Точные решения некоторых задач теории переноса при изотропном рассеянии Даниелян Эдуард Хачикович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I Полубесконечная среда 16

1. Интенсивность излучения при освещении параллельными лучами 16

2. Новое уравнение для функции Амбарцумяна . 23

3. Случай изотропного источника 27

4. Мононаправленный источник и функция Грина 33

5. Соотношения типа полутрупповых и некоторые следствия 37

ГЛАВА II Среда конечной оптической толщины 42

1. Внутренняя интенсивность при освещении параллельными лучами 43

2. О связи с задачей в полубесконечной среде 51

3. Некоторые точные решения 57

ГЛАВА III Задачи с учетом трехмерности геометрии 74

1. Интенсивность излучения при произвольных горизонтально-неоднородных источниках 75

2. Явное выражение для резольвентной функции 78

3. Частный случай вероятности выхода кванта в вертикальном направлении .81

4. К вопросу о нахождении распределения вероятности выхода кванта по направлениям 87

ГЛАВА ІV. К нахождению характеристж поля излучения в зависимости от числа рассеяний 92

1. Полубесконечная среда 94

2. Связь с аналогичной задачей для бесконечной среды. Явное выражение для резольвентной функции 98

Заключение 104

Литература 108

• Соотношения типа полутрупповых и некоторые следствия
• Внутренняя интенсивность при освещении параллельными лучами
• Интенсивность излучения при произвольных горизонтально-неоднородных источниках
• Связь с аналогичной задачей для бесконечной среды. Явное выражение для резольвентной функции

Введение к работе

Основным источником информации об астрономических объектах является электромагнитное излучение, идущее от них. Это излучение, в большинстве.случаев, прежде чем покинуть объект, претерпевает в его наружных слоях многократное рассеяние, поэтому знание закономерностей процесса диффузии излучения позволяет судить о физическом состоянии и свойствах вещества, в котором происходит этот процесс. Процесс многократного рассеяния излучения является предметом изучения одного из разделов теоретической астрофизики, именуемой теорией переноса излучения. Следует, однако, заметить, что в настоящее время интересы этой теории вышли далеко за пределы астрофизики и находят многочисленные приложения в различных областях физики, таких как физика атмосферы Земли и морских бассейнов, физика реакторов (здесь объектами многократного рассеяния являются тепловые нейтроны),, физика плазмы, теплофизика, биофизика и др. Задачи теории переноса находят приложения и в ряде областей техники.

Основной задачей теории переноса является отыскание интенсивности диффузного излучения в рассеивающей среде и на ее границах при заданных первичных источниках энергии. При этом обычно считаются заданными характеристики элементарного акта рассеяния, а сам процесс диффузии рассматривается как стохастический. Задачи этой теории отличаются различной степенью сложности в зависимости от числа факторов, учитываемых при рассмотрении конкретных случаев.

Математическое описание процесса многократного рассеяния излучения для простейших случаев впервые было дано в начале нашего века Шустером и , независимо от него, Шварцшильдом с целью применения к астрофизическим задачам. Впоследствии, до 40-х годов, решение этих задач значительно продвинулось вперед (как в смысле физических обобщений, так и в развитии математических методов их описания и решения) в основном усилиями Милна, Эддин-гтона, Хопфа (1934) и других исследователей. Следует, однако заметить, что это продвижение носило довольно монотонный характер. Качественно новый этап в теории переноса излучения наступил в 40-х годах, когда Амбарцумяном (1943, 1944) был введен так называемый принцип инвариантности и его разновидность - метод сложения слоев. Этот принцип был сформулирован Амбарцумяном для плоскопараллельных сред - полубесконечной и конечной оптической толщины на основе простых физических соображений. Например, для полубесконечной среды он формулируется следующим образом: интенсивность диффузно отраженного света инвариантна по отношению к добавлению к полубесконечной среде слоя малой оптической толщины, обладающего теми же оптическими свойствами. Принцип инвариантности привел к нестандартному решению задачи о диффузном отражении от полубесконечной атмосферы (также как и решению задачи о диффузном отражении и пропускании среды конечной оптической толщины), существенной особенностью которого явилось отсутствие каких бы то ни было интегрирований по оптической глубине, причем решение было алгебраически выражено посредством вспомогательной функции одной переменной - Ч?(ч) (именуемой функцией Амбарцу-мяна), имеющей смысл значения функции источника на границе среды. Известные же до того методы теории позволяли находить интенсивность излучения (в частности и на границе) лишь после предварительного нахождения функции источника на всех глубинах.

