Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Поле точечного источника в волноводе Пекериса. Модельные представления и альтернативные решения 15
1.1. Сравнительный анализ модельных представлений. Выбор и обоснование альтернативного решения 15
1.1.1. Волновод Пекериса. Постановка задачи 15
1.1.2. Выбор разреза и соответствующей модели полупространства 17
1.2. Обобщенные решения и обобщенные нормальные волны 27
1.2.1. Анализ дисперсионных зависимостей 27
1.2.2. Групповые скорости 30
1.2.3. Звуковое поле в нижнем полупространстве 32
ГЛАВА 2. Поле направленного излучателя в волноводе Пекериса ... 35
2.1. Излучатель поршневого типа в мягком экране волновода Пекериса. Энергетические характеристики 35
2.2. Поршневой излучатель в импедансном экране волновода Пекериса. Энергетические характеристики 43
2.3. Фазированный излучатель поршневого типа в мягком экране волновода Пекериса. Отражение и преломление направленных звуковых пучков на импедансной границе волновода Пекериса 50
ГЛАВА 3. Кинематические характеристики обобщенных волн 62
3.1. Обобщенные волны Стонели-Шолте 62
3.2. Обобщенные нормальные волны в системе жидкий слой -твердое полупространство 67
3.3. Обобщенные нормальные волны в системе жидкий слой -твердый подслой - жидкое полупространство 71
3.3.1. Дисперсионное уравнение для двуслойного волновода, нагруженного на внешнее полупространство 71
3.3.2. Численный анализ дисперсионного уравнения. Обобщенные решения 74
ГЛАВА 4. Особенности звукового поля в двухслойном волноводе типа жидкий слой - твердый подслой - жидкое полупространство ... 90
4.1. Структура общего решения 90
4.2. Структура собственных функций 94
4.2.1. Определение смещений в нормальных волнах двухслойного волновода 94
4.2.2. Общий характер распределения звукового поля по сечению двухслойного волновода 96
4.2.3. Водные волны и волны твердого подслоя и особенности их трансформации 103
4.2.4. Симметричные и антисимметричные волны. Эффекты трансформации 105
4.3. Импульсный отклик волновода 113
4.3.1. Пространственно - временная структура звукового поля 113
4.3.2. Выбор параметров расчетной модели волновода 116
4.3.3. Параметры волновода и расчетные формулы 118
4.3.4. Численный анализ аномальных особенностей распространения 120
4.3.4.1. Импульсные характеристики отдельных нормальных волн 120
4.3.4.2. Пространственно-временная структура звукового поля 124
4.3.4.3. Пространственно-временная структура звукового поля в двухслойном волноводе с потерями 130
4.4. Некоторые экспериментальные результаты и их сопоставление с теорией 144
Заключение 150
Литература 152
- Обобщенные решения и обобщенные нормальные волны
- Поршневой излучатель в импедансном экране волновода Пекериса. Энергетические характеристики
- Обобщенные нормальные волны в системе жидкий слой -твердый подслой - жидкое полупространство
- Импульсный отклик волновода
Введение к работе
Отражение и преломление звуковых волн на границе раздела двух сред представляется всесторонне изученным явлением, которое казалось бы полностью описывается классической теорией. Однако, при малых углах скольжения возникают эффекты, которые классическая теория объяснить не в состоянии. Впервые эти явления были отмечены авторами работы [1], в которой анализировались результаты эксперимента по отражению и преломлению направленных звуковых пучков на границе раздела вода -морской песок. Экспериментальные результаты хорошо соответствали теории только при углах падения, которые меньше критического. При углах падения, больших критического, имела место аномалия амплитуды и аномалия угла преломления. Аномалия амплитуды проявлялась в том, что при закритических углах падения амплитуда прошедшей волны была на 10-15 дБ больше расчетной, а аномалия угла преломления выражалась в размывании преломленного звукового пучка в широком диапазоне углов. Из-за такой особенности преломления значение скорости звука в грунте, вычисленное на основе угла падения и измеренного угла преломления получается довольно низким С »1200м/с [2], [3].
Работа [1] положила начало дискуссии, в которой приняли участие ведущие зарубежные научные коллективы и вызвала поток публикаций, где предлагались различные теории, объясняющие необычные эффекты отражения при скользящих углах падения.
Первая гипотеза возникла в коллективе Applied Research Laboratory Техасского университета (ARL/UT) [2] - [9]. В работе [4] Н. Чотирос на основе натурных измерений в мелком море с песчаным дном определял частотную зависимость эффективной скорости звука в грунте, вычисленной в соответствии с законом Снеля по измеренному углу преломления, скорости звука в воде и заданному углу падения. При докритических углах падения, экспериментальное значение скорости звука в грунте хорошо соответствуют модельному, а при изменении частоты в диапазоне / = (5 - 80) кГц эффективная скорость звука уменьшается от ожидаемого
значения С = 1742 м/с до значений 1100-1000 м/с на высоких частотах рабочего диапазона.
Аномалия амплитуды и ее частотная зависимость показаны на рис.1 а [4], где позиция 3 соответствует докритическим углам падения (угол
скольжения равен 39), а позиция 5 соответствует закритическим углам падения (угол скольжения равен 22). Аномалия уровня в рабочем диапазоне частот / = (5-80) кГц равна А = (0-60) дБ, а оценка аномалии на частоте / = 20кГц (А = (10-15)дБ) соответствует полученной ранее в работе [1].
