Содержание к диссертации
Введение
1 Основная математическая модель регуляции иммунного ответа
1.1 Теория идиотипических сетей 17
1.2 Построение системы уравнений на основе принципа баланса масс 32
1.3 Оценка констант модели. Переход к безразмерным переменным 55
2 Проверка признаков адекватности модели реальным процессам
2.1 Существование и единственность решений 77
2.2 Частные случаи и модификации основной модели 86
3 Анализ построенных динамических моделей
3.1 Качественный и численный анализ 2-D модели 92
3.2 Анализ решений модели 3-D 106
3.3 Численное решение системы 5-D и ее частных случаев ..112
Заключение 117
Литература 119
- Построение системы уравнений на основе принципа баланса масс
- Оценка констант модели. Переход к безразмерным переменным
- Частные случаи и модификации основной модели
- Численное решение системы 5-D и ее частных случаев
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математической модели процесса регуляции иммунного ответа на основе идио-типической теории Н. Ерне [104].
Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:
построена математическая модель регуляции иммунного ответа на основе теории сетевых взаимодействий, проверены признаки адекватности модели реальному процессу, исследованы свойства полученных решений;
исследована зависимость характера иммунного ответа от определенных параметров сети, получены численные значения этих параметров, позволяющие осуществлять от неограниченной к ограниченной иммунной реакции;
получено подтверждение о возможности управления аутоиммунным процессом при помощи антиидиотипических антител;
проведен сравнительный анализ симметричных и несимметричных идиотипических взаимодействий.
Теория иммунных сетей является современной и перспективной теорией механизма саморегуляции иммунной системы. Исследования совокупности индивидуальных детерминант антител - идиотипов - привели к обнаружению идиотипических рецепторов на Т- и В- клетках, что и послужило началом к созданию общей теории сетевых взаимодействий. Первые работы Н. Ерне, являющиеся фундаментом для современной идиотипической теории, были ос-
нованы в большинстве своём на интуитивных предположениях и гипотезах, одним из способов проверки достоверности которых стало применение теории динамических систем.
Подтверждение возможности манипуляции иммунным ответом при помощи идиотипических сетей, а так же бурное развитие за последнее время экспериментальной иммунологии, позволило во многом пересмотреть и откорректировать исходные принципы Н. Ерне, вследствие чего создание новой модели заслуживает отдельного внимания и является актуальным.
Целью настоящей работы является построение динамической модели, по возможности наиболее полно отражающей концепцию вовлечения клеток иммунной системы в регуляторную сеть; исследование свойств решений модели; использование результатов моделирования для анализа клинических данных в случаях аутоиммунной патологии.
Получение более конкретной информации об упомянутых взаимодействиях с помощью математического моделирования позволит в дальнейшем использовать иммунную сеть в качестве манипулятора иммунным ответом, что особенно важно для лечения таких заболеваний, как ревматоидный артрит, системная красная волчанка, склеродермия и многих других, так как сильное иммунодепрессивное действие антиидиотипических антител создает предпосылки к их использованию для подавления образования аутоантител. Прежде, чем перейти к более подробному изложению содержания диссертационной работы, коротко остановимся на истории вопроса.
Идиотипическая сетевая теория Н. Ерне [104] представляется как «неизбежное» применение очень большого (>Ю7) количества различных клонов лимфоцитов, которые сообща могут фактически распознавать любой антиген, вптречающийся в природе. Теория утверждает, что наборы рецепторов лимфоцитов могут распознавать друг друга аналогично тому, как распознают ан-
тиген. Антигенные детерминанты, представленные на рецепторах называются идиотипами, взаимодействия между рецепторами — идиотипическими, которые по теории Н. Ерне служат для регуляции продукции антител при помощи стимуляции или супрессии. Антитела, вырабатываемые организмом против идиотипических детерминант определенных антител (Abi), называются анти-идиотипичгскими (АЬг). Аналогично утверждается и существование анти-идиотипических антител против АЬг (обозначаются как АЬз). Когда было показано, что антиидиотипические антитела могут супрессировать ответ В-клеток, несущих идиотип, Н. Ерне предположил, что такие взаимодействия могут вовлекать В-клетки иммунной системы в регуляторную сеть. Открытие нового механизма регуляции иммунного ответа послужило поводом к созданию целого направления в математических моделях иммунологии.
Существующие модели можно классифицировать по различным признакам. Так, критериями классификации могут служить:
I методы математического моделирования
дискретные модели. В их основу положена теория клеточных автоматов, предложенная С. Вольфрамом [149]. К этой группе относятся так же работы [67, 68, 97, 105, 134];
непрерывные модели, представляющие собой системы нелинейных дифференциальных уравнений. Это самый широкий класс моделей: [69, 72-82, 88, 94-96, 113, 127, 128, 144, 145];
модель, описываемая интегро-дифференциальными уравнениями
[17];
- комбинированная дискретно-непрерывная модель [106];
II механизмы регуляции и свойства сетей
- модели, изучающие размеры и структуру сетей [51, 56, 78, 135];
модели, при помощи которых рассматривается проблема перкола-ции и ограниченности иммунного ответа [73];
модели для исследования патологических аутоиммунных процессов [88,137];
модели, посвященные изучению механизмов иммунной памяти [75,116,136,144];
III популяции клеток сети
модели, учитывающие динамику только В-лимфоцитов [80];
модели, описывающие динамику антител и В-клеток[51, 81, 145];
модели, учитывающие кооперацию Т- и В-клеток [17, 64, 65, 94]. Остановимся более подробно на некоторых моделях, рассматривая их в хронологическом порядке. Первые две работы по математическому моделированию иммунных сетей появились вскоре после публикации Н. Ерне [104] - это модели П. Рихтера [127] и Дж. Хоффманна [94].
