Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Модель двумерного фазового экрана для распространения акустических волн в неоднородной среде 13
Модель фазового экрана 13
Основные уравнения нелинейной акустики 16
Решение уравнений геометрической акустики 18
Примеры точных решений 21
Периодическая неоднородность 21
Пилообразные временные профили 23
Эволюция начального синусоидального профиля 28
Круглые пучки 30
Статистические характеристики прошедшей волны 32
Выводы к главе 1 39
ГЛАВА 2 Распространение интенсивных акустических волн в среде с периодическим поперечным распределением неоднородности . 41
Двумерная задача 42
Периодическая неоднородность 42
Траектории лучей 43
Амплитуда волны 44
Эволюция ударных профилей 48
Периодический сигнал 54
Трехмерная задача. 57
Периодическая неоднородность 57
Ударные временные профили 59
Учет вязкости и описание тонкой структуры ударного фронта 64
Выводы к главе 2 69
ГЛАВА 3 Метод стохастических уравнений для нелинейных акустических волн в случайно-неоднородной среде . 70
Основные уравнения 70
Метод среднего поля 71
Приближение нормального шума для плоских волн 75
Распространение плоских нелинейных волн в случайной среде 81
Метод среднего профиля 88
Выводы к главе 3 94
ГЛАЗА 4 Дифракция акустических волн с широким частотным спектром на случайном фазовом экране . 95
Дифракция на случайном фазовом экране 96
Наклонное падение волны на тонкий слой неоднородной среды 102
Фокусировка широкополосных сигналов на случайном и модулированном экране. 107
Вывод и решение упрощенных уравнений дифракции нелинейных сфокусированных пучков 110
Выводы к главе 4 113
Заключение. 114
Список литературы 116
- Основные уравнения нелинейной акустики
- Эволюция начального синусоидального профиля
- Периодический сигнал
- Приближение нормального шума для плоских волн
Введение к работе
Задачи, связанные с распространением широкополосных акустических сигналов, в том числе нелинейных волн, содержащих разрывы, привлекают в последнее время все большее внимание специалистов из различных областей, как прикладной, так и фундаментальной физики. Во многом такой интерес обусловлен новыми широкими возможностями, которые предоставляют нелинейные волны при исследовании свойств среды, через которую они распространяются, и диагностике материалов, а также влиянием нелинейных эффектов на пространственные и временные характеристики волн большой амплитуды. С другой стороны, развитие технологии привело к созданию мощных источников звукового излучения, и во многих случаях необходимо учитывать влияние интенсивного излучения на окружающую среду, а так же уметь предсказывать эволюцию профилей и спектров волн при распространении в неоднородной среде.
К настоящему времени нелинейные эффекты при распространении интенсивных акустических волн в однородных и одномерных средах изучены достаточно хорошо, и основные результаты приведены в уже ставших классическими монографиях [1-12]. В частности, такие задачи, как динамика образования разрывов и описание их тонкой структуры, распространение акустических солитонов, явления самофокусировки [13-15] и саморефракции импульсов, распространение волн в кубично-нелинейных средах [16-17], получили аналитическое решение. Так же заметные успехи были достигнуты в экспериментальных и теоретических исследованиях эволюции звуковых пучков [5,18-20]. Разработанные аналитические методы позволили, в частности, описать фокальную область при распространении сфокусированных пучков. Однако большая часть полученных результатов касается распространения гармонических сигналов, и задачи нелинейной дифракции для волн с широким временным спектром остаются до конца не решенными.
Неоднородность среды значительно повышает сложность решения задач нелинейной акустики. Для описания нелинейных волн необходимо правильно определить положение и форму ударного фронта, если он уже успел сформироваться, а также величины возмущений при переходе через фронт ударной волны. Однако иметь информацию только о фронте волны, конечно, недостаточно. Волна представляет собой сигнал со сложным спектральным составом, несущий информацию об источнике и трассе своего распространения. В процессе распространения волна постоянно взаимодействует с неоднородностями среды, которые служат рассеивателями, волноводами, линзами и имеют определенные частотно-избирательные свойства.
Одним из бурно развивающихся направлений, где необходимо учитывать неоднородность среды, является применение интенсивного ультразвука в медицине [28-30]. К этим задачам относятся как ультразвуковая диагностика, так и различного вида лечебные процедуры - терапия и хирургия, разрушение почечных камней. Во всех случаях волна распространяется в такой достаточно неоднородной среде, как
человеческое тело. Кроме этого, при ультразвуковой хирургии используются мощные источники волн. Соответственно, на границе раздела разных видов тканей могут образовываться значительные перепады давлений, неоднородность может влиять на расстояние и область фокусировки волны. И для правильного лечения необходимо как можно точнее предсказывать совместное влияние неоднородности, нелинейных и дифракционных эффектов.
