Содержание к диссертации
Введение
1. Литературный обзор 9
1.1. Процесс растворения твердых тел 9
1.2. Детерминированные модели растворения 14
1.3. Стохастические модели растворения 21
1.4. Модели на основе клеточных автоматов 23
1.5. Процесс деформации твердых тел 28
1.6. Многоуровневое моделирование для описания твердых тел 30
1.7. Параллельные вычисления 46
1.8. Постановка цели и задач работы 52
2. Экспериментальные исследования 53
2.1. Объект экспериментальных исследований 53
2.2. Методы исследования процесса растворения 57
2.3. Методы исследования процесса деформации 62
2.4. Экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых хрупких тел
2.4.1. Планирование эксперимента 67
2.4.2. Результаты экспериментальных исследований. Растворение 69
2.4.3.Результаты экспериментальных исследований. Сжатие 70
2.4.4. Результаты экспериментальных исследований. Истираемость 73
2.4.5. Расчет эксперимента и факторный анализ 73
2.5. Экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых пластичных тел 82
3. Математические модели исследуемых процессов з
3.1. Модель генерация структур твердых тел 85
3.2. Модели процессов растворения 87
3.3. Модели процессов деформации 91
4. Алгоритмы расчетов по математическим моделям 101
4.1. Алгоритмы генерации структур 101
4.2. Алгоритмы расчета растворения твердых тел 105
4.3. Алгоритмы расчета деформации твердых тел 109
4.4. Параллельная реализация алгоритмов 111
5. Программный модуль для моделирования процессов растворения и водопоглощения и результаты расчетов 121
5.1. Структура программного модуля 121
5.2. Графический интерфейс пользователя 122
5.3. Результаты расчета 126
5.3.1.Уточнение расчетных коэффициентов 126
5.3.2. Результаты расчета для однокомпонентного состава 128
5.3.3.Результаты расчета для многокомпонентного состава 131
5.3.4.Результаты расчета для твердых тел со сложной геометрией 134
5.4. Применение параллельных вычислений 136
6. Программный модуль для моделирования процесса деформации твердых тел и результаты расчетов 138
6.1. Структура программного модуля 138
6.2. Графический интерфейс пользователя 139
6.3. Результаты расчетов 144
6.4. Применение параллельных вычислений 147
Выводы 149
Список литературы
- Модели на основе клеточных автоматов
- Экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых хрупких тел
- Модели процессов растворения
- Алгоритмы расчета деформации твердых тел
Введение к работе
Актуальность работы
На сегодняшний день актуальной задачей науки и промышленности является получение новых материалов с заданными свойствами для аэрокосмической отрасли, военно-промышленного комплекса, фармацевтики, строительства и других сфер. Получение новых материалов всегда связано с большим количеством экспериментальных исследований и, как следствие, с большими трудо- и энергозатратами. В поиске составов новых материалов, обладающих определенной структурой и определенными физико-химическими свойствами, важной задачей является разработка математических и компьютерных моделей и реализация их с использованием высокопроизводительных параллельных вычислений, что позволит резко сократить объем экспериментальных исследований. Современное поколение компьютеров позволяет проводить математическое моделирование различных процессов на разных уровнях: нано-, микро- и мезоуровне. Математическое и компьютерное моделирование дает возможность определить область поиска для составов разрабатываемых материалов, что значительно ускоряет и удешевляет сам процесс разработки.
Работа выполнялась в рамках федеральной целевой научно-технической
программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития
научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы: Государственный
контракт № 14.514.11.4054 «Разработка методики проведения
высокопроизводительных масштабируемых вычислений и программно-алгоритмическая реализация задачи многоуровневого моделирования процессов деформирования и разрушения полимерных нанокомпозитов» 2013 г. Цель работы заключается в моделировании процессов растворения и деформации двух типов твердых тел (высокопластичных и хрупких) методом клеточных автоматов с использованием высокопроизводительных параллельных вычислений. Для достижения цели были поставлены следующие научно-технические задачи: Экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых тел на примерах нанокомпозиционных полимерных материалов (высокопластичные тела) и фармацевтических твердых лекарственных форм (хрупкие тела).
