Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы управления и модели тепловых объектов 10
1.1. Основные проблемы распределенного управления тепловыми объектами 10
1.2. Передаточные функции тепловых объектов управления 28
1.3. Частотные модели тепловых объектов 37
1.4. Пространственно-инвариантные объекты и системы 42
1.5. Основные результаты и выводы по главе 45
ГЛАВА 2. Особенности исследования устойчивости и качества распределенных систем 46
2.1. Исследование устойчивости пространственно-инвариантных распределенных систем 46
2.2. Оценка длительности переходных процессов пространственно-инвариантных систем управления 54
2.3. Исследование устойчивости пространственно не инвариантных систем управления...; 58
2.4. Критерий диагональной доминантности в задаче исследования устойчивости распределенных систем 65
2.5. Основные результаты и выводы по главе 71
ГЛАВА 3. Синтез распределенных управлений на основе свойств пространственной инвариантности и диагональной доминантности 72
3.1. Задача синтеза распределенных управлений тепловыми объектами ...72
3.2. Фазо-сопряженная коррекция в задаче синтеза пространственно-инвариантных управлений тепловыми объектами 73
3.3. Синтез астатических управлений на основе частотных характеристик распределенного расширенного объекта 84
3.4. Декомпозиционное распределенное управление пространственно не инва риантными тепловыми объектами 93
3.5. Основные результаты и выводы по главе 99
ГЛАВА 4. Особенности реализации распределенных управлений 100
4.1. Корректирующие пространственно-инвариантные звенья и их реализация 101
4.2. Программная реализация распределенного ПИД регулятора 112
4.3. Реализация профильно-корректирующего звена 114
4.4. Синтез распределенного управления цилиндрической печью обжига 117
4.5. Основные результаты и выводы по главе 124
Заключение 125
Список литературы 126
Приложение 136
- Основные проблемы распределенного управления тепловыми объектами
- Исследование устойчивости пространственно-инвариантных распределенных систем
- Задача синтеза распределенных управлений тепловыми объектами
- Корректирующие пространственно-инвариантные звенья и их реализация
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи анализа и синтеза систем управления тепловыми объектами являются достаточно сложными, поскольку такие объекты описываются уравнениями в частных производных, т.е. относятся к классу объектов с распределенными параметрами. С другой стороны, в настоящее время тепловые объекты управления и технологические процессы с их использованием имеют очень широкое распространение на практике. К ним относятся нагревательные печи, агрегаты и установки для термообработки, вытяжки или спекания различных материалов, выращивания кристаллов и т.п. В связи с этим актуальной является задача разработки инженерных методов исследования и синтеза высокоточных систем управления тепловыми объектами. В значительной мере актуальность указанной задачи обусловлена широким распространением современной вычислительной техники, которая может использоваться, во-первых, для проведения расчетов в процессе анализа и синтеза систем управления. Во-вторых, возможность применения вычислительных средств для технической реализации управлений позволяет применять значительно более сложные и соответственно более эффективные алгоритмы управления.
Традиционный подход к синтезу систем управления тепловыми объектами в большинстве случаев предполагает применение сосредоточенных регуляторов, изначально ориентированных на управление сосредоточенными объектами. В таких регуляторах используются производные различных порядков, но лишь по времени, так как в сосредоточенных объектах процессы разворачиваются во времени. Известно также, что качество переходных процессов в динамических системах определяется в первую очередь именно производными, применение которых обеспечивает прогностические свойства алгоритмов управления. Алгоритмы управления наиболее высоких уровней - адаптивные и самоорганизующиеся всегда строятся с использованием производных.
Однако в тепловых объектах управления процессы разворачиваются не только во времени, но и в пространстве, так как эти объекты являются распре- деленными. Поэтому представляется естественным применение в алгоритмах управления распределенными объектами производных по пространственным переменным. Соответствующие распределенные алгоритмы управления характеризуются повышенной сложностью реализации. Именно интенсивное развитие современных компьютерных технологий обеспечивает возможность технической реализации распределенных алгоритмов управления. Последние позволяют реализовать требуемые технологические законы изменения температуры и скорости её изменения не только во времени, но и вдоль пространственных координат во всем рабочем пространстве нагревательных печей или обогреваемых помещений.
