Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор состояния проблемы и шстановіса задачи исследования 12
1.1. Модели нелинейностек 12
1.2. Методы исследования динамических свойств систем с кусочно-линейными нелинейностями 20
1.2.1. Метод припасовывания 20
1.2.2. Гармонический баланс 21
1.2.3. Метод абсолютной устойчивости 23
1.2.4. Устойчивость периодических реяимов в автономных системах : 24
1.3. Обзор исследований систем с нелинейностяш.. типа сухого трения и люфта 27
1.4. Постановка задачи и выбор метода исследования 29
Глава 2 Влияние сухого трения на автоколебания в следящей системе третьего порядка 31
2.1. Структурная схема систем с сухим трением 31
2.2. Уравнения гармонического баланса в следящей системе с сухим трением 31
2.2.1. Гармонический баланс без учёта высших гармоник 31
2.2.2. Гармонический баланс с учётом высших гармоник 34
2.3. Исследование условий существования периодических режимов методом гармонического баланса 43
2.3.1. Расчет без учета высших гармоник 43
2.3.2. Расчет с учетом высших гармоник 50
2.4. Моделирование периодических режимов на ЭВМ 54
2.5. Выводы по второй главе 62
Глава 3. Автоколебания в слещяпщй системе с люфтом 65
3.1. Постановка задачи 65
3.2. Коэффициенты гармонической.линеаризации... нелинейности типа "лкфт" 65
3.3. Уравнения гармонического баланса 75
3.4. Условия существования и устойчивость периодических режимов 78
3.4.1. Условия существования периодических режимов 78
3.4.2. Устойчивость периодических режимов 82
3.5. Выводы по третьей главе 84
Глава 4. Автоколебания в слщщщей систше -.с сухим трением и лштом 85
4.1. Гармонический баланс без учета высших гармоник 85
4.2. Гармонический баланс с учетом высших гармоник 87
4.3. Следящая система с корректирующим фильтром Б виде инерционного форсирующего звена с отставанием 91
4.4. Расчеты условий существования автоколебаний в следящей системе с сухим трением и люфтом 94
4.5. Граница области устойчивости в плоскостях параметров системы 102
4.6. Выводы по четвертой главе 110
Заключение 111
Литература 114
- Методы исследования динамических свойств систем с кусочно-линейными нелинейностями
- Исследование условий существования периодических режимов методом гармонического баланса
- Коэффициенты гармонической.линеаризации... нелинейности типа "лкфт"
- Следящая система с корректирующим фильтром Б виде инерционного форсирующего звена с отставанием
Введение к работе
Автоматизация процессов управления различными объектами сопровождается широким использованием следящих систем. Следящие системы нашли применение в самых разнообразных отраслях науки и техники: для управления радиолокационными станциями, производственными процессами в машиностроении, работами и манипуляторами, объектами военной техники и т.д. Уже из этого кратного перечня видно, сколь значительно число задач, решение которых может быть возмошю на следящие системы.
Следящая система представляет собой замкнутую динамическую систему, управляющую перемещением объекта регулирования. Следящая система СС имеет в своем составе ряд основных устройств (рис. B.I). В измерительном устройстве ИэУ производится сравнение текущего значения регулируемой величины с управляющим воздействием и на основе этого сравнения формируется сигнал ошибки & .
Предварительный усилитель ПУ предназначен для усиления по напряжению и мощности сигнала, поступающего с измерительного устройства, до значений, достаточных для управления усилителем мощности УМ.
Двигатель Д получает сигнал от усилителя мощности УМ и через редуктор Р перемещает объект регулирования.
Интегрирующее звено И преобразует угловую скорость вала двигателя 0)$ в угол поворота вала $
При линейном приближении измерительное устройство ИзУ и предварительный усилитель ПУ рассматривались как безынерционное звено с передаточной функцией (М , а двигатель представлялся колебательным звеном с передаточной функцией W^
Структурная схема линейной следящей показана на рис. В.2.
