Содержание к диссертации
Введение 3
Гяава Т. Уравнения Эйнштейна-Вейля в стационарном
осе симметричном случае 29
Т. Формаїїизм Нъгамана-Пенроуза 29
Вывод матричного уравнения, описывающего взаимодействие гравитационного и нейтринного полей в стационарном осесимметричном случае . . 33
Уравнение Эрнста и некоторые его решения . . 41
4. Матричные уравнения в электровакуумном случае 47
Глава 2. Генериревание новых решений . . . 49
Т. Группа преобразований симметрии матричного
уравнения. Вывод: интегрального уравнения . . .50 а Л Построение бесконечной иерархии потенциалов. Производящая функция ....... 51
б/. Преобразования симметрии матричного урав
нения 53
в;. Вывод матричного интегрального уравнения
для производящей функции 54
г/. Получение новых решений 57
2. Генерация новых решений с нейтринным полем . 61
а'. Доказательство предположения Героча в
сттучае присутствия нейтринных полей ... 61 б/. Производящая Функция решения Минковс-
кого с нейтрино 65
в/. Решение для VI черных дыр в нейтрин
ном поле 66
г '. Получение нейтринного обобщения статического предела решения Томиматсу-Сато . 75
д/. Получение решения Керра-НУТ в нейтринном поле 78
е/. Восстановление компонент метрики и нейтрин
ного поля 82
Представление группы Героча. Решение для л вращающихся черных дыр в нейтринном поле 85
Некоторые особенности стационарных осесимметрич-
ных решений уравнений Эйнштейна-Вейля 89
Глава 3. Распространение коротких гравитационных, электромагнитных и нейтринных волн в произвольных
внешних полях 96
Глава 4. Автомодельное столкновение плоских нейтринных,
гравитационных и электромагнитных волн IOI
I. Постановка задачи о столкновении плоских волн
в ОТО 103
2* Автомодельное столкновение плоских электромагнитно-
гравитационных волн Юб
3. Автомодельное столкновение плоских нейтринно-гра-
витационных волн 115
Основные результаты и выводы 121
Список литературы 123
Введение к работе
Идея существования частицы со свойствами нейтрино принадлежит Паули и была впервые высказана им в 1930 году. Введение новой частицы было необходимо для объяснения ряда эксперименталь ных наблюдений, которые не согласовались с теорией атомных яв-лении, существовавшей в то время. Первым из них была так называемая азотная катастрофа. Из анализа оптических спектров Р. Кронигу удалось показать, что ядро азота имеет целочисленный спин. Но это противоречило тогдашним представлениям о структуре атомного ядра. Считалось, что ядро состоит из единственно известных в то время элементарных частиц: протонов и электронов. Так как атомный номер ядра азота равен 14, а заряд ядра - 7, то ядро азота должно было бы состоять из 14 протонов и 7 электронов. Протоны и электроны имеют спин, равный 1/2, поэтому ядро азота должно было иметь полуцелый спин.
Вторым явлением, не находившим объяснения в рамках физики того времени, был бета-распад ядер, при котором одно ядро превращается в другое , испуская электрон, при этом электрон вылетал не с фиксированной энергией, равной разности энергий исходного и конечного ядер, а имел непрерывный энергетический спектр.
Введение новой нейтральной частицы со спином 1/2, по мнению Паули, объясняло одновременно оба парадокса. Действительно, если в состав ядра входят нейтральные частицы со спином 1/2, то спин ядра может оказаться целым несмотря на нечетное число заряженных частиц. С другой стороны, если предположить, что при р -распаде из ядра вместе с электроном вылетает эта нейтральная частица и уносит недостающую энергию, закон сохранения энергии будет выполняться. Чтобы объяснить тот факт, что новая частица не была до сих пор обнаружена в опытах по > -распаду, Паули
_ 4 -
предположил, что эта частица очень слабо взаимодействует с веществом, вследствие чего ее очень трудно зарегистрировать.
Однако впоследствии Паули пришлось отказаться от представления, что предложенная им частица входила в состав ядра. Действительно, чтобы находиться в ядре, частица должна была иметь большую массу, но тогда она была бы замечена в опытах по & -распаду. Поэтому Паули предположил, что новая частица не входила в состав ядра, а рождалась при /3 -распаде одновреиенно с электроном. Из закона сохранения спина следовало, что частица должна была иметь спин, равный 1/2. Эта частица и была названа нейтрино.