Идеи Амбарцумяна получили дальнейшее развитие в работах Чандрасекара (I95S), сформулировавшего "пять принципов инвариантности", Беллмана и его сотрудников, разработавших метод "инвариантного погружения" (см., например, работы Беллмана, Калаба и Преструда - 1963, Калаба и Уэно - 1975, Касти и Калаба - 1976 и др.), позволивший свести граничную задачу к задаче Коши. Что касается метода сложения слоев, то его сущность состоит в установлении связей между характеристиками светового поля рассеивающей среды и ее составных частей. Математически эти связи выражаются посредством некоторых интегральных соотношений, именуемых соотношениями инвариантности. В частности, с использованием соотношений инвариантности ван де Халстом (1980) был разработан, так называемый, метод "удвоения", позволяющий находить интенсивность излучения на границах плоского слоя конечной оптической толщины, посредством аналогичных характернетик светового поля слоя вдвое меньшей оптической толщины. Для нахождения внутренних полей излучения этот метод был обобщен Яновицким (1979). К методу удвоения в идейном отношении тесно примыкает метод Гранта и Ханта (1969), также применяемый для нахождения поля излучения внутри среды.

Количество задач теории переноса, для решения которых привлекался принцип инвариантности, резко возросло после известной работы Соболева (1951), в которой был выявлен вероятностный смысл величин, характеризующих процессы диффузии излучения. Это обстоятельство связано с тем, что вероятностная интерпретация делает особенно наглядной саму задачу и в значительной степени облегчает получение новых уравнений или соотношений с помощью принципа инвариантности. Отметим, что одновременно прин - 7 цип инвариантности и вероятностная трактовка процессов переноса широко использовалась представителями советских школ теории переноса: Ленинградской и Бюраканской.

Необходимо также отметить, что развитие идей, связанных с принципом инвариантности, еще продолжается. Так, в работах Яно-вицкого (1979, 1981) получены довольно общие соотношения инвариантности для неоднородных сред. Для сред сложной конфигурации, с учетом многочисленных факторов, соотношения инвариантности в наиболее общей форме сформулированы в работах Роговцо-ва (1981) и Пикичяна (1982).

Основной целью первых двух глав настоящей диссертационной работы является получение предельно простых аналитических решений при рассмотрении задач о диффузии монохроматического излучения в изотропно рассеивающей плоскопараллельной однородной среде. Эти упрощения удаются благодаря трем обстоятельствам: последовательному применению принципа инвариантности, наличию явных выражений резольвентной функции и резольвенты и проведению возможных аналитических интегрирований по оптической глубине. Поскольку из результатов первых двух глав становится очевидным важность наличия явного выражения резольвентной функции, то в последующих двух главах при рассмотрении несколько более дифференциальных задач основные усилия направлены именно на отыскание явных выражений для соответствующих резольвентных функций.

Выбор категории сложности задач, рассматриваемых в диссертации, не случаен. Это задачи оптимальной сложности, легко поддающиеся обобщениям, например, на случай полного перераспределения по частотам и на случай анизотропии (по направлениям) элементарного акта рассеяния. Возможность таких обобщений делает работу более актуальной, хотя ее актуальность прежде всего состоит в многочисленности ее возможных приложений в различных областях науки и техники, о которых говорилось выше.