(fi
Рис, B.I. Функциональная схема следящей системы
Рис, Б.2 Структурная схема следящей системы
- 7 -Передаточные функции линейных звеньев структурной схемы
имеют вид
W-i = 1 (в нестабилизированной системе) ; ( B.I )
W1==-f- (в стабилизированной системе) -? ( B.S )
%= \W9 = %D+1 -Ж*1- :
Тмр(%рО + 1 } 3 *F > * р >
С в.з )
где Т, и Тг постоянные времени корректирующего фильтра,
Тм vi Т3 - электромеханическая и электромагнитная постоянные времени двигателя Д .
Через 4, обозначено передаточное число редуктора, Мг -момент трения на валу двигателя.
В реальных следящих системахстатические характеристики элементов, соответствующих схеме рис. B.I, являются нелинейными. Наличие определенного вида нелинейностей может оказывать существенное влияние на поведение системы как на статические, так и на динамические свойства системы.
Рассмотрим основные нелинейности СС и эффекты, к которым приводят эти нелинейности.Широкое применение получили измерительные устройства с использованием сельсинов. Характеристика сель-синой передачи выражается зависимостью синусоидального типа. При малых начальных рассогласованиях нелинейностью измерительного устройства пренебречь. Все реальные усилители обладают характеристикой звена типа насыщения. Нелинейность типа насыщения не приводит к появлению автоколебаний, кроме случая АФХ многократно пересекает отрицательную вещественную полуось левее критической точки [8l] . Нелинейность типа насыщения ограничивает форсирующие сигналы, которые возникают в корректирующих фильтрах.
Сухое трение в статике создает зону нечувствительности, а в
- 8 -динамике при отработанных начальных рассогласованиях оказывается
демпфирующим действием [69] .
Люфт в механической передаче при определенных условиях вызывает автоколебания в той области изменения параметров, где линейная система без люфта устойчива [59].
Влияние нелинейности типа насыщения на динамику системы в литературе полностью исследовалось. Для рассматриваемой ОС с линейной частью, обладающей монотонной характеристикой и при определенных условиях существенное влияние на динамические свойства системы оказывают сухое трение в оси двигателя и люфт в механической передаче.
Структурная схема следящей системы с учётом нелшейностей в виде сухого трения на валу двигателя ( п 1 ) и люфта на ведущем валу редуктора {HZ ) представлена на рис. В.За.
Путём структурных преобразовании схема рис. В.За приводится к рис. В.36, где
К s Kf Kz _ - (в.4)
Анализ СС с одной нелинейностью, либо с сухим трением, либо с люфтом в отдельности был сделан в многих работах. Для исследования нелинейных .систем были применены метод фазовой плоскости, метод гармонической линеаризации без учёта высшее гармоник, метод абсолютной устойчивости и методы моделирования на ABM и ЦВМ.
Исследования проводились для различных вариантов линейной части и моделей нелинейных блоков. Исследовались лишь системы с одной нелинейностью. Лишь в работе [39] изучалась система с люфтом и сухим трением.
Наличие люфта в механической передаче способствует возникно-
0Мг^ПГГгёо$
«)
Рис. В.З Структурная схема следяшей системы с учётом нелинейностей
-10 -веншо автоколебаний, в то время как сухое трение оказывает стабилизирующее действие. Поэтому представляет интерес выяснить, как будет влиять на.условия существования автоколебаний одновременное присутствие двух нелинєйностей.
Для исследования нелинейных СС широко применялся метод гармонического баланса без учёта высших гармоник. Однако этот метод может приводить к заметным погрешностям в определении параметров автоколебаний и на границы области их существования [12, 46, 59, 85]. Были обнаружены также автоколебательные системы, для которых метод гармонического баланса, проводимого без учёта высших гармоник, давал отрицательный результат относительно возможности существования автоколебаний [77, 92]. Возникает вопрос, в какой мере высшие гармоники влияют на динамические свойства системы. . . Указанные проблемы проработаны в диссертации применительно к конкретной следящей системе.
Целью диссертации является исследование влияния каждой из перечисленных нелинєйностей и их совместного влияния на условия существования автоколебаний в следящей системе. Задача решается методом гармонического баланса как без учёта, так и с учетом высших гармоник. Для учёта высших гармоник в системе с двумя не— линейностями в диссертации разрабатывается модификация метода гармонического баланса и алгоритм решения уравнении баланса.