Следуя гипотезам Н. Ерне, П. Рихтер функционально различал действия паратопов (связывающего участка антитела) и антигенной детерминанты - идиотопа, считая, что стимулирующий сигнал принимается паратопом, а супрессирующий - идиотопом. Таким образом, представленная модель [127] описывает динамику поведения антигена So, антител Si, антиидиотипических антител S2, анти - S2 антител S3, анти - S3 антител S4. Цель данной модели состоит в описании механизмов толерантности и производства антител. По предположению, в преиммунном (исходном) состоянии уровни всех антител одинаковы и ограничены порогом супрессии. Антиген в данной модели играет роль активирующего сигнала, а количество возбужденных клонов зависит от качественных и количественных характеристик антигена. Для описания взаимных супрессирующих и стимулирующих взаимодействий П. Рихтер
ввел пороговые кривые / , g и пороги активации (Ві), супрессии (Di). Устойчивость стационарных решений данной модели в отсутствии антигена не контролируется сетевыми взаимодействиями, что является серьезным ее недостатком. В присутствии антигена устойчивость цикла {So, Si, S2, S3, S4} была проанализирована Дж. Хернаксом в [92]. Модель Рихтера является примером асимметричной гипотезы Н. Ерне, которая состоит в том, что из двух взаимодействующих клонов только один подвергается супрессии. Сторонником симметричной сетевой теории (т.е. в случае, когда реагирующие клоны взаимно супрессируют друг друга) стал Дж. Хоффманн с моделью [94], которая, следуя этому принципу, была названа моделью «плюс-минус». Симметричность позволила рассматривать сеть не из четырех уровней антител, а только из двух, то есть позволила редуцировать систему {So, Si, S2, S3, S4} в {So, Si, S2, Si, S2...}, основываясь на механизме перекрестной реактивности. Учитывая это, Дж. Хоффманн ввел понятия положительной популяции х+, которая включает в себя клетки, комплементарные к антигену, и отрицательной х , которая является антиидиотипической по отношению к х+. Предполагается, что в отсутствии антигена присутствуют слабые идиотип - антиидиотипиче-ские взаимодействия. Качественный анализ модели показал существование четырех устойчивых стационарных решений, которые можно интерпретировать как преиммунное, подавленное, иммунное и антииммунное. Основным результатом работы Дж. Хоффманна [94] является вывод о том, что иммунная сеть представляет собой устойчивую систему с несколькими состояниями равновесия, где антиген рассматривается как возмущение, приводящее к нарушению равновесия.
Упрощенная «плюс-минус» модель была представлена тем же автором
в [95], и описывала лишь преиммунное состояние. Матрица A = lai}, где
a. - аффинность взаимодействия клонов і и j (в данной модели а. = 0 в случае отсутствия связи идиотип - антиидиотип, a =1 соответственно при ее
наличии) называется матрицей связности, и является разряженной, так как в силу узкой специфичности большинство клонов не взаимодействуют друг с другом. Дж. Хоффманн показал, что уравнения модели [95] обладают следующим свойством - устойчивое решение существует только тогда, когда связность превышает минимальный пороговый уровень (т.е. в матрице А должно существовать определенное число а. таких, что а., = 1) и не существует верхнего предела для связности, который ограничивает устойчивость сети. Тем самым Дж. Хоффманн сформулировал аксиому непредсказуемости: появление большого числа случайных специфичностей не приводит к потере устойчивости иммунной сети, что явилось контрпримером к принципу, изложенному М. Гарднером в [89]: все большие динамические системы обладают свойством устойчивости до критического уровня связности, а при дальнейшем возрастании связности быстро теряют устойчивость.
Результаты работы Дж. Хоффманна [95] были подвергнуты критике Р. Де Бером в [74]. В отсутствии антигена, т.е. когда а. = О для V i,j, все решения модели [95] являются неустойчивыми. Это означает, что для устойчивости необходима хотя бы одна связь. Но если учесть, что лимфоциты подвергнуты естественной гибели, то и в отсутствии идиотип - антиидиотипических реакций каждый клон будет иметь состояние равновесия. Таким образом, минимальная связность вовсе не требуется. Расхождения аксиомы непредсказуемости с утверждениями М. Гарднера можно объяснить следующим образом:
во-первых, степень устойчивости идиотипической сети предположительно зависит от возможности организма отвечать на не - идиотипическии
антиген. Высокая связность (т.е. когда А не является разряженной) практически невозможна, так как это снизит способность системы быстро отвечать на внешние возмущения. Этот переход от устойчивости к сложности был более подробно рассмотрен А. Сегелем в [129], где автор ввел понятие «близкой неустойчивости» иммунной сети;
во-вторых, модель Дж. Хоффманна не учитывает пролиферацию, т.е. исключает иммунную реакцию.
