Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Введение и постановка проблемы 6
I. I. Введение 7
1.2. Описание существующих методов расчета полей (откликов) направленных систем в ОВ 9
1.3. Постановка задачи , 24
Глава 2. Диаграммная функция излучателя 26
2.1. Диаграммная функция 27
2.2. Альтернативное определение диаграммной функции ., 34
2.3. Свойства диаграммных функций 37
2.4. Вычисление диаграммных функций объёмных ж поверхностных излучателей , 40
2.5. Примеры вычисления диаграммных функций для конкретных антенн , 45
2.6. Связь между диаграммной функцией и мощностью излучения источника. 49
Глава 3. Направленные излучение ж прием в регулярных волноводах 53
3.1. Диаграммная функция излучателя и геометрооптическое представление его поля в регулярном волноводе 54
3.2. Направленный излучатель в однородном полупространстве..,58
3.3. Направленный излучатель в регулярном океаническом волноводе 65
4 3.4. Поле нормальных волн направленного излучателя в регулярном волноводе 73
3.5. Поле протяжённого направленного излучателя в произвольном регулярном океаническом волноводе 80
3.6. Альтернативный подход к вычислению поля направленного излучателя в регулярном океаническом волноводе 93
3.7. Совместное направленное излучение и прием в регулярных волноводах 102
3.8. Асимптотическое представление поля направленного излучателя в свободном пространстве произвольной размерности , 113
3.9. Анализ выражений для поля (отклика) при направленном приемоизлучении в регулярных волноводах и их численная проверка 124
Глава 4. Направленное излучение в нерегулярных волноводах 135
4.1, Направленное излучение в слабонерегулярных океанических волноводах 136
4.2, Основные положения теории обратимости дифференциальных (с частными производными) операторов 151
4.3, Применение квазиклассического приближения для представления поля направленного излучателя в неоднородных средах. Неособый случай 165
4.4, Поле направленного излучателя в неоднородных средах. Особый случай 182
4.5, Направленное излучение в нерегулярном океаническом волноводе 191
4.6, Численная проверка полученных результатов
Глава 5. Применение метода диаграммных функций для решения некоторых прикладных задач акустики океана 209
5.1. Применение МДФ для-решения задач рассеяния на неоднородных включениях. 209
5.2. Сценка влияния движения направленного излучателя на характер его поля в регулярном волноводе 230
5.3. Отклик антенны на воздействие щумов моря
5.4. Синтез антенн в регулярных океанических волноводах 242
5.5. Обратная задача направленного излучения в регулярном волноводе 253
5.6. Акустическая калибровка регулярных волноводов... 259
5.7. Задача подвижного управления направленным воздействием в регулярном ОВ 265
Заключение 269
Литература .271
- Альтернативное определение диаграммной функции
- Направленный излучатель в регулярном океаническом волноводе
- Анализ выражений для поля (отклика) при направленном приемоизлучении в регулярных волноводах и их численная проверка
- Поле направленного излучателя в неоднородных средах. Особый случай
Альтернативное определение диаграммной функции
Выше было введено математическое определение диаграммной функции произвольного издучателя с помощью представления его поля в виде преобразования рье вне полосы -20 » Свяжем диаграммную функцию со свойствами самого излучателя. Вновь рассмотрим следующую задачу В однородном свободном пространстве R в финитной области AJ N расположен объемный, либо поверхностный излучатель. Задача о поле U. такого излучателя может быть записана в виде с соответствующими условиями излучения С 2.1.3 ). Здесь j(v объемная плотность источника, определяемая следующим образом в случае объемного источника и Сравнивая С 3 ) с ( 2.ІЛ4 ), С 2ДЛ5 ), получаем / ,— где j-(K ) - следы трехмерного преобразования Фурье объемной плотности источника jCx) при К — Ki , ( - . Итак, имеем для л Определение 2. Диаграммная функция излучателя есть след трехмерного фье-образа функции j- на сфере радиусом К Из выражений ( 3 ), ( 4 ) легко получить выражение для поля в случае, когда геометрический центр антенны смещен из начала координат в точку X = Х0 , т.е. объемная плотность описывается функцией j( Х0) Выражение ( 3 ) с учетом С 4 ) в этом случае приводится к виду В заключение отметим, что в п. 3 8 будет введено определение диаграммной функции в случае пространства произвольной размерности К по аналогии с приведенным как след П -мерного Фурье-образ а функции jLx) на сфере радиусом К . Изучим некоторые свойства диаграммных функций В силу соотношений ( 2.1»16 ) достаточно ограничиться рассмотрением только функций ЙК(к ,Ку) . Однако некоторые свойства и, в частности, свойство роста диаграммной функции на бесконечности удобнее формулировать для функций «I(K KVJ о) I.