Практическая ценность, приводимых здесь точных (явных) решений, как и ценность решения в явном виде любой математической задачи, состоит прежде всего в их конструктивности, т.е. в принципиальной возможности доведения решений задач до числа. При этом объем вычислений не должен превосходить объема вычислений при нахождении искомой величины из неявных соотношений (скажем, уравнений). Явные выражения, приводимые ниже, удовлетворяют этим требованиям. С другой стороны, наличие точных решений позволяет находить границы применимости различных асимптотических и приближенных формул.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав и заключения. В первой главе рассматриваются задачи о нахождении интенсивностей излучения в полубес-конечной среде при различных первичных источниках энергии. В §1 рассматривается задача о нахождении интенсивности (отдельно для восходящей и нисходящей ветви) в среде, освещенной параллельными лучами. С помощью принципа инвариантности для этих величин получены новые дифференциальные уравнения, сравнение которых с уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям для искомых величин посредством некоторых вспомогательных функций F и F , зависящих от меньшего числа переменных. Кроме того, устанавливается физический смысл этих функций, а также приводятся их явные интегральные представления посредством функции Амбарцумяна. Из одного из этих интегральных представлений, в частности, получается новое уравнение для функции Амбарцумяна (§2). В начале §3 показывается, что введенные нами вспомогательные функции F и F имеют также смысл интенсивностей излучения в полубесконечной среде, на границе которой имеется плоский изотропный источник. Там же при помощи компактного выражен ния для резольвенты путем аналитического интегрирования по оптической глубине получено интегральное представление для интенсивности излучения в среде, содержащей плоский изотропно излучающий источник. В это выражение входят функция Амбарцумяна и вспомогательная функция F . В §4 получено алгебраическое выражение для функции Грина посредством соответствующей функции источника, т.е. основной результат §1 обобщается на случай внутреннего плоского мононаправленного источника. В заключительном, пятом, параграфе приводятся полугрупповые соотношения для поверхностной функции Грина, представляющие собой своеобразные "теоремы сложения" оптических глубин, позволяющие независимым способом находить внутренние поля излучения. Там же приводится новое уравнение типа Вольтерра для вероятности выхода кванта. Результаты, полученные в первой главе, позволяют находить основные характеристики светового поля в полубесконечной среде более экономными средствами по сравнению с известными методами. Например, для нахождения функции Грина нашим способом требуется всего лишь два интегрирования по угловой переменной (если считать заданной функцию Амбарцумяна), в то время как обычным способом при тех же условиях необходимо проведение одного интегрирования по угловой переменной и трех интегрирований по оптической глубине. Такого существенного упрощения удается достичь в результате последовательного применения принципа инвариант - 10 ности (в результате чего получаются алгебраические выражения для функции Грина и ее поверхностного значения), использования явных выражений резольвентной функции (полученного Мининым , 1958) и резольвенты, а также проведения возможных интегрирований по оптической глубине аналитически. 

Во второй главе указанные упрощения распространяются для сред конечной оптической толщины. В §1 рассматривается задача о нахождении интенсивности излучения в среде, освещенной параллельными лучами. Для вероятностных аналогов восходящей и нисходящей ветвей интенсивности излучения получены "теоремы сложения" оптических глубин, обобщающие известные ранее для полубесконечной среды. Они позволяют при определенных вариациях оптической толщины слоя разработать схему для нахождения внутренних полей излучения (см. работу Яновицкого, 1979). С помощью этих же соотношений получены новые уравнения типа Вольтерра для резольвентной функции и вероятности выхода кванта. Для интенсивностей излучения, с помощью принципа инвариантности, получены по два новых дифференциальных уравнения, сравнение которых с уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям посредством неко-торых вспомогательных функций и f , зависящих от меньшего числа переменных. Здесь необходимо отметить, что сходные выражения другим способом ранее были получены Гутшабашем (1957) и Малликиным (1965), однако эти работы в свое время не привлекли к себе должного внимания специалистов. Впоследствии этот важный результат был заново открыт в работе Кагивада и Калаба (1967) методом инвариантного погружения, в котором для нахождения вспомогательных функций предлагается далеко не лучший способ. Способ, предложенный нами, выгодно отличается тем, что не требует инте - II грирований или дифференцирований (численных) по оптической глубине. В §2 в основе рассмотрения лежат соотношения инвариантности, устанавливающие связь аналогичных величин, характеризующих поле излучения в полубесконечной среде и среде конечной оптической толщины. Основное соотношение, полученное здесь, представляет собой явное выражение интенсивности излучения в среде конечной оптической толщины, содержащей плоский изотропный источник, посредством ее значения на границе и функции Грина полубесконечной среды. Из него, в частности, получается интегральное уравнение для вероятности выхода кванта из слоя, а также система интегральных уравнений для и - функций Ам-барцумяна. Для последних получены также новые интегральные уравнения сингулярные на полуотрезке [О; 1] . Эти результаты, а также алгебраические выражения для функции Грина (полубесконечной среды) и ее поверхностного значения, позволили впоследствии другим авторам получить асимптотические формулы высокой точности. Третий параграф посвящен, в основном, получению явных выражений для основных характеристик поля излучения в плоском слое посредством введенных нами вспомогательных функций o(2,zo) и &(ъ т°) • тесно связанных с функциями Амбарцумяна. Исходной предпосылкой для получения этих выражений послужила идея о возможности проведения интегрирований по оптической глубине аналитически. Такая возможность связана с тем, что в известных явных выражениях резольвентной функции и резольвенты (полученных Ро-говцовым и Самсоном, 1976), функциональная зависимость от оптической глубины весьма простая. Помимо свода формул для ряда величин, нам удалось получить для резольвенты более простое выражение. Получены новые уравнения для ip и 4/ - функций, а также для функций 0(7,?«) и о(?,гс). В конце параграфа (и главы) приводятся численные значения последних (таблица І) в узлах гауссовой квадратуры.

