Введение к работе
Актуальность темы. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) JF.V сопоставляет сигналу х сигнал X = ^м(^) с компонентами
X(k) = Е51^W, к Є Z, где wN = exp(27ri/iV). Оно играет фундаментальную роль в цифровой обработке сигналов и изображений. В 1965 году Кули и Тьюки был предложен алгоритм быстрого вычисления ДПФ для сигнала, размерность которого равна степени двойки.
Новым аппаратом обработки сигналов различной природы является кратномасштабный анализ, основанный на вейвлетах (всплесках), ставших широко известными после работ И. Добеши конца восьмидесятых и начала девяностых годов. Суть его заключается в возможности одновременного анализа временной и частотной компонент сигнала и рассмотрения их с разной степенью подробности (в разном масштабе).
Вейвлетная теория — новая область чистой и прикладной математики, активно развиваемая за рубежом в последние десять лет. Успехи этого направления столь существенны, что говорят о "вей-влетной революции". Это связано с простотой построения основанных на всплесках алгоритмов, а также широтой их приложений в самых разных областях, среди которых сжатие информации, распознавание образов и многое другое.
В настоящей работе построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов в пространстве дискретных периодических и непериодических сигналов и изображений. На их основе по-новому выведены формулы быстрого вычисления ДПФ (алгоритма Кулн-Тыоки) и дискретного преобразования Уолша (ДПУ). Получены вейвлетные разложения указанных пространств, шслючая разложение Хаара. Описано построение вейвлет-пакетов на базе ДПФ и ДПУ. Это позволяет существенно расширить возможности цифровой обработки сигналов и изображений, оставаясь в рамках дискретного гармонического анализа.
Цель работы.
1) Установить более тесную связь вейвлетной теории с классиче-
ским дискретным гармоническим анализом.
2) Построить на базе классического дискретного гармонического анализа ортогональные вейвлетные базисы.
Методика исследования. В работе использовались методы теории всплесков и дискретного гармонического анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов в пространстве дискретных периодических сигналов, соответствующие прореживанию по времени и частоте.
-
Установлено, что в процессе реализации алгоритма Кули-Тьюки вычисляются коэффициенты некоторых вейвлетных разложений (в частности, разложения по базису Хаара).
-
Построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов в евклидовом пространстве, размерность которого равна степени двойки; указана перестановка, переводящая финальный базис в дискретный базис Уолша.
-
Полученные в пунктах 1)~3) результаты перенесены на двумерный случай.
-
Разработан алгоритм и составлена программа для сжатия изображений на основе дискретного преобразования Уолша. Проведены вычисления по обработке фотографий размером 512 х 512 пикселов в 25G градациях серого цвета.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при цифровой обработке сигналов и изображений различной природы.
Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинарах кафедры исследования операций и кафедры вычислительной математики мат-мех факультета
СПбГУ, на Санкт-Петербургском городском семинаре по всплескам її их приложениям, на третьем международном семинаре по моделированию (Санкт-Петербзфг 28 июня - 3 июля 1998 года). По теме диссертации опубликовано пять работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации — 102 страницы. Список литературы насчитывает 45 наименований. В диссертации имеется б рисунков и 2 таблицы.