і. j or ID
&
Z5 О
со <.r>
2 С
О -'
(a)
2 О
—і—
—t— ЗО
GO rtO
TOWER
POSITION
HORIZONTAL SEPARATION - m
Рис. 1. Экспериментальные характеристики преломления звуковых волн
на границе раздела вода - морской песок: а) аномалия амплитуды
прошедшей волны; Ь) аномалия скорости звука (угла преломления);
с) аномалия скорости распространения
Аномалия угла преломления поясняется рис. lb [4], на котором представлена частотная зависимость кажущейся или эффективной скорости звука в грунте, вычисленной в соответствии с законом Снеля по измеренному углу преломления, скорости звука в воде и заданному в эксперименте углу падения. Само песчаное дно в модельном представлении считается эквивалентной жидкостью. Для позиций 1-3, соответствующих докри-тическим углам падения, экспериментальное значение скорости звука в грунте хорошо соответствуют модельному, а в позиции 5, соответствующей закритическим углам падения, эффективная скорость звука при изменении частоты в диапазоне / = (5 - 80) кГц уменьшается от ожидаемого
значения С = 1742 м/с до значений 1100 -1000 м/с на высоких частотах рабочего диапазона.
Результаты детектирования низкоскоростной волновой составляющей в поле прошедших волн были представлены в работе [3]. В гидроакустическом бассейне с песчаным дном измерялись амплитуда и время прихода импульсного сигнала, которые затем сравнивались с расчетными. Эксперименты показали, что при докритических углах падения время прихода акустического сигнала достаточно хорошо соответствует расчетной скорости звука С = 1742 м/с, а увеличение горизонтального расстояния и угла падения приводит к тому, что время прихода соответствует уже скорости звука в грунте, равной С = 1200 м/с (аномалия скорости распространения рис. 1с [4]). Оценка аномалии угла преломления произведена в работе [6], где были выполнены измерения углового распределения интенсивности в прошедшей волне. Согласно этим измерениям при докритических углах падения максимум углового распределения интенсивности изменяется в соответствии с законом Снеля, как если бы скорость звука в грунте принимала бы расчетное значение 1675 м/с, а, в области критических углов падения появлялся второй максимум углового распределения, который оставался доминирующим при дальнейшем уменьшении угла скольжения (вплоть до 9.7). Соответствующая ему скорость звука в грунте хорошо соответствовала значению 1100-1200 м/с, а угол аномального
преломления в грунте был равен примерно 45 - 55.
Н. Чотирос предложил объяснение отмеченных эффектов, основанное на теории двухфазной среды Био. В соответствии с теорией Био [10] -[14] в неконсолидированных морских осадках, типа ила или песка, частицы не сцементированы, и неконсолидированные осадки обладают жесткостью, достаточной для передачи поперечных волн. При распространении звуковых волн в насыщенных жидкостью пористых средах, к которым относится морской песок, образуются одна поперечная и две продольные волны. Одна продольная волна распространяется в жидкости CLl = (1700-1750) м/с, а другая - в жестком скелете и имеет необычно
низкую скорость CL2 « 400 м/с. Как полагал Н. Чотирос, именно присутствие второй продольной (медленной) волны могло бы объяснить аномалию угла преломления фактически путем исключения самого явления полного внутреннего отражения как такового. Однако для соответствия экспериментальным данным скорость этой волны должна была бы составлять (1000 ч-1200) м/с, поэтому Н. Чотирос предположил, что скорость медленной продольной волны имеет сильную дисперсионную зависимость - от 400 м/с на низких частотах /<1кГц до 1200 м/с в диапазоне частот
5-60 кГц.
В последних работах Чотироса [7] - [9] приведены интересные экспериментальные результаты. Так, в работе [9] представлены оценки аномалии амплитуды при углах скольжения -4.3 для различных горизонтов наблюдения. Для удобства анализа эти результаты сведены на один рисунок (рис. 2), где кривая 1 соответствует расчетному значению уровня сигнала в неоднородной волне нижнего полупространства, а кривая 2 соответствует экспериментальным данным, приведенным в работе. Видно, что аномалия амплитуды имеет сложную интерференционную зависимость от глубины точки наблюдения, а уровень сигнала на некотором подповерхностном горизонте достигает максимального значения, на двадцать децибел превышающего уровень на границе раздела вода - дно. Однако, в этих работах нет новых доказательств в пользу теории Чотироса, а также нет прямых измерений скорости медленной волны и ее дисперсии.
Z,M
Х- теоретические значения
- экспериментальные значения
»Р,ДБ
Рис. 2. Зависимость уровня сигнала в прошедшей волне от горизонта наблюдения; 1 - расчетная кривая, 2 - экспериментальная зависимость
В связи с этим следует отметить работу [15], в которой измерялись акустическими методами упругие свойства различных грунтов, включая и
песчаные грунты при их нагружении, а измеряемой величиной была скорость медленной продольной волны, составляющая при различном нагружении 250-500 м/с в рабочем диапазоне 5-60 кГц, однако, авторы работы не обнаружили никакой дисперсии. К тому же, натурные измерения скорости звука в песчаном грунте на низких частотах, выполненные в работе [16], не подтвердили наличия низкоскоростной волны со скоростью 1100-1200 м/с, предсказанной теорией Чотироса - Био.
В работах [16], [17] были получены данные по оценке аномалии амплитуды прошедшей волны, полученные в натурных условиях в широком диапазоне изменения горизонта приема и угла скольжения. Выводы, сделанные в этих работах дополняют результаты более ранней работы [4]
аномалия амплитуды растет с увеличением глубины точки наблюдения и уменьшением угла скольжения,
аномалия амплитуды имеет сложную интерференционную зависимость от частоты и угла скольжения, а также от глубины точки наблюдения, на рабочих частотах эксперимента 5-15 кГц аномалия амплитуды при
малых углах скольжения 30 -15 имеет оценку 30-80 дБ.