Цель и основные задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка методов частотного синтеза распределенных управлений тепловыми объектами и алгоритмов этих управлений, ориентированных на реализацию с помощью современных компьютерных технологий.
Для достижения поставленной цели необходимо, решить следующие задачи: выбрать способы адекватного математического описания тепловых объектов с учетом их распределенности и возможности аналитического решения задачи синтеза; разработать методы аналитического, формализованного решения задачи синтеза распределенных управлений тепловыми объектами; разработать алгоритмы компьютерной реализации распределенных звеньев, обеспечивающих техническую реализацию распределенных управлений; разработать компьютерные методы исследования распределенных систем управления тепловыми объектами.
Методы исследования. Для решения указанных задач использовались преобразования Фурье и Лапласа, методы решения уравнений в частных производных и систем алгебраических уравнений, теория устойчивости распреде- ленных систем, теория рядов, теория ортогональных функций и методы автоматического управления.
Основные результаты, выносимые на защиту: метод синтеза пространственно-инвариантных управлений на основе фазо-сопряженноЙ коррекции и модели расширенного распределенного объекта; критерий диагональной доминантности распределенных тепловых объектов с векторными входом и выходом, как основа метода исследования устойчивости астатических распределенных систем с помощью кругов Гершгорина; декомпозиционный метод синтеза распределенных управлений пространственно не инвариантными объектами; алгоритмы численной реализации распределенных управлений, в том числе распределенного ПИД регулятора.
Научная новизна результатов работы состоит в том, что показана целесообразность применения распределенных управлений тепловыми объектами; предложенная фазо-сопряженная коррекция и модель расширенного распределенного объекта позволяют значительно упростить метод синтеза пространственно-инвариантных систем, предложенный И.М. Першиным; критерий диагональной доминантности, позволяет применять круги Гершгорина для исследования устойчивости пространственно не инвариантных астатических систем управления и предложить декомпозиционный метод синтеза систем этого типа; предложенные алгоритмы компьютерной реализации корректирующих устройств открывают возможность более эффективного использования современных информационных технологий в системах управления тепловыми объектами.
Практическая ценность и рекомендации по применению. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты открывают новые практические применения теории управления при решении задач построения систем управления пространственно-инвариантными и пространственно не инвариантными объектами. Предложенная фазо-сопряженная коррекция, модель расширенного распределенного объекта, критерий диагональной доминантности и декомпозиционный метод синтеза усиливают и расширяют возможности известных ранее методов синтеза распределенных систем управления. Эти результаты позволяют получить распределенное управление, формирующее целевое пространственное распределение температуры в рабочих зонах тепловых объектов. В частности, полученные в работе результаты внедрены в системе управления электрической печью СЭП-168Б, которая используется в ОКБ «Алим», г. Учкекен, для термического вжигания серебра в керамические изделия, а также в системе управления цилиндрической печью для обжига фарфоровых изделий. Полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе кафедры систем автоматического управления Кисло -водского гуманитарно-технического института.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск 2002); Северо-Кавказкий научный семинар "Мир физики и компьютерные технологии" (Карачаевск, 2002); VI Всероссийская научная конференция аспирантов и преподавателей ТРТУ (Таганрог, 2002), Всероссийская конференция молодых ученых и аспирантов "Информационные технологии, системный анализ и управление" (Таганрог, 2003).
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в девяти печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 113 наименований. Основное содержание диссертации изложено на 135 страницах, содержит 59 рисунков и 11 таблиц.