Моделирование структур твердых тел на микроуровне разными способами: равномерным распределением компонентов и генерацией структур модифицированным методом агрегации, ограниченной диффузией (diffusion limited agregation) с множеством центров кристаллизации (MultiDLA) и «кластер-кластерной» агрегации.
Моделирование с использованием клеточных автоматов процессов растворения и водопоглощения с учетом многокомпонентного состава твердого тела и сложной геометрии (многослойное покрытие, неправильная форма тела).
Моделирование с использованием клеточных автоматов процессов деформации при растяжении/сжатии и сдвиге/изгибе для нанокомпозиционных пластичных материалов и твердых лекарственных форм, являющихся хрупкими телами.
Использование высокопроизводительных параллельных вычислений в расчетных задачах моделирования для ускорения расчетов и возможности моделирования реальных систем на микроуровне.
Создание программного комплекса на основе разработанных моделей. Научная новизна
Создана трехмерная модель структур нанокомпозиционных полимерных материалов с учетом «жестких» и «мягких» включений с использованием модифицированного метода агрегации, ограниченной диффузией (diffusion limited agregation) с множеством центров кристаллизации (MultiDLA) и «кластер-кластерной» агрегации. Создана модель генерации фармацевтических твердых лекарственных форм, позволяющая создавать объекты со сложной геометрией и структурой (капсулы, таблетки с многослойным покрытием и т.д.)
Созданы модели растворения и водопоглощения, позволяющие проводить численное моделирование процесса на микроуровне с использованием высокопроизводительных параллельных вычислений. Созданные модели объединяют в себе несколько типов клеточных автоматов и позволяют предсказывать результат растворения твердого тела с учетом воздействия внешних факторов (среда растворения, обороты мешалки, температура).
Созданы модели деформации, позволяющие проводить численное моделирование процесса на разных уровнях с использованием высокопроизводительных параллельных вычислений.
Разработанные модели могут использоваться для исследования процессов растворения и деформации твердых тел различных составов и геометрической формы и подбора оптимального соотношения компонентов в твердом теле. Практическая значимость
Были выявлены ключевые факторы, наиболее сильно влияющие на процессы растворения и деформации. Создан программный комплекс, включающий в себя следующие модули: 1) модуль генерации структур твердых тел; 2) модуль расчета процесса растворения и водопоглощения; 3) модуль расчета процесса деформации; 4) модуль визуализации расчетных данных. Совместно с кафедрой ХТП РХТУ им. Д.И. Менделеева разработана программа и методика экспериментальных исследований и даны рекомендации для выбора оптимального состава полимерных нанокомпозитов, содержащих «жесткие» и «мягкие» включения.
Достоверность результатов обеспечивается: большой выборкой экспериментальных исследований процессов растворения и деформации твердых тел современными аналитическими методами; выбором подходов к моделированию; тестированием предлагаемых в работе моделей и алгоритмов на ряде модельных задач; проверкой адекватности разработанных моделей объектов с использованием проведенных экспериментов. Апробация работы
Апробация работы была проведена на следующих конференциях: 21th European Symposium on Computer Aided Process Engineering, Халкидики (Греция), 2011 г., 8th European Congress of Chemical Engineering, Берлин, 2011 г.; Десятый международный салон инноваций и инвестиций, Москва, 2010 г.; VI Международный конгресс молодых ученых по химии и химической технологии МКХТ-2010, Москва, 2010 г. Кроме этого, апробация работы была проведена в рамках выполнения Государственного Контракта № 14.514.11.4054 «Разработка методики проведения высокопроизводительных масштабируемых вычислений и программно-алгоритмическая реализация задачи
многоуровневого моделирования процессов деформирования и разрушения полимерных нанокомпозитов» 2013 г. Личный вклад автора
На всех этапах работы автор принимал непосредственное участие в разработке и планировании исследования, построении алгоритмов, написании программ, тестировании и проверке адекватности, интерпретации полученных данных, формулировании выводов, написании материалов для публикаций, написании отчетов по проектам, выступлениях с докладами на конференциях и семинарах. На защиту выносятся:
Клеточноавтоматные модели процессов растворения и водопоглощения, позволяющие проводить математическое моделирование как для объектов, имеющих высокую способность к растворению, так и для слаборастворимых твердых тел. Клеточноавтоматные модели процессов деформации при растяжении/сжатии и сдвиге/изгибе, позволяющие проводить моделирование высокопластичных и хрупких твердых тел со сложной геометрией и многокомпонентным составом.