Теория А -распада была сформулирована в 1933 году Энрико Ферми.
Ферми рассматривал В -распад как переход одного из нейт-тзонов. ядра в протон с _испусканием электрона и антинейтрино или одного из протонов ядра в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрино:
Г1_-> р + е~ + V , P.-* ^*? + V_
Экспериментально нейтрино было открыто в 1956 году в опытах К.Коуэна, Ф.Райнеса, Ф.Гаррисона и Г.Крузе по обратному /3 -распаду.
Новым толчком к появлению дальнейших экспериментальных и теоретических исследований, касающихся нейтрино и слабых взаимодействий, послужили работы Ли и Янга, которые предположили, что в слабых взаимодействиях не сохраняется четность.. Для объяснения несохранения четности Ли и Янг рассмотрели двухкомпонентную модель нейтрино, в которой масса нейтрино равна нулю, спин нейтрино всегда должен быть направлен против импульса, а спин антинейтрино - по импульсу. Впервые теория двухкомпонентного спинора
была рассмотрена Вейлем в 1929 году.
Вместо принципа зеркальной симметрии был выдвинут принцип СР-симметрии /Ли, Янг и Ландау, Салам/, т.е. сохранение четности системы при одновременном преобразований пространственного отражения и зарядового сопрякения / СР-преобразование переводит нейтрино в антинейтрино/.
Нарушение закона сохранения четности относительно пространственных отражений было подтверждено в 1957 году в эксперименте, предложенном Ли и Янгом и осуществленном By и сотрудниками. В этом эксперименте наблюдался _ (3-РаспаД ядер с ориентированными ь одном направлении спинами, при этом была зафиксирована, асимметрия в числе электронов, вылетающих по направлению спина ядра и против него.
Нейтрино, описывающееся двухкомпонентной комплексной функцией, должно иметь заряд, называемый лептонным.Все частицы, способные участвовать в слабом взаимодействии, обладают лептонным зарядом.
Дальнейшее прояснение свойств слабых процессов произошло в 1958 голу, когда М.А.Марков и Г.Файнберг выдвинули идею о том, что Существуют два разных типа нейтрино: электронное Vg. и мюонное \L, каждое из которых несет свой лептонный заряд. В слабых взаимодействиях выполняются закон сохранения электронного заряда и закон сохранения мюонного заряда по отдельности. Введение двух типов нейтрино было необходимо для объяснения того факта, что на опыте не наблюдалась теоретически, казалось бы, возможная реакция превращения мюона в электрон с испусканием фотона: и, —^& + Y . В то же время наблюдался распад и>-* > + Р + У . Выдвинутая идея запрещала первую из этих реакций и согласовалась со второй, которая должна быть записана в виде
- б -
^-^ + у6 + у^
Существование двух типов нейтрино было экспериментально доказано в I960 году в опытах на Брукхейвеиском ускорителе.
Уравнение, описывающее свободные частицы со спином 1/2, впервые было найдено Дираком в I92b году. Так как уравнения Вейля для двухкомпонентного нейтрино получаются как частный случай уравнений Дирака для электрона, когда масса частицы равна нулю, а схема квантования электрона и нейтрино одна и таже, будем далее рассматривать более общий случай - уравнения Дирака. Будем пользоваться системой единиц, в которой C-ri-1 .
Для описания электрона Дирак ввел набор волновых функций
& (I/ , определяющих плотность заряда с помощью соотно-
j шения:
шу ,>*- -^ л ц,
(1)
или, если ввести вектор-столбец y~\ : J и вектор-строку из комп
( %,/
лексно-сопряженных функций (//*_ (ф* N/A » то
При построении уравнения для электрона Дирак исходил из следующих требований 1^2> 3 J :
Уравнения движения должны быть линейными уравнениями первого порядка.
Уравнения должны приводить к уравнению непрерывности заряда:
3. Каждая из компонент у^ должна удовлетворять уравне-
нию Клейна-Гордона:
РСРС S>"- ъг<р»=0 (3)
>L_/?>
D -; о где r ~і ~—.- операторы импульса.