Диссертация состоит из четырёх глав. . Б первой главе приводится обзор состояния проблемы и постановка задачи исследования. В данной главе описаны методы, применявшиеся для исследования следящих систем с сухим трением и люфтом. Указываются достоинства и недостатки отдельных методов и выделяются, области их применения. В краткой форме делается классифика-ция методов исследования устойчивости периодических режимов.
-II -
Бо второй главе исследовалось влияние сухого трения на автоколебания в CG третьего порядка методом гармонического баланса с учётом высших гармоник.
Б третьей главе рассматривается метод гармонического баланса при учёте высших гармоник в СО с люфтом на валу редуктора.
В четвертой главе получены уравнения баланса гармоник в системе с двумя нелинейноетями типа люфта и сухого трения и разработан алгоритм их решения.
Произведено сравнение условий существований автоколебании в следящей системе, полученных без учёта и при учете высших гармоник.
Методы исследования динамических свойств систем с кусочно-линейными нелинейностями
Движение изображающей точки в пределах линейного участка в кусочно-линейной системе описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, которые, как известно, допускают аналитическое решение. Могут использоваться либо одно уравнение П. -го порядка, либо система уравнений в нормальной форме. Б первом случае необходимо припасовывание сигнала и /2 - 1 производных на границах кусочно-линейных участков, а во втором -припасовывание переменных состояния. Упомянутые сигналы могут претерпевать разрывы при переходе с одного участка на другой, что создает трудности при припасовуваний.
При нахождении периодических режимов возникают дополнительные трудности , связанные с необходимостью решать трансцендентные уравнения, к которым приводят условия замыкания цикла. Эти трудности относительно невелики в системах 2-го порядка/метод точечных преобразований [з] j и значительно возрастают по мере повышения порядка системы, т.к. возникает необходимость решения системы трансцендентных уравнений с /2 - / неизвестными.
Метод гармонического ёаланса отвечает на вопрос о возможности существования периодических режимов в замкнутой автономной системе (рис. 1.8 ) , в которую входят стационарное нелинейное звено п я линейная динамическая часть Л. В методе используется гармоническая линеаризация, представляющая И комплексным коэффициентом передачи. По методу гармонического баланса имеется обширная литература. Обзор основополагающих исследований в этой области можно найти, например, в [66]
Уравнение гармонического баланса для системы с симметричным периодическим режимом имеет вцц где W($CdJ - комплексная передаточная функция линейного элемента, y/l "ш J - комплексный коэффициент передачи нелинейного звена, зависящий от амплитуды его входного сигнала. Уравнение (1,19) учитывает баланс только по первой гармонике. Предполагается, что высшие гармоники, проходя через Jl , до статочно сильно затухают. Различные модификации метода гармонического баланса отличаются способом решения уравнения и видом используемых характеристик [66].
Метод гармонического баланса, в котором линеаризация звена осуществляется при синусоидальном сигнале на его входе, а баланс по высшим гармоникам не проводится, является приближенным. Известны примеры [92] , [77] , когда пренебреконие высшими гармониками приводит к качественно неверным результатам в отношении воз-мошгости существования автоколебании. Б ряде работ [12, 27, 28, 46, 59, 85] были предприняты усилия для преодоления трудностей, возникающих при проведении баланса и по высшим гармоникам. Упомянутые работы отличаются классами нелинейности, для которых они приспособлены, видом гармонических рядов и способом решений уравнений баланса.
Метод гармонического баланса был развит и применительно к системам с несколькими нелинейностями [66]. Баланс проводился по первой гармонике. Работы, в которых баланс проводился бы и по высшим.гармоникам в системах с несколькими нелинейностями, отсутствуют .
Метод абсолютной устойчивости, развитый в работах В.М. Попова, в своих основных формулировках отвечает на вопрос об асимптотической устойчивости системы рис. 1.8 с однозначной характеристикой нелинейного элемента, принадлежащей сектору Г- Км (рис.. 1.9) [бб] . Этим.требованиям удовлетворяет характеристика сухого трения рис. І.Ів, а характеристика люфта рис. 1.6 не удовлетворяет. Однако путем структурных преобразований типа рис. 1.5 и рис. 1.7 многозначная нелинейность может быть приведена к требуемому классу, что позволяет распространить критерии абсолютной устойчивости и на системы с люфтом.