Алгоритм генерации структур твердых тел, содержащих «жесткие» и «мягкие» включения, алгоритм генерации структур фармацевтических твердых лекарственных форм, позволяющих создавать объекты со сложной геометрией и структурой.
Программный комплекс, реализующий указанные модели и алгоритмы для проведения вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов. Публикации
Автором было опубликовано 11 печатных работ, из них: 3 - в журналах,
рекомендованных ВАК и 5 свидетельств о регистрации программы для ЭВМ.
Объём и структура работы
Диссертация состоит из шести глав, введения, списка литературы из 138 наименований
и одного приложения. Общий объем составляет объемом 168 страницы, включая 16
таблиц и 104 рисунка.
Модели на основе клеточных автоматов
Подход к многоуровневому моделированию для описания твердых тел В результате применения данных методов могут быть определены такие макроскопические свойства полимерного нанокомпозита, как проницаемость, теплопроводность, оптическая плотность, ряд механических и реологических показателей и др. [55, 56]. Кроме того, данные методы позволяют определить находится ли система в равновесном состоянии или нет. Стоит отметить, что методы моделирования на атомном уровне применяются для расчета малых частей твердого тела- как правила размер расчетной области не превышает 10 нм.
Для расчета более крупных объектов используют более «грубые» модели с упрощенной структурой и с меньшим количеством степеней свободы (мезоуровень). С целью повышения точности таких расчетов, в качестве исходных данных в такие модели подставляют результаты расчетов на атомном, молекулярном и микроуровнях. Например, рассчитанные на атомарном уровне размеры полимерных цепей, истинная плотность композита и энергия когезии могут использоваться для расчета инерционного момента, потенциальной энергии при изгибе, параметров взаимодействия, которые в свою очередь необходимы при организации вычислений в соответствии с методом самосогласованного поля (метод, в котором состояние отдельной частицы сложной системы (кристалла, плазмы, раствора, атома, молекулы, атомного ядра и т. п.) определяется усреднённым полем, создаваемым всеми остальными частицами и зависящим от состояния каждой частицы) или теории функционала плотности (при описании электронной подсистемы вводится замена многоэлектронной волновой функции электронной плотностью) при рассмотрении негомогенных композиционных материалов[57-59].
Микрокинетические константы скорости элементарных процессов, найденные в рамках теории переходного состояния, могут быть использованы для определения макрокинетических параметров с применением метода Монте-Карло[60].
Усредненные потенциалы взаимодействия между отдельными частями композита являются основой при моделировании с применением положений теории броуновского движения и метода диссипативной динамики частиц [61-63].
Математические модели, описывающие поведение системы на мезоуровне, позволяют получить исследователям информацию о том, как условия влияют на морфологию композита и его микроструктуру. Комплекс полученных данных далее передается в качестве начальных условий для проведения расчетов на микроуровне с применением положений теории термодинамики, явлений тепло- и массопереноса, электромагнитной теории, положений макрокинетики и макромеханики.
Существует два подхода к организации многоуровнего моделирования[64]: последовательные вычисления от атомного уровня к макроуровню или параллельные вычисления, при которых одновременно рассчитываются явления, протекающие на разных иерархических уровнях рассматриваемой системы, как, например, в случае моделирования пластических деформаций, наблюдаемых в стеклопластике, рассмотренном в работе[65]. В данной работе постоянно производились вычисления на атомном уровне для малых объемов, а их объединение и отслеживание изменений проводилось при помощи метода конечных элементов, что позволило получить картину пластической деформации макротела.
Применение квантовой механики, молекулярной динамики и метода Монте-Карло для расчета энергий взаимодействия, оптимальной пространственной геометрии полимера и других параметров системы
Квантовая механика применяется при расчете элементов системы, размер которых не превышает 10 А. При данном подходе полимер описывается исходя из ядерных и электронных степеней свободы при помощи волновой функции, получаемой в результате решения уравнения Шредингера[б6].