Появление в середине 80-х годов серии принципиально новых теоретических и экспериментальных работ в этой области иммунологии привело к созданию обширного класса моделей. Так, учитывая все недостатки модели Дж. Хоффманна [95], Р. Де Бер построил новую симметричную модель, включающую в себя механизмы пролиферации, супрессии, и «старения» клеток [75]. Новизна этой модели состоит в предположении, что в преиммунном состоянии вовсе не требуется идиотип - антиидиотипические супрессирую-щие взаимодействия, такая устойчивость может достигаться исключительно за счет притока и естественной убыли клеток, вырабатываемых организмом. С помощью этой модели было продемонстрировано, что рост антиидиотипиче-ских антител вызывает пролиферацию антител за счет перекрестного связывания. Супрессия антиидиотипическими антителами может достигаться различными механизмами. Во-первых, с дальнейшим ростом концентрации ан-тиидиотипов перекрестная реактивность становится менее эффективной; во-вторых, часть антител образуют комплексы «антитело - анти-антитело»; в-третьих, антиидиотипические антитела активируют каскад комплимента, что в свою очередь вызывает лизис антител. Все эти три механизма требуют более высоких концентраций антиидиотипических антител, чем для начальных перекрестных процессов, которые вызывают пролиферацию антител. Тем самым, гипотеза Н. Ерне о супрессии антиидиотипами была пересмотрена:
наряду с супрессией возможна и стимуляция антиидиотипами при определенных условиях.
Математические модели иммунной сети позволяют рассмотреть частные случаи: случай взаимодействия «идиотип - антиидиотип» (модель 2-D размерности), «идиотип - антиидиотип - антиантиидиотип» (модель размерности 3-D). Результат работы Р. Де Бера [75] о существовании стимуляции антиидиотипами, позволил пересмотреть механизмы функционирования сетей, и привел к созданию тем же автором совместно с П. Хогевегом и А. Пе-рельсоном принципиально новых математических моделей [78, 79].
Р. Де Бер и др. в [80] разработали группу моделей иммунной сети: В-модель описывает динамику поведения В-клеток, рецепторами которых служат поверхностные идиотип - антиидиотипические антитела; АВ-модель учитывает не только взаимодействия Ё-лимфоцитов, но и производимых ими антител; GAB-модель получена из АВ-модели путем введения дополнительной функции G(t), описывающей время, необходимое для секреции антител
В-клетками. Качественный анализ этих систем показал, что все стационарные точки модели А устойчивы; модель АВ имеет неустойчивые состояния равновесия, что вызвано различным временем жизни антител и В-клеток. Таким образом, с изменением параметров модели меняется и качественное поведение фазового портрета системы. В продолжение этой работы было показано, что параметр X, определяющий время жизни антитела (в селезенке) так же определяет устойчивость состояний [81]. Так, при помощи бифуркационного анализа было показано, что при X = 0.3 наблюдается симметричный предельный цикл, X = 0.38 - несимметричный цикл, и при X = 0.5 - хаос.
На основе модели, предложенной в [80], Р. Андерсон и др. в [51] рассмотрели поведение В-клеток и антител иммунной сети, топология которой
определялась деревом Келли. Дерево Келли, несомненно, является только аппроксимацией действительной топологии иммунных сетей, однако это позволило определить поле антитела ht =^/,- а (т.е. линейную комбинацию всех
клонов, взаимодействующих с клоном і) как hx - аг_, +{z- l)tf;+1, где z - координационный параметр. АВ-модель с этими предположениями о топологии сети (АВ Tree - модель) отличается от топологических моделей, построенных Ж. Вейсбушем в [145] тем, что одновременно рассмотрена динамика антител и В-лимфоцитов. Бифуркационный анализ АВ-модели относительно скорости образования комплексов «антитело-антитело» провел в [113] Ли Бинг Жанг при помощи показателей Ляпунова.
В отличие от АВ-модели, где пролиферация клеток описывалась при помощи сигмоидальной функции /(Л), в моделях [53, 54] У. Бехн построил
линейные функции для описания процессов пролиферации и дифференци-ровки В-клеток, причем были отдельно выделены В-клетки памяти, тогда как во всех моделях Де Бера [80, 81] эту функцию выполняли В-клетки на основе идиотип - антиидиотипических взаимодействий.
В. Салзер и др. [136] предложили так называемую PD-модель, которая построена на основе предложения о том, что не только пролиферация, но и дифференцировка (т.е. деление на плазматические и клетки памяти) регулируется идиотип - антиидиотипическими реакциями. В результате исследования модели было показано сосуществование клеток памяти с динамической памятью, основанной на взаимной идиотипической стимуляции между про-лиферирующими В-клетками при условии, что популяция В-клеток памяти численно превосходит короткоживущую популяцию пролиферирующих В-клеток, или, что равносильно, скорость дифференцировки в клетки памяти
достаточно велика. Последующие исследования PD-модели с точки зрения аутоиммунной патологии были проведены теми же авторами в [137].