Систему уравнений для Y согласно требованию I. можно
записать в виде:
где ои j А - матрицы 1 * УЬ , по индексу /С и по невыписан-ным матричным индексам предполагается суммирование. Легко убедиться, что при выполнении условий
из уравнений ( ty ^следует уравнение непрерывности ( ) , если плотность заряда Р определяется равенством (1) , а вектор плотности тока определен следующим образом:
Далее, действуя на уравнение \Ji) оператором
получаем уравнение
Э ' / / jCkJ і (tl , Ш і (*j)2 — -h m /Ь -Chill Ъ Щ Ъ
Чтобы это уравнение перешло в уравнение Клейна-Гордона (S) , нужно положить
Приведем уравнение (J)) к более симметричному виду, умножив его слева на L& и обозначив
Таким образом, уравнение . Дирака имеет вид:
где / - эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям:
где t) - метрический тензор пространства Минковского:
Минимальная размерность представления алгебры, задающейся соотношениями (7) , равна четырем. Таким образом, у^ представ-ляет собой 4-компонентный спинор.Матрицы У называются матрицами Дирака. Они могут быть выбраны, например, в виде
J, = 1,1,3
" ~\о -і) > ' [-о-'- о)
где І- - единичная матрица второго ранга, &^ - матрицы Паули:
/индексы поднимаются и опускаются с помощью метрического тензора Уравнение для дираковски сопряженного спинора имеет вид
Уравнение Дирака () и ему сопряженное (3) могут быть получены из лагранжиана
Тензор энергии-импульса электрона / , вектор тока
тензор сшгаатамеют вид:
где ^-кШ^Мґ) (/**»)
Учитывая, что компоненты спинова уК, удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона, импульсное представление можно записать в виде
г^,
причем амплитуда Ч^[р)удовлетворяет уравнению Дирака в импульв-ном представлении:
'р + т)(р(р) Lmc-0
можно разбить на два слагаемых, соответствующих интегриро
ванию в (11) по верхней(р*> о) и нижней (ро^о) полам
гиперболоида b -\ч\г-0 :
^Ы = ty f(x.J + Ц '(х.)
Интегрируя по Ро , получим:
где интегралы берутся по трехмерному объему и Ро - V УУ) + р z Спиноры т~~(Pi УД0Влетворяют уравнениям:
Каждое из этих уравнений имеет по два линейно независимых решения і Н J. Обозначая их соответственно 1У 'Тр\ж 2/''' Ґр)* запишем разложение функций -у~ Iр) по спиновым состояниям в виде
Соответственно для сопряженного спинора
Наличие двух независимых решений уравнений (1Z) означает, что частицы могут находиться в двух различных состояниях, отличающихся знаком проекции спина на направление движения.
Так как 0/ + и U/~ представляют собой положительно-
- II -
и отрицательно-частотные части функции j , условия эрмитового сопряжения для нормированных спиноров V J~ имеют вид:
(F))
'V^fot- #s>*'*
Поэтому условия ортонормированности спиноров ІҐ можно записать в форме
TS^ (р) 2Г^^ (р) - S'
Подставляя (1д? 1Ю в выражение для тензора энергии-импульс^и" интегрируя /Т по doc, » получаем 4-вектор энергии-импульса:
ру -Jdl КІнЧЦ^'(і)-К{і)<
/ -f V*- * -
В силу закона сопряжения амплитуд (#/"7 = &+, выражение для энергии Р0 не является положительно определенным. Положительноет энергии достигается в квантовой теории квантованием по Ферми-Дираку.
