Обнаружение нарушений в моделях линейных стохастических систем в процессе фильтрации Сковиков, Анатолий Геннадьевич

Введение к работе

Актуальность теш. Существенной проблемой любого научного исследования является преодоление априорной неопределенности объекта исследования. При этом свойства многих реальных объектов вследствие воздействия внешних и внутренних факторов непредсказуемо изменяются. Модельное описание такого процесса изменения ввиду отсутствия необходимых априорных данных обычно либо невозможна, либо исключительно затруднено.

Создание автоматизированных систем обработки данных в реальных условиях априорной неопределенности и изменчивости функционирования обьекта является слоеной задачей. Известные оптимальные методы, развитые в теории статистической обработки данных, работоспособны только при строгой- адекватности используемых в процессе исследования моделей. Кроме того задачей научного эксперимента мозкет быть именно обнаружение и оггоеделе-ние характера изменений свойств обьекта исследования. При этом сам объект представляется как некоторая стохастическая система, способная функционировать в конечном mhc^gctbg локально стационарных режимов с заранее выбранными моделями.

Подобная ситуация встречается в широком круге научных исследований, включая медико-биологические, аэрокоемические, геофизические, сейсмологические, социально-экономические, химико-технологические, в области ядерной физики, распознавания образов и др. Модели, описывающие различные локально стационарные режимы функционирования многих объектов указанных исследований линеаризуются. В этом случае эффективные решения достигаются с применением аппарата и методов теории фильтрации Калмана, непосредственно ориентированных на использование ЭВМ.

При реализации оптимальных процедур контроля число проверяемых гипотез теоретически должно прогрессивно расти, что делает такой подход строго не реализуемым в реальном масштабе времени (из-за ограниченности ресурсов ЭВМ по быстродействию и объему оперативней памяти). G другой стороны, и запросы практики часто делают нецелесообразным завышение требований в смысле строгой оптимальности математических решений, как из-за сложности решения так и из-за вынужденной неполноты априорных сведений, необходимых для его реализации. Следовательно, кроме оптимальных, определяющих максимально достижимое качество ре-

шения поставленных задач и имеющих ограниченную область применения методов и алгоритмов, для практических целей нэлательно иметь более простые в реализации субоптимальные алгоритмы.

С другой стороны, причиной неустойчивости процессов рекуррентной обработки данных наблюдения за динамическими объектами может оыть наличие е выборке аномальных измерений. Под аномальными будем подразумевать измерения, характеризующиеся скачкообразным изменением дисперсии шума. Использование в таких условиях известных методов оценивания и контроля оказывается неэффективным.

Цель работы состоит в разработке и исследовании эффективных (в смысле гарантий по уровням вероятностей ошибок первого и второго рода) методов и алгоритмов обнаружения, идентификации и оценивания моментов возникновения нарушений в классе линейных стохастических моделей одновременно с оцениванием вектора состояния систем фильтрами Калмана, а также обеспечение устойчивости к аномальным измерениям алгоритмов контроля и фильтрации в условиях отсутствия модельного описания процесса возникновения нарушений и повышенной априорной неопределенности характера аномальных измерений.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка метода контроля в осеоеє которого лежит оптимальная процедура различения кавдой пары гипотез с использованием- данных, формируемых двумя фильтрами Калмана.

2. Получение рекуррентных выражений для вычисления математического ожидания невязок фильтра Калмана в случае неадекватного описания модели реальной системы.-

3. Разработка метода контроля, использующего для обнаружения нарушения данные, формируемые одним фильтром Калмана.

4. Разработка субоптимальных алгоритмов контроля для вышеуказанных методов, предназначенных для использования в реальном масштабе времени и в условиях повышенных требований к быстродействию и обьему оперативной памяти ЭВМ.

5. Разработка устойчивого к аномальным измерениям алгоритма калмановской фильтрации.

6. Экспериментальное исследование свойств предлагаемых
алгоритмов на приглере решения задачи обнаружения маневра дви
жущегося объекта.

Методы исследования. В работе используются методы математической статистики, теории случайных процессов, теории линейной фильтрации. Разработка алгоритмов и програші в процессе проведения экспериментальной проверки и- модельных испытаний осуществлялась на основе структурного подхода к организации данных и алгоритмов.

Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем:

6. Разработан и исследован метод контроля, обнаружение нарушения в котором осуществляется на основе данных, формируемых двумя фильтрами Калмана.

7. Получены новые рекуррентные выражения для вычисления математического ожидания невязок фильтра Калмана в случае неа-дихСватнсго описания модели резльноь. системы.

8. Для определенного класса задач разработан метод конт-

вительности математического ожидания невязки к ошибкам, допущенным при моделировании.

4. На осноеє вышеуказанных методов разработаны суооптима-льные алгоритмы контроля, характеризующиеся простотой реализации и незначительным объемом требуемых ресурсов ЭВМ и предназначенные для реализации в реальном масштабе времени.

5. Разработан устойчивый к аномальным измерениям алгоритм кэлмансвской фильтрации.

6. Получено новое решение задачи обнаружения маневра движущегося объекта.

Практическая ценность. Разработанные в диссертационной работе эффективные и простые в реализации алгоритмы обеспечивают обнаружение, идентификацию и оценивание моментов возникновения нарушений в широком классе линейных стохастических систем. Полученные новые уравнения чувствительности фильтра Калмана к ошибкам в описании системы полезны для предварительных или концептуальных исследований систем. Разработанный алгоритм устойчивого к аномальным измерениям фильтра Калмана повышает качество процесса фильтрации и эффективность процедур контроля. Основные теоретические положения получены в рекуррентной форме, удобной для реализации на ЭВМ.

Реализация в промышленности. Разработанные методы и алгоритмы использованы в Программном комплексе для решения задачи

ЭДЦ, внедренном НПО Марс.

На защиту выносятся следующие научные положения;

1.- Ноше уравнения для вычисления математического ожидания невязки в случае неадекватного описания модели системы.

2. Метод контроля, использующий для обнаружения нарушения данные, формируемые одним фильтром Калмана.

3. Сусоптимальные алгоритмы контроля, предназначенные для использования в условиях проведения эксперимента в реальном масштабе времени и повышенных требований к быстродействию и объему оперативной памяти ЭВМ.

4. Модификация алгоритма калмановской фильтрации, устойчивая к аномальным измерениям.

5. Экспериментальное подтверждение нового решения прикладной задачи о скорейшем обнаружении маневра совместно с оцениванием элементов движения объектов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались автором на научной конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов", г. Киев, 1992 г.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 6 печатных работах, в том числе получено решение о выдаче патента на изобретение.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов, заключения, списка литературы и четырех приложений. Работа изложена на 147 машинописных страницах основного текста, содержит 31 рисунок и 6 таблиц. Список литературы включает 104 наименования использованных литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ- РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование актуальности исследований; сформулированы цель и задачи исследования. Приведены научные результаты, выносимые на защиту и описание структуры работы.

В разделе 1 рассмотрены обобщенные принципы контроля и классы устойчивых алгоритмов оценивания и фильтрации. Выделены пять основных концепций, охватывающих большую часть известных алгоритмов тестового и функционального контроля, обнаружения изменений сеойств случайных процессов, совместного обнаружения

и оценивания сигналов, идентификации параметров моделей систем: байесовский подход; контроль по принципі'' расширенной модели; контроль по принципу аналитической модели; контроль по принципу эталонной модели; контроль по принципу согласования характеристик. Проанализированы основные классы устойчивых алгоритмов оценивания и фильтрации.

В разделе 2 определены основные концепции и выведены необходимые формулы для построения процедур обнаружения, идентификации и оценивания моментов возникновения нарушений в моделях линейных стохастических систем.

В качестве исходной рассматривается линейная динамическая система, возмущаемая аддитивным белым шумом

Т — <Ъ Т 4- "> W -у. hf(C\ Л > г/ — W <г -і-. 91 ?" a.. V'n ^D \

подверженная непредсказуемым переходам в один из К локально стационарных режимов работы, задаваемых сеоим набором матриц

Ч' V V V

Решение общей проблемы контроля получается в результате рассмотрения трех последовательно усложняющихся взаимосвязанных задач. Сначала рассматривается ситуация, когда возможно только одно нарушение в известный момент времени. Затем полученное решающее правило распространяется на задачи идентификации конечного числа нарушений и оценивания моментов их возникновения.

