Содержание к диссертации
Введение
1. Системы с магнитоэлектрическими гасителями колебаний 26
1.1 Устойчивость равновесия механических систем с магнитоэлектрическими гасителями 28
1.2 Оптимальные параметры магнитоэлектрического гасителя малых колебаний системы с одной степенью свободы . 34
1.3 Качания ротора синхронной машины и движения маятника с магнитоэлектрическими гасителями 40
2. Динамика синхронной машины, автономно работающей на активно-индуктивную нагрузку 55
2.1 Уравнения переходных процессов и их асимптотическое преобразование 55
2.2 Стационарные решения и структура фазового пространства 59
2.3 Асимптотическое преобразование уравнений электромеханических переходных процессов при работе синхронной машины на нагрузку через выпрямитель 63
2.4 Определение программного управления напряжением возбуждения при работе СМ в режиме генератора кратковременного действия 66
3. Динамика двух синхронных генераторов, включенных параллельно на общую активно-индуктивную нагрузку 70
3.1 Уравнения в размерных переменных 71
3.2 Безразмерные переменные, малые параметры. Уравнения в потокосцеплениях 74
3.3 Асимптотическое преобразование уравнений 81
3.4 Анализ возможных движений 85
4. Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения 90
4.1 Преобразование матрицы индуктивностей синхронной многоконтурной машины 91
4.2 Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины, работающей на мощную сеть. Структура усредненных уравнений 94
5. Уравнения электромеханических процессов в однофазных индукторных генераторах, работающих на активно - индуктивную нагрузку 102
5.1 Двухпакетная машина с аксиальным возбуждением (одноименно полюсная); уравнения электромеханических процессов 103
5.2 Малые параметры, асимптотическое преобразование уравнений 108
5.3 Определение стационарного режима 111
5.4 Некоторые обратные задачи теории индукторных машин 116
5.5 Однопакетные машины, машины с открытым пазом и разноименно полюсные машины 119
6. Уравнения электромеханических процессов в трехфазных индукторных генераторах 124
6.1 Разноименнополюсная машина, работающая на активно-индуктивную нагрузку по схеме "звезда-звезда" без нулевого провода 125
6.2 Асимптотическое преобразование уравнений. Уравнения медленных нестационарных процессов 129
6.3 Особенности переходных процессов при включении звездой с нулевым проводом 134
7. Асимптотический анализ динамики синхронного индукторного двигателя 139
7.1 Уравнения электромеханических процессов в трехфазном индукторном двигателе 140
7.2 Асимптотическое преобразование уравнений. Структура усредненых уравнений как уравнений маятника с магнитоэлектрическими гасителями 143
8. Некоторые свойства электрических цепей с нелинейными резистивными элементами 148
8.1 Общие свойства цепей с нелинейными R - элементами 148
8.2 Стационарные режимы в однофазной цепи с гармоническим возбуждением. 151
8.3 Стационарные режимы в симметричной трехфазной цепи. 161
Заключение 170
Литература 172
- Оптимальные параметры магнитоэлектрического гасителя малых колебаний системы с одной степенью свободы
- Асимптотическое преобразование уравнений электромеханических переходных процессов при работе синхронной машины на нагрузку через выпрямитель
- Безразмерные переменные, малые параметры. Уравнения в потокосцеплениях
- Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины, работающей на мощную сеть. Структура усредненных уравнений
Введение к работе
Развитие электроэнергетики, создание новых типов электрических машин, а также применение традиционных электроагрегатов в новых областях науки и техники требуют решения сложных нелинейных задач электромеханики. Таковыми, например, являются задачи энергообеспечения мощных электрофизических установок (тока маков, плазмотронов, мощных лазеров и электромагнитов). Вместе с тем и традиционные задачи электроэнергетики и электромеханики такие, как работа синхронной машины (турбогенераторов и других типов синхронных машин) на мощную сеть или автономно на различные типы нагрузок непосредственно либо через выпрямитель нельзя считать окончательно решенными.
Основные трудности, возникающие при исследовании динамики таких систем, связаны с высокой размерностью, большим числом варьируемых параметров и существенной нелинейностью систем дифференциальных уравнений, описывающих математические модели физических установок, включающих электрические машины и нагрузку. Высокая размерность системы, ее много-параметричность затрудняют динамический анализ, т.е. изучение возможных движений при различных сочетаниях параметров из области их изменения. Кроме того, при непосредственном анализе системы путем ее численного интегрирования возникают определенные вычислительные трудности, связанные с проблемой обеспечения устойчивости численных методов, поскольку исходные уравнения таких систем содержат быстро осциллирующие функции и описывают процессы с сильно различающимися скоростями, в частности, временной погранслой. С другой стороны именно наличие таких сильно различающихся по скорости переходных процессов приводит к мысли об эффективности применения в указанных задачах асимптотических методов нелинейной механики. Именно эта идея положена в основу настоящей работы.