В работах [21] и [89] доказаны критерии абсолютной устойчивости для систем с несколькими нелинейностями, принадлежащими сектору г - Ки рис. 1.9, а в работе [89] и для гистерезисных нели-нейностей с характеристиками, проходящими через начало координат.
Подход к проблеме устойчивости периодических режимов в динамических системах был определен A.M. Ляпуновым. После применения процедуры линеаризации к дифференциальным уравнениям системы относительно периодического режима рассогласование между возмущенным и невозмущенным движениями будет описываться линейными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых содержат периодические составляющие. Таким образом проблема устойчивости периодического режима в нелинейной системе сводится к исследованию устойчивости нестационарной линейной системы, что представляет собой достаточно трудную задачу. Из теоремы А.к. Андронова и А.А. Витта [3] следует, что устойчивость периодического режима связана со знаками характеристических показателей Ляпунова, для определения которых необходимо располагать переходными матрицами системы уравнений с периодическими коэффициентами [55] , [60]
Исследование условий существования периодических режимов методом гармонического баланса
Целью задачи является определение периодических режимов в следящей системе с сухим трением (рис. 2.2) методом гармонического баланса. Коэффициент усиления К выбран так, что при отсутствии сухого трения заглкнутая система неустойчива. На рис. 1.8 показана следящая система, содержащая линейную часть Л с передаточной функцией Щ} (Р) и нелинейность Н типа сухого трения По критерию Гурвица линейная система будет неустойчива, если Заїшпем характеристическое уравнение системы при разомкнутом состоянии Границе устойчивости линейной системы соответствует Расчёты приведены при следующих значениях параметров систе мы 1 = 0,2 с, = 0,05 с, П = 0,1 и К = 50 с".
Подставляя заданные значения параметров в 2 50 і полу чаем Характеристическое уравнение системы имеет пару комплексных і, корней и один вещественный корень Запишем уравнение баланса в виде где Инверсная частотная характеристика линейной части, взятая со знаком минус будет равна (при замене 4С0 вместо pj Из условия баланса в комплексном виде (2.54 имеются следующие равенства Подставляя задавше значения параметров системы в (2.Єї) , получаем Уравнение (2.62.) разрешается относительно СО Из равенства (2.60) определяется амплитуда периодического режима На рис. 2.6 приведены годографы следящей системы с сухим трением. В точке С годографы flN и -WJy пересекаются при частоте Си = 14,1421 с и амплитуде входного сигнала нелинейного элемента бш = 0,1273 . Следуя [ 77J и /"78j , опеним устойчивость периодического режима . С этой целью представим входной сигнал нелинейного элемента в виде суммы гармонической составляющее и малого отклонения от периодического режима Б периодическом режиме выходной сигнал нелинейного элемента имеет форму меандра ( рис. 2.4) . Возмдавдий сигнал Л О (і) приводит к сдвигу моментов переключения на A(i)i ( пунктирная линия на графике рис, 2.4 J , прЖ/йі где AS - мгновенное значение возмущения в момент (II - целое число ) . При А и У о приращение выходного сигнала нелинейного элемента, вызываемое ДО на входе, представляет собой последовательность положительных узких прямоугольных импульсов, модулированных по ширине. Б координатах IJ , Г площадь импульса равна По отношению к приращениям сигналов, отсчитываемых от периодического базисного режима, нелинейная система эквивалентна импульсной системе рис. 2.5 , которая содержит линейное динамическое звено с передаточной функцией win , определяемой Формулой (2.3J и импульсный элемент, генерирующий прямоугольные импульсы с площадью, выражаемой формулой 2.67} Найдем приближенные условия устойчивости системы рис. 2.5 , заменив в ней импульсный элемент безынерционным звеном с коэффициентом усиления Согласно (2.49) в исследуемой системе К У —=— и , следовательно, неравенство (2.72) не соблюдается и периодический режим неустойчив. Отрогие условия устойчивости системы рис. 2.5 находятся ме тодами "теории импульсных систем. При достаточно малых выходные импуяьсы можно заменить модулированными О - функ циями. Коэффициент усиления импульсного элемента Ли определяется как отношение площади импульса к входному сигналу. Согласно (2.67) Импульсная передаточная функция разомкнутой системы согласно Так как третье и четвертое неравенства (2.7(Г) не соблюдаются, периодический режим неустойчив. Это означает, что положительные возмущения Ли вызовут расходящийся переходный процесс, а отрицательные йи приведут систему в положение равновесия несмотря на то, что линейная часть системы неустойчива. Сказанное подтверждается результатами цифрового и аналогового моделирования системы с сухим трением, которые приведены ниже 2.4.