Вторая гипотеза, сформировавшаяся в конце 90-х годов, была выдвинута сотрудниками Applied Physics Laboratory Вашингтонского университета (APL/UW). Эта точка зрения, в основе которой лежит теория дифракции звука на случайно шероховатой поверхности морского дна, изложена в работах [16] - [23]. В соответствии со второй гипотезой основной причиной всех аномальных явлений считается дифракционное рассеяние падающей волны на неровностях дна, а сами неровности дна представляются в модельном плане некими квазипериодическими структурами. Эта теория довольно успешно объясняет аномалию амплитуды и кажущееся уменьшение эффективной скорости звука в грунте.
Экспериментальные данные, полученные, например, в работах [16], [17], свидетельствуют о наличии аномалии амплитуды прошедшей волны, а также ее рост с уменьшением угла скольжения и с увеличением глубины точки наблюдения. Результаты, полученные в работе [22], с одной стороны подтверждают сильное влияние на уровень прошедшей волны дифракционных процессов, имеющих место на шероховатостях реальной границы раздела вода - грунт, а с другой стороны опровергают гипотезу Чотироса -Био о наличии в морском песке медленной волны со скоростью 1200 м/с. Эта численная оценка оказалась лишь кажущейся и неплохо соответствует кинематическим характеристикам дифракционной составляющей в прошедшей волне.
Хотя механизм дифракционного рассеяния приводит к увеличению уровня низкоскоростной составляющей в суммарном волновом процессе, остается открытым вопрос о природе этой низкоскоростной составляющей, которую можно искать либо в другой физической модели грунта, отличной от модели Био, либо в другой математической модели донного полупро-
странства, отличной от классической.
Третья гипотеза была предложена сотрудниками ИПМТ ДВО РАН, где получены интересные результаты при эксплуатации гидролокатора бокового обзора (ГБО), установленного на борту необитаемого подводного аппарата (АНПА) [24] - [26]. При движении аппарата над грунтом на высоте /г = (10 — 15)м угол скольжения составлял ~Г. Интерференционные структуры в виде чередующихся темных и светлых полос, которые наблюдаются на ГБО-граммах морского дна, характеризуют интерференционные процессы, которые появляются при придонном распространении сигналов ГБО при малых углах скольжения (рис. 3).
Рис. 3. Изображение морского дна, полученное в Баренцевом море на глубине 150 м (экспедиция 2001 г.)
Эти интерференционные структуры возникают как в мелком, так и в глубоком море на поверхности морского дна, слагаемого из акустически мягких пород, и имеют следующие особенности:
интерференция возникает при закритических углах падения,
интерференция локализована на внешней стороне донных ям,
пространственный период интерференции достаточно велик, от нескольких метров до нескольких десятков метров.
Аномальность полученных результатов заключается в том, что наблюдаемый период интерференции на два порядка больше того, который возникает при взаимодействии водной и грунтовой волн, допускаемых классической теорией. Объяснить эти эффекты с помощью других теорий также не удается. Например, дифракционное рассеяние звуковой волны на неровностях грунта вряд ли может создавать столь упорядоченные структуры. Очевидно, что и теория Чотироса - Био не может объяснить наблюдаемые интерференционные структуры присутствием низкоскоростной волны, возникающей в двухфазной среде типа песчаного дна.
Третья гипотеза связывает появление интерференционных структур с присутствием в донном полупространстве обобщённой придонной волны (ОПВ), соответствующей полюсу коэффициента отражения. При определенных условиях эта волна может вступать в интерференцию с водной и грунтовой волнами и обнаруживать себя в крупномасштабных интерференционных структурах, возникающих на поверхности дна при локационной съёмке с использованием ГБО при малых углах скольжения. Именно такие интерференционные структуры были обнаружены в экспериментах, проводимых с установленным на борту автономного необитаемого подводного аппарата гидролокатором бокового обзора, который позволяет изучать механизм обратного рассеяния при любых достаточно малых углах скольжения.
Подсветка нижнего полупространства на придонном горизонте при закритических углах падения, показанная на рис. 2, должна быть связана с аномальным поведением коэффициента отражения. Данные, подтверждающие это, были получены, например, в работе [27] (Акустический институт им. Н.Н. Андреева). Коэффициент отражения измерялся при малых углах скольжения в глубоководных акваториях с выровненным дном, когда метод многократных донно-поверхностных отражений дает минимальную погрешность. Для характерных частотно-угловых зависимостей коэффициента отражения хорошо видно, что в диапазоне углов полного внутреннего отражения (угол скольжения /? = 0-30) коэффициент отражения сначала монотонно убывает с ростом угла скольжения (частоты 10- 40 Гц), а затем на угловой зависимости формируется характерный минимум коэффициента отражения (V » 0.57-0.65) для рабочих частот эксперимента 64-128 Гц.
Подобные результаты имеются в и работе [28] (Defence Research Establishment Pacific, Canada), где хорошо прослеживается характерный минимум коэффициента отражения для углов скольжения 12-15 (V « 0.4-0.5), что показано на рис. 4. Данное автором работы объяснение существенного уменьшения коэффициента отражения в этом диапазоне углов изменением акустических параметров грунта и, соответственно, смещением критического угла полного внутреннего отражения на столь короткой трассе не является убедительным. Такое поведение коэффициента отражения в диапазоне углов скольжения 12-15 является достаточно типичным и выявляется в эксперименте всегда, если погрешность измерения не слишком велика [27] - [30].
01 ППЕ . . . :
80 60 40 20 О
Grazing Angle (deg.)
Рис. 4. Экспериментальные зависимости коэффициента отражения от угла скольжения; крестики - экспериментальные значения, сплошная линия -
теоретические значения.