Задача обнаружения нарушения формулируется как задача различения двух простых статитстических гипотез. Согласно гипотезе G_Q нарушение не происходит и согласно гипотезе G₁ нарушение происходит в известный момент времени. Сделанные предположения позволяют ввести в рассмотрение два фильтра Калмана, один из которых оптимален при выполнении пшотезы G_Q, другой -при выполнении гипотезы в_л .

Для решения поставленной задачи используется последовательный критерией Вальда, требующий в среднем меньшего числа наблюдений для выбора пшотезы по сравнению с другими методагли при заданных вероятностях аир ошибок первого и второго рода:

1. Если Х._ь ^ В, тест прекращают с выбором гипотезы С? .

2. Если k_h Z А, тест прекращают с выбором гипотезы G₁.

3. Если В < А, < А, тест продолжают для следующего шага.

Здесь A. = Zn(/(2*|G₁)//(z*jG_n))- логарифм отношения прав-

доподоОия на ь-ом шаге; A- lru(1-p)/a) и В- їгг<р/(1 -a.)) - вер-верхний и нижний критические пороги решающего правила.

Измеренные данные в последовательности z^ между собой коррелированы, следовательно, их совместная плотность распределения вероятностей не является произведением плотностей распределения вероятностей для отдельных измерений.

На основе представления совместной плотности распределения вероятностей обобщенного вектора измерений z* в виде

0*^(ТЬ V=/ _|(л»-1<Ъ1²ь-1> 0-і^(т>і Vi⁾⁼

и утверждений:

Утверждение 2.1. Условная плотность распределения вероятностей / ,_«(e|Z,ч) является нормальной;

Утвервдение 2.2. Условная плотность распределения вероятностей'/ , Лт),|Z,_,)- является нормальной с математическим

* -~*

ожиданием e_t= EtzJzj""' = Z_t_₁>= tf₍.r(t/t-l) и ковариацией

2_t= H_tP(i/i-i)fl* + й₄ ;

Утверждение 2.3. Случайный вектор измерения 2₁ нормально распределен с математическим ожиданием е,= ЕСг.,}= #.,( 1/0) и ковариацией 2₁₌ Я₁Р(1/0)Н^^! + Д₁

доказывается, что совместная плотность распределения вероятностей обобщенного вектора измерений z^ в случае выполнения гипотез G_Q или G₁ равна произведению плотностей распределения вероятностей независимых случайных векторов невязок измерений, формируемых двумя фильтрами Калмана, настроенными в соответствии с различаемыми гипотезами.

В результате уравнение для логарифма отношения правдоподобия записывается в рекуррентной форме

где M_h= lTKf(v_k\G,)/f(v_k\G₀))= In

(2сГ^/2|Е_м|^1/2

(2iu)^m1/2|2_fe1|^,/2

+ (1/2)fv^T V~"¹v - v^T r¹v ] В случае отсутствия априорных сведений начальное значение

h_Q- 0. Если безусловные, априорные вероятности р₀ и р₁ гипотез G_Q и G₁ известны и не равны, то X_Q~ ln{p^/p_Q). В этом случае скорость принятия решения (в среднем) увеличивается.

Полученное решение распространяется на случай различения N возможных нарушений, а также на случай, когда момент возможного возникновения нарушения неизвестен. Итоговое, объединенное для решения этих трех задач, правило обнаружения, идентификации и оценивания момента возникновения нарушения записывается в еледующем виде:

Для любого момента времени t_& {i^N и J4fe)

4. Если для любых i,J, (1^ и /$ь): K_k,. ^ В, тест прекращают с выбором гипотезы G_Q.

5. Если найдутся такие' і І та J1, что для любых і и J: \ил * ^{А и} \и ^ ^Е' ^тест ^Р^Р³²*²¹⁰"! ^с выбором гипотезы G_{?,j (т.е. на J 1-ом шаге фиксируют начало {7-го нарушения).

6. Если для любых і и /: В < Л,.. _{ ,< 4, теот продолжают для следующего (ь+1)-го шага.