Прежде всего из предыдущего изложения следует, что между множеством всех внешних полей Ц в JQ. (т.е» функций U і удовлетворяющих уравнению Гельмгольца ( 2.1.2 ) в Лі; и условиям излучения С 2.1.3 )) и отвечающих им диаграммных функций lO jKy) существует взаимно однозначное соответствие. 2» Существует связь ( 2.2,4 ) между диаграммными функциями и следами трехмерных Фурье-образов функции объемной плотности излучателя (объемного либо поверхностного). 3. Важным свойством диаграммных функций $C(KVJ KV) , так же как и функций С 2.1.16 ) при любом Х0в К является их бесконечная дифференцируемость по переменным Кк t Ку . Указан ное свойство очевидным образом вытекает из бесконечной дифферен цируемо сти функций d и У і по Ky;Kv и представлений С 2.1.12 ), ( 2.1.13 ). 4, Из ( 2.1.8 ), С 2.1.II ), ( 2.1.16 ) имеем далее при лю бом 2 4 , что Положим Н = .( — , где Е - сколь угодно малое число, Тогда из равенства С I ) приходим к оценке Аналогичным образом показывается, что Формулы С 2 ), С 3 ) означают с учетом условия ( 2 1.10 ), что диаграммные функции ЭД СК , , Хв) растут на бесконечное 2, 2. ти, т.е. при К + К у —" не быстрее экспоненты а величина \Г , имеющая смысл показателя степени роста диаграммной функции OJ I , определяется формулой В частном случае, когда так что точка Х0 лежит в середине слоя -Л.2.0 , показатели G j и (Г совпадают и равны половине высоты п слоя О о . При указанном выборе 20 можно говорить о единой степени роста диаграммных функций Мі(кК/ къ, X ) . пока-затель которых 0 = п/2 зависит только от вертикального размера излучателя и стремится к нулю при .
Важно отметить, что свойства ( 2 ), ( 3 ) обеспечивают равномерную сходимость несобственных интегралов в ( 2.1.17 ), ( 2.1.18 ), причем указанная сходимость является равномерной в полупространствах С2 - и Z :Z. + . соответственно, 5, Важным является свойство аналитичности диаграммной функции &1 при условии, что ее можно распространить на некоторую область комплексных значений К t к у , Указанное свойство можно вывести иэ общих теорем L 65, 66 , связывающих аналитичность преобразования фурье со свойством убывания подынтегральной функции на бесконечности Одна из таких теорем, приведенная в _66, с. 28J гарантирует возможность продолжения диаграммной функции oUt Ufky , Kg) в виде аналитической функции двух комплексных переменных Кк ; KJI на "полоску" причем ширина этой полосы определяется мнимой частью К волнового числа К и стремится к нулю при К — 0 . Важно отметить, что оценки С 2 ), ( 3 ) для диаграммных функций остаются справедливыми при и любых фиксированных значениях -Llm К и-LHo Ку , для которых С К } к.у ) П. Замечание. Приведенные выше результаты о существовании диаграммных функций аи и их свойствах справедливы при выполнении условий ( 2,1.4 ). В случае, когда Хт К-0 , поле убывает на бесконечности, вообще говоря, лишь с первым порядком» Поэтому несобственные интегралы, стоящие в правых частях формул ( 2,1.12 ) и С 2.1.13 ) могут расходиться. Это означает, что определение диаграммных функций с помощью формул ( 2.1.12 ), { 2.1.13) становится некорректным. В данном случае, однако, возможен формальный подход к определению диаграммных функций, А ИМенНО, ПредПОЛОЖИМ, ЧТО Существуют Такие фуНКЦИИ OWtL jKy);
Направленный излучатель в регулярном океаническом волноводе
