Содержание к диссертации
Введение
1 Разработка теоретических основ электродинамического анализа систем тонких цилиндрических проводников на основе уравнений фредгольма второго рода 20
1.1 Постановка задачи. Определение граничных условий, на основе которых могут быть получены уравнения второго рода 20
1.2 Теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения второго рода относительно вида граничного условия в случае прямолинейного проводника при осесимметричном возбуждении 25
1.3 Вывод уравнений Фредгольма второго рода для произвольной системы проводников. Условие инвариантности ядра и параметра относительно вида граничного условия 29
1.4 Исследование проблемы существования и единственности решения на основе принципа сжимающих отображений Пикара-Банаха 45
1.5 Исследование ограничения на величину радиуса проводника снизу, обусловленного погрешностью вычисления «малых разностей»... 51
1.6 Ограничение на величину радиуса проводника сверху, обусловленное ошибкой осевого приближения. Модификация ядра уравнения с учетом ошибки осевого приближения 57
1.7 Выводы по разделу 69
2 Разработка теоретических основ электродина мического анализа систем ггроводящих поверхностей на основе уравнений фредгольма 71
2.1 Классификация металлических рассеивателей 71
2.2 Принцип независимой аппроксимации токовой и зарядовой функций. Вариантность выбора искомых величин и граничных условий. 76
2.3 Достаточность двух скалярных граничных условий. Условия корректности задачи . 82
2.4 Вырождение уравнений второго рода в тавтологические равенства в случае незамкнутой поверхности 86
2.5 Электродинамическая модель в виде эквивалентного поверхностного источника. Сведение задачи к системе уравнений Фредгольма относительно эквивалентных источников 91
2.6 Регуляризация системы уравнений Фредгольма первого рода на основе априорного ограничения вариаций искомых функций 102
2.7 Вывод систем уравнений Фредгольма второго рода относительно эквивалентных источников. Исследование ограничения на толщину листа снизу, обусловленного вычислением «малых разностей» 114
2.8 Выводы по разделу 126
3 Разработка методик решения полученных интегральных уравнений и их систем 127
3.1 Общие соображения по выбору системы базисных функций и модели возбуждения. Принцип совместимости базиса и модели возбуж-дения 127
3.2 Исследование базиса частичных областей на предмет получения разреженных матриц в случаях коллинеарных, компланарных и слабо искривленных рассеивателей 136
3.3 Почти ортогональный базис полной области на основе квазипериодических кусочно-синусоидальных функций для случаев симметричных антенн 147
3.4 Методика решения интегральных уравнений для тонких цилиндрических проводников 168
3.5 Методика решения систем интегральных уравнений для проводящих поверхностей 175
3.6 Выводы по разделу 182
4 Разработка алгоритма электродинамического анализа. расчетно-экспериментальные исследования 184
4.1 Разработка алгоритма электродинамического анализа...: 184
4.2 Методика расчета входного импеданса антенны на основе
уравнения баланса энергии 192
4.3 Методики экспериментальных исследований 195
4.4 Сопоставление с известными методами и профессиональными пакетами для электродинамического анализа антенн 197
4.5 Расчетно-экспериментальные исследования антенны Уда-Яги 203
4.6 Расчетно-экспериментальные исследования шунтового вибратора диапазона 300 МГц в составе изделия ГТИВ.464647.080 208
4.7 Расчетно-экспериментальные исследования панельной антенны телевизионного вещания РВДИ.464657.050 210
4.8 Выводы по разделу 213
Заключение 216
Список литературы
- Теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения второго рода относительно вида граничного условия в случае прямолинейного проводника при осесимметричном возбуждении
- Достаточность двух скалярных граничных условий. Условия корректности задачи
- Исследование базиса частичных областей на предмет получения разреженных матриц в случаях коллинеарных, компланарных и слабо искривленных рассеивателей
- Сопоставление с известными методами и профессиональными пакетами для электродинамического анализа антенн
Введение к работе
Интенсивное развитие вычислительной техники создало благоприятные условия для широкого применения методов математической физики при решении прикладных задач в различных областях техники, в том числе в технике антенн. На этом направлении были достигнуты значительные успехи, но одновременно был выявлен и ряд проблем, препятствующих полной реализации потенциальных возможностей данных методов. Справедливость последнего утверждения следует хотя бы из того факта, что как показывает практика, несмотря на заметное сокращение объемов экспериментальных работ по настройке и доводке изделий, в эксплуатации остаются дорогостоящие измерительные приборы, безэховые камеры, испытательные антенные полигоны и другое экспериментальное оборудование [2-4, 14, 17, 18, 58, 107].
Применительно к области антенн к числу основных проблем реализации методов математической физики следует отнести трудности получения устойчивых вычислительных алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, в тех случаях, когда возникают некорректные в смысле Адамара задачи, а также значительные вычислительные затраты, что в свою очередь обусловлено рядом других факторов. В частности, серьезной проблемой остается обеспечение достаточной точности вычисления входного импеданса антенны. Заметим, что степень достаточности может колебаться в достаточно широких пределах. Разумеется, если1 для антенны допустимо качество согласования с коэффициентом стоячей волны напряжения (КСВН), равным 2 и более, то современные методы на основе интегральных уравнений обеспечат достаточную точность; однако в случае более ответственных антенн с КСВН скажем не более 1,1 неизбежно проведение этапа трудоемких и вообще затратных экспериментальных работ [4, 14]. Что касается характеристик излучения в дальней зоне (диаграммы направленности, коэффициент направленного действия и т.д.), то благодаря так называемым стационарным свойствам [31, 51, ПО], при их вычислении решение задачи сходится относительно быстро. Однако здесь возникают проблемы, связанные с учетом условий размещения, которые, как правило, предполагают наличие различного рода металлоконструкций, представляющих собой весьма протяженные рассеиватели как проволочного типа (ферменные опоры), так поверхностного (корпуса судов, летательных аппаратов и т.д.). Все сказанное относится и к задачам расчета ближних полей антенн при решении проблем электромагнитной экологии [4, 67, 92]. И, наконец, необходимо отметить, что пока имелись в виду задачи анализа, тогда как на практике часто речь идет о задачах синтеза, требующих многократного выполнения анализа при соответствующем многократном увеличении объемов вычислительной работы.
Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема дальнейшего развития и повышения эффективности численных методов решения задач электродинамического анализа антенн. Настоящая диссертационная работа направлена на решение этой проблемы в части антенн диапазона ОВЧ и низкочастотной части диапазона УВЧ на основе использования уравнений Фредгольма. Отметим, что выбор частотных диапазонов обусловлен основной тематикой НИОКР, выполняемых в ФГУП Самарский отраслевой НИИ Радио (СОНИИР), где проводилось данное диссертационное исследование.
Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется следующими основными достижениями.
Все многообразие подходов к решению электродинамических задач можно укрупнено разделить на две группы. К первой следует отнести методы, использующие неинтегральные представления поля; это методы, основанные на решении краевых задач для соответствующих дифференциальных уравнений (в том числе при анализе не в частотной, а во временной области), основанные на квазиоптических моделях и т.д. Ко второй группе относятся методы, использующие интегральные (истокообразные [22]) представления поля и предполагающие решение интегрального уравнения или системы интегральных уравнений.
Решение краевых задач для дифференциальных уравнений предполагается в различных вариантах метода конечных элементов, конечно-разностной аппроксимации и т.д. [80, 108, 121, 142]. Подобные подходы эффективны для внутренних электродинамических задач, в случаях же внешних задач (в том числе антенных) они значительно проигрывают интегральным уравнениям с точки зрения потребности в вычислительных ресурсах, так как конечно разностная схема строится в неограниченном пространстве (конечно, она ограничивается введением граничного условия на бесконечности, но все равно ос тается весьма протяженной [31,110]).
Что касается анализа во временной области [142], то здесь возникает дополнительное ограничение области целесообразного применения — излучаемый сигнал должен иметь очень широкий спектр (весьма короткий импульс, или, последовательность импульсов с очень большой скважностью); такие случаи в настоящей. работе не рассматриваются. Это же относится и к интегральным уравнениям во временной области [31].
Методы, основанные на квазиоптических моделях [11, 40, 53, 102], эффективны при анализе поверхностных рассеивателей специальной формы - в тех случаях, когда методы оптики (коэффициенты Френеля и пр.) дают хоро А шее приближение на значительной части поверхности рассеивателя (например, при анализе параболического зеркала). Другими словами, такие методы недостаточно универсальны с точки зрения пространственной формы анализируемого объекта, а между тем такая универсальность требуется в данном случае.
Прежде чем перейти к методам на основе интегральных уравнений, отметим подходы, использующие спектральные представления функции Грина [11,40, 48, 62, 65, 80, 92, 102, 103, 108, 121, 123, 142]. Широкие возможности методов, использующих спектральные представления, оказываются востребованными при наличии плоской границы раздела сред, т.е. в задачах анализа при земных (подземных, подводных и т.п.) антенн, к каковым не относятся рассматриваемые здесь антенны.
Что касается методов, основанных на интегральных уравнениях, то здесь также укрупнено можно выделить два основных направления. К первому относятся методы, основанные на строгой исходной постановке задачи относительно поверхностных источников (ток, заряд) без устранения возникающих при этом особенностей в ядрах интегральных операторов; ко второму - методы на основе постановки задачи относительно эквивалентных (осевых или поверхностных на искусственно вводимых поверхностях) источников, что обеспечивает устранение упомянутых особенностей.
Из числа методов на основе постановки задачи относительно поверхностных источников применительно к задачам анализа проволочных антенн в настоящее время наиболее интенсивно развиваются методы сингулярных интегральных уравнений. При этом обычно используются интегральные уравнения с точными (нефредгольмовскими) ядрами и поверхностными (или кратными) интегралами, которые затем сводятся к сингулярным уравнениям с однократными несобственными интегралами, понимаемыми в смысле главного значения по Коши. Такие методы развиты в трудах А.Л. Бузова, В.А Неганова, И.В. Матвеева, Г.П. Ярового, СИ. Эминова и других ученых [19, 73 - 77, 86, 111, 112, 145, 152]. Они позволяют строить устойчивые вычислительные алгоритмы, однако пока недостаточно универсальны в смысле пространственных форм (уединенный вибратор, квазипериодическая решетка вибраторов и т.п.) и относительно ресурсоемки. Достаточно сказать, что в ядре, как правило, содержится несобственный интеграл с бесконечными пределами, в подынтегральное выражение которого входит цилиндрическая функция.
К числу методов на основе постановки задачи относительно поверхностных источников необходимо отнести также предложенный Л.С. Казанским метод обобщенной эквивалентной цепи и его развитие (М.А. Минкин) применительно к поверхностным рассеивателям [45, 46, 68]. Подобные методы доста точно эффективны, однако они также относительно ресурсоемки вследствие избыточности искомых величин (ток и заряд; последний в методах интегральных уравнений исключается посредством уравнения непрерывности) и предполагают только кусочно-постоянную аппроксимацию решения.
При анализе поверхностных рассеивателей задача, как правило, решается относительно поверхностных источников с использованием векторных интегральных уравнений (относительно двухкомпонентных векторов), эквивалентных системам скалярных уравнений [1, 16, 31, 32, 35 - 37, 55, 82, 87, ПО, 143, 144]. Возникающие при этом трудности, связанные с появлением композиций некоммутируемых операторов - дифференциального и интегрального — преодолеваются либо на основе конечно-разностной аппроксимации производных, либо на основе выбора таких базисов (например, кусочно-постоянного), при которых производные во всех точках наблюдения обращаются в нуль. Все это создает определенные сложности при алгоритмизации задачи и ограничивает возможности по выбору систем базисных функций.
Переходя ко второму направлению, следует сразу же отметить большую группу методов на основе так называемого тонкопроволочного (осевого) приближения с использованием уравнений Фредгольма первого рода, явившихся исторически первыми и получившие наиболее широкое распространение в задачах анализа проволочных антенн. Подобные методы развивались в работах Е. Галлена (Е. Hallen), Р.Ф. Харрингтона (R.F. Harrington), Дж.Х. Ричмонда (J.H. Richmond), Г.З. Айзенберга, Г.А. Клигера, А.В. Рунова и многих других ученых [7, 8, 12, 16, 31, 50, 63, 72, 88, 89, 93, 94, ПО, 114, 117, 122, 129, 131 -133, 135, 137, 139, 140, 148, 149]. Их отличает простота алгоритмизации, сравнительно небольшая потребность в вычислительных ресурсах, универсальность в смысле пространственных форм и т.д. Основной и достаточно серьезный недостаток этих методов, существенным образом ограничивающий их возможности, заключается в некорректности задачи по Адамару, в результате чего возникают довольно сильные ограничения на величину радиуса проводников. Для преодоления отмеченной трудности в рамках тонкопроволочного приближения используется регуляризация. К настоящему времени развиты различные методы регуляризации в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, А.В. Гончарского и многих других ученых. Разработаны методы как в общей постановке [5, 20, 26 - 28, 33, 34, 43, 56, 59 - 61, 69 - 71, 81, 87, 91, 95 - 99, 100, 120], так и применительно к задачам электродинамики различных диапазонов, вплоть до оптического [41, 49, 52 - 54]. Методы на основе общей постановки зачастую оказываются избыточно универсальными и за счет этого неоправданно ресурсоемкими, методы для диапазонов СВЧ и оптического не соответствуют физическому содержанию рассматриваемых здесь задач. Применительно к анализу проволочных антенн развиты проблемно ориентированные методы, учитывающие физическую специфику задачи. В работах А.Л. Бузова, В.В. Юдина и др. [14 - 16, 115, 116] для регуляризации используются уже упоминавшиеся стационарные свойства характеристик излучения в дальней зоне; однако такой подход позволяет рассчитывать входной импеданс только для одного класса антенн - кольцевых решеток при модовых возбуждениях. В.Е. Назаровым, В.А. Яцкевичем, С.Ф. Каршакевичем и др. [50, 72, 118] предложен метод регуляризации, основанный на отображении функции распределения осевого тока в функцию распределения магнитного поля на поверхности проводника; однако этот метод работоспособен все-таки в ограниченном диапазоне радиусов проводников. В связи с этим представляется целесообразным исследование возможностей регуляризации без указанных ограничений.
Весьма значительный вклад в теорию интегральных уравнений антенной электродинамики внесен работами В.А. Фока, Г.Т. Маркова, Е.Н. Васильева, Г.Д. Малушкова и других ученых [21 - 25, 64, 65, 105, 141]. Существенно, что в указанных работах рассматриваются как проволочные, так и поверхностные рассеиватели при различных граничных условиях, и, как правило, с исключением особенностей в ядрах интегральных операторов. Основополагающие вопросы рассматриваются с общих теоретических позиций, в частности, дается обоснование исключения особенности введением вспомогательной поверхности, на которую переносится источник, что аналогично тонко проволочному приближению в случае проволочного рассеивателя. Однако, применительно к проволочным рассеивателям (и иным телам вращения) рассматриваются случаи осе симметричного возбуждения, что не дает возможности непосредственно применить эти методы к анализу антенн сложной конфигурации.
Учитывая практическую направленность данной работы (анализ реальных антенн диапазонов ОВЧ и УВЧ), представляется целесообразным в основу исследований положить методы с исключением особенностей (с переходом к фредгольмовским интегральным операторам), позволяющие строить алгоритмы, универсальные с точки зрения пространственных форм; использовать при этом известные достижения в области тонко проволочного моделирования и анализа поверхностных рассеивателей с исключением особенности.
Переходя к вопросам реализации вычислительных алгоритмов, укажем два основных направления решения проблемы сокращения вычислительных затрат: определение систем базисных и координатных (весовых) функций с учетом априорно известных свойств ожидаемого решения и применение специальных методов вычислительной математики (на основе вейвлет-анализа и пр.), позволяющих получать сильно разреженные матрицы систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Относительно систем базисных и координатных функций имеется достаточно обширная литература [31, 47, 119, 124, 134, 136, 138 - 140, 146, 147, 150]; представляется актуальным исследование возможностей построения базисов, сочетающих достоинства известных систем базисных функций разных типов. Методы на основе вейвлет-анализа и родственные им также интенсивно развиваются [9, 10, 29, 30, 85, 101, 113, 125, 126, 128, 130, 151, 153]. Следует отметить, что они относятся сугубо к области вычислительной математики. Поэтому, с одной стороны, эти методы не вполне соответствуют тематике данной работы, которая посвящена все-таки решению конкретной физической задачи (так что речь может идти лишь о применении известных методов), с другой стороны, игнорирование физической конкретики может привести к плохой аппроксимации и снижению эффективности алгоритма [10]; исследование этой проблемы выходит за рамки данной работы. Представляется целесообразным исследовать возможности получения разреженных матриц за счет «естественных» свойств ядер интегральных операторов и использовать известные достижения в области «технологий» работы с таким матрицами.
Цель работы: разработка теоретических основ и эффективного алгоритма электродинамического анализа антенных систем, содержащих тонкие цилиндрические проводники и проводящие поверхности, на основе уравнений Фредгольма.
Для достижения поставленной цели в настоящей диссертационной работе выполнена следующая программа исследований:
1) разработка теоретических основ электродинамического анализа систем тонких цилиндрических проводников на основе уравнений Фредгольма второго рода;
2) разработка теоретических основ электродинамического анализа систем проводящих поверхностей на основе уравнений Фредгольма;
3) разработка методик решения полученных интегральных уравнений и их систем;
4) разработка алгоритма электродинамического анализа на основе методик решения интегральных уравнений и их систем;
5) расчетно-экспериментальные исследования, проверка работоспособности и оценка эффективности разработанного алгоритма.
Диссертационная работа состоит из введения, 4-х разделов, заключения и списка литературы.
Раздел 1 посвящен разработке теоретических основ электродинамического анализа систем тонких цилиндрических проводников на основе уравнений Фредгольма второго рода. Определены граничные условия, позволяющие получить интегральные уравнения второго рода, - для азимутальной компоненты магнитного поля и радиальной компоненты электрического поля. Сформулирована и доказана теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения относительно вида граничного условия в случае прямолинейного проводника при осе симметричном возбуждении. Применительно к этому случаю получены уравнения Фред-гольма второго рода. Выполнено обобщение уравнений на случай произвольной системы проводников, найдены условия инвариантности ядра и параметра для этого случая. Исследована проблема существования и единственности решения на основе принципа сжимающих отображений Пикара-Банаха, определены соответствующие достаточные условия. Выполнено исследование ограничения на величину радиуса проводника снизу, обусловленного погрешностью вычисления «малых разностей»; показано, что ограничение, хотя и имеется, не является существенным. Рассмотрены вопросы, связанные с ограничением на величину радиуса проводника сверху, обусловленное ошибкой осевого приближения. Предложена и обоснована модификация ядра уравнения с учетом ошибки осевого приближения, предполагающая введение в ядро заранее рассчитанной (табулированной) поправочной функции-множителя. Показано, что, благодаря такой модификации, ограничение на величину радиуса сверху оказывается таким же как в методах на основе сингулярных уравнений.
Раздел 2 посвящен разработке теоретических основ электродинамического анализа систем проводящих поверхностей на основе уравнений Фред-гольма первого и второго рода.
Выполнена классификация металлических рассеивателей; из множества непроволочных рассеивателей выделены классы существенно двумерных, существенно трехмерных рассеивателей и незамкнутых поверхностей. Обосновано применение известного принципа независимой аппроксимации токовой и зарядовой функций, что обусловливает вариантность выбора искомых величин и граничных условий; в результате могут рассматриваться системы уравнений первого рода, второго рода, а также системы смешанного типа. Показана достаточность двух скалярных граничных условий в случае единственности решения системы интегральных уравнений. Определены условия корректности задачи в случае уравнений с фредгольмовскими операторами. Показано, что в случае незамкнутой поверхности любые уравнения второго рода вырождаются в тавтологические равенства; по этой причине признано нецелесообразным рассматривать данный класс рассеивателей в качестве модели. Применительно к существенно двумерному рассеивателю предложена и исследована модель в виде эквивалентного поверхностного источника, позволяющая получить интегральные операторы фредгольмовского типа; выполнено обобщение на случай существенно трехмерного рассеивателя. Предложена методика регуляризации системы уравнений Фредгольма первого рода на основе априорного ограничения вариации искомых функций; показано, что такое ограничение эквивалентно переходу к уравнениям второго рода. Получены и исследованы системы уравнений Фредгольма второго рода в рамках модели на основе эквивалентного поверхностного источника.
Раздел 3 посвящен разработке методик решения полученных интегральных уравнений и их систем.
Сформулирован принцип совместимости базиса и модели возбуждения, найдены соответствующие условия совместимости. Проведено исследование базиса частичных областей на предмет получения разреженных матриц в случаях коллинеарных, компланарных и слабо искривленных рассеивателей. Получены оценки сумм модулей отбрасываемых элементов строки матрицы. Предложен и исследован почти ортогональный базис полной области на основе квазипериодических кусочно-синусоидальных функций, пригодный для решения любых (из числа рассматриваемых) интегральных уравнений относительно токовых функций. Сформулирована и доказана лемма об условиях линейной независимости системы таких функций, исследованы свойства ортогональности. Обосновано использование кусочно-гармонических функций с фактическим волновым числом в качестве порождающих функций. Получена оценка сокращения вычислительных затрат. На этой основе и на основе результатов предыдущих разделов разработаны методики решения интегрального уравнения для системы тонких цилиндрических проводников и системы интегральных уравнений для системы проводящих поверхностей.
Раздел 4 посвящен алгоритмизации разработанных методик, программной реализации алгоритма и расчетно-экспериментальным исследованиям.
Обосновано объединение рассеивателей разных классов в общую расчетную модель с использованием разных систем базисных и координатных функций в пределах разных элементов анализируемого объекта. Рассмотрены вопросы формализации пространственной структуры. В части расчета антенных характеристик предложена методика расчета входных импедансов активных вибраторов на основе уравнения баланса энергии поля; показано, что такой подход позволяет значительно улучшить сходимость. На этой основе выполнена разработка и программная реализация алгоритма электродинамического анализа. С целью проверки работоспособности и оценки эффективности алгоритма выполнены расчетно-экспериментальные исследования различных антенн. Проведено сопоставление разработанного алгоритма с известными методами и профессиональными пакетами (AGAT01, NEC-2D). Выполнен синтез излучающей структуры 5-элементной антенны Уда-Яги, изготовлен и экспериментально исследован ее макет. Выполнены расчетно-экспериментальные исследования шунтового вибратора диапазона 300 МГц, разработанного в рамках ОКР, проводимой ФГУП СОНИИР, и предназначенного для исследования в качестве элемента антенной решетки в составе изделия ГТИВ.464647.080, которое в настоящее время успешно эксплуатируется. Выполнены расчетно-экспериментальные исследования панельной антенны телевизионного вещания РВДИ.464657.050, предоставленной ФГУП СОНИИР для сертификационных испытаний. Все проведенные исследования показали работоспособность и достаточную эффективность разработанного алгоритма. Научная новизна работы заключается в следующем:
1 В рамках разработки теоретических основ электродинамического анализа антенных систем из тонких цилиндрических проводников на основе уравнений Фредгольма второго рода сформулирована и доказана теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения относительно вида граничного условия при осе симметричном возбуждении прямолинейного проводника и получены уравнения для произвольной системы тонких цилиндрических проводников.
2 Получены новые результаты исследования уравнений Фредгольма второго рода для антенных систем из тонких цилиндрических проводников, включая нахождение достаточных условий существования и единственности решения, определение ограничений на величину радиуса проводника, обусловленных вычислением «малых разностей», и обоснование модификации ядра уравнения с учетом ошибки осевого приближения.
3 В рамках разработки теоретических основ электродинамического анализа антенных систем, содержащих поверхностные рассеиватели, на основе уравнений Фредгольма проведена классификация рассеивателей, выполнен анализ основных свойств уравнений, обоснована электродинамическая модель в виде эквивалентного поверхностного источника.
4 Предложена методика регуляризации уравнений Фредгольма первого рода и их систем в задачах антенной электродинамики на основе априорного ограничения вариаций искомой токовой функции.
5 Получены системы уравнений Фредгольма второго рода относительно эквивалентных поверхностных источников, проведено их исследование на предмет ограничения, обусловленного вычислением «малых разностей».
6 Разработаны методики решения полученных уравнений Фредгольма второго рода; исследованы свойства базисов частичных областей на предмет получения разреженных матриц; предложен и исследован почти ортогональный базис на основе квазипериодических кусочно-синусоидальных функций. 7 Разработана методика расчета входных импедансов вибраторов на основе уравнения баланса энергии поля.
Практическая ценность результатов работы заключается в следующем:
1 Разработанные теоретические основы электродинамического анализа существенно расширяют возможности по созданию эффективных алгоритмов; в частности, обеспечивается сочетание достоинств различных методов, практически снимаются ограничения на величину радиусов проводников, обеспечивается учет толщины поверхностных рассеивателей без увеличения размеров области определения искомых функций, обеспечивается возможность простой в алгоритмизации и практически не требующей дополнительных вычислительных затрат регуляризации уравнений первого рода и их систем.
2 Результаты работы в части численного решения полученных уравнений и их систем обеспечивают повышение эффективности вычислительных алгоритмов в смысле улучшения соотношения вычислительных затрат и точности получаемого решения.
Реализация результатов работы.
Результаты диссертационного исследования использованы при выполнении работ в интересах управления научно-технического обеспечения службы специальной связи и информации Федеральной службы охраны Российской Федерации и специального оперативно-технического управления Генерального штаба Вооруженных Сил Российской Федерации.
Разработанные в диссертации теоретические основы, полученные и исследованные интегральные уравнения и системы интегральных уравнений, методики их решения и алгоритм электродинамического анализа использованы при разработке ФГУП СОНИИР в рамках ОКР «Плоскость» изделий (антенно-фидерных устройств) ГТИВ.464657.027, ГТИВ.464657.028, ГТИВ.464651.032, ГТИВ.464651.034, ГТИВ.464651.027; при расчетах излучающих элементов и антенных решеток на их основе в составе разработанных ФГУП СОНИИР для размещения на Останкинской телебашне изделий специальной радиосвязи ГТИВ.464647.090, ГТИВ.464647.091, ГТИВ.464647.080, ГТИВ.464647.088; при проведении электродинамических расчетов в рамках НИР «Антенна», выполненной ФГУП СОНИИР.
Использование результатов диссертационной работы при создании указанных изделий позволило реализовать заданные тактико-технические характеристики при существенном сокращении объемов работ, связанных с экспериментальной доводкой, а также обеспечило решение ряда сложных проблем теоретического характера в рамках НИР «Антенна».
Основные положения, выносимые на защиту:
1 Формулировка и доказательство теоремы об инвариантности ядра и параметра уравнения относительно вида граничного условия при осе симметричном возбуждении прямолинейного проводника.
2 Уравнения Фредгольма второго рода для произвольной антенной системы из тонких цилиндрических проводников.
3 Результаты исследования уравнений Фредгольма второго рода для антенных систем из тонких цилиндрических проводников, включая нахождение достаточных условий существования и единственности решения, определение ограничений на величину радиуса проводника, модификацию ядра уравнения для системы тонких цилиндрических проводников с учетом ошибки осевого приближения.
4 Электродинамическая модель поверхностного рассеивателя в виде эквивалентного поверхностного источника, позволяющая получить интегральные операторы фредгольмовского типа; системы уравнений .Фредгольма второго рода, полученные в рамках данной модели.
5 Методика регуляризации уравнений Фредгольма первого рода и их систем в задачах антенной электродинамики на основе априорного ограничения вариаций искомой токовой функции.
6 Результаты исследований свойств базисов частичных областей при решении уравнений Фредгольма второго рода для антенных систем.
Обоснование и исследование почти ортогонального базиса на основе квазипериодических кусочно-синусоидальных функций для решения уравнений Фредгольма второго рода для антенных систем.
8 Методика расчета входных импедансов вибраторов на основе уравнения баланса энергии поля.
Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на IX - XII Российских научных конференциях ПГАТИ (г. Самара, 2002 - 2005 гг.), на V международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи» (г. Владимир, 2003 г.), II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2003 г.), X международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж, 2004 г.), V международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (г. Самара, 2004 г.).
По тематике диссертационных исследований автором (лично и в соавторстве) опубликовано 24 печатных труда.
Основные научные и прикладные результаты диссертационной работы опубликованы в 15 научных статьях в периодической научной печати и 9 публикациях в форме тезисов докладов.
Теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения второго рода относительно вида граничного условия в случае прямолинейного проводника при осесимметричном возбуждении
Инвариантность ядра и параметра уравнения Фредгольма второго рода для линейного вибратора относительно вида граничного условия устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функция распределения осевого тока j{z) удовлетворяет уравнению (1.6) для линейного вибратора при осесимметричном возбуж дении. Тогда, если выполняются условия = , dz dz j{z{) = j(z2) = 0, и если ядро K(z,z ) — ограниченная функция, то функция распределения осевого заряда p(z) удовлетворяет уравнению (1.5), причем M(z,z ) K(z,z4 у,зу. Доказательство. Для доказательства воспользуемся уравнением непрерывности, которое для линейных тока и заряда имеет вид [78]: - = -mp{z), (1.7) dz где / - мнимая единица; со - круговая частота. Вычисляя первообразные от обеих частей (1.7), имеем: j(z) = -i(ujp(z)dz. (1.8)
Продифференцируем уравнение (1.6) по z с учетом (1.7), (1.8). В результате получаем уравнение относительно функции р(г):
Для доказательства используем 1-е уравнение Максвелла для комплексных амплитуд rot// = ms0E, причем, коль скоро в (1.8) фигурирует радиальная компонента вектора Ё, приравняем радиальные компоненты в этом уравнении. Вычисляя ротор в цилиндрических координатах (в системе, связанной с вибратором) и учитывая только радиальную его компоненту, из уравнения Максвелла получаем следующее равенство: і а# єні = ш є0г, (1.15) а Эф dz где Hz - продольная z-компонента стороннего магнитного поля; ф - азимут в цилиндрической системе, связанной с вибратором. Но по условию теоремы, возбуждение является осесимметричным; следо энх п вательно, все азимутальные зависимости отсутствуют, т.е. = 0, и равенст во (1.15) переходит (1.14). Из этого непосредственно следует справедливость равенства (1.13), с учетом которого уравнение (1.12) окончательно можно записать в виде: p(z)-yJK(z,z )p(z )dz = g(z). (1.16) z\ Таким образом, если функция j{z) удовлетворяет уравнению (1.6), то функция p(z) удовлетворяет уравнению (1.16). Но последнее переходит в уравнение (1.5) при M{z,z ) = K(z,z ) и у = у (это видно из непосредственного сравнения (1.16) и (1.5)). Следовательно, функция p(z) является решением уравнения (1.5), причем M(z, z ) = K(z, z ) и yl = у. Теорема доказана. В связи с проведенным доказательством сделаем некоторые замечания. dK(z,z ) 8K(z,z )
Во-первых, следует отметить, что условие = , исполь dz dz зованное при доказательстве, выполняется во всех задачах электродинамики. В самом деле, структура ядра фактически определяется функцией Грина задачи, которая, как известно, есть функция расстояния R от точки источника до точки наблюдения: G(z,z ) = G(R(z,z j). При этом само ядро может рассматриваться также как сложная функция: K{z,zx) = K(R{z,z )) [ПО]. НО для расстоя » л 8R 8R ния R как функции от аппликат, очевидно, справедливо равенство:— = . dz dz Тогда для производных по аппликатам ядра имеем: 8K(z,z ) 8K(R) 8R(z,z ) 8K(R)( 8R(z,z )} 8K{z,z ) (1.17) 8zy dz 8R 8z 8R \ 8zx j т.е. условие теоремы выполняется.
Во-вторых, другое условие теоремы j{z{) = y(z2)= 0 также, как правило, принимается в задачах анализа проволочных антенн, в том числе и на основе строгой постановки относительно поверхностных источников [ПО]. Фактически оно означает допущение отсутствие «затекания» тока на торец вибратора, что близко к физической реальности при электрически малых радиусах.
Наконец, ограниченность ядра очевидным образом следует из постановки задачи в тонкопроволочном приближении, когда точка источника находится на оси проводника, а точка наблюдения - на его поверхности. При этом расстояние между этими точками не может быть равно нулю, откуда следует ограниченность функции Грина, а значит и ядра.
Таким образом, все условия, использованные при доказательстве, выполняются в задачах антенной электродинамики.
Доказанная теорема об инвариантности ядра и параметра уравнения относительно вида граничного условия расширяет свободу действия исследователя, предоставляя возможность выбора в конкретных задачах граничного условия того или иного вида, «не заботясь» о сохранении существенных свойств интегрального уравнения как математического объекта. Прежде всего, это относится к отличию параметра от любого из характеристических чисел ядра (условие единственности решения), достаточной «удаленности» параметра от каждого из характеристических чисел (условие устойчивости вычислительного алгоритма) и т.д.
Достаточность двух скалярных граничных условий. Условия корректности задачи
Выясним, является ли достаточным требование выполнения граничных условий только для двух скалярных функций поля - двух компонент электрического или магнитного поля (либо одной компоненты электрического и другой компоненты магнитного). Здесь следует отметить, что при выборе граничных условий для тангенциальных компонент электрического поля, коль скоро их величины задаются 1-й формулой (2.2), т.е. априорно фиксируются, для обоснования достаточности двух скалярных граничных условий можно воспользоваться известным из электродинамики фактом [78]: решение электродинамической задачи единственно, если на замкнутой поверхности S задана тангенциальная составляющая (вектор) поля (электрического, или магнитного, либо на части S - первого, на другой части S - второго). Единственность решения означает, что только оно может быть истинным. Однако при выборе иных граничных условий такой способ обоснования уже не подходит, так как при этом возникают либо нормальные компоненты поля, либо тангенциальные, но связанные по 2-й формуле (2.2) с априорно неизвестной величиной источника.
Между тем можно рассуждать иначе, отправляясь не от физических, а математических соображений. Будем пока рассматривать систему (2.3) исключительно как математический объект, абстрагируясь от физического содержания задачи. Тогда можно исследовать проблему единственности решения сугубо математическими средствами. Предположим, что удалось доказать единственность решения. При этом допустим, что выполнение двух скалярных граничных условий недостаточно, т.е. найденному решению ps\ У , 7Л (уже как объекту электродинамики) отвечает поле Ё , Н\ которое удовлетворяет двум заданным условиям, но не удовлетворяет хотя бы одному условию из оставшихся. Такое решение неверно, и, очевидно, должно существовать другое, истинное решение р5, Д, j , которому отвечает поле Ё,Н, удовлетворяю щее всем граничным условиям. Так как хотя бы одному условию не удовлетворяет поле Е\ Н ,в то время как ему удовлетворяет поле Е, Н, то ЕФЕ\ Н Ф Н\ Но коль скоро уравнения системы (2.3) строго соответствуют уравнениям Максвелла, которым, очевидно, должно удовлетворять истинное решение, функции ps, ji, j должны быть решениями этой системы. Тогда в силу сделанного предположения о единственности решения системы: Ps=Ps j\ =j\ , j =Лі - Последнее означает, что один и тот же источник создает два разных поля, чего быть не может как по физическим соображениям, так и по причине однозначности отображений, осуществляемых соответствующими интегральными операторами [26,110].
Таким образом, если решение системы (2.3) единственно, выполнение двух скалярных граничных условий гарантирует выполнение всех граничных условий. Это утверждение переводит проблему в математическую плоскость, -для выяснения состоятельности модели теперь требуется устанавливать единственность решения системы интегральных уравнений. Решение этой проблемы в целом выходит за рамки проблематики настоящей диссертационной работы. Однако применительно к важному частному случаю - системе второго рода с операторами фредгольмовского типа — можно в значительной мере продвинуться в этом вопросе с привлечением результатов классической теории уравнений Фредгольма второго рода, обобщенной на системы таких уравнений [56].
Введением двухкомпонентных векторов [Fn ,Fn j, [fk ,fk ) систему (2.3) несложно перевести в векторное уравнение Фредгольма второго рода, каноническая форма которого предполагает одинаковый параметр у всех интегральных операторов во всех уравнениях и единичные множители при аддитивных членах всех уравнений. Применительно к данному случаю каноническая форма обеспечивается, скажем, умножением 1-го уравнения (2.3) на pf1, 2-го - на р2 и введением этих множителей под знаки соответствующих интегралов. Доказано [26, 56], что для подобных векторных уравнений Фредгольма (а также в случае наличия слабых особенностей) справедливы все теоремы Фредгольма классической теории. Другими словами, имеет место соответствующим образом альтернатива Фредгольма (формулировка для данного случая): либо система (2.3) имеет единственное решение, либо соответствующая однородная система имеет нетривиальные решения.
Проверка отсутствия нетривиальных решений системы (2.3) при Fn = 0, Fn = 0 требует привлечения методов соответствующей спектральной теории, что также выходит за рамки диссертационной работы. Отметим однако, это с определенной степенью достоверности) может контролироваться в рамках численного эксперимента путем проверки ранга матрицы соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Так, при ранге, меньшем размера матрицы, следует однозначный вывод о наличии нетривиальных решений однородной системы интегральных уравнений, откуда следует, что решение исходной системы (2.3) не является единственным.
Поскольку в дальнейшем предполагается переход к уравнениям Фредгольма, требуется также выяснить, при каких условиях задача является корректно поставленной в смысле Адамара.
Итак, пусть интегральные операторы в системе (2.3) - фредгольмовские. При рх 0, р2 =0 получается система второго рода, эквивалентная векторному уравнению Фредгольма второго рода, и при выполнении условий единственности решения, задача будет корректной. Однако в случае системы первого рода или системы смешанного типа это может быть не так. Причина возможной некорректности заключается в том, что интегральные операторы обладают полной непрерывностью (вполне непрерывные операторы), и необходимо убедиться, распространяется ли это свойство на операторы уравнений, образы при действии которых - правые части (2.3) в целом.
Исследование базиса частичных областей на предмет получения разреженных матриц в случаях коллинеарных, компланарных и слабо искривленных рассеивателей
В задачах электродинамического анализа типичной является ситуация, когда в электродинамическую модель приходится включать несколько антенн в присутствии металлоконструкций. Это вызывает резкое увеличение электрических размеров объекта и актуализирует проблему сокращения вычислительных затрат. В связи с этим интерес представляет выяснение возможности решения данной проблемы за счет разреженности матрицы СЛАУ, что обеспечивается свойствами ядер интегральных операторов при использовании «традиционных» систем базисных и координатных функций.
Из общих соображений следует, что основным фактором разреженности матрицы является вариация ядра интегрального оператора. Степень разреженности матрицы возрастает с уменьшением радиуса проволочного (толщины существенно двумерного - поверхностного [171]) рассеивателя и с увеличением радиуса его кривизны; наилучшими в этом смысле являются случаи колли-неарных проволочных рассеивателей и компланарных поверхностных, достаточно тонких. Понятно также, что реализация рассматриваемого подхода возможна при использовании только базисов частичных областей (с ограниченными носителями базисных функций); координатные функции также должны быть локализованы на ограниченных носителях, в частности, для этой цели вполне подходят 8-функции (метод коллокации).
Имея в виду тонкопроволочный рассеиватель, рассмотрим уравнение (1.26). Элемент СЛАУ есть образ базисной функции при действии оператора уравнения, причем аддитивный член последнего присутствует только в диагональном элементе, что позволяет не учитывать его при оценке быстроты убы- -вания модулей элементов строки матрицы по мере удаления от главной диагонали. Поэтому будем рассматривать только интегральный оператор. Не конкретизирую пока вид базисной функции, оценим быстроту убывания модуля ее образа. При этом, коль скоро рассеиватель прямолинейный, расстояние до точки коллокации будет определяться разницей номеров столбцов диагонального и недиагонального элементов.
В ядре интегрального оператора в (1.26) зафиксируем (z-z1), положив эту величину равной своему минимальному значению. Фазовый множитель опустим, а модуль комплексного числа в квадратных скобках оценим как сумму модулей вещественной и мнимой частей. Базисную функцию оценим ее максимальным значением. В результате после несложных преобразований получаем оценку: аРХ0 max{&(z)} \а2 + („/„ )2 + р"2 где п - модуль разности номеров столбцов элементов строки; Ъ - базисная функция; LQ И /О - соответственно длина носителя и шаг между точками коллокации.
Видно, что при п — оо элементы убывают как 1/л . Аналогичным образом несложно показать, что в случае уравнения первого рода будет более медленное асимптотическое убывание - как \/п.
Для двумерного случая оценку в аналогичной форме можно получить, если ввести двойную нумерацию базисных функций — по 4 и по т. Полагая существенно двумерный рассеиватель плоским, координатную сетку на нем -ортогональной, имеем оценку: аЩЬц max{6(x)} \а2 + (п& )2 + ( /, )2 + (Г2 4п{а2+{П )2+{пц1ц)2Ц «2+( )2+К/л)2 где индексы ф и «rj» указывают на координатную ось, вдоль которой опре-деляется та или иная величина.
