ моделирования линейно упругого напряжённо-деформированного состояния миниатюрных образцов установлены зависимости технических характеристик упругости кортикальной костной ткани бедра и большеберцовой кости от величины среднего радиуса гаверсовых каналов.
-
Впервые получены экспериментальные зависимости радиуса пор, плотности и прочности сырой губчатой костной ткани от объёмной оптической плотности проксимального отдела бедра, обеспечивающие индивидуальный подход в разработанной модели адаптации.
-
Впервые созданы математические модели адаптационных изменений структуры и механических свойств кости отломков после остеосинтеза шейки бедра жесткими и упругими резьбовыми фиксаторами, позволяющие определить необходимые моменты закручивания фиксаторов, при которых обеспечиваются допустимые значения сжатия отломков, пористости структуры и прочности костной ткани в течение процесса сращения.
-
Впервые разработаны уникальные конструкции упругого резьбового фиксатора и устройства для его установки, предназначенные для остеосинтеза шейки бедра при пониженных прочностных свойствах костной ткани пациента и в детской травматологии.
-
Впервые разработана методика количественной оценки вкладов пористости и деминерализации при определении потерь костной массы, позволяющая оценить влияние остеотомии и локальной недогрузки на потерю массы кости протезированного бедра, что необходимо для прогностической оценки длительности эксплуатации протеза.
-
Впервые создана биомеханическая модель прогнозируемого реабилитационного восстановления губчатой костной ткани проксимального отдела бедра, показывающая принципиальную возможность индивидуального назначения режима восстановительных нагрузок, при которых обеспечивается прочность трабекулярной структуры кости.
-
Впервые создана биомеханическая модель прогнозируемого реабилитационного восстановления кортикальной костной ткани.
Практическая значимость
Практическое использование результатов исследований заключается в следующем:
а) разработано программное обеспечение метода индивидуального, контролируемого остеосинтеза при переломах шейки бедра «Остеосинтез шейки бедра-I» (статус «Know How»); б) создан метод индивидуального, контролируемого остеосинтеза при переломах шейки бедра, применяемый в клинике МСЧ № 9 им. М.А. Тверье г. Перми; в) предложена новая конструкция фиксатора отломков кости при переломе шейки бедра с прорезной пружиной, защищенная двумя патентами РФ (на изобретение № 2231990, на полезную модель № 58335); г) предложен метод индивидуального, контролируемого восстановления костной ткани после операции или травмы; д) разработан в среде Delfi программный модуль «Контролируемая реабилитация: свойства» (статус «Know How»), предназначенный для расчета многостадийного адаптационного изменения структуры, упругих и прочностных свойств кортикальной костной ткани в процессе индивидуального, контролируемого восстановления после операции или травмы; е) биомеханическая модель адаптации костной ткани включена в Примерную программу дисциплины «Биомеханика костной системы» магистерской подготовки по профилю 151605 «Компьютерная биомеханика».
По тематике диссертационной работы защищены одна кандидатская и четыре магистерских диссертации. Результаты исследований используются в курсе лекций «Биомеханика костной системы», в учебном пособии «Экспериментальные методы в биомеханике» и научно-исследовательской работе студентов специальности «Биомеханика» в Пермском государственном техническом университете.
Положения, выносимые на защиту
-
Биомеханическая модель адаптации костной ткани как пороупругой приспосабливающейся среды.
-
Методика определения зависимостей технических характеристик упругости кортикальной костной ткани бедренной и большеберцовой костей от величины среднего радиуса гаверсовых каналов.
-
Методика предоперационного определения индивидуальных значений плотности, параметров структуры и прочности губчатой костной ткани пациента.
-
Биомеханические модели адаптационных изменений структуры и механических свойств кости отломков после остеосинтеза шейки бедра жесткими и упругими резьбовыми фиксаторами.
-
Биомеханическая модель адаптационных изменений структуры, минерального содержания, упругих и прочностных свойств костной ткани в процессе контролируемой реабилитации.
Апробация работы
Результаты работы обсуждались на Всероссийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1998, 2000, 2004, 2006), Международной конференции по биомеханике (Усть-Качка, 1999), Международном симпозиуме «Эндопротезирование крупных суставов» (Москва, 2000), рабочем совещании секции биомеханики института механики МГУ (Москва, 2002), Первой международной конференции по медицинским имплантатам (Вашингтон, 2003), Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине-2006» (Саратов, 2006), Всеросcийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001, Нижний Новгород 2006), а также на научных семинарах кафедр ПГТУ.
