Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи полных наименьших квадратов и обзор численных методов ее решения 14
1.1. Формулировка задачи полных наименьших квадратов 14
1.2. Применение метода полных наименьших квадратов в прикладных задачах 19
1.3. Обзор численных алгоритмов метода полных наименьших квадратов 23
1.3.1. Численные методы и подходы решения задачи ПНК
1.3.2. Методы решения плохо обусловленных СЛАУ
1.4. Выводы по главе 1 33
Глава 2. Метод расширенной системы уравнений в задаче полных наименьших квадратов 34
2.1. Преобразование задачи ПНК к решению распіиренной системы уравнений 35
2.2. Применение прямого рекуррентного метода для решения задачи ПНК 36
2.3. Численная обусловленность распіиренной системы уравнений 43
2.3.1. Исследование обусловленности расширенной системы уравнений в линейных задачах МНК
2.3.2. Исследование обусловленности расширенной системы уравнений в задачах ПНК
2.3.3. Обратный анализ ошибок в задачах ПНК
2.4. Методы поиска коэффициента смещения нормальной СЛАУ 61
2.5. Численное исследование разработанного алгоритма 68
2.6. Выводы по главе 2 75
Глава 3. Идентификация параметров дискретной передаточной функции на основе МПНК 78
3.1. Модели динамических линейных стационарных систем 79
3.2. Анализ методов идентификации параметров дискретных передаточных функций стохастических динамических систем 83
3.3. Применение разработанного алгоритма для задачи идентификации 85
3.4. Численные исследования идентификации параметров дискретной передаточной функции 91
3.5. Выводы по главе 3 94
Заключение 96
Список литературы 98
- Обзор численных алгоритмов метода полных наименьших квадратов
- Применение прямого рекуррентного метода для решения задачи ПНК
- Методы поиска коэффициента смещения нормальной СЛАУ
- Применение разработанного алгоритма для задачи идентификации
Введение к работе
Актуальность темы. Задача отыскания эффективных способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ее различных постановках является, по-видимому, в историческом плане одной из древнейших проблем в математике. Наличие неизбежных погрешностей (возмущений) в задании коэффициентов как в правой так и в левой (матрице) ее частях, порожденных либо неточностью самих исходных данных в той содержательной задаче, математической моделью которой является рассматриваемая система уравнений, либо конечной точностью представления чисел в ЭВМ, либо и тем и другим вместе, приводит к неопределенности искомого решения. Известно, что классические алгоритмы решения СЛАУ, основанные на концепции абсолютной точности, при наличии погрешностей не могут быть положены в основу универсальных вычислительных программ для ЭВМ в силу неустойчивости решений к погрешностям.
Проблема нахождения решений приближенных (как детерминированных, так и стохастических) СЛАУ возникает в огромном числе задач математического моделирования. К их числу принадлежат задачи регрессионного анализа с ошибками в независимых переменных [83], идентификации стохастических дискретных динамических систем, описываемых линейными разностными уравнениями [8], восстановления сигналов [82] и т. д. В настоящее время наиболее разработанной ч; является задача решения приближенных СЛАХ в которой неточно задан лишь вектор правой части, а матрица системы задана точно. Одним из наиболее эффективных и универсальных - 5-методов решения этой задачи является классический линейный метод наименьших квадратов (МНК). Это связано с тем фактом, что в настоящее время имеется достаточное число высоко^-эффектив-ных (в вычислительном отношении) алгоритмов для МНК, а также, что многие статистические свойства оценок решений^полученных на основе МНК для приближенных стохастических СЛАУ (задач регрессионного анализа); не зависят от функций распределений возмущений.
Значительно менее разработанными являются методы решения приближенных СЛАУ (как детерминированных, так и стохастических) когда неточно заданы как вектор правой части, так и матрица коэффициентов СЛАУ. Одним из методов решения таких задач является метод полных наименьших квадратов (МПНК) [50], который является естественным обобщением МНК на случай приближенных СЛАУ с неточно заданной матрицей коэффициентов.
