Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 7
1.1 Особенности исследования механических свойств мягких биологических тканей. 7
1.1 1. Исследования свойств мягких биологических тканей с использованием поверхностных акустических волн (к третьей главе) 7
1.1 Б. Исследования возможности прямого определения упругих свойств мягких биологических тканей (к четвертой главе) 9
1.2 Математические методы, необходимые для исследования механических свойств мягких биологических тканей 13
1.2.1. Исследования распространения волн в упругой среде (к третьей главе) 14
1.2.2. Статические контактные задачи теории упругости. Методы интегральных преобразований для решения таких задач (к четвертой главе) 15
1.2.3. Динамические контактные задачи теории упругости (к пятой главе) 17
2. Описание экспериментальных установок, используемых при измерениях 19
2.1 Установка для экспериментов по вдавливанию штампа в упругую среду (к четвертой главе) 19
2.2 Установка для исследования поверхностных акустических волн (к третьей главе) 20
3. Оценка упругих свойств моделей мягких биологических тканей при использовании поверхностных акустических волн 24
3.1 Экспериментальные исследования распространения поверхностных акустических волн в моделях мягких биологических тканей. 24
3.2 Теоретическое исследование скорости распространения поверхностных акустических возмущений в «ближней зоне». 32
4. Оценка модуля сдвига тканевых образцов методом вдавливания штампа 46
4.1 Статическое воздействие штампа на упругий цилиндрический образец, заключенный в стакан со скользкой поверхностью 52
4.2 Статическое воздействие штампа на упругий цилиндрический образец со свободной боковой границей 60
4.3 Реконструкция модуля Юнга тканей молочной и предстательной желез человека по результатам данных о статическом воздействии штампа 63
5. Резонансный метод определения модуля сдвига упругого слоя 70
5.1 Задача о движении круглой тонкой пластинки при действии на нее осесимметричных периодических внешних сил. 71
5.2 Задача о движении упругого слоя при воздействии на одну из его границ осесимметричной внешней силы. 75
5.3 Определение резонансных частот тонкой пластинки, лежащей на упругом слое и нагруженной периодической внешней силой 78
Заключительные замечания 80
Основные выводы 83
- Математические методы, необходимые для исследования механических свойств мягких биологических тканей
- Теоретическое исследование скорости распространения поверхностных акустических возмущений в «ближней зоне».
- Статическое воздействие штампа на упругий цилиндрический образец со свободной боковой границей
- Задача о движении упругого слоя при воздействии на одну из его границ осесимметричной внешней силы.
Введение к работе
Ранняя диагностика злокачественных опухолей, наиболее распространенными из которых являются рак молочной и предстательной желез человека, остается одной из важнейших проблем в медицине до сегодняшнего дня. При этом, выявление заболевания на ранней стадии развития способствует его успешному лечению. Это обстоятельство обуславливает актуальность и важность темы работы, которая посвящена исследованию механических свойств мягких биологических тканей применительно к задачам медицинской диагностики.
Хорошо известно, что нормальные и патологически измененные ткани отличаются по своим механическим характеристикам [3, 79, 80, 82, 85, 86, 88, 92, 94-104, 113, 114]. Механические характеристики тканей, тем самым, могли бы служить дополнительным диагностическим фактором, при условии их надежного неинвазивного определения и наличия достаточно подробной количественной информации о их значениях в норме и при различных видах патологий. Вместе с тем, эти характеристики мягких биологических тканей к настоящему времени изучены недостаточно. Работа по систематизации этих данных началась сравнительно недавно [2, 3,19, 95, 106].
Целью данной работы является определение механических характеристик некоторых мягких биологических тканей, разработка методов определения этих характеристик и оценка их зависимости от вида и степени заболевания. В рамках этой цели решались следующие отдельные задачи.
а). Разработка и апробация метода реконструкции упругих свойств образцов ткани
ІП vitro методом вдавливания штампа. Выяснение зависимости упругих свойств образцов патологически измененной мягкой биологической ткани от вида заболевания.
б). Исследование возможности определения упругих свойств мягкой биологической ткани по измерению фазовой скорости поверхностных возмущений.
В работе представлены следующие новые результаты:
<1>. Впервые теоретически показано приблизительное постоянство фазовой скорости сдвиговых возмущений на поверхности упругого полупространства вблизи от источника возмущений (в ближней зоне). Отметим, что эта скорость значительно превышает скорость поверхностной волны Рэлея.
<2>. Теоретически исследована зависимость средней фазовой скорости на поверхности упругого полупространства от механических характеристик. Показано, что эта скорость в ближней зоне сильно зависит от модуля сдвига и слабо зависит от степени сжимаемости среды (коэффициента Пуассона). Исследована также зависимость этой скорости от частоты возмущений.