Наиболее исследованной моделью неоднородных океанических волноводов является модель регулярного волновода, т.е. волновода, в котором плотность среды и скорость звука зависят только от одной переменной . Отличительной чертой таких волноводов является тот факт, что если любой неоднородный слой граничит с однородными полупространствами, то функция окна _77 ] такого слоя зависит только от переменной 2 . Это означает, что падающая из однородного полупространства на неоднородный слой плоская волна, пройдя через него, изменит только амплитуду и фазу. При этом, кроме отраженной от слоя плоской волны, новых плоских волн в однородных полупространствах не возникает. Любая другая (не слоистая) неоднородность таким свойством не обладает Функция окна зависит в общем случае от всех трех переменных. Это означает, что откликом такой неоднородности на падающую плоскую волну будет непрерывный или дискретный спектр прошедших и отраженных плоских волн. Указанный факт позволяет существенным образом связать поле в регулярном волноводе с диаграммной функцией излучателя. В настоящем параграфе будет получено общее выражение для поля направленного излучателя в регулярном волноводе на основании описанного выше свойства "линейности" (в смысле порождения новых пространственных частот). Примем следующие упрощающие допущения для "прозрачности" вывода, которые в дальнейшем будут сняты: - излучатель находится в однородном слое граничащим со слоисто-неоднородными полупространствами -Q_ , Iй (см, рис. 3,3). Здесь п - толщина однородного слоя А L0 ; 20 - апшгината геометрического центра излучателя; 1 - наименьшая СI- ) и наибольшая (t= ) аппликаты излучателя; - излучатель является акустически прозрачным, т.е. рассеянием волн на нем можно пренебречь. Поле излучателя вне слоя -г?г 1. .(/.] в свободном прост- ранстве описывается выражениями ( 2.2.5 ) с Х0 (0,0,го) ( т.е. представляет собой совокупность плоских волн (однородных и неоднородных), каждая из которых взвешена диаграммной функцией. В случае волновода, приведенного на рис. 3,3, плоские волны прежде чем преломиться в неоднородные полупространства _Q_4t / L х % Z испытывают внутри слоя - -0 на границах П -кратное отражение, И-?, 2. (., . Положим, что функции коэффициента отражения от верхнего -&-\ и нижнего .2-2 неоднородных полупространств равны соответственно Уц( } Поле в полупространствах , можно найти дво яко, а именно, либо находя суммарное поле в слое -12.0 , которое и определяет преломленное в - С. поле, либо суммируя все преломившиеся в Л2-\ волны после У] -кратного отражения от границ слоя волн С 2,2.5 ). Выберем для наглядности второй путь.
Получим выражение для поля излучателя в полупространстве_ -О-2. Известно L J » что отклик на воздействие О гч4 С о4- Ь ) г ї .Г 1 (= дЛ в области ЛЛ-2. равен tf Зг ЗУ А 5 Г (множитель Для сокращения записи в дальнейшем при соответствующих условиях сопряжения на границе 2. = 20+ И/2 (равенство давления и «составляющей колебательной скорости) и условии излучения при 12=-\ — о , Найдем отклик для плоских волн a k Kv) - ) L = 2 # Поле в - 2 складывается из откликов на воздействие УЛ «кратно отраженных внутри слоя -лі. 0 и прошедших в -х2_2. плоских волн, которые определяются следующими выражениями: +« оио Q (аргументы функций для простоты опущены). Суммируя по Y\ у по-лучнім отклик в нижнем полупространстве на воздействие плоских волн, возбуждаемых излучателем с текущими волновыми векторами Здесь учтено, что V Y? I 1 Аналогично находим суммарный отклик в верхнем полупространстве SL Суммируя по всем К у f \\у , получаем суммарное поле в полу пространствах -Q-v у \ \jL Для случая однородного слоя _12-0 величина последних интегралов не изменится, если устремить и — 0 . При этом Yi приобретает смысл коэффициентов отражения плоской волны от верхнего (і-і) и нижнего С -=2) полупространства на горизонте Н 0 ) I ] . Окончательно получим выражения для поля в Найдем выражение для поля в слое . При отсутствии отражения плоских волн от неоднородных полупространств поле в SL0 определяется выражением ( 2.4.1 ) (обозначим его Т ), Однако, вследствие отражений, поле в слое -С2.0 определяется также совокупностью отраженных от границ ± п/2 плоских волн, возбуждаемых излучателем.
