Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Фильтрация полезного сигнала в морской гравиметрии 10
1.1 Задача линейной фильтрации
1.2 Особенности фильтрации в морской гравиметрии
1.3 Качественное сравнение винеровской и калмановской фильтрации в приложении к морской гравиметрии .
1.4 Фильтрация с запаздыванием в теории линейной фильтрации 25
1.5 Цели предлагаемого исследования 31
Глава 2. Модели полезного сигнала и инерциальной помехи .
2.1 Общие замечания 31
2.2 Статистические модели полезного сигнала 32
2.3 Статистические свойства инерциальной помехи 41
2.4 Параметры моделей, принятых при конструировании оптимальных фильтров 47
Глава 3. Синтез квазиоптимальных систем с запаздыванием . 50
3.1 Теоретически оптимальный фильтр 50
3.2 Аппроксимация Паде 54
3.3 Общая формула передаточной функции оптимального физически реализуемого фильтра 53
3.4 Аппроксимация оператора запаздывания 59
3.5 Характеристики квазиоптимальных фильтров 64
3.6 Описание программ построения и исследования кзазиопти-мальных фильтров 76
Глава 4. Дальнейшее развитие теории оптимальной фильтрации для целей практики. Субоптимальные фильтры 85
4.1 Особенности квазиоптимальных фильтров 85
4.2 Модели квазиоптимальных фильтров. Субоптимальные фильтры 88
4.3 Характеристики субоптимальных фильтров 94
4.4 Передаточные функции субоптимальных фильтров, исследования на чувствительность 108
4.5 Описание программ расчета и исследования субоптимальных фильтров 119
Глава 5. О практическом использовании субоптимальных фильтров с запаздыванием 123
5.1 Сравнение субоптимальных фильтров с простейшими . 123
5.2 Возможные способы реализации субоптимальных фильтров с запаздыванием 126
5.3 Реализация фильтров на ЭВМ, работающей в реальном времени 129
5.4 Машинное моделирование работы субоптимального фильтра 131
5.5 Описание программ моделирования работы гравиметра . 134
Заключение 141
Литература 145
Приложение 149
- Качественное сравнение винеровской и калмановской фильтрации в приложении к морской гравиметрии
- Параметры моделей, принятых при конструировании оптимальных фильтров
- Общая формула передаточной функции оптимального физически реализуемого фильтра
- Передаточные функции субоптимальных фильтров, исследования на чувствительность
Введение к работе
Проблема повышения точности гравиметрических измерений возникла с первыми гравиметрами и остается, несмотря на последние достижения науки и техники в этой области, актуальной по сей день. Важность проблемы прямо следует из того положения, которое занимает гравиметрия во всем здании наук о Земле.
Требование повышения точности диктуется, прежде всего, основной прикладной стороной гравиметрии - выявлением аномальных масс в верхних слоях земной коры. Гравиразведка, как составная часть комплекса геофизических методов исследования структуры коры, позволяет получить информацию, которую не может дать никакой другой метод, и повышение точности здесь приносит прямые материальные выгоды, ибо влечет за собой уменьшение затрат на разведку, разработку и оценку промышленных запасов новых месторождений.
Наряду с задачами, имеющими, в основном, практический интерес, существует ряд задач, успешное решение которых означало бы значительный шаг вперед в развитии науки о Земле, и которые также требуют повышения точности гравиметрических наблюдений. Это задачи, связанные с определением структуры глубинных слоев коры и верхней мантии. Впрочем, и здесь чисто научный интерес сочетается с практическим: так, в последнее время, помимо исследований, связанных с изучением строения и образования материков, горных областей, океанов и т.п., с помощью гравиметрических измерений изучают поведение вулканов, изменения, связанные с перетеканием вещества в недрах Земли, пытаются предсказывать землетрясения [і], т.е. и здесь требование повышения точности помимо научного значения вытекает и из практических потребностей человечества.
Еще одной областью, где повышение точности гравиметрических измерений всегда представлялось первоочередной задачей, является геодезия. Уточнение поверхности геоида, уклонений отвесных линий и аномалий силы тяжести вместе с научными и здесь дает результаты, практически важные для общества, выражающиеся, например, в повышении точности определения местонахождения объекта навигационными средствами.