Указанные в диссертационной работе результаты: алгоритм моделирования и реализации ПИ корректирующих звеньев на ЭВМ по их передаточным функциям; алгоритм исследования устойчивости многомерных распределен- ных систем с помощью кругов Гершгорина; математическая модель цилиндрической печи и система управления для этой печи получены автором на первом этапе исследования под руководством профессора И.М. Першина, которому автор выражает свою глубокую признательность.
Результаты этой работы, выносимые на защиту, получены под руководством профессора Гайдука А.Р., который руководил также написанием и оформлением диссертационной работы в целом.
Во введении дается краткая характеристика исследуемой проблемы и обосновывается её актуальность, формулируется цель работы и основные задачи, подлежащие решению. Приводятся основные научные результаты, выносимые на защиту, указываются методы исследований, практическая ценность и новизна полученных результатов, дается структура работы, излагается краткое содержание и приводятся данные о реализации и апробации результатов работы.
В главе 1 излагается постановка задачи и краткий обзор литературы, посвященной математическим моделям тепловых объектов и методам синтеза алгоритмов управления ими. Показано, что существует два класса тепловых объектов управления: пространственно-инвариантные и пространственно не инвариантные. Наиболее целесообразным методом описания тепловых объектов и решения задачи синтеза управлений для них является частотный. Кратко освещаются основные положения методов анализа и синтеза распределенных систем управлений на основе разложения в ряд по собственным модам оператора объекта управления.
В главе 2 в соответствии с выделенными двумя классами тепловых объектов рассматриваются подходы на основе пространственной инвариантности и диагональной доминантности к исследованию систем управления тепловыми объектами. Получены оценка длительности переходных процессов пространственно-инвариантных систем и критерий диагональной доминантности объектов с распределенными параметрами.
В главе 3 развивается пространственно-инвариантный подход к синтезу систем управления тепловыми объектами, предложен метод фазо-сопряженной коррекции, что обеспечивает более простой выбор параметров корректирующих звеньев статических систем; предложен также частотный метод синтеза астатических систем управления на основе модели расширенного распределенного объекта. Предложено декомпозирующее управление пространственно не инвариантными тепловыми объектами и не обладающими свойством диагональной доминантности.
В главе 4 разрабатываются методы и алгоритмы компьютерной реализации распределенных пространственно-инвариантных динамических звеньев, предложенных в [72]. Эти звенья используются в качестве корректирующих элементов в процессе частотного синтеза систем управления тепловыми объектами. Предлагается алгоритм реализации распределенного ПИД (Р-ПИД) регулятора на ЭВМ.
Приведены также результаты синтеза системы управления цилиндрической печью для обжига фарфоровых изделий.
В заключении приводятся основные научные результаты диссертационной работы.
В приложении приводятся вспомогательные материалы, необходимые для решения задач синтеза, рассматриваемых в четвертой главе.
Здесь же помещены акты о внедрении научных и практических результатов диссертационной работы.
Основные проблемы распределенного управления тепловыми объектами
К тепловым объектам управления относятся различного рода устройства, в которых протекает управляемый процесс, связанный с нагревом или охлаждением нагретых заготовок, деталей, изделий. Нагрев или охлаждение всегда сопровождается теплопередачей или теплопереносом, т.е. обменом тепловой энергией, переносимой тепловыми потоками от более нагретых тел к менее нагретым. Процессы распространения тепловой энергии всегда происходят в не-котором объеме однородного или неоднородного материала, находящемся в нагревательной печи или нагревательной камере. Поэтому тепловые объекты относятся к распределенным объектам, т.е. к объектам с распределенными параметрами [8, 14, 54, 56, 96].
Наиболее характерными тепловыми производственными объектами яв ляются нагревательные печи, в которых процесс нагрева протекает в рабочей камере прямоугольной или круглой формы. Чаще всего по условиям проведе ния технологического процесса температура камеры должна изменяться вдоль и длины камеры по определенному закону. Для примера, на рис. 1.1 приведен требуемый график изменения температуры для технологического процесса вжигания серебра в керамические изделия.