Рассмотрим случай 2"z 2. - При этом, среди П «кратно отраженных от границ плоских волн для каждого угла падения отсутствует только прямая волна ? с 3)z. » так как ПРИ она eu e не СФР мирована. Следовательно, при суммирование отраженных волн по h и интегрирование по Кх К у даст значение интеграла 1 » определяемого выражением ( 16 ) за вычетом интеграла X я » определяющего вклад прямых плоских волн Таким образом выражения (1)-(5) определяют поле направленного излучателя в регулярном волноводе. Пусть далее слой \) 0 (вместе с излучателем) находится в регулярном океаническом волноводе глубиной п (рис. 3.4), Слой А2-о по-прежнему является однородным, Известно, что в этом случае область определения дифференциального оператора ( I ) может быть сужена на финитную область Є [ О, И і , а условия излучения при I 2\ - = -= могут быть пересчитаны на верхнюю н. = О и нижнюю 2 - п границы волновода. Обозначим через Z- } 2 линейно независимые решения дифференциального уравнения удовлетворяющие краевым условиям на поверхности = 0 ( І - 1) и дне zi(i=-2) (здесь KfeJ-oi/c ; , ге ГО,И] ), которые в случае регулярных океанических волноводов могут быть записаны в следующем виде _ 17 ] где 0( ) - входной адмитанс нижней границы волновода ]_ 78 J Найдем соответствие между ранее введенными функциями J- У
Анализ выражений для поля (отклика) при направленном приемоизлучении в регулярных волноводах и их численная проверка
В настоящей главе получены как точные, так и асимптотические представления для поля (отклика) Н (- в регулярных волноводах, которые позволяют сделать следующие выводы, - Введение понятия диаграммных функций для произвольной НС в главе 2 является необходимой предпосылкой для получения рас смотренных в главе 3 основных соотношений. При этом, при рассмот 0 п рении однородных пространств N , введение диаграммной функции позволило получить соответствующие представления, в которых фигурируют значения диаграммной функции только в области видимости, т.е. значения диаграммы направленности. При рассмотрении соответствующих представлений в слоистых регулярных волноводах уже фигурируют значения диаграммной функции ис вне области видимости и возможны ситуации, когда поле (отклик) определяется значениями диаграммной функции, лежащими только вне области видимости. - Полученные асимптотики основных соотношений по обратным степеням волнового параметра К Г имеют геометрооптический ха рактер, превращающий эти асимптотики в единообразный механизм оценки полей (откликов) НС как на низких, так и на высоких частотах, - Существенными при формировании поля нормальных волн явля ются значения диаграммной функции НС , соответствующие углам Бриллгоэна этих нормальных волн; остальные значения диаграммной функции никакого влияния на формирование поля нормальных волн не оказывают. Возбуждение однородных нормальных волн происходит за счет активной мощности излучения не (область видимости диаграммной функции); возбуждение неоднородных нормальных волк происходит за счет реактивной мощности излучения НС (область определения диаграммной функции вне области видимости). - Полученные в главе выражения, связывающие поле (отклик) UC в слоистом регулярном волноводе с ее диаграммной функцией, позволяют проводить эффективные анализ влияния HL на ее поле (отклик) и синтез НС с целью создания поля (отклика) того или иного характера. - Решения поставленных в главе задач в рамках принятых отно сительно правой части j и показателя преломления т2) допу щений существуют и единственны. В случае свободного пространст ва Гч У\ 1;2,,и , это обеспечивается постановкой условий излучения Зоммерфельда ( 3.8.2 ). В случае слоистого трехмерно го регулярного волновода единственность решения обеспечивается постановкой после разделения переменных условия излучения Зом мерфельда ( 3.6.10 ) при условии стабилизации показателя прелом ления на бесконечности для одномерного уравнения и постановкой парциального условия излучения ( 3 6.10а ) _ 93 \ для уравнения Гельмгольца в к .
Прежде всего отметим, что полученные в главе 3 общие выражения в частных случаях, рассмотренных в работах [10,12,13,20-25, 29,36-47 і либо в случае, когда диаграммная функция cu(9} , приводится к результатам указанных работ, либо к выражениям для функций Грина рассматриваемых краевых задач соответственно, что подтверждает достоверность полученных выражений Кроме того, для численной проверки полученных выражений был составлен пакет программ, реализующих расчет полей (откликов) НС в регулярных волноводах двумя альтернативными методами: методом, разработанным в настоящей работе (назовем его методом диаграммных функций (МДФ)) и методом функций Грина (МФГ), т,е, методом простого суммирования полей (откликов) для всех элементов НС Приведем несколько примеров таких расчетов. Пример I. Рассматривался идеальный волновод с мягкой верхней и жесткой нижней плоскими границами глубиной п = а Ом , частота излучения j-=s 60 Гц. ,2-40ІЛ ,Но = 20м . Здесь Н0 - глубина геометрического центра И С , в качестве которой использовалось два вертикально расположенных монополя с разностью фаз Ц , Диаграммная функция (ДФ) такой НС имеет вид Я (0) С OS ( KC0S & -J +?/?) , где 2. а - расстояние между монополями. На рис, 3,13 представлены результаты расчетов при различных значениях J и 1р М(ДФ и МФГ. При расчетах МФГ применялся метод мнимых источников, который в рассматриваемом случае является точным \_ I J . Как видно из рисунка, результаты расчетов практически совпадают.