Теоретические результаты <1-2> сопоставлены с экспериментальными данными, полученными с участием автора.
<3>. Показано, что сила вдавливания штампа в упругую среду имеет одну и ту же зависимость от упругих свойств среды и смещения штампа с точностью до безразмерного коэффициента (форм-фактора) для упругой среды в виде полупространства, упругого слоя, цилиндрического образца, помещенного в стакан со скользкими стенками. Определена зависимость форм-фактора от отношения толщины слоя или геометрических размеров цилиндрического образца к радиусу штампа.
<4>. С использованием полученных теоретических результатов (см. <3> выше) выявлена зависимость усредненного модуля Юнга патологически измененной мягкой биологической ткани от вида заболевания.
<5>. Предложен метод определения модуля сдвига упругого слоя по измерению сдвига резонансных частот тонкой пластинки, лежащей на слое.
Исследования влияния заболевания на модуль Юнга тканевых образцов выполнялись с помощью образцов из послеоперационного материала. Предварительная отработка методик осуществлялась с использованием тканеподобных фантомов. Показано, что предложенные в четвертой главе методы позволяют определять отличие упругих свойств не только нормальных тканей от опухолевых, но и разных видов опухолевой ткани друг от друга, т.е. полученные в работе результаты могут быть полезны для целей дифференциальной диагностики.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы. Принят следующий порядок нумерации формул и рисунков. Номер состоит из двух чисел: первое число соответствует номеру главы в диссертации, последнее - порядковому номеру формулы или рисунка в данной главе.
В первой главе проведен обзор литературы по современному состоянию исследований механических свойств мягких биологических тканей, а также обзор математических методов, необходимых при этих исследованиях.
Во второй главе описаны экспериментальные установки, применявшиеся при исследованиях тканеподобных фантомов и образцов мягких биологических тканей in vitro.
Третья глава называется: "Оценка упругих свойств моделей мягких биологических тканей при использовании поверхностных акустических волн ". В первой ее части описано проведенное с участием автора экспериментальное исследование скорости распространения поверхностных возмущений для моделей мягких биологических тканей, определены зависимости скорости от частоты возмущения, свойств и толщины упругого слоя. Во второй части этой главы теоретически исследуется характер поверхностных возмущений, использованных в эксперименте, а также влияние упругих свойств среды и частоты возмущения на скорость поверхностных возмущений в ближней зоне.
Четвертая глава называется "Оценка модуля сдвига тканевых образцов методом вдавливания штампа". В первой ее части теоретически рассмотрены задачи о статическом
воздействии штампа на упругий цилиндрический образец с различными краевыми условиями. Показано, что при вдавливании штампа в упругую среду сила противодействия штампу выражается универсальной формулой для среды в виде полупространства, слоя или цилиндрического образца, помещенного в стакан со скользкими стенками. Влияние формы упругой среды осуществляется через безразмерный форм-фактор. Приведены зависимости форм-фактора слоя от отношения толщины слоя к радиусу штампа, форм-фактора цилиндрического образца от отношения высоты и внешнего радиуса образца к радиусу штампа. Во второй части этой главы приведены результаты реконструкции модуля Юнга тканей молочной и предстательной желез человека по результатам данных о статическом воздействии штампа на основе методов, разработанных в первой части этой главы.
Пятая глава называется: "Резонансный метод определения модуля сдвига упругого слоя". В ней предложен новый метод определения модуля сдвига упругого слоя мягкой ткани, нагруженного периодической внешней силой через тонкую пластинку. Получены резонансные частоты пластинки и показан способ реконструкции модуля сдвига упругого слоя мягкой ткани по измеренным резонансным частотам.
В выводах сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.