Разумеется, проблема повышения точности стоит перед всеми подразделениями гравиметрии. Не обходит она и динамическую гравиметрию, объединяющую в себе методы измерения силы тяжести на подвижном основании - морскую гравиметрию, аэрогравиметрию и, в последнее время, космическую гравиметрию. Если говорить о том, что может дать решение проблемы точности в динамической гравиметрии, то надо, прежде всего, четко представить себе роль методов измерения силы тяжести на подвижном основании.
Методы динамической гравиметрии позволяют за сравнительно небольшие интервалы времени покрывать гравиметрической съемкой обширные площади земной поверхности, а приняв во внимание, что к настоящему времени сведения фравитационном поле Земли имеются только на 70% поверхности планеты 2 J /° ДРУгих небесных телах и говорить не приходится/, причем значительная доля неизученных районов приходится на труднодоступные области, можно сказать, что в масштабах планеты важность динамической гравиметрии сомнению не подлежит - здесь непригодны никакие другие методы.
Если же говорить о практическом интересе к динамической гравиметрии, в частности, к морской и аэрогравиметрии, то следует отметить такое обстоятельство. В 60-е годы XX века в науках о Земле произошла революция, следствием которой явилось бурное развитие теории тектоники плит. Согласно этой теории на границах плит, в районах контакта между породами древнего материкового и более молодого океанического фундамента возникают большие мощности осадков [2J, которые, и это блестяще подтверждается практикой, являются перспективными на нефть и газ. Континентальный шельф и пассивные континентальные окраины стали предметом повышенного интереса именно с точки зрения поиска новых месторождений нефти и газа. Методы измерения силы тяжести на подвижном основании /морская гравиметрия, в основном/ занимают здесь почетное место среди прочих геофизических методов. Требования точности в данном случае выступают уже в совершенно конкретной форме. Согласно современным представлениям [з], крупные структуры, перспективные на нефть и газ - соляные купола, антиклинальные складки с крутым падением крыльев - создают аномалии, достигающие 10 - 50 мГал, пологие же структуры, поиск и исследование которых также представляют практический интерес, создают аномалии интенсивностью всего 0.1 - 1.5 мГал. Чтобы четко выделять такие образования, гравиметрические измерения необходимо проводить с точностью выше 0.1 мГал. Прямые поиски нефти и газа, хотя здесь гравиразведке и не принадлежит ведущая роль, предполагают возможность обнаружения аномалий интенсивностью 0.05 - 1.0 мГал. Если обратиться к современным достижениям приборостроения в морской и аэрогравиметрии, то можно убедиться, что даже в районах шельфа съемка с точностью 0.5 и 2 мГал, соответственно, - явление скорее уникальное, нежели рядовое, так что с точки зрения практики проблема повышения точности в динамической гравиметрии представляется основополагающей.
После рассмотрения той роли, которую играет точность гравиметрических измерений, остановимся кратко на тех факторах, которые так или иначе влияют на точность. Далее речь в основном будет идти о морской гравиметрии, хотя следует заметить, что подход, развиваемый в работе , может быть использован и в аэрогравиметрии.
В.Л.Пантелеев [4J выделяет пять основных источников возникновения погрешности при измерении силы тяжести на море.
1. Динамическая погрешность гравиметра. Гравиметр как динамическая система трансформирует поступающий на него сигнал. Эта трансформация выражается прежде всего в некотором запаздывании выходного сигнала гравиметра относительно входного, но кроме таких искажений, учитываемых простым сдвигом по времени, возникают еще и амплитудные искажения, скрадывающие истинную форму аномалий гравитационного поля.
2. Неполное подавление вертикальной составляющей помехи. Действие инерциальной помехи, согласно принципу эквивалентности, идентично действию силы тяготения, и априорно отделить их друг от друга невозможно. Динамическая система гравиметра, как и любая физическая система, не может полностью подавить помеху, поэтому какая-то часть ее неизбежно проникает в выходной сигнал системы.
3. Неточности учета эффекта Этвеша. Вариации эффекта Этвеша возникают вследствие несовершенства судовождения, а учет таких вариаций затруднен неидеальностью навигационной системы.
4. Возмущения второго порядка типа кросс-каплинг эффекта. Учет таких возмущений стал применяться сравнительно недавно, и методика такого учета разработана еще не в полной мере, между тем доказано, что при определенных условиях погрешности, вносимые такого рода возмущениями, могут? свести на нет любые ухищрения при устранении других источников ошибок.
5. Технологическое несовершенство аппаратуры. Приводит к возникновению таких явлений, как нелинейное смещение нуль-пункта гравиметра, не позволяющих с достаточной степенью точности предсказывать поведение прибора в промежутках между наблюдениями на опорных точках.
