Введение к работе
Актуальность темы. Исследование устойчивости нестационарных систем гидродинамики, физики плазмы, химии полимеров приводит к частичным проблемам собственных значений с большими разреженными числовыми неэрмптовыми матрицами, матрицами линейных функций, матрицами многочленов, матрицами аналитических функций и т.п. Аналогичные задачи возникают при проектировании конструкций и в других инженерных областях, а так же при исследовании асимптотик решений краевых задач для дифференциальных уравнений.
В настоящее время известны алгоритмы (одновременных итераций, Ланцоша, Арнольдп, Дэвидсона), позволяющие достаточно быстро решать частичные проблемы собственных значений с большими разреженными числовыми неэрмптовыми матрицами в случае, когда требуется найти несколько экстремальных собственных значений и отвечающее им инвариантное подпространство. Эти алгоритмы можно использовать для вычисления собственных значений, лежащих во "внутренней" части спектра, и для более общих проблем собственных значений с матрицами линейных функций и матрицами многочленов. Однако при этом придется многократно решать системы линейных алгебраических уравнений с большими разреженными плохо обусловленными матрицами. Применяемые для этой цели прямые методы нарушают разреженность, что существенно увеличивает, особенно в случае проблемы собственных значении матрицы многочленов, время вычислений п требуемый объем оперативной памяти.
Наряду с указанными выше, для решения частичных проблем собственных значений используют локальные алгоритмы (метод минимизации модуля определителя, различные варианты метода Ньютона и другие) , позволяющие решать проблемы собственных значений с матрицами функций более общего вида. Однако эти методы также не позволяют эффективно учитывать разреженность. Исключение составляют ленточные матрицы с небольшой шириной ленты, к которым приводят одномерные задачи.
Кроме того, для многих приложений важно не только найти спектральные характеристики, но и исследовать их устойчивость к возмущению начальных данных. При использовании любого из перечисленных выше методов, такое исследование выступает, как независимая задача, требующая другой вычислительной технологии.
Таким образом, несмотря на наличие большого числа алгоритмов, разработка новых подходов к решению частичных проблем собственных зна-
— 2—
ченпй, лишенных указанных" недостатков, продолжает оставаться актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к решению частпчных проблем собственных значений с болыпимп разреженными матрицами функций, не требующего вычислительно-емких преобразований исходной матрицы п позволяющего в рамках той же вычислительной технологии исследовать устойчивость спектральных характеристик к возмущению начальных данных.
Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются оригинальным вкладом в теорию матриц функций и методы вычисления пх спектральных характеристик.
Исследованы аналитические свойства сингулярных функций матрицы многочленов и их связь со спектральными характеристиками.
Разработан метод сингулярной функции, сводящий проблему собственных значений регулярной матрицы многочленов к вычислению сингулярных векторов, отвечающих минимальным сингулярным числам ее значений. Этот метод распространен на случай регулярной матрицы аналитических функций.
Для линейного случая разработаны неявные численно устойчивые вещественная н комплексная процедуры исчерпывания, совместимые с методом сингулярной функции и позволяющие исключать уже найденные собственные значения и строить ортонормированные базисы в отвечающих им понижающих подпространствах.
Разработан интерполяционный подход к построению быстрых численно устойчивых алгоритмов умножения матриц специального вида на вектор, позволяющих, в частности, эффективно использовать метод сингулярной функции для решения частичных проблем собственных значений с большими плотными матрицами функций.
Практическая значимость. Предложенный в диссертационной работе метод сингулярной функции сводит различные проблемы собственных значений к вычислению сингулярного вектора, отвечающего минимальному сингулярному числу числовой матрицы, т.е. к задаче, для которой известно много тщательно отработанных алгоритмов, учитывающих разреженность. Это позволяет решать практические задачи, решаемые обычно на супер-ЭВМ, на существенно менее мощных компьютерах. Кроме того, базовую процедуру метода сингулярной функции (вычисление сингулярного вектора) можно использовать для построения спектрального портрета с целью исследования устойчивости найденных собственных значений к возмущению начальных данных, т.е. исследование устойчиво-
— з—
сти выполнимо в рамках той же вычислительной технологии.
Аппробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН (Москва, 1985-96), Института проблем кибернетики РАН (Москва, 1986), Вычислительного центра РАН (Москва, 19S6, 1993), Института математики СО РАН (Новосибирск, 1993,1996), Вычислительного Центра СО РАН (Новосибирск, 1996), Кафедре математики физического факультета МГУ (Москва, 1995), Кафедре вычислительной математики механико-математического факультета МГУ (Москва, 1995).
Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе " Оценки сложности вычислений" (Кулдпга, 1985), VII Всесоюзной конференции по вычислительным методам линейной алгебры (Москва, 1985), Всесоюзной школе-семпнаре " Численные методы для высокопроизводительных ЭВМ" (Фунзе, 1988), Школе-семпнаре "Теория приближения функций" (Свптязь, 1989), Всесоюзной конференции "Оптимизация вычислений" (Одесса, 1989), Советско-американском совещании по численным методам линейной алебры (Москва, 1990), Всесибпрской школе по вычислительной математике (Красноярск, 1991).
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 печатных работ, в том числе одна монография.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (159 наименований); изложена на 201 странице и включает 6 рисунков и 8 таблиц.