Коэффициенты гармонической.линеаризации... нелинейности типа "лкфт"
Гармоническая линеаризаттия нелинейности типа "люфт" осуществляется при входном сигнале со сложным спектром, частота и амплитуда первой гармоники которого произвольны, а комплексные амплитуды высших гармоник удовлетворяют условиям баланса в замкнутой системе (рис. 3.1 ) . На рис. 3.2 показаны виды сигналов на Задача решалась на машине EG-I033, где использовалась стандартная подпрограмма R TMI для решения нелинейных уравнений методом Мюллера [зі] . На рис, 3,3 показаны годографы линейной части и нелинейности типа "люфт". Расчёт приведен при устойчивой линейной части, то есть при Годографы: нелинейной системи имеют две согласованные го час тоте точки пересечения А и В . в точке А годографы W и - Wfj- пересекаются при частоте (л) - 8,8638 с-/ и амплитуде входного сигнала люфта &im = 2,7796. В точке Ъ годографы пересекаются при частоте (О - 2,7856 с" и ампли туде ffm = 0,5953. Для выяснения влияния высших гармоник на параметры автоколебаний была приведена система уравнений по высшим гармоникам (3.48) Эта система является линейной с комплексными коэффициентами.
Задача решалась на машине ЕС-І033 о помощью стандартной программы S&AUS для решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Гаусса [ 31J Для данной системы с люфтом были найдены коэффициенты третьей и пятой гармоники Расчеты показали, что для СС третьего порядка с люфтом высшие гармоники очень мало вяияют на параметры автоколебаний и по сравнению с первой гармоникой ими можно пренебречь. Коэффициент первой гармоники определяется по формуле ( 3.30J для опенки устойчивости периодического режима в системе с аналитической или кусочно-аналитической нелинейностью и устойчивой или нейтральной линейной частью мокно использовать приближенный критерий Гольдфарба [ I5J На рис. 3.4 при возрастании амплитуды 0//7? годограф - ]/\1и входит в точку п изнутри области, охватывает п АФХ, что в соответствии с критерием Л.С. Гольдфарба указывает на устойчивость периодического режима в точке А [ 66J .Годограф - nL входит в точку Ъ при возрастании 0т о внешней стороны контура АФХ, что говорит об неустойчивости периодического режима в этой точке. В главе 3 произведено сравнение параметров автоколебаний, вычисленных методом гармонического баланса без учёта и с учётом высших гармоник для следящей системы с люфтом. Для проведения вычислений с учётом высших гармоник были найдены соотношения (3.24) и (3.42) для комплексных рядов Фурье выходного сигнала и динамического коэффициента усиления нелинейного элемента, порождаемых простым гармоническим сигналом на входе. Гармонический баланс проводился по процедуре, предложенной в работе [ 27 J . Для решения ограниченной системы уравнений, связывающей коэффициенты гармоник комплексного ряда, был применен метод итераций. Алгоритм расчета был реализован в машинной программе. Расчеты на ЭВМ показали» что при характерных для следящей системы значениях постоянных времени и коэффициента усиления высшие гармоники оказывают малое влияние на параметры автоколебаний. Исследовались условия существования автоколебаний в следящей системе (рис. В.За) методом гармонического баланса без учёта высших гармоник. Путём структурных преобразований схема рис. В.За приводится к рис. В.Зб, затем к рис. 4.1, где К определяется по формуле (В.4) При исследовании условий существования автоколебаний параллельные ветви рис. 4.1 рассматривались как единое динамическое нелинейное звено НЭ с комплексным коэффициентом передачи (рис. 4 2) В качестве независимой переменной принята амплитуда Ufm входного сигнала нелинейности типа люфта. Комплексные передаточные функции линейных элементов определяются их операторными выражениями при замене р на w , а коэффициенты передачи нелинейных элементов Ht и Н2 находятся путём гармонической линеаризапии при простых гармонических сигналах на их входах/"157