Математические методы, необходимые для исследования механических свойств мягких биологических тканей
Задачи, к которым сводится проблема реконструкции неизвестных механических характеристик мягких биологических тканей в рамках методов, использованных в работе, являются смешанными задачами линейной теории упругости, с той или иной степенью симметрии. Методы решения таких задач опираются, в основном, на интегральные преобразования, техника которых в настоящее время хорошо развита [13-18, 24, 33, 35-37, 51, 53, 58-59, 61, 64, 70, 73]. Остановимся на конкретных математических задачах, возникших при работе над диссертацией, и методах теории упругости, необходимых при решении этих задач. Для третьей главы необходимо рассмотреть распространение волн по поверхности упругой среды в непосредственной близости от источника возмущений и исследовать зависимость фазовой скорости этих волн от расстояния до источника и механических свойств упругой среды. Для четвертой главы необходимо решить стационарную задачу теории упругости о вдавливании штампа в упругий цилиндр с различными граничными условиями. Для пятой главы необходимо исследовать резонансные свойства тонкой круглой пластинки, лежащей без трения на упругом слое, в зависимости от упругих свойств подлежащего слоя. Исследования распространения волн в упругой среде (к третьей главе). Динамические методы определения механических характеристик тканей основаны на том, что характеристики волн, возбуждаемых на поверхности упругого тела, зависят от механических характеристик этого тела. Движения упругого и однородного полупространства, вызванные локальным источником на его поверхности, были изучены Лэмбом в классической работе [83]. Обширный обзор литературы по задаче Лэмба содержится в работах Ewing [81] и Miklowitz[87]. В книге Л.М. Бреховских [8] дается систематическое изложение теории распространения упругих волн в слоистых средах. Рассмотрены условия существования волн в однородном упругом пространстве, в упругом полупространстве, а также в разных типах слоистых сред. В монографии И.А. Викторова [9] описаны основные свойства и характеристики разных типов упругих поверхностных волн, дана их классификация. Изложены вопросы возбуждения и распространения поверхностных рэлеевских волн, являющихся основным и наиболее широко используемым в исследовательской практике типом звуковых поверхностных волн. Кроме того, рассмотрены волны Лява и волны Стоунли.
Напомним, что это соответственно волны в слое, лежащем на полупространстве, и волны на границе раздела жидкости и упругого тела. Приведенные в книге формулы для скоростей различных типов волн позволяют увидеть, например, что скорость волны Рэлся меньше скорости волны Лява. Этот факт может оказаться полезным при интерпретации результатов первой (экспериментальной) части третьей главы. Хотя и не дает точного ответа, поскольку, как показано во второй (теоретической) части той же главы для полупространства, в «ближней зоне» (экспериментальные измерения проводились вблизи от источника колебаний) волна Релея еще не сформировалась, соответственно и для слоя лежащего на полупространстве, скорее всего волна Лява еще не сформировалась. В книге В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [15] изложены результаты исследования закономерностей распространения волн и стационарных волновых процессов в упругих телах. Подробно рассмотрена плоская задача Лэмба для случая периодической внешней силы, действующей по нормали к поверхности. Для наших целей требовалось решить аналогичную задачу для случая внешней силы, действующей по касательной к поверхности. Это решение изложено в третьей главе (подробности в Дополнении 1) 1.2Б. Статические контактные задачи теории упругости. Методы интегральных преобразований для решения таких задач (к четвертой главе). Решение задачи о штампе на полупространстве впервые было опубликовано М. А. Садовским в 1928 г (по обзору Л.А. Галина [13]). Был рассмотрен ряд задач о вдавливании штампа, имеющего плоское основание, в упругое полупространство. В книге Я.С. Уфлянда [58] описаны решения некоторых классов задач, полученные с помощью интегральных преобразований Ханкеля, Меллера-Фока, Конторовича-Лебедева. Приложения интегрального преобразования Ханкеля к задачам нормально нагруженного упругого слоя есть в работе Г.С. Шапиро [70]. Кроме первой основной задачи теории упругости, интегральное преобразование Ханкеля применяется при решении второй и смешанной задачи. Некоторые смешанные задачи рассмотрены в работах К.Е. Егорова [17] и Я.С. Уфлянда [61]. Применение преобразований Фурье и Ханкеля для многослойных сред обсуждается в работе Б.И. Когана [24], они применялись для анизотропного полупространства и слоя в работах С.Г. Лехницкого [32] и В. Новацкого [39]. В книге А.И.Лурье [33] приведены многочисленные приложения преобразования Фурье к задачам теории упругости. Интегральные преобразования Фурье применяются в работах B.C. Никишина с соавторами [35-37]. Так, например, в работе [35] дается обобщенная постановка, и систематически излагаются решения плоских контактных задач о давлении штампа, (а также системы штампов), на многослойное полупространство. С помощью численного анализа в работе [35] обнаружены новые механические эффекты, связанные со слоистостью. Например, при уменьшении толщины и увеличении жесткости верхнего слоя на площадке контакта появляется зона растягивающих напряжений, ведущих к отслоению материала от штампа. Это обстоятельство было учтено нами при работе над задачей о штампе, описанной в четвертой главе. Используя представления в виде интегралов Ханкеля, в работе А.Р. Сковороды [53] рассмотрены задачи о статическом вдавливании штампа в упругую слоистую среду, как для слоя конечной толщины, так и для полупространства. В этой работе для силы противодействия штампу со стороны упругой среды от радиуса применено кусочно-непрерывное приближение. В этом приближении, в частности, получено решение задачи о вдавливании штампа в упругий однородный слой. В четвертой главе приведены расчеты для этой задачи. Используя аналогичное приближение и конечное преобразование Бесселя—Ханкеля, в первой части четвертой главы представлена, разработанная автором, задача о статическом вдавливании штампа в упругий цилиндрический образец, помещенный в стакан со скользкими боковыми стенками. Подчеркнем что, несмотря на то, что контактным задачам о штампе посвящено много исследований, решение задачи о вдавливании штампа в ограниченный объект (для наших целей - цилиндр) в литературе отсутствует.