Третья глава посвящена рассмотрению рассеивающих сред с ис-точниковой горизонтальной неоднородностью, в частности, задаче о нахождении интенсивности излучения выходящего в заданном месте из полубесконечной среды, содержащей точечный источник. Надо сказать, что такие задачи гораздо сложнее задач при плоскопараллельной геометрии и до последнего времени не было получено ни одного точного решения даже для простых случаев за исключением, пожалуй, работ Соболева (1944) и Минина (I960), в которых рассматривался точечный источник между параллельными отражающими плоскостями. О других работах, связанных с кругом задач, рассматриваемых нами, будет сказано в вводной части этой главы. В §1 приводятся основные уравнения (довольно сложные), полученные из физических соображений, которые после применения интегрального преобразования Ганкеля приводятся к относительно простым уравнениям, аналогичным основным интегральным уравнениям теории переноса при плоскопараллельной геометрии. В §2 уравнение для аналога резольвентной функции решается в явном виде посредством аналога функции Амбарцумяна. Для последней получено интегральное представление, обобщающее известное интегральное представление, полученное Фоком (1944). для функции Амбарцумяна. В §3 с использованием явного выражения для аналога резольвентной функции и с применением принципа инвариантности решена в замкнутой форме задача о нахождении интенсивности излучения, выходящего в заданном месте (в вертикальном направлении) из полубесконечной среды, содержащей точечный источник.

В §4 ищется угловое распределение вероятности выхода кванта в в заданном месте. При решении этой задачи применяется разложение в ряд Фурье, преобразование Ганкеля д -го порядка, а также формализм принципа инвариантности. В результате этого для преобразованных коэффициентов разложения получаются дифференциальные рекурентные соотношения.

В четвертой главе рассматриваются задачи, связанные с нахождением характеристик светового поля в бесконечной и полубесконечной средах в зависимости от числа рассеяний. Здесь также с помощью принципа инвариантности получается выражение для вероятности выхода кванта, испытавшего определенное число рассеяний в полубесконечной среде, посредством аналогов функции Ам-барцумяна - Ц п(ч) и резольвентной функции - Фп(х) (§1). Последнюю величину с помощью известного метода удается выразить через аналогичную характеристику бесконечной среды, для которой при помощи двустороннего преобразования Іапласа удается найти явное интегральное представление посредством функций Чебышева.(§2).

В заключении перечислены основные результаты, полученные диссертантом.

Основная часть результатов, приведенных в настоящей диссертации получена нами и опубликована в следующих работах: Дание-лян и Мнацаканян (1975), Даниелян и Пикичян (1977), Андреасян и Даниелян (1978) и Даниелян (1976, 1979, 1983). С целью большей наглядности и полноты изложения в диссертации приводятся некоторые формулы известные ранее, а также полученные соавторами. Так, формулы (1.1)-(1.3), (1.62)-(1.65), (2.32) и (2.33) получены М.А.Мнацаканяном, а формулы (1.46), (1.48), (1.57), (2.31),.(2.34) и (2.41) получены О.В.Пикичяном и нами при совместных обсуждениях.

- 14 На защиту выносятся следующие основные выводы и результаты, относящиеся к задачам об отыскании характеристик светового поля в однородных, изотропно рассеивающих средах:

I. Интенсивность излучения и функцию источника в плоскопараллельной среде, освещенной параллельными лучами можно найти одно кратным интегрированием по угловой переменной. При этом, для полубесконечной среды достаточно знание функции {р(ч), а для среды конечной оптической толщины - знание некоторых функций о( ,т0) и ё(ч 0) , тесно связанных с и - функциями Амбарпумяна.

II. Знание тех же функций позволяет найти двукратным интегрированием по угловой переменной интенсивность излучения и функцию источника в среде, содержащей изотропный либо мононаправленный источник энергии. Результаты, на которые основываются эти два, пожалуй, основных вывода, следующие:

1) Алгебраические выражения для функции источника и интенсивности излучения в среде, освещенной параллельными лучами по-средством вспомогательных функций р и р (для полубесконечной среды) или I и (для конечного слоя).

2) Алгебраическое выражение для функции Грина полубесконечной среды (для конечного слоя такое выражение получено Пикичя-ном, 1978) посредством соответствующей ей функции источника.

3) Явные выражения для функций источников в конечном слое, содержащем изотропный либо мононаправленный источник, посред-ством функций f и (или F и F - для полубесконечной среды).