Постановка задачи полных наименьших квадратов впервые была рассмотрена академиком Ю.В. Линником (под названием " метод ортогональных проекций") применительно к задачам регрессионного анализа [17]. В дальнейшем, значительный вклад в развитие МПНК и его анализ внесли А.И. Жданов [9], А.В. Крянев [16], а также зарубежные ученые Д. Голуб (G. Golub), С. Ван Лоан (С. Van Loan) [49], [50], С. Ван Хаффел (S. Van Hiiffel), Д. Вандевейл (J. Vandewalle) [76], [79], А. Вьорк (A. Bjork) [36].
Для стохастических задач МПНК сохраняет большинство свойств классического линейного МНК, таких, например, как независимость от конкретного вида функций распределения ошибок. Но вычисли- тельная задача полных наименьших квадратов (ПНК) значительно сложнее, чем задача линейных наименьших квадратов. Задача ПНК является нелинейной и в большинстве случаев плохо обусловленной. Плохая обусловленность задачи не позволяет эффективно применять численно устойчивые алгоритмы без значительного увеличения числа арифметических операций, необходимых для ее решения.
Поэтому актуальной на сегодняшний день является разработка численного метода решения задачи ПНК, обладающего достаточной универсальностью, простотой реализации, эффективностью по использованию аппаратных ресурсов.
Цель диссертационной работы заключается в разработке численно устойчивых алгоритмов решения плохо обусловленных задач полных наименьших квадратов большой размерности, позволяющих эффективно решать широкий класс задач параметрической идентификации дискретных динамических систем.
Для достижения поставленной в работе цели были решены следующие задачи.
Преобразование исходной задачи ПНК к задаче решения совместной расширенной СЛАУ.
Исследование обусловленности расширенной СЛАУ, соответствующей задаче ПНК.
Разработка численного алгоритма для решения расширенной СЛАУ, соответствующей задаче ПНК большой размерности.
Исследование и выбор алгоритма для вычисления минимального сингулярного числа в задаче ПНК.
Решение на основе ПНК частично приближенных СЛАУ (вектор правой части и некоторая часть столбцов матрицы которой известны приближенно) в задачах параметрической идентификации дискретных передаточных функций.
Проведение на ЭВМ тестовых исследований разработанных алгоритмов.
Научная новизна заключается в следующем. в Разработан метод преобразования исходной задачи ПНК к задаче решения совместной расширенной СЛАУ.
Предложена модификация расширенной СЛАУ, соответствующей ПНК, с масштабным множителем, позволяющим снизить число обусловленности исходной задачи.
Разработан специальный вариант прямого проекционного метода для решения расширенной СЛАУ соответствующей ПНК, который позволяет существенно сократить число арифметических операций, требуемых для ее решения.
Найдены экспериментальные оценки для оптимального масштабного множителя.
С помощью обратного анализа ошибок проведено доказательство устойчивости данного подхода с применением оптимального масштабного множителя к расширенной СЛАУ.
Вычислено значение оптимального множителя в зависимости от нормы искомого вектора.
Разработан численный алгоритм идентификации параметров дискретной передаточной функции в модели выходной ошибки.
Научная и практическая ценность работы определяется эф- - 8-фективностью разработанного численного метода с точки зрения точности получаемых решений и арифметической сложности их вычисления. Предлагаемый численный метод предназначен для решения задачи ПНК, которая возникает в численном анализе, регрессионном анализе, а также в прикладных задачах восстановления сигналов, параметрической идентификации и многих других. Подробное исследование обусловленности разработанных алгоритмов позволило математически обосновать их численную устойчивость. Особо следует подчеркнуть возможность применения разработанных алгоритмов на векторных компьютерах, в связи с растущим интересом в мире к параллельным вычислениям.
Методы исследований. При формулировке и доказательстве результатов используются положения линейной алгебры, теории вероятностей, теории возмущений, а также теории идентификации дискретных динамических систем. Исследования полученных методов и алгоритмов проводились на основе имитационного моделирования. При разработке программного обеспечения использовался пакет MATLAB (версия 5.3).
По теме диссертации опубликовано 4 работы [84], [14], [13], [24]. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 84 наименований источников отечественной и зарубежной литературы.
Основные положения, выносимые на защиту
Новый вычислительный алгоритм решения задачи полных наименьших квадратов.
Решение задачи преобразования исходной системы к расши- ренной СЛАУ.
Исследование численной обусловленности расширенной СЛАУ, соответствующей задаче ПНК.
Выбор оптимального масштабного множителя для снижения обусловленности задачи ПНК.