В настоящей работы затронуты вопросы, связанные только с двумя первыми из перечисленных факторов, а именно: с факторами, так или иначе отражающими характеристики динамической системы гравиметра. Выбор предмета исследования вполне закономерен и продиктован следующими соображениями. Несовершенства технологии, навигационных систем, систем стабилизации, пути их преодоления лежат, как правило, вне когтетенции гравиметрии и затрагивают, в основном, смежные области знаний, хотя некоторый вклад гравиметрией сделан и здесь (4 J, динамическая система гравиметра с этой точки зрения является наиболее доступной для модернизаций, которые могли бы повысить качество гравиметрической съемки уже сегодня.
Итак, в качестве одной из задач работы можно выделить задачу понижения до минимума удельного веса ошибок, связанных с динамической системой гравиметра.
В качестве другой такой задачи можно рассматривать задачу создания системы, обеспечивающей работу гравиметрического комплекса в реальном времени, т.е. возможность экспресс-обработки поступающей информации о гравитационном поле. Актуальность этого аспекта работы также не вызывает сомнений.
Структура работы во многом является отражением тех трудностей, которые неизбежно возникают при синтезе систем, сочетающих требования точности и работы в реальном времени. Приводимое ниже краткое содержание разделов работы дает представление также и о личном вкладе автора в решение проблем, затрагиваемых исследованием.
Глава I содержит математическую постановку задачи, предложенной автору В.Л.Пантелеевым - задачи оптимальной фильтрации с запаздыванием.
Как известно, в морской гравиметрии нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда вариации полезного сигнала в 0.1 мГал требуется уловить на фоне помехи интенсивностью в 100 Гал /в единицах СИ - 10 и I мс /. Если представить себе некий гипотетический самописец, то при масштабе записи I мГал/см вариации полезного сигнала амплитудой I мм должны быть прослежены на ленте самописца на фоне "дорожки" километровой ширины, обусловленной качкой судна. Положение, конечно, не столь безнадежно, как может показаться при такой аналогии: дело в том, что спектры полезного сигнала и помехи в основной своей части весьма существенно, на 3 порядка, разнесены по частоте, и это служит основой для успешного применения методов частотной фильтрации. Тем не менее трудности все-таки остаются: синтез систем, производящих фильтрацию с точностями порядка первых десятых долей мГал, невозможен без анализа той части спектров, где полезный сигнал и помеха уравниваются по мощности, иначе говоря, возникает задача построения оптимальных фильтров - центр тяжести про - 10 блемы смещается в математику. Известно, что оптимальные фильтры, имеющие минимальную погрешность эквивалентны операции интерполяции на бесконечном интервале и, конечно, не могут быть системами, функционирующими в реальном времени, поскольку выходной сигнал таких систем будет иметь бесконечное запаздывание относительно входного. Допущение конечного времени запаздывания для фильтров, работающих в реальном времени, и приводит к возникновению задачи синтеза оптимальных систем с запаздыванием. Запаздывание, которое обычно рассматривается как неизбежность, превращено здесь в союзника. В главе I автором показано место поставленной задачи в круге проблем, решаемых теорией линейной фильтрации, эквивалентность запаздывания интерполяции на полубесконечном /для стацио-нирного случая/ интервале времени. Описаны возможные методы решения задачи, их достоинства и недостатки.
Любой способ синтеза фильтра опирается на какие-то представления о сигналах, поступающих на вход системы, т.е на модели как полезного сигнала, так и помехи. В главе 2 рассматриваются модели, которые могли бы быть пригодны при решении поставленной задачи, причем для полезного сигнала требуемая высокочастотная модель построена на основании фактического материала /точнее будет сказать "правомерность использования модели доказана на основе обработки фактического материала"/ - профилей аномалий силы тяжести длиной около 800 км, имевшихся в распоряжении автора.
Глава 3 представляет собой ядро работы. Здесь дается способ построения передаточной функции оптимального фильтра с запаздыванием /понекоторым причинам такие фильтры будут названы квазиоптимальными. Автором составлен пакет подпрограмм построения таких фильтров, исследованы характеристики фильтров такие, как точность и быстродействие, причем понятие быстродействия фильтра подверглось некоторому пересмотру. Эта глава содержит основные результаты, касающиеся возможностей систем с запаздыванием в морской гравиметрии.
