Введение к работе
Актуальность темы диссертации,
В последнее десятилетие одной из областей активного применения методов вычислительной математики становится микроэлектроника. Связано это прежде всего с тенденцией к постоянному уменьшению размеров активных элементов интегральных схем. Для улучшения функциональных характеристик последних необходимо изучение динамики внутренних процессов в таких структурах. Однако проведение экспериментов в условиях миниатюризации приборов становится все более проблематичным, в связи с чем возрастает значение математического моделирования как аппарата исследования в этой области.
Первой в этом направлении и ставшей в последующем традиционной является дрейфэво-диффузионная модель С ММ), основанная на' предположении о равновесности электронно-дырочной плазмы (ЭДП) и локальной зависимости ее параметров от напряженности электрического поля. Однако с развитием технологии сверхбольших интегральных схем ССБИС) размеры отдельных элементов на кристалле уменьшаются до субмикронных и становятся сравнимыми с характерными длинами релаксации в ЭДП Спри этом нарушаются предположения, лежащие в основе как упрощенных аналитических, так и ДДЮ. Для описания таких структур необходимы более подробные модели, эффективно учитывающие неравновесный и нелокальный характер ЭДП.
Одним из таких подходов, получившим распространение с начала 80-х годов, являются модели гидродинамического типа (называемые также - в отличие от ДДМ - нелокальными, или температурными). Они включают уравнения сохранения для средних макроскопических параметров плазмы Св том числе ее средней энергии или температуры), полученные в качестве следствия кинетического уравнения для функции распределения.
Среди моделей данного класса существует определенное разнообразие, что объясняется теми допущениями, которые используются при выводе макроскопических уравнений. Однако эти допущения, определяющие границы применимости моделей, не всегда учитываются при использовании последних. В связи с этим возникает необходимость сопоставления различных моделей гидродинамического типа на основе анализа их вывода из кинетического описания.
Можно отметить, что сложность интегро-дифференциального кинетического уравнения определяет и сложность получаемых из него моментов - уравнений в частных производных. Так, образуемая
ими система имеет сильную нелинейную зависимость, при этом переменные связаны не только через "источниковые" члены, но и через производные Скак первого, так и второго порядка). Однако большинство работ, в которых для изучения полупроводниковых структур используются модели гидродинамического типа, носят характер вычислительного эксперимента, проводимого специалистами в области физики полупроводников и полупроводниковых приборов. При этом во многих из этих работ пока недостаточно внимания уделяется исследованию важных проблем математического характера, которые встают при численной реализации подобных моделей и от решения которых могут существенно зависеть результаты расчетов Стакая ситуация объясняется как сложным характером задачи, так и относительной новизной ее постановки).
Для моделирования реальных полупроводниковых приборов необходимо применение пространственно-двумерных и трехмерных моделей, что связано с большими вычислительными затратами. Одним из перспективных путей решения данной проблемы является использование многопроцессорных вычислительных систем. Однако их распространение требует выбора и разработки численных алгоритмов, допускающих эффективное отображение на ЭВМ с параллельной архитектурой.
Цель работы состояла в исследовании на примере квазигидродинамической модели СКГМ) ряда проблем, связанных с постановкой и численной реализацией температурных моделей ЭДП, в том числе:
формулировка уравнений в моделях и анализ допущений, лежащих в основе различных моделей;
проблема построения монотонных разностных схем для уравнений непрерывности и энергии;
вопрос о постановке граничных условий на контактах приборов;
вопрос"о влиянии вида кинетических коэффициентов на результаты моделирования.
В качестве отдельной проблемы отметим вопрос о построении алгоритмов численного решения пространственно-двумерной КГМ, рассчитанных на эффективную параллельную реализацию.
Научная новизна.
В работе впервые разработан ряд вопросов, связанных с численным решением системы квазигидродинамических уравнений:
построены экспоненциальные разностные схемы для уравнения непрерывности и энергии, обладающие рядом преимуществ;
для концентраций и температур частиц на контактах предложены нелинейные граничные условия 3 рода, которые в отличие от традиционных равновесных условий соответствуют неравновесному
характеру задачи;
- проведено численное исследование влияния вида используемых
кинетических коэффициентов на результаты расчетов;
- предложен алгоритм численного решения пространственно-
двумерной КГМ, предполагающий эффективную параллельную реали
зацию на многопроцессорных системах с распределенной памятью.
Практическое значение работы.
На основе методик, предложенных в диссертации, разработан комплекс программ для моделирования одномерных и двумерных полупроводниковых структур из различных материалов, включающий как одно-, так и двухтемпературный варианты модели. Результаты исследований КГМ могут быть использованы в рамках и других моделей гидродинамического типа.
Использование предложенного в работе алгоритма параллельной реализации моделей гидродинамического типа даст возможность применения "настольных" вычислительных комплексов Снапример, перспективных транспьютерных систем) для серийных исследовательских расчетов полупроводниковых приборов на основе достаточно подробных моделей ЭДН.
Апробация диссертации.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II, III и IV Всесоюзных совещаниях "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах" Сг.Ростов, 1988г., г.Паланга, 1989 г., г.Ростов. 1990 г.), V Всесоюзном совещании "Математическое моделирование приборов микроэлектроники" (г.Горно-Алтайск, июнь 1989 г.). Всесоюзной конференции "Нелинейные явления" Сг. Москва, сентябрь 1989 г.), II республиканской конференции "Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС" С г.Рига, март 1990 г.), международной конференции IMACS по математическому моделированию и прикладной математике Сг. Москва, июнь 1Q90 г.), международном семинаре по моделированию приборов и технологий в микроэлектронике С г. Новосибирск, июнь 1990 г.}, XIII Всемирном Конгрессе IMACS по вычислительной и прикладной математике Сг. Дублин, июль
1991 г.), III Международной конференции по применение транспьютеров Сг.Глазго, август 1991 г.). Международной конференции "Parallel Computing Technologies" (г. Новосибирск, сентябрь 1991 г.3, Первой Всесоюзной конференции "Транспьютерные системы и их применение" Сг.Звенигород, октябрь 1991 'г.).
Публикации,
По результатам работы имеется 12 публикаций, перечисленных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