Вопрос об иммунологической памяти, формируемый идиотип - анти-идиотипическими реакциями, на сегодняшний день остается одним из наиболее пристально изучаемых. В ранней работе Р. Де Бера [77], постулирующей стимуляцию как основной тип взаимодействий, была рассмотрена так называемая «перколационная» проблема - проблема ограниченности иммунного ответа. Если иммунная система функционирует главным образом как сеть, то ответ сети должен быть локализован, т.е. часть клонов должна оставаться в преиммунном состоянии для возможности ответить на другой антиген. Таким образом, явление «перколации» полностью исключает возможность идиоти-пической памяти. Более поздний динамический анализ в [144] Р. Де Бером и Дж. Ван Эмменом той же В-модели подтвердил возможность существования идиотипической памяти при определенных условиях, наложенных на параметры модели.
Не менее важным является вопрос о размере сетевых взаимодействий и чувствительности каждого отдельного клона (под чувствительностью клона і будем понимать количество клонов, с которыми может взаимодействовать клон і), рассмотренный в [144], где при помощи феменологической модели было показано, что размер сети линейно возрастает с поступлением новых клонов из костного мозга.
Приняв во внимание процесс дифференцировки В-клеток (пре-клетка В0 —> незрелые Ві клетки -> покоящиеся костного мозга В2 клетки периферической системы -> активированные Вз клетки —» плазматические В4), а так же разделив популяцию антиидиотипических антител на две: находящуюся в селезенке и в периферической системе, АВ-модель была преобразована в GIB
модель С. Веласко [84]. Она позволила более точно определить значения некоторых параметров АВ-модели.
Рассмотрев достаточно широкий класс моделей, в основе которых лежит АВ-модель приведем в пример работу В. Голенбурха [88], отличающуюся от последних видом функций, описывающих созревание и пролиферацию В-клеток. С ее помощью был изучен механизм естественной толерантности к эндогенным компонентам. Динамический анализ моделей 2-D, 3-D размерностей показал, что состояние толерантности наблюдается вблизи особых точек системы. Полученные результаты успешно применялись при лечении больных тиреоаидитом Хасимото, у которых после правильно подобранных доз инъекций Ig наблюдалась временная ремиссия симптомов. Построенная модель показала возможность управления поведением иммунной системы при помощи соответствующих возмущений и послужила механизмом к объяснению некоторых аутоиммунных заболеваний.
Все модели, описанные выше, кроме модели Дж. Хоффманна [95], характерны следующей особенностью: в сетевой регуляции они рассматривают только идиотипические В-лимфоциты и антитела, однако существует ряд экспериментальных работ [52, 55, 101], показывающий существование идио-типических Т-клеток.
Исследования в [76], изучающие проблему перколации, дали отрицательный ответ на возможность реализации иммунной памяти при помощи идиотипических Т-хелперов двух классов: Ig-рестриктированных Thlg и МНС-рестриктированных ThMHC. Thld клетки мешали образованию ограниченного ответа, так как они помогали и активировали третью часть всех клеток. И наоборот, МНС-рестриктированные Th ослабляют перколацию слишком сильно: идиотипические взаимодействия в целом теряли функциональ-
ность. Таким образом, если принять гипотезу о функциональности идиотипи-ческих реакций, представленная Thld- модель и ThMHCId - модель не решают вопрос об иммунной памяти в сетях.
Предполагая, что активация В-клеток зависит только от Th, а активированные Th регулируются за счет контактов TCR (рецепторов Т-клеток) с антителами, Дж. Карнейро и др. построили модель [64]. С помощью ее решений были описан процесс нормального иммунного ответа, а так же толерантности, при которой все TCR включаются в идиотипический репертуар В-клеточной сети.
Продолжение исследований этой модели можно найти в [65], где особое внимание было уделено онтогенезу иммунной сети. Важнейшим результатом послужило утверждение о возможности сосуществования в одной сети клонов, находящихся в состоянии иммунного ответа и толерантности. Таким образом, представленная модель дает критерий для отличия (hitnerto purely descriptive) между центральной иммунной системой, отвечающей за толерантность и периферической, ответственной за иммунный ответ.
В отечественной литературе следует отметить работу В. В. Иванова [17], в которой построена система интегро-дифференциальных уравнений, описывающая сетевые взаимодействия клеток иммунной системы. Однако в силу большой размерности и крайней сложности модели, ее дальнейшие исследования не проводились.
Перейдем изложению содержания диссертационной работы, состоящей из настоящего введения, 3-х глав, заключения и списка литературы.
Первая глава состоит из трех параграфов. Она непосредственно посвящена построению модели.