Применение квазиоптимальных фильтров на практике сильно затрудняется специфической структурой передаточной функции фильтра /и это несмотря на то, что способ, изложенный, в главе 3, дает возможность получать передаточные функции, выражаемые отношением полиномов/. Квазиоптимальные фильтры имеют, в основном, чисто теоретический интерес как предельные для данной величины времени запаздывания. Звеном между теорией и практикой служат так называемые субоптимальные фильтры, строящиеся на основе оптимальных /точнее - квазиоптимальных/, но имеющие лучшие характеристики с точки зрения реализации. Построению субоптимальных фильтров посвящена глава 4. Здесь же рассматриваются характеристики полученных систем - устойчивость, точность, быстродействие и чувствительность. Прилагаются подпрограммы на ФОРТРАНЕ, которые могут быть использованы в задачах понижения порядка произвольного фильтра.
Глава 5 - результаты машинного моделирования фильтров, построенных в предыдущих разделах работы, и сравнения, также модельного, с применяющимися системами. Здесь же рассмотрены возможные способы реализации систем с запаздыванием в морской гравиметрии. Автором предложен способ реализации фильтров с дробно-рациональной передаточной функцией на ЭВМ, продемонстрированы методы тестирования фильтров и моделирования их функционирования на ЭВМ, предложенные автором. Соответствующие программы и подпро -12. граммы на алгоритмическом языке ФОРТРАН прилагаются.
В заключении к работе приводятся некоторые соображения относительно дальнейшего развития затронутой темы.
Программы на ФОРТРАНе, содержащиеся в приложениях, следующих за списком использованной литературы, в большинстве своем созданы автором в процессе работы. Комментарии к подпрограммам содержат все необходимые сведения относительно использования при расчетах на ЭВМ.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Способ построения оптимальных фильтров с запаздыванием, обладающих дробно-рациональной передаточной функцией.
2. Результаты исследования эффективности оптимальных фильтров с запаздыванием в морской гравиметрии.
3. Способ понижения порядка фильтра, сохраняющий интегральные характеристики системы.
4. Передаточные функции субоптимальных фильтров с запаздыванием /с допусками на коэффициенты/, позволяющих осуществлять фильтрацию полезного сигнала в морской гравиметрии с точностями 0,1, 0,2, 0.5 мГал в зависимости от характера поля аномалий силы тяжести при самых неблагоприятных условиях съемки.
5. Пакет подпрограмм построения, исследования, понижения порядка фильтров, включающий подпрограммы генерации тестовых сигналов и реализации фильтра на ЭВМ, работающей в реальном времени.
Качественное сравнение винеровской и калмановской фильтрации в приложении к морской гравиметрии
Структура работы во многом является отражением тех трудностей, которые неизбежно возникают при синтезе систем, сочетающих требования точности и работы в реальном времени. Приводимое ниже краткое содержание разделов работы дает представление также и о личном вкладе автора в решение проблем, затрагиваемых исследованием.
Глава I содержит математическую постановку задачи, предложенной автору В.Л.Пантелеевым - задачи оптимальной фильтрации с запаздыванием.
Как известно, в морской гравиметрии нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда вариации полезного сигнала в 0.1 мГал требуется уловить на фоне помехи интенсивностью в 100 Гал /в единицах СИ - 10 и I мс /. Если представить себе некий гипотетический самописец, то при масштабе записи I мГал/см вариации полезного сигнала амплитудой I мм должны быть прослежены на ленте самописца на фоне "дорожки" километровой ширины, обусловленной качкой судна. Положение, конечно, не столь безнадежно, как может показаться при такой аналогии: дело в том, что спектры полезного сигнала и помехи в основной своей части весьма существенно, на 3 порядка, разнесены по частоте, и это служит основой для успешного применения методов частотной фильтрации. Тем не менее трудности все-таки остаются: синтез систем, производящих фильтрацию с точностями порядка первых десятых долей мГал, невозможен без анализа той части спектров, где полезный сигнал и помеха уравниваются по мощности, иначе говоря, возникает задача построения оптимальных фильтров - центр тяжести проблемы смещается в математику. Известно, что оптимальные фильтры, имеющие минимальную погрешность эквивалентны операции интерполяции на бесконечном интервале и, конечно, не могут быть системами, функционирующими в реальном времени, поскольку выходной сигнал таких систем будет иметь бесконечное запаздывание относительно входного. Допущение конечного времени запаздывания для фильтров, работающих в реальном времени, и приводит к возникновению задачи синтеза оптимальных систем с запаздыванием. Запаздывание, которое обычно рассматривается как неизбежность, превращено здесь в союзника. В главе I автором показано место поставленной задачи в круге проблем, решаемых теорией линейной фильтрации, эквивалентность запаздывания интерполяции на полубесконечном /для стацио-нирного случая/ интервале времени. Описаны возможные методы решения задачи, их достоинства и недостатки.