Качество изделий в первую очередь зависит от точности поддержания требуемого закона изменения температуры вдоль длины камеры. В ряде случаев температура в начале возрастает по линейному закону, затем остается постоянной, а затем уменьшается также по линейному закону, но с другим коэффициентом наклона.
Рабочая камера обычно является теплоизолированной, в ней имеются тепловыделяющие поверхности, нагреваемый объект и датчики температуры. В некоторых случаях нагреваемое вещество представляет собой однородную массу, заполняющую весь рабочий объем камеры. К таким объектам относятся, например, печи для вытяжки. В других случаях различные зоны камеры заполнены разным веществом.
В данной работе рассматриваются лишь тепловые объекты с нагревательными камерами прямоугольной или круглой формы, как наиболее распространенные. Тепловой поток, поступающий в камеру от нагревателей, является входным управляющим воздействием, а температура в том или ином сечении камеры её выходной величиной.
В соответствии с определением [13] объектом, системой или звеном с распределенными параметрами называется устройство любой природы, в котором некоторый процесс протекает в пространстве и во времени, и выделены входы и выходы. Таким образом, тепловые объекты относятся к объектам с распределенными параметрами. В ряде работ такие объекты, звенья или системы называются распределенными.
Основной формой описания объектов или систем управления с распределенными параметрами являются их модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных. На основе этих моделей обычно определяются также передаточные функции, частотные и другие характеристики.
В общем случае модели объектов с распределенными параметрами являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных [23, 59, 79, 83, 94, 95]. Однако чаще всего применяются линейные модели. Как показано выше, управляемые процессы в тепловых объектах протекают в некотором объеме V рабочей камеры. Этот объем ограничен некоторой поверхностью S - боковыми стенками камеры. Состояние теплового объекта определяется изменением во времени температуры в каждой точке камеры, т.е. функцией T(x,y,z,i). Здесьx,y,z- координаты точки, а т- время.
Совокупность уравнений (1.1) — (1.3) образуют математическую модель общего вида распределенных объектов. В тепловых объектах управления источники тепла внутри рабочей камеры, как правило, отсутствуют. Поэтому в дальнейшем будем полагать /(л,у,г,х)=0. Функция g(x,y,z,x) включает управляющие и возмущающие воздействия, т.е. потоки тепла от нагревателей и через стенки камеры тепловых объектов.
Конкретный вид операторов в уравнениях (1.1)-(1.3) зависит от формы рабочей камеры и принятой системы координат. Если форма камеры является прямоугольной (рис. 1.2), то обычно используется декартова система координат.
Исследование устойчивости пространственно-инвариантных распределенных систем
Основной целью данной работы является разработка методов синтеза эффективных распределенных управлений тепловыми объектами. Однако, как и в случае сосредоточенных систем, одним из основных условий работоспособности распределенных систем является устойчивость их положений равновесия, или коротко, устойчивость систем управления.
Как показано в первой главе, среди множества тепловых объектов управления можно выделить два класса. К первому из них относятся пространственно-инвариантные тепловые объекты управления, которые могут быть представлены бесконечной совокупностью условно сосредоточенных звеньев. Второй класс объединяет распределенные тепловые объекты, не являющиеся пространственно-инвариантными, но которые могут быть описаны многомерной моделью сосредоточенных объектов.
В виду значительного различия этих моделей для исследования устойчивости и качества соответствующих систем необходимы различные методы. В связи с этим в данном параграфе рассматриваются методы исследования устойчивости и качества пространственно-инвариантных систем управления тепловыми объектами, как более простых. В следующем рассматриваются методы исследования устойчивости и качества не пространственно-инвариантных систем управления.