Заметим также, что использованное нами конечное преобразование Фурье - Ханкеля для решения задачи о вдавливании штампа в цилиндрический образец (четвертая глава) применимо только для определенных граничных условий. 1.2В. Динамические контактные задачи теории упругости (к пятой главе) В литературе описано довольно много динамических контактных задач теории упругости. Однако, как правило, эти задачи возникают из потребностей строителей для расчета фундаментов под различные машины и механизмы и посвящены исследованию динамических напряжений, возникающих в грунте непосредственно под фундаментом и воздействующих на него. Как правило, это задачи о вынужденных периодических колебаниях штампа на поверхности упругой среды. Такие задачи обычно сводятся к парным интегральным уравнениям, эквивалентным некоторому регулярному уравнению Фредгольма, допускающему эффективное приближенное решение. Решение такого типа контактных задач хорошо описано в книге Я.С. Уфлянда [64]. Задачи о вынужденных колебаниях круглой конечной пластины, лежащей на упругом полупространстве, описаны в работах Н.М. Бородачева [7] и О.Я. Шехтер [71]. В работе Н.М. Бородачева получены парные интегральные уравнения, которые затем сводятся к одному интегральному уравнению второго рода. Для решения этого интегрального уравнения предлагается метод последовательных приближений. В работе О.Я. Шехтер для решения той же задачи предложен приближенный метод, основанный на представлении неизвестного реактивного давления в виде степенного полинома с неопределенными коэффициентами. Эти коэффициенты предлагается определять из условия контакта между пластиной и упругим полупространством в ряде точек. В этих задачах требовалось найти распределение напряжений под пластиной при заданной периодической силе, действующей на пластину. Для задачи, описанной в пятой главе, -определение резонансов пластины, лежащей на упругом слое, нет необходимости находить компоненты тензора напряжений. Тем не менее, в этой задаче используется методика, сходная примененной в работе [7]. В отличие от работы [7], выписываются условия резонанса пластинки, и вычисляются резонансные частоты. Ряд задач о колебаниях плит на упругом основании рассмотрен в монографии Б.Г. Коренева [25]. В этой работе исследуются, в том числе, и резонансные свойства круглой пластины, лежащей на упругом основании. Хотя эта монография очень полезна для понимания резонансных свойств тонкой пластинки, но нельзя не заметить, что в этой работе используется модель упругого основания Винклера
Теоретическое исследование скорости распространения поверхностных акустических возмущений в «ближней зоне».
В первой части настоящей главы было описано экспериментальное исследование скорости поверхностных акустических волн (ПАВ) в непосредственной близости от источника возбуждения, в так называемой «ближней зоне». Однако, теоретически задача распространения ПАВ в ближней зоне до сих пор остается мало изученной. Напомним, что в эксперименте измерялась фазовая скорость на линиях равной толщины клина, и считалось, что эта скорость в "ближней зоне" постоянна. Цели этой части: 1). Обсудить правомочность последнего предположения (постоянство фазовой скорости в "ближней зоне") 2). Исследовать зависимость этой скорости от упругих свойств изучаемой среды. Мы предполагаем, что ответы на эти оба вопроса можно получить, максимально упростив постановку задачи. А именно, рассмотрим математическую модель упругого полупространства с приложенной к части его поверхности касательной силой, действующей в направлении оси Ох и неизменной вдоль оси Оу. Иначе, рассмотрим плоскую задачу Лэмба с нагрузкой, действующей по касательной к поверхности среды. Именно, на поверхности упругого полупространства колебания возбуждаются периодическими по времени, касательными нагрузками Jx(x), При таком виде возбуждения колебаний в полупространстве возникают как продольные, так и сдвиговые (поперечные) волны. Плоская задача Лэмба с силой, действующей по нормали к поверхности, подробно рассмотрена в книге [15]. Решение для задачи Лэмба в случае касательной силы получим, действуя похожим образом. Пусть на полупространство Z O действует периодическая во времени сила, направленная вдоль оси Ох и не зависящая от у. А именно, пусть при Z=0 заданы следующие компоненты тензора напряжений: "2 = » а2х = 2///(х),nPHz=0, fix) ) для \х\ а. (3.1) Здесь /Л- модуль сдвига упругой среды,У(х) - произвольная функция при х #. В формуле (3.1) и в последующих формулах гармонический множитель СХр(-Ібл) опущен. Предполагается, что функция Дх) представляется следующим интегралом Фурье: 1 00 00 /( ) = -- J/(f) ехр(/ ) , /( ?) = J/(x) exp(-i$c)dx. (3.2) — 00 —00 Мы используем уравнения движения в форме Ламе Я2 /iAu + (A + /i)grad(divu) = yO—2- (З.З) Здесь A, JU - постоянные Ламе, р - плотность среды, А- оператор Лапласа, U -вектор смещений.
