Содержание к диссертации
Введение
1. Модель гидроакустического источника колебаний с направленным излучением 20
1.1. Поле источника с направленным излучением в неограниченном пространстве 22
1.2. Поле источника с направленным излучением в полупространстве 27
1.2.1. Постановка задачи о направленном источнике в полупространстве 28
1.2.2. Лемма об устранимой особенности для уравнения Гельмгольца 29
1.2.3. Решение задачи о поле направленного источника в полупространстве 35
1.3. Поле источника с направленньм излучением в волноводе 38
1.3.1. Поле направленного излучателя в идеальном волноводе 39
1.3.2. Постановка задачи для направленного источника в однородном неидеальном волноводе 49
1.3.3. Интегральное представление потенциала поля направленного источника в неограниченном пространстве 50
1.3.4. Поле направленного источника в неидеальном волноводе 66
2. Метод оценки мультипольних моментов гидроакустического источника с направленным излучением 73
2.1. Применение метода максимального правдоподобия к оценке мультипольних моментов 75
2.2. Алгоритм оценки мультипольных моментов 90
2.3. Оценка статистических характеристик измеряемого сигнала ,94
3. Моделирование процедуры оценивания мультипольних моментов излучателей 101
3.1. Гидроакустического источника, движущегося в волноводе 102
3.2. Численное моделирование на ЭВМ 119
3.2.1. Влияние схемы размещения приёмников и относительного движения источника на точность оценок 121
3.2.2. Влияние геометрических параметров на точность оценивания 129
3.2.3. Влияние помех на оценки мультипольних моментов 134
3.2.4. Уточнение траверзного расстояния и глубины погружения источника 138
3.3. Результаты полунатурного эксперимента 143
Заключение 152
Литература 153
- Лемма об устранимой особенности для уравнения Гельмгольца
- Интегральное представление потенциала поля направленного источника в неограниченном пространстве
- Применение метода максимального правдоподобия к оценке мультипольних моментов
- Влияние схемы размещения приёмников и относительного движения источника на точность оценок
Лемма об устранимой особенности для уравнения Гельмгольца
Здесь же предлагается метод определения производительности источников посредством измерения потока акустической мощности через замкнутую поверхность. В [84 J рассматриваются мульти-поли, аналогичные [64J расположенные над абсолютно твёрдой плоскостью, а также предлагается метод расчёта звуковой мощности излучателя. Метод сводится к определению звукового поля от источника и его изображения, замене точного выражения для поля асимптотическим для больших расстояний и интегрированием полученного асимптотического выражения для плотности излучаемой энергии по полусфере, опирающейся на плоскость и содержащей внутри себя источник. М.Д.Бронтвейн, Л.Н.Захаров и др. в[85] описывают метод определения объёмной скорости монополя, находящегося в плоском волноводе с неидеальными границами. Метод основан на измерении полного потока акустической мощности через некоторую контрольную поверхность. В статье [86J обсуждается метод определения акустической производительности монополя в плоскопараллельном волноводе вблизи отражающей границы, при этом не требуется знание отражающих свойств второй поверхности, ограничивающей волновод. В [87] теоретически исследуется поле излучения акустического источника,рассматриваемого как система неподвижных точечных сингу-лярностей с периодической интенсивностью и заданной природой мультипольности. Представлены теоретические основы метода вычисления локальной акустической мощности периодического во времени изотропного источника, базирующегося на решении неоднородного волнового уравнения и интегрировании потока энергии вдоль удалённой поверхности с заданными етуктурными свойствами. Этот же автор в [88] развивает метод вычисления выходной мощности сосредоточенных и распределённых источников, не требующий использования асимптотических выражений для дальних полей излучения. Метод основан на применении интегрального соотношения баланса энергии, которое является следствием уравнений акустики. Н.Н.Нефёдов рассматривает направленный источник в случае невыполнения условий свободного пространства [89] и предлагает способ определения характеристик дальнего поля по измерениям в ближнем поле.
