Содержание к диссертации
Предисловие 7
ВВЕДЕНИЕ 12
1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР 13
Полубесконечная среда 14
Анизотропное рассеяние 16
Слой конечной толщины 18
Методы Амбарцумяна 21
2. КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ....... 27
Принцип инвариантности 31
Методы наращивания слоев 32
Общая теория Соболева 34
Метод псевдозадач 36
3. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 38
Метод сведения . 40
Полугрупповой аппарат 42
Аналитические результаты 45
Дополнения и приложения 48
4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ 50
Основные результаты 50
Новизна и ценность 55
Публикации и апробация 56
На защиту выносятся 59
Часть первая. ТЕОРИЯ
Глава I. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ 61
5. МОДЕЛЬ ПСЕВД01ЩИКАТРИСЫ 62
6. ПРИНЦИП ОБРАТИМОСТИ 65
7. ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ 68
8. ПРИМЕЧАНИЯ 70
Глава П. СЛОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ 73
9. ОДНОМЕРНАЯ СРЕДА 74
Отражение и пропускание 74
Произвольные источники 78
Внутренние поля 80
Решение задач 82
10. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 85
Основные соотношения 85
Частные задачи 87
Вычислительный метод 89
Нестационарные задачи 94
11. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СЛОЙ 96
Основные уравнения 97
Частные характеристики. 1 100
Частные характеристики.П 104
Случай вырожденного ядра 107
12. ОБСУЖДЕНИЕ МЕТОДА СВЕДЕНИЯ 112
Преимущества метода 112
Примечания 116
Нелинейная задача 119
Глава Ш. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА 122
13. ПОЛУГРУППОВОЙ АППАРАТ 123
Полугрупповое соотношение 123
Следствия 127
Соотношение коммутативности 129
Оператор инвариантности 131
14. РАССЕЯНИЕ С ПСЕЩОИНДИКАТРИСОИ 135
Выражения для У .и Z 135
Функции F и F 139
Сводка интегралов 142
Другие интегралы 147
15. АППАРАТ ИНВАРИАНТНОСТИ 148
Оператор отражения 149
Уравнения инвариантности 151
Одномерная среда 155
Плоско-параллельный слой 158
16. ОБСУЖДЕНИЯ 164
Преимущества аппарата 164
Примечания 167
Полная функция Грина 169
Глава ІУ. ВЫСОКОТОЧНЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 174
17. ВЫСОКОТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 176
Преобразование уравнений 176
Основное приближение 180
Решение уравнений 184
функция С(х0) 189
18. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМЫ 192
Физическая область углов 192
Консервативный случай 196
Загадка Ямамото 198
Не почти-консервативный случай 202
19. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ 204
Нетонкие слои 204
Толстый слой, Ч< I 206
Толстый слой, и > I 208
Условие асимптотичности 212
20. ОБСУЖДЕНИЯ 213
Влияние псевдоиндикатрисы 213
Внутреннее решение 214
О более точных решениях 217
Глава У. АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ 220
21. ПСЕВДОЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА 221
Преобразования Соболева 221
Псевдозадачи переноса 222
Выбор псевдоиндикатрисы 223
Правило перехода 226
22. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ СРВДА 228
Групповые свойства 229
Явные выражения 233
Аппарат инвариантности 233
Характеристическое уравнение 234
23. СЛОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ 236
Основные соотношения 236
Приближение для г 238
Высокоточные решения 240
Внутренние поля 243
24. ОБСУЖДЕНИЯ 244
Часть вторая. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
Глава УІ. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА 247
25.. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ 248
Анизотропная среда 248
Критическая толщина слоя 251
Число рассеяний.. 1 253
Число рассеяний. II 256
26,, РАЗВИТИЕ АППАРАТА ИНВАРИАНТНОСТИ 258
Некогерентное рассеяние 259
Слой конечной толщины 264
Сферический слой 268
Неоднородная среда 269
27. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 274
О функции источников 274
Об интегралах переноса 279
Слой с отражающей границей 282
О консервативном рассеянии 286
28. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖВДИЯ 290
Полубесконечная решетка 291
Решетка конечной длины 293
Критическая длина решетки 295
Другие задачи 296
Глава УЛ. О НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ
ПЕРЕНОСА И АНАЛОГИЯХ В
ТЕОРИИ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ 299
29. ПОЛУЕЕСКОНЕЧНАЯ СРЩА 300
Полугрупповое уравнение 300
Решение уравнения 301
Примечания 302
Оператор инвариантности 303
30. АНАЛОГИИ С РЕНОИДТУППОЙ 304
Инвариантный заряд 305
Число рассеяний кванта 306
Полихроматическое рассеяние 307
Слой конечной толщины 308
31. О ФИЗИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ 309
Призрачный полюс и критичность 309
Аналогия элементарных актов 311
Диаграммные аналогии 313
О принципе инвариантности 315
32. ОБСУЖДЕНИЯ 316
Задача об отражении 316
Аналогии в других дисциплинах 318
функциональная автомодельность 323
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 325
ЛИТЕРАТУРА 329
ПРЕДИСЛОВИЕ
Отдельные вопросы теории рассеяния света рассматривались еще в прошлом веке в задачах по геометрической оптике и при интерпретации атмосферных явлений. Принципиальные же положения теории были сформулированы в начале века в астрофизических исследованиях, приведших к последующему формированию теории переноса излучения. В настоящее время, в силу общности физического содержания и математического описания большого разнообразия задач, область приложений теории переноса включает в себя широкий класс проблем естествознания.
