Введение к работе
Ї. Актуальность проблеш. Эффективные метода обработки информации, включающие ее простое представление, находят все более широкое применение в различных областях техники. Без них немыслимо развитие кибернетических систем, систем автоматизированного управления технологическими процессами и сложными объектами, систем, автоматизации научных экспериментов. Это связано с необходимостью воспроизведения функций сложных видов; уменьшения объема дачных с целью удобств передачи, обработки, хранения и интерпретации; формирования нелинейных управляющих воздействий; линеаризации передаточных характёристик;подготовки приближенных выражений їункциіі для вычисления их на ЭВМ или с помощью специальных устройств и др.
Необходимое нелинейное преобразование часто сводится к реализации функциональных зависимостей. Для повышения точности преобразования используют различные виды приближения: наилучшие чебышевские приближения, метод наименьших квадратов, приближение сплайнами различных видов и др. Во многих технических задачах (построение высокоточных функциональных преобразователей и их наборов, построение табличных процессоров, систем передача сигналов и др.) используют кусочную аппроксимацию Однозначных {ункций.
Б системах автоматического управления, контроля я регистра-цли часто необходимо чтобы абсолютная либо относительная погрешность ни в одной точке не превосходила наперед заданной величины. Это приводит к задаче нахождения параметров наилучшего чебы-шевского приближения. Применение в этой задаче нелинейных выражения в качестве приближающих затруднялось ранее отсутствием эффективных алгоритмов для определения параметров этих выражений. Получение нелинейных выражений может осуществляться как о помо-кью универсальных ЭВМ, так а с помощью спецпроцессоров или функциональных преобразователей информации. Во всех случаях полезны методы нахождения параметров в некотором смысле наилучших приближений ибо это уменьшает необходимое количество, параметров. Часто удобны кусочные приближения (сплайн-приближения). Бела на , каждом іштервале (звене сплайна) максимальная погрешность приближения одинакова, го такое приближение называем равномерным сплайн-приближением. В известных случаях равномерное приближение сплайном является и оптимальным в том смысле, что при выборе уз-
лоз из условия равномерности приближения при заданном количестве звеньев Г получаем минимальную погрешность _/«- , а при заданной погрешности j*. - минимальное Г .
Актуальна задача разработки и исследования новых элективных методов равномерного приближения функций сплайнами, ибо с помощью таких методов можно уменьшать объем данных или увеличивать точность.
2. Состояние проблемы и основные цели исследования. Разработке теории и методов численного решения задач аппроксимации, а также приложениям этих методов при преобразованиях, передаче, интерпретации сигналов и создании устройств новой техники посвящено большое количество работ советских и зарубежных ученых. В .этих работах рассматриваются преимущественно наилучшие в некотором смысле приближения одним выражением и легко строящиеся интерполяционные приближения многочленными сплайнами. : Достаточно, полный перечень работ по наилучшим чебишевским приближениям многочленами, рациональными многочленами и нелинейными выражениями содержится в монографиях и статьях К.И.Ахиезе-ра, К.И.Еабенко, Е.Я.Ремеза, В.К.Дэядыка, А.А.Гончара, В.Ф.Демьянова, В.Д.Малоэемова, Б.Н.Пшеничного, Л.И.Лорана, Е.В.Чини, Ч.Т,$айка, Г.Мейнардуса, Дж.Р.Раиса, Т.Й.Ривлина, Р.Б.Баррара, Г.Л.Яоэба, Ч.Б.Дунхама, Й.Х.Роуланда. Теоретическим вопросам сплайн-приближений и методам приближения с помощью сплайн-функций, посвящены работы Дж.Альберга, Н.П.Корнейчука, Ю.С.Завьялова, В.Л.Мирошниченко, С.К.Стечкина, Ю.Л.Субботина, А.И.Гребенникова, Л.А.Лигуна, В.М.Тихомирова, Л.Л.Шумейкера, Д.Д.Браесса, Л.В.Джонсона, Х.Шомберга и др.
Методы приближения используются во многих работах, посвященных решении технических задач. В частности, в работах В.Б.Смолова, В.И.Угрдаова, Б.Д.Байкова, В.И.Герасимова, Г.Е.Пухова Г.И.Алексеева, Е.Н.Браго, Э.И.Гитиса, А.В.Шилейко, Г.Мейера, А.В.Палагина, Л.Я.Ильницкого и др. они используются при создании устройств новой техники; в работах Ф.Е.Темникова, А.П.Манов-цева, А.Н.Свенсона, Л.Д.Дазидсона, Д.Хофмана, Д.Ю.Вебера и др. они используются при создании систем передачи и преобразования сигналов; в работах Н.В.Бэлицкой, Ю.С.Завьялова и др. - при создании математического обеспечения для станков с числовым программным управлением.