Волновая функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Если волновая функция задана в n-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами г(х1,х2, — ,хТ1 ), в определенный момент времени t она будет иметь вид W(f, t). В этом случае уравнение Шредингера будет записываться как: где h — —; h - постоянная Планка; m - масса частицы; Ev(f,t) - внешняя по 27Г к отношению к частице потенциальная энергия в точке f (xlt х2,..., хп) в момент времени t; Д - оператор Лапласа.
В зависимости от допущений уравнение Шредингера имеет различные решения, однако уравнение Шредингера решается аналитически лишь для немногих систем. Реальные многоатомные системы содержат большое количество взаимодействующих электронов, а для таких систем не существует аналитического решения этих уравнений. По этой причине в квантовой химии приходится строить различные приближенные решения.
Одним из подходов, который позволил преодолеть возникшую трудность, является метод Хартри-Фока для решения стационарного уравнения Шредингера, в котором в качестве координат рассматриваются пары вектор rt и значение спина s. В этом подходе волновая функция представляется в виде антисимметризованнного произведения одноэлектронных функций (детерминанта Слэтера), для которых получается система связанных уравнений, решаемая численными методами. V(rltsv ...,rn,sn) = -=detfy(TfcSt) (1.29) где ipjfa, st) - детерминант Слэтера. Однако численные методы не позволяют описывать системы у которых число степеней свободы велико, что не позволяет их использовать при большом числе частиц (ошибка расчета растет по экспоненциальному закону).
Следующим шагом в развитии квантовой механики стали работы Коэнберга, Кона и Шэма, которые предложили для расчета основных характеристик системы использовать вместо волновой функции электронную плотность, которая для любой системы зависит только от трех пространственных переменных.
Экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых хрупких тел
В данной главе рассматриваются экспериментальные исследования процессов растворения и деформации твердых тел. Для экспериментальных исследований процессов растворения и деформации твердых тел были построены планы экспериментальных исследований. Экспериментальные данные в дальнейшем использовались для нахождения коэффициентов модели и проверки адекватности. Для твердых тел основными физико-механическими показателями являются следующие: 1. Водопоглощение - масса воды поглощенная при условиях испытания кубическим миллиметром вещества 2. Водорастворимость - потеря массы одним кубическим миллиметром вещества при испытании 3. Разрушающее напряжение при сжатии - давление, при котором происходит разрушение образца при сжатии 4. Разрушающее напряжение при изгибе - давление, при котором происходит разрушение образца при изгибающих нагрузках 5. Твердость и микротвёрдость - метод оценки твёрдости материалов, а именно оценка твёрдости отдельных фаз или структурных составляющих материала.
В качестве объекта исследования были использованы таблетки, спрессованные из порошка аскорбиновой кислоты, порошка микрокристаллической целлюлозы (МКЦ), стеарата кальция, талька, лактозы и полимера Kollicoat SR 30.
Аскорбиновая кислота — органическое соединение, родственное глюкозе, является одним из основных питательных веществ в человеческом рационе, которое необходимо для нормального функционирования соединительной и костной ткани. Выполняет биологические функции восстановителя и кофермента некоторых метаболических процессов, является антиоксидантом. Биологически активен только один из изомеров — L-аскорбиновая кислота, который называют витамином С.
Химическая формула - СбНяОб. Структура молекулы приведена на рисунке 2.1. Длина волны на которую приходится пик поглощения в данных растворах равна 248 нм [41].
Структурная формула аскорбиновой кислоты Целлюлоза - белое твердое вещество, нерастворимое в воде, молекула имеет линейное (полимерное) строение (рисунок 2.2.). Полисахарид, главная составная часть клеточных оболочек всех высших растений.
Строение целлюлозы Тальк - минерал, кристаллическое вещество. Представляет собой жирный на ощупь рассыпчатый порошок белого (изредка зелёного) цвета. Качество талька определяется его белизной. Для промышленных целей используют молотый тальк, микротальк и т. д.