Исследование устойчивости разработанного алгоритма методом обратного анализа ошибок.
Новый вычислительный алгоритм решения задачи идентификации параметров дискретной передаточной функции.
Результаты тестирований и имитационных численных исследований.
В Главе 1 рассматривается общая постановка задачи полных наименьших квадратов и дается обзор известных численных методов ее решения.
Рассматривается приближенная (в общем случае переопределенная) СЛАУ вида
Су « d,
СШ1хр, 1>р, гапкС=р, deR1, в случае, когда ошибки АС и Ad содержатся как в правой части d — d' + Ad, так и в матрице С = (С + АС) системы (1), где С и d! - соответствующие точные значения этих величин.
Нахождение решения такой системы в смысле полных наименьших квадратов эквивалентно определению правого сингулярного вектора расширенной матрицы (С, <2), соответствующего минимальному сингулярному числу. Последняя задача, в свою очередь, сводится к решению алгебраической проблемы собственных значений, которая - 10-как известно имеет ряд существенных недостатков вычислительного характера. Эти недостатки хорошо видны на примере анализа численных алгоритмов на основе отношения Рэлея и ньютоновских подходах нахождения собственных векторов матриц.
Альтернативным подходом к решению задачи ПНК является ее сведение к нелинейной скалярной проблеме поиска минимального сингулярного числа <т матрицы (С, d) и решения СЛАУ (СТС - a2I)y = CTd, (2) называемой смещенной нормальной системой. Здесь / - единичная матрица.
Однако система (2) часто оказывается плохо обусловленной, и подход, основанный на формировании смещенной нормальной системы приводит к снижению точности решения задачи ПНК.
Обзор численных алгоритмов метода полных наименьших квадратов
Можно выделить несколько достаточно общих задач, в которых применение МПНК дает наилучшие результаты. Во-первых, это дискретные стохастические модели, обладающие следующими свойствами: присутствующие в модели ошибки являются ошибками измерений; модель может быть сведена к одной из моделей регрессионного анализа с ошибками в независимых переменных. Такие модели характеризуются тем, что истинные значения переменных ненаблюдаемы, в то время как линейные соотношения между переменными выполняются точно. Эта ситуация часто встречается в практических задачах медицины, сельскохозяйственных и экономических наук, социологии и многих других приложениях, в которых применяется анализ накопленных данных. В таких задачах МПНК дает лучшие оценки, чем обычный метод наименьших квадратов, что неоднократно подтверждалось численными экспериментами [31], [78], [30]. Использование модели с ошибками в независимых переменных особенно эффективно, когда основной целью является оценивание параметров, а не предсказание последующих состояний. В этом случае преимущества метода полных наименьших квадратов перед МНК наиболее очевидны [81].
Другое применение МПНК непосредственно следует из его геометрической интерпретации. Это задачи, в которых нужно по заданному набору точек пространства Ж"+1 найти fc-мерную гиперплоскость (1 к п), удовлетворяющую условию минимума расстояний до ортогональных проекций. Данное условие состоит в том, что сумма квадратов расстояний от заданных точек до искомой гиперплоскости должна быть минимальной. Такие задачи рассматривались, например, в [68].
И наконец, задачи ПНК часто возникают в линейных моделях, в которых переменные ci,..., ср, d, являющиеся параметрами модели, полностью "равноправны" и объективно нельзя определить переменную, минимизация ошибок которой наиболее важна. Обычно это модели, в которых исследователя интересуют только оцениваемые параметры, а не предсказание значений одной из переменных, выраженной через остальные. МПНК широко используется для решения задач идентификации параметров дискретных передаточных функций. Модель авторегрессии со скользящим средним одна из важных областей применения МПНК, в случае, когда точные значения входного и/или выходного сигналов являются ненаблюдаемыми, т.е. измерения сигналов производятся с аддитивными ошибками: Здесь ey(t) и eu(t) дискретный белый шум с нулевым средним, некоррелированный с входным и выходным сигналами, Л(д-1), B(q x) - полиномы с неизвестными коэффициентами, подлежащими идентификации, q l - оператор задержки. В случае, когда ошибки присутствуют только в выходных переменных, такая модель называется моделью выходной ошибки. Так как часть столбцов матрицы формируемой по этой модели СЛАУ известна точно, к ней применяют частичный МПНК [14], [72], [83]. Применение частичного МПНК также подробно исследуется в в главе 3 настоящей работы. Если стационарная линейная конечномерная система может быть описана моделью импульсного отклика то, оценки значений функции импульсного отклика h(k), к = 0,..., п в случае зашумленности измерений входного сигнала и(к) дискретным белым шумом, можно получить с помощью применения МПНК либо ограниченного МПНК [26]. Для этого (1.6) сводится к СЛАУ с теплицевой матрицей
Если учитывать теплицеву структуру матрицы, то для оценивания можно использовать ограниченный МПНК, который дает более точные оценки чем МПНК, хотя и является более трудоемким в вычислительном плане [27].