Математическим выражением наличия в системе переходных процессов с существенно различными скоростями является возможность выделения в полной системе (путем обезразмеривания и замены переменных) подсистемы дифференциальных уравнений, правые части которых содержат множителем малый параметр. Можно сформулировать следующее "утверждение", что наличие медленных и быстрых движений является неотъемлимым признаком "оптимальной" конструкции электрической машины. Известно, например, что частота качаний ротора синхронной машины при включении на мощную сеть составляет величину порядка единиц Гц. Следовательно для "оптимального" демпфирования таких колебаний постоянные времени демпферных контуров Тк должны иметь величины близкие к периоду качаний ротора. Таким образом, сеотношение синхронного периода вращения — (где w0 = 314 1/с) к постоянной времени демпферных контуров определяет малый параметр є = -.
Структура вхождения малых параметров в систеїдьі дифференциальных уравнений, описывающих динамику различных видов электромеханических систем, включающих синхронные машины, определяет асимптотическую процедуру упрощения уравнений таких систем. Среди задач, рассмотренных в настоящей работе, можно выделить два основных класса, различающихся типом быстрых переменных. Это квазилинейные системы и системы с двумя или более быстрыми фазами и несколькими быстрыми переменными отличными от фаз. В последнем случае практический интерес представляют движения вблизи главного резонанаса, т.е. движения с малым скольжением (рассогласованием угловых скоростей ротора и сети - как в задаче о внешней синхронизации машины с сетью, или угловых скоростей двух или нескольких роторов синхронных машин - как в задаче о внутренней синхронизации параллельно включенных машин, автономно работающих на общую нагрузку). После введения в качестве новых переменных разности фаз и скольжения в этих задачах также получаются квазилинейные системы с несколькими быстрыми переменными отличными от фаз и одной быстрой фазой.
Асимптотическое интегрирование уравнений такого типа основывается на работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского, В.М.Волосова, Б.Н.Моргунова [10,26.79]. Основным моментом при построении усредненной системы с разделенными быстрыми и медленными движениями является усреднение правых частей медленной подсистемы вдоль интегральных кривых порождающей быстрой подсистемы, в которую медленные переменные входят как параметры. Доказанная в [26] теорема сравнения исходной и усредненной подсистем базируется на условии существования и независимости от начальных условий по быстрым переменным среднего от правых частей медленной подсистемы при подстановке в них общего решения порождающей системы. Именно такая ситуация имеет место для квазилинейных систем, описывающих динамику синхронных машин, автономно работающих на активно-индуктивную нагрузку. В этом случае быстрая- подсистема обладает единственным асимптотически устойчивым периодическим квазистационарным решением и усреднение в медленной подсистеме в первом приближении сводится к взятию интеграла за период при подстановке этого стационарного решения в правые части медленной подсистемы. К указанной процедуре сводится и усреднение уравнений электромеханических процессов при работе машины на нагрузку через трехфазный выпрямитель. Хотя эта система уже не является квазилинейной, быстрая порождающая подсистема также обладает единственным глобально асимптотически устойчивым стационарным решением. Несколько иная ситуация имеет место при рассмотрении главного резонанса в системах со многими быстрыми фазами. В этом случае оказывается допустимым рассмотрение движений со скольжениями порядка \[е, но при этом оказывается необходимым построение второго приближения ПО sfl.
Особо следует сказать о сопоставлении решений усредненных и исходных уравнений. Наиболее общие теоремы метода усреднения для систем со многими быстрыми и медленными переменными [26] гарантируют є близость точных и приближенных решений на интервалах времени порядка І/є или 1/у/е в случае главного резонанса систем с двумя или более быстрыми фазами. Для исследования свойств точных решений используются теоремы об аппроксимации точных решений приближенными на бесконечном интервале времени. К таким теоремам относится теорема Боголюбова о существовании у точной системы квазистационарного решения є близкого к стационарному решению усредненной системы, а также обобщения для систем со многими быстрыми переменными теоремы Банфи [118]. В последнем случае накладываются довольно жесткие ограничения на свойства решений усредненной системы - равномерная асимптотическая [118] или экспоненциальная устойчивость [78]. В то же время, руководствуясь довольно простыми рассуждениями, иногда удается судить о качественном соответствии точных и приближенных решений на всех временах, не прибегая к анализу устойчивости нестационарных решений усредненных уравнений [114]. К указанным теоремам мы будем неоднократно прибегать при анализе свойств исходной системы по свойствам гораздо более простой усредненной. .