В процессе изучения реальных гидроакустических излучателей приходится решать практически важные задачи, связанные с определением местонахождения источника поскольку неточности в знании координат источника могут сильно повлиять на результаты вычислений. Задачи такого характера рассматриваются в [90-99] . Работы [90,91] посвящены пространственно-временной корреляционной обработке шумовых сигналов, выполняемой с целью оценки дальности и направления на источник. В Г9ІJ выполняется оптимальная обработка сигналов локализованного источника широкополосного гауссовс-кого шума с нулевым средним пассивным гидролокатором с линейной антенной гидрофонов, считающихся точечным. Предполагается, что приём сигналов производится на фоне широкополосного гауссова шума, некоррелированного между элементами антенной решётки. Спектры сигнала и помехи считаются известными. Оптимальная обработка выполняется в два этапа: оценивается вектор временных задержек на основании которого осуществляется фазировка антенны, а затем, для оценки дальности и направления формируются взвешенные линейные комбинации от компонент этого вектора. В [923 автор также предлагает использовать времена задержек сигналов, но поступающих от движущегося источника и отраженных от поверности и дна водоёма на единственный приёмник. Обработка информации, полученной таким образом позволяет получить оценки координат, курса и скорости излучателя. В.И.Калинин [93] предлагает способ оценки глубины погружения подводного объекта в условиях рефрагирующей среды. М.И.Карновский и др. [95J описывают принцип расчёта координат тонального источника по экспериментально определённым составляющим колебательной скорости. В [9б] анализируется влияние движения источника звука на оценку его азимута при помощи двух пассивных локаторов. Группа авторов _97j обсуждает разностно-дальномерный метод определения координат локализованного шумового источника. В.И.Телятников в обзоре [98] рассматривает методы и устройства звуколокации, в частности, триангуляционный и раз-ностно-дальномерный способы. Довольно большое число работ [iOO-III1 посвящено изучению влияния движения на формирование поля ненаправленных и направленных источников. Авторы этих работ считают, что движение источника или среды, в которой распространяется сигнал, вносит существенный вклад в общую волновую картину и в итоговую диаграмму направленности, и поэтому должно специальным образом учитываться.
Как видно из приведённого выше краткого обзора работ, посвященных изучению направленности гидроакустических источников, эта проблема в различных её аспектах достаточно хорошо изучена советскими и зарубежными акустиками. Анализ результатов исследований различных авторов, как уже отмечалось ранее, показывает, что направленность излучения оказывает значительное влияние на звуковое поле и, следовательно, оценка направленных свойств звуковых источников является очень важным моментом при решении целого ряда практических задач.
Итак, возникает потребность в разработке таких модельных представлений, алгоритмов и методов оценивания направленных свойств различных излучателей, которые были бы достаточно легко и эффективно реализуемы в практических условиях как в случае неограниченного пространства, так и при наличии поверхностей, отражающих звуковые сигналы. Однако, большинство из применяемых методов и алгоритмов предполагает проведение измерений вдоль замкнутой поверхности, охватывающей изучаемый источник, что, вообще говоря, представляет технически довольно сложную задачу.
В настоящей работе предлагается алгоритм оценивания направленных свойств излучения гидроакустических источников основанный на замене реальных излучателей достаточно произвольной формы и размеров модельным излучателем - эквивалентным точечным источником с направленным излучением, функция влияния которого представлена в виде разложения в ряд по мультиполям. Однако, в отличие от [22-24,64,69 } разложение выполняется по сферическим функциям Бесселя и присоединённым полиномам Лежандра, т.е. в ряд по сферическим мультиполям [l7j . Такое представление позволяет, ограничиваясь в разложении некоторым числом членов, описывать диаграмму направленности конечной системой числовых характеристик -мультипольними моментами.
Интегральное представление потенциала поля направленного источника в неограниченном пространстве
Как показано в первой главе, если известно значение комплексной функции 1 ( (0 0) на поверхности некоторой сферы радиуса Ре , внутри которой находится изучаемый источник звука, то задача об определении мультипольных моментов, описывающих направленность данного источника, решается тривиально. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями (1.3) и (I.I8). Однако, на практике измерить значение амплитуды и фазы (модуля и аргумента) потенциала на поверхности сферы представляет из себя технически сложную задачу. Кроме того, в реальных условиях на приёмники давления воздействуют самые разнообразные шумы. Таким образом, возникает задача: по результатам измерения амплитуды и фазы давления в отдельных точках, не обязательно лежащих на сфере, в условиях, когда принимаемый сигнал содержит различные аддитивные и мультипликативные помехи, а известные геометрические параметры заданы с погрешностями, оценить мультипольные моменты изучаемого источника гидроакустических колебаний.
Для решения поставленной задачи будем предполагать, что в некоторой области жидкого пространства (неограниченной, полубесконечной, волноводе) находится движущийся по заданной траектории источник звука. Кроме того, считаем, что в этой области имеется приёмников давления. Координаты точек, в которых расположены приёмники давления, траектория движения источника и физические характеристики среды, такие как плотность / , скорость звука в среде С , коэффициент отражения дна в случае волновода, будем считать известными. В более общем случае будем считать неизвестными не только мультипольные моменты, определяющие направленность источника, но также и отдельные геометрические параметры, такие как, например, скорость движения источника вдоль траектории, расстояние между источником и приёмниками, глубина его погружения и т.д..Вышеуказанные приёмники давления в течение некоторого отрезка времени будут фиксировать сигнал, излучаемый источником звуковых колебаний. Из этого сигнала выделяется спект ральная составляющая, соответствующая частоте колебаний vl » т.е. вьщеляется монохроматический или достаточно узкополосный сигнал, который на каждом из приёмников может быть представлен в виде. где Jj () - амплитуда сигнала на ( -м приёмнике, у () -фаза сигнала на J -м приёмнике.Измерение сигнала происходит в отдельные, дискретные моменты времени, таким образом будем считать известными отсчёты амплитуды и фазы сигнала на частоте гсг на каждом из приёмников в моменты времени / где /( - количество отсчётов на интервале наблюдения. Вследствие того, что координаты точек отсчётов не могут быть определены точно, и, кроме того, на приёмники давления воздействуют помехи, множество отсчётов будет представлять из себя совокупность пар случайных величин. Отсюда непосредственно следует статистический характер решаемой задачи. А значит, и решать её целесообразнее всего известными статистическими методами. Поставленную задачу удобно решать методом, известным в математической статистике как метод максимального правдоподобия. В настоящем разделе излагается метод максимального правдоподобия [115 - 117J в применении к условиям рассматриваемой задачи. Пусть для случайной величины У" , плотность распределения которой зависит от неизвестного параметра с/ - (У, ) » проведено а, испытаний, в каждом из которых она приняла значения другими словами, имеется выборка объёма - для случайной величины У . Выборка сделана из генеральной совокупности с плотностью распределения. Тогда, если считать испытания независимыми, априорная вероятность получения заданной выборки есть
Функцией правдоподобия называется произведение значений плотности вероятности в точках, соответствующих полученной выборке Согласно принципу максимального правдоподобия наилучшей оценкой для неизвестного параметра о( , от которого зависит плотность вероятности, является такая функция выборки У4 -- Ус/ Для которой функция правдоподобия максимальна
При рассмотрении применения метода максимального правдоподобия к решению поставленной задачи будем предполагать, что ошибки, присутствующие в отсчётах, распределены по нормальному закону. Обоснование нормальности распределения ошибок наблюдения дается в [IJ.7J . К основным соображениям, позволяющим принять нормальный закон распределения для ошибок наблюдения относятся следующие: I) действие большого числа независимых причин с дисперсиями одного порядка, согласно центральной предельной теореме, приводит к нормальному закону распределения; нормальный закон распределения содержит минимум информации по сравнению с любым другим распределением с той же дисперсией, поэтому использование нормального закона, вместо какого-либо другого не приведёт к завышенным оценкам.
Пусть для функции значения которой измеряются в некотором эксперименте, в каждой точке отсчёта известны выборки.То есть для каждой точки наблюдения ОСс- известны измеренные значения
Применение метода максимального правдоподобия к оценке мультипольних моментов
Алгоритм оценки мультипольних моментов, описанный в предыдущей главе, реализован в виде программного комплекса, предназначенного для определения оценок мультипольних моментов гидроакустических источников как в случае имитации источников и излучаемых ими сигналов на ЭВМ, так и в случае обработки сигналов реальных излучателей. Оценки моментов могут быть получены при различных вариантах движения источника в волноводах различных типов. Комплекс состоит из основной программы и более чем из сорока подпрограмм,которые позволяют: - получать в удобной и наглядной форме информацию об исходных сигналах и их статистических характеристиках; - получать оценки мультипольних моментов рассматриваемого источника методом максимального правдоподобия. В тех случаях, когда статистические параметры обрабатываемых сигналов неизвестны, оценивание выполняется по методу наименьших квадратов. Оценки вычисляются по одной или по нескольким реализациям имитационного либо реального сигнала, снятого с группы приёмников давления. Источник при этом может совершать следующие варианты движения: круговое, прямолинейное, прямолинейное с поворотом и возвратом в исходное положение. Областью распространения сигнала может служить: неограниченное пространство, полупространство, идеальный волновод, неидеальный однородный волновод. При вычислении оценок моментов по любому сочетанию вариантов могут быть использованы мгновенные отсчёты давления или его синус - косинус составляющие; - получать корреляционную матрицу оценок и доверительный интер вал для них на 90% доверительном уровне; - рассчитывать теоретические статистические характеристики исходных сигналов, т.е. получать оценки дисперсий и взаимной корреляции составляющих давления во всех точках отсчётов сигнала; - уточнять траверзное расстояние до источника и глубину его погружения по минимуму целевого функционала; - сравнивать исходные сигналы и сигналы, рассчитанные теоретическим путём после вычисления оценок мультипольных моментов; - рассчитывать по полученным оценкам мультипольных моментов объёмную диаграмму направленности источника, приведённую к неограниченному пространству.
В комплексе предусмотрена возможность произвольного разбиения группы используемых приёмников на подгруппу обучающих приёмников, по которым выполняется оценка моментов, и подгруппу контрольных приёмников не используемых в расчётах. Кроме того, в процессе оценивания выполняется автоматическое уравновешивание матрицы системы линейных уравнений, к решению которой сводится процедура вычисления оценок. Такое уравновешивание матрицы улучшает её обусловленность.
Описываемый программный комплекс применялся для проведения ряда численных и полунатурного экспериментов, с помощью которых выявлялись особенности применения предлагаемого метода оценки мультипольных моментов, а также условия, при которых эффективность алгоритма повышается.
Для проведения численных экспериментов в электронно-вычислительной машине вырабатывался имитационный сигнал, получаемый следующим способом.
Заданием некоторых, совершенно произвольных значений параметров \)(/v , у- /-rff фиксировалась конкретная модель источника. Причём, как уже отмечалось выше, в разложении потенциала в ряд по мультиполям (1.24) можно ограничиться только членами до второго порядка включительно, тогда, $ и общее число параметров, определяющих модель источника с направленным излучением равно 18 . Далее, с применением (2.24) вычислялось значение давления в любой точке рассматриваемой области. Таким образом, был получен теоретический, чистый, не содержащий искажений и помех сигнал от идеального модельного излучателя.
В такой идеальный сигнал необходимо было специальным образом ввести искажения, имитирующие помехи, всегда присутствующие в реальном сигнале. Последние могут иметь различную природу. Здесь использовалась модель помехи, обсуждавшаяся во второй главе. В численных экспериментах на ЭВМ для имитации мультипликативных помех к каждой из трёх координат счётной точки, взятой на траектории движения источника, прибавлялись случайные величины. Эти случайные числа представляли из себя мгновенные значения некоторых реализаций стационарных, нормально распределённых, независимых в совокупности случайных функций с задаваемыми математическими ожиданиями и дисперсиями.
Пусть Зїґ/j - векторная функция, описывающая траекторию движения источника. В имитации сигнала эта функция учавствовала в случайным образом искажённом виде
Влияние схемы размещения приёмников и относительного движения источника на точность оценок
Фактором, в наибольшей степени влияющим на точность получаемых оценок и их дисперсию является обусловленность матрицы системы линейных уравнений, к решению которой сводится метод максимального правдоподобия. Очевидно, что для восстановления полной картины направленности источника необходимо получить информацию о звуковом давлении со всевозможных направлений излучения, т.е. измерить давление на всей поверхности сферы, охватывающей источник. Если при этом воспользоваться описанным выше алгоритмом, то тогда матрица системы линейных уравнений примет диагональный вид, так как система функций, по которой выполняется разложение потенциала, ортогональна на сфере. Уменьшение количества информации, происходящее вследствие развертки контрольной поверхности, полученной движением источника, приводит к появлению недиагональных элементов в матрице системы, а также к ухудшению её обусловленности. Такое ухудшение обусловленности, в свою очередь, вызывает резкое снижение точности получаемых оценок мультипольных моментов. Общее количество информации, получаемое системой приёмных элементов, естественным образом зависит от способа, которым осуществляется развёртка контрольной поверхности. Следовательно, выбранный способ движения источника относительно приёмников оказывает существенное влияние на обусловленность матрицы системы.
Вторым по значению фактором, влияющим на величину обусловленности матрицы, является число приёмников давления и схема их расположения. Известно, что при отражении волны давления от некоторой поверхности вблизи этой поверхности возникают узлы и пучности давления. Следовательно, если разместить приёмники в узлах или вблизи узлов, то обусловленность будет плохой. И наоборот, размещая приёмники вблизи пучностей, можно улучшить обусловленность системы. Естественно, что интерференция мультиполей смажет картину узлов и пучностей, и не будет ни строгого нуля давления ни строгого максимума. Тем не менее этот фактор необходимо учитывать при размещении приёмников давления, поскольку наличие узлов и пучностей для отдельных мультипольних составляющих, сказывается на структуре матрицы системы уравнений, и в немалой степени определяет её обусловленность.
Следующий фактор,влияющий на точность получаемых оценок -величина помехи, а точнее, отношение сигнал/шум на приёмниках давления. Влияние помехи очевидно; её полное устранение в условиях реального эксперимента неосуществимо. Однако, можно существенно повысить точность оценивания и снизить дисперсию оценок путём усреднения по нескольким, полученным в одних и тех же условиях, реализациям сигнала. Эти общие теоретические рассуждения иллюстрируются полученными в результате численных экспериментов данными.
Для выявления факторов, влияющих на обусловленность матрицы системы уравнений, была проведена серия экспериментов, в которых помехи отсутствовали. Это позволило выяснить зависимость обусловленности матрицы от выбранного варианта движения источника, от схемы размещения приёмников, их числа, плотности счётных точек на траектории и т.д., в условиях, когда случайный характер помехи не влияет на получаемые результаты.
В большинстве случаев имитировалось движение источника в полупространстве. Модель источника фиксировалась параметрами У/ - t, У -4+ ґ% т Источник двигался на глубине і = 1,25 единиц А А и на траверзном расстоянии d = 1,75 КҐ t что примерно соответствует расстоянию в Л/ и J./4 соответственно. Движение выполнялось параллельно оси ОУ системы координат. Расстояние, проходимое источником - 20 Jf/ я, 3.2 , скорость - 1.2 м/сек. или 0.8x10" С . Приёмники располагались на расстояниях 0.5 //" , 1.0/А , 1.5//" , 2.о//" , Z.b/tr от поверхности водоёма в виде вертикальной цепочки совпадающей с осью 02 (рис. 3.1). Варьировались - плотность счётных точек и число приёмников. Наиболее характерные результаты этой серии сведены в таблицу 3.1.
Обусловленность матрицы системы можно охарактеризовать дисперсией оцениваемых моментов, а также в некоторой степени величиной определителя матрицы. Эти данные и приведены в таблице. Так как оцениваются 18 моментов, то в таблице указаны только максимальная дисперсия, которая соответствует параметрам W и W (мультипольному моменту Ью , или несмешанному, продольному квадруполю, ориентированному вдоль оси Z - / ), и минимальная дисперсия, соответствующая параметрам W и W (мультипольному моменту LJUL ,или смешанному квадруполю пху ).
Анализируя таблицу 3.1, можно прийти к следующим выводам. Во-первых, выбранная схема расположения приёмников и вариант движения источника не применимы для получения оценок моментов, так как дисперсия оценок очень велика. В самом лучшем из рассмотренных случаев - №15, 4 приёмника, 200 счётных точек - максимальная из дисперсий оценок равна 295. При такой дисперсии даже слабый шум, обусловленный конечным числом значащих цифр при вычислениях на ЭВМ, а также ошибками округления, ведёт к недопустимо большому разбросу оценок моментов.Во-вторых, очень велика разница между минимальной и максимальной дисперсиями оценок различных моментов, полученными в одном и том же слзгчае. Это ведёт к вычислению оценок различных моментов с различной степенью точности.