Перейдем к рассмотрению методов исследования устойчивости пространственно-инвариантных систем управления. Если для управления пространственно-инвариантным объектом использовать пространственно-инвариантный регулятор с управлением по.отклонению, то при указанных выше условиях замкнутая система также будет пространственно-инвариантной. Структурная схема такой системы может быть представлена, как показано на рис. 2Л, т.е. бесконечной совокупностью замкнутых контуров. Эти контуры обусловлены разложением переменных распределенной системы по собственным г),у,-м, модам распределенного \ ( объекта управления ч,у = 1, со, , = 1, 4. Так как указанные контуры независимы друг от друга, то для асимптотической устойчивости распределенной системы необходимо и достаточно, чтобы каждый из контуров был асимптотически устойчивым [10,24,51, 69,84].
Как отмечалось выше, для исследования устойчивости распределенных систем управления обычно применяются частотные критерии устойчивости Михайлова или Найквиста. В критерии Найквиста используются частотные характеристики разомкнутых систем, и он проще для практического применения. Поэтому критерий Найквиста лежит в основе разрабатываемого в данной работе метода синтеза распределенных управлений тепловыми объектами.
В соответствии с изложенным выше, для исследования устойчивости пространственно-инвариантных систем управления необходимо применить критерий Найквиста ко всему бесконечному набору контуров, которые отличаются друг от друга различными индексами мод. При этом передаточные функции этих контуров должны удовлетворять определенным условия. Причем, как показано в работах И.М. Першина и других ученых, эти условия выполняются для большинства распределенных объектов, в том числе и для тепловых объектов.
Чтобы исключить указанный выше перебор и упростить исследование устойчивости и качества пространственно-инвариантных распределенных систем в работах [68 - 72] предложено ввести обобщенную переменную C? = yJ+4fJ. (2.1)
Тогда при изменении л и у от 1 до да переменная G будет пробегать дискрет ные значения от начального значения GH=\\f{ +\pj также до бесконечности. Это позволяет всю совокупность передаточных функций некоторой пространственно-инвариантной системы представить в виде одной функции двух переменных. Например, все передаточные функции уО?) (1.20) с помощью обозначения (2.1) можно представить функцией W{G,s) = e (P( )Q + expH3(C?,5)z ) exp(P(G5 s)Lz) + exp(-P(GU)Lz ) где (s лУї $(G,s) = - + G . (2.3) Функция (2.3) зависит, как видно, от двух переменных G и s. Введенная таким образом обобщенная координата G позволяет переформулировать критерий Найквиста применительно к пространственно-инвариантным системам следующим образом [68, 69, 72]. Предположим, задана передаточная функция пространственно-инвариантной системы (рис.2.1) в разомкнутом состоянии вида WJG,s) = R(G,sW(G,s), GH G , (2.4) где R(G,s), W(G,s) - передаточные функции пространственно-инвариантных [9 регулятора и объекта управления такие, что допустимо применение критерия Найквиста [72]. Положим в (2.4) s=ja. Тогда при изменении значения частоты со от 0 до со, а значения обобщенной координаты G от GH также до со, вектор W(G у ю) опишет в трехмерном пространстве {Re W, Im W, G} поверхность, которая называется [72] пространственным годографом (рис. 2.2).
Для определения частотной характеристики объекта по некоторой Г] , у составляющей входного воздействия, очевидно, достаточно пересечь простран-ственный годограф плоскостью Г , параллельной плоскости Гі, т.е. плоско стью {Re И7, Im W, G }, проходящей через точку с координатами: Re =0, ImfF = 0, G =(фп) +(ФУ) - След пересечения плоскости Г и пространственного годографа будет представлять искомую частотную характеристику W(G t усо), т.е. частотную характеристику г] ,у -го контура (см. рис. 2.1) в разомкнутом состоянии.
Задача синтеза распределенных управлений тепловыми объектами
Как показано выше, распределенные тепловые объекты управления можно разделить на два класса. К первому классу относятся распределенные объекты с однородной (изотропной) рабочей областью. Другими словами, сре да во всех областях нагревательной камеры объектов данного класса имеет од ґ— ни и те же теплофизические характеристики. Поэтому объект описывается од ним дифференциальным уравнением в частных производных типа (1.4). Объекты данного типа образуют класс пространственно-инвариантных распределенных объектов.