Теория электрических машин, как отдельная научная дисциплина, начала складываться в конце XIX - начале XX веков. При этом основные усилия исследователей были направлены на создание наиболее простой и в тоже время адекватной реальным физическим процессам математической модели электрической машины. Пожалуй, первые наиболее значительные успехи в этой области были достигнуты в работах Р. Парка [127, 128] и независимо от него А.А. Горева [36]. Ими была создана, ставшая классической идеализированная модель синхронной машины, основные предположения которой сейчас общеизвестны (см., например, [15, 27, 45]). Реальная демпферная обмотка (для явнополюсных машин) или играющее роль демпферной обмотки тело ротора (для неявнополюсных машин) заменяется двумя эквивалентными демпферными контурами с взаимоперпендикулярными осями d и q. С учетом только первой гармонической индукции магнитного поля в зазоре вычисляются коэффициенты само- и взаимоиндукции реальных и эквивалентных контуров.
Уравнения переходных процессов идеализированной синхронной машины (ИСМ) являются по существу уравнениями Лагранжа-Максвелла соответствующей электромеханической системы с сосредоточенными параметрами, что отмечалось многими авторами (в том числе А.Ю. Львовичем, Ф.Ф. Родюковым [71 - 73] и К.Ш. Ходжаевым [112]). Несколько другой подход к записи уравнений электрической машины с заменой распределенных токов в теле ротора счетной системой контурных токов при разложении распределенного тока по полной системе соленоидальных векторных функций, постоянных в системе координат, связанной с телом, был предложен в работе Ю.И. Неймарка, Н.А. Фуфаева [81]. В этом случае система уравнений Лагранжа-Максвелла будет содержать счетное множество уравнений демпферных "контуров". При этом учет в представлении распределенного тока только первой гармоники приводит к идеализированной модели СМ.
Оптимальные параметры магнитоэлектрического гасителя малых колебаний системы с одной степенью свободы
Рассмотрим задачу об оптимальном выборе параметров гасителя с одним контурным током, предназначенным для гашения малых колебаний системы с одной степенью свободы. Уравнения малых колебаний в этом случае получаются из уравнений первого приближения (1.1.4) при m = 1,п = 1
Здесь уже А, Г, С, Ь, R -скалярные величины; С 0 , поскольку равновесие недемпфированной системы должно быть устойчиво, знак Г несущественен, остальные коэффициенты положительны согласно параграфу 1.1. Пусть все параметры кроме R заданы. При очень малых значениях R или при R = оо (разомкнутый контур) гаситель, очевидно, неэффективен. То же будет, если заданы все параметры кроме Г и Г = 0. При достаточно больших значениях Г гаситель также неэффективен по той же причине, что и демпфер вязкого трения с очень большим коэффициентом демпфирования. Поэтому задача об оптимальном выборе Г при фиксированных значениях прочих параметров при разумном выборе критерия оптимальности имеет решение; то же относится и к выбору R . Далее оптимальными считаются значения параметров, соответствующие максимальной степени устойчивости, т.е. максимальной величине модуля вещественной части того корня характеристического уравнения, который расположен ближе к мнимой оси, чем остальные корни. Это - часто применяемый критерий оптимальности (см., например, [11]).
Полагая в (1.2.1) переменные «, і пропорциональными exp(At), получим характеристическое уравнение
Корни его, как показано в параграфе 1.1, либо отрицательны, либо имеют отрицательные вещественные части; это легко проверить и непосредственно, составив определители Гурвица. Считая параметры колебательной системы заданными, введем в (1.2.2) новое неизвестное р = A/Q, Q2 = С/А и запишем уравнение относительно р Оно содержит два независимых параметра
Если в уравнении (1.2.3) сделать замену р = р/р , то относительно р уравнение запишется в каноническом виде где о = р , Ь = j/p% . Условие асимптотической устойчивости равновесия в виде критерия Гурвица выполняется для любых р О, f 1.