Множество экспериментальных работ посвящено изучению и использованию низкоскоростных волн, распространяющихся на границе раздела вода - осадочные породы [2], [31] - [36]. Эти работы активно ведутся исследовательскими коллективами Naval Research Laboratory, Stennis Space Center и SACLANT Undersea Research Centre. Выделенная в экспериментах низкоскоростная волна идентифицируется исследователями как волна Шолте-Стонели. Ее скорость составляет 30-г 60 м/с. Однако анализ экспериментальных данных показывает, что эта волна возбуждается на определенных частотах, зависящих от глубины моря в месте проведения эксперимента. Это дает возможность предположить, что на самом деле она является модой волновода, образованного слоем воды, слоями осадков и твердым дном. Но в классической теории волноводов нет ни одной моды со столь низкими групповыми скоростями.
Предлагаемая альтернативная модель с привлечением обобщенных нормальных волн, возникающих при решении сопряженной граничной за-
дачи, на котором и построена третья гипотеза, позволяет разрешить эти проблемы. Зафиксированные экспериментально аномальные явления получают объяснение в рамках предлагаемой математической модели, где самым важным элементом звуковых полей, формируемых вблизи морского дна, является обобщенная придонная волна, соответствующая полюсу коэффициента отражения.
В этом решении процесс отражения представлен двумя составляющими. Одна из них описывает зеркальное отражение, другая - незеркальное, эквивалентное дипольному излучению самой границы раздела в области закритических углов падения. При определённом угле падения зеркальное отражение отсутствует, а незеркальное, становясь максимальным, возбуждает в нижнем полупространстве ОПВ, амплитуда которой достигает максимального значения на некотором подповерхностном горизонте, зеркальном по отношению к источнику. Дифракционное огибание ОПВ донной ямы сопровождается её инверсией в обобщённую поверхностную волну, которая визуализирует себя через механизм трёхволновой интерференции с водной и грунтовой волнами. При определённых условиях период трёхволновой интерференции может быть сколь угодно большим, чему соответствуют параметры реальных грунтов типа осадочных пород или морского песка. Уникальные свойства ОПВ, которая в реальных условиях неровного дна всегда существует в двух модификациях, отличающихся инверсией профиля, делают перспективным её использование при гидролокационной съёмке морского дна и поиске объектов, находящихся в грунте, а также в задачах гидроакустической навигации и связи с использованием придонного звукового канала, характеристики которого отличаются существенно большей стабильностью во времени в сравнении с морской средой, а волноводные свойства аналогичны свойствам подводного звукового канала.
Придонная волна, появляющаяся в обобщенном решении, имеет амплитуду, экспоненциально убывающую от границы раздела в слое (или в верхнем полупространстве) и экспоненциально растущую в нижнем полупространстве. Этот рост ограничен слоем конечной толщины, за пределами которого обобщенная поверхностная волна не существует. Скорость обобщенной придонной волны меньше скорости звука в сопряженных средах. Допуская существование такой волны, можно объяснить все аномальные особенности перечисленных выше экспериментальных работ.
Применение обобщенных волн при решении прикладных задач гидроакустики не является традиционным, однако в работе [37], опубликованной в 1972 году было осуществлено теоретическое исследование обобщенных волн, возникающих на границе раздела твердое тело - жидкость. Экспериментальное подтверждение существования обобщенной волны наряду с регулярным решением типа волны Стонели - Шолте было представлено в работе [38]. Анализ регулярных и обобщенных волн типа Стонели -
Шолте выполнен также в работах [24], [25], [39] - [43]. Обобщенные решения и соответствующие им обобщенные волны имеют общую природу и появляются в любых слоистых волноводах, нагруженных на жидкое или твердое полупространство.
Практическое значение аномально большой подсветки донного полупространства особенно ценно при визуализации придонного слоя морского дна гидролокационными средствами, расположенными над дном, при малых углах скольжения звукового пучка, а также при формировании звукового поля в мелком море, где все углы скольжения становятся малыми на достаточном удалении от источника. Корректное объяснение процессов распространения звуковых волн в придонном слое имеет большое значение при разработке технических средств, работающих вблизи дна, например, автономных подводных аппаратов. Использование в гидроакустической связи, навигации, телеуправлении обобщенной поверхностной волны при условии ее существования позволило бы кардинально изменить характеристики этих систем, дальность действия, помехозащищенность и точность.
В диссертационной работе рассмотрены методы расчета звуковых полей на основе решения граничной задачи с применением альтернативных математических моделей и обобщенных (разрывных) функций для волноводов различных типов. Целью диссертационной работы является моделирование звуковых полей в волноводе Пекериса и слоистом волноводе типа жидкий слой - твердый подслой - упругое полупространство, а также объяснение аномальных экспериментальных данных на основе альтернативной модели. В соответствии с этой целью были решены следующие задачи:
предложены алгоритмы расчета и разработаны пакеты программ для расчета звуковых полей в волноводах различных типов,
выполнено численное моделирование процессов распространения ограниченных звуковых пучков в волноводе Пекериса, выявлены аномальные особенности отражения звуковых пучков от импедансной границы волновода,
выполнено численное моделирование звукового поля направленного источника в нижнем полупространстве волновода Пекериса,
выполнено моделирование звукового поля источника, работающего в слоистом волноводе.
Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. В первой главе рассмотрены различные модели полупространства для волновода Пекериса, которые соответствуют различным разрезам на плоскости комплексной переменной [44] - [46]. Анализируется решение, полученное с помощью нетрадиционного разреза [25]. При решении граничной задачи используются обобщенные функции, вследствие чего дискретный спектр дополняется обобщенными нормальными волнами, амплитуда которых
растет в полупространстве, оставаясь конечной на бесконечности. Особенностью этого решения является обобщенная придонная волна, соответствующая полюсу коэффициента отражения.
Во второй главе на основе принятой модели рассмотрены особенности работы поршневого излучателя, вставленного в мягкий или в жесткий экран волновода Пекериса, а также фазированного излучателя, расположенного в мягком экране волновода Пекериса. На основании численного моделирования сделан вывод о значительной подсветке донного полупространства.