В параграфе 1.1 рассмотрена современная концепция о взаимодействии клеток иммунной системы на основе распознавания идиотипических де-
терминант, которые тем самым образуют иммунную сеть. Приведены основные определения и подробно представлены механизмы, при помощи которых описаны такие явления, как нормальный первичный иммунный ответ, низкозонная и высокозонная толерантность. Обзор современной литературы позволил добавить к ранее известным элементам сети (таким как В- лимфоциты и антитела ), Т- клетки: хелперы и супрессоры.
В параграфе 1.2 введены определения связности и S-связности для каждой популяции В-, Т- лимфоцитов. На основе этих понятий и принципа двойственности идиотип-антиидиотипических взаимодействий введены акти-ваторные функции, определяющие скорость пролиферации клеток. Здесь же построена модель регуляции иммунного ответа, которая представляет собой систему из 17 нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, построенных исходя из принципа баланса масс. Переменными системы являются концентрации В-лимфоцитов, Т-хелперов, Т-супрессоров, антител (по 4 уровня сети на каждую популяцию клеток), а так же концентрация антигена белковой природы. Далее определены начальные условия для переменных модели, и тем самым определена задача Копій.
Параграф 1.3 посвящен определению значений многочисленных параметров модели, а так же начальных концентраций. Часть параметров оценена по опубликованным экспериментальным данным, для оценки остальных использовались законы химической кинетики и принцип двойственности идиотип-антиидиотипических взаимодействий. В этом же параграфе модель приведена к безразмерному виду для дальнейших исследований.
Построение системы уравнений на основе принципа баланса масс
Математические модели иммунной сети позволяют рассмотреть частные случаи: случай взаимодействия «идиотип - антиидиотип» (модель 2-D размерности), «идиотип - антиидиотип - антиантиидиотип» (модель размерности 3-D). Результат работы Р. Де Бера [75] о существовании стимуляции антиидиотипами, позволил пересмотреть механизмы функционирования сетей, и привел к созданию тем же автором совместно с П. Хогевегом и А. Пе-рельсоном принципиально новых математических моделей [78, 79].
Р. Де Бер и др. в [80] разработали группу моделей иммунной сети: В-модель описывает динамику поведения В-клеток, рецепторами которых служат поверхностные идиотип - антиидиотипические антитела; АВ-модель учитывает не только взаимодействия Ё-лимфоцитов, но и производимых ими антител; GAB-модель получена из АВ-модели путем введения дополнительной функции G(t), описывающей время, необходимое для секреции антител
В-клетками. Качественный анализ этих систем показал, что все стационарные точки модели А устойчивы; модель АВ имеет неустойчивые состояния равновесия, что вызвано различным временем жизни антител и В-клеток. Таким образом, с изменением параметров модели меняется и качественное поведение фазового портрета системы. В продолжение этой работы было показано, что параметр X, определяющий время жизни антитела (в селезенке) так же определяет устойчивость состояний [81]. Так, при помощи бифуркационного анализа было показано, что при X = 0.3 наблюдается симметричный предельный цикл, X = 0.38 - несимметричный цикл, и при X = 0.5 - хаос.
На основе модели, предложенной в [80], Р. Андерсон и др. в [51] рассмотрели поведение В-клеток и антител иммунной сети, топология которой определялась деревом Келли. Дерево Келли, несомненно, является только аппроксимацией действительной топологии иммунных сетей, однако это позволило определить поле антитела ht = /,- а (т.е. линейную комбинацию всех клонов, взаимодействующих с клоном і) как hx - аг_, +{z- l)tf;+1, где z - координационный параметр. АВ-модель с этими предположениями о топологии сети (АВ Tree - модель) отличается от топологических моделей, построенных Ж. Вейсбушем в [145] тем, что одновременно рассмотрена динамика антител и В-лимфоцитов. Бифуркационный анализ АВ-модели относительно скорости образования комплексов «антитело-антитело» провел в [113] Ли Бинг Жанг при помощи показателей Ляпунова.