Любой способ синтеза фильтра опирается на какие-то представления о сигналах, поступающих на вход системы, т.е на модели как полезного сигнала, так и помехи. В главе 2 рассматриваются модели, которые могли бы быть пригодны при решении поставленной задачи, причем для полезного сигнала требуемая высокочастотная модель построена на основании фактического материала /точнее будет сказать "правомерность использования модели доказана на основе обработки фактического материала"/ - профилей аномалий силы тяжести длиной около 800 км, имевшихся в распоряжении автора.
Глава 3 представляет собой ядро работы. Здесь дается способ построения передаточной функции оптимального фильтра с запаздыванием /понекоторым причинам такие фильтры будут названы квазиоптимальными. Автором составлен пакет подпрограмм построения таких фильтров, исследованы характеристики фильтров такие, как точность и быстродействие, причем понятие быстродействия фильтра подверглось некоторому пересмотру. Эта глава содержит основные результаты, касающиеся возможностей систем с запаздыванием в морской гравиметрии.
Применение квазиоптимальных фильтров на практике сильно затрудняется специфической структурой передаточной функции фильтра /и это несмотря на то, что способ, изложенный, в главе 3, дает возможность получать передаточные функции, выражаемые отношением полиномов/. Квазиоптимальные фильтры имеют, в основном, чисто теоретический интерес как предельные для данной величины времени запаздывания. Звеном между теорией и практикой служат так называемые субоптимальные фильтры, строящиеся на основе оптимальных /точнее - квазиоптимальных/, но имеющие лучшие характеристики с точки зрения реализации. Построению субоптимальных фильтров посвящена глава 4. Здесь же рассматриваются характеристики полученных систем - устойчивость, точность, быстродействие и чувствительность. Прилагаются подпрограммы на ФОРТРАНЕ, которые могут быть использованы в задачах понижения порядка произвольного фильтра.
Глава 5 - результаты машинного моделирования фильтров, построенных в предыдущих разделах работы, и сравнения, также модельного, с применяющимися системами. Здесь же рассмотрены возможные способы реализации систем с запаздыванием в морской гравиметрии. Автором предложен способ реализации фильтров с дробно-рациональной передаточной функцией на ЭВМ, продемонстрированы методы тестирования фильтров и моделирования их функционирования на ЭВМ, предложенные автором. Соответствующие программы и подпрограммы на алгоритмическом языке ФОРТРАН прилагаются.
Параметры моделей, принятых при конструировании оптимальных фильтров
Выбор той или иной модели исследуемого явления подразумевает наличие некоторых критериев качества моделей, каковыми можно считать простоту модели, адекватность ее объекту и т.п.
Требование адекватности модели изучаемому явлению может рассматриваться только в рамках конкретной задачи: нет никакой необходимости в модели, охватывающей все стороны объекта, ибо поставленная задача может затрагивать лишь отдельные его качества. Во всем множестве моделей объекта, как физических, так и математических, оптимальной следует признать ту, которая при максимальной простоте - качестве, необходимом для детального исследования модели - не утратила существа проблемы, то есть остается достаточно сложной, чтобы в ходе исследований получить нетривиальные результаты, позволяющие ответить на вопросы, поставленные в задаче.
Решение задачи оптимальной фильтрации в морской гравиметрии может быть произведено только на основе изучения совместного влияния на чувствительный элемент гравиметра процессов, связанных с гравитационным полем Земли и наличием инерциальной помехи, и было бы нецелесообразным пытаться строить независимые модели этих процессов. Действительно, общая постановка задачи позволяет сделать предположение о том, что сигнал ошибки гравиметра при оптимальной фильтрации будет в основном формироваться в области частот, где полезный сигнал и помеха сравнимы по мощности, отсюда следует, что модели должны как можно более точно описывать процессы именно в этой области частот. Для полезного сигнала это означает, что модель должна адекватно описывать сигнал в высокочастотной части спектра при удовлетворении требования лишь ограниченности мощности гармоник в низкочастотной области, тогда как инерциальная помеха, напротив, как можно более точно должна быть описана в своей низкочастотной части, а в высокочастотной - модель помехи может соответствовать процессу типа белого шума.