В целом работа доложена на семинаре кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством доктора физико-математических наук, профессора Коссовича Л.Ю.
Публикации
Основные результаты работы опубликованы в 37 работах, в том числе 10 работ опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объём работы
Работа состоит из введения, шести глав, заключения, двенадцати приложений и списка литературы. Общий объём работы составляет 294 страницы, включая 97 рисунков, 31 таблицу, 17 страниц библиографии, содержащей 169 наименований.
Стимулы адаптации
С начала 80-х годов прошлого века и в настоящее время в этом направлении, определяемом в последние годы в мировой литературе термином «механобиология», ведутся интенсивные экспериментальные исследования, обычно в искусственных (in vitro) условиях. Изолированные клетки или колонии (культуры) выращиваются на мягких биологических подложках (субстратах) и затем подвергаются различного вида механическим воздействиям либо через подложку, либо непосредственно на клетку. Одноосное растяжение подложки с остеобластами человека [142] показало, что размножение клетки путём деления (пролиферация) начиналось при достижении уровня деформации клетки 1%. Кроме того, в этом исследовании были установлены пороговый характер чувствительности клетки и зависимость доли активных костных клеток 5 ,,5С в равенстве (1.12) от деформации. Величина пороговой деформации 1% оказалась достаточно высокой, поскольку максимальные деформации при физиологических нагрузках в костях животных и человека не превышают величины 0,2 - 0,3% [153, 80]. Такая повышенная зона нечувствительности реакции клетки имеет на первый взгляд очевидное объяснение - это несоответствие искусственных условий эксперимента условиям обитания и нагружения клетки в живой костной ткани, поскольку в опытах на белых мышах (in vivo) пороговая деформация составила ожидаемые 0,15% [100, 163]. Однако по мере накопления опыта экспериментирования in vitro на остеобластах человека высокий уровень пороговой деформации подтвердился: Это1 натолкнуло- исследователей на мысль о существовании дополнительного механизма, преобразующего малые деформации матрикса в большие деформации остеобластов [79].
Применение теории фильтрационного потенциала (потенциала течения, вызываемого движением электролита в порах) для костной ткани и экспериментальные исследования показали, что течение внутритканевой жидкости в микропорах костной структуры создаёт потенциалы более высокого уровня, чем пьезоэлектрический эффект [147, 156]. Предполагается, что фильтрационные потенциалы являются физическим сигналом для остеобластов [157], вызывая их пролиферовку (размножение делением) путём регулировки кальциевого транспорта через их мембрану [122].
Кроме потенциала течения, поток внутритканевой жидкости в канальцах воздействует напряжениями сдвига на остеоциты. Расчёты, показали, что деформации изгиба 0,1% вызывают действие сдвиговых напряжений в канальце величиной около 1 Па, уверенно воспринимаемой остеоцитами [166].
В экспериментах на. культурах костных клеток, таких как остеобласты, хондробласты и остеоциты установлено, что именно остеоциты обладают наибольшей: чувствительностью к механическим воздействиям. Двум видам воздействий подвергались опытные: клетки — периодическому с частотой 1 Гц гидростатическому давлению амплитудой 13 КПа и пульсирующему с частотой?5 Гц потоку жидкости.под давлением 0;7 Па [125]. У всех клеток. реакция на гидростатическое давление оказалась менее активной (через 6 часов: после нагрузки), чем на поток жидкости (через 1" час), причём в обоих случаях активность остеоцитов была существенно выше, чемгу остеобластов, а у остеобластов выше, чем у хондробластов.
Учитывая двойной эффект потока внутритканевой , жидкости, система остеоцитов! и канальцев объединяется в единыш «оргаш механочувствительности костной ткани» [93].