Подход на основе метода полных наименьших квадратов может быть также применен для идентификации параметров модели в пространстве состояний ([19],4.3; [58]), которую можно записать как где А, В, С ш D - неизвестные матрицы системы, подлежащие идентификации. МПНК применим к такой модели в случае, если присутствуют одинаково распределенные некоррелированные центрированные ошибки измерений для входного и выходного сигналов.
В теории обработки сигналов МПНК также находит широкое применение. Классическая задача оценивания частот /& и амплитуд а модели возникает в различных областях науки, например, в сейсмологии, радиоастрономии. Здесь xt - наблюдаемые измерения, a et - белый шум. Применение МПНК к таким задачам рассматривалось в [64], [65]. Задача (1.8) решается в два этапа: нахождение вектора предсказания и вычисление оценок частот и амплитуд по найденному
Как видно из раздела 1.1, задача ПНК имеет две эквивалентные формулировки. Из-за этого и численные методы ее решения разбиваются на две группы. Первые связаны с использованием итерационного процесса для вычисления сингулярного вектора и минимального сингулярного числа матрицы (С, d) одновременно. Для этого чаще всего используют различные модификации градиентного метода Ньютона в явной или неявной форме [53], [42]. Вторая группа методов основана на решении СЛАУ (1.5) при заранее найденном минимальном сингулярном числе а. К ней можно отнести хорошо известные метод Холендого, методы QR-разложения [23], а также предлагаемый в настоящей работе алгоритм па основе прямого проекционного метода.
Применение прямого рекуррентного метода для решения задачи ПНК
Метод Холецкого является одним из наиболее распространенных методов для решения нормальных СЛАУ. Он характеризуется простотой реализации алгоритма, низкой вычислительной трудоемкостью, существуют эффективные реализации метода для больших и разреженных матриц [57]. Одним из важнейших достоинств этого метода является также низкий уровень требований к оперативной памяти.
Однако данный метод имеет и существенный недостаток - на плохо обусловленных матрицах метод Холецкого зачастую приводит к неприемлемой погрешности в решении.
Известно [11], что прямые алгоритмы решения СЛАУ в общем случае оцениваются по трем параметрам: количество арифметических операций, объем оперативной памяти, необходимой для численного решения задачи, и численная обусловленность алгоритма (максимальная достижимая точность решения). Таюке при использовании того или иного метода на практике в качестве критерия можно учитывать удобство и простоту его реализации. Однако в настоящее время при выборе метода решения СЛАУ все больше и больше на первый план выходит возможность построения параллельного вычислительного процесса на базе этого метода. Особенно это характерно, когда исследователю приходится сталкиваться с реализацией алгоритмов решения задач большой размерности на векторных (параллельных) компьютерах.
Наилучшими по этим показателям методами продолжают оставаться методы типа исключения Гаусса. Всевозможные модификации гауссовского исключения существуют во множестве вариантов. Однако все эти варианты являются "алгебраически тождественными" , т.е имеют одинаковую вычислительную сложность и структуру вычислений. В [1] показано, что все они принадлежат подклассу так называемых проекционных ABS-алгоритмов.
Из всех вариантов исключения Гаусса метод оптимального исключения [4], [5] требует для своей реализации на ЭВМ минимальный объем оперативной памяти. Данный метод эквивалентен методу окаймления [4], который представляет собой некоторое видоизменение вычислительной схемы метода оптимального исключения. В классе методов оптимального исключения [2] на каждом итерационном шаге попеременно выполняются операции прямого и обратного хода метода Гаусса. Это свойство позволяет распараллелить процесс вычисления решения, что является одним из важных преимуществ.