Из рассмотрения вектора спина видно, что поле Дирака соответствует частицам с возможными значениями проекции спина на заданную ось ± 1 /z *
В квантовой теории поля полевые функции у(х) считаются операторами, действующими в гильбертовом пространстве состояний системы/.Операторы ^хулинейно выражаются через операторы рождения и уничтожения частиц, Qg Q,^ , между которыми устанавливаются подходящие перестановочные соотношения. Вектор состояния
~ Р«5У АСТАТ
системы Ч-' можно представить как действия операторной полевой функции у1%/н& вектор вакуумного состояния, который определяется следующим образом. Пусть динамическая система состоит из
нескольких невзаимодействующих квантованных полей Yi -j т$ Тогда вакуумом называется такое состояние системы 9 » для которого
где т:[х)- отрицательно-частотные части операторов тс (у- Так как ty~ /%) понижают энергию системы [_ ty J\ то такое определение вакуума как состояния с наименьшей энергией очевидно. При преобразованиях координат и полевых функций
(fsr)
происходит соответствующее линейное преобразование вектора состояния:
9-*Ф'=и(и>)<Р
которое должно быть унитарным благодаря сохранению нормы в пространстве состояний:
+
ІҐ (<») U Lu>) = і
По аналогии с квантовой механикой частицы, где можно находить среднее значение операторов в представлениях Шредингера и Гейзенберга, изменение состояния системы под действием координатных преобразований в квантовой теории полей можно трактовать двумя различными способами. Можно считать, что преобразования координат действуют на функцию поля, оставляя векторы в пространстве состояний неизменными:
или меняются вектор^ в пространстве состояний, а функция поля остается той же:
а?)
Сравнивая Off) и (і?) получим, что
Для преобразований из группы Пуанкаре X -/jX^ + d- оператор имеет вид:
V = елрс[Р„а "+^ ^v) $3)
При бесконечно малых преобразованиях амплитуда состояния ^Р и пол< вая функция y преобразуются еле .дующим образом:
?'= (1+ иРси +±Мио)9
здесь р - I ^ о U, Yb^ -i [Xj+ ^д^-Хі^цГ генераторы бесконечно малых сдвигов и вращений в пространстве полевых функций.
г и П интерпретируются как операторы Ц -вектора энергии-импульса и тензора момента количества движения. При градиентных преобразованиях поля
унитарный оператор преобразования U имеет вид
(20
СЛ &Xp(LoL&)
Эрмитов оператор ОЦ следует интерпретировать как оператор заряда
В качестве основного постулата квантования полей принимается что эряитовы операторы 4-вектора энергии-импульса / , тензора момента количества движения М , заряда 61 и т.п. выракаются через операторные функции полей теми же соотношениями, что и в классической теории полей с установлением при этом надлежащего порядка операторного умножения.
Перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения частиц могут быть двух типов: коммутационные и антикоммутационные. Тип перестановочных соотношений зависит от спина рассматриваемого поля согласно теореме Паули, т.е. поля, описывающие частицы с целым спином, квантуются по Бозе-Эйнштейну (коммутационные перестановочные соотношения); поля, описывающие частицы с полуцелым спином, квантуются по Ферми-Дираку.
Для доказательства теоремы можно использовать, например, симметрию относительно операции зарядового сопряжения, т.е. потребовать, чтобы при замене частиц на античастицы энергия и импульс системы сохранялись, а заряд и ток меняли знак /_ 4 J.
Таким образом, перестановочные соотношения для поля спина 1/2 имеют вид:
[ЧИ)} «4(f)]+ = / (I), %fy)L=ssb?(t>t
Все остальные антикоммутаторы, равны нулю.
Лагранжиан
намических переменных зависит от порядка перемножения полевых
функций. Порядок умножения выбирается таким образом, чтобы все
операторы рождения Ш+ стояли слева от всех операторов уничто
жения у . Такая форма оператора называется нормально?!. Опе
ратор в нормальной форме имеет равные нулю вакуумные средние, т.е
при таком определении исключаются нефизические величины типа знер'
гии вакуума, эаряда вайуума и т.д. Нормальное произведение опера
торов Yi Vjv обозначается символом .' у^ . . Ц-S. ;
Таким образом, лагранжиан поля Дирака имеет вид:
Ьи Т. Q
4-вектор гнергии-имрульса принимает вид
P^Jd l*ta>Hi)M(t}**s(l)fcll)] (21)
заряд
Г*
ft - Jd Ы(1)а>1 (l)-^(l)l;(ljl Czz)
проекция^спина на направление движения:
Из выражений и уравнений движения, которые полу-
чаются из сравнения 05) и (П) в случае оесконечномалых преобразование:
вытекает, что операторы (bjjw. &$( А/єсть соответственно операторы рождения и уничтожения частиц с импульсом і, , энергией Но-т*+№ зарядом +1 и проекцией спина на направление движения, равной (s=l) или - (&=2).