В отличие от АВ-модели, где пролиферация клеток описывалась при помощи сигмоидальной функции /(Л), в моделях [53, 54] У. Бехн построил линейные функции для описания процессов пролиферации и дифференци-ровки В-клеток, причем были отдельно выделены В-клетки памяти, тогда как во всех моделях Де Бера [80, 81] эту функцию выполняли В-клетки на основе идиотип - антиидиотипических взаимодействий. В. Салзер и др. [136] предложили так называемую PD-модель, которая построена на основе предложения о том, что не только пролиферация, но и дифференцировка (т.е. деление на плазматические и клетки памяти) регулируется идиотип - антиидиотипическими реакциями. В результате исследования модели было показано сосуществование клеток памяти с динамической памятью, основанной на взаимной идиотипической стимуляции между про-лиферирующими В-клетками при условии, что популяция В-клеток памяти численно превосходит короткоживущую популяцию пролиферирующих В-клеток, или, что равносильно, скорость дифференцировки в клетки памяти достаточно велика. Последующие исследования PD-модели с точки зрения аутоиммунной патологии были проведены теми же авторами в [137]. Вопрос об иммунологической памяти, формируемый идиотип - анти-идиотипическими реакциями, на сегодняшний день остается одним из наиболее пристально изучаемых. В ранней работе Р. Де Бера [77], постулирующей стимуляцию как основной тип взаимодействий, была рассмотрена так называемая «перколационная» проблема - проблема ограниченности иммунного ответа. Если иммунная система функционирует главным образом как сеть, то ответ сети должен быть локализован, т.е. часть клонов должна оставаться в преиммунном состоянии для возможности ответить на другой антиген. Таким образом, явление «перколации» полностью исключает возможность идиоти-пической памяти. Более поздний динамический анализ в [144] Р. Де Бером и Дж. Ван Эмменом той же В-модели подтвердил возможность существования идиотипической памяти при определенных условиях, наложенных на параметры модели. Не менее важным является вопрос о размере сетевых взаимодействий и чувствительности каждого отдельного клона (под чувствительностью клона і будем понимать количество клонов, с которыми может взаимодействовать клон і), рассмотренный в [144], где при помощи феменологической модели было показано, что размер сети линейно возрастает с поступлением новых клонов из костного мозга. Приняв во внимание процесс дифференцировки В-клеток (пре-клетка В0 — незрелые Ві клетки - покоящиеся костного мозга В2 клетки периферической системы - активированные Вз клетки —» плазматические В4), а так же разделив популяцию антиидиотипических антител на две: находящуюся в селезенке и в периферической системе, АВ-модель была преобразована в GIB модель С. Веласко [84]. Она позволила более точно определить значения некоторых параметров АВ-модели.
Оценка констант модели. Переход к безразмерным переменным
Математическая модель иммунного ответа на основе идиотип-анти-идиотипических взаимодействий представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих баланс следующих переменных: Вг:(Т)- концентрация В-лимфоцитов идиотипа і в момент времени Т; Xj(T)- концентрация Т-хелперов с рецепторами идиотипа j в момент времени Т; SJ(T}- концентрация Т-супрессоров с рецепторами идиотипа j в момент времени Т, Abt(T)- концентрация антител с идиотипом і в V-области молекулыв момент времени Г, Ag(T) - концентрация антигена в момент времени Т. Концентрации Д(Г), Xj(T), SJ(T), Abt(T), Ag(f) определяются как количество клеток или молекул в 1мл лимфоидной ткани. Считая, что 1 [моль / мл] =6,02 х 1023 клеток, можно пересчитать концентрации из единиц [кл / мл] в [моль / мл]. Аргумент Т в обозначениях переменных модели далее опущен для краткости. Индексы /, j, обозначающие номер клона, принимают следующие значения: і e{l..N},j e{2..N + \}. Число N, определяющее максимальное количество разнообразных специфичностей клеток иммунной системы, по оценкам Дж. Дарнелла [70] достигает значений 1010 - 1011 (без учета соматических мутаций). Однако в действительности в организме наблюдаются не более 4-5 активированных клонов, сетевых взаимодействий между которыми достаточно для регуляции иммунного ответа. Предположим, что последним активированным клоном является клон АЬд с антиидиотипическими к нему Т-хелперами Th5 и Т-супрес-сорами TS5, т.е. N = 4. Специфичные к антигену популяции Т-хелперов 1 и Т-супрессоров Tsi в данной модели не рассматриваются: считается, что лимфоциты клона Bi достаточно стимулируются антигеном, а подавляющее действие на Bi-лимфоциты оказывают клетки клона Ts2. Для построения дифференциальных уравнений по принципу баланса концентраций, выделим основные процессы, влияющие на размеры популяций клонов В- и Т-лимфоцитов: - поступление клеток из центральных органов иммунной системы: В-лимфоциты вырабатываются костным мозгом, Т-лимфоциты - вилочковой железой (тимусом); - «естественная» гибель клеток в результате старения; - пролиферация (деление) под влиянием идиотип-антиидиотипиче ских взаимодействий. Скорость миграции лимфоцитов из костного мозга и тимуса колеблется в течение суток в небольших пределах [41]. Однако по сравнению с пролиферацией, это не влияет существенным образом на размеры активированных клонов, поэтому далее считается, что скорость поступления В- и Т-лимфоцитов постоянна на протяжении иммунного ответа. Период жизнедеятельности лимфоцитов различных популяций может варьироваться в достаточно широких диапазонах (так Ts являются коротко-живущими, Th - долгоживущими лимфоцитами), но для каждой популяции этот показатель остается постоянным, что и позволяет считать скорость естественного распада константой. Как описано в параграфе 1.1, антиидиотипические антитела оказывают двойственное влияние на идиотип - несущие В-, Т-лимфоциты. Можно считать, что это влияние выражается в изменении скорости пролиферации лимфоцитов: малые дозы антиидиотипических антител увеличивают скорость деления, а большие способствуют к ее уменьшению. Таким образом происходит воздействие антиидиотипических антител на концентрацию идиотип-пози-тивных лимфоцитов. Помимо указанных взаимодействий, Т-хелперы и Т-су-прессоры оказывают непосредственное влияние друг на друга при помощи взаимного распознавания идиотипов рецепторов. Концентрация Abt антител изменяется в следствии следующих процессов: - секреции антител В-лимфоцитами; - связывания в комплексы «Abi - Abk», «Ag - Abi»; - естественного распада иммуноглобулинов. Секреция антител Abi осуществляется только Ві-лимфоцитами, т.е. В-лимфоцит способен производить антитела только одного идиотипа, именно того, который присутствовал на поверхностных рецепторах В-клеток. Скорость секреции не постоянна, и зависит от антиидиотипических стимуляций антителами, Т-хелперами и Т-супрессорами. Уменьшение числа свободных антител происходит в результате образования комплексов «Abi - a(Abi)», которые выводятся из организма при помощи системы макрофагов. Антитела Abi, специфичные к антигену Ag, помимо связывания с антиидиотипическими антителами, способны к образованию комплексов «Abi - Ag», причем в рамках данной модели предполагается, что это единственный клон иммуноглобулинов, способный связывать антиген. Период функционирования антител величина постоянная, но своя для каждого класса иммуноглобулинов. Поскольку иммунная сеть наиболее выражена для антител IgM, то и скорость естественной гибели считается константой. В качестве антигена будем понимать некоторый генетически чужеродный белок, индуцирующий иммунный ответ организма. Концентрация Ag антигена изменяется в результате: - естественного распада; - образования комплексов антитело-антиген «Abi - Ag». Скорости естественного распада и выведения комплексов из организма считаются постоянными. Для определения степени антиидиотипических стимуляций, под воздействием которых изменяются концентрации В-лимфоцитов, в [94] Дж. Хоффман ввел понятие поля.
Частные случаи и модификации основной модели
Введенные определения позволяют описать все ранее рассмотренные взаимодействия клеток, основанные на распознавании идиотипических детерминант. Рассмотрим более подробно клон Bi (i=l..N) со связностью hBt(B,X). Двойственный характер зависимости в терминах введенных определений можно интерпретировать следующим образом: рост связности hBt{B,X) до некоторой критической величины будет вызывать увеличение скорости пролиферации клона ВІ, дальнейший рост величины hBt(B,X) приведет к снижению скорости пролиферации. Следовательно, такие взаимодействия можно описать некоторой «колоколообразной» функцией, аргументом которой будет связность hBt(B,X}, а значением - скорость пролиферации клеток клона ВІ. В Использование этой функции основано на эмпирической кривой «доза-ответ» для продукции антител [124]. Функция/ ) не отрицательная для у О, образована произведением двух сигмоидальных функций: первая монотонно возрастает от 0 до 1, прини 38 мая половину максимального значения при у-а, вторая монотонно убывает от 1 до 0, и принимает половину максимального значения при у = Ъ .Для Ь»а максимальное значение Степень крутизны сигмоидальных функций определяется коэффициентом Хилла j] 1. Далее для простоты рассматривается случай г\ = 1. Таким образом, функция Рв, Х описывает зависимость скорости пролиферации клеток клона ВІ ОТ связности hBt(B,X), где Рв - максимальная скорость пролиферации: при 0 hBi(В,X) 4а-Ъ скорость пролиферации В-лимфоцитов растет от 0 до Рв, при hBi (В, Х\ yja-b скорость пролиферации убывает от Рв до 0. Аналогичные функции можно ввести для клонов Т-хелперов Thj со связностью hXj(Ab) и Т-супрессоров TSJ со связностью hS-(B,xy. {Abu описывает изменение скорости пролиферации Xj под действием антиидиотипических антител, Ps определяет скорость пролиферации Sj под влиянием В-лимфоцитов и Т-хелперов, где Рхи Ps -максимальные скорости пролиферации Т-хелперов и Т-супрессоров соответственно. Функции Рх f\hXj(Ab)\ и Ps можно интерпретировать иначе: это доля активированных клеток от общего числа лимфоцитов клона, причем в этом случае все активированные клетки делятся с постоянными скоростями Рв, Рх и Ps соответственно. Следует отметить, что для каждой группы клеток Bj, Thj, TSJ пороги активации (а) и супрессии (Ь) имеют различные значения.
Общее количество стимуляций клона ВІ антиидиотипическими Т-су-прессорами выражается с помощью S-связности hB S). Поскольку взаимодействия В-клеток с Т-супрессорами происходят так же на основе перекрестной реактивности, то такие взаимодействия можно описать обратным принципом двойственности: с ростом концентрации антиидиотипических супрес-соров до некоторого порогового значения будет наблюдаться супрессия идио-тип-позитивных В-лимфоцитов, дальнейший рост концентрации Ts не будет оказывать супрессирующего влияния, и скорость пролиферации В-клеток начнет увеличиваться до прежнего значения. По аналогичному принципу происходят и сетевые взаимодействия между Ts и Th: супрессия антиидиотипическими Т-супрессорами идиотип-несущих Т-хелперов имеет место до определенной концентрации Ts, после чего скорость пролиферации Th начнет снова возрастать. Поэтому, чтобы описать супрессию идиотипа Т-супрессорами предлагается следующая функция: Тогда Рв j описывают изменение скорости секреции В- клетками антител и скорости пролиферации Т-хелперов под влиянием антиидиотипических супрессоров соответственно. Комбинированный эффект влияния на скорость пролиферации клеток, а также на скорость секреции В-лимфоцитами молекул Ig можно выразить при помощи функции Q(z,w) = /(z) g(w).