4. Если найдутся такие Ш12 и, любые J1 и J2, что

^ ^ ^и ^ ^' ^тест Щ^Д⁰-^3531, Для сокращенного множества гипотез, состоящего только из гипотез G_{?,_? И G_l2J2'

5. Если для любых 11 и J1: K_kl1J1 ^ В и всех остальных і
и J: В < &_it,< Л, гипотезу G_tr,_f исключают из множества прове
ряемых гипотез и соответствующий фильтр '.-F_{T. подключенный в
момент времени t , анулируют,

где K_biJ= ln(f{Vj ^1^)//^ ^Vk^^GQ⁾⁾

Таким образом, для реализации этого решающего правила на кавдом шаге обработки данных требуется подключение N новых фильтров Калмана, отвечающих альтернативным гипотезам G_{, где (t=l...ff). Данные, снимаемые с этих фильтров используются для различения (is (іУ+1))-ой простых статистических гипотез.

Практическое использование этого оптимального решения при проведении научного эксперимента в реальном масштабе времени ограничивается реальными ресурсами ЭВМ по быстродействию и объему оперативной памяти. В работе разработан более экономичный метод контроля. G этой целью выведены новые уравнения чувствительности математического ожидания и ковариации невязки фильтра к ошибкам в описании модели системы. На базе полученного решения разработан метод обнаружения нарушения, использу-

ющий только один фильтр Калмана.

Предположим, что при составлении уравнений фильтра вместо истинных значений матриц параметров Ф_&, Н_&, Q_k и R_& используются ошибочные Ф_ь, H_b, Q_b и f?_fc, причем ошибки описания

известны. В случае оптимальности фильтра отсчеты случайной последовательности невязок независимы и распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей 2_Ь= Я_&Р(ь/ь-1)#: + R_b .

Однако, в виду неточного задания матриц параметров системы, эти утверждения в общем случае не выполняются.

Для вычисления математического ожидания невязки в этих условиях получены следующие выражения

ЕО_ь}= S_kE{x_h - xU/fe-1)} - ДЯ_ьЕ{я_ь} ,

2 - <ь/ь-1)}= Ф_&Жх^} - E{;W -

Е{х₀ - (0/0))= 0; ЕЦ,}= х₀ .

Правые части этих уравнений не зависят от матриц ошибок AQ_& и Ай_&. Следовательно, контролируя только математическое ожидание невязки, невозможно обнаружить отклонения матриц Q_h и R_k, используемых в уравнениях фильтра, от действительных значений Q_& и Д^ матриц системы.

Уравнения для вычисления ковариационной матрицы невязки получены в следующем виде

т т т

^ЕІХА^ \Ы\-А-^1 ⁺ \ '

лТ _ т

ECzJrC&Afe-l )}= Ф_&Е{:г_ь .,(*-!/*-1)}Ф ;

_лт. _лт т _, т

Жх_кх{ъ/ъ))= Е{^,г(ь/ь-1)}(1 - Я_&Я_&) +Жх_ьхрИ_ьК_ь ;

т т

Жх(ь/ь-Л )х(ъ/ъ-л )}= Ф ЕСеЧь-і/а-і )^(ь-1/&-1 )}ф ;

.-Е{х(ь/ь)и/)}= (І - і_&_₁її_ь_₁)Е{і(&/ь-і)г(*/ь-і)} z

x (I - Й_ЙЯ_&)^Т +(1- К_йЯ_А)Еии/ь-1):фй_&К_& +

Е{ж₀^}= Е{х_ог(О/0)}= Е{х(0/0)г(0/0)}= P_Q + x_Qx₀ .

Полученные результаты используются для построения процедуры обнаружения нарушения. Решение получается также в виде последовательного теста отношения вероятностей. В этом случае гипотеза G_Q предполагает отсутствие нарушения, а следовательно, оптимальность фильтра Калмана. Согласно гипотезе G₁ в момент времени t_&1 происходит нарушение и действительные значения вероятностных характеристик случайной последовательности невязок будут определяться уравнениями чувствительности.

Существенно, что в отличие от ранее рассмотренного случая, здесь отношение правдоподобия вычисляется с использованием данных, снимаемых только с одного фильтра Калмана:

* «*)^\ - iv_k - Mv_b})\\(v_& - EtV> ).

На этом основании решаются задачи идентификации нарушения и оценивания момента возможного возникновения нарушения. В результате получается правило решения общей задачи контроля, аналогичное ранее рассмотренному за исключением выражения для вычисления М,.