Как уме отмечалось, уравнения для неіїтрино можно получить из уравнений Дирака, если положить УТ)~0 :
спиноров т+~ (fiy ;
оти уравнения распадаются на два независимых уравнения для f +
/5" \jc
>ъ _ \/ и J^J/3
- -і У AAA В стандартном представлении / -матриц
С І з „, , /%*h
Каждая из функций fiМ/_ содержит по две независимых компоненты.
U/f. lb могут быть выражены через двухкомпонентные спиноры Tj Ф
'' %=(%) ,*-( I
Спиноры Ту т инвариантны относительно преобразований из собственной группы Лоренца и переходят друг в друга при пространственном отражении.
Наложим на нейтринное поле дополнительное условие ті ~О ,
Тогда нейтрино будет описываться двухкомпонентным спинором г , удовлетворяющим уравнению
в^&^У-О A,U (23)
Уравнение [2 у было впервые предложено Вейлем.
Лагранжиан свободного нейтринного поля записывается в виде:
Тензор энергии-импульса
Ф5)
и вектор тока
В квантовой теории поля формулы для операторов і; (эЬ нейт-
рино получаются из (2 (? 22)) опусканием суммирования по спино-
вому индексу.
Помимо слабых взаимодействий, нейтрино, подобно любому другому виду материи, способно создавать гравитационное поле. Гравитационные свойства нейтринного поля слабы, для их реального проявления необходимы физические ситуации, в которых возникают очень сильные нейтринные поля. Гравитационные эффекты нейтринного поля могут быть, например, важны на начальной стации эволюции вселенной, когда плотность нейтрино была велика. Сильные нейтринны поля возникают на конечной стадии коллапса звезд, когда за короткое время излучаются мощные потоки нейтрино и за счет нейтринного излучения звезда теряет большую, часть своей энергии.
- Id -
Изучение гравитационных свойств нейтрино важно также с чисто теоретической точки зрения, если интересоваться поведением полей с полуцелым спином в общей теории относительности. Нейтрино - простейшая частица такого рода, и можно ожидать, что на ее примере проявляются основные особенности гравитационного взаимодействия полей с
ПОЛуцеЛаМ СПИНОМ.
В общей теории относительности нейтрино считается классическим
полем, описывающимся двухкомпонентньли спинором ф . шзичес-
кий смысл представляет не сама функция поля Ф , а квадратичные
комбинации ее компонент, именно, вектор тока
IMC Л А
при этом } интерпретируется как средняя плотность^частиц в
данной точке пространства и в данный момент времени, а / -6 = 64,3)
%ислс, v у
как вектор потока>частиц.
Для описания поля со спином 1 /z в риманове пространстве необходимо определить ковариантную производную двухкомпонентного спинора 5] ',
Ковариантная производная сопряженного спинора "Г определяется равенством
с ^= 211 + рА &
Матрицы Паули обобщаются таким образом, чтобы удовлетворять условию:
^^УСІ^^^СІ=^Г^дС
Коэффициенты I и 2> задаются так, чтобы определяемая ими спинорная
связность была согласована с. афинной связностью риманового пространства в силу соответствия, существующего межлу тензорами и спи-норами четной валентности. Для этого нужно потребовать, чтобы
ети условия эквивалентны следующим:
Используя '"'Y , мокно получить выражение для компонент спинор-ной связности ljb В через символы Кристоффеля:
Уравнения Вейля в римановом пространстве имеют вид:
В выражении для лагрмпсшМ^) , тензора энергии-импульсаб5у
обычные производные нушо заменить на ковариантные.
К уравнениям Вейля (27) нужно добавить уравнения Эйнштейна
^ -ifyvt**-1'^ as)
с тензором ' К{\> энергии-импульса нейтринного поля. Уравнения (27 2$) представляют собой замкнутую систему уравнений, описывающую гравитационное взаимодействие нейтрино.
Нейтринные поля в общей теории относительности обладают аномальными особенностями, которые противоречат привычным представлениям о свойствах материальных полей. Первая аномалия связана с отсутствием положительной определенности тензора энергии-импуль-
- 2U -
ca, т.е. не для всех наблюдателей плотность энергии нейтринного поля будет положительной. Более того, лля наблюдателей, находящихся в одной и той же точке пространства-времени, но двизсущих-ся с различными скоросттш, плотность энергии может менять знак, т.е. для одного плотность энергии положительна, для другого-отрицательиа. Существуют так же наблюдатели, относительно которых энергия распространяется со скоростью, большей скорости света. Положительная определенность энергии классического нейтринного поля отсутствует и в плоском пространстве (см. формулу 74 ), где . от аномалии избавляются при квантовании нейтринного поля.