Следящая система с корректирующим фильтром Б виде инерционного форсирующего звена с отставанием
При проектировании следящих систем весьма актуальная проблема синтеза корректирующих устройств, обеспечивающих устойчивость и требуемые показатели качества регулирования. В практике наибольшее распространение получил метод синтеза линейных систем в частотной области, использующий логарифмические частотные харак теристики ЛАЧХ и ЛФЧХ - Линейную следящую систему проектируют так, чтобы запас по фазе разомкнутой системы был не меньше 40 [ 81 ] . Передаточная функция разомкнутой системы выражается фор мулой (3.66 . Если Т У Тэ передаточная функпия (3.66,) хорошо аппроксимируется приближенным выражением которое удобно для построения асимптотической ЛАЧХ. Требуемый запас по фазе в нестабилизированнои системе может быть достигнут, если К f / / 7 . Ірія обеспечения нужного запаса по фазе при больших К прибегают к коррекции, осуществляемой включением фильтров последовательно в цепь либо в пепи локальных связей. При последовательной коррекшш инериионннм форсирующим звеном с отставанием, имеющем передаточную функттию постоянные времени выбирают так, чтобы при заданном А частота среза находилась посредине участка ЛАЧХ с наклоном - 20 дб/дек, а длина участка Передаточная функция стабилизированной системы определяется произведением W и Wf Согласно (4.28,) и (4.29)
Запас по фазе стабилизированной системы составляет 40 При отсутствии корректирующего фильтра и тех не значениях 7 э и Этот параграф посвящен численным расчетам параметров автоколебаний в следящей системе с нелинейноетями типа "сухое трение" и типа "люфт" как без учёта, так и с учётом высших гармоник. Расчёт ведётся по алгоритмам 4.2. Используя комплексный коэффициент передачи по первой гармонике У Н91 (4.26), запишем уравнение баланса для данной систе мы Параметры периодического решила СО и ufja находятся по точке пересечения инверсной отрицательной амплитудно-фазовой характеристики линейной части -ИгТуЯус годографом коэффициента передачи динамического нелинейного звена WH31( iUfm ) ,которому соответствует частота точки пересечения. К[1+(ы%)Г - 96 Коэффициент передачи динамического нелинейного звена по первой гармонике определяется формулой (4.26) , где йП слагаемое порождается высшими гармониками. "Если обозначать то действительная и мнимая составляющие коэффициента передачи будут иметь следующий вид Система уравнений (4.39.) решалась методом Ньютона f ЗІ 7 . Для этого необходимо было вычислять частные производные двух функций по амшштзде или по углу поворота вала ОС и по частоте автоколебания. Запишем систему уравнений ( 4.39,) в более компактном виде Система уравнений (4.46) и (4.47) решалась на машине &С-ЮЗЗ, где использовались стандартная программа SNEN и подпрограмма вычисления производных функций Ф, (СК, (О) и fz( ) ) по Формулам (4.49) - (4.52,) для решения системы трансцендентных уравнений методом Ньютона. Если в системе уравнений (4.46) и (4.47) предлагать АН = 0 и ty = Jt/2. , что соответствует расчету без учета высших гармоник, то данная система уравнений приводится к уравнению баланса ("4.7.) і записанному в комплексном виде. На рис. 4.4 и 4.5 приведены годографи нестабилизированной системы ( Wf = I ) с параметрами К =15 с", = С,3 с » п = 0»04 с, П = ОД. При отсутствии нелинеиностей замкнутая система устойчива, расчет годографов - %? проведен без учёта высших гармоник.
Годографы нелинейной системы имеют две согласованные по частоте точки пересечения А ( рис. 4.4,) и Ъ (рис. 4.5) . В точке А годографы - и W пересекаются при частоте (л) = 3,7868 с и амплитуде входного сигнала люута Om = 0,6662. На том же графике приведено семейство годографов — Ж,, Б окрестности точки баланса. При возрастании и годограсЬ -Wm входит в точку А внутрь контура , что говорит о нарушении необходимых условий автоколебаний.
