Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель процессавзаимодействия электромагнитных волн с поглощающими материалами в рабочих камерах СВЧ- нагревательных установок волноводного и резонаторного типов 16
1.1.. Обеспечение однородного тепловыделения в обрабатываемом материале в СВЧ- установках волноводного и резонаторного типов 16
1.2. Внутренняя краевая задача электродинамики для произвольных волноводных и резонаторных структур частично заполненных диэлектрическим или поглощающим материалом ; 23
1.3. Методы численного анализа сложных электродинамических систем с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением . 36
2. Численное решение внутренней краевой задачи электродинамики для волноводных и резонаторных структур произвольной формы с частичным заполнением диэлектрическим ишпоглощаюіщїм материалом . 77
2.1. Программа численного решения ВКЗЭ для волноводных и резонаторных структур произвольной формы с частичным заполнением диэлектрическим или поглощающим материалом 77
2.2. Тестирование алгоритма и программы расчета собственных электродинамических параметров волноводных и резонаторных структур на МКР и МКЭ 90
2.3. Исследование диапазонных свойств полых ВСС со скругленным' емкостным зазором. 107
3. Математическое моделирование свч- нагревательных установок равномерного нагрева волноводного и резонаторного типов . 131
3.1. Диапазонные свойства собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля в ВСС цилиндрического профиля с частичным диэлектрическим заполнением 131
3.2. Дисперсионные свойства собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля квазистационарных ВСС цилиндрической формы с произвольным поглощающим заполнением 146
3.3. Исследование структуры электромагнитного поля и собственных электродинамических параметров резонаторов с частичным диэлектрическим заполнением 176
Заключение 211
Литература 215
Приложения 229
- Внутренняя краевая задача электродинамики для произвольных волноводных и резонаторных структур частично заполненных диэлектрическим или поглощающим материалом
- Методы численного анализа сложных электродинамических систем с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением
- Тестирование алгоритма и программы расчета собственных электродинамических параметров волноводных и резонаторных структур на МКР и МКЭ
- Дисперсионные свойства собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля квазистационарных ВСС цилиндрической формы с произвольным поглощающим заполнением
Введение к работе
Актуальность темы.
В основе многих технологий современного производства продукции различного назначения лежит термообработка материалов. Одним из; перспективных направлений улучшения^ качества термообработки диэлектрических материалов является использование в качестве источника тепла энергии электромагнитного поля сверхвысоких частот. СВЧ- технологии нагрева и сушки* диэлектрических материалов являются высокоэффективными экологически чистыми технологиями высокого уровня.
При этом к СВЧ' нагревательным устройствам предъявляется ряд требований: они должны при минимальной металлоемкости конструкции обеспечивать высокотемпературный, интенсивный и равномерный нагрев поглощающих материалов.
Как правило, эти требования- удовлетворяются выбором соответствующих значений таких параметров базовых элементов рабочих камер СВЧ, как критическая длина волны основного типа, широкополосность, глубина проникновения и напряженность поля в области взаимодействия.
Применяющиеся в настоящее время в качестве рабочих камер СВЧ простые волноведущие структуры хотя и являются хорошо изученными и простыми в изготовлении, нов ряде случаев, не могут удовлетворить предъявляемым требованиям.
Одним из путей расширения функциональных возможностей СВЧ нагревательных устройств является применение линий передачи
сложных сечений, и в первую очередь, квазистационарных волноводов.
Анализ возможностей волноводов сложных сечений [1-8]' показывает, что они могут обеспечить равномерность нагрева в широком интервале изменения диэлектрической проницаемости материалов, получить однородное распределение тепловых источников в области взаимодействия не только в поперечном сечения камеры, но и по длине системы, интенсифицировать процесс за счет высокой напряженности электрического поля в емкостного зазоре, куда может загружаться нагреваемый объект, снизить металлоемкость конструкций рабочих камер СВЧ. Последнее особенно существенно при создание малогабаритных СВЧ-нагревательных устройств равномерного нагрева на частотах 433 и 915 МГЦ;
Разработка и; проектирование рабочих камер СВЧ нагревательных устройств на основе волноводов сложных сечений* связаны с задачей исследования электромагнитных процессов в волноводах и резонаторах с частичным поглощающим заполнением. При этом экспериментальные методы изучения данных процессов зачастую являются весьма дорогостоящими, а строгий математический аппарат, позволяющий аналитически проводить расчет, еще не разработан. Поэтому актуальной задачей является разработка алгоритмов и пакетов программ численных методов расчета,электродинамических структур.