4) Явные выражения для функций -f и посредством Qfy, ) и Q(l,t0) ; и F и F посредством cp j .

III. Соотношения инвариантности для величины Р(г,тХ»2) описывающей интенсивность излучения в слое, содержащем изотропный источник на глубине Т , а также для поверхностной функции Грина.

1) Уравнение для вероятности выхода кванта из среды конечной оптической толщины, сингулярное на полуотрезке [О ; I] .

2) Уравнение типа Вольтерра для вероятности выхода кванта и для резольвентной функции.

3) Быстросходящееся уравнение для функции Амбарцумяна - 4 (у), а также системы интегральных уравнений для ср и - функций Амбарцумяна и функций а(у,тс) и ё(ч,Ъ0) •

IV. При рассмотрении задач с источниковой горизонтальной неоднородностью в полубесконечной среде, фундаментальную роль игра ет функция iffy,?) - аналог функции Амбарцумяна - (ffo) , для ко торой получено два интегральных уравнения и явное выражение.

Посредством этой функции получены:

1) Явное выражение для аналога резольвентной функции.

2) Решения задач о диффузном отражении и вероятности выхода кванта в заданном месте (без учета азимутальной зависимости).

3) Решение задачи о нахождении вероятности выхода кванта (с учетом азимутальной зависимости) в заданном месте.

V. Для задач о нахождении характеристик поля излучения в полу бесконечной среде с учетом числа рассеяний, тлеется свой аналог функции Амбарцумяна - рп(ч) . Посредством этой функции удается получить:

1) Явное выражение для аналога резольвентной функции.

2) Решение задачи о нахождении вероятности выхода в зависимости от числа рассеяний. 

Соотношения типа полутрупповых и некоторые следствия

Необходимо также отметить, что развитие идей, связанных с принципом инвариантности, еще продолжается. Так, в работах Яно-вицкого (1979, 1981) получены довольно общие соотношения инвариантности для неоднородных сред. Для сред сложной конфигурации, с учетом многочисленных факторов, соотношения инвариантности в наиболее общей форме сформулированы в работах Роговцо-ва (1981) и Пикичяна (1982).

Основной целью первых двух глав настоящей диссертационной работы является получение предельно простых аналитических решений при рассмотрении задач о диффузии монохроматического излучения в изотропно рассеивающей плоскопараллельной однородной среде. Эти упрощения удаются благодаря трем обстоятельствам: последовательному применению принципа инвариантности, наличию явных выражений резольвентной функции и резольвенты и проведению возможных аналитических интегрирований по оптической глубине. Поскольку из результатов первых двух глав становится очевидным важность наличия явного выражения резольвентной функции, то в последующих двух главах при рассмотрении несколько более дифференциальных задач основные усилия направлены именно на отыскание явных выражений для соответствующих резольвентных функций.

Выбор категории сложности задач, рассматриваемых в диссертации, не случаен. Это задачи оптимальной сложности, легко поддающиеся обобщениям, например, на случай полного перераспределения по частотам и на случай анизотропии (по направлениям) элементарного акта рассеяния. Возможность таких обобщений делает работу более актуальной, хотя ее актуальность прежде всего состоит в многочисленности ее возможных приложений в различных областях науки и техники, о которых говорилось выше.

Практическая ценность, приводимых здесь точных (явных) решений, как и ценность решения в явном виде любой математической задачи, состоит прежде всего в их конструктивности, т.е. в принципиальной возможности доведения решений задач до числа. При этом объем вычислений не должен превосходить объема вычислений при нахождении искомой величины из неявных соотношений (скажем, уравнений). Явные выражения, приводимые ниже, удовлетворяют этим требованиям. С другой стороны, наличие точных решений позволяет находить границы применимости различных асимптотических и приближенных формул.