При этом, разложение Грина- Ламе для вектора смещений имеет вид u = grad + rota, (3.4) здесь (р - скалярный и а - векторный потенциалы. Интересующее нас решение задается функциями от двух переменных - X и Z. Искомое решение представляет собой сумму продольных и сдвиговых волн, которые описываются потенциалами (f\X,z) и a(x,z). Вследствие двумерности задали из трех компонент вектора a(x,z) отличной от нуля будет только компонента Cly{x,z) (см, например, [38]). В дополнении 1, используя разложение Грина-Ламе (3.4), уравнения движения (3.3) представлены в виде уравнений Гельмгольца на скалярный потенциал и у—компоненту векторного потенциала. Получено решение этих уравнений с граничными условиями (3.1), с использованием преобразования Фурье в виде (3.2). Формальное решение имеет вид (Д1.8): Здесь Ux, Uz - горизонтальное и вертикальное смещения, yl = -.,$ к\ , - \Р У2 — — к2 — двузначные функции от k\=0)/cs, кі—(д/ср,С8 — СР = Р , N() = {%2 +ylf -A%2yj2, /()- трансформанта Фурье A + 2/j, (3.2). Для того, чтобы формулы (3.5) однозначно определяли решение, необходимо при каждом ( выбрать определенные значения двузначных функций у\ и у2. Поясним, как это делается. Прежде всего, искомое решение должно быть ограничено. Следовательно, при тех , при которых У\ (Уі) действительно, нужно выбирать положительные значения У\ {уі). г. = ІГ- Г.Г2= Г- і- " Здесь имеются в виду арифметические (положительные) значения корней. Для тех, , при которых J\ (У2), чисто мнимые (\ \ ку I — 1,2), этих соображений недостаточно. Нужно учесть, что по физическому смыслу задачи имеется поток энергии от места возмущения и отсутствуют источники энергии на бесконечности. Это требование, как показано в [15], следующим образом определяет допустимые значения уі при Л7, / — 1,2; Г{ = -\/ ,2 , у2 = -І-Щ - f . (3.7) После введения соотношений (3.6) и (3.7) подынтегральные выражения в (3.5) полностью конкретизированы. Однако, значения их и Uz однозначно определить не удается. Формально это связано с тем, что подынтегральные функции в (3.5) имеют особенности в точках =±&д, где кц - положительный корень уравнения N(=0. При указанном выше выборе значений функций Y\ и Уъ входящих в это уравнение, оно не имеет других корней. Однозначное определение значений Ux и Uz сводится к указанию способа вычисления несобственных интегралов в (3.5), соответствующего физическому содержанию задачи. Именно, в систему вводится малое затухание, при этом полюса подынтегральной функции перемещаются в комплексную область, интеграл (3.5) приобретает точный смысл. При устремлении введенного затухания к нулю, значение интеграла стремится к пределу. Предельное значение интеграла и является искомым решением. В книге [15] в выражениях для смещений для случая нормальной нагрузки выписано аналогичное (3.5) выражение, причем, хотя это выражение и отличается от (3.5), но в нем используются комбинации тех же самых экспонент, и в несобственных интегралах имеются те же самые особенности. Поэтому воспользуемся описанным в этой книге способом вычисления несобственных интегралов, а именно перейдем к контурному интегрированию. В дополнении 1 описана процедура этих действий, и получены выражения для горизонтальных и вертикальных смещений вида (ДІЛ 9) -(Д1.20):
Статическое воздействие штампа на упругий цилиндрический образец со свободной боковой границей
Как было показано в предыдущих разделах, решение упругой задачи о вдавливании штампа, рассматриваемой в настоящей работе, для сжимаемого случая при приближении коэффициента Пуассона к 0.5 практически не меняется (рис.4.6). А поскольку у мягких биологических тканей коэффициент Пуассона близок к 0.5, можно считать их несжимаемыми и воспользоваться уравнениями равновесия (4.6) и несжимаемости (4.8) с граничными условиями (4.18)—(4.21). Для данных граничных условий (4.18)-(4.21), хотя система уравнений (4.6) та же что и для предыдущей части главы, не удается найти приближенное решение в виде суммы функций Бесселя, подобно предыдущему случаю. Поэтому будем искать численное решение. Использовалась конечноразностная аппроксимация исходных дифференциальных уравнений (4.6), (4.18)-(4.21). Детали поиска численного решения описаны во второй части Дополнения 2. Найдя численно решение системы (4.6), (4.8) с граничными условиями (4.18)— (4.21), вычислим силу воздействия штампа .F (см. выражение для (Jzz в (4.7)): При экспериментальных исследованиях по определению упругих характеристик тканей молочной и предстательной желез человека