Такие упрощения, как показано далее, вполне допустимые при построении систем, производящих оптимальную фильтрацию полезного сигнала в морской гравиметрии, и были приняты во внимание при создании моделей полезного сигнала и инерциальной помехи.
На сегодняшний день в морской гравиметрии не существует единой общепринятой модели полезного сигнала. С одной стороны, это следствие многообразия типов гравитационных полей для различных регионов Земного Шара: трудно ожидать, например, единого описания поля силы тяжести в шельфових областях и в районах океанических хребтов или глубоководных желобов; с другой стороны, существуют определенные трудности и с получением характеристик поля из экспериментального материала, особенно, если говорить о высокочастотных составляющих поля - трудности, связанные с искажением исходного материала шумовыми составляющими, обусловленными, например, неполным учетом эффекта Этвеша, поправок второго порядка, наличием шумов округления и т.п.
Ряд моделей, полученных как на основании фактического материала, так и на основании теоретических построений, представлен В,Л. Пантелеевым [4j. В этом обзоре рассматриваются статистические модели аномалий силы тяжести В.Каулы, Л.Шоу, Дж.Каспера, Р.Хирвонена, приведен ряд моделей самого автора. Такое важное свойство гравитационного потенциала как бесконечная дифференцируемость, будучи отражено в моделях, приводит к тому, что физически обоснованные модели имеют экспоненциальное убывание спектральных характеристик с ростом частоты. Такие модели неудобны при построении оптимальных фильтров.
Выход из положения подсказывается общим принципом построения моделей, согласно которому модель должна строиться под конкретную задачу. Как уже указывалось выше, при решении задачи построения оптимального фильтра сигналы с особой тщательностью требуется смоделировать лишь на ограниченном участке полосы частот, на котором происходит уравнивание спектральных характеристик полезного сигнала и помехи, а отдельный участок спектра всегда можно представить дробно-рациональной функцией, т.е. отношением полиномов конечного порядка, причем аппроксимация может быть произведена с наперед заданной точностью (в крайнем случае можно ограничиться мажорантными оценками).
Для получения закона убывания спектральной плотности полезного сигнала в интервале частот 0.5-2 км была предпринята попытка построения кривой спектральной плотности аномалий силы тяжести по профилям, полученным экспедицией Ламонтской геологической обсерватории Колумбийского университета на НИС "Вима" в Атлантическом океане. Оценки производились по двум профилям, имевшимся в распоряжении автора: V20I2 и V2805, Профили имеют протяженность 766 и 806 км соответственно и расположены вкрест простирания Срединно-Атлантического хребта. Значения силы тяжести (аномальное поле) на обоих профилях представлены на рис.3. Априори было сделано предположение, что исходные процессы не отягощены цветными шумами, т.е. помеха в спектре может быть представлена составляющими только типа белого шума, иначе говоря, имеет одинаковую интенсивность во всей полосе частот. Оценка интенсивности таких составляющих производилась графически по высокочастотным участкам полученных кривых (рис.4) и дала для профилей V2805 и V20I2 значения 0.2 и 0.5 мГалтсм, т.е. дисперсию шумовых сос тавляющих 1.3 и 3.1 мГал при общей дисперсии процессов 302 и 1050 мГал соответственно. Спектры мощности процессов, полученные после вычитания шумовых составляющих показаны на рис,5; кружки на рис.5 соответствуют сглаженным значениям эмпирической кривой спектральной плотности (сплошная линия на рис.4).
Анализ полученных кривых дает основание заключить, что на верхних частотах (более I км) закон убывания спектральной плотности аномалий силы тяжести с достаточной степенью точности может быть описан СО . Как нельзя более подходящей в данном случае оказывается модель спектральной плотности полезного сигнала, предложенная В.Л.Пантелеевым LI4J:
Общая формула передаточной функции оптимального физически реализуемого фильтра
Можно выделить два основных способа получения статистических характеристик помехи: непосредственные оценки параметров возмущающих ускорений по данным акселерометрических наблюдений и оценки по имеющимся данным о волнении моря и параметрам судна.
Способ, использующий данные вертикального акселерометра представляется, конечно, наиболее естественным при получении информации такого рода. Он не требует громоздкой аппаратуры, позволяет получать информацию об ускорениях, которые воздействуют практически на сам чувствительный элемент гравиметра; так в отделе гравиметрии ГАИШ МГУ уже много лет успешно применяется способ крепления акселерометров на корпусе гравиметра; наконец, способ удобен и с точки зрения математической обработки поступающих сигналов: несмотря на то, что в ручном варианте это достаточно трудоемкая процедура, автоматизация ее особого труда не представляет.
Типичные примеры кривых спектральных плотностей помехи показаны на рис.7. Эти кривые - результат обработки записей сигналов вертикального акселерометра, полученных во время экспедиции г.Мурманск в Баренцевом море на ледоколе "Капитан Мелехов" в 1982 г., в котором принимали участие сотрудники ГАЙШ. Способ получения статистических характеристик инерциальнои помехи по данным акселерометров позволяет достаточно уверенно определять такие характеристики возмущающих ускорений как дисперсию, доминирутацую частоту (или частоты), радиус корреляции помехи; рис.7 убедительно это иллюстрирует.
Существенным недостатком способа является то, что с его помощью нельзя оценить поведение характеристик возмущающих ускорений на частотах порядка 0 - 0.02 с , наиболее важных при конструировании оптимального фильтра полезного сигнала. Причина этого как в недостаточной чувствительности акселерометра, так и в принципиальной невозможности отделения силы тяжести и инерциальнои помехи в неинерциальной системе отсчета.
Другой способ, имеющий в своей основе теорию поведения судна на волнении, состоит из ряда последовательных этапов. В качестве нулевого этапа можно рассматривать определение параметров судна; количество таких параметров определяется характером задач и точностью, требуемой для их решения [іб], это такие параметры, как водоизмещение, продольный и поперечный моменты инерции и др. Далее следует этап определения характеристик волнения, В настоящее время разработаны типовые спектры волнения моря, которые могут быть применены в данном случае [I7J, Следующим этапом является этап трансформации спектра волнения [4J, эта операция необходима при наблюдениях с борта движущегося судна, она становится существенно нелинейной при движении судна по волнению. Заключительными этапами являются этап составления и решения нелинейных дифференциальных уравнений динамики судна [і8], и, наконец, приведение рассчитанных параметров качки к точке, в которой помещается чувствительный элемент гравиметра.
На практике применение такого способа расчета характеристик качки обычно ограничивается лишь оценками возможных движений судна с точки зрения остойчивости, часто здесь принимаются во внимание лишь линейные модели судна при простейшем представлении волнения, точный расчет спектральных характеристик качки провести таким образом как правило не удается ввиду исключительной сложности, которой отличаются задачи гидродинамики. Несмотря на это, такой путь позволяет сделать определенные выводы относительно поведения низкочастотных компонент качки.
Обозначим 52(& J- спектральную плотность вертикальных перемещений судна, 5(& )- спектральную плотность инерциальшй помехи. Разложение спектральной плотности инерциальных ускорений на частотах вблизи нулевой имеет вид [4]: следовательно, скорость роста спектральной плотности помехи в нуле не может быть меньше ш . Анализ SJP) позволяет заключить, что с большой вероятностью СО и является этой скоростью. Действительно, существует ряд факторов, заставляющих полагать спектральную плотность вертикальных перемещений не равной нулю при нулевой частоте, К таким факторам относятся нелинейные трансформации спектра волнения при наблюдениях с движущегося судна, нелинейная динамика судна на волнении, обусловленная, например, несимметрией судна относительно миделя, его непрямобортностью вблизи ватерлинии, когда судно "охотнее" выталкивается из воды, нежели в нее углубляется, что приводит к изменению положения усредненной ватерлинии относительно среднего уровня воды. Существуют также корреляционные связи между различными типами качки, приводящие к появлению медленно меняющихся составляющих качки и т.д.
Итак, существуют данные о спектре качки в районе доминирующих частот и предположение о скорости роста спектральной плотности качки на нижних частотах. Обычным приемом построения модели спектра является аппроксимация спектра в области доминирующей частоты и экстраполяция в область низких частот. Требование ограниченности дисперсии возмущающих ускорений при скорости роста Ш в нуле заставляет использовать аппроксимирующие функции типа при К 3. В частности, в работе [її] предложен способ аппроксимации спектральной плотности помехи при К1= 4 с помощью нелинейного метода наименьших квадратов. В данном же случае требование ограниченности дисперсии является, несмотря на его обоснованность в отношении "физики", слишком жестким - вполне можно ограничиться требованием
Передаточные функции субоптимальных фильтров, исследования на чувствительность
В результате замены PFEXP на PFEXP1 оказались незадейст-вованы подпрограммы 3IVP, ORMP, SI/BR, РАЪЪ, которые, тем не менее, приведены в приложении, поскольку могут оказаться весьма полезными при решении задач, аналогичных поставленной в данной работе. Относительно работы PFEXP1 надо заметить, что малые /менее 0.001/ значения параметра f приводили в PFEXP к частым переполнениям в связи с обнулением /ввиду малости/ некоторых переменных в подпрограмме, это привело к необходимости введения в PFFX Р1 некоторых дополнительных мер типа искусственного увеличения констант /домножением на 10 с последующим делением/.
Алгоритмы, реализованные в подпрограммах PER - вычисление переходной функции устойчивого некратного фильтра и IVс S - вычисление весовой функции такого фильтра достаточно подробно рассмотрены в разделе 3.5, поэтому отдельно на этих подпрограммах останавливаться здесь не будем /комментарии к подпрограммам содержат необходимые сведения по их эксплуатации/. Эти подпрограммы не требуют других подпрограмм для своего функционирования.
Подпрограмма ГР - вычисление времени быстродействия фильтра -использует в своей работе подпрограммы. На первом этапе работы подпрограмма находит четыре экстремума переходной функции фильтра, ближайшие к точке пересечения уровней ІІ 0.001 огибающей переходной функции, на втором - производит интерполяцию по этим четырем точкам и находит значение аргумента, соответствующее уровням it 0.001. Поиск экстремума осуществляется поиском нуля весовой функции с точностью ІІ с и расчетом соответствующего значения переходной функции. Для интерполяции используются прологарифмированные значения I Н (ti) - 11 . Полученное значение времени быстродействия фильтра переводится в минуты - это выходное значение подпрограммы I г . Подпрограмма не работает в случае фильтров, имеющих монотонно растущую переходную функцию.
Подпрограмма S R R - вычисление дисперсии погрешности фильт ра - использует подпрограммы ; последние две, в свою очередь, используют PVAL, обе эти подпрограммы приводятся вместе с R R , поскольку самостоятельного значения не имеют. Особенностью подпрограммы является то, что вход в нее осуществляется через неименованный -блок: Коэффициенты числителя и знаменателя в соответствующих массивах расположены, начиная с коэффициентов при нулевой степени р . Модели полезного сигнала и помехи, относительно которых ищется дисперсия ошибки фильтра, подробно рассмотрены в главе 2 настоящей работы. Порядок полиномов числителя и знаменателя передаточной функции фильтра не может превышать 9, т.е. и числитель и знаменатель задаются не более чем 10 коэффициентами, причем при обращении к подпрограмме соответствующие массивы должны иметь размерность 10. 0РГ22 - ядро той части работы, которая относится к построению квазиоптимальных фильтров, поэтому остановимся на функционировании этой подпрограммы подробнее.
На первом этапе производится факторизация спектральной плотности входного сигнала фильтра. Поскольку сомножители знаменателя спектральной плотности входного сигнала могут быть тривиальным образом найдены непосредственно из моделей полезного сигнала и помехи, трудности здесь связаны только с факторизацией числителя, сводящейся к вычислению корней соответствующего полинома, Получаемые значения корней выдаются на дисплей перед заголовком -PR00T CONTROL", соответствующий комментарий дан в подпрограмме. Проверка позволяет оценить точность определения корней /высвечиваемые надисплее после заголовка PROOT C0WTR0L» числа в идеале должны равняться нулю/.
Легко заметить, что знаменатель искомой передаточной функции может быть получен уже сразу после факторизации спектральной плотности входного сигнала по формуле:
После разложения и удержания в разложении только тех слагаемых, которые соответствуют сомножителям начинается формирование числителя передаточной функции, состоящего из произведения числителя разложения и знаменателя функции, полученной при факторизации. Коэффициенты разложения на простые дроби также выдаются на дисплей.
Сформированные числитель и знаменатель передаточной функции нормируются так, чтобы свободный член знаменателя стал равным I. Получаемое при этом значение свободного члена числителя является одним из выходных параметров ОРТ22 /АКОЕ /. это значение затем заменяется на I, такая замена связана с тем, что нормальное поле Земли не учитывается моделями, но, тем не менее, должно воспроизводиться фильтром без искажений. Массивы коэффициентов числителя /размерность 7/ и знаменателя /размерность 8/, начинающиеся со свободных членов равных I, также являются выходными для 0РТ22.