Изложенное во второй главе данной работы обобщение критерия Найк виста позволяет распространить известный метод желаемых логарифмических характеристик [10, 11, 23, 96] на случай систем управления пространственно инвариантными объектами [48]. При этом пространственный характер частот ных характеристик тепловых объектов управления обуславливает ряд сущест кфі венных изменений в процедуре применения этого метода по сравнению со случаем сосредоточенных систем.
К другому классу тепловых объектов относятся объекты, с неоднородной рабочей областью, у которых в различных областях нагревательной камеры среда имеет различные теплофизические характеристики. Такие объекты, как правило, не являются пространственно-инвариантными.
Каждый объект такого типа нельзя описать одним дифференциальным уравнением. Для каждой области рабочего пространства здесь необходимо выписывать соответствующее уравнение в частных производных, причем эти уравнения должны учитывать взаимное влияние указанных областей друг на друга. Поэтому математические модели распределенных объектов, не являю чі щихся пространственно-инвариантными, представляют в виде матричных пе редаточных функций, отражающих многомерность и много связность объектов данного типа [45,46, 87].
Существенное различие математических моделей тепловых объектов указанных типов обуславливает значительные различия методов синтеза управлений для распределенных тепловых объектов соответствующих типов. Ниже сначала рассматривается метод синтеза распределенных управлений для пространственно-инвариантных объектов, а затем - для тепловых объектов, которые не являются пространственно-инвариантными.
Будем считать, что задана математическая модель пространственно инвариантного объекта (неизменяемой части системы) в виде его передаточ ной функции типа (1.29), являющейся функцией двух переменных [48]. Этими переменными являются: s — комплексная переменная преобразования Лапласа , . и G - обобщенная координата, отражающая распределенность объекта управ ления. Необходимо синтезировать корректирующее устройство (регулятор). К замкнутой системе управления предъявляются следующие требования: относительная статическая ошибка Д Аж; запас по модулю A(G) АЬЖ; запас по фазе Д(р((7) Ауж, где Аж, АЬЖ, Дфж — граничные значения соответствующих оценок.
В данном случае заданием допускается не нулевая статическая ошибка, то есть требуется синтезировать статическую систему. Эта задача, как извест ны но, может быть решена с применением пропорционального регулятора. Следр вательно, для решения задачи синтеза необходимо найти функцию статического коэффициента передачи K(G) распределенного П-регулятора.
Как и выше изображение входного воздействия представляется в виде ряда (2.6) по модам объекта управления, т.е. N 4 g(x,y,s) = Т,Сцу (з)Вцу%(х,у), (3.1) Здесь N - заданное число; Сцу (я) - изображения по Лапласу функций CtlY (x) из (2.32); В у (х,у) -переменные, представляющие собой комбинации тригонометрических функций (1.34), описывающих собственные моды однородного распределенного объекта. Отметим, что рядом (3.1) можно представить большинство реальных воздействий тепловых систем управления [13, 28, 37,42].
Методика синтеза статических ПИ систем подробно изложена в работе [72]. В результате ее применения по логарифмическим амплитудным характеристикам определяется амплитудно-частотная характеристика L G) пространственно-инвариантного регулятора. Этот регулятор реализуется на основе пространственно-инвариантного пропорционального звена [72].
Однако подключение этого регулятора к объекту управления может приводить к двум случаям. В первом случае, который показан на рис. 3.1, замкнутая система получается устойчивой с достаточными запасами устойчивости по амплитуде и по фазе. В этом случае процедура синтеза системы управления заканчивается.
Во втором случае, который показан на рис. 3.2, замкнутая система, включающая пространственно-инвариантный регулятор и объект управления, оказывается либо не устойчивой, либо с недостаточными запасами по амплитуде и по фазе. Поэтому требуется коррекция полученной системы.