В третьей главе рассмотрены кинематические характеристики обобщенных волн на примере модельных волноводов различных типов, общей особенностью для всех типов волноводов является резонансный характер зарождения обобщенных нормальных волн, которые возникают парами в точках ветвления как прямая и обратная волны. В главе рассмотрены эффекты трансформации, присущие обобщенным нормальным волнам.
В четвертой главе рассмотрена структура собственных функций в волноводе типа жидкий слой - твердый подслой - упругое полупространство и рассчитаны импульсные отклики, моделирующие эксперименты по исследованию волны Шолте на границе раздела вода - морское дно. Структура импульсной характеристики волновода с учетом потерь в среде довольно хорошо соответствует результатам экспериментальных данных, однако, численное моделирование не подтверждает волны Шолте в импульсном отклике.
По теме диссертации автором опубликовано 12 работ в соавторстве с Б.А. Касаткиным, в том числе монография [25], 3 статьи в Акустическом журнале [47], [48], [49] доклады на сессиях VII и IX школы-семинара акад. Бреховских и на X и XI сессиях РАО [42], [50], [51], 2 доклада на международных конференциях в Харбине в 1999 и 2002 гг. [43], [52] и статьи в региональных сборниках [40], [53], [54].
На защиту выносятся следующие положения:
Вывод о значительной подсветке донного полупространства при определенных углах скольжения, полученный на основе решения задачи Пекериса для альтернативной математической модели и сопоставления с экспериментальными данными.
Вывод о возбуждении в придонном слое обобщенной поверхностной волны при малых углах скольжения, сделанный на основе решения задачи Пекериса для альтернативной модели и сопоставления с экспериментальными данными.
Вывод о существовании низкоскоростной нулевой обобщенной нормальной волны, полученный на основе решения и численного анализа граничной задачи для альтернативной математической модели волновода типа жидкий слой - твердый подслой - упругое полупространство и сопоставления с экспериментальными данными.
Обобщенные решения и обобщенные нормальные волны
Особенностью полученного решения является присутствие в дискретном спектре трех семейств нормальных волн и(1), и(2), п(Ъ). Каждая из нормальных волн характеризуется функцией поперечного сечения, дисперсионной зависимостью для фазовой и групповой скоростей, а также способом продолжения поля из слоя в нижнее полупространство, как было отмечено выше. Для определения этих характеристик нужно найти вещественные и комплексные корни дисперсионного уравнения и соответствующие им вычеты: Дисперсионные кривые зарождаются на плоскости к -0 комплексно-сопряженными парами, причем в точках А, А возникают две волны, для которых Re к32 0, Re к32 О, Im к32 0. Нормальные волны с комплексной постоянной распространения являются вытекающими нормальными волнами и образуют классы и(3) и й(3). Волна п(Ъ) является прямой вытекающей нормальной волной с положительной вещественной частью постоянной распространения ,, а волна й(3) представляет собой обратную (втекающую) волну с отрицательной вещественной частью постоянной распространения. На критической частоте в точке ветвления (В и В ) появляются две волны с вещественной постоянной распространения. Это квазинормальные волны, для которых Im к32 0.
Амплитуда квазинормальных волн, продолженных в нижнее полупространство, экспоненциально растет с глубиной, поэтому для получения решения с ограниченной амплитудой нужно представлять эти волны как обобщенные с амплитудой, меняющейся скачком на границе раздела и имеющей конечное значение при z - оо. Обобщенные нормальные волны обозначены на рис. 1.6, как п{2) и л (2), где п - номер нормальной волны. Обобщенная нормальная волна п{2) является обратной волной с отрицательной фазовой скоростью и положительной групповой скоростью. При увеличении частоты до значения klh = co ) групповая скорость стремится к бесконечности. Выше частоты й) фазовая скорость становится положительной, а обобщенная нормальная волна птр(2) превращается в прямую волну. На граничной частоте klh = corpn обобщенная нормальная волна становится собственно нормальной волной класса и(1), для которой Re кЪ2 = 0, Im кЪ2 0. Трансформация нормальной волны с ростом частотного параметра может происходить двояким образом. Проиллюстрируем это на примере первой пары нормальных волн, показанных на рис. 1.6. Первая {п = 1) вытекающая нормальная волна с комплексной постоянной распространения АВ на критической частоте преобразуется в прямую обобщенную нормальную волну BF : 1(3) -»1(2). Вторая {п = 2) втекающая нормальная волна А В на критической частоте преобразуется в обратную обобщенную нормальную волну В С, которая затем на частоте со\0) трансформируется в прямую обобщенную нормальную волну CD и на граничной частоте становится собственно нормальной волной DE : 2(3) —» 2(2) - 2(2) -» 2(1). Как было указано выше, граничные частоты нормальных волн волновода Пекериса соответствуют углам полного внутреннего отражения вх кр = arcsinC12 и равны Фазовые скорости нормальных волн монотонно убывают от значения скорости звука в дне С2 до значения скорости звука в жидком слое Сх. Групповая скорость имеет характерный минимум, соответствующий ско-рости волны Эйри Сэ = Cj / С2.
Звуковое поле на критической частоте представляет собой сумму прямой и обратной обобщенных нормальных волн. Поскольку на критической частоте групповая скорость равна нулю, образуется стоячая волна с нулевой скоростью переноса энергии, а звуковое поле на критической частоте имеет резонансный характер. В формировании объемного резонанса участвуют границы волновода и интерференция прямой и обратной обобщенных нормальных волн. Такой механизм зарождения нормальных волн хорошо известен в теории твердых волноводов [67] и является универсальным. В противоположность этому граничные частоты согр п являются частотами антирезонанса, на которых входной импеданс нижнего полупространства становится бесконечно большим, реактивным. На рис. 1.7. приведены зависимости фазовых и групповых скоростей для первой пары нормальных волн. На частоте, соответствующей переходу обратной обобщенной нормальной волны п{2) в прямую птр(2), групповая скорость принимает бесконечно большие значения. На граничной частоте о)грп, соответствующей антирезонанасу, групповая скорость равна С2.