реконструкция упругих коэффициентов проводилась в приближении несжимаемости. Воздействие на образцы осуществлялось силой F в диапазоне от 1 до 4 Г. Соответствующий диапазон фиксируемых смещений штампа составлял от 0 до 2.5 мм (± 0.25 мм). В каждом случае результат определялся как средняя величина смещения, замеренная сразу после воздействия и спустя 5 секунд. Отличия в этих показаниях составляли от 1 до 6% в зависимости от свойств исследуемого образца. Препараты тканей имели линейные горизонтальные размеры от 8 до 40 мм при толщине от 5 до 8 мм. Обработка проводилась в два этапа. Поскольку в экспериментах деформации образцов достигали величины 30%, их нельзя считать малыми, и вначале решалась задача о реконструкции линейного участка зависимости между приложенной к штампу силой F и его смещением W. При этом по замеренным величинам смещений методом наименьших квадратов строилась квадратичная зависимость F=F{W), такая что F(0)=0.
Примеры полученных зависимостей F—F{W) приведены на рис.4.8. Эти величины смещений приведены вместе с диапазоном экспериментальной погрешности. Сплошными линиями нанесены реконструированные указанным способом зависимости W— W{F), построенные по средним значениям из приведенных, а также по верхним и нижним границам указанных интервалов. Касательные к этим кривым в точке F=0 дают решение задачи о реконструкции линейного участка зависимости сила-смещение в рассматриваемой здесь задаче о штампе на основе имеющихся в распоряжении экспериментальных данных. Таким образом, вычислив величину Q для каждого конкретного образца, можно реконструировать модуль Юнга исследуемых тканей из экспериментальных измерений зависимости смещения штампа от силы вдавливания штампа. Для цилиндрического образца, в случае относительно больших значений R/a, где R - радиус исследуемого образца, справедливо приближение упругого слоя и соответственно приближенная формула (4.5): N е ЕЛ4-4) (4-25) Здесь безразмерные величины q , - определяются из системы линейных уравнений (4.4), CQJ—COS( ), Сц—COS —- )—безразмерные константы. ш J. V 1 V Когда же образец не может считаться бесконечным слоем, т.е. при относительно малых размерах R/a, существуют два разных случая: 1. В случае свободной боковой границы образца из предыдущей части настоящей главы для величины / имеем (См. формулу (4.22)): F Ікіла1 \(q + 2 --Apdp (4.26) о % Или F Ea Q\, где Q\ -безразмерная константа, вычисляемая численно и зависящая от R()—Rja , Z=H/d , W0/a. Поскольку задача линейна, можно численно решив ее при w0/a=\, найти Q\, в этом случае Q\ =Q из формулы (4.23) и по формуле (4.23) определять величину Е. В данном случае, задача определения Q решалась при количестве узлов сетки под штампом равным 20, при этом относительная погрешность действующей на штамп силы, подсчитанная при его заданном единичном смещении, не превосходила величины 0.005 или 0.5%. 2. В случае размещения образца в жестком цилиндре с гладкими стенками из первой части настоящей главы для величины Q имеем формулу (4.17). Эта формула имеет тот же вид, что и формула вычисления величины Q для слоя (4.25), но здесь безразмерные величины q J - определяются из другой системы линейных уравнений, а именно (4.16). Таким образом, для всех описанных случаев модуль Юнга может вычисляться по формуле (4.24) где Q - вычисляется для каждого случая по соответствующим формулам. Замечание Казалось бы, что, имея экспериментальные данные, можно было бы не прибегать к столь сложным вычислениям форм-фактора. Предположим, что имеется тканеподобный эталонный образец с такими же размерами, как изучаемый образец мягкой биологической ткани (упругие модули эталона должны быть известны). Достаточно провести эксперимент по вдавливанию штампа в эталон и вычислить форм -фактор Q по формуле (4.24). Но такой подход также не лишен трудностей. А именно, размеры изучаемых биологических тканей заранее предсказать нельзя, и пришлось бы проводить эталонные измерения для большого количества эталонных образцов. Кроме того, экспериментальные погрешности в определении Q служили бы дополнительным источником ошибок. На рис. 4.9 и 4.10 приведены результаты решения задачи о реконструкции модуля Юнга образца на основе полученной линейной зависимости между приложенной силой и смещением штампа. Рис. 4.9 отражает данные по образцам патологически измененной ткани предстательной железы (всего 75 образцов), а рис. 4.10 - данные по образцам нормальной и патологически измененной ткани молочной железы (187 образцов).