Характерное расположение корней уравнения (1.2.4) дает диаграмма Выш-неградского (рис.1.2). Кривая 1 - гипербола оЬ = 1, кривая 2 - отвечает равенству действительных частей корней уравнения (1.2.4), а следовательно и (1.2.3), кривые 3,4 - условию существования корня второй степени кратности. Эти кривые делят плоскость параметров на области с различным расположением корней уравнения (1.2.3), так как это показано на рис. 1.2 .
Рассмотрим сначала задачу об оптимальном выборе одновременно обоих параметров 7 и Р (кстати, из предыдущего не следует, что она имеет решение). При двух выбираемых параметрах три коэффициента уравнения (1.2.3) должны быть связаны соотношением, не содержащим параметров. Оно очевидно : второй коэффициент равен свободному члену. Отсюда получается соотношение между корнями н\ + иі + цз = МіМ2/ з- Следовательно, нужно выбрать //і, /І2,Из удовлетворяющие этому соотношению и условию оптимальности; затем найдутся коэффициенты в (1.2.3). Такой выбор нужно произвести дважды: когда корни вещественные и когда один корень вещественный, а два комплексно-сопряженные. После этого нужно выбрать лучший вариант.
Пусть корни вещественные. Выразим один корень через два других Из = {н\ + И" )/(№№ - 1). Производные дрз/dfa, дцз/д№ там, где они существуют - отрицательные. Отсюда сразу следует, что оптимальное решение "на вещественных корнях" отвечает трехкратному корню и\ = иі = из = — \/3 и значениям параметров р — 3\/3, 7 = А іА 2 + №Из + ЦзИг = 9. Действительно, выбирая /іі и и? меньше -\/3, получим из —л/з".
Пусть теперь имеется один вещественный корень цз и два комплексно-сопряженных /11,2 = Q±г/3. Выразим из через а,/3 получим из = 2а/(а2 +/32 — 1). Числа а,/із(а, j3 — 0) соответствуют не меньшей степени устойчивости, чем числа а.,нз{ ,0) при любом /3 0. Поэтому оптимальное решение следует искать при /3 = 0, что вновь приводит к уже рассмотренныму случаю трех вещественных корней . Впрочем, можно использовать и соотношение из = 2O/(Q2 — 1), где а —1. Производная в,из/ а отрицательна, что сразу дает Из = — V3. Представляет также интерес задача об оптимальном выборе 7 ПРИ фиксированных значениях р ; к ней сводится выбор оптимальной величины тока, создающего постоянное магнитное поле при заданных параметрах контура.
В этом случае корни уравнения (1.2.3) удовлетворяют двум соотношениям, не содержащим выбираемого параметра 7- Если один корень рз вещественный, а два остальных комплексно-сопряженные рі.о = а±ів, эти соотношения имеют вид 2Q + /ІЗ = —р, Рз(а2 + /З2) = —Р- Выберем оптимальные значения а и рз, удовлетворяющие только первому соотношению. Решение этой задачи очевидно: Q = рз = —р/3. Если теперь из второго соотношения при найденных а и рз можно определить /З2 0, то эти значения а, рз, /3 соответствуют оптимальному решению полной задачи. Условие /З2 0 дает р 3\/3. При таких значениях р оптимальная величина 7 = 2р2/9+3. При р = 3\/3 оптимальным будет решение, соответствующее трехкратному корню, как и в случае оптимального выбора 7 и р.
Оптимизация но 7 ПРИ фиксированных р сводится к изучению изменения расположения корней вдоль вертикальных прямых a = const на диаграмме Вышнеградского. Случай р Зл/З отвечает прямым, , лежащим левее прямой а = 3. Оптимальное расположение корней находится на кривой 2, при этом все три корня имеют одинаковую вещественную часть.
Пусть р 3\/3. В этом случае прямые a = const пересекают три области: две области с двумя комплексно-сопряженными корнями и одним вещественным и область с тремя вещественными корнями. Рассмотрим сперва случай комлексно-сопряженных корней. Из двух соотношений, связывающих рз,а и 01 получается соотношение между /З2 и а Задав /З2, из (1.2.5) можно найти а, а затем рз = —р — 2а. При достаточно больших 02 1 уравнение (1.2.5) имеет единственное решение, а — ai(/32), причем —р/2 а\ —р/3, Рз(оі) «ь в этом легко убедится, если изобразить качественно зависимость правой части уравнения (1.2.5) от а и учесть, что при a = -р/3. р 3\/3 получается /З2 0. При уменьшении /З2 у уравнения (1.2.5) появляются два других корня а2,а:з, таких, что -р/3 «2 0, а3 0, рз( 2) с 2. Если выбирать все меньшие значения /З2 вплоть до /З2 = 0, то значения ai увеличиваются, а рз уменьшаются, так что выбор /З2 = 0 дает лучшее значение критерия оптимальности рз = р + 2ai(0), чем выбор любого другого значения /З2. Значения же х при уменьшении /З2 уменьшаются, и лучшее значение критерия оптимальности, равное в этом случае а2, также получается при З2 = 0.