Предлагаемая диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав и заключения. В первой главе рассматриваются задачи о нахождении интенсивностей излучения в полубес-конечной среде при различных первичных источниках энергии. В 1 рассматривается задача о нахождении интенсивности (отдельно для восходящей и нисходящей ветви) в среде, освещенной параллельными лучами. С помощью принципа инвариантности для этих величин получены новые дифференциальные уравнения, сравнение которых с уравнением переноса приводит к алгебраическим выражениям для искомых величин посредством некоторых вспомогательных функций F и F , зависящих от меньшего числа переменных. Кроме того, устанавливается физический смысл этих функций, а также приводятся их явные интегральные представления посредством функции Амбарцумяна. Из одного из этих интегральных представлений, в частности, получается новое уравнение для функции Амбарцумяна (2). В начале 3 показывается, что введенные нами вспомогательные функции F и F имеют также смысл интенсивностей излучения в полубесконечной среде, на границе которой имеется плоский изотропный источник. Там же при помощи компактного выражен ния для резольвенты путем аналитического интегрирования по оптической глубине получено интегральное представление для интенсивности излучения в среде, содержащей плоский изотропно излучающий источник. В это выражение входят функция Амбарцумяна и вспомогательная функция F . В 4 получено алгебраическое выражение для функции Грина посредством соответствующей функции источника, т.е. основной результат 1 обобщается на случай внутреннего плоского мононаправленного источника. В заключительном, пятом, параграфе приводятся полугрупповые соотношения для поверхностной функции Грина, представляющие собой своеобразные "теоремы сложения" оптических глубин, позволяющие независимым способом находить внутренние поля излучения. Там же приводится новое уравнение типа Вольтерра для вероятности выхода кванта. Результаты, полученные в первой главе, позволяют находить основные характеристики светового поля в полубесконечной среде более экономными средствами по сравнению с известными методами. Например, для нахождения функции Грина нашим способом требуется всего лишь два интегрирования по угловой переменной (если считать заданной функцию Амбарцумяна), в то время как обычным способом при тех же условиях необходимо проведение одного интегрирования по угловой переменной и трех интегрирований по оптической глубине. Такого существенного упрощения удается достичь в результате последовательного применения принципа инвариантности (в результате чего получаются алгебраические выражения для функции Грина и ее поверхностного значения), использования явных выражений резольвентной функции (полученного Мининым , 1958) и резольвенты, а также проведения возможных интегрирований по оптической глубине аналитически.

Внутренняя интенсивность при освещении параллельными лучами

Нами были проведены вычисления р - функции как с помощью уравнения (1.30), так и общепринятым методом. В результате выяснилось, что независимо от параметра )\ , уравнение (1.30) обеспечивает заданную точность при гораздо меньшем числе итераций по сравнению с уравнением (1.20). Конкретнее, при вычислении нашим способом, число итераций не зависит от параметра У и составляет порядка двух трех. При этом обеспечивается точность в несколько единиц пятого знака (интегралы считались по квадратурной формуле Симпсона по двадцати узлам). Для вычисления же Ч? - функции из уравнения (1.20) с той же точностью, число итераций составляет порядка 6 -7 для У - 0.2 t и очень быстро растет с ростом Э\ . В обоих случаях в качестве нулевого приближения принималось 1{? (у) = 4.

Предложенный способ более эффективного вычисления р - функции преследует вполне конкретные практические цели. Как уже отмечалось выше, при решении практически любой задачи теории изотропной диффузии в полубесконечной среде (а иногда и в среде конечной оптической толщины) мы всегда сталкиваемся с необходимостью знания численных значений - функции. Поэтому при конкретных машинных расчетах, при наличии эффективного способа, выгоднее вычислять эту функцию по ходу решения основной задачи, чем вводить обширные таблицы.

Следует заметить, что в книге Кейза и Цвайфеля (1972) приводится быстросходящееся интегральное уравнение для некоторой функции эс(г) , посредством которой просто выражается ц? - функция. Ядро этого уравнения имеет более простую структуру по сравнению с ядром полученного выше уравнения (1.30). В частности, при его численном решении не приходится вычислять функцию R(p) (см. формулу (1.27)). В связи с этим можно сделать два замечания, из которых следует, что предложенная в настоящем параграфе схема вычисления р - функции не менее практична, чем схема изложенная в упомянутой выше книге. Замечания эти следующие: первое - при численном решении уравнения (1.30) функция RfrO вычисляется лишь при нахождении первой итерации (и запоминается) и, второе - знание функции R(p) бывает полезно и даже необходимо (как это будет видно из дальнейшего) при нахождении практически любой характеристики поля излучения с помощью явных выражений.

В первом параграфе было показано, как найти интенсивность излучения в среде, освещенной параллельными лучами, посредством вспомогательных функций F и F , зависящих от меньшего числа аргументов. Там же говорилось о физическом смысле этих функций.