При дальнейшем увеличении частоты первая обобщенная нормальная волна вырождается в поверхностную волну, а групповая скорость первой нормальной волны стремится к Сх. (частота антирезонанса) и далее до минимального значения, соответствующего скорости волны Эйри. Групповая скорость обобщенной нормальной волны п{2) монотонно растет от нуля до значения Сг =Сп в предельном случае высоких частот. Объяснение всех особенностей дисперсии групповой скорости может быть дано в рамках модели нормальной волны любого типа как суммы двух парциальных волн [25]. Аномалия групповой скорости на частоте со связана с тем, что обобщенная волна в полупространстве является обратной. Однако, т.к. нормальные волны зарождаются парами, образуя групповой волновой процесс, то для него должны быть определены групповая скорость и скорость переноса энергии. Для трансформирующейся системы волн й(2)—» птр(2)- п(\) групповая скорость суммарного волнового процесса в диапазоне частот а со со определяется алгоритмом усреднения обратных скоростей парциальных волн с весовыми коэффициентами, пропорциональными собственной мощности каждой из составляющих волн [68]:
Поршневой излучатель в импедансном экране волновода Пекериса. Энергетические характеристики
В качестве следующего примера рассмотрим модельную задачу для поршневого излучателя, вставленного в импедансныи экран, совпадающий с нижней границей волновода Пекериса. Такой излучатель является модельным аналогом сейсмических источников звука, а также направленных излучателей поршневого типа, работающих вблизи дна. Решая задачу в два этапа, рассмотрим сначала работу поршневого излучателя, вставленного в жесткий экран, совпадающий с нижней границей волновода, верхняя граница которого свободна. Граничная задача для этого случая записывается в следующем виде: где - параметр интегрального преобразования, &32i = 2 _ %2 Решение интегралов, полученное с помощью вычетов, имеет следующий вид. Для области г а: Ф„(#) - парциальная характеристика направленности поршня для п- ой нормальной волны. Используя решение (2.14), можно задать распределение нормальной компоненты колебательной скорости на поверхности цилиндра с радиусом г = а и высотой, равной глубине волновода z є (0, И): Если считать, что распределение колебательной скорости (2.15) на поверхности цилиндра г = а определяется в основном источником и характером нагрузки в области г а волновода и слабо зависит от характера нагрузки в области г а волновода, то цилиндр г = а с заданным на его поверхности распределением нормальной компоненты колебательной скорости можно рассматривать как вторичный излучатель, параметры которого не изменяются при изменении акустической нагрузки, например, при изменении характера волновода в области r а. Полагая, что нагрузкой на вторичный излучатель с распределением граничной функции (2.15) является волновод Пекериса, можно сформулировать следующую граничную задачу для излучателя (2.15) в волноводе Пекериса где yP2, c2- плотность и скорость звука в полупространстве, 02- угол преломления, /(I) (z) = Re /(z), /(2) (z) = Im /(z) - квадратурные составляющие граничной функции f(z). Геометрия задачи представлена на рис. 2.46.
Если искать решение задачи (2.16) в виде то она сводится к нахождению собственных функций q n(J;n,z) и собственных значений постоянной распространения %п оператора, соответствующего граничной задаче (2.16). Вследствие несамосопряженности этого оператора и неполноты системы его собственных функций на интервале z є (0, А) следует дополнить систему собственных функций оператора (2.16) собственными функциями сопряженного с ним оператора, в соответствии с [72]. Формулы разложения для квадратурных составляющих (pm(m,z), %m- собственные функции и собственные значения сопряженных операторов для задачи (2.16), а сумма набирается по нормальным волнам трех семейств: собственно нормальным, обобщенным нормальным и вытекающим нормальным волнам. Звуковое поле в волноводе Пекериса, порожденное квадратурными составляющими граничной функцией (2.15), описывается выражением Выделяя в (2.20) подмножество т(3) вытекающих нормальных волн, получаем оценку соответствующей составляющей Z\ = r3 + ix\ полного сопротивления излучения Рис. 2.5 иллюстрирует частотную зависимость составляющих гХ2, х, 2, связанных с излучением вторичного излучателя в волновод
Пекериса при различных значениях параметра ах. Дискретный характер зависимостей точно соответствует модовой структуре звукового поля, а глобальный максимум для составляющей г{2 приближенно соответствует условию кхакж 12. При увеличении геометрического параметра ах частота максимума составляющей г Х1 сдвигается в сторону более низких частот с одновременным ростом величины глобального максимума. На частоте, равной первой критической, когда на поверхности поршня укладывается одна зона Френеля (kxh)KpX =2,7, ах=0,57, сопротивление излучения становится максимальным, при этом г{2 0,6. Частотная зависимость составляющих г3 , х ъ, связанных с излучением в полупространство, показана на рис. 2.6.
Дискретный характер этих зависимостей также связан с модовой структурой звукового поля, но только на частотах, ограниченных сверху условием кх а п 12. На более высоких частотах появляется интерференционная составляющая, обусловленная резонансными явлениями, связанными с толщинными колебаниями слоя в области г а, которые демпфируются излучением в волновод и полупространство в области г а. На рис. 2.6 приведены также зависимости коэффициента г К = —-—, характеризующего долю мощности, излученной в волновод, в г\г + з суммарной излучаемой мощности. Максимум коэффициента К соответствует окрестности первой критической частоты, тогда как максимум составляющей г[2 соответствует частотному параметру кхк = к 12ах. Эти два условия максимума совместимы только для случая (kxh)x= 2,7, ах = 0,57, при этом г[2 « 0,6, К «1, а такой поршневой излучатель работает наиболее эффективно.