Другой задачей, также непосредственно имеющей отношение к жизнедеятельности людей, является проблема звукового удара. Известно, что самолет, летящий со сверхзвуковой скоростью, генерирует ударную волну, распространяющуюся в конусе Маха. Причем ударная волна наибольшей амплитуды образуется при переходе через скорость звука. В настоящее время сверхзвуковые самолеты обычно переходят через звуковой барьер над поверхностью океана, чтобы уменьшить негативное влияние ударной волны. Однако не всегда можно найти достаточно большую неиспользуемую область, в которой самолет может набрать скорость без нанесения вреда жителям и наземным постройкам. Особенно это относится к аэропортам вблизи больших городов и густонаселенных районов. Так же в последнее время активно ведутся работы по созданию нового класса сверхзвуковых самолетов, что в свою очередь вызвало большой интерес как к разработке эффективных технических методов уменьшения амплитуды генерируемой ударной волны, так и к проблеме распространения сильно нелинейной волны в турбулентной атмосфере. В списке литературы приведен достаточно большой обзор работ, связанных с проблемой звукового удара [40-121], среди них стоит отметить несколько работ, наиболее близко связанных с содержанием данной работы [43,44,78,79,88,203,105,116,120,121].
Также нелинейные эффекты оказываются очень полезными при исследовании свойств самой среды, через которую проходит волна, в частности, при неразрушающем контроле и дефектоскопии [122]. При этом на резких неоднородностях происходит сильное нелинейное взаимодействие, измерение высших гармоник позволяет более точно вычислить положение и форму неоднородности. Также сюда можно отнести задачи дальнего распространения звука в атмосфере и океане [123]. Главным образом, они связаны с возможностью передачи информации на большие расстояния (например, взрывные сигналы в подводном канале), а также с развитием дистанционных методов зондирования далеких слоев атмосферы и океана и прогнозированием катастрофических возмущений атмосферы и земной поверхности.
Среди основных подходов к упрощению исходных уравнений, дающих возможность решить различные нелинейные задачи, можно выделить два [31-37]. Первый подход основан на приближении нелинейной геометрической акустики и применяется для пучков с большой расходимостью лучей. Однако он не справедлив в аберрационной области, где появляются пересечения лучей. Второй подход, основанный на квазиоптическом приближении, рассчитан только на пучки с узким угловым спектром, но зато позволяет описать поля в окрестности фокусов и каустик.
При рассмотрении неоднородных сред часто оказывается, что либо среда сама по себе является случайной, как, например, турбулентная атмосфера, либо состоит из большого числа мелких неоднородностей, так что ее удобно рассматривать как случайную. В таком случае распространяющаяся волна испытывает флуктуации амплитуды и фазы, и интерес представляют такие характеристики случайной волны, как среднее поле, средняя интенсивность, корреляционная функция, плотность вероятности значений волны. Наилучшим методом было бы нахождение точного аналитического динамического решения исходного стохастического уравнения, и затем его усреднение по ансамблю флуктуации. Однако, найти само точное решение можно только в исключительных случаях, кроме того процедура усреднения также может оказаться слишком сложной. Поэтому для анализа полученных стохастических уравнений используются различные приближенные методы, основанные на определенных моделях случайной среды. Эти методы позволяют получить замкнутые детерминированные уравнения для средних характеристик волны — среднего поля, средней интенсивности, корреляционной функции. Сравнение полученных результатов с усредненным значением точного решения для какого-либо частного случая позволяет оценить степень точности используемого приближения. Во многих случаях продуктивным оказывается метод кинетических уравнений для функций распределения или функция распределения может быть найдена непосредственно [38, 39, 132].
Таким образом, были освещены основные проблемы нелинейной акустики неоднородных сред, которым и посвящена данная работа. Цели работы можно сформулировать так:
Исследование эволюции волнового фронта при распространении интенсивной волны в неоднородной среде, моделируемой фазовым экраном.
Построение и анализ решения для широкополосного сигнала, распространяющегося в неоднородной среде; изучение трансформации профиля, спектра и амплитуды волны.
Построение точного решения для непрерывной неоднородной среды и анализ влияния структуры неоднородности на поведение волны.
Исследование статистических характеристик интенсивной волны при распространении в случайно-неоднородной среде.
Использование метода среднего поля, приближения нормального шума и метода среднего профиля в задачах нелинейной акустики неоднородных сред.
Вывод и решение приближенных уравнений нелинейной акустики дифрагирующих
пучков и задач дифракции на случайном фазовом экране.
В Главе 1 исследуется распространение интенсивной акустической волны через бесконечно тонкий слой неоднородной среды - фазовый экран.
Вначале выводятся основные уравнения нелинейной акустики неоднородных сред. Поскольку даже эти упрощенные уравнения оказываются слишком сложными, чтобы решить их для случая произвольного вида неоднородности, в следующем разделе
приводятся основные сведения об атмосферной турбулентности, а также характерные особенности распространения ударных волн в неоднородной среде, Экспериментальные данные позволяют рассмотреть, довольно простую, но эффективную модель неоднородной среды - бесконечно тонкий фазовый экран. Преимущества этой модели в том, что, с одной стороны, она позволяет рассматривать важнейшие эффекты - фокусировки и дефокусировки волнового фронта, с другой стороны — получить точное аналитическое решение в приближении нелинейной геометрической акустики.
Для описания эволюции волнового фронта выводится система уравнений типа простых волн для наклонов лучей к поперечной плоскости. Получено общее решение для произвольного распределения дополнительного фазового сдвига на экране. Решение иллюстрируется периодическим распределением фазы на экране, для которого построена лучевая картина и уровни равного наклона луча для различных расстояний от экрана вплоть до расстояния первого пересечения лучей.
Далее было получено выражение в виде неявной функции для акустического давления с произвольном начальным (на экране) пространственным распределением амплитуды и временным профилем. На основе этого решения была рассмотрена эволюция плоских ударный профилей — одиночного N-импульса и периодической пилообразной волны. Модуляция волнового фронта приводит пространственному перераспределению амплитуды волны, образуя локальные области сгущения лучей с повышенной амплитудой и области разрежения лучей, где амплитуда достигает меньших значений. Рассмотренная модель с локальными фокусировками не может полностью конкурировать с нелинейным затуханием и амплитуда волны в целом уменьшается по сравнению с начальной.
Также было рассмотрено распространение гауссовского круглого пучка. Показано, что вследствие искажения волнового фронта и нелинейных эффектов профиль поперечное распределения амплитуды изменяется, и в точке пересечения лучей в нем появляется разрыв. Это говорит о том, что по поперечному профилю волны начинает бежать вторичная ударная волна — волна разрыва амплитуды.
Модуляция волнового фронта приводит изменению поперечного профиля амплитуды, а значит и к различной длине образования разрыва в различных поперечных сечениях. Таким образом, при распространении, например, синусоидальной волны разрыв в различных сечениях образуется на различном расстоянии, что также приводит к появлению вторичной ударной волны.
Такие резкие искажения волнового профиля компенсируются нелинейной рефракцией. Известно, что скорость распространения разрыва пропорциональна его амплитуде. Поскольку в областях, где разрыв уже сформировался, возникает нелинейное затухание, то скорость движения разрыва в этих областях уменьшается, и фронт волны в результате выправляется.
Во второй части первой главы рассмотрены эффекты, возникающие при прохождении нелинейной волны через случайный фазовый экран. Полученные ранее точные решения для амплитуды волны позволяют вычислить статистические
характеристики прошедшей волны по известным статистическим свойствам случайной фазы на экране. Считая заданным распределение фазы, было найдено распределение сходимостей лучей на экране. Это позволило вычислить характеристическую функцию и первые три момента для нормированной ширины лучевой трубки. При вычислении статистики амплитуды волны было отмечено, что возможны различные способы постановки эксперимента, и при измерении в фиксированной точке необходимо плотность вероятности умножать на ширину лучевой трубки, что соответствует большей вероятности наблюдения поля более широкой лучевой трубки.
Анализ построенных решений для среднего давления и средней интенсивности показывает, что в среднем флуктуации фазы приводят к более сильному затуханию по сравнению с однородной средой. В этом полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.
В Главе 2 рассматривается частное решение уравнений нелинейной акустики для модели неоднородного слоя - флуктуации распределены произвольным образом в поперечной плоскости, их амплитуда убывает по мере удаления от начала неоднородного слоя.
Недостатком модели фазового экрана, рассмотренной в первой главе, является учет только однократного взаимодействия волны с неоднородностью. При этом лучи один раз отклоняются от своего первоначального направления, а дальше представляют из себя прямые линии. В тоже время при распространении волны в реальной неоднородной среде такие искажения волнового фронта на неоднородностях будут происходить непрерывно, и картина распространения будет гораздо сложнее. В частности, могут образовываться многочисленные локальные фокусы и каустики, вблизи которых приближение геометрической акустики перестает работать.
В работе найдено точное аналитическое решение для функции наклона луча для периодической в поперечном направлении неоднородности, при этом амплитуда в продольном направлении убывает обратно пропорционально пройденному в среде расстоянию. Показано, что решение в квадратурах может быть найдено для широкого класса поперечных распределений неоднородности. Решение построено как для двумерной, так и для более сложной трехмерной постановки. В ходе вывода решения для двумерной задачи рассмотрено два метода - стандартный метод характеристик и метод замены переменных, аналогичный переходу к лучевым координатам в первой главе. Показана эквивалентность этих подходов. Достоинство метода замены переменных в том, что если вид неоднородности позволяет найти явные выражения для новых, лучевых, координат, то, особенно при решении трехмерной задачи, это позволяет избежать вычисления громоздких интегралов, а также уменьшает число независимых переменных в уравнении для амплитуды волны. Такой метод может быть применен и в том случае, если явный вид лучевых координат найти не удается; тогда, так же как и при решении обычным методом характеристик, остается проблема разрешения физических координат через лучевые.
Аналогично первой главе, для иллюстрации полученных решений рассмотрена эволюция ударных временных профилей и распространение синусоидального сигнала. Рассмотренный вид неоднородности, для которого удалось найти точное решение, приводит к сильной фокусировки; сама область пересечения лучей в такой задаче находится на бесконечности, на любом конечном расстоянии можно выделить области сгущения и разрежения лучей.
Предложенная модель позволяет сравнить влияние мелко- и крупномасштабной неоднородностей. Интересным результатом является то, что мелкомасштабная неоднородность приводит к сильным фокусировкам вблизи области своей локализации, в то же время на больших расстояниях за счет нелинейного затухания происходит быстрый спад амплитуды. Крупномасштабная неоднородность, напротив, влияет на распространение волны в целом, не образую локальных областей с ярко выраженным увеличением амплитуды, но приводит к более медленному спаду амплитуды на больших расстояниях. Можно отметить, что подобные эффекты будут наблюдаться и для других типов поперечного распределения неоднородности. В частности, если рассматривать распределение с более сильным фокусирующим эффектом, то можно получить значительный рост амплитуды волны в фокальной области.
Представляет интерес сравнение амплитуд одиночного N-импульса и периодической пилообразной волны. Мелкомасштабная неоднородность оказывает более сильное влияние на амплитуду одиночного импульса, приводя к образованию резко выраженных областей с большой амплитудой. Крупномасштабная неоднородность, наоборот, сглаживает амплитуду одиночного импульса и более резко выделяет наибольшие значения для периодической волны. Наиболее значительно различие в поведении амплитуд при равенстве продольного и поперечного масштабов неоднородности, В этом случае для одиночного импульса нелинейное затухание и локальная фокусировка компенсируют друг друга, так что амплитуда волны в области сгущения лучей остается постоянной на бесконечности, в то время как амплитуда периодической волны стремится к нулю.
Основные уравнения нелинейной акустики
Все члены уравнения (1.5) имеют один и тот же порядок малости р; это согласуется с техникой вывода эволюционных уравнений методом медленно изменяющегося профиля [1, 3]. В предположениях (1.3), (1.4) о скоростях изменения параметров волны и среды в продольном и поперечном направлениях в уравнение (1.5) включены малые по величине (порядка р ) и «медленные» неоднородности скорости 9 Напротив, неоднородности плотности р предполагаются только медленными, но не малыми. Это обстоятельство позволяет использовать уравнение (1,5) для расчета нелинейных волн на трассах с большим перепадом высот. Уравнение (1,5) описывает волны со сложной структурой их профилей и спектров, в частности, пилообразные волны, учитывая при этом дифракционные эффекты. Оно также применимо для описания фокальных областей и каустик. Подобное уравнение при учете неоднородностей Я , Р = Ро было использовано в работе [136] для численного анализа похожей задачи. Таким образом, неоднородности плотности в уравнении (1.9) для функции Р приводят только к изменению коэффициента при нелинейном члене. Уравнение эйконала (1.7) описывает искажение формы исходного волнового фронта, а уравнение переноса (1.8), (1.9) - изменение профиля волны, обусловленное как искажением фронта, так и нелинейностью среды. Отметим, что (1.7) совпадает по форме с соответствующим уравнением линейной акустики. Напомним, что (1.7) следует из обычного уравнения эйконала: где п — показатель преломления. Пусть и»1; тогда эйконал можно представить в виде Ч = z + y/\jJZtyj/JX,- JjuyJ, где первое слагаемое соответствует однородной среде, а второе описывает слабые искажения фронта за счет неоднородности. Для функции у/ из (1.10) получаем уравнение совпадающее с (1.7); для однородной среды его правая часть равна нулю. Рассмотрим флуктуации скорости звука, сосредоточенные в бесконечно тонком слое 2 = 0. Вариациями плотности среды будем пренебрегать. В этом случае в уравнении (1.5) надо положить функцию $" пропорциональной S - функции от переменной Z. Очевидно, что за экраном (в области z 0) можно решать однородное уравнение (1.7), но с граничным условием Пусть плоская регулярная волна с произвольными временным профилем и поперечной структурой р0 \Х, у\ Т) распространяется в направлении оси z и падает на экран, расположенный при z — 0, приобретая дополнительный фазовый сдвиг VF0 (JC, у). Лучевая картина. Дифференцируя уравнение (1.7) по поперечным координатам, сведем его к системе двух уравнений типа римановых волн для косинусов углов наклона лучей а = & Jdx и р = сТІду к осям х и у соответственно: Система (1.12) имеет точное решение, определяемое парой связанных неявных выражений a{x,y,z)=A(x-az,y-pz), p(x,y,z) = B(x-az,y- pz), (1.13) где функции А\х,у)= а\Х)У)2 = 0), В\х у) = /?yx,y,z = 0) задают углы наклона лучей на экране z = 0.
Заметим, что решение (1.13) удобно использовать в параметрической форме Уравнение (1.19) можно точно решить для любого начального профиля волны. Поскольку наклон луча (а, В), попадающего в точку с координатами \х,у), определяется однозначно и равен наклону \а0,В0) этого же луча при z = 0, удобно перейти к лагранжевым пространственным переменным , т} — координатам выхода луча из плоскости г = 0 и решать уравнение (1.19) на фиксированном луче. Выразим производные функций наклона луча в новых переменных. Учитывая выражения для производных (16), получим: Здесь записана полная производная от S , поскольку се, /3 являются функциями только лагранжевых переменных ,77 и не изменяются с расстоянием Z. Введенная ранее функция S (1.17) играет роль якобиана перехода от физических координат \х у) к лагранжевым (,77). Упрощенное уравнение (1.20) получается из уравнения Вебстера в предположении медленности изменении профиля волны (1.3) в трубке с медленно изменяющимся поперечным сечением S(juz). С другой стороны, элемент поперечного сечения лучевой трубки, вышедшей из малой окрестности точки ( О)Уо) не Должен измениться при переходе к лагранжевым координатам; он равен dxdy = Syzjd drj, где S(z) = д\х,у)ід\ ,т)) - якобиан перехода. Таким образом, якобиан S имеет смысл поперечного сечения лучевой трубки на расстоянии z от экрана, сформированной близкими лучами, вышедшими из окрестности точки (,77,z = О). В уравнении (1.20) переменные и 77 играют роль параметров, поэтому (1.20) z легко интегрируется в характеристиках. Удобно ввести новую переменную S о так что d/dz = S V2d/ds. Учитывая выражение (1.17) для функции S = 1 + г(а + b) + z7 [аЬ - с2 ), получим:
Эволюция начального синусоидального профиля
Длительность N-импульса. На рисунке 1.11 приведены временные профили N-волны на расстояниях z=0,l (a), z=0,5 (в) и z=0,9 (с). Три профиля на каждом графике соответствуют минимальному, максимальному и промежуточному значению амплитуды разрыва на данном расстоянии от экрана. Видно, что длительность импульса с большей амплитудой также увеличивается с увеличением пройденного расстояния, и, следовательно, в областях больших амплитуд волновой фронт бежит быстрее и в целом происходит выпрямление фронта волны - саморефракция волны. Эволюция начального синусоидального профиля. Профиль волны описывается неявным решением (1.24) вплоть до появления неоднозначности, после чего в профиле необходимо провести разрыв. Из неявного решения (1.24) нетрудно получить выражение для координаты образования разрыва в профиле волны [1, 3]. Обращение производной др/дТ в бесконечность для первоначально гармонической происходит на расстоянии z, таком, что s{z) = zsh (1.25). Однако в отличие от распространения плоских волн, накопление нелинейных эффектов периодического искривленного фронта. Поведение кривых на рис.1.12 зависит от того, в какую область — сгущения или разрежения - попадает данный луч. Круглые пучки. Будем исходить из системы уравнений геометрической акустики (1.7)-(1.8) при постоянной плотности. В случае цилиндрической симметрии можно записать: Пусть Роу" г) = 11{г)Ф[т), функция R\f) описывает поперечный профиль амплитуды, а Ф(г) временной профиль. Рассмотрим, как и раньше, распространение уд1.35) и графиков виден интересный эффект — при достаточно большой нелинейности, когда длина образования разрыва мала, происходит насыщение поперечной амплитуды. Амплитуда волны в окрестности оси пучка перестает зависеть от начального распределения и только слабо зависит от поперечной координаты за счет зависимости эффективного расстояния s. Особенно нагляден этот эффект для сфокусированной волны - фронт волны выпрямляется, а при очень больших интенсивностях даже выгибается, образуя локальный минимум на оси пучка, Статистические характеристики прошедшей волны Рассмотрим теперь статистические характеристики волны, которая пересекает экран, сообщающий волне случайный (в плоскости (х,у)) сдвиг фазы. Согласно решению (1.24), статистика волны в среде определяется статистикой производных от наклонов а,Ь,с, которые имеют смысл сходимости лучей при 2 = 0. Эти производные можно выразить через сходимости на произвольном расстоянии г О от экрана. Плотность вероятности сходимостей. Пусть задано распределение сходимостей на экране при z = О: Поскольку ayb)C, как вторые производные эйконала, являются зависимыми величинами, их совместное распределение W вычисляется следующим образом, Зададим на экране случайную фазу, распределенную по нормальному закону.
Совместное распределение производных также будет иметь нормальный вид: соответствующей производной, D — определитель матрицы коэффициентов корреляции производныхg — A\h + с J = [а + b) — Aab = {a — b) 0. Тогда задать область определения параметров можно следующим образом. Зафиксируем некоторое значение g и учтем, что для любого g выполняется условие g 4ht 4c 0. Отсюда при произвольных значениях с для значений арных профилей — одиночного N-импульса и периодической "пилообразной" волны. Из общего решения (1.33) легко получить следующие выражения: профиля для сфокусированной волны с периодическим "пилообразным" профилем (решение (1.35)) показано на рисунке 1,13 а. На рисунке І.ІЗв изображено искажение поперечного амплитудного профиля для периодической неоднородности А = -$т. Из решения (1.35) и графиков виден интересный эффект — при достаточно большой нелинейности, когда длина образования разрыва мала, происходит насыщение поперечной амплитуды. Амплитуда волны в окрестности оси пучка перестает зависеть от начального распределения и только слабо зависит от поперечной координаты за счет зависимости эффективного расстояния s. Особенно нагляден этот эффект для сфокусированной волны - фронт волны выпрямляется, а при очень больших интенсивностях даже выгибается, образуя локальный минимум на оси пучка, Статистические характеристики прошедшей волны Рассмотрим теперь статистические характеристики волны, которая пересекает экран, сообщающий волне случайный (в плоскости (х,у)) сдвиг фазы. Согласно решению (1.24), статистика волны в среде определяется статистикой производных от наклонов а,Ь,с, которые имеют смысл сходимости лучей при 2 = 0. Эти производные можно выразить через сходимости на произвольном расстоянии г О от экрана. Плотность вероятности сходимостей. Пусть задано распределение сходимостей на экране при z = О: Поскольку ayb)C, как вторые производные эйконала, являются зависимыми величинами, их совместное распределение W вычисляется следующим образом, Зададим на экране случайную фазу, распределенную по нормальному закону. Совместное распределение производных также будет иметь нормальный вид: соответствующей производной, D — определитель матрицы коэффициентов корреляции производныхg — A\h + с J = [а + b) — Aab = {a — b) 0. Тогда задать область определения параметров можно следующим образом. Зафиксируем некоторое значение g и учтем, что для любого g выполняется условие g 4ht 4c 0. Отсюда при произвольных значениях с для значений h получаем область изменения h g /4. Теперь, при определенных значениях g и h, область изменения параметра с ограничена неотрицательными значениями подкоренного выражения в (1.38): с g /4 — h. Тогда Плотность вероятности площади лучевой трубки. Используя полученную плотность вероятности функций сходимости (1.37), можно рассчитать характеристическую функцию и плотность вероятности распределения площади лучевой трубки. Производя соответствующее усреднение, получим для характеристической
Периодический сигнал
Зависимости амплитуд первых трех гармоник решения (2.27) (кривые 1а, 2а, За соответственно) представлены на рис.2.7 для значения параметра Z0 = 1. Для сравнения на рисунках изображены кривыми с номером lb, 2b и ЗЬ первая, вторая и третья гармоника соответственно в однородной среде. На рисунке слева представлены гармоники в области сгущения лучей при у — 71, и на рисунке справа гармоники в области разрежения лучей при у = 0, Спектральное разложение (2.27) справедливо вплоть до расстояния, на котором впервые образуется неоднозначность профиля. Мы видим, что за счет пространственного перераспределения энергии амплитуды первых двух гармоник в области сгущения лучей не только превосходят соответствующие амплитуды в однородной среде, но и растут с расстоянием по сравнению с начальной амплитудой. Энергия на увеличение амплитуды черпается как из высших гармоник, которые генерируются медленнее по сравнению со случаем однородной среды, так и из областей разрежения лучей, где амплитуды гармоник убывают значительно быстрее, чем в однородной среде. Тем не менее, из анализа уравнения (2.9) можно показать, что общая энер рисунке справа гармоники в области разрежения лучей при у = 0, Спектральное разложение (2.27) справедливо вплоть до расстояния, на котором впервые образуется неоднозначность профиля. Мы видим, что за счет пространственного перераспределения энергии амплитуды первых двух гармоник в области сгущения лучей не только превосходят соответствующие амплитуды в однородной среде, но и растут с расстоянием по сравнению с начальной амплитудой. Энергия на увеличение амплитуды черпается как из высших гармоник, которые генерируются медленнее по сравнению со случаем однородной среды, так и из областей разрежения лучей, где амплитуды гармоник убывают значительно быстрее, чем в рисунке справа гармоники в области разрежения лучей при у = 0, Спектральное разложение (2.27) справедливо вплоть до расстояния, на котором впервые образуется неоднозначность профиля. Мы видим, что за счет пространственного перераспределения энергии амплитуды первых двух гармоник в области сгущения лучей не только превосходят соответствующие амплитуды в однородной среде, но и растут с расстоянием по сравнению с начальной амплитудой. Энергия на увеличение амплитуды черпается как из высших гармоник, которые генерируются медленнее по сравнению со случаем однородной среды, так и из областей разрежения лучей, где амплитуды гармоник убывают значительно быстрее, чем в однородной среде.