Математически энергетические условия формулируются следующим образом. Введем две величины : (^)= |/лУ^ ^и (х*ц(ц)= (ирЦ - соответственно плотность энергии и плотность потока энергии относительно наблюдателя, мировая линия которого имеет касательный вектор . Таким образом, времениподобный вектор по определению. Монно выделить три вида энергетических условий
1. Слабое энергетическое условие О у . Для всех наблюдателей
Ь (и) ~^0 в тех точках, гле TuV^O .
2. Условие энерго-доминантности tz. Если l/jp^Dt то для
всех наблюдателей Qtu(u)- времени подобный или изотропный
вектор. 3. Сильное энергетическое условие С $ . Если lupT^Uj
то для всех наблюдателей L(Uj>0vi &u(uj- времени подобный или изотропный вектор.
Нейтринные поля, тензор энергии-импульса которых удовлетво ряет перечисленным условиям, обозначаются соответственно -г, *~Z и -3 В работах [_ 6 7 J были рассмотрены канонические типы тензора энергии-импульса нейтринного поля трех классов
- a -
Для описания канонических типов тензора энергии-импульса удобно ввести базис в пространстве двухкомпонентных спиноров, в котором спинор нейтринного поля имеет вид:
ФА = <РоА
Построим соответствующую изотропную тетраду и j ІЬ^М-^УуїА' по формулам ( 1) (см. описание формализма Ньюмана-Гіенроуза в гл.1). Уравнения Зейля запишутся в вице:
Тензор энергии -импульса нейтринного поля принимает вид
+ «Ре*, йу ho v - Н^о^^у^^ЩуЩ^^)"
( = 1 ф ( S Ф+ оі Ф -ZV Ф)
Для того, чтобы нейтринное поле принадлежало классу С1 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Условие hj-0 означает, что линии тока нейтринного поля явля-
ются геодезическими. Из условия | J " ? I ^1^1 следует,
что если S~$ = 21<иХ гО т.е.
у конгруэнцииГгеодезических, совпадающих с линиями тока нейтринного поля отсутствует вращение, то &"=0 , т.е. сдвиг будет также отсутствовать и тензор энергии-импульса будет иметь вид
т.е. соответствует случаю чистой радиации, который рассматривался, например, в работах L 8-ї/ . 1
Знак плотности энергии t (^) совпадает со знаком Со^ если вращение не равно нулю, и со знаком т^ в противном случае.
Нейтринное поле принадлежит к классу С % тогда и только тогда, когда существует изотропная тетрада, в которой тензор энергии-импульса имеет вид:
Для того, что нейтринное поле принадлежало классу L-х , необходиыо и достаточно, чтобы тензор знергии-импульса имел вид
( 29) о ^»0, tv^O .
Согласно теореме Гольдберга-Сакса конгруэнция бессдвиговых изотропных геодезических монет существовать только в алгебраически специальных гравитационных полях (по классификации А.о.Петрова! Поэтому нейтринные поля типов 2j $ допускаются лишь алгебраически специальными метриками.
Энергетические условия Ь 1~ "з накладываются на нейтринное поле искуственно, они не являются следствитш уравнений движения и существенно сужают класс возможных решений. Так, для всех рас-
смотренных в данной работе стационарных осесимметричных решений ни одно их этих услових не выполняется. В работе^рассмотрено точнее решение, описывающее столкновение плоских гравитационной и нейтринной волн. Нейтринная волна удовлетворяет энергетическому условию
Ь-1 , Сталкиваясь с нейтринной волной, гравитационная волна рассеивается . гравитационное поле становится общего типа и энергетическое условие в области взаимодействия не выполняется. Таким образом, энергетические условия нарушаются в самых различных решениях с нейтринным полем и, вероятно, это типичная ситуация.