Из базисов частичных областей наибольший интерес представляет кусочно-синусоидальный базис, не требующий численного интегрирования при определении образа базисной функций, а в методе коллокации позволяющий вообще обойтись только замкнутыми формулами. В связи с этим в настоящей работе в качестве базиса частичных областей (для тока) использована именно система кусочно-синусоидальных функций и ее двумерный аналог.
Итак, дальнейшие исследования будем проводить применительно к ку сочно-синусоидальному базису. На рис.3.3, 3.4 в качестве примера приведены некоторые результаты численных расчетов - соответственно графики образа кусочно-синусоидальной базисной функции w(x) и абсолютных значений эле ментов строки, нормированных к диагональному элементу. На основании этих ф данных, а также других, аналогичных, расчетов сделано предположение о воз можности усечения матрицы и получения значительного эффекта в смысле сокращения вычислительной работы.
Сопоставление с известными методами и профессиональными пакетами для электродинамического анализа антенн
В рамках настоящей работы проведено сопоставление разработанного алгоритма с некоторыми известными методами электродинамического анализа антенн, а также с профессиональными пакетами, предназначенными для этих же целей.
Сопоставление с известными методами проводилось путем их программной реализации по описаниям в соответствующей литературе, с проведением затем электродинамических расчетов. При этом рассматривались методы: - описанный в [31] (Г.А. Тил) метод уравнения Поклингтона при косину-соидальном базисе; - описанный в [ПО] (В.В. Юдин) метод уравнения Харрингтона при кусочно-синусоидальном базисе; отметим, что данный метод программно реализован в пакете WAVE0, предназначенном для внутреннего применения в ФГУП СОНИИР (расчеты проводились с его использованием); - описанный в [111] (СИ. Эминов) метод сингулярного уравнения. Отметим, что уравнения Поклингтноа и Харрингтона относятся к классу уравнений Фредгольма первого рода.
Что касается профессиональных пакетов, то при сопоставлении рассматривались два программных продукта - AGAT01 [72] и NEC-2D [122], являющиеся наиболее близкими аналогами по отношению к разработанному алгоритму (с точки зрения проблемной ориентации и предоставляемых пользователю возможностей). В пакете AG АТО 1 реализован метод уравнения Поклингтона при кусочно-постоянном базисе; в качестве координатных использованы 8-функции. В пакете NEC-2D также используется уравнение Фредгольма пер 197 вого рода, но предусмотрены меры по регуляризации - режим «Extended Thin Wire Kernel» (режим без регуляризации - «Thin Wire Kernel»). Для решения уравнения используется метод моментов при базисе частичных областей с использованием трех базисных функций на общем носителе - постоянной, косинуса и синуса.
Проведенные исследования полностью подтвердили состоятельность сделанных ранее предположений о возможности повышения эффективности за счет сочетания полезных свойств различных подходов: на основе тонкопроволочного приближения (универсальность, малые вычислительные затраты и т.д.), с одной стороны, и на основе решения задачи относительно поверхностных источников (корректность задачи, ослабление ограничений на поперечные размеры проводников и т.д.), с другой. Ниже в качестве примера приводятся некоторые результаты проведенных исследований.
На рис.4.3 приведены графики, иллюстрирующие сходимость значений составляющих входного импеданса полуволнового вибратора (радиус 0,005 X, длина зазора 0,02 X), рассчитанных с помощью метода Тила (уравнение По-клингтона, косинусоидальный базис) и разработанного алгоритма с использованием ККФ-базиса (при различном параметре М). Видно, что при М= 7 приемлемая с точки зрения достаточной точности инженерных расчетов сходимость у обоих методов достигается уже при N = 31.. .35 (число базисных функций 16...18 с учетом того, что используются только нечетные гармоники). Таким образом, разработанный алгоритм обеспечивает примерно такую же сходимость. В то же время, как показало хронометрирование, он требует значительно меньшего времени счета - при N = 35 потребовалось 1,5 с; тогда как при использовании метода Тила - 2,7 с (т.е. примерно 1,8-кратное сокращение времени). Разумеется, абсолютная разница времени в данном примере невелика, однако при исследовании значительно более протяженных структур, да еще в том случае, когда анализ выполняется в рамках оптимизационной задачи синтеза антенны, разница может оказаться весьма существенной.
Как показали расчеты применительно к 20-элементной решетке аналогичных вибраторов, абсолютная разница составила уже более 7 мин. (соответственно 14,1 и 21,5 мин.). Несложно подсчитать, что при выполнении анализа в рамках оптимизационной задачи, скажем, для 50 итераций временная разница превысит 35 мин.
Отметим, что здесь и далее приводятся результаты хронометрирования, полученные с помощью встроенной (Фортран) функции TIMEF при использовании процессора Intel Pentium IV (тактовая частота 3 ГГц) в составе ЭВМ с объемом оперативной памяти 512 Мбайт, частотой системной шины 800 МГц, операционной системой Windows ХР Professional. Сопоставление с методом уравнения Харрингтнона (пакет WAVE0) показало, что при использовании в рамках разработанного алгоритма кусочно-синусоидального базиса основные качественные показатели (сходимость, время счета) являются примерно одинаковыми в случае достаточно тонких проводников с радиусом не более (0,005...0,007) X . Использование ККФ-базиса в случае симметричной антенны при симметричном возбуждении позволяет значительно улучшить сходимость, однако затраты времени уменьшаются незначительно (в 1,2... 1,4 раза) из-за увеличения объемов расчетов элементов матрицы. В то же время при радиусах более 0,01 A, WAVE0 вообще не дает возможности получить достоверное решение, поскольку алгоритм теряет устойчивость раньше момента, когда начинает наблюдаться сходимость. Разработанный алгоритм подобных ограничений не имеет.
При сопоставлении с методом Эминова (сингулярное уравнение) рассматривалась задача анализа полуволнового вибратора, параметры которого были приведены выше. При этом установлено следующее. Стабилизация входного импеданса в трех цифрах наступает при 30 базисных функциях в методе Эминова; время счета при этом составляет 2,16 мин