Введенных функций достаточно для построения модели идиотип - ан-тиидиотипической сетевой регуляции иммунного ответа.
Численное решение системы 5-D и ее частных случаев
Состояния, при которых в организме появляются антитела против нормальных собственных антигенов, называются аутоиммунными реакциями. К аутоиммунным заболеваниям относятся все заболевания, связанные с образованием аутоантител (т.е. антител, способных взаимодействовать со «своими» антигенами) за исключением тех случаев, когда можно утверждать, что иммунологические явления носят четко выраженный вторичный характер. Весь спектр аутоиммунных заболеваний можно разделить на два класса: органоспецифические (например, тиреоидит Хасимото, первичная микседема); органонеспецифические (ревматоидный артрит, системная красная волчанка).
Ревматоидный артрит представляет собой симметричное воспалительное поражение синовиальной оболочки периферических суставов, ведущее к их деструктивным изменениям и сопровождающееся образованием аутоантител. Особый макроглобулин, так называемый ревматоидный фактор (РФ), являющийся антителом к Fc-фрагменту иммуноглобулинов, определяется в сыворотке крови 70 -80 % больных ревматоидным артритом.
Согласно современным концепциям, неизвестный антиген (возможно вирусной природы) вызывает первичную иммунную реакцию в виде формирования антител типа IgG, а в дальнейшем приводит к изменению структуры этих антител. Измененные IgG воспринимаются организмом как аутоантигены, вследствии чего плазматические клетки и В-лимфоциты вырабатывают к Fc-фрагменту антитела - ревматоидные факторы классов IgM и IgG. Взаимодействие РФ и иммуноглобулинов ведет к образованию иммунных комплекесов, которые в свою очередь, вызывая ряд цепных реакций, приводят к развитию воспаления и деформации тканей суставов и сосудов. Предполагается, что причиной синдрома иммунокомплексной болезни является нарушение регуляции иммунного ответа, которое наблюдается вследствии дисбаланса функций Т- и В-лимфоцитов: - пониженная для Т-супрессоров, - повышенной для Т-хелперов, - повышенная для скорости секреции антител. Пусть аутоантиген Аи (в данном случае - IgG) присутствует в организме в некоторой постоянной концентрации. Для описания его взаимодействия с клетками иммунной сети необходимо внести следующие изменения в определение 2: Учитывая дисбаланс функций Т-лимфоцитов, а так же повышенную скорость секреции антител, имеем: Рх = 4.5, Ps = 0.5, L = 8.64 х 109, остальные параметры модели - прежние. Модель иммунной сети с учетом разнообразия аффинности взаимодействий Основная модель (1.2.75) - (1.2.76) является симметричной в силу гипотезы о функциональном подобии идиотипа и паратопа, т.е. взаимодействие Abi с АЬг эквивалентно взаимодействию АЬг с Abi. Однако в работах Л. Н. Фонталина [43] известное противоречие симметричной и несимметричной теории иммунных сетей разрешается при помощи гипотезы о разнообразии аффинитета (силы взаимодействий) клеток различных уровней сети: считается, что Abi более аффинны к антигену, чем к клеткам второго уровня сети, АЬг соответственно более аффинны к клеткам первого, чем третьего уровня и т. д. Это условие легко выражается при помощи матриц взаимодействий, поскольку их элементы по определению отражают степень взаимодействий. Считая, что 1 соответствует максимальной аффинности взаимодействий, 0.1 - низкой аффинности, 0 - отсутствию взаимодействий, имеем Одним из критериев соответствия модели реальному процессу служит устойчивость состояния здорового организма, т.е. решения (Л1) (1) (1) (1) (1)) тз Щ , х\!, s\ , а\ , gw относительно начальных условии. В силу нелинеи ности уравнений модели 2-D для дальнейших исследований необходимы следующие утверждения. Теорема 9 [48] Пусть дана нелинейная автономная система причем (p(z) -функция, имеющая необходимую гладкость для разложения ее в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки z = 0: Тогда если спектр Х .Л _ постоянной матрицы 4і системы (3.1.3) лежит в левой полуплоскости, т.е. Re Х- 0 (y = l...iV), и при достаточно малых z справедливо соотношение: S(z) с \z\ \ (с,а 0), то положение равновесия z = 0 системы (3.1.3) асимптотически устойчиво. Если же хотя бы одно собственное значение матрицы лежит в правой полуплоскости, то тривиальное решение системы (3.1.3) неустойчиво. Теорема 10 [19] Пусть нелинейная система (3.1.2) имеет простую неподвижную точку z = 0. Тогда в окрестности начала координат фазовые портреты этой системы и ее линеаризации (3.1.3) качественно эквивалентны, если только неподвижная точка линеаризованной системы не является центром. Таким образом, исследование устойчивости каждого решения сводится к изучению знаков собственных чисел соответствующей матрицы линеаризации . Результаты вычислений представлены в таблице 10.