Задача о движении упругого слоя при воздействии на одну из его границ осесимметричной внешней силы.
На верхней границе слоя считаем, что ьне пластинки касательное и нормальное напряжения равны нулю, а под пластинкой выполняются условия прилегания пластинки к слою, т.е. что вертикальные смещения границы стоя и пластинки совпадают. Кроме того, считаем, что касательное напряжение под пластинкой отсутствует. Таким образом, граничные условия на верхней границе слоя имеют вид: (7rz(r,h) = 0 (5.10а) a22(r,h) = 0 r R (5.10b) wc(r,h) = w(r) r R (5.10c) где (Trz, (7ZZ - компоненты тензора напряжений в слое, W - вертикальное смещение пластинки, R — ее радиус. В Дополнении 3 выписано решение системы (5.8) в виде интегралов по функциям Бесселя (см. (ДЗ.З)): 00 00 ис = \aJl(ar)U(a,z)da; wc - \aJQ(ar)W(a,z)da (5.11) о о где функции U\p.tz), W{OL,Z) с учетом условий на нижней границе слоя (5.9) и одного из условий на верхней границе слоя (5.10а) выражаются через функцию s{a). Функция S\Oi), умноженная на 2jUCi это трансформанта Ганкеля нулевого порядка нормального напряжения 7ZZ слоя. Два уравнения (5.10Ь) и (5.10с) относительно s((X) приводятся к парному интегральному уравнению для функции s{a) (см. (Д3.16)): \aJ0(ar)s(a)da = 0 r R о 00 \j0(ar)(\ g(a))s(a)da = AJ0(qr) + BIQ(qr) + Q(r) г R Ю (5.12) Здесь g((X) - известная функция, А и В - константы, определяемые через условия "г f (а) на краю пластинки, g(r) = \(XJQ{ar)- --- da о « V fetieut(fiC)- yFefiem(r)J0(ar)dr - трансформанта Ганкеля внешней силы. В парном интегральном уравнении (5.12) одновременно присутствуют неизвестные константы А а В и неизвестная функция s((X). В силу линейности (5.12) неизвестную функцию s(a) можно выразить через константы А и В: s((X)=So((Z)+ AsA((Z)+BSB(CX), где So(cc), SA(d), SB(CC) - неизвестные функции от СС. Тогда (5.12) можно представить в виде трех независимых систем уравнений относительно функций So(cu), Sj(Сі), SB{CC). Все эти системы уравнений имеют вид (5.12), но вместо AjQ(qr}+BI{c[r) + (2(r), будут содержать, соответственно, Jf qr) - для индекса A, 1о{дг ) — Для индекса В и Q{f) - для нулевого индекса неизвестных функций s( а). В Дополнении 3 показан способ вычисления функций S CC) и SB(GC). Трансформанта Ганкеля силы, действующей на пластинку со стороны слоя, имеет вид: L(«) = 2juc(AsA(a) + BsB(a) + s0(q)) (5.15) 77 5.3 Определение резонансных частот тонкой пластинки, лежащей на упругом слое и нагруженной периодической внешней силой Вернемся теперь к условию резонанса системы пластинка - упругий слой.