Методы наилучшего чебышевокого приближения и методы сплайн-приолижений развиваются, в основном, независимо. С помощью как-
дого из них можно получить приближение непрерывной функция с любой степенью точностью. Однако даяе процесс получения коэффл-циентоа наилучшего чебыщевского многочленного приближения с большим количеством параметров может біда, численно неустойчив, а для получения сплайн-праближєнпл часто требуется слизком много параметров. Задачи получения равномерных приблляеикй многочленными сплайнами с заданным количеством звеньев я минимальной погрешностью развивались во многих работах лишь з теоретическом плане. Трудности численного решения таких задач связаїш с тем, что в общем случае не имеет места свойство альтернанса, и поэтому не могут быть построена алгоритмы, обобщающие алгоритм Е.Я.Ремеза. Некоторые авторы (С.Карлин, Р.Е.Эш, В.Л.Истман, «І.Л.Марсден, Л.л.іііумейкер и др.) предлагают переходить к дискретним задачам и решать их методами линейного программирования. Однако получающиеся при этом задета имеют большую размер-ность и могут бить численно неустойчивы. Бп;е более сложны задачи получения равномерных приближений рациональными сплайнами. В работах L.С.Завьялова, А.А.Лигуна, :\.И.Гребенникова рассматрл- . ваатся методы получения приближения близкого к равномерному с помощью многочленных сплайнов. Приблдкаеміе функции додаш иметь производные высоких порядков.
Существуют многочисленные технические задач:! (аппаратурная реализация математически функций, приближение Іуніщнй преобра-'. зования термопреобразователей и др.), в которых лрпблихпюазя функция не должна быть обязательно гладкой. Иногда она мо;кет быть и разрывной - лишь бы погрешность приближения бала досга- . точно мала. Приближения такого рода ранее в общем виде подробно не изучались. Имеются лишь подхода для реяения некоторых частных технических задач (Л.П.Афиногенов, Ю.А.Кегков, Н.Рим, А.Ф.Кургаев, А.П.,7лцка, Д.Д.Браесс, М.Г.Кох я др.). Соответствующие алгоритмы работоспособны в частных случаях. Эффективно ропать перечисленные технические задачи на основе существовавши ранее методов затруднительно. Поэтому возникла необходимость' рассмотреть равномерное приближение негладкими рационалышма сплайнами и построить конструктивные вычислительные .олгорятАЫ для нахождения их параметров. Такие сплайны должна соединять положительные свойстаа наилучших чабншевскях приближений одним выражением (небольшое количество параметров) л прибгагеняй классическими -сплайнами (численная устойчивость, зависимость от свойств приближаемой функция-лишь в "малом"). Напбслео удобны
при этом сплайнн со звеньями, являющимися наилучшими чебышевскими приближениями (чебышевские сплайны).
При построении различных технических устройств и представлены физических процессов применяются такае а нелинейные приближения (ВсЕ.Смолоз* Г.Я.ШтеЙнберг, В.Кобаяши, Д.В.Каммер, Б.Н.Малиновский и др.).Так как таблицы физических величин описывается почта любыми возможными аналитическими зависимостями (Дж.Р.Райс), то параметры нелинейных зависимостей часто имеют определенный физический смысл. Б связи с этим ..свойства нелинейных приближений различных еидов в настоящее время шітаїїсдЕНо изучаются' (Дж.Р.Райс, Д.Шведт, Б.Н.Ыалозешв, А.Ф.Леонгьев, Ч.Б.Дунхам, Р.И.Мак-Глинн, Э.Шмидт и'др.); Еае в Ї560-гохл параметры наилучших чебышевских .приближений стремились находить методами, применимыми для нахождений функций многих переменных. Б 1970-е года в работах Дж,Р.Раиса, Г.Мейнардуса, Д.Шмидта, Р.Б.Баррара и Т.Л.Лоэба, В.Юалоземо-за и др. построена теория наилучших чебышевских приближений нелинейными выражениями. Однако эффективного алгоритма общего вида не существует, так как в процессе нахождения параметров наилучших чебышевских нелинейных приближений необходимо решать систему нелинейных уравнений, о которой неизвестно имеет ли она решение. Поэтому а"тчальна задача изучения свойств наилучших чебышевских при-блиг.оїи.,і конкретных видов к построение конструктивных вычислительных алгоритмов для нахождения их параметров.