Корректирующие пространственно-инвариантные звенья и их реализация
Как показано в предыдущей главе для обеспечения устойчивости и необходимых запасов по амплитуде и по фазе в систему управления необходимо вводить различные корректирующие элементы [3, 23, 85]. Это могут быть как сосредоточенные элементы так и распределенные корректирующие звенья или регуляторы. Техническая реализация сосредоточенных корректирующих элементов в настоящее время хорошо разработана, широко освещена в технической литературе и поэтому здесь не рассматривается.
В тоже время техническая реализация распределенных корректирующих устройств проработана слабо. Достаточно полный набор распределенных звеньев, которые могут использоваться как корректирующие, рассмотрен в работах И.М. Першина [69-72]. В этих работах дается определение и исследуется основные свойства распределенных звеньев, аналогичных типовым сосредоточенным звеньям.
В данной работе разрабатываются алгоритмы реализации распределенных корректирующих звеньев. В настоящее время наиболее технологичной и практически целесообразной является реализация устройств управления на ЭЦВМ. Поэтому далее основное внимание уделяется разработке алгоритмов численной реализации распределенных пространственно-инвариантных корректирующих звеньев с помощью ЭВМ или микроконтроллеров.
Однако для большей полноты представления проблемы ниже приводятся определения и некоторые характеристики трех тепловых распределенных звеньев и распределенного ПИД регулятора. В заключение главы приводится пример синтеза конкретной системы управления печи обжига изложенными выше методами. 100 Пространственно-усилительное звено. Предположим, g(x,y,s) и U{x,y,s) изображение по Лапласу при нулевых начальных условиях входного воздействия g(x,y,z) и выходной величины U(x,y,s) некоторого звена.
Таким образом, передаточная функция пространственно-усилительного звена зависит только лишь от обобщенной координаты. Причем, сравнивая выражения (4.1) и (4,6) можно заключить, что обобщенная координата G , по существу, является некоторым эквивалентном пространственного лапласиана, в тех случаях, когда входное воздействие представлено рядом (4.3).
На рис. 4.1 приведены графики зависимости коэффициента передачи Кпу пространственно-усилительного звена от обобщенной координаты G, построенные в логарифмическом масштабе при Е\ = 1 и s = j по выражениям (4.6), (4.7).
Как видно, коэффициент передачи этого звена монотонно увеличивается с увеличением значения обобщенной координаты, что позволяет «поднимать» усиление разомкнутого контура управления на высоких модах.
Так как пространственно-усилительное звено предназначено для решения задач коррекции систем управления, то возникает проблема его реализации. В настоящее время наиболее целесообразной представляется его реализация с помощью ЭВМ [40, 46, 53, 61]. С целью формирования соответствующего алгоритма, предположим, что проведена дискретизация [53, 97] пространственных и временной переменных, т.е. в общем случае определены х(=/Дх, у = \iAy, zv =vAz,T=Мт, (4.7) где /, [i,vtk = 0,1, 2,...; Ax = Lx/Nx; Ay = Ly/Ny; Az -LzINzi причем Nxi Ny, Nz и Дт - заданные числа, выбранные по условиям точности аппроксимации непрерывных функций g(x,y,z,x) и U{x,y,z,x) их дискретными значениями
Полученное соотношение (4.10) достаточно просто реализуется на современных контроллерах [20, 97]. Соответствующий алгоритм [43], с учетом обозначений (4.7) - (4.9) приведен на рис. 4.2.
Для расчета одного значения выходной переменной по этому алгоритму требуется 13 сложений и 6 умножений. При этом пространственно-усилительное звено может быть реализовано, если в каждой дискретной точке плоскости z = z пространства, в котором определено входное воздействие g(x,_v,T), находится датчик для измерения gix y k), і,іх,к = 0,1,2,....
Идеальное пространственно-дифференцирующее звено. Идеальным пространственно-дифференцирующим звеном по [68, 72] называется звено с передаточной функцией следующего вида