Эффективной модификацией метода оптимального исключения является прямой рекуррентный метод [11], относящийся к классу прямых проекционных методов. Алгебраическая эквивалентность прямого проекционного метода методу оптимального исключения доказана в [35]. Отличие прямого рекуррентного метода от остальных алгоритмов, принадлежащих к тому же классу, в том, что для каждого шага известна структура матриц и векторов используемых при итерационном процессе. К тому же, как показано в [11], прямой рекуррентный метод по вычислительным характеристикам является одним из наиболее эффективных в своем классе.
В главе рассмотрена постановка задачи полных наименьших квадратов, проанализированы два альтернативных подхода к ее решению. В приведенном в разделе 1.2 обзоре показана эффективность применения МПНК к широкому классу различных практически важных моделей. Однако нахождение численного решения задачи ПНК связано со значительными трудностями вычислительного характера. Причиной этих трудностей являются нелинейность задачи и ее плохая обусловленность.
Рассмотренные численные алгоритмы МПНК обладают существенными недостатками. Итерационные алгоритмы не обладают свойством глобальной сходимости, имеют высокую вычислительную сложность нахождения решения. Специализированные алгоритмы на основе прямых методов для решения задачи ПНК отсутствуют. Применение известных прямых методов к данной задаче требует предварительного формирования смещенной нормальной системы, что значительно понижает их численную устойчивость.
Поэтому актуальна задача разработки специализированного для МПНК прямого численного метода не требующего предварительного формирования смещенной нормальной системы и имеющего низкую вычислительную сложность процесса поиска решения.
Методы поиска коэффициента смещения нормальной СЛАУ
Одно из наиболее важных преимуществ разработанного алгоритма в том, что нелинейная векторная проблема оптимизации (1.2) разбивается на две подзадачи: скалярную нелинейную задачу нахождения минимального сингулярного числа, являющегося коэффициентом смещения для смещенной нормальной системы, и задачу решения СЛАУ. Скалярная нелинейная задача минимизации решается значительно проще,чем векторная, как с точки зрения вычислительной сложности, так и с точки зрения устойчивости и сходимости методов.
При использовании разработанного метода (2.18)-(2.19) подразумевается, что минимальное сингулярное число матрицы (С, d) должно быть вычислено до начала действия алгоритма. И при проведении вычислительных исследований необходимо решить вопрос о поиске оптимального для задачи ПНК метода нахождения минимального собственного числа симметричпой положительной матрицы. Существует большое количество методов нахождения сингулярного числа матрицы. Большинство из них являются градиентными, реализующими одновременно и поиск сингулярного вектора. Однако градиентные методы имеют ряд недостатков.
Так, к примеру, в [22] предлагается квазиныотоновский алгоритм, который получает искомое минимальное собственное значение с помощью минимизации функционала где С 0 и d 0 скалярные параметры. Для минимизации функционала используется метод сопряженных градиентов. Хотя метод имеет кубическую скорость сходимости, наличие неизвестных априори параметров, сильно варьирующихся в зависимости от конкретных значений матрицы, очень затрудняет его использование. Метод обратных итераций со сдвигом Рэлея [20] и модифицированный метод отношения Рэлея, описанный в разделе 1.3 не обладают свойствами глобальной сходимости. Общим недостатком градиентных методов является высокая вычислительная трудоемкость поиска решения.
Существуют и не градиентные методы поиска сингулярного числа, в частности, метод Гивенса, метод Хаусхолдера. Они не связаны с поиском собственных векторов и, следовательно, требуют намного меньше вычислительных операций и более численно устойчивы. Оптимальным для задачи ПНК, при проведении вычислительных экспериментов, показал себя метод Хаусхолдера. Этот метод заключается в приведении матрицы к трехдиагональному виду с последующим нахождением собственного числа методом деления пополам [23]. Данный метод и использовался в настоящей работе при вычислениях значений минимальных и максимальных сингулярных чисел и поэтому будет описан более подробно.
Метод Хаусхолдера. Метод основан на приведении симметричной положительно определенной матрицы к трехдиагональному виду с помощью ортогональных подобных преобразований. Такое приведение может быть выполнено неитерационными методами и, следовательно, требует намного меньше вычислений. Хотя метод Хаусхол-дера и метод Гивенса, основанный на плоских вращениях, по многим вычислительным параметрам эквивалентны [23], предпочтение можно отдать первому в силу того, что он не требует вычисления тригонометрических функций sin И COS.