Обобщенные нормальные волны в системе жидкий слой -твердый подслой - жидкое полупространство
Рассмотрим модель двухслойного волновода, представляющего собой жидкий слой, лежащий на твердом подслое, нагруженном на однородное упругое полупространство (рис 3.7). В жидком слое скорость звука и плотность равны соответственно сх и рх, в нижнем полупространстве - с2 и р2. Твердый слой характеризуется скоростью продольных cL и поперечных ct волн и плотностью р0. Предположим, что твердый слой обладает малой сдвиговой упругостью. Для простоты сдвиговой упругостью нижнего полупространства можно пренебречь и просто считать его акустически более жестким, чем верхние слои (с3 cL сх). Слоистые волноводы, в том числе и включающие в свой состав твердый слой, неоднократно рассматривались ранее, однако их исследование ограничивалось расчетом дисперсионных характеристик одной - двух мод низших номеров.
Распространение волн в упругой пластине, представляющей собой твердый волновод со свободными границами, было подробно исследовано Викторовым [85] и другими авторами [63]. Волны Лэмба, симметричные и антисимметричные, представляют собой упругие возмущения, у которых имеется смещение как в направлении распространения, так и перпендикулярно пластине. Дисперсионные кривые фазовых скоростей и другие характеристики можно найти в работах [86] - [88]. Если толщина пластины невелика, то симметричная и антисимметричная волны Лэмба нулевого порядка соответствуют продольной и изгибной волнам тонкой пластины [89]. Подробный анализ поведения фазовых и групповых скоростей для нормальных волн в пластине приведен также в работе [90]. Вопрос о распространении нормальных волн в пластине, погруженной в жидкость рассматривался в работах [91], [92]. Случай двухсторонней жидкостной нагрузки исследовался также в работах [93] - [95]. В [96] можно найти графики дисперсионных кривых для алюминиевой пластины, нагруженной с одной стороны водой, а с другой стороны - спиртом. Отмечается, что на дисперсионной кривой волны нулевого порядка образуется петля, в области которой эта волна распространяется без затухания. Дисперсионное уравнение для нагруженного с двух сторон твердого упругого слоя [25] может быть представлено в следующем виде Вводя нормальные напряжения и смещения, запишем дисперсионное уравнение для двухслойного волновода: На критических частотах нормальные волны высшего порядка зарождаются парами как обобщенные нормальные волны, а затем одна из обобщенных волн трансформируется в нормальную по схеме п(2) - п{2) - и(1), как и в случае волновода Пекериса.
Граничные частоты, на которых зарождаются нормальные волны семейства и(1), соответствуют условию к32 =0 в дисперсионном уравнении. Выделяя в уравнении (3.9) малый параметр k3Ll = kLl{\-С\2)ХІг , (CL2 =CL/C2 1), можно определить структуру корней в приближении k3Ll « 1. В этом приближении, которое предполагает близость скоростей CL « С2 , CL С2, корни дисперсионного уравнения распадаются на два семейства: Каждому семейству соответствуют свои нормированные граничные частоты: Ряд частот {ktl)n приблизительно соответствует граничным частотам волновода Пекериса со скоростями звука Сх и С2 в слое и полупространстве, а частоты (ktl)m соответствуют частотам нагруженного твердого слоя, т. е. граничным частотам волн Лэмба, зарождающимся как поперечные волны. Общий вид дисперсионных кривых, полученных из уравнения (3.9) для относительной глубины волновода hx = 20 и разных отношений плотностей сред и скоростей звука в них показан на рис. 3.8 и 3.9. Рис. 3.9. Дисперсионные зависимости для нормальных волн в системе жидкий слой - твердый подслой - жидкое полупространство; волны семейства п(2), волны семейства «(1), Три волны нулевого порядка не имеют критической частоты. Две из них аналогичны волнам Лэмба, симметричной и антисимметричной (из-гибной) [85], [87], [97], а третья является обобщенной нормальной волной. Обобщенная нормальная волна нулевого порядка возникает как симметричная, а затем претерпевает трансформацию сначала в чисто поперечную волну (C «С,), а затем в изгибную (Сф Ct). Особенности трансформации обобщенной нормальной волны при изменении частотного параметра в значительной степени зависят от степени асимметрии нагрузки. Фазовая скорость в зоне трансформации резко падает от максимального до минимального значения. На характер трансформации влияет Изменение соотношения плотностей слоев и полупространства. Уменьшение плотности полупространства приводит к появлению многозначной дисперсионной зависимости в зоне трансформации и образованию двух точек ветвления. Групповая скорость в области трансформации имеет глубокий минимум, приближаясь к нулю. При этом образуется низкоскоростная волна, подобная волне Ляме {Сф = V2C,, Сг = С, / V2), но отличающаяся от нее поведением групповой скорости. При появлении двух точек ветвления на дисперсионной кривой фазовой скорости групповая скорость принимает отрицательные
Импульсный отклик волновода
Для анализа временной структуры звукового поля в волноводе определим его импульсную характеристику. Полагая, что основной вклад в поле точечного источника дает дискретный спектр нормальных и(1) - типа и обобщенных нормальных волн й(2), и(2) - типа, представим поле в волноводе в виде суммы: где ТУ , N+- соответственно число нормальных и обобщенных нормальных волн. Будем полагать, что функция возбуждения на источнике имеет вид m C, l I где am , y/m - амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала возбуждения источника, М = 10 3. В расчетах будем полагать, что амплитудный спектр является равномерным (ат = 1), а фазовый спектр нулевым (Уи=1). и квазинормальных волн. Переменные, использующиеся в расчетах по формуле (4.24) были пронормированы на величину, равную половине толщины твердого Для сопоставления результатов численного моделирования с экспериментальными данными, полученными при наблюдении волн Шолте, параметры модели волновода необходимо привести в соответствие с условиями эксперимента и характеристиками среды, включающими число слоев, плотности сопряженных сред и скорости звука в них. Коренные породы, слагающие дно Мирового океана, в большинстве случаев покрыты более рыхлыми осадочными породами. Наиболее распространены различные типы илов и песков, глубоководная красная глина. Распределение осадочных пород на дне океана тесно связано с расстоянием от материка и скоростью течений. В среднем с удалением от берега уменьшаются размеры частиц, слагающих грунт. Размеры компонентов, из которых состоят осадочные породы, очень разнообразны.