При наличии в выборке аномальных измерений алгоритмы контроля на основе предложенных методов теряют работоспособность. Для обеспечения устойчивости предлагается использовать в структуре таких процедур устойчивые фильтры Калмана.

Рассмотрены и решены проблемы коррекции коэффициента усиления фильтра при обнаружении аномальных измерений и вычисления оценки действительной ковариации шума измерений.

Будем считать, что вектор шума измерения формируется путем случайного выбора из составной генеральной совокупности Г={ И и.Г2 и ГЗ} с одномерными плотностями распределения вероятностей Л"(0,Д), 1^--.^(0,5^), Л"(0,й|) соответственно, где R^ Т.е. в совокупной выборке измерений кроме нормальных измерений с матрицей ковариации шума R будут с отличной от

нуля вероятностью присутствовать аномальные измерения с матрицей ковариации В.1 и высокоточные измерения с минимальной зашумленностью, характеризующиеся ковариационной матрицей й|.

Один из способов устранения расходимости фильтра, вызванной аномальными шорссами, состоит в оптимальной коррекции его коэффициента усиления. Разработаем метод, позволяющий с максимальной эффективностью обрабатывать как аномальные, так и высокоточные измерения.

При такой постановке общая задача востановления оптимальности фильтра распадается на дае подзадачи. Первая состоит в сближении вычисляемой фильтром матрицы коэффициентов усиления с ее оптимальным значением. Вторая связана с определением момента времени, в который происходит скачкообразное изменение ковариации иу?ла измерений.

Для сближения расчетного коэффициента усиления фильтра с его оптимальным значением в уравнениях фильтра используется оценка фактической ковариации невязки:

L й^_ , ішаче. 10. ~_A^v_k- 11. (&+1/&)= ф(ь/ь).

Приведенные вычисления повторяют с поступлением следующего измерения z после присваивания ь=ь+1.

По своей структуре данный алгоритм является адаптивным по методу согласования фактической и расчетной ковариаций невязки. Следовательно, качество его работы не будет зависеть от продолжительности действия причин, вызывающих аномальные выбросы и при их наличии в выборке позеолит повысить точность получаемых оценок вектора состояния системы.

Устойчивый алгоритм фильтрации, обеспечивая уменьшение влияния на качество оценок аномальных измерений, не устраняет неоптимальность фильтра, если она возникает из-за несоответствия параметров модели и действительных параметров системы. Следовательно, его мошіо использовать при решении задач

контроля описанными ранее методами в качестве ведущего и конкурирующих фильтров.

Воспользуемся устойчивым алгоритмом фильтрации для оценивания одномерного вектора состояния линейной динамической системы вида: z^= + а; , г = х_& + u_v . Для этого случая уравнения для К_ь и Д запишем в рекуррентном виде

Я. Л - и² 'V

3. <"< — 1'

4. о -

О, если &.^<6_&Z,

, иначе.

1 + але,, - 1)

7. сц,= (Ф²Й + Є Ми"¹- 1}. 8. Д„= й„ а .

11. i(fc+i/jfc)= г(ь/&), где Є_&= 0/Д_%. .

Если Ф=1 и в динамике системы отсутствуют шумы (3=0), можно уменьшить количество арифметических операций, требуемых для реализации фильтра. С этой целью перейдем к оОратншл величинам при записи некоторых уравнений фильтра.

Введем обозначения

А = 1/Д Ы = \/ ' V = 1/К L = 1/й " D = 1 '''7 іК~^л- і '< ^

G учетом введенных ооозначений запишем уравнения устойчивого к аномальным выбросам фильтра в следующем виде

¹ -V ^zb - *<*/*-1). 2-Н_&= v|A^. З.М_л= N_b + 1.

М, , если В_<Н,Ф. ( L . , если L. Н_& , иначе. * І Ц , иначе.

⁷Л= У<>- ⁸-^А_ь+1= ^АА- ⁹-Vi= V

В разделе 4 спланированы и проведены эксперименты. Для анализа выбрана актуальная задача обнаружения маневра движущегося объекта; приведены, результаты вычислительных экспериментов и рекомендации по практической реализации предложенных алгоритмов.

В Выводах обобщаются основные идеи и концепции предложенных решений, отмечаются их особенности, проводится сравнение.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Приложение содержит графические результаты проведенных экспериментов; копию акта внедрения.