К общей veopaa нелинейных сплайнов намечаются лишь начальные подходы (С.Прусо, П.Рентроп, Х.Спат, И.Б.Киоустелидис, Л.Л.Шумей-кер и др.), общие алгоритма отсутствуют. Логическим продолжением теории равномерного приближения многочисленными а рациональными сплайнами является теория равномерного приближения нелинейными сплайнами. Такая теория должка использовать достижения теории наилучших чебышевских нелинейных приближений и может иметь как те.о- ретичеексо, так и практическое значение. Таким образом изучение разномерного приближения нелинейными чебышевскими сплайнами представляет значительный интерес, так как является завершением общей теории, mosot быгь праконено для тыявления аналитических зависимостей различных видов, а также для упрощения ряда технических устройств.
Различные технические применения теории приближений имеют, как правило, и сбои математические особенности. Часто изменяется и сама постановка задачи приближения. Иногда, например, длины звеньев сплайнов связаны определенными зависимостями; возникают
задачи приближения набора fункцдй набором сплайнов со звеньями одинаковой длины; количество значащих цифр в параметрах звеньев может быть ограничено, звенья сплайнов могут иметь разный вид а др. Поэтому, для элективного применения теории в конкретных устройствах новой техники необходимо исследование технических задач с точки зрения необходимых методов преобразования сигналов я модификация методов и алгоритмов для построения устройств оптимальных по точности, быстродействию или сложности.
Вопросы эффективной программной реализации любых численных методов имеют свои особенности. Так, при программной реализации построения звеньев равномерного приближения сплайнами необходимо учитывать тот факт, что звенья сплайнов являются, как правило, вираженнями с небольшим количеством параметров, и для их построения общие методы могут быть малоэффективными. Комплексы и пакеты программ для равномерного приближения сплайнами кроме приближения одним выражением (сплайном) определенного вида должны также решать задачи выбора приближения (сплайна) с наименьиай погрешностью из набора возможных; выбора приближения (сплайна) данного вида с наименьшим количеством параметров при заданное величина погрешности; выбора (по определенным критериям) вида звана сплайна из набора возможных и т.д. Для исключения простого перебора з задачах выбора я болев эффективно:! программной реализации нахождения параметров сплайнов необходимо разработать метода программной, реализации рассмотренных задач с помощью различной вычислительной техника.
3. Цель работы. Целью настоящей работы является разработка. эМектйЕН.ых методов обработки информации на основе использования paEiiovepnoro приближения сплайнами для создания оптимальних да точности, быстродействию или сложности кибернетических устройств, а также систем для уменьшения объема данных. Эта цель включает изучение сеойсте равномерного приближения сплайнами различных видов; построение вычислительных алгоритмов для нахождения их параметров, использующих установленные сеойстеэ; разработку иняенер-ных методик репения задач преобразования сигналов, использующих равномерное приближение сплайнами; решение конкретных технических и вычислительных задач с помощью разработанных методик.
Для достижения поставленной цели в диссертационное работа резались следующее задачи:.
- исследование свойств и построение вычислительных алгоритмов для нахождения параметров равномерного приближения рациональными сплайнами;
исследование свойств и построение вычислителышх алгоритмов для нахождения параметров нелинейных чебышевских приближений различными выражениями;
исследование равномерных приближений нелинейными чебишев-скямд сплайнами и построение вычислительных алгоритмов для нахождения параметров таких приближений;
нахождение приближенных аналитических выражений для точности н границ звеньев при равномерном приближения ряда элементарных и специальных функций и построение на их основе таблиц параметров равномерного приближения этих функций чебышевскиш сплайнами;
разработка и исеяедош:де методов решения технических задач прзобразоешия 'сигналов» сскоешшх на равномерном и неравномерном
. -приближении чебышевекими сш;йнамя;
- разработка методов программной реализации равномерного при
ближения чебыаевскямд сплайнадя;
; - внедрение' получениях результатов в виде разработки инженер-
ных методик решения различных задач, создание комплексов и пакетов прикладных программ,'отдельных модулей и вычислительных устройств, включаемых в проектируемые и находявдеся в эксплуатации технические системы для повышения их эффективности.