Сюда, в первую очередь, следует отнести чрезвычайно важные в прикладном отношении проблемы диффузии нейтронов в ядерных реакторах [і] ^ существу, теория переноса нейтронов адекватна теории переноса излучения.
По своей физической сущности теория переноса родственна кинетической теории газов, составляющей основу важнейших разделов теоретической физики. Газокинетическое уравнение Больцмана в линеаризованной форме совпадает с основным уравнением теории пере-
8 носа J2] .
К теории переноса тесно примыкает также ряд других классических вопросов современной физики - теории распространения звука и переноса возбуждений (экситонов) в конденсированных средах рз], рассеяния рентгеновского и гамма-излучения в веществе [4] , явлений сложного теплообмена [б], а также физики плазмы и отчасти химии и биологии \&\.
Формальное сходство с уравнениями теории переноса можно обнаружить и в других дисциплинах - нелинейной механике, экологии, социологии. Интересные математические аналогии могут быть установлены между задачами нелинейной теории переноса и теории взаимодействующих квантованных полей (элементарных частиц) [7] . Не исключено, что между описываемыми ими процессами существуют и более тесные - физические аналогии.
Широкое применение нашла теория переноса в современной геофизике - атмосферной оптике, 'океанологии и метеорологии \8] .
Актуальные задачи перед теорией перенора ставит современная астрофизика в связи с новейшими достижениями, особенно, полученными на основе внеатмосферных наблюдений. На их основе изучаются механизмы образования спектров небесных тел и интенсивно разрабатываются модели строения звездных и планетных атмосфер. Уже достигнутыми в этом направлении успехами теоретическая астрофизика обязана первым долгом теории переноса излучения [9] .
С развитием строгой теории переноса выявляются возможности и чисто математических ее приложений: методы теории переноса, базирующиеся в основном на физических соображениях, могут быть непосредственно использованы в теории интегральных уравнений, в теории случайных процессов и в некоторых новых областях математики, таких, например, как интегральная геометрия |10] и динами-
ческое программирование [її] .
В свою очередь, исследования в указанных отдельных отраслях науки обогащают собственно теорию переноса, стимулируя ее развитие как самостоятельной отрасли математической физики. Такое направление намечается в ряде книг и монографий, посвященных объединения:! накапливаемых в литературе разрозненных методов и результатов и различным обобщениям математического характера.
В основу этих разработок, естественно, кладутся аналитические исследования - именно они определяют фактическое развитие всякой теории. Конечно, практически нельзя представить современную теорию переноса без ее вычислительных аспектов. Их ценность в прикладных задачах неоспорима, технические же возможности чрезвычайно широки. К примеру, самые сложные процессы диффузии нейтронов в управляемых реакторах рассчитываются на электронновычис-лительных машинах за времена, буквально опережающие реальное время протекания самих процессов (чем и обеспечивается техническая возможность их управления [J2J ).
И все же важность аналитических исследований в теории несомненна. Ведь даже эффективность того или иного вычислительного метода предопределяется его исходными аналитическими предпосылками. В ряде же случаев, например, в обратных задачах теории переноса численные методы малопрактичны. Аналитические методы позволяют выявить характер решения, что важно для понимания сути явления, в то время как машинные расчеты - всего лишь численный эксперимент, впрочем, мало способствующий восприятию результатов.
В обоих этих аспектах теория переноса разработана весьма основательно. Относительного совершенства она достигла в задачах с плоской геометрией. В частности, строгие результаты получены для однородной плоско-параллель ной полубесконечной среды. Именно, най-
дены точные аналитические решения задач о монохроматическом анизотропном рассеянии, а также в приближении полного перераспределения по частотам при изотропном рассеянии.