Приведенный пример оказался интересным тем, что для получения удовлетворительных результатов при расчетах МДФ пришлось кроме четырех однородных нормальных волн учитывать двадцать неоднородных нормальных волн, возбуждаемых реактивной мощностью излучателя, что еще раз подчеркивает необходимость задания ДФ во всей области определения, а не только в области видимости. Пример 2, В качестве модели волновода рассматривался волновод Пекериса, частота излучения у = fe 0 Гц, , Геометрия задачи приведена на рис, 3,14, Расчеты обоими методами проводились на базе программы, описанной в работе L 53, созданной при участии автора. Результаты расчетов, приведенные на рис, 3,15, практически совпадают. Пример 3. В отличие от предыдущих примеров, где не обладала азимутальной симметрией и ряд по обратным степеням волнового параметра в выражении ( 3,5,26 ) от ДФ не зависит и сводится к асимптотике функции Ханкеля, в ирещлатаемом примере рассмотрен случай, когда и излучающая и приемная антенны представляют собой горизонтальные антенные решетки. Вновь принята модель идеального волновода. При оценке отклика антенны использовалось выражение ( 3,5.24 ), где в качестве ДФ фигурировало соответствующее произведение диаграммных функций излучающей и приемной антенн ( 3.7,13 ), Антенны располагались параллельно друг другу так, что прямая, проходящая через их центры была нормалыа к ним обеим. Диаграммные функции в этом случае описываются выражением С 2.5.5 ). Обе антенны были скомпенсированы по нормали. При расчетах МФГ использовался точный в данном случае метод мнимых источников. На рис. 3,16 а,б,в представлены результаты расчета отклика приемной антенны на воздействие излучающей антенны, проведенные: I - МФГ; 2 - 4 - МДФ по формуле ( 3,5,24 ), 2 - с учетом только нулевого члена геометрооптического ряда в ( 3.5.24 ), 3-е учетом нулевого и первого членов ряда, 4-е учетом первых
Поле направленного излучателя в неоднородных средах. Особый случай
Рассмотрим случай, когда внутри области возникают каустики. Ь остальном сохраняется постановка задачи (4.3.1)-(4.3.4), в которой для наглядности исходное пространство полагается Л -мерным Пусть задана Т\ -мерная задача (4.3.1)-(4.3.4), с которой ас социирована система Гамильтона (4.3.7). Обозначим через б сфериче ские координаты луча, выходящего из точки X на сфере начальных импульсов ,Щ Pi = hf Х) , Зафиксируем некоторую точку X Є. JJ и построим фазовые траектории XQ(6ji) и , являющиеся решениями системы Гамильтона (4.3.7) с на Рс (6, І) 183 чальньши данными где Q Sn_1— idlD2 h2 )! -угловые координаты на сфере начальных импульсов в точке X ; р ро 1,уРпУ Известно, что множество А (х)= в(вД)"роФД б /Йф3 2п -мерном (евклидовом) фазовом пространстве f? л является гладким ft -мер-ным лагранжевым многообразием, т.е. интеграл J o, ) не зависит от пути, где Y -кривая, принадлежащая А (х) [ 101, 105, 106]. На /\ (к) можно однозначно определить эйконал Пусть jf- проекция на т.н. конфигурационное пространство Р , т.е. Т(х0д)= Х0 Точка (к0/р0) /(( называется неособой, если некоторая её окрестность диффеоморфно (взаимооднозначно) проектируется на N .В противном случае точ на называется особой, множество всех особых точек/L. М называется циклом особенностей, а его проекция "3r,Z" = Г называется каустикой і 101]. Обозначим через I подмножество А (х) , удовлетворяющее уравнению Гц = Хс . Параметры 9,-f , отвечающие уравнению Xol /W Xo т,е. траектории Х0(9,4:/ ПРИ -(:-- проходят через точку Х0 Приведем ряд известных фактов, качающихся особенностей проектирования лагранжевых многообразий на конфигурационной пространство 1_1С77, 108]. Каустики могут иметь сложные особенности, однако они при малых возмущениях распадаются на простейшие неустранимые особенности, которые подробно изучены. Для пояснения особенностей на каустиках при ft 3 (что вызвано соображениями прикладного характера, хотя изучены и случаи І9 5 LI08J) приведем два вида устойчивых особенностей лагранжевых многообразий. Первая - это особенность типа складки, она возможна при І7 4 На рис.4.1.а показана складка при Y\-1 и её проекция, т.е. ка-устика.