Например, частицы песка имеют размеры 1 ч- 0,\мм, частицы песчаного ила -0,1 ч- 0,05мм, частицы глинистого ила - 0,01лш [102]. Насыщенные водой осадочные породы характеризуются пористостью, которая представляет собой отношение объема, заполненного водой к общему объему, занимаемому осадками [103]. При переходе от мелкозернистых илов к крупному песку пористость осадков падает. Пористость илистых отложений составляет 70 ч- 80%, а пористость песчаных грунтов снижается до 35 ч- 40%. Плотность коренных пород, таких как базальт, гранит, колеблется в пределах 2,4 ч- 2,9г/см [104], [105]. Плотность песчаных грунтов может составлять 1,2 ч- 1,98г/сл . Скорости продольных волн достигают значений CL =1500 ч-1900 л /с в песчаных грунтах и CL =1300 ч-1600л /с - в глинистых отложениях. Скорость продольных звуковых волн зависит от плотности грунта, и тем выше, чем плотнее осадки. Модуль сдвиговой упругости составляет для песчаных грунтов от 0,129 до 0,287/ їм2 [106]. Скорость поперечных волн связана с модулем сдвиговой упругости G и плотностью среды р как С, ={GI р) [107]. Экспериментальные исследования волн Шолте проводились на морских полигонах, имеющих различные характеристики. В работе [32] описаны два глубоководных участка. Глубина участка вблизи Орегоны составляла 2600л , дно было сложено из 3000л слоистых осадков, покоящихся на базальтовом основании. Верхний слой осадков Зл составляли гемипелагические грязи, ниже залегали слои песка и глины. Продольная скорость звука в глинистых отложениях составляла CL = 1500ч-15Юм 1с, а в нижних слоях осадков достигала CL «1800л / с. Глубина моря на участке возле побережья Южной Калифорнии равнялась 3800л , дно состояло из толстого слоя океанических глин. Ширина полосы частот, используемая для анализа волн Шолте заключалась в пределах 0,3 -г- 6,0Гц, а расстояния, на которых принимался отклик были равны 620м, 1130л и 2010л . Измерения, описанные в статье [33], проводились вблизи Орегоны, где глубина моря составляла 2600л . Дно было образовано толстым слоем песчаных отложений. Измерения проводились на двух участках, один из которых отличался наличием тонкого верхнего слоя океанического ила, глубиной 3л . На основании характеристик участков были составлены две модели. Первая, трехслойная, модель представляла собой 2600л воды и 3000л песка на базальтовом основании. Поперечная скорость звука в песке считалась равной С, « 600л / с. Во вторую модель был введен тонкий упругий слой глины между водой и песком с поперечной скоростью звука Ct «30л /с. Описанный в работе [34] испытательный полигон в Адриатическом море располагался в мелководном районе. Глубина моря составляла 65л , дно состояло их плотной глины с тонким песчаным покрытием, толщина которого равнялась 40л . Поперечная скорость звука в песчаном грунте была равна С, «130л / с. Обобщая рассмотренные примеры, можно предложить модель двухслойного волновода в виде жидкого слоя и твердого подслоя, лежащего на упругом полупространстве.
Считая плотность морской воды равной примерно \г/см , и полагая, что твердый подслой и полупространство соответствуют тонкому песчаному слою на базальтовом основании, определим относительные плотности сопряженных сред. В этом случае отношение плотностей жидкого и твердого слоев можно выбрать в пределах /?10 = 0,5 -г 0,8. Соотношение плотностей полупространства и твердого подслоя в зависимости от выбранной плотности р0 может изменяться в пределах р20 = 1,2 4- 2,4. Средние значения плотностей сред, таким образом, можно принять равными /510 = 0,6, р20 = 1,5. Поскольку эксперименты проводились как на шельфе, так и в глубоком море, относительная глубина волновода может варьироваться в широких пределах. В предлагаемой модели она изменялась от hx = 20 до /z, = 200. Скорость звука в воде будем считать равной С, = 1450л I с, а скорость продольной звуковой волны в твердом подслое -CL =1600-г 1800л /с. Соотношение скоростей поперечной и продольной волн в упругом осадочном слое обычно равно Ct = (0,1 - 0,2)CL. Исходя из этого поперечная скорость звука в твердом подслое модельного волновода можно принять равной С, =160-;- 180л /с, (a = Ct ICL =0,1). Так как коренные породы, образующие дно отличаются высокими скоростями распространения звука, составляющими несколько тысяч метров в секунду, скорость звука в модельном полупространстве примем равной C2 3000м/ с. Рассматриваемый частотный диапазон составляет приблизительно 0-=-10Гц. Для более простой модели волновода Пекериса плотность полупространства может быть определена как средняя плотность песчаных грунтов &1,6г/см3, скорость звука в воде «1500л /с, а скорость звука в полупространстве «1750м I с.