Структурная формула талька Стеарат кальция - смесь кальциевых солей и смеси стеариновой и синтетических жирных кислот. Представляет собой однородный порошок от белого до желтовато-белого цвета. Используется как пластификатор при переработке пластических масс, а так де как термостабилизатор поливинилхлорида.
Структурная формула стеарата кальция Лактоза - углевод (рисунок 2.5) группы дисахаридов, содержится в молоке и молочных продуктах. Молекула лактозы состоит из остатков молекул глюкозы и галактозы.
Строение лактозы Kollicoat SR 30 из-за наличия гидрофобных винилацетатных групп (рисунок 2.6) нерастворим в воде. Это делает его подходящим для применения в матричных формах с модифицированным высвобождением активного компонента, с использованием технологии прямого прессования, влажной грануляции или экструзии. сн -сн,-о N с = о I сн, Рисунок 2.6. Строение Kollicoat SR ЗО Кроме этого, в качестве объектов исследования использовались полимерные нанокомпозиты, которые изготавливались следующим образом: в смеситель
загружали бисфенолглицидилметакрилат (Бис-ГМА) и
триэтиленгликольдиметакрилат (ТГМ-3) в массовом соотношении 3:2, а также необходимое количество олигомерного органоксифосфазенового модификатора. В качестве фотоинициируїощей системы добавляли 1,0 мас.% смеси камфорохинона и 4-этилдиметиламинобензоата, взятых в мольном соотношении 1:2. Вели перемешивание до получения гомогенной смеси и полного растворения твердых компонентов.
Схема получения наномодификатора Наполненные композиции получали в смесителе путем порционного введения 77 мас.% силанизированного тонкодисперсного кварцевого порошка или бариевого стеклонаполнителя («жесткие» включения) (ср. размер частиц 0,7 мкм) в предварительно подготовленные олигомерные смеси на основе Бис-ГМА/ТГМ-3 (3/2), содержащие фотоинициируюшую систему и необходимое количество фосфазенового модификатора («мягкие» включения). На рисунке 2.9 представлено внутреннее строение полимерного нанокомпозита.
Подготавливалась смесь массой 0,25 г состава, используемого для приготовления таблеток аскорбиновой кислоты. Данный состав был приведен в технических условиях производства таблеток аскорбиновой кислоты одним из российских фармацевтических предприятий. Диаметр образцов таблеток составляет 8 мм, высота таблетки составляет 3.5 - 4 мм в зависимости от давления прессования.
Метод спектрального анализа Для определения концентрации растворов был использован метод спектрального анализа. При обработке данных, был использован спектрофотометр ПЭ 5400 (рисунок 2.11) с кварцевыми кюветами. Данный спектрофотометр позволяет проводить измерения в диапазоне от 190 нм до 1000 нм с шагом 0.1 нм. Спектрофотометр может работать в полуавтоматическом режиме, что сокращает время исследования и уменьшает ошибку, вносимую человеческим фактором.
При исследовании спектра таблетки аскорбиновой кислоты получен пик длины волны 263 нм, что соответствует пику аскорбиновой кислоты, это значит, что другие компоненты таблетки не смещают пик и не влияют на него. Это было подтверждено экспериментом. Были приготовлены растворы с одинаковой концентрацией аскорбиновой кислоты чистой аскорбиновой кислоты и таблетки, их пики полностью совпали. g о.б ---- 0.4 . — . І
После приготовления таблеток проводятся тесты на растворение. Тест «Растворение» проводят на приборе Sotax AT 7smart, швейцарской фирмы Sotax для проведения исследований на растворимость. Представленный на рисунке 2.13 тестер AT 7smart содержит 7 стаканов для одновременного проведения испытаний. Рабочие параметры программируются с помощью панели управления. Число оборотов вращения мешалки равно 50 или 100 об/мин. В качестве среды для растворения используются вода и раствор соляной кислоты. Температура среды растворения должна быть одинаковая на протяжении всего эксперимента и соответствовать температуре жидкости организма - 37 С. Отбор проб осуществляем следующим образом (Таблица 2.1).