Интересны строение (рис. 1.2) и геометрические- характеристики; лакунарно-канальцевой системы. [49]. Лакуны- остеоцитов (тёмные эллипсовидные фигуры, рис.1.2) располагаются по границам смежных ламелл остеона в количестве 12: - 15 единиц на поперечном срезе остеона; Поперечный размер лакун лежит винтервале 2 — 15 мкм с убыванием по мере удаленияот гаверсова канала (в центре). Длинная ось эллипсов достигает 20 -30 микрон. Остеоциты занимают большую часть объёма лакуны и имеют до 50 мембранных отростков, выходящих в канальцы диаметром 0;Г - 0;8 мкм соединяющие лакуны.остеоцитов в радиальном направлении между собой и с
Отметим, что гидростатическое давление прикладывалось к цитоскелету, но не к окружающему клетку матриксу,как это происходит in vivo. поверхностью гаверсова канала. В радиальном направлении лакуны отстоят между собой на расстоянии 35-38 мкм. Плотность остеоцитов и канальцев велика и составляет величины 104 — 105 мм"3 и 5-(105 - 106 мм"3) соответственно.
Между поверхностями отростков остеоцита и канальцев имеется тонкий кольцевой зазор порядка ОД мкм, через который протекает тканевая жидкость при деформации окрестности.
Тем не менее, в настоящее время остаётся неясным вопрос," каким образом активируются остеокласты при изменении деформации костной ткани. На основе того, что в процессе резорбции остеона остеокласты движутся в определённом направлении (вдоль гаверсова канала), предполагается направляющее воздействие механических факторов [79]. Однако, механизм этого воздействия в настоящее время неизвестен. В то же время имеется ряд экспериментальных свидетельств того, что формирование остеокластов и их активация регулируются клетками остеобластно-остеоцитной линии [78, 158, 161].
Зависимости модуля упругости и коэффициента Пуассона губчатой костной ткани от объёмного содержания матрикса
То есть, в некотором произвольном представительном объёме костной ткани ремоделирование не наблюдается и, следовательно, не выполняется гипотеза сплошности. Тогда как функциональная адаптация является непрерывным (континуальным) свойством костной ткани в силу сильно развитой остеоцито-канальцевой системы остеонов (плотность остеоцитов 104 - 105 мм"3, канальцев 5-Ю5 -5-Ю6).
Поэтому можно утверждать, что повреждённость кости при переменных нагрузках является мерой механического стимулирования только процесса ремоделирования.1 На основании этого факта и учитывая экспериментальные данные in vivo [129, 130], установившие, что адаптационная реакция кости проявляется на изменение значений пиковых дневных нагрузок (рис. 1.8), далее предполагается, что ремоделирование и функциональная адаптация кости являются различными независимыми процессами. То есть, на фоне процесса ремоделирования и параллельно ему осуществляется функциональная адаптация кости, обеспечивающая приспособление к изменяющимся пиковым значениям нагрузки путём изменения структуры, плотности и механических свойств.
Однако принятое разделение процессов ремоделирования и функциональной адаптации не является абсолютным, поскольку имеют общий клеточный механизм реализации цикла ремоделирования.. Кроме того, между ними существует биомеханическая связь — остеоид повреждённого остеона минерализуется до уровня, достигнутого в результате функциональной адаптации.
На основании третьего допущения далее исследуется только функциональная адаптация, а влияние клеточной регуляции гомеостаза кости не учитывается, полагая, что в каждый момент времени в результате ремоделирования костная-ткань обладает необходимым запасом усталостной прочности. Поэтому в последующих главах циклические нагрузки не рассматриваются. Кроме того, важно отметить, что в процессе функциональной адаптации, запускаемой единым деформационным стимулом, изменяются как структура, так и минеральное содержание костной ткани.
Костная ткань является биокомпозитом со сложной структурой, имеющей до пяти структурных уровней [32]. В настоящей работе принимается двухуровневая структурная модель.
Модель первого (макроуровня) включает однородное вещество кости (однородный матрикс) и мягкие ткани со свободной водой, заполняющие поры. На втором структурном уровне рассматривается матрикс и предполагается, что вещество кости не является однородным, а состоит из двух компонент - минеральной (гидроксиаппатит) и органической (тропоколлаген).
Для губчатой костной ткани принимается модель структуры первого уровня. Поскольку наименьший размер структуры (пор или трабекул) имеет четвёртый порядок малости (несколько десятых долей миллиметра), данная модель имеет масштаб мезоуровня. Форма пор структуры принимается сферической радиуса г (рис. 2.1). Влияние мягких тканей (костный мозг), заполняющих поры, учитывается только при определении числа пор п в единице объема ткани по следующей схеме [17].
