Введение к работе
. Актуальность темы- При решении широкого.класса прикладных за-;ач-в естественнонаучных исследованиях, технике, экономике приме-яются линейные стохастические модели (регрессии, авторегрессии, вторегрессии и скользящего среднего). При этом одной из централь-ых является задача идентификации линейных стохастических моделей, оторая в данной работе трактуется как задача оценивания коэффи-иентов этих моделей по статистическим данным.
Развитие вычислительной техники не только способствовало
асширенига области практических приложений линейных стохастиче-
ких моделей, но и стимулировало разработку рекуррентных процедур
дентификации. В настоящее время разработано множество рекуррент-
ых алгоритмов оценивания коэффициентов линейных стохастических
оделей и изучены их асимптотические свойства при увеличении числа
аблюдений " В частности, показано, что начальные значения пара-
етров рекуррентных процедур не влияют на предельные значения оце-
ок коэффициентов. Наряду с асимптотическими свойствами большой
рактическии интерес представляют свойства рекуррентньк оценок для
онечного числа наблюдений. Установлено, что свойства рекуррентных
ценок коэффициентов в случае конечного числа наблюдений сущест-
енно зависят от начальных значений параметров рекуррентных проце-
ур. В частности, при "неудачном" выборе начальных значений пара-
етров- рекуррентная оценка не является точкой экстремума критерия
ачества идентификации. В книге Я.З.Цыпкина "Основы информационной
теории идентификации" (М.: Наука, 1984) отмечается, что задача
овышения точности рекуррентных оценок в случае конечного числа
аблюдений тесно связана с регуляризацией решений некорректных об-
атных задач. ;
Для улучшения качества оценивания медленно меняющихся коэф-ициентов линейных стохастических моделей представляет интерес азработка адаптивных модификаций рекуррентных процедур, обеспечи-ающих экспоненциальное взвешивание наблюдений.
Таким образом, актуальной для практики является задача потроєння и регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коэффици-нтов линейных стохастических моделей.
В диссертационной работе эта задача решается в условиях от-утствия априорной информации об оцениваемых коэффициентах для эмейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей,
удовлетворяющих системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) общего вида.
Это семейство включает широко используемые на практике, полученные с помощью метода наименьших квдратов оценки (МНК-оценки) коэффициентов множественной линейной регрессии, авторегрессии v другие.
На основе полученных результатов решается актуальная для регрессионного анализа задача рекуррентного адаптивного оценивание коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях мульти-коллинеарности.
Цель работы - разработка, анализ, программная реализация процедур вычисления и регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастических моделей.
Поставленная цель определила следующие основные задачи:
-
Исследование точности итерационных процедур построение псевдообратной (в смысле Мура-Пенроуза) матрицы и нормального псевдорешения СЛАУ;
-
Построение и анализ рекуррентной адаптивной процедуры вычисления семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей;
-
Регуляризация рекуррентных адаптивных оценок коэффициентоЕ линейных стохастических моделей в условиях отсутствия априорноР информации об оцениваемых коэффициентах;
4.Построение и программная реализация вычислительной процедуры нахождения регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной линейной регрессии в условиях мулътиколлинеарности.
Методы исследования. Теоретические исследования проводились на основе аппарата теории вероятностей и математической статистики, линейной алгебры, теории матриц, теории идентификации. Экспериментальные исследования выполнены с использованием статистического моделирования на ЭВМ.
Новые научные результаты.
1. Для точно заданной матрицы и правой части СЛАУ получеш новые оценки скорости сходимости итерационных процедур построение псевдообратной ( в смысле Мура-Пенроуза ) матрицы и нормальной 'псевдорешения СЛАУ, а также их аналогов для неотрицательно определённой матрицы.
Z. В случае, когда элементы матрицы и вектора правой часті СЛАУ заданы с погрешностями, для итерационных процедур построена
ісевдообратной матрицы и псевдорешения СЛАУ,а также их аналогов іля неотрицательно определённой матрицы получены новые априорные эценки уклонения приближённого решения от точного. На основе Полуниных оценок предложены способы априорного выбора параметров регуляризации.
-
Построена рекуррентная адаптивная процедура вычисления об-аирного семейства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, не использующая операцию обращения матрицы.
-
Предложен новый способ регуляризации оценок коэффициентов линейных стохастических моделей, полученных с помощью рекуррент--юго адаптивного метода наименьших квадратов и рекуррентной адаптивной процедуры, не использующий априорной информации об оцениваемых коэффициентах.
-
Построена новая двухэтапная вычислительная процедура нахо-кдения регуляризованной МНК-оценки коэффициентов множественной ли-іейной регрессии.
Практическая ценность работы заключается в том, что её результаты могут быть использованы при тщании задач статистического інализа экспериментальных данных в г,-чных исследованиях, технике, экономике; при создании программного кі'юпечения идентификации ди-шмических систем.
Реализация результатов. Теоретические и практические результаты использованы и внедрены:
'- в Белгосуниверситете при выполнении НИР "Разработка мето-аов, алгоритмов и программного обеспечения устойчивого (робастно-^о) анализа данных для автоматизации научных исследовании, математического модалирования на ЭВМ сложных систем в условиях априорной ^определенности" (ном.гос.per. 01890080692) в рамках Pecпубликан-:ких научно-технических прргамм "Информатика" (задание 04-05.01) и 'Здравоохранение" (задание 69.02р.01.02.02) и разработке пакета ірикладньк программ.(ППП) "СТАТИСТИК";
- в Белорусском НИИ защиты растений при создании системы Фи-госанитарной диагностики, а также ещё в 11 организациях, внедривших ППП "СТАТИСТИК".
Апробация работы. Результаты диссертационной работы доклады-зались на республиканской школе-семинаре "Статистический анализ іанньїх на ЭВМ" (Ужгород, 1989 г.), на республиканской школе-семи-іаре "Методы представления и обработай случайных сигналов и потей", (Харьков, 1990 г.), на Всесоюзной научно-технической конфе-
ренции "Применение статистических методов в производстве и упраЕ лении" (Пермь, 1990 г.), на республиканской научной конференщ "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Мина 1990 г.), в Белгосуниверситете имени В.И.Ленина на постоянно де ствующем городском нучном семинаре "Математическое и программш обеспечение анализа данных" (1991 г.), на семинарах кафедры мате матического моделирования и анализа данных, на конференциях моле дых учёных (1988 г., 1990 г.).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 рг бот.
Основные результаты работы, выносимые на защиту:
-
Двухэтапная процедура вычисления и регуляризации рекуі рентных адаптивных оценок коэффициентов линейных стохастическі моделей;
-
Способ регуляризации рекуррентных адаптивных оценок коз? фициентов линейных стохастических моделей;
3.. Новая рекуррентная адаптивная процедура вычисления семеі ства оценок коэффициентов линейных стохастических моделей;
4. Оценки точности итерационных процедур построения псевдоо(
ратной (в смысле Мура-Пенроуза) матрицы и нормального псевдореїш
ния СЛАУ;
5. Двухэтапная процедура вычисления регуляризованной МНР
оценки коффициентов множественной линейной регрессии в услоси
мультиколлинеарности и её программная реализация.
Достоверность приводимых в диссертации результатов обеспечі вается корректным применением математических методов и потвержд; ется результатами вычислительных экспериментов.
Структура работы и объём работы. Работа состоит из введени трёх глав, заключения, приложения, списка литературы, включающе 84 наименования, содержит два рисунка и две таблицы. Общий объ работы составляет 117 страниц.