Оказывается, что те же функции допускают и другую физическую интерпретацию. Такая двойственность неудивительна и является следствием принципа обратимости оптических явлений. Для выяснения второго смысла этих функций надо помножить выражения (1.22) и (1.23) на Ь-А4 . Далее, учитывая вероятностный смысл резольвентной функции Ф(Т) (которых, кстати говоря, тоже два), а именно, что Ф(т)о1т _ есть вероятность того, что квант, находящийся в поглощенном состоянии на границе среды, в результате диффузии поглотится в элементарном слое о/т , ограниченном плоскостями, отстоящими от границы на оптических глубинах Т и Т + о/г. Легко видеть, что величины F( ,2) 2 и \F( ,2) 2 - представляют собой вероятности того, что квант, первоначально находящийся в поглощенном состоянии на границе среды, в результате рассеяний будет двигаться на глубине Z в направлении ate с os 2 , соответственно вниз или вверх. Другими словами, F и F дают угловое распределение интенсивности излучения в среде, если на ее границе имеется изотропно излучающий первичный источник.

Если источники энергии находятся не на границе, а на некоторой произвольной глубине, то задача, естественно усложняется. Прежде чем приступить к ее рассмотрению, введем помимо вспомо-гательных функций F и F новые вспомогательные функции: Ufay) и мл?) следующим образом

Физический смысл этих функций таков: \М ,ч)слі: - вероятность кванту, первоначально движущемуся на глубине Z , в направлении а ссо$% (-1 2- ) в результате рассеяний поглотиться в пограничном слое оІТ ; a VfoyWj? - вероятность того, что квант первоначально находившийся на границе среды в поглощенном состоянии, в результате рассеяний будет двигаться на глубине Т в направлении atccosp в телесном угле 2я 1 . Введение этих вспомогательных функций оправдано как с точки зрения компактности получаемых впоследствии формул, так и с точки зрения простоты в обращении с ними, ввиду их четкого физического смысла. Очевидно, что имеет место формула

Интенсивность излучения при произвольных горизонтально-неоднородных источниках

В заключение настоящего параграфа приведем еще один аналитический результат, иллюстрирующий возможности уравнения (2.32), интересный как сам по себе, так и с точки зрения следствий, вытекающих из него. Речь пойдет о еще одном, качественно новом, уравнении для величины pfo o/?) - сингулярном уравнении, полученном наїж и одновременно Пикичяном. Этот результат нами не был опубликован, но с соответствующей ссылкой приведен в работе Мнацаканяна (19756).

Заметим, что функция о вырождена по угловым переменным, не зависит от Z (а только от fe ) и на диагонали (1 - Ґ ) равна единице. При Zc = «р , уравнение (2.41) переходит в (2.39). Разумеется, уравнение (2.41) не может быть рекомендовано для вычислительных целей, и тем не менее, оно представляет интерес для выяснения аналитических свойств функции р( о,2) ш получения частных результатов (например, полагая в нем =. оо , yj-l/к и т. д.), но здесь мы на этом останавливаться не будем. Впоследствии вышеизложенным способом уравнения типа (2.41) были получены Мнацаканяном (1976) для несколько более общего случая.

Выше мы видели, что любую характеристику светового поля в полубесконечной среде, вплоть до функции. Грина, зависящую от четырех аргументов (двух угловых и двух пространственных) можно найти всего лишь однократным либо двухкратным интегрированием по угловой переменной, если считать заданной лишь функцию одной переменной Pfa) - функцию Амбарцумяна. Обычные же методы теории, при тех же условиях, позволяют найти, скажем функцию Грина , после одного интегрирования по угловой переменной и трех численных интегрирований по оптической глубине. Такое существенное упрощение достигается благодаря следующим трем причинам: I) наличию явного выражения резольвентной функции посредством функции Амбарцумяна, 2) наличию алгебраических соотношений типа (I.I4), (I.I5) и (1.59), и 3) проведению всевозможных интегрирований по оптической глубине аналитически.

Явное выражение для резольвентной функции бесконечной среды было получено еще в работах Дэвисона (1958) и Соболева (1959), а для полубесконечной среды Мининым (1958), а также Басбридж (I960) и Нагирнерым (1964) (в последних двух работах делались более общие предположения относительно элементарного акта рассеяния).

Для среды конечной оптической толщины явное выражение для резольвентной функции ф(х)Х0) было найдено относительно недавно в работе Роговцова и Самсона (1976) и явилось тем недостающим звеном в цепи, которое позволяет аналогичные упрощения распространить на решения задач в среде конечной оптической толщины.

Алгебраические соотношения типа (2.22) и (2.23) также были найдены недавно в работах Малликина (1965), Кагивада и Калаба (1967) и Даниеляна (1976) как и алгебраическое соотношение для функции Грина среды конечной оптической толщины, найденное Пи-кичяном (1978) и, тем не менее, понадобилось некоторое время для четкого осмысления необходимости слияния этих результатов путем простых аналитических интегрирований по оптической глубине.