Цель и задачи диссертационной работы.,
Целью диссертационной работы является создание двумерных и трехмерных математических моделей процесса взаимодействия
электромагнитных волн с поглощающими ЭМГ мощность
материалами, описывающие электродинамические свойства СВЧ-
устройств волноводного и резонаторного типов с частичным
поглощающим заполнением. Разработка алгоритма и комплекса
программ численного решения внутренней краевой задачи
электродинамики для сложных электродинамических СВЧ-
устройств на основе квазистационарных волноводных структур
сложного поперечного сечения частично заполненных
произвольным диэлектрическим материалом. Проведение
^ комплексных исследований электродинамических свойств
квазистационарных волноводных структур сложного поперечного сечения цилиндрической формы и резонаторов с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением и создание на их основе нового перспективного класса малогабаритных, высокоэффективных СВЧ- устройств поглощающего типа с равномерным нагревом поглотителя.
Методы исследования.
Для решения вышеприведенных задач были использованы:
метод конечных разностей, метод конечных элементов с
применением векторных базисных функций с использованием
jylft принципа Галеркина и метода взвешенных невязок, объектно-
ориентированные методы вычислений, линейная алгебра, метод эквивалентных схем; методы математической физики, принцип поляризационной двойственности.
Научная новизна работы.
- предложены условия обеспечения однородного тепловыделения в
обрабатываемом материале в СВЧ- устройствах волноводного и
резонаторного типов;
- разработана математическая модель процесса взаимодействия
электромагнитных волн с поглощающими материалами в СВЧ
нагревательных устройствах волноводного и* резонаторного типов,
позволяющая описать электродинамические свойства СВЧ-
устройств волноводного ш резонаторного типов с частичным
^ поглощающим СВЧ мощность заполнением;
-разработаны эффективные алгоритмы и комплекс программ численного решения внутренней краевой: задачи электродинамики для произвольных волноводных и: резонаторных структур с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением методами конечных разностей и конечных элементов, позволяющие проводить комплексные исследования^ электродинамических свойств данных структур;
-проведено исследование диапазонных свойств собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля волноводов сложного поперечного сечения цилиндрической формы с частичным диэлектрическим заполнением на примере
Ді подковообразного, секторного и якорного волноводов и их
сравнение с ранее: исследованными П- волноводом и прямоугольным волноводомсТ-ребром;
-исследованы дисперсионные зависимости: собственных
электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля в частично заполненных диэлектриком с потерями волноводах
сложного поперечного сечения цилиндрической формы: секторного
иі якорного;
-исследованы* структуры; электромагнитного поля* и собственные
электродинамические параметры прямоугольного? резонатора с
частичным; диэлектрическим: заполнением при различных значениях
относительной диэлектрической проницаемости диэлектрического
материала;
-исследованы структуры электромагнитного* поля и собственные
электродинамические параметры резонатора, выполненного^ на
отрезке П- волновода с частичным диэлектрическим заполнением..
Практическая значимость работы заключается віследующем: -даны практические рекомендации по оптимизации методов; численного расчета (метод конечных элементов и метод конечных разностей) рабочих камер СВЧ- устройств равномерного нагрева произвольных диэлектрических материалов выполненных на основе отрезков і нерегулярных квазистационарных волноводов сложного поперечного сечения т резонаторных, систем с частичным
диэлектрическим?или поглощающимізаполнением;
-даны практические рекомендации по использованию^
квазистационарных волноводов: сложного сечения цилиндрического профиля» в качестве базовых элементов рабочих камер нового перспективного: класса малогабаритных СВЧ- устройств; равномерного нагрева различных диэлектрических материалов;, электрофизические и тепловые свойства которых изменяются Ві процессе нагрева, а также в качестве малогабаритных; широкополосных поглощающих элементов технике СВЧ;
-разработаны конструкции базовых элементов рабочих камер
малогабаритных, высокоэффективных, с высоким темпом нагрева
СВЧ- устройств равномерного нагрева произвольных
диэлектрических материалов на основе отрезков; квазистационарных нерегулярных волноводов цилиндрического профиля; таких как: секторный и якорный волноводы;
-даны! практические рекомендации по повышению уровня равномерности; нагрева произвольных диэлектрических материалов; обладающих определенными джоулевыми потерями? в СВЧ-устройствах резонаторного типа,, включая микроволновые устройства бытового назначения;
-даны практические рекомендации* по оптимизации; алгоритма численного решения внутренней краевой; задачи электродинамики различных СВЧ- устройств (аттенюатора, оконечные, согласованные нагрузки и др.) и автоматизации процесса обработки исходных и выходных данных;:
-результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработках, проводимых в Саратовском государственном: техническом университете, в учебном процессе на кафедре Радиотехники; а также в Саратовском филиале института радиотехники и электроники РАН РФ и на предприятиях- ГНПП "Алмаз-Фазатрон?', СЭПО (Саратовское электроагрегатное производственное объединение), КБ "Электроприбор'' (г.Саратов).
Апробация работы.
Работы выполнена на кафедре "Радиотехника" Саратовского государственного технического университета, в период с 2000-
2004гг. Основные положения и полученные в ходе выполнения
диссертационной работы результаты докладывались и обсуждались
на:
-международной научно-технической: конференции "Проблемы
управления и связи", СГТУ, Саратов, 2000;
-XV международной научной конференции "Математические методы
в технике и технологиях", ТГУДамбов; 2002.
-международной научно-технической конференции "Перспективные
направления развития электронного приборостроения", ФГУП "НПП
Контакт", Саратов, 2003.
-международной научно-технической конференции "Радиотехника и
связь", СГТУ, Саратов, 2004.
Публикации.
По материалам исследований, выполненных при работе над диссертацией, опубликовано 11 печатных работ.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех разделов, имеющих подразделения, заключения, списка литературы и двух приложений. Диссертации изложена на 2311 страницах, из: них 154 страниц с текстом, 77 -с рисунками. Список литературы содержит 102 наименования и изложенна 13 страницах.
Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследования, показана практическая значимость работы, представлены сведения;
об апробации работы, описана структура и объем работы, кратко раскрыто содержание разделов диссертации.
В первой главе диссертации предложены условия обеспечения однородного тепловыделения в обрабатываемом материале в СВЧ-устройствах волноводного и резонаторного типов. Создана математическая модель процесса взаимодействия электромагнитных
'Ы\.
волн с поглощающими материалами в СВЧ нагревательных
устройствах волноводного и резонаторного типов. Показано, что
\^у4 решение внутренней краевой задачи электродинамики для
произвольных волноводных и. резонаторных структур с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением базируется на решении системы уравнений: Максвелла при соответствующих граничных условиях.
Проведен обзор методов решения внутренней:краевой задачи электродинамики для; волноводных структур произвольного поперечного сечения и резонаторов произвольной формы с произвольным диэлектрическим или поглощающим заполнением.
Показано, что решение поставленной задачи целесообразно
проводить численными методами- конечных разностей (МКР) и
конечных элементов(МКЭ);
(Ц\ На основе полученной математической модели разработаны
алгоритмы решения внутренней краевой задачи электродинамики
для волноводных структур произвольного поперечного сечения и
резонаторов произвольной формы с произвольным заполнением
диэлектрическим или поглощающим материалом на основе методов
конечных элементов с применением векторных функций формы,
позволяющих предотвратить появление ложных решений; и конечных разностей.
Во второй главе на основе предложенного» алгоритма разработан
комплекс программ численного решения* внутренней: краевой задачи
электродинамики, позволяющий проводить комплексный анализ
диапазонных свойств, собственных электродинамических
параметров; и. структуры электромагнитного поля произвольных волноводных и резонаторных: структур с частичным диэлектрическим, или поглощающим* заполнением методами конечных элементов с применением векторных функций формы и конечных разностей. Проведено тестирования пакета программ численного решения внутренней краевой? задачи; электродинамики для произвольных волноводных и резонаторных структур с частичным диэлектрическим или; поглощающим заполнением методами конечных разностей, и конечных элементов и установлено, что погрешность расчета собственных электродинамических параметров произвольных волноводных и, резонаторных структур с произвольным заполнением диэлектрическим или поглощающими заполнением не превышает 2.5%.
Исследованы диапазонные свойства полых волноводов сложного поперечного сечения со скругленным емкостным зазором на< примере секторного и якорного волноводов. Показано, что якорный волновод за счет расширения областей над Т- образным выступом обладает более высокими- значениями критической длины волны основного типа и коэффициента широкополосности в сравнении с секторным волноводом. Установлено на основе сравнения диапазонных свойств полых структур, что волноводы
сложного» поперечного сечения, цилиндрической формы обладают более высокими значениями критических длин волн основного и первого высшего типов, чем П- волновод и прямоугольный волновод с Т- ребром, что» позволяет снижать габариты, СВЧ- устройств на основе волноводов сложного поперечного сечения цилиндрической формы.
В третьей главе диссертационной работы проведено исследование диапазонных свойств собственных электродинамических параметров
\уу волноводов сложного поперечного сечения^ цилиндрической формы с
частичным диэлектрическим заполнением на. примере секторного,-якорного и; подковообразного волноводов. На основе сравнения с П-волноводом и прямоугольным волноводом с Т- ребром установлено, что волноводы со скругленным емкостным зазором обладают более высокими^ значениями критических длин волн основного типа, что позволяет уменьшать габариты рабочих камер СВЧ- нагревательных устройств на фиксированной длине волны.
Для обеспечения равномерного тепловыделения в объеме обрабатываемого материала в рабочих камерах СВЧ- нагревательных устройств необходимо обеспечить равномерность электрического поля в диэлектрическом материале. В связи с этим, было*проведено
\Ja исследование структуры электромагнитного поля волны основного
типа в области быстрых волн в волноводах сложного поперечного сечения цилиндрической формы* с частичным диэлектрическим' заполнением на примере секторного w якорного волноводов. Установлено, что для обеспечения однородности электрического поля в объеме жидкого или сыпучего материала в рабочих камерах СВЧ- нагревательных устройств; волноводного типа на основе
секторного и якорного волноводов, обрабатываемый материал должен занимать емкостной зазора по уровню середины волновода.
Проведено исследование дисперсионных свойств собственных
электродинамических параметров и структуры электромагнитного
поля в волноводах сложного поперечного сечения цилиндрической;
формы на примере секторного и якорного волноводов. Рассмотрен-
эффект втягивания электромагнитного поля в диэлектрический
материал.. Установлено, что1 в рабочих камерах для обработки
листовых и пленочных материалов; с большим значением
1^> действительной части относительной диэлектрической
проницаемости на; основе секторного и якорного волноводов; изменение структуры электрического- поля; происходит уже в доминантном диапазоне длин волн, вследствие чего, главным* фактором стабильности структуры электромагнитного поля в объеме поглощающего материала становится коэффициент замедления электромагнитной волны основного типа.
На. основе исследования дисперсионных свойств собственных
электродинамических параметров волноводов сложного поперечного
сечения цилиндрической формы разработаны продольные профили:
1 рабочих камер? СВЧ- нагревательных устройств с бегущей волной
для обработки жидких(сыпучих) и листовых(пленочных)материалов
\ъА\ на основе секторного иеякорного волноводов.
Проведено исследование собственных электродинамических
параметров и структуры электромагнитного поля; первых четырех
колебаний прямоугольного резонатора! с частичным;
диэлектрическим заполнением. Исследованы эффекты втягивания и вытеснения электрического поля из диэлектрического материала в данной резонаторнои структуре. Установлено, что однородное
электрическое поле в объеме диэлектрического материала может быть получено только за счет возбуждения большего количества колебаний с амплитудами, определяемыми требуемым уровнем нагрева обрабатываемого материала;
Проведено исследование собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля первых трех колебаний резонатора, выполненного на отрезке П- волновода. Установлено, что данный резонатор в сравнении с прямоугольным резонатором обладает более высокими значениями резонансных длин волн, что позволяет уменьшать габариты рабочих камер СВЧ-нагревательных устройств резонаторного типа, а также обеспечить более однородное электрическое поле в объеме диэлектрического материала.
В заключении даны основные выводы и результаты
комплексного исследования математической модели процесса
взаимодействия ЭМГ волн с произвольными диэлектрическими,
поглощающими СВЧ мощность материалами в произвольных
волноводных и резонаторных структурах; даны практические
рекомендации наиболее оптимального использования
разработанных моделей, установленных критериев и принципов для создания нового перспективного класса малогабаритных, с высоким темпом нагрева СВЧ- устройствах на основе отрезков квазистационарных ВСС, позволяющих обеспечить равномерный нагрев различных диэлектрических материалов.
Внутренняя краевая задача электродинамики для произвольных волноводных и резонаторных структур частично заполненных диэлектрическим или поглощающим материалом
Исследование электродинамических свойств и структуры ЭМГ поля волноводных и резонаторных структур основывается на решении системы уравнений Максвелла при соответствующих краевых и начальных условиях. При решении внутренней краевой задачи электродинамики для волноводных и резонаторных нагревательных установок целесообразно использовать дифференциальную систему уравнений Максвелла, которая имеет вид: го,й(Кт) = Лг,т)+Щ& + Гст(г,т), ) -0 (1.5) ШУ5{Г,Т) = р{г,т)+pecm (r,r), divB(r,r) = pZ(r,r\ где 3(г,т) = є (г)є0Е(г,т), В(г,т) = р(г)]и0Н(г,т)- вектора электрического и магнитного смещения; Ё(г,г),//(г,т)- вектора напряженности электрического и магнитного полей; є (г)и fi(r) - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости заполняющей внутреннюю полость среды; є0и ju0- электрическая и магнитная постоянные воздуха; р(г,т) - удельная плотность заряда; РІт{г,т) и PcmfcT)" удельная плотность сторонних зарядов; 7с (г,г) и /с"(г,г)-сторонние электрические и магнитные токи соответственно; J(r,r) = оЕ(г,т)- ток проводимости; г-радиус вектор, определяющий положение рассматриваемой точки в пространстве; г - время. Система уравнений (1.5) должна быть дополнена условиями на металлической границе и границе раздела сред[9]: (Я,Dl (F, г)) - (Я, 52 (г, г)) = ps (г, т) + pes (F, г), [Я, Ёх (г, т)] - [Я, Ё2 (г, г)] = -У (г, г), г (Я, 5, (F, г)) - (Я, В2 (г, г)) = рЧ (Г , г), [Я, Я! (г, г)] - [Я, Я2 (г, г)] = Js (г, т) + Jes (F, г). Индекс 5 в уравнениях (1.6) означает, что токи и заряды определены на внутренней поверхности электродинамической системы.
Решение системы уравнений (1.5) относительно векторов Е и Н в случае; ненулевых сторонних токов и зарядов представляет собой достаточно сложную задачу, которая может быть несколько упрощена за счет, применения вместо векторов напряженности электрического и магнитного полей; электродинамических потенциалов [9-10]. Для расчета свободных волн и колебаний принимают =7 =/ = / =0 и соответственно система уравнений (1.5) преобразуется к виду[9-10].
Подставляя в соотношение (1.9) выражение для ротора вектора напряженности электрического поля, взятое из второго уравнения системы уравнений (1.8), получаем уравнение Гельмгольца относительно вектора Н.
Таким образом, формулировка внутренней краевой задачи электродинамики для волноведущих и резонаторных структур частично или полностью заполненных поглощающим материалом включает в себя трехмерные уравнения Гельмгольца (1.11), которые для волноведущих структур могут быть сведены к двумерным скалярным уравнениям (1.17) относительно продольных компонент электромагнитного поля; и граничных условий (1.12) и (1.13) для нормальных и; тангенциальных составляющих электромагнитного поля к границе раздела сред
Для решения внутренней краевой задачи электродинамики было разработано: большое количество разнообразных методов, которые делятся; на три большие группы: аналитические, численно-аналитические и численные методы, решения ВКЗЭ[ 12-13]. Основное преимущество аналитических методов: заключается в получении итоговых соотношений в аналитическом виде, в то время как в результате применения численных методов, итоговое решение; как правило, выражается в табличной форме.
До недавнего времени в- электродинамике СВЧ ведущую роль занимали аналитические и. численно- аналитические: методы[14], включая широко распространенный метод эквивалентных схем (МЭС). Но,, по мере усложнения электродинамических структур эти методы оказывались либо неприменимыми, либо не обеспечивающими требуемую точность [15]. Например; применение наиболее: распространенного для простых геометрий метода разделения переменных, при расчете собственных параметров ВСС невозможно из-за сложности задания граничных условий; [16] 1
В основе метода эквивалентных схем лежит представление реальной электродинамической? системы в виде электрической цепи, содержащей сосредоточенные элементы- активные сопротивления, индуктивности? и емкости. В некоторых случаях в эквивалентные схеме вводят элементы с распределенными параметрами. К недостаткам; МЭС можно отнести отсутствие формализованных методов составления» эквивалентных схем и расчета; ее элементов, что в конечном итоге вносит существенную неконтролируемую погрешность в вычисления [15]. Другой недостаток МЭС обусловлен заменой реальной: электродинамической структуры с бесконечным числом; степеней свободы эквивалентной схемой, имеющей конечное число степеней свободы [16]. Такое упрощение реальных электродинамических структур значительно снижает точность получаемых результатов. Преимущество МЭС заключается: в том, что с его помощью можно вывести простые и информативно емкие соотношения,[16-18].
Метод матричных линий основан на моделировании; распространения электромагнитных волн с помощью ячеек ЛИНИИ; передачи (пространственной решетки) с распределенными параметрами [29]. Гибридная TLM- ячейка: определяет шесть компонент поля. Границы, соответствующие электрическим и магнитным стенкам, представляются короткозамкнутыми m разомкнутыми? шунтирующими узлами на соответствующих границах. Наличие магнитных ш диэлектрических материалов может быть смоделировано; за счет подключения короткозамкнутых шлейфов на параллельных узлах. Электрические и магнитные поля заменяются эквивалентными напряжениями и токами? в линиях [30]. В некоторых случаях метод матричных линий передачи можно рассматривать как модификацию метода конечных разностей во временной области (FDTD) [31-36]:
Методы численного анализа сложных электродинамических систем с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением
Применение метода конечных разностей для математического моделирования волноведущих систем позволяет создавать универсальные и эффективные алгоритмы для исследования широко класса СВЧ устройств.
Необходимо отметить, что точность численного дифференцирования не может неограниченно возрастать с уменьшением h, даже если функция известна в любой точке. Дифференцирование включает вычисление разности чисел, которые почти равны при малых интервалах. Вследствие этого влияние ошибок округления может сильно увеличиваться, так что нижний предел h ограничен длиной машинного слова конкретной ЭВМ [15].
Увеличить точность аппроксимации производных можно за счет повышения степени интерполяционного полинома и применения большего числа точек, чем это необходимо для вычисления производной данного порядка. Например, вместо (1.20) вторая производная может быть получена следующим образом [48].
Конечно-разностные аналоги производных могут быть вычислены и на неравномерной сетке. Например, если имеются точки Xo-h, Хо и Xo+ah, где а- действительное число, то выражение для второй производной примет вид [15] Wx = a(l + a)h2 й "(1 + а)у/х« +v/ o+V,0+af] (1-22) что совпадает с (1.20) при, а=1. Таким образом, применение неравномерной сетки позволяет более точно удовлетворить граничным условиям на сложных границах исследуемой области, однако приэтом снижается точность аппроксимации производных.
Заметим, что в случае произвольной области выбор соответствующей ортогональной системы координат представляет достаточно непростую задачу. Введем в рассмотрение неортогональную криволинейную систему координат {,rj). Зависимость декартовых координат х и у от и TJ задаются функциями: = /,( ,77) и у = /2{,т?)-
Подбор соответствующей криволинейной системы координат, заключающийся в определении функций x = fx{ ,rj) и у = /2(,ц), целесообразно осуществлять с помощью параметрического отображения[42].
Сложная фигура в глобальной системе координат (х,у) отображается в простой элемент типа прямоугольника в локальной система координат (,7/)(переход к цилиндрической или эллиптической системе координат тоже является отображением). Смысл параметрического отображения заключается в том, что зависимость между глобальными (х,у) и локальными координатами задается с помощью базисных функций, каждая из которых равна нулю во всех узлах за исклюлением одного: x = xxNx(4,rj)+x2N2{,TJ)+...+xnNn{Z,T]) где Nf- базисная функция точки с координатами ( , у), принимающая значение 1 только в точке (х у}) и равная 0 во всех остальных точках.
Решения уравнения (1.17) должны удовлетворять граничным условиям (1.13), которые в случае продольной формулировки относительно Ег приводят к граничному условию Дирихле, а для Н2 к условию Неймана. Условия Дирихле можно выполнить за счет введения неравномерного шага сетки для граничных узлов. Обеспечить граничное условие Неймана сложнее, для этого требуется применение специальных процедур. Граничное условие Неймана уЧ/л = 0/ является условием зеркальной симметрии электромагнитного поля относительно границы области D. Для его реализации удобно применять «фиктивные» узлы [15]. В случае ортогональных систем координат условие зеркальной симметрии легко выполнимо, поскольку аппроксимация производных конечными разностями происходит в направлении, перпендикулярном границе области.
Гельмгольца относительно продольной составляющей вектора напряженности магнитного поля в конечных разностях для узлов 1 и 2 должно быть записано с учетом (1.43). Условие (1.43) достаточно ввести в уравнения только для одного узла, например, 2.
При записи конечно-разностного уравнения для узла 2 необходимо обеспечить, чтобы первая производная в направлении первого узла была в г: раз больше, чем в направлении узла 3. Для узла 1: Здесь А- сильно разреженная матрица, ее размер зависит от числа узлов сетки и равен его квадрату, Л- собственные значения ВКЗЭ, матрица В имеет размерность матрицы А, Х- вектор-столбец узловых значений искомой функции. Таким образом, искомая краевая задача сводится к проблеме нахождения собственных значений Л и собственных функций (структуры ЭМГ поля) , для решения которой в настоящее время существуют высокоэффективные точные методы[50-52], что позволяет решать ВКЗЭ достаточно высокого уровня сложности Среди современных методов вычислительной математики, применяемых в настоящее время для определения собственных электродинамических параметров и моделирования полей в волноводных и резонаторных системах МКЭ занимает одно из самых ведущих мест. Из теории МКЭ [53-55] известно, что формулировка данного метода может быть как вариационного; так и проекционного типа. В основе вариационного подхода лежит минимизация некоторого функционала, являющегося эквивалентной вариационной постановкой задачи, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.
Тестирование алгоритма и программы расчета собственных электродинамических параметров волноводных и резонаторных структур на МКР и МКЭ
Первый этап тестирования двумерного алгоритма? на МКР заключался в; расчете критических волновых чисел подковообразного волновода (ПОВ) (рис. 15,а). ПОВ состоит из двух простых областей- центральной и боковой. Осуществить точную аппроксимацию границ этих двух областей с помощью МКР достаточно легко, поскольку для каждой из этих областей можно определить ортогональную систему координат, для центральной полярную, боковой -декартову, и следовательно, условие зеркальной - \ симметрии вполне осуществимо. Самым трудным этапом в расчете
ПОВ по областям является стыковка между областями, поскольку для узлов на границе областей приходится: применять неравномерную; сетку, а это снижает точность аппроксимации-производных в конечноразностном; уравнении. МКЭ свободен от таких недостатков, поэтому расчет ПОВ МКЭ обеспечивает большую точность, чем расчет МКР: Если; же расчет центральной и боковой областей осуществлять МКР, а МКЭ использовать только на границе областей, вместо применения неравномерной сетки, то стыковка между областями не будет вносить погрешность в Рис.20. 1-основной, 2 и 3-первый и второй высшие типы волн, кружочками обозначены значения, рассчитанные в [76]. Первый этап тестирования программы расчета собственных колебаний резонаторов заключался в определении резонансных волновых чисел резонатора, изображенного на рис.21,а при а = 1,6 = 0.5, с = 0.75,7 = 0.2, J = 0.1. В силу симметрии электромагнитного поля область исследования была уменьшена до четверти резонатора, поэтому для получения последовательного ряда наименьших резонансных волновых чисел расчет велся для четырех групп, граничных условий на плоскостях симметрии.
Поскольку рассматриваемая область является: прямоугольной; то были выбраны векторные конечные элементы типа гексаэдр (рис.11,а) и тетраэдр первого порядка (рис.11,6). Результаты расчета представлены в таб.2.4. Конечно-элементная сетка для элементов выбранного типа состояла из: 864 гексаэдров и 4608 тетраэдров на; четверть резонатора (рис.21,6).
Расчет резонансных волновых чисел прямоугольного резонатора с прямоугольной диэлектрической вставкой в центре резонатора(г/с = 0.15, м/с = 0.25, s/c = 0.175, 6/с = 0.3, а/с = 0.4, є = \6) (рис.22) велся тремя типами векторных элементов (рис.11), причем расчет элементами типа тетраэдр (рис.11,б-в) производился на двух вариантах конечно-элементной сетки-Ktetr 0.33и Ktetr»0.65.
Результаты расчета, приведенные в таб.2.6 показывают, что если вычислительные ресурсы ЭВМ для данной задачи позволяют работать с элементами тетраэдрического типа второго порядка, то выбор между элементами первого и второго- порядка должен, быть сделан- в пользу элементов второго порядка; поскольку они менее критичны к качеству конечно-элементной сетки К позволяют получать более точные, решения при меньшем? количестве элементов разбиения:
Следующий этап тестирования; включал в себя моделирование областей с криволинейными границами. В качестве первого примера был выбран пустой цилиндрический резонатор (рис.23 ,а) (А = /г = 1). Анализировалась четвертая часть цилиндра; Резонансное волновое число основного колебания было рассчитано в рамках трех приближений; В первом приближении исследуемая область покрывалась» сеткой, состоящей; из 48 тетраэдров, полученное нормированное волновое число # = 2.4515. Второй вариант конечно-элементной сетки (384тетр:) дал значение &Д = 2.4184. Последний вариант включал в себя 3076 тетраэдров и обеспечил лучшее
При расчете собственных колебаний резонаторов с частичным заполнением материалом, имеющим, криволинейные границы, особое внимание должно быть уделено точности учета криволинейных границ материала. Это связано с недопустимостью пересечения ребер тетраэдра границы раздела сред. В; некоторых случаях ввиду больших требований к плотности конечно-элементной сетки, приходится переходить к векторным элементам первого порядка (рис. 11,6), которые позволяют значительно сэкономить память ЭВМ, особенно это касается материалов с комплексным значением относительно диэлектрической проницаемости, поскольку в этом случае порядок матриц, образующих задачу на собственное значение, удваивается.
Первые пять наименьших резонансных волновых чисел цилиндрического резонатора с частичным заполнением диэлектрическим материалом (рис.23,б) были рассчитаны с привлечением разработанного в данной работе алгоритма на методе конечных элементов и программы FEMLAB. В силу симметрии ЭМГ поля рассматривалась одна четвертая часть резонатора при трех группах граничных условий для расчета всех имеющихся колебаний. Сначала рассматривался материал с действительным значением относительной диэлектрической проницаемости є = 16. Расчет проводился одновременно с применением элементов первого и второго порядков.
Дисперсионные свойства собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля квазистационарных ВСС цилиндрической формы с произвольным поглощающим заполнением
Как уже было отмечено в п.3.1, структура электромагнитного поля в волноведущих структурах с частичным заполнением диэлектрическим или поглощающим материалом может существенно изменяться в зависимости от коэффициента замедления электромагнитной волны Рс/со, что может привести к неравномерности электрического поля в объеме материала, а следовательно, к неравномерной плотности тепловых источников в нагреваемом материале. Так, в работе [96]} показано, что в произвольных волноводных структурах с частичным диэлектрическим заполнением структура электромагнитного» поля существенно зависит от режима распространения электромагнитных волн, что оказывает определяющее влияние на распределение удельной плотности тепловых источников, в объеме нагреваемого материала; В связи с этим, для проведения исследований изменения структуры электромагнитного поля при различных значениях коэффициента; замедления fic/co необходимо определение дисперсионных характеристик собственных электродинамических параметров волноводов с частичным диэлектрическим или поглощающим заполнением. Основная сложность проведения такого анализа МКР и МКЭ [56,65] заключается в присутствие ложных решений, вызванных некорректным моделированием краевых условий на границах раздела сред и сложных участках волноводов(ребра). На рис.47 представлена структура электрического поля в поперечном сечении П- волновода в области медленных волн, на которой хорошо видны пики; вектора напряженности электрического поля; на границе раздела сред. Это явление обусловлено невыполнением краевых условий для векторов напряженности электрического и магнитного полей на границе раздела сред, что и приводит к возникновению ложных;решений. В связи с этим, в данной работе исследование дисперсионных характеристик собственных электродинамических параметров и структуры электромагнитного поля; ВСС с частичным; заполнением диэлектрическим или поглощающим материалом проводилось МКЭ с применением векторных базисных функций, которые позволяют предотвратить возникновение ложных решений за счет точного моделирования;нуль-пространства вихревого оператора [45,97].
На рис.48-51 представлены дисперсионные характеристики собственных электродинамических параметров секторного (СВ) и якорного (ЯВ) волноводов при различном заполнении поглощающим материалом. Основной особенностью дисперсионных характеристик волноводов с заполнением материалом, имеющим комплексное значение относительной диэлектрической проницаемости, является то; что кривые рс1 в(Л/К) не пересекаются с прямой рс/т = 0. Поэтому при. заполнении волновода поглощающим материалом запредельный режим характеризуется5 большим затуханием (аеДу-»оо) при асимптотическом приближении коэффициента замедления /Зс/со к прямой /fc/a = 0[2]. На рис.48-49 изображены дисперсионные характеристики собственных электродинамических параметров СВ и ЯВ при полном заполнении емкостного зазора поглощающим материалом. Особенностью этих графиков является то, что характер зависимости коэффициента замедления от A/R (/к/а(А/К)) аналогичен дисперсионным характеристикам полностью заполненного волновода. Это объясняется тем, что перераспределение электромагнитного поля, выражающееся во втягивании электромагнитного поля в диэлектрик, в данных волноводных структурах не так заметно, как в случае волноводов с частичным заполнением диэлектриком емкостного зазора, поскольку электромагнитное поле волны основного и первого высшего типов сосредоточено в емкостном зазоре ВСС, то есть в поглощающем материале.
Если рассматривать волноводные структуры с частичным заполнением емкостного зазора поглощающим материалом (рис.50-51), то зависимости /k/o)(A/R) и ac/a)(A/R) будут сильно отличаться от дисперсионных характеристик полностью заполненного волновода в области распространения медленных волн, что вызвано эффектом втягивания электромагнитного поля в диэлектрик и. вытеснения из областей, где є-1.
Похожие диссертации на СВЧ-устройства равномерного нагрева диэлектрических материалов на основе квазистационарных волноводных структур