Модель губчатой кости. А - фотография структуры в поперечном сечении шейки бедра с проекцией тензора структуры на это сечение (белая окружность), Б - модель структуры представительного объёма при целом п. Плотность мягких тканей обычно принимается у всех людей одинаковой и равной плотности воды 1,0 г/см3 [136]. Поэтому из соотношения (2.5) следует, что плотность пор п является функцией величин г и рск и может принимать необязательно целочисленные значения, моделируя реальную структуру с пересекающимися порами.
Таким образом, г и п являются параметрами, приближённо отображающими реальную структуру губчатой костной ткани. Такое описание структуры предпринято впервые и, как будет показано в разделе 4.1, оказывается полезным при предоперационном определении индивидуальных характеристик структуры кости пациента.
Для представления структуры плотной костной ткани, используются модели обоих структурных уровней. В качестве пор в обеих моделях принимаются только гаверсовы каналы остеонов, представляемые круговыми цилиндрами одинакового радиуса (рис. 2.2). Влияние поперечных каналов Фолькмана не учитывается в виду их малой плотности. Влияние мягких тканей, заполняющих поры (костный мозг, капилляры), на механические свойства костной ткани также не учитывается в виду значительно более низкого уровня их механических свойств по сравнению с уровнем механических свойств матрикса.
Остеоны матрикса имеют различные уровни минерализации (на рис. 2.2А они различаются уровнем серого, менее минерализованные имеют более тёмный цвет) и, следовательно, обладают различными механическими свойствами. Однако подавляющее большинство остеонов имеют среднюю минерализацию (на рис. 2.2А обозначены цифрой 1 и определены как нормальные), поэтому в модели первого уровня матрикс плотной ткани полагается однородным материалом, со свойствами нормальных остеонов. Зависимости технических параметров упругости плотной костной ткани от величины радиуса гаверсова канала устанавливаются в разделе 2.2.
Плотная костная ткань является более консервативной, чем губчатая. Это выражается в частности в небольших отклонениях у разных людей средней по площади поперечного сечения диафиза трубчатой кости плотности расположения гаверсовых каналов п (мм" ), что позволяет принять эту величину постоянной равной 13 мм"2 [136].
Определение физической плотности сырой костной ткани но 4.1.4 Определение минеральной плотности
В начале данного раздела формулируется кинетическое уравнение изменения минеральной компоненты состава костного вещества, а затем определяются компоненты тензора R при двухуровневом описании структуры. Как известно, недогрузка кости приводит к потере минеральной. компоненты её матрикса, играющей главную роль в обеспечении жёсткости плотной кости [94]. Поэтому при иммобилизации конечности или экранировании фрагмента кости от физиологической нагрузки фиксаторами-(рис. 2.21) наряду с резорбцией происходит деминерализация костной ткани, а в процессе реабилитации уровень минеральной плотности восстанавливается.
Процессы минерализации и деминерализации костной ткани связаны с движением крови в сосудах гаверсовой системы и деятельностью клеток, продуцирующих органические волокна матрикса, - остеобластов [47].
На микроциркуляцию в кости в свою очередь существенное влияние оказывает её деформирование. На основании хорошего соответствия численной оценки объёма протекающей крови за опорную фазу шага в диафизе большеберцовой кости экспериментальным значениям этой величины предложен механизм влияния анизотропии упругих свойств и объёмной деформации плотной костной ткани на микроциркуляцию [32]. При этом предполагается, что данный механизм лежит в основе «реологической адаптации», регулирующей обменные процессы в кости при изменении функциональной нагрузки, в том числе и процесс изменения минерального содержания. С ростом пиковой нагрузки на кость усиливается кровоснабжение костной ткани и, следовательно, увеличиваются приток минералов и минеральная плотность кости. Снижение уровня осевой пиковой нагрузки приводит к ослаблению микроциркуляции крови и доставки минералов в костную ткань, нарушающему минеральный баланс матрикса в сторону деминерализации.
Рис. 2.21. Остеосинтез перелома диафиза бедренной кости. (А) экранированные от физиологической нагрузки участки кости, (Б) - фиксирующая пластина, (В) - место перелома.
В виду недостаточной изученности влияния механических факторов на микроциркуляцию крови и жидкости и массообмен в костной ткани [47] математические модели реологической адаптации в настоящее время отсутствуют. Представленная в данном исследовании математическая модель адаптивной пороупругости плотной костной ткани, учитывающая процессы минерализации и деминерализации костного вещества (матрикса), не содержит уравнений гемо- и гидродинамики и массопереноса в капиллярах, а является феноменологической, описывающей наблюдаемые явления на макроуровне. Поэтому при употреблении в дальнейшем термина «реологическая; адаптация» для сохранения преемственности терминологии слово «реологическая» берётся в кавычки.