Асимптотическое преобразование уравнений электромеханических переходных процессов при работе синхронной машины на нагрузку через выпрямитель
Изложенная в предыдущих параграфах методика асимптотического преобразования уравнений СМ, включенной непосредственно на активно-индуктивную нагрузку, с небольшими изменениями, касающимися расчета квазистационарного режима в цепях статора, может быть применена и для получения уравнений медленных нестационарных процессов в СМ, работающей на нагрузку через выпрямитель.
Рассмотрим наиболее распространенную схему выпрямления трехфазного тока - схему Ларионова [85], считая вентили идеальными, а активные сопротивления статорных обмоток пренебрежимо малыми по сравнению с их индуктивными сопротивлениями. Сопротивление нагрузки, как и ранее, считается величиной того же порядка, что и индуктивное сопротивление обмоток статора. Как и предыдущем случае токи в фазах статора являются быстрыми переменными. Для замыкания системы уравнений необходимо ввести еще одну быструю переменную in - ток в нагрузке. Для гп справедливо уравнение где ип - выпрямленное напряжение на нагрузке. Остальные уравнения цепей статора можно не выписывать, так как далее при асимптотических преобразованиях необходимо построение только квазистационарного решения для быстрой подсистемы.
Определение такого решения сводится к расчету 2п-периодического режима в цепях выпрямителя под действием трехфазной системы напряжений на обмотках статора, задаваемой формулами (2.1.6). При нахождении квазистационарного режима амплитуду и фазу э.д.с. статора, являющихся функциями медленных переменных, надо считать постоянными. Такой режим в цепях выпрямителя реализуется после установления регулярной последовательности переключения вентилей, что происходит в течение нескольких оборотов ротора после подключения нагрузки и затухания апериодической составляющей тока нагрузки с характерным временем єап/ип.
Используя известное, решение [85] для установившегося режима в цепях выпрямителя при гармоническом трехфазном возбуждении (схема такой цепи представлена на рис. 2.4) для соотношения параметров ad тп п/Э, которое выполняется для большинства изучаемых установок, получим выражение для средних токов в фазах статора, преобразованных к осям d, q. Эти уравнения несколько иным путем были получены в работе [52]. Используя малость параметра є/, справедливую для мощных турбогенераторов, можно провести повторное усреднение, аналогично тому как это было сделано в предыдущем параграфе. В результате исследование динамики СМ сводится к построению фазового портрета автономной системы уравнений второго порядка. Изучение стационарных решений показало, что приведенные в пар.2.2 результаты обобщаются и на случай включения СМ на нагрузку через выпрямитель.
Полученные в пар. 2.2 и 2.3 уравнения медленных процессов при работе СМ на активно-индуктивную нагрузку могут быть использованы и для расчета переходного режима при работе СМ в качестве генератора кратковременного действия. Генераторы кратковременного действия (ТКД) работают в импульсном режиме (на временах порядка нескольких секунд) за счет кинетической энергии маховика, механически связанного с ротором генератора.
Принцип работы ТКД следующий. Вначале при отключенной нагрузке и разомкнутой цепи возбуждения маховик вместе с ротором СМ раскручивается относительно маломощным двигателем до некоторой номинальной угловой скорости. Затем замыкается цепь возбуждения и после установления соответствующего напряжения холостого хода на статоре подключается нагрузка. Начинается генераторный режим, в результате которого накопленная кинетическая энергия преобразуется в электрическую и частично рассеивается на активном сопротивлении нагрузки, а частично накапливается на индуктивных элементах нагрузки.