Но, тем не менее, уже для слоя конечной оптической толщины найти замкнутые решения в аналитическом виде не представляется возможным. В то же время теория здесь изобилует известным разнообразием вычислительных методов...
Важные практические применения, которые находит сегодня теория переноса, демонстрируют актуальность ее фундаментальных достижений. С другой стороны, исследования последних лет указывают на возможности качественно новых разработок и аналитических построений в самом аппарате теории.
Одной из таких теоретических разработок посвящено настоящее исследование. Оно преследует цель свести задачи о слое конечной толщины к более частным задачам для полупространства и в этом плане претендует на построение нового аппарата линейной теории переноса в плоском слое. Главными его достижениями нужно считать установление эффективного вычислительного метода - в общем случае многомерных задач и высокоточных аналитических решений-в задачах о монохроматическом рассеянии в слое конечной толщины.
В Первой Части диссертации излагается основной аппарат теории - метод сведения для слоя конечной толщины и полугрупповой аппарат для полубесконечной среды и полученные на его основе решения задач о монохроматическом рассеянии в плоско-параллельном слое. Методические аспекты развития и применения аппарата в более специальных вопросах теории переноса и в связи с некоторыми родственными задачами теории случайных блужданий и теории взаимодействующих квантованных полей отражены в Приложениях.
Литература к Предисловию
БЕЛЛ,ГЛЕССТОН (1974), ВЛАДИМИРОВ (1961), ДЕВИСОН (I960), КЕЙЗ.ЦВАЙФЕЛЬ (1972), МАРЧУК (1961), СМЕЛОВ (1963).
ЧЕРЧИНШНИ (1978).
АГРАНОВИЧ.ГАЛАНИН (1978).
ЇЇИНСКЕР (1978,1982), ФАНО,СПЕНСЕР,БЕРГЕР (1963).
ЗИГЕЛЬДОУЭМ (1975), ОЩСЖ (1975).
См.ссылки в книге ХАКЕН (1980).
МНАЦАКАШН (1982).
См.журнал "Физика атмосферы и океана".
АМБАРЦУШН (I960), ИВАНОВ (1969), МЙШАС (1982), СОБОЛЕВ (1956,1972,1975), ЧАВДРАСЕКАР (1953).
АМБАРЦУМЯН Р.В. (1982),
БЕЛЛМАН,ДРЕЙФУС (1965).
МАРЧУК,ЛЕБЕДЕВ (1981) .
Актуальность настоящего исследования определяется множеством приложений теории переноса в различных областях точного естествознания, особенно в планетных исследованиях, интерес к которым в последние годы сильно возрос в связи с бурным развитием космонавтики. Для успешного решения этих проблем первым делом необходимо усовершенствование аппарата теории переноса, вплоть до коренного пересмотра её методов.
Введение к работе
Исследованиям по теории переноса посвящены сотни книг и тысячи статей. Отметим лишь пользующиеся наибольшей популярностью издания трудов АМБАРЦУШНА(І960), БАСБРИЩІ960), БЕЛЛМА-НА,КАЛАБЫ,П.РЕСТРУДА(1963), ИВАН0ВА(1969), КАГИВАДА,КАЛАБЫ,УЭНО (1975), К7ТГАН0ВА(1952), МИХАЛАСА(1982), СОБОЛЕВА(1956,1972), Х0ЇЇФА(І934), ЧА1ЩРАСЕКАРА(1953) - по теории переноса излучения, иБЕЛЛА,ГЛЕССТ0НА(1974), ДЕВИС0НА(1960), КЕЙЗА,Г0ФФМАНА,1ШАЧЕКА (1953), КЕЙЗА,ЦВАЙФЕЛЯ(І972), МАРЧУКА(1961), МАРЧУКА, ЛЕБЕДЕВА (1971) - по теории переноса нейтронов.Перечисление одних только обзорных статей составило бы большой список. Из них упомянем обзоры ИВАН0ВА(1969,Гл.Ш;1981), МИНИНА(1981),НАГИРНЕРА(197Г), ТРИ-ГА(1969), ХИСЛЕТА,У0РМИНГА(1968), представляющие фактическое состояние аналитической теории переноса.
Каждый обзор отражает в некоторой степени субъективное отношение его автора к проблемам развития теории и отдает предпочтение в оценках методам, близкгод по духу к его личным изысканиям. Точно так же здесь мы коснемся тех известных методов теории переноса, которые наиболее тесно пршлыкают к развиваемым в диссертации. Мы обсудим их преимущества и недостатки и в свете этого анализа изложим цель и содержание нашей работы.
і із