Другой аномалией нейтринного поля в ОТО является существование духов, т.е. таких нетривиальных решений, для которых тензор энергии-импульса тождественно равен нулю. Все решвния типа дух0В получены
и соответствуют типам по Петрову
Существование аномалий определяется следующей спецификой тензора энергии-импульса нейтринного поля [_ f? ]: Для электромагнитного поля тензор энергии-импульса выражается через ковариантные производные от вектора-потенциала, однако члены, содержащие коэффициенты связности, взаимно уничтожаются, так что в выражение для тензора энергии-импульса входят только частные производные от вектора-потенциала. ь случае нейтринного поля это не так, члены, описывающие кривизну пространства - времени, входят в /up явно. Решения-духи, например, соответствуют случаю, когда члены, описывающие кривизну уравновешивают члены с частными производными от компонент нейтринного поля.
Нарушение энергетических условий для нейтринного поля может оказаться важным для космологии, т.к. выводы о неизбежности сингу-лярностей основаны на предположении о выполнении этих условий l^j,
В [_ 19 J рассматривались возможности изменения лагранжиана для нейтринного поля и показано, что если уравнения Вейля для нейт-
рино выполняются, то лагранжиан ( Н ) является единственно возможным. В / Z О J показано, что в теории гравитации ойнштейна-Нартана с кручением аномалии для нейтринного поля остаются. B//2Vy доказано существование аномалий в случае, если нейтрино имеет массу.
Такім образом , в рамках классической теории гравитации уст
ранить аномалии нейтринного поля не удается. <3ти трудности могли
бы быть, boqjmohho, преодолены при квантовании гравитационного
поля, непротиворечивой теории которого еще не создано.
В данной работе исследуются некоторые свойства взаимодействия гравитационного и нейтринного полей в рамках классической теории гравитации. Рассматриваются три класса залдч: а). генерирование точных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Вейля методом, основанным на использовании бесконечномерной группы преобразований симметрии указанных уравнений; б), распространение гравитационных, электромагнитных и нейтринных волн в поле сильного нейтринного излучения ив), автомодельное столкновение плоских нейтринно-грэзитационных и электромагнитных волн.
Первые две главы посвящены такому важному аспекту нейтринных полей в ОТО как нахождение точных решений. Выше были описаны некоторые аномалии тензора энергии-импульса нейтринного поля в ОГО. Встает вопрос: проявляются ли эти аномалии в конкретных точных решениях уравнений ойнштейна-Вейля? Интересно было бы узнать, какими особенностями обладают точные решения, описывающие спинорные поля в ОТО. до настоящего времени точных решений с нейтринным полем было найдено сравнительно мало. В основном это были духовые решения чисто радиационные решения, известны таю:; решения, опксываюнне столкновение плоских нейтринной и гравитационной волна .
В данной работе ищутся стационарные осесимметричные решения уравнений ойнштейначЗейля. К этому классу относятся важные с физи-
ческой точки зрения решения, описывающие черные дыры и гравитационное поле вне сферически симметричных вращающихся объектов /звезд/: решения Шварцшильда, Керра, Райснера-Нордстрема, Керра-Ньюмана. В работе получено обобщение всех этих решений на случай присутствия нейтринного поля. Более того, показано, что методом, основанным на использовании бесконечномерной группы симметрии уравнений Эйнштейна-Вейля можно получить обобщение на случай присутствия нейтринного поля всех известных вакуумных осесимметричных стационарных решений.
В первой главе приводится вывод матричного уравнения, описывающего взаимодействие гравитационного и нейтринного полей в стационарном осесимметричном случае при помощи формализма Ньюмана-Пенроуза [ 22 j » Путем решения уравнения Эрнста найдены потенциалы Эрнста для некоторых решений, а именно : а/, решения, обобщающего на случай присутствия нейтринного поля решение Минковского /плоское пространство// 33 J; б/, решения Шварцшильда в нейтринном поле \_2Ъ J ; в/, автомодельного решения, зависящего только от комбинации t=Kpz+2z; г/, статического решения, причем показано, что это решение является единственным статическим осесимметричным решением уравнений Эйнштейна-Вейля.