'- Методы исследования. Основу методологии исследования сос-тавляпі' предлояенвые и разработанные в диссертация метода установления свойств нелинейных чебышевских приближений h метода пахогде-вия погрешностей равномерного приближения сплаГша/.'л. Используются такяз общие методы математического анализа, теории функций, шчис-" лдтельней математики и теории аппроксимации.
5. Научная нотзна. Разработаны научные осыош построения вычислительных алгоритмов для равномерного приближения функций сплайнами различных видов, показана.эффективность применения равномерного приближения сплайнами для решения различных задач.
Детально исследованы свойства.равномерных приближений чебы-. ше'вскиш,сплайнам. Впервые найдено общее приближенное выражение для погрешности-'приближения такими сплайнами и построены методики кахоаденйя выражений для погрешностей в конкретных случаях.
Впервые исследованы свойства конкретных нелинейных чебышевских приближений (экспоненциально-степенных, функций от многочленов, сумм многочленов а нелинейных функций), могущих быть звенья-ми чебитевскйх сплайнов. Построены шчаслителыше алгоритмы для нахездопия их параметров.
Впервые обосвоЕаиы и построены алгоритмі для нахождения пара- -
метров раЕвомзрных приближенна сплайнами различных еидов. Разине группы алгоритмов предназначены для'построения сплайнов, приближающих аналитически заданные или табличные Функции; приближающие функции с заданно.! погрешностью или с заданным количеством звеньев.
Найдены общие выражения для погрешности равномерного приближения ряда элементарных и специальных функций, обобщающие известные ранее результата П.Л.ЧебышеЕа, Г.Кейнардуса, Д.И.Ньюмена, А.Р.Редди. На основе этих выражений находятся границы зеєньєв при асимптотически равномерном приближении.
Вперше проведено исследование технических задач преобразования сигналов, сводящиеся к приближению чебыщевскимя сплайнами. Разработаны алгоритмы нахождения параметров чебышевских сплайнов, употребляемых при расчете устройств новой техники.
Впервые обоснованы методы построения и составы пакетов программ для равномерного приближения чебншевскюш сплаЗнамя, которые существенно сокращают простой перебор при выборе сплайнов конкретных видов.
о. Достоверность основних научных пеложенял р. полученных результатов обеспечивается строгость!) постановки задачи к математических методов, применяемых при доказательства основных утверждений; совпадением результатов, полученных численними и аналитическими методами (в том числе результатов,полученных другими ОБ-, торами); получением результатов, обоСдазээдх ранее язвссткие; подготовкой на основе полученных результатов комплексов я пакетов программ, которые успешно, используются в сотнях организаций, страїш; успешным использованием полученных результатов при создании устройств новой техники.
7. Практическая ценность. Совокупность полученных в диссертации результатов позволяет ставить я регать в едином вычислительном процессе комплексные задачи умзнызеная объема данных с целью более эффективной ах интерпретаций, передача,- хранения члл упрощения технических устройств. . . '
Значительная часть предложенных методов л' алгоритмов относится к параллельно-последовательному типу, что обеспечивает возможность широкогораспараллеливаний процесса при нахождения параметров приближений. Развиты методологические основы решения рассматриваемых задач на машинах следующих поколений, базируппшея на многопроцессорных ЭВМ. Предусмотрена такяе возможность реализация эффективных алгоритмов пря возмоаностя проведения, символьных пре-
образований на ЭВМ» ' .
.'.'. Праддоадниые методы,повышаю! качество ^атеистического обеспечения, информационно-измерительной и вычислительной техники, систем передачи и преобразования информации.
Разработанное программное и математическое обеспечение может использоваться при проектировании и создании новых систем преобразования и передачи сигналов, приборов и устройств вычислительной и информационно-измерительной техшши.
Некоторьіа результаты диссертационной работы получили дальнейшее развитие и применение з работах учеников, которые в диссертацию не зоамш,.
8. Реализация и внеярегаш сезультетов работы.Теоротическио V прикладные результаты диссертации использовались в научно-исследовательских работах» выполняемых в точение-1971-1985 гг. в физико-механической институте шл.Г.В.Карпашш ЛН УССР и во многих Других'научно-исследовательских, промыадошшх, проектных и учебных организациях. Разработанныо комплекси програма в 978 -985 гг. внедрены через Украинский республиканский фонд алгоритмов и программ в 143 организациях страны. Они использовалиь при
проекті:: звании ряда устройств новой техники, систої! автоматичес
кого проактирования,контроля, В частности, автор и ого ученики
принимали участие в разработке:
спецпроцессора для вычисления функций;
автоматизированной системы неразрушаюцого контроля;
цифровых линеаризующих устройств агрегатных комплексов стационарных я лвреносвых пирометров частичного излучения АПИР'-С и АШР-П; : ':: у
" - цифровых-иаиарвгелей высоких температур, входящих в состав системы Узиарядая ївипараіурьі раодлавленного чугуна в линейной цехе Одесского, завода поршневых колец.