Пусть дана исходная симметричная матрица А Є K.nxn. Задача состоит в том, чтобы найти унитарные матрицы Рг, такие, что матрица А является треугольной. В методе Хаусхолдера в качестве матриц преобразования Рг выбраны матрицы отражения и приведение состоит из N = п — 2 шагов, на r-м шаге с помощью матриц отражения обнуляются элементы в г-й строке и r-м столбце, причем сохраняются нули, полученные на предыдущих шагах.
Применение разработанного алгоритма для задачи идентификации
В применении к полученной модели разработанный алгоритм показал устойчивую работу по оцениванию параметров передаточной функции. Высокая точность оценивания наблюдалась и на плохо обусловленных задачах, возникающих в результате моделирования системы со ступенчатым входным воздействием.
Экспериментальные сравнения показали, что оценки МПНК как для единичного (рис. 8), так и для синусоидального (рис. 9) входных сигналов являются более точными, чем оценки корреляционного метода. Особенно превосходство МПНК по точности решения Идентификация системы при синусоидальном входном воздействии проявляется при небольшом количестве измерений N. Вычисление решения с помощью разработанного алгоритма требует несколько больше времени, чем в корреляционном методе, по последний метод является значительно менее численно устойчивым. По сравнению с методом Штайглица-Макбрайда разработанный алгоритм, обладая схожей точностью решения, имеет значительно более низкую вычислительную сложность.
В результате применения метода полных наименьших квадратов к задаче идентификации параметров дискретной передаточной функции модели выходной ошибки формируется СЛАУ, часть столбцов которой известны точно. Для решения такой задачи разработанный численный метод требует лишь незначительной модификации. С помощью предлагаемого в работе подхода коэффициент смещения формируемой смещенной нормальной СЛАУ может быть вычислен без обращения матриц.
Результаты имитационного моделирования показали высокую численную устойчивость разработанного метода в применении к задаче идентификации параметров дискретных передаточных функций. В сравнении с методом Штайглица-Макбрайда и корреляционным методом, предлагаемый алгоритм соответственно имеет более низкую вычислительную сложность решения и позволяет найти более точные оценки. Особенно преимущество по точности оценок проявляется на плохо обусловленных задачах идентификации.
Задача ПНК преобразована к расширенной совместной СЛАУ, что дает возможность применять для ее решения эффективные численно устойчивые методы. 2. Проведен анализ численной обусловленности расширенной СЛАУ, соответствующей задаче ПНК. Найдена зависимость числа обусловленности расширенной матрицы расширенной системы от минимального и максимального сингулярных чисел исходной матрицы. 3. Разработаны подходы, позволяющие повысить численную устойчивость решения задачи ПНК, на основе использования оптимального масштабного множителя в расширенной СЛАУ. 4. Разработан специальный вариант прямого проекционного ме тода решения расширенной СЛАУ, который позволяет существенно уменьшить количество арифметических операций, необходимых для численно устойчивого решения задачи полных наименьших квадра тов. Различные модификации численного алгоритма, приведенные в работе, могут быть использованы для решения СЛАУ с плохо об условленной матрицей, с разреженной матрицей, матрицей больших размеров. Предлагаемый метод может быть эффективно реализо ван на векторных компьютерах, разбиваясь на подзадачи, которые могут вычисляться параллельно. Все это позволяет говорить об уни версальности разработанного алгоритма. 5. Разработан метод поиска коэффициента смещения в задаче ПНК для частично приближенных СЛАУ, не требующий процедуры обра щения матриц. 6. Разработан численный алгоритм вычисления состоятельных оценок параметров дискретных передаточных функций линейных стохастических динамических систем. 7. С помощью имитационного моделирования показана высокая эффективность разработанных алгоритмов на классе плохо обусловленных задач большой размерности. Проведенные имитационные исследования выявили ряд преимуществ разработанного метода перед известными алгоритмами решения переопределенных СЛАУ с ошибками в матрице и алгоритмами поиска параметров дискретных передаточных функций.
Похожие диссертации на Алгоритмы метода полных наименьших квадратов и их применение в задачах идентификации динамических систем