В; соотношении (219) двумя последними слагаемыми можно пренебречь в виду малости значений характеристик упругости мягких тканей; заполняющих гаверсовы каналы, и тропоколлагеновых волокон матрикса; Согласно экспериментальным данным [132] величина модуля упругости тропоколлагеновых волокон изменяется в интервале 0,0 Г - 0,57 ТПа, тогда как величина модуля упругости; кристаллов і гидроксиапатита лежит в пределах 40 - 90 ГПа. При этом- объёмные содержаниям матрикса минеральной и органических компонент имеют одинаковый; первый., порядок/малостш В; связи с этим из (2.9) следует линейная зависимость тензора жёсткости костной ткани по; аргументам w, а
В? процессе внутренней адаптационной, перестройки в равенстве (2.116). изменяются -объёмные содержания и матрикса ,— и минералов;а,вто время . как, характеристики жёсткости кристаллов. гидроксиапатита остаются: неизменными, то есть Єа = const. Величина;gM изменяется в соответствии с равенствоМї(2:б4),,а для определения изменения величины а постулируется кинетическое уравнение; устанавливающее линейную зависимость скорости изменения; объёмного содержания минеральной компоненты матрикса от деформационного стимула адаптации . 15) в виде где величины коэффициентов , определяются на основании известных из клинической практики (экспериментов) количественных характеристик процессов деминерализации и минерализации, соответственно, (п. 6.2.2).
Кинетическое уравнение (2.117) является; феноменологическим описанием: механизма, «реологической» адаптации кортикальной костной ткани. Влияние деформации на микроциркуляцию крови и процессы метаболизма кости учитываются величинами коэффициентов ах, а2.
Согласно литературным данным тензорные свойства жёсткости системы кристаллов гидроксиапатита в настоящее время не изучены, поэтому в данной работе вычисление тензора чувствительности костной ткани по формуле (2.119) и моделирование «реологической» адаптации осуществляется1 для случая одноосного напряжённо-деформированного состояния (п. 6.2.1).
Феноменологическое уравнение линейной адаптационной пороупругости костной ткани Поскольку в процессе адаптации костной ткани происходит изменение во времени упругих свойств и деформации, причем это изменение вызывается действием двух различных по природе факторов: 1) механического в виде внешних сил и 2) биологического в виде активности костных клеток, то напряжение в соотношении (1.9) можно считать функцией двух независимых переменных (t), є(іУ6. Поэтому материальная производная тензора напряжения с учётом соотношения (2.35) позволяет получить феноменологическое уравнение линейно пороупругой приспосабливающейся среды в виде = sgn(l )(le-I )R:s+C:t. (2.121)
В соотношении (2.121) учитываются, как деформативные, так и приспособительные свойства среды. Первое слагаемое в правой части уравнения (2.121) определяет скорость изменения напряжения в результате адаптивных изменений тензора жёсткости, а второе слагаемое обусловлено скоростью изменения внешней нагрузки (скоростью деформирования). К достоинствам соотношения (2.121) следует отнести также его1 дифференциальную форму, свойственную кинетическим уравнениям (2.34) и (2.117). Единообразие формы полученных определяющих соотношений открывает перспективу их использования для построения МКЭ моделей адаптивных пороупругих сред.
Определяющее соотношение (2.121) приводит к некоторому усложнению схемы механизма адаптационного процесса. Для случая ступенчатого изменения внешней нагрузки такая схема представлена на рис. 2.22. Изменённая по отношению к физиологической нагрузке внешняя нагрузка в начальный момент времени Р(0) согласно закону Гука создаёт в кости актуальное поле деформаций є{х,0), которое совместно с полем деформации равновесного состояния zeq определяют стимул адаптации S в каждой частице костной ткани. Если величина стимула лежит в пределах зоны
Влияние уровня нагрузки на изменение пористости и модуля упругости
В этот, период (3,5 - 4,0 месяца) пациент передвигается на костылях; не опираясь на больную конечность. Мышцы тазобедренной группы» активируются только весом конечности (120 Н); потому величина1 силы Щ. существенно уменьшается по сравнению; с её равновесным физиологическим значением и составляет вначале послеоперационного периода (в,соответствии с оценкой величины реакции тазовой кости /=32,6 Н, см. п. 4.2.2) величину Rx=Rcos55=2QHi
Для каждого участка определяющие соотношения (т 2.3) имеют вид скалярных уравнений к=-( к-кед)Щк+ кЕк к = 1 (4.20) где чувствительность Rk костной ткани к стимулу адаптации є у. -s q в соответствии с равенством (2.48) при v = 0 определяется соотношением где -коэффициент, характеризующий активность и плотность костных клеток на поверхности пор, равный 0,055 мм/(день-ЕОД) (ЕОД-единиц относительной деформации, Приложение 8).