От созданных устройств новой техники и систем мвтеиатическо-
го обеспечения получен значительный экономический ЗффОКТ,
. В наозояодв время в ряде организаций ведутся работы по внед-, рению результатов автора при проектировании-устройств новой техники и создании систем сокращения объема данных. В частности:
- на Побукском пике левом, заводе и ПО "Магнит"- г. Новочзркас-.'
ска при разработке технологии, переработки никеля и кобальтовых
. отходов; '; '
- при выполнении работ-по созданию системы математического мо-
-и
Дэларованяю технологических "процессов;
- в ГлавНИИ-ВЦ Госплана УССР для создания бэз динамически
отображенных данных.
9. На защиту шпосятся:
предложенные п обоснованные метода решения оптамизацяон-ішх задач техника, сводяпцахся к разномерному приближению чзбишав-скима сплайпама;
разработанное метода исследования свойств нелинейных че-бышевских приближения различных видов;
предложенные я разработанные численные катода решения за- . дач наилучшего нелинейного чебытевского- приближения;
предложенные я обоснованные метода исследования свойств равномерного и неравномерного приближения сплайнами; '
предложенные и разработанные численные нзтода решения задач нахождения параметров равномерного приближения сплайнами различных видов;
выведенные формулы для погрзптостей я границ звеньев сплайнов при равномерном приближения ряда элементарных а соеоя-альных функций с по;."Окьа чебызовскзх раиапиалъннх сплайнов. Формулы во-много раз убыстряют время находясш^я i:-> пт?г:ст прябла-яенил;
-предложенные я разработанный чгзслогпшо і.'сді; рзпгзяяя технических задач, сводящихся к нахондешш nc^v-ow чебыэовсках . сплаЯноз различных гидов;
-разработанные а рзолпзоватше на созрзгспігах ЭВМ различных типов алгоритмов реаешш указанных задач. Работоспособность и эффективность алгоритмов поктЕорддазтся на примерах рзшанпя реальных технических задач.
10. Аппробадия работы.-Отдельные результата, пзлогзшша в .
диссертационной работе, докладывались на 33 семинарах а конферен
циях. Диссертационная работа в полном объема докладывалась, в
частности, на семинарах: ЗЩ, АН УССР под руководством д.ф.-м.н.
Скоробагатько П.Я.'.ИШЛЭ -АН. УССР под руководством 'екадзішса АН
УССР -Пухова Г.Е., ИГОІ АН. СССР под руководство-* екадокиЕй Пугаче
ва B.C., ИІШ им. В.М.Келднгоа АН СССР под руководством академика
Самарского А.А. и под руководством чл.-Корр. АН СССР Езбепкб К.И.,
ЛВГА ОИЯИ под руководством чл.-корр. АН СССР'Ґоворупа Н.Н., фа
культета ВМиК МГУ под руководством д«ф.-а.н. Васильева Ф.П.,
ІШВЦ МГУ под руководством д.ф.-м.н. Морозова В.Л., КИ ян.В.М.Глуш-
кова АН УССР под руководством чл.-корр. АН УССР Пшеничного Б.Н., лаборатория методов вычислений ЛГУ под руководством д.ф.-м.н. Мкхлина С.Г,, ИГОС АН СССР под руководством д.ф.-м.н. Кармано-ва В.Г.,-М9Х.-мат. факультета МП' под руководством чл.-корр. АН СССР Бахвалова Н.С., ИММ'УО-АН СССР под руководством д.ф.-м.н. Субботина Ю.Н.
Рецензии на работы,автора опубликованы в куриалах: Вестник АН УССР (11%, 985), УСйМ (JJ5, 1985), ЕБМ и №& (№9, 1987).
11. Публикации,по рабоге. По теме диссертации опубликовано
.42 работы .В том числе справочник, 2 монография, 3 броншры и 4
сборника алгоритмов, програ%'.:
12. Объем работы. Диссертационная работа состоит из введе
ния, восьми глав -заключения,'приложений и списка литературы.Она
содержит'26В страниц основного машшописного текста, 50 страниц иллюстраций, 32 страница литературы (323 наименований), прилояе-' ния.