Модели процессов растворения
Вероятность столкновения случайно блуждающей частицы с центром кристаллизации мала и пропорциональна размеру доступного поля, то есть в двумерном случае временная сложность будет асимптотически оцениваться как O(dy) и как O(dy) - в трёхмерном объёме. Во время выполнения программы диаметр сферы зарождения устанавливается динамически, a dy вычислялся как d" = к d", где п - размерность поля, а к = const, то есть сохраняется постоянство отношения площадей окружностей (в плоском случае) или отношения объёмов (в случае трехмерного поля). Для вычислений параметр к принимается равным 2.
Модель DLA дает возможность генерировать как двухмерные, так и трехмерные структуры. Сгенерированные структуры могут также использоваться в дальнейшем для образования крупных кластеров, состоящих из мелких (кластер-кластерная агрегация).
В работе были использованы модель алгоритм лгулъти DLA (для случая со многими центрами кристаллизации), который хорошо описывает процессы структурообразования, где ячейки представляют отдельные взвешенные гранулы, что обуславливает достаточно большой геометрический размер ячейки. Также, для уменьшения вклада дискретизации пространства в расчёты, ячейки могут быть увеличены, путём суммирования гранул в квадратах размерами mxm или в кубах mxmxm. Полученные поля подходят для моделирования, как на микро, так и на мезоуровне (рисунок 3.5).
Полученная структура DLA представляет собой достаточно разряженную (пустую) сетку из соединенных между собой молекул полимерной матрицы и «мягкого» включения. Пустоты этой структуры являются «жесткими» наполнителями. Модель дает статистическое соответствие основных соотношений между компонентами твердого тела, что необходимо для следующего этапа моделирования: оценки физико-химических и механических свойств с использованием математической модели на основе клеточных автоматов.
Клеточный автомат для моделирования растворимости и водопоглощения представляет собой набор кубических полей с линейным размером N клеток. В математической модели приняты следующие допущения: 1. Система представляется как совокупность полей, состоящих из кубических клеток. 2. Расчет идет итеративно, процессы, протекающие на каждой итерации, принимаются как идущие в один момент времени. 3. На каждом поле рассматривается только одно вещество и среда растворения (растворитель). 4. Поля имеют открытые границы, на каждой итерации вещество из граничных клеток удаляются. 5. Клетка описывается тремя характеристиками: типом вещества, количеством вещества, находящемся в данной клетке, и агрегатным состоянием («жидкость» или «твердое вещество»). 6. Растворяемые вещества или не влияют на растворение друг друга или скорость растворения одного вещества линейно зависит от концентрации другого.
Графическая иллюстрация клеточного автомата Линейный размер одной клетки и полей клеточного автомата задается в качестве входящих данных. Для каждого вещества определяется максимальное возможное количество вещества, которое может содержаться в ячейке поля исходя из объема клетки, плотности вещества при прессовании и молекулярной массы вещества по формуле: где vmax - максимальное количество вещества в одной клетке автомата в молях; I - линейный размер одной клетки, р - плотность вещества при прессовании (определяется экспериментально), М - молекулярная масса вещества.
После определения максимального количества вещества в клетке, определяется количество вещества, необходимого для приготовления насыщенного раствора данного вещества в объеме равном объему одной клетке. Данное количество рассчитывается исходя из концентрации насыщенного раствора вещества в заданном растворителе. Концентрация насыщенного раствора определяется из справочных данных или экспериментальным путем. При дальнейших расчетах принимается следующее допущение: если количество вещества в клетке находится в диапазоне от максимально возможного количества вещества до количества вещества, необходимого для насыщенного раствора в объеме клетки, то агрегатное состояние вещества в клетке принимается как «твердое». Если количество вещества находится в диапазоне от количества вещества, необходимого для насыщенного раствора до нуля, то агрегатное состояние вещества в клетке принимается как «жидкость».
После задания начальных параметров происходит итеративный расчет процесса растворения объекта. Растворение рассчитывается во всех клетках, имеющих агрегатное состояние «твердое вещество» во все соседние клетки, обратно пропорционально концентрациям растворяющегося вещества в них. Расчет количества вещества, перешедшего в растворенное состояние происходит следующим образом. Изменение массы в клетке из которого вещество растворяется рассчитывается по уравнению: = -kF(Cmcuux. - С) (3.2) где М — изменение массы твердого вещества, к - коэффициент растворения, F поверхность растворения, С,іасьіщ.- концентрация насыщенного раствора. Наиболее общее выражение для расчета коэффициента растворения к в аппаратах с мешалками получено на основе предположения, что решающую роль во внешнем массообмене вьшолняет разрушение пограничного слоя мелкомасштабными турбулентными пульсациями. к = eWSc-3 (3.3) N е=- (3.4) (О Sc=- (3.5) где е - удельная диссипация механической энергии, Sc - критерий Шмидта (диффузионный критерий Прапдтля), N - мощность, затрачиваемая на перемешивание, G - масса перемешиваемой суспензии. Коэффициент диффузии веществ в растворе находился методом молекулярной динамики в программе NAMD, которая позволяет учитывать взаимодействие между молекулами растворителя и растворяемого вещества в зависимости от условий растворения.
После расчета процесса растворения во всех возможных клетках, исходя из новых значений количества вещества в клетках, по правилам, описанным выше, определяется их новое агрегатное состояние.
Расчет диффузии происходит по уравнению Фика. В процессе расчета диффузии участвуют только те клетки, которые имеют агрегатное состояние «жидкость». Для каждой клетки, содержащей растворенное вещество, и ее новых соседей рассчитывается новые значения количества содержащегося в них вещества, на основе предыдущих значений.
Последней частью итерации клеточного автомата является расчет процесса переноса вещества за счет воздействия внешних факторов. Расчет происходит следующим образом: случайным образом выбирается р процентов пар клеток, имеющих одно из следующих состояний: 1. «раствор вещества» - «раствор вещества»; 2. «раствор вещества» - «растворитель»; 3. «твердое нерастворимое вещество» - «растворитель»; 4. «твердое нерастворимое вещество» - «раствор вещества»; Коэффициент р является эмпирическим и подбирается на основе сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными. На заключительной стадии происходит удаление вещества из граничных клеток клеточного автомата, что имитирует большой объем реальной системы. После расчета итерации происходит проверка выполнения закона сохранения массы (количество вещества в системе совокупно с количеством удаленного вещества из системы должно быть постоянным). При необходимости сохраняется состояние поля для дальнейшей визуализации системы и возможности возобновить расчет при его прерывании. Расчет завершается при переходе всех клеток,
Алгоритмы расчета деформации твердых тел
В случае если задача не может быть решена за приемлемое время в рамках вычислительной мощности одного узла, то для расчетов может применяться кластер из многих узлов. В общем случае, эти узлы могут быть не однородными, иметь различное количество процессорных ядер и иметь или не иметь вычислительные модули на основе GPU. Для проведения расчётов на таких системах чаще всего используется интерфейс обмена сообщениями — MPI. Он позволяет иметь запущенными множество экземпляров программы (на каждом из вычислительных узлов). Каждый из этих экземпляров принимает сообщения от основного, управляющего узла и обменивается с ним результатами вычислений, а также получает новые задания на расчёт. После получения набора входных данных, процесс, запущенный на узле может задействовать CPU или GPU, в зависимости от деталей реализащга.
При адаптации разработанных алгоритмов, указанных в разделе выше были выделены блоки двух типов. Блоки I типа, представленные на рисунках 4.10-4.15, являются затратными с точки зрения количества вычислений. Блоки II типа, представленные на рисунках 4.16 - 4.19, являются значительно более простыми в вычислительном плане, по сравнению с блоками 1 типа и могут рассчитываться последовательно без серьезного воздействия на скорость расчётов. Однако при большой размерности задачи, расчёт этих блоков может занимать долгое время. Кроме того, при выполнении на распределённой системе (кластере) последовательное вьтолнение потребует предварительного копироваїшя данных с задействованных вычислительных узлов на главный узел. В этом случае для расчета интегральных характеристик существует возможность применения техник параллельной редукции (сведеігая большего множества данных к меньшему множеству данных). Например, пирамидальной редукции. Данный подход позволяет перейти от порядка слояшости 0(N; Nj Nk) к 0(log(Ni Nj Nk)), где N, Nj, Nk- размеры поля клеточного автомата по осям X, Y, Z.
На приведенных рисунках 4.11 - 4.16 представлены параллельные блоки I типа алгоритмов, в которых последовательно рассчитывается локальные характеристики текущей (одной) ячейки, при этом результат и ход расчетов не зависят от расчётов в соседних ячейках и от порядка изменения индексов i, j, k. Синхронизация состояния системы происходит при завершении блоков. Как следствие, блоки выполняется N, Nj Nk раз и позволяет произвольно выбирать текущую ячейку без изменения конечного состояния системы к моменту завершения блока. Такой вид задачи позволяет применять любую из техник распараллеливания и их комбинации. Выбор зависит лишь от размера задачи и аппаратных ресурсов системы. При возрастании количества независимых процессоров асимптотическая сложность алгоритма будет стремиться к O(l), т.е. является постоянной, и время работы алгоритма не зависит от количества элементов. В точке завершения расчетов в блоках алгоритма необходимо завершение всех расчётных потоков.
Блоки I и II типов требуют последовательного выполнения относительно друг друга, однако позволяют без ограничений применять параллельные вычисления в ходе расчётов. В алгоритме расчета водорастворимое (блок-схема на рисунке 4.5) блоки расчета процесса диффузии и переноса массы также должны выполняться последовательно относительно друг друга. Единственным требованием является наличие барьеров синхронизации в точках между блоками, для приведения системы в консистентное состояние. В качестве барьеров синхронизации обычно выступают: 1. функция join или применение семафоров - в случае использования технологии потоков PThreads/Windows Threads; 2. окончание действия директивы параллельного выполнения - для технологий ОрепМР; 3. функция синхронизации потоков (cudaThreadSynchronize) / устройства (cudaDeviceSynchronize) - для технологии CUDA; 4. получение результатов от всех вычислительньгх узлов -для технологии MPI.
Весь алгоритм расчета эффективных модулей упругости (блок-схема на рисунке 4.8) клетки не предъявляет высоких требований к вычислительным ресурсам. Об этом в частности говорит отсутствие циклов в потоке выполнения и наличие небольшого количества ветвлений. Вычислительная сложность данного алгоритма составляет 0(1). Для реализации данного алгоритма возможно использование скриптовых языков. Это позволит ускорить процесс написания, тестирования и отладки данного алгоритма программного комплекса. При использовании компилируемых языков необходимо включать слабый уровень оптимизации, или явно указывать оптимизацию математических операций (без потерь точности). Это позволит компилятору оптимизировать порядок выполнения инструкций и задействовать ILP (Instruction Level Parallelism - параллелизм уровня инструкций) в современных CPU.
При параллельной реализации алгоритм генерации структуры полимерного нанокомпозита является подверженным ошибкам вида «Data race». При использовании многопоточных вычислений необходимо соблюдать баланс между размерами поля и количеством потоков. Это позволит избежать ситуации, при которой две ячейки будут закреплены в одной точке пространства.
Блоки алгоритмов I должны быть защищены от доступа несколькими потоками - конкретная реализация такой защиты зависит от применяемых программных средств.
В данном разделе была приведена адаптация разработанных алгоритмов для их использования при параллельных расчетах. Как было отмечено, разные блоки алгоритмов имеют разную расчетную сложность. Проведенная адаптация позволяет распараллеливать алгоритмы, как с использованием мелкозернистого параллелизма, так и с использованием крупнозернистого параллелизма.
На основе разработанных алгоритмов был создан программный комплекс, который описьгоается в 5 и 6 главе. Программный комплекс тестировался как на персональных компьютерах, так и на вычислительном кластере изображенном на рисунке 4.21. Технические характеристики вычислительного кластера HP 460 Proliant следующие: 16 ветвей, каждая по 2 Хеоп Е2640, 6 Gb RAM, 2 140 Gb ПЗУ. Все ветви объединены с помощью высокоскоростного соединения Ethernet lGb/s. Разработанные алгоритмы показали высокие скоростные характеристики при расчетах процессов растворения и деформации твердых тел.
Похожие диссертации на Моделирование процессов растворения и деформации твердых тел с использованием параллельных вычислений