Как было сказано в параграфе 5.1, при наличии слоя под пластинкой трансформанта Ганкеля силы, действующей на пластинку со стороны слоя, связана с вертикальным смещением пластинки и должна выражаться через константы А и В. Формула (5.15) и есть это выражение. При этом, вместо системы (5.5) получим: Резонансные частоты колебаний системы пластинка - слой определяет условие равенства нулю детерминанта системы уравнений (5.16). Теперь это условие имеет вид: 11 22 _а12а21 0 (5.17) Как и в случае свободной пластинки, определим резонансное значение q , решив уравнение (5.17) относительно q, и найдем соответствующую ему резонансную частоту СО по очевидной формуле (5.7). На рис. 5.2, в качестве примера, показана зависимость резонансной частоты свободной пластинки, без лежащего под ней слоя, от номера резонанса для следующих характеристик пластинки: Из рисунка видно, что эта зависимость монотонна и в области значений модуля сдвига, характерной для мягких биологических тканей [3,106], имеет хорошо выраженный наклон. Располагая такой зависимостью, можно при известных характеристиках пластинки и экспериментально определенной резонансной частоте СО определять модуль сдвига слоя jUc, как это схематически показано на рис. 5.3. Заключительные замечания. Условие резонанса свободной пластинки (5.6) отличается от условия резонанса пластинки на слое (5.17) наличием интегральных членов, умноженных на отношение 2juc D или, в сущности, отношению модулей сдвига слоя к модулю Юнга пластинки. Это отношение, для использованных при расчетах значениях, было порядка 10", поэтому наклон кривых на рис.5.3-5.4 небольшой. Для получения зависимостей с большим наклоном, необходимо использовать материал пластинки с меньшим модулем Юнга. По мнению автора, при создании экспериментальной установки потребуется подобрать материал пластинки с модулем сдвига меньшим, чем использованным при данных расчетах (1.0-107 Н/м2). Для справки: у мягких резин модуль сдвига 5-105-1,5-10б, у металлов на два порядка больше. Поскольку одному модулю сдвига среды соответствует дискретный набор резонансных частот, то не исключена ситуация, когда, например, первая резонансная частота для одного модуля сдвига является второй резонансной частотой для другого модуля сдвига. Поэтому необходимо исследовать, насколько близки зависимости резонансных частот для разных номеров резонансов. На рис. 5.4 представлены зависимости второго, третьего и четвертого резонансов от модуля сдвига слоя. Из этого рисунка видно, что резонансные частоты довольно далеко отстоят друг от друга, и в характерном для мягких биологических тканей диапазоне модулей сдвига максимальная частота второго резонанса не превосходит минимальной величины третьего резонанса. Аналогично, максимальная величина третьего резонанса не превосходит минимальной величины четвертого резонанса. Таким образом, определив частоту резонанса и сравнив ее с частотой резонанса свободной пластинки, можно определить номер резонанса пластинки, лежащей на упругом слое и, соответственно, величину модуля сдвига слоя. Более того, используя набор резонансных частот, для конкретного слоя можно повысить точность определения его модуля сдвига. Отметим, что для получения приведенных на рис. 5.2-5.4 зависимостей приходится преодолевать существенные вычислительные трудности. Вместе с тем, такой подход позволяет получить искомое значение модуля сдвига исследуемого образца. Если в уравнении динамического равновесия тонкой пластинки применить упрощенную модель упругого основания Винклера (см. Главу 1), то характер зависимости резонансной частоты от константы к будет определяться простой формулой а =ла)о+7ГТк (518) где CDQ - резонансная частота колебаний свободной пластинки, к - константа приближенно пропорциональная модулю сдвига упругого основания. Однако для динамических задач, как указано в [11], гипотеза Винклера не применима, поэтому не удивительно, что кривая, изображенная на рис. 5.3, не имеет вид (5.18). В заключение заметим, что для более реалистичной постановки задачи, позволяющей на ее основе создать экспериментальную установку, по-видимому, полезно изменить граничные условия на краю пластинки, избавившись от необходимости ее жесткого закрепления.
При этом нужно будет добавить статическую внешнюю силу, не позволяющую пластинке оторваться от слоя и, возможно, изменить условия на нижней границе слоя. Ввиду того, что алгоритм решения при этом остается таким же, в настоящей работе метод в такой постановке не представлен. 1. Проведено теоретическое исследование фазовой скорости сдвиговых возмущений на поверхности упругого полупространства вблизи от источника возмущений (в ближней зоне). Показано, что фазовая скорость в зависимости от расстояния до источника имеет три характерных зоны: ближнюю, где скорость меняется мало, переходную, где скорость меняется сильно, и дальнюю, где скорость, осциллируя, стремится к скорости волны Релея. Показано, что средняя скорость в ближней зоне слабо зависит от коэффициента Пуассона, не зависит от частоты колебаний источника возмущения и сильно зависит от модуля сдвига среды. При увеличении модуля сдвига среды на порядок, фазовая скорость увеличивается примерно в три раза. Таким образом, измерение фазовой скорости распространения поверхностных возмущений в ближней зоне может служить для определения модуля сдвига среды и соответственно для диагностики патологии мягких биологических тканей, для которых модуль сдвига является важным диагностическим параметром состояния ткани. Отмечено, что при разработке приборов для такой диагностики следует уделить внимание определению границ ближней зоны — зоны слабо меняющейся фазовой скорости. 2. Разработан и апробирован метод реконструкции упругих свойств образцов ткани ІП Vitro методом вдавливания штампа. Выяснено, что модуль Юнга образцов патологически измененной мягкой биологической ткани зависит от вида заболевания. Показано, что сила вдавливания штампа в цилиндрический образец ткани (в границах применимости линейной теории упругости) зависит от упругих свойств среды и смещения штампа так же, как для полупространства, но с другим безразмерным коэффициентом (форм-фактором) Определена зависимость форм-фактора от отношения геометрических размеров цилиндрического образца к радиусу штампа