Поскольку костная ткань шейкщбедра находится в сжатом состоянии (єеч 0), то определяющее уравнение структурной перестройки в силу равенства (3;3) имеет вид rk=a k-;q), к = \Гб. (4.22) Функция (4.22) является кусочно-линейной с областью нечувствительности (рис. 2.16). Из соотошения (4.22) следует, что при увеличении сжатия костной ткани фиксаторами выражение в скобках становится отрицательным, и, следовательно, радиус пор уменьшается.
Для костной ткани фиксаторы являются односторонними удерживающими- связями, поскольку они не препятствуют укорочению участков большему, чем полученное укорочение при их установке. Следовательно, справедливо неравенство А1к Ы0 Ер1 , (4,23), где А7Л(/) — абсолютная/ деформация к-то. участка в момент времени t процесса; При / 0 в формуле (4.23) имеет место строгое равенство, которое сохраняется вплоть до момента времени г, в который сжимающие усилия фиксаторов обращаются в нуль. Поскольку процесс при .;/ г в данной работе не рассматривается, условие (4.23) принимает вид строгого равенства, из которого следует уравнение связи скоростей деформаций s t), к = 1 6 в текущий момент времени адаптации Из 13-ти уравнений (4.19), (4.20) и (4.24) после исключения производных &к, к = 1,6 остаётся 7, содержащих 7 неизвестных функций: F, єк, к = 1,6, которые вычисляются с помощью пошаговой по времени процедуры. В качестве начальных значений деформаций принимаются величины, определяемые соотношением (4.16).
Подстановка текщей деформации участков костной ткани єк, к = 1,6 в (4.22) и интегрирование позволяют вычислить текущие значения радиусов пор гк, к = 1,6. Начальные значеня радиусов пор определяются с помощью функции (4.5). Затем вычисляются: плотность пор (2.5), объёмное содержание матрикса (2.4), модуль упругости (2.10), напряжение по закону Гука и сила сжатия отломков кости. 4.3.2.4 Параметрическая чувствительность модели Под чувствительностью понимается величина относительного изменения 5 моделируемой характеристики процесса адаптации (усилие сжатия отломков F) при заданном изменении параметров (длины участков lk к= Ъ, оптическая плотность участков кости пациента (ропт )к к-ї$) Шестой участок из рассмотрения исключается, поскольку его длина определяется шагом резьбы фиксатора, а оптическая плотность равна оптической плотности пятого участка. Поскольку величина проекции реакции тазовой кости Rx в среднем на два порядка меньше усилия сжатия отломков одним фиксатором, сила Rx не входит в число параметров модели и, следовательно, влияние активации мышц в дальнейшем не учитывается.
Анализ чувствительности модели адаптационных процессов в костной ткани отломков к изменению её параметров позволяет установить допустимую область изменения приближённо назначаемых значений параметров, а также оценить степень влияния данного параметра на процесс.
Отклонения моделируемых характеристик процесса адаптации и параметров отсчитывалось от их номинальных значений, полученных при моделировании некоторого типичного процесса. Влияние изменения длин участков 1к Аг=Гз на относительное изменение усилия сжатия отломков 5 в конце периода сращения ( 125 дней) отражается данными табл. 4.10, где жирным шрифтом выделены варьированные длины. Как видно из таблицы в каждом численном эксперименте изменялись длины смежных участков при сохранении их суммарной длины. Данные табл. 4.10 показывают, что наибольшее влияние на усилие сжатия отломков оказывает длина 4-го участка. Однако, при ошибке измерения этой длины в интервале ± 2 мм (±14, 3%), погрешность вычисления усилия сжатия отломков не превышает 1%, что указывает на слабую чувствительность модели к ошибкам в измерении длин участков.