Полученные ранее уравнения медленных нестационарных процессов (момент двигателя в них надо положить равным нулю m = 0) позволяют более просто, чем по исходным уравнениям рассчитать изменение угловой скоро сти, мощности, фазного напряжения, тока в нагрузке и других переменных, описывающих переходной процесс Если изменение мощности при постоянном напряжении возбуждения засчет падения угловой скорости является с практической точки зрения недопустимым, то для ее поддержания прибегают к управлению работой генератора. При отсутствии дополнительных источников питания для поддержания заданной мощности в нагрузке применяют два способа: введение управляющих устройств непосредственно в цепи статора или регулирование напряжения возбуждения [34]. Более рациональным, по-видимому, является второй способ, при котором необходим расчет програмного управления напряжением возбуждения. Наиболее просто эта задача решается с использованием уравнений медленных переходных процессов.
Рабочий процесс в генераторах кратковременного действия представляет собой совокупность переходных процессов различной длительности. Сразу после подключения нагрузки начинанаются быстрые переходные процессы в цепях статора, продолжающиеся время, сравнимое с периодом вращения ротора СМ. На этом временном промежутке само понятие средней мощности и задача ее регулирования не имеют смысла, поскольку процессы на данном интервале времени нельзя считать квазистационарными с медленно изменяющимися параметрами. После затухания быстрых апериодических процессов все характеристики режима, в том числе и средняя мощность, изменяются согласно уравнениям медленных нестационарных процессов (2.1.7) или (2.3.5). Затем, после установления потокосцепления демпферного контура в поперечной оси Ф , дальнейшее изменение мощности происходит согласно уравнениям (2.2.3) или аналогичным им при включении нагрузки через выпрямитель.
В качестве примера рассмотрим задачу определения программного управления напряжением возбуждения ej с целью поддержания постоянной средней мощности N = const при работе СМ как генератора кратковременного действия непосредсвенно на активно- индуктивную нагрузку.
Безразмерные переменные, малые параметры. Уравнения в потокосцеплениях
В дальнейшем будут использоваться уравнения в безразмерных переменных, вводимых соотношениями tu — t/tt u = Q/Q ,iaiU = г аі/г аі+,і/{и = t /tA/t» и т.д., где звездочкой обозначены базисные (характерные) значения. Введем номинальный ток статора первой машины г» и номинальную (синхронную) частоту Q . Положим іаіш — г = icit = г . Остальные базисные значения выберем равными Для многих синхронных машин с точностью до нескольких процентов выполняется равенство Ladi Laqi. Только этот случай и рассматривается в настоящей работе. При Ladi ф Laqi возникают те же трудности, что и при немалом рассеянии между контурами "f" и "t"; эти случаи требуют дополнительного исследования
При указанном выше выборе базисных значений "безразмерные" уравнения имеют вид (индекс "и" у безразмерных переменных далее отбрасываем)
Такой выбор базисных значений наиболее удобен для применения асимптотических методов. Насколько известно автору, он был впервые предложен в [241. причем idi, iqi рассматриваются не как дополнительные неизвестные, а как функции Іаі ІЬіЛгі Существенно, что составленные выше безразмерные уравнения содержат малые параметры; именно это обстоятельство позволяет в дальнейшем использовать асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Основным малым параметром является величина є = 1/UJQU, которая пропорциональна отношению периода вращения к постоянной времени контура "к" и мала для всех синхронных машин (характерное значение є для мощных генераторов 0.02). За другой малый параметр примем величину ег, характеризующую поток рассеяния между контуром обмотки возбуждения и демпферным контуром t . Величина єг действительно мала (характерное значение 0.05) для большинства неявнополюсных машин. Но для гидрогенераторов и некоторых неявнополюсных машин специального назначения параметр ет нельзя считать малым. Этот случай требует дополнительного исследования и в настоящей работе не рассматривается.
Анализ технических требований к синхронным машинам показывает, что маллыми (с характерным значенимем 0.1) являются параметры e/,ew; однако далее этот факт для упрощения уравнений не используется. Значение параметра еп для применения асимптотического метода не существенно (должен бюыть лишь исключен технически нереальный случай, когда между статорами двух машин включены сопротивления, сравнимые с сопротивлением нагрузки). Остальные безразмерные параметры в приведенных выше уравнениях, включая параметр ad, характеризующий рассеяние между роторными и статорными обмотками, значительно больше є, єг и считаются далее порядка единицы.