Явное выражение для резольвентной функции cp(z,Zc) было получено Роговцовым и Самсоном (1976) формальным путем с помощью преобразования Фурье из уравнения переноса. Этот важный для теории результат можно получить и путем простых физических соображений, мысленно выделяя из бесконечно протяженной во все стороны рассеивающей среды, плоскопараллельный слой. При этом необходимо воспользоваться явным выражением для резольвенты бесконечной среды ф(ъ) и провести аналитически некоторое интегрирование по оптической глубине. В сущности оно содержится и в выражении, полученном Ивановым (1964) также с помощью физических соображений. Приведем явное выражение для (p(ztTc) в наших обозначениях: следующему из первого нелинейного интегрального уравнения для {п и \L - функций Амбарцумяна (2.27).

Подставляя (2.42) в (2.24) и (2.25) и интегрируя по оптиче-ской глубине, для функций f и получим несколько громоздкие на вид, но в сущности простые, легко поддающиеся счету выражения:

Связь с аналогичной задачей для бесконечной среды. Явное выражение для резольвентной функции

Итак, рассмотрение задач с учетом трехмерности геометрии на уровне вероятности выхода кванта приводит нас к получению следующих основных результатов.

В случае отсутствия азимутальной зависимости (как отмечалось выше это осуществляется, в частности, при рассмотрении вероятности выхода кванта из среды в вертикальном направлении) вероятность выхода из полубесконечной среды удается явным образом выразить посредством аналога функции Амбарцумяна - fY?, ) (см. формулу (3.28)). Аналогичный результат получается и для вероятности диффузного отражения в заданном месте (см. формулы (3.32), (3.27) и (3.30)). В свою очередь, для функции ffo получаются два различных уравнения-(3.18) и (3.20), а также явное интегральное представление (3.21), вполне приемлемые для нахождения ее численных значений.

При отыскании распределения вероятности выхода кванта по направлениям, после разложения этой величины в ряд Фурье и осуществления преобразования Ганкеля, задача сводится к нахождению преобразованных коэффициентов Qnft ,?) , для которых помимо раздельных интегральных уравнений типа Винера-Хопфа (см. формулу (3.43)), получаются также дифференциально-разностные соотношения (см. формулы (3.46) и (3.47)). При решении последних помимо величины Ф(т,г) необходимо также знание величин і (,у,ї) , для которых также удается получить явные интегральные представления посредством той же функции ір(ч,г) .

Основные результаты настоящей главы опубликованы в работе Даниеляна (1979), а также докладывались на Всесоюзном симпозиуме "Принцип инвариантности и его приложения", состоявшемся в 1981 г. в Бюракане. Исследование вопросов статистики числа рассеяний квантов, вносящих вклад в общую интенсивность диффузного излучения, представляет определенный интерес, как само по себе, так и ввиду больших возможностей для применения к решению относительно сложных задач теории переноса.

Первые исследования в этой области принадлежат Амбарцумяну (1938, 1948), который получил формулы для среднего числа рассеяний фотона и среднеквадратичного отклонения. Впоследствии ряд вопросов, связанных со статистикой числа рассеяний был рассмотрен в работах Соболева (1966а, б; 1967а, б), Иванова (1974), Иванова и Сабашвили (1973) и др. Так, в последней работе при довольно общих предположениях относительно ядра основного интегрального уравнения теории переноса, получена асимптотика п -го члена разложения в ряд Неймана при п s о . В последнее время такие задачи, в связи с применением к решению нестационарных задач, рассматривались в работах Ганопола и Гроссмана (1973), Ганопола, Маккенти и Педдикорда (1977), Ганопола (1981) и др. Приведем один пример, иллюстрирующий возможность применения таких дифференциальных задач к решению относительно сложной задачи.

Рассмотрим задачу о нахождении нестационарного поля излучения в полубесконечной среде, содержащей плоский первичный источник (или вспыхивающую плоскость). Общий метод для решения нестационарных задач, основанный на применении преобразования Лапласа, был предложен Мининым (1968). Другая возможность состоит в рассмотрении этой задачи как чисто стохастической. Так, например, выходящее излучение можно найти с помощью величины

Pfz ijcjuGoU , которую определим как вероятность того, что квант, находящийся в начальный момент на глубине Т в поглощенном состоянии, выйдет из среды во временном интервале от роятностей того, что квант выйдет из среды во временном интервале от і до і: +СІІ:у совершив при этом ровно п рассеяний. Если ввести еще понятие - вероятности того, что квант на п рассеяний потратит время от t до , то с помощью теоремы умножения вероятностей получим следующее равенство: