Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразователеи методом конечных элементов без учета пьезоэффекта 21
1.1. МКЭ, его основные положения, преимущества и недостатки 22
1.2. Одномерные колебания бесконечной упругой пластины; метод Бубнова - Галеркина 26
1.3. Типы конечных элементов. Интерполяция скалярных и векторных величин 33
1.4. Основные соотношения метода конечных элементов для анализа колебаний упругих тел 39
1.5. Численное интегрирование 44
1.6. Формирование глобальных матриц 46
1.7. Учет механических граничных условий и условий симметрии 48
1.8. Собственные колебания конечных упругих тел 49
1.9. Собственные колебания прямоугольника 51
1.10. Собственные колебания конечных цилиндров 55
1.11. Полуаналитичесвий метод конечных элементов. Собственные колебания осегаллирующего и изгибного цилиндров 59
1.12. Выводы 64
Глава 2. Моделирование и анализ собственных колебаний пьезопреобразователеи методом конечных элементов с учетом пьезоэлекгрического и пьезомагнитного эффектов 66
2.1. Учет пьезоэлектрического эффекта в конечно-элементной модели пьезоэлектрического преобразователя 67
2.2. Формирование обобщенной элементной подынтегральной матрицы жесткости 72
2.3. Учет электрических граничных условий, конденсация 76
2.4. Режимы резонанса и антирезонанса. Динамический коэффициент элекгромеханической связи 79
2.5. Собственные колебания пьезопрямоугольника 83
2.6. Собственные колебания пьезоцилиндров с радиальной поляризацией 86
2.7. Собственные колебания пьезоцилиндров с осевой поляризацией 99
2.8. Влияние формы электродов на эффективность возбуждения собственных колебаний пьезоцилиндров 108
2.9. Моделирование пульсирующих колебаний тангенциально поляризованных оболочек вращения 111
2.10. Собственные колебания пьезоцилиндров с тангенциальной поляризацией 117
2.11. Учет пьезомагнитного эффекта в конечно-элементной модели пьезомагнитного преобразователя 122
2.12. Собственные колебания пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой 128
2.13. Собственные колебания осциллирующего и изгибного пьезоцилиндров 133
2.14. Собственные колебания полых пьезоконусов 139
2.15. Анализ собственных колебаний пьезопреобразователя сложной конструкции 144
2.16. Выводы 149
Глава 3. Моделирование и анализ акустического излучения конечных пьезопреобразователеи 152
3.1. Учет акустического излучения в конечно-элементной модели пьезопреобразователя в экране, постановка задачи 155
3.2. Определение матрицы импеданса акустического поля и узловых сил, эквивалентных излучению 158
3.3. Определение частотных характеристик пьезопреобразователя и дальнего поля излучения 162
3.4. Анатиз эффективности излучения пьезопластин конечных
3.5. Методы учета акустического излучения пьезопреобразователеи без экрана 168
3.6. МГЭ, его основные положения, преимущества и недостатки 170
3.7. Комбинированный метод конечных и граничных элементов для анализа пьезопреобразователеи 173
3.8. Основные соотношения метода граничных элементов для анализа осесимметричных пьезопреобразователеи 178
3.9. Проверка программы метода граничных элементов по известным аналитическим результатам 184
3.10. Исключение погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах 188
3.11. Сравнение результатов расчетов по комбинированному методу конечных и граничных элементов с известными теоретическими и экспериментальными результатами 199
3.12. Анализ водозаполненного тангенциально поляризованного пьезоцилиндра 211
3.13. Анализ гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцилиндров 222
3.14. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним твердым заполнением 232
3.15. Анализ цилиндрического пьезопреобразователя с внутренним стержнем 244
3.16. Анализ водозаполненной пьезокерамической оболочки 252
3.17. Анализ цилиндрического водозаполненного пьезопреобразователя с внутренней упругой перегородкой 263
3.18. Выводы 270
Заключение 273
Приложение 277
Литература 308
- МКЭ, его основные положения, преимущества и недостатки
- Собственные колебания пьезоцилиндров с осевой поляризацией
- Исключение погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах
- Анализ гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцилиндров
МКЭ, его основные положения, преимущества и недостатки
МКЭ успешно применяется при решении самых различных физических задач. Приложения этого метода представлены в монографиях [29, 44, 59, 65 67, 87, 98, 101, 102, 114], опыт использования МКЭ в электрорадиотехншсе рассмотрен в книге [115]. Последовавшая затем теория изложена в монографиях [54, 66, 99, 121, 123]. Кратко рассмотрим, основываясь на этих работах, развитие, применение и основные положения МКЭ.
Хотя идеи интерполяции использоватись в зачаточном виде уже в Древнем Вавилоне и Египте и опередили математический анализ более, чем на две тысячи лет [102], все же реальной точкой отсчета применения МКЭ является, вероятно, середина XX века. В 1943 г. Курант описал процедуру решения с использованием линейной аппроксимации на треугольных элементах, основанную на вариационном принципе минимума потенциальной энергии [101]. В инженерных приложениях МКЭ впервые был применен в начате 50-х годов группой Тернера (Боинг эркрафт корпорейшен), использовавшей матричные методы для дискретных CTpvKTvp к непрерывным структурам путем разбиения их на конечное число элементов [1011.
Дальнейшее развитие этого метода связано со строительной механикой и механикой твердого тела. С 60-х годов МКЭ стат широко применяться для решения самых разнообразных задач. Основные области его использования -аэрокосмические объекты, суда, автомобили, инженерные конструкции, динамика плазмы, потоки в ядерных реакторах, упругие, акустические и электромагнитные поля, медико-биологические исследования. Уже в 1976 г. число опубликованных работ по МКЭ превысило 7 тыс. [101].
Для решения краевых задач математической физики используются два основных метода: дифференциальный и вариационный. В первом случае исходными являются дифференциальные уравнения, которые описывают поведение бесконечно малой области, и соответствующие краевые условия. Однако точные аналитические решения можно получить лишь для самых простых уравнений внутри простейших геометрических границ. Для приближенного решения более сложных задач применяется дискретизация непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями. Одним из простейших видов дискретизации является МКР.
Во втором методе используются различные вариационные принципы, которые справедливы для некоторой конечной области. Математически вариационный принцип выражается в том, что интеграл от некоторой функции (функционал) имеет меньшее (или большее) значение для реального состошжя системы, чем для любого возможного состояния. Вариационные методы используются в том случае, когда невозможно получить точное аналжлэяеское решение и строится приближенное аппроксимирующее решение. Его можно достичь методом взвешенных невязок, методом Рэлея-Ритпа, методом Галеркина. Вариационные методы позволяют получить приближенное решение на основе базисных функций, которые связаны с конкретной системой координат и выбираются для всей рассматриваемой области в целом. МКЭ, который является вариационно-разностным методом также дает приближенное решение и особенность его состоит в выборе специальных кусочно-определенных базисных функций, которые называются функциями формы. Для области, имеющей СЛОЖНУЮ геометрическую форму (или изменяемые физические параметры вНУТРИ нее) решение можно ПОЛУЧИТЬ обычно только К4КЭ Позже дополнительно к вариаііионному 4КЭ который можно назвать классическим МКЭ; наиболее Бубнова Галеркина метод наименьших квадратов метод глобального баланса, или метод Одена
Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину (скалярную или векторную) можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве к\сочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей - конечных элементов. Кусочно-непрерывные функции выражаются через значения непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. МКЭ по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей, имеющих конечное число степеней свободы. В применениях МКЭ обычно присутствуют следующие основные этапы;
1. Дискретизaция области, то есть разделение сплошной среды существующими или воображаемыми поверхностями или линиями на некоторое количество КЭ. При этом предполагается, что КЭ связаны между собой в узловых точках (узлах), расположенных на их границах.
2. Локальная аппроксимация искомой фушщии (или функций) на каждом КЭ непрерывными функциями, которые однозначно определены значешшмк функции (иногда и значениями ее производных) в узловых точках, принадаежащих этим элементам.
3. Построение матричного представления для каждого КЭ на основе соответствующего вариационного принципа или иначе.
4. Построение матричного представления для всей области.
5. Учет граничных условий и условий симметрии.
6. Решение системы линейных уравнений или матричной задачи на собственные значения.
Укажем основные преимущества МКЭ, из-за которых он получил столь широкое применение:
1. Криволинейную область можно либо приближенно аппроксимировать с помощью прямолинейных КЭ, либо точно описать с помощью криволинейных КЭ, следовательно, МКЭ применим для областей с произвольной формой границы.
2. Физические свойства матернатов отдельных КЭ могут быть различными. Это позволяет применять МКЭ к сложным конструкциям, состоящим из разных материалов.
3. Размеры КЭ могут быть переменными, следовательно, можно укрупнять или измельчать разбиение части области на КЭ.
Хотя в последних теоретических работах показано, что МКР может быть включен (как подкласс) в более общую категорию МКЭ [66], в старом споре между сторонниками МКР и МКЭ автор стоит на стороне последних. Основанием хля такой позиции являются прежде всего значительные достижения применения МКЭ к задачам колебаний и излучения звука конечными телами. По этой причине автор солидарен с мнением более авторитетного специалиста Р.Гатлагера [44]; "Если поведение конструкции описывается единственным дифференпиальным уравнением, то получить приближенное рещение этого уравнения можно как методом конечных элементов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно-разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным "равнением то в этом случае как правило можно непосредственно применить лишь метод конечных элементов" а также мнением редактооз. перевода книги [115] Ф.Ф.Дубровки: "В отличие от метода конечных разностей метод конечных элементов обеспечивает единственность приближенного решения во всех точках рассматриваемой области и является значительно более эффективным на практике"
Главный недостаток МКЭ заключается, возможно, в том, что для его применения необходимо составление (или использование) достаточно сложных вычислительных программ и применение ЭВМ. Вычисления, которые требуется проводить при использовании МКЭ, достаточно громоздки даже в случае решения простых задач. Для решения сложных задач необходимо применять быстролействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
Однако уже давно очевидно, что все попытки решения достаточно сложных задач любыми другими методами также неизбежно приведут к составлению программ и применению ЭВМ, то есть "чистые" аналитические методы в хорошо разработанных областях науки и техники практически исчерпали свои возможности и превратились в "псевдоаналитические" (разница лишь в том, что для получения численных результатов они предполагают разработку специализированных программ). Поэтому создание сложных программ в любом случае неизбежно. МКЭ позволяет же получить довольно мощное универсальное математическое обеспечение, что является его большим преимуществом. Программы МКЭ имеют одну общую черту - блочность, или модульность основных операций. Хорошая программа позволяет пользователю дополнять ее новыми блоками: например, новыми типами КЭ, улучшенными методами решения задач линейной алгебры большой размерности различными способами графического вывода результатов и т.п. Возможности же уже имеющихся ЭВМ в том числе хороших персональных компьютеров позволяют решать довольно сложные задачи и получать полезные теоретические и практические результаты.
Собственные колебания пьезоцилиндров с осевой поляризацией
Собственные колебания пьезоцилинлров с осевой поляризацией в рассматриваемой здесь постановке исследовались экспериментально [2, 219], на основе теории оболочек [153] и вариационным методом [91].
Моделирование собственных колебаний пьезоцилиддров с осевой (аксиальной) поляризацией осуществляется с использованием подпрограммы 21 (при 1Р=0), которая формирует обобщенную подынтегральную элементную матрицу жесткости (2.21). При осевой поляризации направление поляризации и ось 3 совпадают с осью z, это приводит к небольшим изменениям в матрицах [Ве] (разд. 2.6): строки меняются местами и [Bs]: эти изменения отражены в подпрограмме 21.
Результаты расчетов по МКЭ проверены по результатам работы [91], в которой использован вариационный метод Ритца, и точными решениями для предельных случаев, приведенными в ней - табл. 2.2. В этой таблице приведено сравнение первых четырех, нормированных так, как в статье [91], резонансных частот {f=0,&lkta) для короткого {11а=0,04, аппроксимация 8x2 КЭ, 8 - по радиусу, 2 - по высоте) и длинного {11а-26.7, аппроксимация 2x8 КЭ) цилиндров с толщиной стенки h/a=0,33, выполненных из пьезокерамики ТБКС. Из табл. 2.2 следует, что аппроксимация половины осевого сечения толстостенного цилиндра шестнадцатью КЭ обеспечивает достаточную для практики и не худшую, чем при вариационном методе точность (для первых четырех мод погрешность составляет менее одного процента).
Размер цилиндра, как и для радиально поляризованного случая, определяется безразмерными отношениями На и hla. Рассмотрим симметричные по длине (высоте) колебания пьезоцилиндра, плоские поверхности которого полностью покрыты электродами. Осевая поляризация обычно используется в толстостенных цилиндрах, поэтому рассмотрим сначала колебания пьезоцилин-дров с толщиной стенки h/a=0,3 и h/a=0,5, а затем кратко - и с hla=Qt\, выполненных из пьезокерамики ЦТБС-3. Спектры собственных частот в обнгаїчх координатах (разд. 2.6) и зависимости ДКС представлены нарис. 2.13-2.18.
Основной отличительной особенностью спектров собственных частот аксиально поляризованных пьезоцклиндров по сравнению с радиально поляризованными является изменение эффективности возбуждения некоторых мод.
Увеличивается ДКС первой моды, который для длинных цилиндров достигает значения к33, и ДКС третьей моды. Радиальные колебания длинных цилиндров при осевой поляризации практически не возбуждаются, что ранее отмечалось экспериментально [2]. Численные значения резонансных безразмерных параметров для первых трех мод изменяются мало, для высших мод - больше, так как уменьшается длина волны и изменение типа поляризации оказывает на них значительное влияние.
Рассмотрим первую моду. При смене типа поляризации характер распределения смещений меняется слабо, что следует из сравнения рис. 2.9,а, 2.19,а; динамика изменения смещений при изменении длины цилиндра сохраняется (рис. 2.19,6). Характерным для осевой поляризации является отсутствие минимума ДКС при соизмеримых размерах цилиндра. При увеличении длины цилиндра ДКС увеличивается до кззи достигает предельного значения при 1/а 2 (h/a=0,3) и l/a 3,5 (/г/ Z=0,5); осевая компонента смещения постоянна га, торце при 1/а 2 (Мт=0,3) и lla 3 (h/a=0,5).
Вторая мода плохо возбуждается во всем диапазоне изгибных колебаний (вертикальный участок) и краевого резонанса длинных цилиндров. Предельное значение второй моды при 1/а»\ соответствует третьей гармонике продольных колебаний, ДКС равен к331Ъ. Максимум ДКС при 11а \ соответствует толщин-ным колебаниям при соизмеримых значениях толщины и высоты цилиндра, ДКС примерно 0,45.
Пьезоактивный участок третьей моды описывает колебания по высоте, ДКС достигает большего значения, чем в случае радиальной поляризации, W=0,53 при h/a=0,3 и =0,48 при h/a=0T5. При изменении высоты ыилиндра в этом диапазоне меняется соотношение величин осевой и радиальной компонент смещения (рис. 2.19,в, г), а также распределение осевой компоненты на торце цилиндра. Следовательно, для любого состава пьезокерамики можно выбрать оптимальный размер пьезоцилиндра.
Заметам, что под оптимальным размером здесь и далее понимается размер (или диапазон размеров, это зависит от формы кривой), при котором ДКС максимален.
Четвертая и пятая моды от изгибных колебаний переходят к радиальным колебаниям длинных цилиндров, которые при осевой поляризации слабо возбуждаются электрическим полем (рис. 2.19,д, е).
Пьезоактнвные участки шестой и седьмой мод соответствуют третьей гармонике высотных колебаний (рис. 2.19,ж, з). Этот участок спектра сушественно изменяется при смене типа поляризации.
Для тонкостенного цилиндра (рис. 2.17) наблюдается попадание непьезо-актиБного участка четвертой моды в пьезоактивный (заштрихованный) участок предыдчтцей третьей моды; аналогичная ситуация встречалась и для радиалшо поляризованного цилиндра, она пояснена в разд. 2.6. Для тонкостенного цилиндра (М2=0Д) в интервале //ає(1,2; 1,9) существует небольшой вьезоак-тивный утасток на четвертой моде, который описывает радиально-объемные колебания с неравномерным распределением радиальной компоненты смешения и соизмеримой осевой компонентой (рис. 2.17, 2,18).
При уменьшении толщины стенки наблюдается более резкое изменение ДКС мод, опнсываюших третью гармонику высотных колебаний, - моды 6, 7, 8 на рис. 2.18 при отклонении от пьезоактивного участка. Аналогичная ситуация была н в случае радиальной поляризации, она объясняется быстрой сменой типа колебаний при отклонении от пьезоактивного участка.
Для пьезокерамики НБС-1 основные закономерности спектров собственных частот (рис. 2.20, 2,21), а следовательно, и зависимостей ДКС от la сохраняются, но ДКС получается меньшим, так как у этой керамики меньше соответствующие статические КС. Резонансные безразмерные частотные параметры у этой керамики ниже, чем у керамики ЦТБС-3.
Сравнение двух типов поляризации (осевой и радиальной) показывает, что влияние шла поляризации сказывается прежде всего на изменении эффективности возбуждения различных участков спектра. Это объясняется изменением соответствия приложенного электрического поля форме собственных колебаний.
Результаты, полученные для пьезоцилиндров с радиальной и осевой поляризацией- имеют большое практическое значение, так как позволяют оценить пределы применимости классических одномерных теорий и обосновать выбор оптиматьных геометрических размеров ПЭП, обеспечиваюших максимальный ДКС.
Исключение погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах
Известно, что МГЭ имеет погрешность решения на критических частотах, которые являются собственными частотами для внутренней задачи Дирихле (при условии, что внутренняя замкнутая область заполнена жидкостью, окружающей поверхность 5). На этих частотах погрешность МГЭ приводит к появлению дополнительных ложных экстремумов на частотных характеристиках ПП.
Отметим, что эта проблема является давней и хорошо известной, поскольку она изучалась еще в связи с применением ГИУ Гельмгольца для решения задач излучения и рассеяния звука. Для ее преодоления применялись различные методы, которые изложены, например, в известной монографии [133]. Эта проблема остается актуальной и для МГЭ (а следовательно, и комбинированного метода конечных и граничных элементов), поскольку он в данном случае является одним из способов численного решения ГИУ Гельмгольца. Заметим, что для анализа ПП с учетом пьезоэффекта этот вопрос ранее не рассматривался.
В простейших случаях ложные резонансы ПП можно вычислить отдельно и исключить их на частотных характеристиках. Для определения критических частот нужно найти собственные значения задачи Дирихле для внутренней области. Для тел простейшей геометрической формы это сделать несложно, однако в случае ПП произвольной формы это является отдельной проблемой.
Для тела с излучающей поверхностью в форме сферы или цилиндра критические частоты определяются сравнительно просто [226]. Для сферы радиуса а собственные волновые числа к являются корнями сферической функции Бесселя j„,(kmnay=0, т, и=0, 1, ... . Для сплошного цилиндра радиуса о и высоты L собственные волновые числа ктЬ определяются из выражения km!ria=((nm/L)2+ +(Гті)2У\ где ym/ - корни цилиндрической функции Бесееля Jm(ymia)=0.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда ложный резонанс попадает в рабочую полосу частот, так как он может внести большую погрешность в определение основных характеристик ПП Аппроксимирующая система уравнений (3.38) дает приближенное решение, которое при увеличении количества ГЭ или порядка аппроксимации в пределах ГЭ стремится к точному, но дает погрешность на критических частотах. Погрешность и неединственность решения связаны с появлением сингулярности; матрица этой системы становится плохо обусловленной в окрестности критических частот. При решении систем уравнений с такими матридами возможно большое накопление погрешности. При использовании небольшого количества ГЭ (небольшого, но достаточного для определения параметров конкретного ПП) увеличивается погрешность в диапазоне критической частоты. В статье [151] показано, что это связано с плохой сходимостью численного интегрирования вблизи точки сингулярности. Диапазон погрешности можно уменьшить, увеличивая количество ГЭ; но погрешность на критической частоте можно устранить, только изменяя аппроксимирующее уравнение (3.38).
Во многих последних зарубежных статьях, например [149, 151, 225, 226, 237, 243] и других, посвященных применению МГЭ для задач излучения, обсуждаются проблема неединственности решения и различные способы ее преодоления, основанные главным образом на ранее известных методах [133]. Одним из удачных приемов остается использование старого метода, предложенного еще в фундаментальной работе [223]. В отличие от других методов, изучавших проблему неединственности решения модификацией ГИУ Гельмгольца или фундаментального решения (функции Грина), в этой работе само ГИУ Гельмгальца применено к М дополнительным внутренним точкам. Система уравнений с квадратной матрицей NxN для граничных точек увеличивается на М уравнений с нулевой правой частью. Результирующая переопределенная система уравнений с прямоугольной матрицей (Ы+M)xN решается методом наименьших квадратов. В статье [226] рассмотрен модифицированный метод и исследована зависимость давления (потенциала скорости) от расположения дополнительных точек, а также предложен их выбор для тел сферической и цилиндрической формы.
Рассмотрим влияние погрешности МГЭ на рассчитываемые характеристики конкретного ПЭП при использовании двух подходов учета акустической нагрузки, исследуем возможность исключения погрешности на критических частотах н выбор расположения дополнительных точек.
Перечисленные выше проблемы хорошо проявляются при анализе цилиндрического ПЭП, изображенного на рис. 3.6. Для этого ПЭП известны экспериментально измеренные характеристики, что позволяет контролировать численные расчеты. ПЭП состоит из секционированного пьезоцилиндра с осевой поляризацией 1 и металлического цилиндра 2; фактически пьезоцилиндр помешен внутрь массивной оболочки из алюминия. Конструкция такого ПЭП собирается из двух половинок. В гидроакустической аппаратуре он работает в жестком экране и излучает одной торцевой плоскостью. Рассмотрим работу этого ПЭП, полностью погруженного в воду. Расчетная схема ПЭП приведена на рис. 3.7, его объем разбит на кольцевые КЭ (пьезоактивные и пассивные), а поверхнсстъ - на кольцевые ГЭ; при расчетах использованы элементы второго порядка,
Исследуемый ПЭП имеет цилиндрическую излучаюшую поверхность, что позволяет довольно просто определить критические частоты. Для цилиндра с относительным размером L/a=l,24 {IMi+l ) в вассматриваемом мастотном диапазоне существует несколько критических частот. Наиболее значительное влияние на погрешность оказывает критическая частота/=52,7 кГц, соответствующая безразмерному частотному параметру ,я=4,55; скорость поперечной волны в пьезокерамике равна С=2000 м/с. Выполнены расчеты для ПЭП с размерами а=27,5 мм, я7=5 мм, а2=П мм, аз=4 мм, /=22 мм, lj=lf=6 мм из пьезокерамики ЦТБС-3 и алюминия; параметры материалов соответствуют справочным данным.
Анализ свободных колебаний позволяет определить частоты резонанса _, антирезонанса /в, ДКС к и формы колебаний. Для ПЭП указанных размеров получены атедующие значения:
1 мода: =42,5 кГц,Уа=42,8 кГц, =0,019;
2 мода: =50,2 кГц,/а=54,0 кГц, JH),406.
Более высокие моды не рассматриваются. Первая мода является антисимметричной и имеет низкий ДКС. На рис. 3.8,а приведена форма колебаний для первой моды; смещения значительно увеличены для наглядности. Эта мода практически не возбуждается. Вторая (симметричная) мода имеет высокий ДКС, форма колебаний для нее приведена на рис. 3.8,6. Деформация ПЭП имеет обьемный характер, осевые и радиальные компоненты смещения соизмеримы.
Расчет входной электрической проводимости без учета акустической нагрузки подтверждает наличие одного резонанса в рассматриваемом частотном диапазоне (рис. 3.9). Выполнен анализ этого ПЭП по двум расчетным схемам: с применением импедансного подхода и с использованием расширенной системы уравнений. Получены идентичные результаты, то есть второй подход с использованием расширенной системы уравнений дает такую же погрешность.
Парис. 3.10 приведены частотные характеристики безразмерных актив ной и реактивной составляющих электрической проводимости ПЭП с учетом акустической нагрузки с погрешностью на критической частоте и с корректировкой этой погрешности. Основной максимум активной составляющей соответствует резонансной частоте 502 кГп 0 7=4,33); на критической частоте появляются ложные минимумы активной и реактивной составляющих, а после критической частоты - ложный максимум у активной составляющей электрической проводимости. Погрешностъ в данном случае оказывает большее влияние на активную составляющую электрической проводимости, чем на реактивную. Необходимо отметить, что критическая частота находится в рабочей полосе частот.
На рис. 3.11 представлены частотные характеристики чувствительности излучения, которая определена как отношение давления на расстоянии 1 м к приложенному напряжению. Частотная характеристика чувствительности излучения искажается дополнительным ложным максимумом вблизи критмческой частоты, что может привести к неправильной оценке рабочей полосы частот ПЭП.
Анализ гидроакустической антенны из двух водозаполненных пьезоцилиндров
Гидроакустическая антенна, содержащая от одного до шести одинаковых, соосно расположенных водозаполненных пьезоцилиндров с радиальной поляризацией, экспериментально исследовалась еще Г.У.Мак-Магоном [104]. Дтя пьезоцилиндров конкретного размера (при применяемых здесь безразмерных отношениях /=0,76, }т=02) опытным путем было установлено, что для по;учения равномерной широкополосной частотной характеристики чувствительности излучения пьезоцилиндры должны располагаться на определенном расстоянии друг от друга.
Комбинированный метод конечных и граничных элементов дает возможность разработать компьютерную модель подобной антенны, учитъшающую пьезоэффект и акустическое взаимодействие пьезоцилиндров. Наиболее просто эта модель реализуется для случая двух пьезоцилиндров.
Рассмотрим гадроакустическую антенну, состоящую из двух одинаковых соосных пьезоцилиндров с тангенциальной поляризацией, соединенных параллельно; пьезокерамика - ЦТБС-3. Как и в предыдущем разделе каждый пьезоцилиндр определяется безразмерной высотой / и толщиной стенки к Безразмерное (также нормированное на внешний радиус пьезоцилиндра а) расстояние между пьезоцилинд-рами равноЛ/.
Для анализируемой антенны рассчитывались частотные характеристшш увствительности из;учения в точке дальнего поля на плоскости симметрии антенны (в дБ относительно уровня 1 мкПа/В при 1 м), нормированные диаграммы направлен-носш в вертикальной плоскости, а также распределения модулей нормалыюй (радиальной) компоненты колебательной скорости и давления на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях верхнего пьезоцилиндра. Гак как чуъствигельность излучения является локальной характеристикой (то есть зависит от выбранной точки) рассчитывалась также интегральная характеристика - частотная зависимость безразмерной активной составляющей акустической мощности.
На рис. 3.37,а-в приведены частотные характеристики чувствительности излучения антенны из двух одинаковых пьезоцилиндров с толщиной стенки /2=0,2 и высотой, близкой к оптимальной (определенной так же, как в предыдущем разделе), при постепенном увеличении расстояния между ними от /2г=0Д до hf=3. На рис. 3.38,а-в представлены частотные характеристики безразмерной активной составляющей акустической мощности цилиндрической антевны при таких же значениях геометрических размеров, что и на рис.3. 37. Для сравнения на рис. 3.37,а и 3.38,а (кривые 1) приведены соответствующие характеристики для одиночного ш езоцилиндра с высотой, близкой к оптимальной. На рис. 3.39 приведены нормированные диаграммы направленности антенны для трех вариантов геометрических размеров (при оптимальных высотах Шэезоцилиндров) для трех указанных значений частоты.
На рис. 3.40 и 3.41 приведеты распределения модулей безразмерных нормальной компоненты колебательной скорости и давления на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях верхнего пьезоцилиндра при тех же трех значениях геометрических размеров антенны, что и для диаграмм направленности и на таких же частотах. По оси абсцисс по-прежнему отложены номера узловых точек на цилиндрических поверхносгях. Первые 13 точек расположены на внешней поверхности снизу вверх, последующие 13 точек - на внутренней поверхности сверху вниз. Точки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, причем точки 7 и 20 находятся на плоскости симметрии пьезоцилиндра.
Рассмотрение форм растределетия модулей нормальной колебательной скорости и давления на излучающих цилиндрических поверхностях показывает, что при матом расстоянии между ііьезоііилннпрами (сильном акустическом взаимодейстаив) они значительно отличаются от схюгветствующих форм для одиночного пьезоцилиндра оптимальной высоты (рис. 335,3.36), а также еначительно меняются с изменением частоты при фиксированных геометрических размерах. Характерным является то, что аьустическое взаимодействие между- пьезоцилиндрами приводит к асимметрии распределения указанных величин относительно плоскости симметрии гхьезоцилиндра При /2,=0,1 (здесь и в датыкйшем рассматривается верхний пьезоцилиндр при ошимальных высотах, указанных в подписях к рис. 3.37) модуль скорости при ,=4,25 (рис. 3.40,а, кривые 1,2) почти линейно растет от верхнего торца цилиндра к нижнему. Коэффициент нераваомерносги (в данном случае отношение модулей на концах ііьезоііилиндра) составляет для скорости 1,44 на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях. Распределение модуля давления по сфавнению с одиночным пьезоцилиндрсм также становится несимметричным: максимум смещен к нижнему концу, на нижнем конце давление больше, чем на верхнем; коэффициент неравномерности / 1,59 на внешней поверхности и 1,86 - на внутренней. На радиальном резонансе (к,а==19) модуль нормальной скорости наоборот почти линейно уменьшается от верхнего торца пьезошгднндра к нижнему, &г=1,14 на внешней поверхности и U3 - на внутренней. Давление имеет меньшую асимметрию, чем на объемном резонансе, кр=1,48 на внутренней и 2,09 - на внешней поверхностях.
Немонотонность на частотных характеристиках при kjpAfr минимум и следующий за ним максимум объясняется влиянием антисимметричной моды, которая, как и изгибная мода, искажает частотные характеристики антенны. Дтя ііьезоцилиндра с размерами /=0,5, /г=0,2 безразмерные резонансные частоты и соогветствующие значения ДКС равны: антисимметричная мода: кр=\,13, =0; симметричная мода: УЬ=1,86, АЮ,61, изгйбная мода не попадает в рассматриваемый частотный диапазон. Дтя антисимметричной моды характерно противофазное распределение нормальной катебагельной скорости на цилиндрических поверхностях (рис. 3.40,а кривые 3, 4). Модуль давления имеет значительную асимметрию (рис. 3.41,а, кривые 3,4), все это и триводит к уменьшению чувствительности и акустической мощности. Проявленже аншсимметричной моды в симметричной антенне объясняется акустическим взаимодействием пьезоцилиндров, которое приводит к асимметрии распределения скорости и давления во всей рабочей полосе частот. Наиболее сильно антисимметричная мода проявляет себя при большом акустическом взаимодействии (малом расстоянии между пьезоцилиндрами). При увеличении этого расстояния акустическое взаимодействие уменьшается, это приводнт к уменьшению влияния антисимметричной моды на частотные харакгеристики.
Отметим, что влияние антисимметричной моды (при фиксированном расстоянии между пьезоцилиндрами) можно уменьшить и даже полностью исключить, увеличивая толщину стенки пьезоцилиндра. При этом снижается оптимальная высота пьезоцилиндров в антенне, и антисимметричная мода оказывается ниже рабочего диапазона частот (рис. 3.37,г, 3.38,г), однако, при этом уменьшается полоса частот.
Таким образом, при проектировании гидроакустической антенны из соосных водозаполненных пьезоцилиндров надо избегать влияния двух паразитных мод, ксторые могут искажать ее частотные характеристики и диаграмму направленности, -изгибной, частота которой выше частоты радиального резонанса, и антисимметричной, частота которой ниже частоты радиального резонанса. Этого можно достичь изменением относительной высоты и толщины стенки пьезоцилиндра.
Изменение распределений модулей нормальной колебательной скорости и давления для антенны при небольшом расстоянии hi по сравнению с одиночным пьезоцилиндром почта не сказывается на ее диаграммах направленности на частотах объемного и радиальното резовансов; большее различие наблюдается только на частоте kfit=,t6, оно связано с влиянием антисимметричной моды (рис. 3.39,а,б).
При увеличении расстояния между пьезоцилиндрами неравномерностъ распределения модулей скорости и давления уменьшается, и при hj 2,5 их распределения близки к распределениям соотвегствующих величин для одиночного пьезоца-линдра (рис. 3.40л 3.41,в). При /»7 1,5 начинает формироваться добавочный максимум диагртммы направленности, который достигает значительной величины ш частоте радиального резонанса (рис. 339,в,г).
Из анализа представленных частотных характеристик и рассмотрения расиределений нормальной колебательеой скорости и давления можно сделать следующие основные выводы.