Введем в уравнениях (3.2.3) вместо токов г /j, г«, г ,, г = 1,2 новые переменные Ф/,, ФГ{, Ф .;, г = 1,2, связанные с ними соотношениями
Величины Ф/І, Ф І являются безразмерными потокосцеплениями роторных контуров, а Фгг пропорциональны потокам рассеивания между демпферным контуром в оси t и контуром обмотки возбуждения. Безразмерные потокосцепления статорных контуров описываются соотношениями
Чтобы получить (3.2.8), нужно подвергнуть (3.2.7) преобразованию "a,/3,0". Преобразование "a, /3,0" токов ia{,tw,ia определяется соотношениями [15] аналогичное преобразование имеет место для потокосцеплений. Для дальнейшего оказывается необходимым также определить связь токов в системах а,/3 и d, q и проделаем с первыми тремя уравнениями (3.2.3) преобразование "а,/3,0" (из этих уравнений было выписано только одно, соответствующее фазе "а"). После "нуль" - преобразования отделяется уравнение относительно і(я,іоп
После всех сделанных замен переменных неизвестными являются потокосцепления Фа, Ф/з, Ф/і, ФГІ, Ф І, утлы #1, г?2, угловые скорости u i, о 2 и фазные токи статора одной из машин. Но удобнее использовать вместо этих токов токи W іьп- і в цепях нагрузки, связанные с фазными токами соотношениями (3.1.3).
Чтобы получить систему, содержащую только перечисленные переменные, остается выразить через них токи г , г#.
Найдем выражения для токов г0,-.г . Пренебрегая в (3.2.15) членами, пропорциональными ет, получим ((Tdl + A Td2)t32 = -Ф + Cr flJ/3n + (Ф/і Sintfi + Ф 1 COS$i) - А(Ф/28ІП$2 + Ф 2С08$2). (3.2.16) Входящие сюда токи гап,Цп получаются а, в - преобразованием токов tan,tbr»iW Применим также «,/3,0 преобразование для уравнений, включающих машину (первую) и нагрузку. При симметричной трехфазной нагрузке уравнение для "нулевых" токов i0i,ion отделяется
После подстановки выражений токов г /тл п через потокосцепления (3.2.13), а также соотношений (3.2.16) для токов іаїЛрі в пренебрежении малыми слагаемыми порядка єг, єп приходим к уравнениям Производные сумм, заключенных в скобки в уравнениях (3.2.19), представляют собой приведенные к осям а,/3 эд.с., наводимые в фазных обмотках статоров
Сумма первых трех членов в (3.2.19) определяет общее падение напряжения на двух параллельных ветвях фазных обмоток, включающих индуктивности ац и э.д.с. JE?at, (а, Ь, с), преобразованные к осям а, Д Действительно, в силу соотношений Кирхгофа для двух параллельных ветвей имеем условие равенства напряжений а также очевидное соотношение для токов
Асимптотическое преобразование уравнений синхронной многоконтурной машины, работающей на мощную сеть. Структура усредненных уравнений
Ротор рассматриваемой машины [44,61] состоит из системы цилиндрических коаксиальных проводящих оболочек и обмотки возбуждения с пренебрежимо малым сопротивлением. Можно принять [44], что оболочки ротора эквивалентны системе демп4 ерных индуктивно связанных контуров со взаимно перпендикулярными осями. Обозначим через га,гь,гс токи в фазах статора, а через iij — (?"п, .. , " ni 7)i Ч = (h\,-- ,ikn) - вектор-столбцы токов в эквивалентных контурах (в вектор и/ включен ток возбуждения if ). Все токи безразмерные, причем базисные токи выбираются в соответствии с системой равных МДС [15]. Далее предполагается, что магнитные силовые линии выходят из ротора, только пересекая его оболочки. В этом случае для коэффициентов связи системы соосных контуров выполняются соотношения [92] Отсюда следуют соотношения для индуктивностей где Xij - взаимная индуктивность контуров і и j, Хкк- собственная индуктивность контура к. В дальнейшем используются индуктивности, полученные из системы равных МДС по правилу В этой системе матрица индуктивностей контуров ротора остается симметричной и вследствие (4.1.1) принимает вид (индекс оси опускаем) Здесь величина 1+a, обратно пропорциональна коэффициенту связи первого и г-ого контуров /ііі = а /жцссіі. Исходя из (4.1.3), легко получить аналитическое выражение для элементов обратной матрицы Х 1. Вычитая строки матрицы (4.1.3) получим следующие соотношения для потокосцеплений:
Матрица X l - симметричная трехдиагональная, причем сумма элементов строк, кроме первой, равна нулю. Трехдиагональность матрицы обратной матрице ин-дуктивностей - следствие вложенности системы демпферных контуров. Поток, пересекающий контур т, складывается из потоков рассеивания соседних с ним контуров т — 1 и т + 1, общего потока для всех трех контуров и собственного потока рассеивания, образованного током в контуре т и не пересекающим контуры т — 1 и т + 1: Коэффициенты в (4.1.7) следуют из выражения матрицы обратной матрице ин-дуктивностей (4.1.6). Проведя преобразование, аналогичное (4.1.2) для индуктивностей статорных контуров: получим столбцы статорных индуктивностей где 1 + as = x\\xs/x\s. Таким образом, выражения потокосцеплений через токи во введенной системе имеют вид Уравнения многоконтурной машины, работающей на сеть бесконечной мощности, представляют собой совокупность уравнений напряжений для контуров и уравнения вращения: Здесь Фа, Фр,іа,і/з - потокосцепления и токи статора, преобразованные к осям а, /3,0, в = і?о + 6 - угол поворота ротора, отсчитываемый от оси фазы "а", #о - фаза напряжения сети, Rtj и / - диагональные матрицы сопротивлений контуров ротора, w0 - синхронная частота, s - скольжение, Hj = JLJQ/NQ - инерционная постоянная времени ротора турбогенератора, No - номинальная мощность машины, tto - безразмерное напряжение сети, т - безразмерный момент вращения турбины. Подставляя в уравнения роторных контуров выражения токов через потокосцепления из (4.1.9), получим Вектор-столбцы bd, bq имеют первый элемент, равный 1, остальные равны нулю. Выразим также токи id, iq через потокосцепления В дальнейшем сопротивление обмотки возбуждения полагаем равным нулю, т.е. считаем, что потокосцепление обмотки возбуждения Ф/ = const. Уравнения демпферных контуров в оси t запишутся в виде где матрица Gt получена из матрицы Gtf вычеркиванием нижней строки и правого столбца, к/ - нижний диагональный элемент матрицы Х },№ = (0,0,...,0,1). Рассматриваемая машина со сверхпроводящей обмоткой возбуждения имеет систему оболочек ротора с различными прэводимостями.
Оболочки с большими проводимостями играют роль демпферных контуров, другие же с малыми проводимостями имеют определенные конструктивные назначения. Анализ постоянных времени системы роторных контуров, определенных как величины, обратные собственным числам матриц RtGt и RkGk, показал, что для нее характерны существенно различные по быстроте затухающие процессы. Для вьзделения быстрых и медленных переменных в системе роторных уравнений (4.2.6) применим преобразование к нормальным переменным Здесь Si и Sk - модальные матрицы, столбцами которых являются собственные векторы stj,3kj матриц RtGt и RkGk где ArJ, г = t,k - соответствующие собственные числа. Для собственных векторов в силу симметрии матриц Gt и Gk справедливы соотношения ортогональности: В новых переменных уравнения роторных контуров имеют вид где at, a,k - столбцы, составленные из первых элементов собственных векторов по осям tnk,aj- столбец, составленный из последних элементов собственных векторов по оси t, Л, и Л - диагональные матрицы собственных чисел.
Собственные числа матриц Я,С7, и Я (? можно разбить на две группы, отличающиеся друг от друга по крайней мере на порядок Большим собственным числом (малым постоянным времени) отвечают быстрые, а малым (большим постоянным времени) - медленные затухающие процессы в системе роторных контуров. Соответственно переходные процессы разной скорости происходят в машине при ее синхронизации с сетью. Для анализа этих процессов введем малый параметр, равный отношению периода сети к характерной постоянной времени системы демпферных контуров, так, например, для криотурбогенерато-ра, параметры которого приведены в [44], собственные числа системы роторных контуров по осям t и к, расположенные в порядке убывания, равны: Малый параметр є в этом случае принимается равным 0,05. Электромеханические процессы в синхронной машине характеризуются еще одним малым параметром є , равным отношению характерной постоянной времени системы демпферных контуров к механической постоянной времени, причем Малым является также параметр еп = га = 0.0091, равный отношению активных сопротивлений в цепях статора к индуктивным. Для выделения быстрой и медленной подсистем системы "роторных" уравнений (4.2.18) необходимо знание порядков по є величин нормальных переменных, а также элементов столбцов о, и а . Для вышеуказанных параметров о,, = -1.61 Ю-4, о,2 = 0.608, о,з = -0.0187, о,4 = 0.326 Ю