Тем не менее, из анализа уравнения (2.9) можно показать, что общая энергия за счет рассеяния на неоднородностях убывает с расстоянием. После появления неоднозначности решение (2.26)-(2.27) становится несправедливым в областях образования "перехлеста" в профиле, и необходимо дополнительно проводить разрыв. Эволюция исходно синусоидального сигнала представлена на рисунке 2.8. Представлены профили на расстояниях z=Q; 0.5; 0.75; 1.5. Исходно синусоидальный временной профиль с независящей от поперечной координаты формой при 2=0 начинает искажаться в различной степени, в зависимости от поперечной координаты. Первое образование неоднозначности происходит на расстоянии около z=0.7 в точке сгущения лучей. В то же время в области разрежения лучей разрыв еще не образуется даже на расстоянии z=1.7. Отыскивая автомодельные подстановки аналогично (2.5), можно убедиться, что система f\ (JC, у) л f-y (XtУ) уравнений (2.28) также имеет решение вида а = — - и р=—— для Z Z неоднородности, обратно пропорциональной квадрату продольной координаты: g = — \ -. Тогда для функций flf /г получим следующую систему уравнений: Z Эта система для периодической зависимости неоднородности скорости в поперечном направлении v = cosjecos y-l/4cos2xcos2 1, что соответствует правым частям к, =l/2sin2;ccos2 -sinxcos , vy І/гсозгхдіпг -созхзіпу, имеет следующее решение: _/j = sin х cos у, f2 — cos x sin у. Таким образом, в трехмерной задаче мы получаем следующие функции квадрату продольной координаты: g = — \ -. Тогда для функций flf /г получим следующую систему уравнений: Z Эта система для периодической зависимости неоднородности скорости в поперечном направлении v = cosjecos y-l/4cos2xcos2 1, что соответствует правым частям к, =l/2sin2;ccos2 -sinxcos , vy І/гсозгхдіпг -созхзіпу, имеет следующее решение: _/j = sin х cos у, f2 — cos x sin у. Таким образом, в трехмерной задаче мы получаем следующие функции гия за счет рассеяния на неоднородностях убывает с расстоянием. После появления неоднозначности решение (2.26)-(2.27) становится несправедливым в областях образования "перехлеста" в профиле, и необходимо дополнительно проводить разрыв. Эволюция исходно синусоидального сигнала представлена на рисунке 2.8. Представлены профили на расстояниях z=Q; 0.5; 0.75; 1.5. Исходно синусоидальный временной профиль с независящей от поперечной координаты формой при 2=0 начинает искажаться в различной степени, в зависимости от поперечной координаты. Первое образование неоднозначности происходит на расстоянии около z=0.7 в точке сгущения лучей. В то же время в области разрежения лучей разрыв еще не образуется даже на расстоянии z=1.7. Отыскивая автомодельные подстановки аналогично (2.5), можно убедиться, что система f\ (JC, у) л f-y (XtУ) уравнений (2.28) также имеет решение вида а = — - и р=—— для Z Z неоднородности, обратно пропорциональной квадрату продольной координаты: g = — \ -. Тогда для функций flf /г получим следующую систему уравнений: Z Эта система для периодической зависимости неоднородности скорости в поперечном направлении v = cosjecos y-l/4cos2xcos2 1, что соответствует правым частям к, =l/2sin2;ccos2 -sinxcos , vy І/гсозгхдіпг -созхзіпу, имеет следующее решение: _/j = sin х cos у, f2 — cos x sin у. Таким образом, в трехмерной задаче мы получаем следующие функции наклона лучей для периодической неоднородности:
Приближение нормального шума для плоских волн
Как уже говорилось выше, усреднение исходного нелинейного динамического уравнения приводит к появлению моментов высшего порядка, образую в результате бесконечную цепочку связанных уравнений. Не предполагая малости флуктуации, эти моменты в общем случае нельзя выразить через среднее поле и моменты более низкого порядка, чтобы замкнуть такую цепочку и получить систему с конечным числом уравнений. Например, непосредственное усреднение уравнения (3.2) приводит к уравнению; Таким образом, трансформация среднего поля в квадратично-нелинейной среде определяется, в частности, средней интенсивностью волны. Умножая уравнение (3.2) на р и соответственно преобразуя, можно получить уравнения для высших моментов. Однако эти уравнения также будут незамкнуты и будут содержать еще более высокие моменты поля. В таком случае, поле можно описать только бесконечной цепочкой связанных уравнений для моментов поля. Для получения замкнутых уравнений необходимо эту цепочку как-то разорвать. Можно положить равным нулю некоторый момент высшего порядка, считая что флуктуации достаточно слабые и нелинейностью высших порядков можно пренебречь. Но есть более продуктивный способ замкнуть цепочку уравнений. Будем считать, что флуктуации скорости распределены по гауссовскому закону с нулевым средним, а также что флуктуации дельта-коррелированы в продольном направлении, т.е. корреляционная функция флуктуации скорости звука имеет следующий вид: {g(x},yt,zl)g(x2,yl,Zj)} = (T K(x1-x2iyl-y2)s(zl-z2)t где 6{zl-z2) - дельта-функция, и имеет некоторый радиус корреляции в поперечном направлении. При достаточно слабых флуктуациях, когда дисперсия акустического давления р невелика и флуктуации давления в основном сосредоточены вблизи среднего значения, можно считать давление также распределенным по гауссовскому закону. В этом случае распределение определяется только двумя параметрами - средним полем (р) и дисперсией \{р — {р) }) все более высокие моменты выражаются через эти два, и, соответственно, цепочка уравнений может быть эффективно оборвана на втором уравнении. Такой подход, когда в разложении по моментам ограничиваются первыми двумя моментами, принято называть приближением нормального шума или гауссовским приближением. Для иллюстрации предложенного метода рассмотрим более простое по сравнению с уравнением (3.2) уравнение простых волн с флуктуациями скорости звука.
Оно может быть точно получено из уравнения (3.2) для плоских волн, а также приближенно для случаев, когда дифракцией можно пренебречь по сравнению с нелинейными эффектами. Итак, будем рассматривать следующее уравнение: где введена средняя интенсивность волны / = \р2) Это уравнение незамкнуто как из-за входящей суда интенсивности волны, для которой надо получить второе уравнение, так и из-за корреляции между флуктуациями скорости и давлением. Для вычисления корреляции используем 8 — коррелированность флуктуации и представим поле в виде: p{z r)= p{z Sz,z)+Sp. Такое представление удобно тем, что величины p{z 5z,v) и ф оказываются некоррелированными, что позволяет получить замкнутое выражение для корреляции в (3.13). Для приращения давления из (3.12) получим: При малых Sz можно пренебречь изменением подынтегральных функций от медленно меняющегося давления р по сравнению с быстрыми флуктуациями скорости звука и вынести их из-под интеграла: Тогда, учитывая, что в силу S — коррелированное флуктуации скорости в точки z и давление в предыдущей точке некоррелированы \ {z)p\z — &,Т}) — 0, можно легко вычислить необходимую корреляцию: Подставляя полученное выражения для корреляции в уравнение (13), получаем уравнение для среднего поля: Чтобы замкнуть цепочку уравнений осталось найти уравнение для средней интенсивности. Записываем: Корреляция в (3.16) вычисляется аналогично (3.14), наибольший вклад дает член с быстро флуктуирующей скоростью звука. В результате, можно записать: Однако уравнение (3.17) остается незамкнутым относительно первых двух моментов. Теперь, в соответствии с гауссовским приближением, среднее от куба давления может быть выражено через среднее давление и интенсивность: Здесь учтено, что центральный третий момент для гауссовского распределения равен нулю, Выражая из (18) (р ) = 3s{p} — 2(/?у и подставляя в (17) получаем: дв дв 2 Решение системы (3.23) для среднего давления и дисперсии приведено на рисунке 3.2. На графиках а-с изображены временные профили среднего давления для значений дисперсии фазы а2 = 0.05;0.2;1 соответственно. На графиках d-f изображены соответствующие профили дисперсии давления для тех же значений дисперсии фазы. Каждый график изображает соответствующие профили на различных расстояниях входа в среду, цифры на графиках соответствуют расстояниям 1 — z=0 для среднего давления и z=0.001 для дисперсии (при z=0 дисперсия, очевидно, равна нулю) ; 2- z=0,5; 3 - z=l, 4 -zr=2, 5 — z 5. С увеличением расстояния происходит сглаживание ударных фронтов и уменьшение пиковой амплитуды за счет «турбулентной» вязкости. В то же время дисперсия растет, так что остается вероятность наблюдения больших выбросов амплитуды. Кроме того, по сравнению с рисунком 3.1 длительность импульса оказывается больше, и профиль волны более изрезан. На рисунке 3.3 приведены для сравнения временные профили среднего давления (графики а-с) и дисперсии давления (графики d-f) для различных значений дисперсии фазы. На рисунке 3.4 приведено сравнение решения системы гауссовского приближения для нелинейной системы (3.23) и ее линеаризованного аналога. Кривые с номером 1 соответствуют нелинейной волне, с номером 2 — линейной. Хорошо видно, что нелинейность приводит к увеличению максимальной амплитуды импульса.