Это особенность Л типа Л Вторая особенность /I называется сборкой и характерна для П / . На рис.4.1.6 показана сборка при У\-А и её проекция, которая в этом случае является точкой особенности каустики и называется точкой возврата каустики. Сборка - это особенность /\5 многообразия Л Теперь можно сформулировать основной результат для h 3 , приведенный в работе [108, C.266J. Каустики общего положения на плоскости не имеют других особенностей, кроме точек возврата, соответствующих лагранжевым особенностям Л . В трехмерном пространстве каустики общего положения не имеют других особенностей, кроме ребер возврата ( А3 ) (рис.4.1.в)( ласточкиных хвостов (Лу) (рис.4.I.г) и точечных особенностей двух типов, соответствующих особенностям Л типа (% : пирамиды (рис.4.1.д) и кошелька (рис.4.1-е). Кроме этих особенностей возможны также трансверсальные пересечения различных ветвей каустик друг с другом. Таким образом каустические поверхности представляют собой: I. W=\ . Изолированные точки в к . 2.V1-Z . Гладкие кривые ( г\г ) без особенностей (рис.4.1.а), либо гладкие кривые с особенностями типа точки возврата ( /L) в х . 3. h-3 . Гладкие поверхности С ), либо гладкие поверхности ( А ) с ребрами возврата (Л3 (рис.4.1.в), либо гладкие поверхности (/І2") с ребрами возврата ( Д ), имеющими в свою очередь точку возврата ( Ау) (ласточкин хвост, рис.4.1.г\ либо гладкие поверхности, имеющие особенности типа пирамида ( л) ) И КОШелеК ( tfCAf ) (рис.4.1.д,е). Каустика особенности лї в трехмерном пространстве представляет собой поверхность с тремя ребрами возврата (А,), касающими ся в одной точке; при этом два из этих ребер возврата могут быть мнимыми (кошелек). и Вернемся теперь к исходной лагранжевой поверхности
При проектировании Л (х) на область возможны два случая. Либо 1х /J , либо ГхбЮ. Первый случай разобран в п.4.3. Рассмотрим второй случай на простейшем примере, когда И = 2 , a I х - гладкая кривая, разделяющая область 0 на две подобласти - света и тени (см.рис.4.2). Более сложные случаи при У\=2,Ъ разбираются аналогично. Лагранжево многообразие ГСП) берет начало (рис.4.2} с области о ;) )!L р h2(x) . Цикл особенностей 2- представ-ляет собой складку,Т[ Z- їх . Зафиксируем точку X Є X) , лежащую в области света. Поскольку Х Г , то существует взаимно однозначное соответствие между точкой Х и точками ( (6,,1:,), РТФі/іі) и ( ) ( на обоих листах VX)(CM.PHC.4.2). Через эти две точки на Л260 проходит либо одна бихарактеристика ( в частном случае, когда 9, = ), либо две бихарактеристики в общем случае, но не больше двух. Этим бихарактеристикам соответствует в общем случае два луча, соединяющих точки л и X (см.рис.4.2). Рассмотрим вклад какого-либо одного из этих лучей (бихарактеристик), например, луча I (рис,4.2) на поле в точке X . Рассуждения здесь совершенно аналогичны проведенным в п.4.3 за исключением того, что необходимо учесть вклад обоих листов Д (XJ на поле, Функцию о(ХХ0/Ц) (здесь введен аргумент 6 для фиксации луча, выходящего из точки Х под углом У ) находим посредством постановки и решения задачи рассеяния плоской волны на неоднородном включении ЗД (см.п.4.3). При этом каустика в о0 может несколько перестроиться из-за перестройки лагранжева многообразия над Х , однако точка касания луча I с новой каустикой
