Введение к работе
Актуальность темы.
Необходимость решать краевые задачи для эллиптических уравнений возникает в различных областях естествознания, при инженерных расчетах. В последние 15 лет бурно развиваются методы решения таких задач, основаные на разбиении области решения на ряд подобластей простой формы и последующим решении серии задач в этих подобластях при определенных условиях сшивки получаемых решений па границах подобластей. Существует множество разнообразных алгоритмов, использующих эту идею. Итерационные процессы указанных алгоритмов содержат некоторые свободные параметры, выбор которых часто производится из эвристических соображений. Между тем, оптимальный выбор этих констант должен основываться на детальном знании локализации спектра задачи на собственные значения для двух операторов Пуанкаре-Стеклова:
A Si и = S-2 и (1)
Эта спектральная задача и исследовалась в диссертации для одного частного случая. Краевые задачи со спектральным параметром в граничных усовиях изучались многими авторами, начиная с А.Пуанкаре (18УІІ). В.А.Стеклова (1901) и Ле Руа (1898). Задача (1) ставится на общей границе двух смежных областей и, естественно, более сложна, чем задача для одной области. Подобная задача исследовалась в работах В.И. Лебедева и В.И. Агошкова, Э.Овчинникова и автора.
Цель диссертации. Цель работы состоит в исследовании тонкой структуры спектра задачи (1), в том числе, в выявлении условий, при' которых спектр дискретен, а собственные функции задачи полны в пространстве Соболева порядка 1/2.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории распределений (обобщенных функции), теории краевых задач математической физики, теории сингулярных интегральных уравнений, теории функций, геометрической ТФКП, теории эллиптических функций, неравенства.
— 2—
Научная новизна.
Получено новое представление оператора Пуанкаре-Стеклова че оператор модельной задачи.
Предложен метод исследования задачи (1), состоящий в сведенш к сингулярному интегральному уравнению Пуанкаре-Стеклова спектральным параметром.
. г и(х) , г и(х)Л(х) , , .
А / —— dx = / ,// \/ ч dx + const (и),
j х-у j Л{х) - А{у)
где .4(^.-) - гладкая невырожденная замена переменных на отре интегрирования I — (—1,1), определяемая по данным задачи (1]
Развит предложеный Ф.Д.Гаховым и Л.И. Чибриковой метод нс<
дования интегральных уравнений с аналитическими ядрами.
Практическая значимость. Исследования структуры спектра дачи (1) могут найти применение для определения оптимальных па метров в итерационных процессах метода разделения области. Для тс чтобы избежать появления непрерывного спектра в задаче (1), неоС димо разбивать область на подобласти вполне определенным способ Теорема о возмущениях спектра позволяет локализовать спектр зад близких к тем, для которых спектр известен точно. Метод исследоваї интегральных уравнений с аналитическим ядром может быть приме для изучения трансформационных свойств решений многих интегра ных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались
на семинарах Института вычислительной математики РАН,
докладывались на заседании Ученого совета Института вычис тельной математики,
семинаре И.К. Лифанова и Е.В. Захарова на факультете ВМК М.
семинаре В.П. Михайлова в МИРАН им. В.А. Стеклова,
семинаре А.Г. Костюченко и А.А. Шкалпкова на МехМате МГ?
— з—
4-й Международной конференции "Теоретические основы вычислительной математики" (Москва, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликована одна печатная работа и одна принята к печати.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит нч введения, двух глав и списка литературы, включающего 88 наименований; изложена на 97 страницах и включает 5 рисунков и 1 таблицу.