Во второй главе описывается метод получения новых решений стационарных осесимметричных уравнений Эйнштейна-Вейля, основанный на использовании бесконечномерной группы преобразований симметрии этих уравнений. Впервые на существование бесконечномерной группы симметрии вакуумных уравнений было указано Герочем L «24j. Им было высказано предположение, что используя эту группу, можно в принципе получить все осесимметричные стационарные решения вакуумных уравнений Эйнштейна. Изучение группы симметрии былс
продолжено в работах Киннерслея, Читра где рассматривались преобразования симметрии электровакуумных уравнений, В этих работах было предложено эффективное представление группы симмет;-рии, которое позволило получать новые решения на практике, Хау-зер и Эрнст дали компактную формулировку метода в терминах линейного матричного интегрального уравнения [ 2^3о1ж матричной задачи Римана [_ 3f,32j. В [ 33,34_[ было доказано предположение Героча .При помощи развитой техники в ряде работ были получены новые решения, а также найдены преобразования, при помощи которых можно получить уже известные решения.
В случае присутствия нейтринных полей метод получения новых решений был развит Н.Р. бибгатуллиным
Во второй главе, следуя работе [ 2* J, описывается группа бесконечномалых преобразований симметрии уравнений Эйнштейна-Вейля и приводится вывод интегрального уравнения для производящей функции. Далее находится производящая функция решения, являющегося обобщением решения Минковского на случай присутствия нейтринных полей. Это решение служит отправной точкой в построении всех решений с нейтринным полем. Путем решения матричного интегрального уравнения найдены обобщения на случай присутствия нейтринного поля решения Керра, статического предела решения Томимат-цу-Сато [2Ь J. Приведен простой способ решения интегрального уравнения для получения производящей функции решения с N черными дырами. В результате производящая функция получается сразу в матричном виде, в отличие от J_ 33 J, где решение для N черных дыр в нейтринном поле было получено путем сведения матричной задачи Римана к линейному интегральному уравнению для одной компоненты производящей функции. Доказано, что указанный метод генерирования новых решений позволяет получить все стационарные осе-симметричные решения уравнений Эйнштейна-Вейля/ предположение ге
Героча для случая присутствия нейтрино/.
Исследованы некоторые особенности полученных решений. Показано, что стационарные осесимметричные решения уравнений Эйнштейна-Beйля относятся к типам X и II по Петрову. Энергетические условия для этого класса решений не выполняются. Решение Шварцшильда в нейтринном поле приобретает поверхность предела стационарности.
В третьей главе рассмотрена задача о распространении . коротких гравитационных, электромагнитных и нейтринных волн в произвольном внешнем нейтршно-электровакуумном гравитационном поле [_ 36 j . Распространение коротких электромагнитных и гравитационных волн в произвольных внешних электровакуумных гравитационных поля;* рассматривалось в 1^>7 L гле был описан эфхект взаимопревращения электромагнитной и гравитационной компонент коротких волн, для которых выполняется закон сохранения суммарно энергии. В случае присутствия внешнего нейтринного поля помимо взаимопревращения электромагнитное и гравитационной волн возникает зфієкт вращения плоскости поляризации гравитационной и нейтринной волн. Показано, что нейтринная составляющая коротких волн не влияет на характер распространения коротковолновых возмущений гравитационного и электромагнитного полей. Однако существует обратных эффект: короткие электромагнитные и гравитационные волны, распространяясь в нейтринном поле, вызывают появление слабой нейтринной волны.
В четвертой, главе исследуются автомодельные решения, описывающие столкновение гравитационных, электромагнитных и нектрин-ных волн^йнтерес к задаче о взаимодействии плоских волн объясняется тем, что в этом относительно простом случае проявляются основные особенности волновых гравитационных полей, обусловленные нелинейностью уравнений теории гравитации. Такими особенное-
-се-
тями, например, являются фокусирование световых лучей при прохождении через гравитационное поле, возникновение сингулярностеї' эффект взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн,
В главе показывается, что система уравнений, описывающая автомодельное столкновение плоских волн, обладает первым интегралом, описывающим нелинейное взаимопревращение гравитационной и электромагнитной волн и "сдвиговые волны", обусловленные присутствием нейтринной компоненты в сталкивающихся волнах. Пока-зывется, что в автомодельном случае в области взаимодейстсия обр зуется сингулярность. Исследуется осциллиругапдай характер приближения к сингулярности.
Похожие диссертации на Взаимодействие нейтринных, гравитационных и электромагнитных полей в общей теории отностительности
