Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Состояние вопроса и задачи исследований 11
1.1. Предварительные замечания 11
1.2. Аналитический обзор работ по решению уравнения турбулентной диффузии методом конечных разностей 12
1.3. Обзор работ по решению уравнения турбулентной диффузии аналитическим путем 26
1.4. Математические модели и методы исследования процесса разбавления пассивных примесей в открытых водотоках 30
1.5. Выводы и задачи исследований 37
Глава 2. Разработка алгоритмов решения задачи разбавления сточных вод численными методами на ЭВМ 40
2.1. Уравнение турбулентной диффузии в безразмерной форме 40
2.2. Анализ существующих численных методов решения уравнения турбулентной диффузии 43
2.3. Формализация задач разбавления сточных вод 50
2.3.1. Плоская задача 50
2.3.2. Пространственная задача 53
2.3.3. Пространственная задача с учетом поперечной циркуляции 57
2.4. Алгоритмы решения задачи разбавления сточных вод в открытых водотоках 59
2.5. Выводы 65
Глава 3. Экспериментальное исследование на эвм методов и алгоритмов моделирования процесса разбавления сточных вод 67
3.1. Предварительные замечания 67
3.2. Планирование численных экспериментов на модели процесса разбавления сточных вод 68
3.3. Организация эксперимента 71
3.4. Выбор параметров модели процесса разбавления и исследование устойчивости результатов моделирования 77
3.5. Анализ ошибок в исследовании разбавления сточных вод 80
3.6. Построение обобщающих зависимостей по результатам численного моделирования 82
3.6.1. Плоская задача 82
3.6.2. Пространственная задача 87
3.6.3. Пространственная задача с учетом поперечной циркуляции 95
3.7. Выводы 102
Глава 4. Анализ полученных результатов и сопоставление с опытными данными 103
4.1. Оценка величины турбулентной диффузии 103
4.2. Сопоставление полученных материалов с опытными данными 114
4.3. Рекомендации для расчета разбавления пассивных примесей в открытых водотоках 123
4.3.1. Задачи и порядок расчета 123
4.3.2. Примеры расчета 129
4.3.3. Сопоставление предлагаемого метода (безразмерных характеристик) расчета с другими методами 137
4.4. Выводы 142
Обще выводы 144
Литература 147
Приложения
- Аналитический обзор работ по решению уравнения турбулентной диффузии методом конечных разностей
- Анализ существующих численных методов решения уравнения турбулентной диффузии
- Планирование численных экспериментов на модели процесса разбавления сточных вод
- Рекомендации для расчета разбавления пассивных примесей в открытых водотоках
Введение к работе
В настоящее время большое внимание уделяется проблеме охраны поверхностных вод от загрязнений отработанными промышленными и бытовыми сточными водами. Эта проблема стала актуальной для технически развитых стран, в которых в водоемы поступает большое количество разнообразнейших, нередко повышенной вредности, загрязняющих веществ. Многие из этих веществ обладают высокой токсичностью и, поступая в водоемы в недопустимых количествах, могут нанести огромный ущерб, вплоть до уничтожения в них всего живого.
Проблема защиты чистоты водоемов должна рассматриваться в трех аспектах: техническом, социальном и экономическом. Технический уровень передовых промышленных стран, степень развития в них научно-технического прогресса позволяет решать разнообразные вопросы, связанные с очисткой сточных вод любой степени загрязнения, вплоть до весьма малых концентраций примесей. Например, для воды водоемов в капиталистических странах, в условиях частной собственности не только на средства производства, но и на природные богатства, хищническое отношение затрудняет осуществление^органи-зационных мероприятий по защите внешней среды. В этом отношении преимущество социалистических стран ни с чем не сравнимо. В этих странах все природные богатства являются всенародным достоянием. Коммунистическая партия и правительство делают все для непрерывного улучшения условий «жизни народа, в том числе и для сохранения природных ресурсов и в частности чистоты водной среды. Директивы ХХУТ съезда КПСС подчеркивают важность проблемы охраны окружающей среды для успешного и гармонического развития социалистического общества. В соответствии с этими решениями ЦК КПСС и Совет Министров СССР издал ряд постановлений по защите поверхностных вод
от загрязнений, обязывающих специальные охраны контролировать водоохранную деятельность предприятий.
Однако проблема защиты водоемов не может решаться вне экономических условий, так как для ее решения потребуется затратить значительное количество различных ресурсов (энергетических, трудовых) и времени.
Планом развития народного хозяйства социалистической республики Вьетнам на I98I-I985 гг. предусматривается строительство промышленных предприятий, в том числе механических, химических заводов и т.п. Развитие промышленности требует большое количество воды. До настоящего времени проблема очистки сточных вод во Вьетнаме была мало изучена. Во многих случаях сточные воды сбрасываются в реки без очистки. Это вызывает загрязнение многочисленных рек, озер, морей и наносит большой ущерб народному хозяйству. Вопрос изучения изменения качества воды в реках вследствие сброса в них сточных вод играет большую роль в развитии страны. В Директивах пятого съезда КПВ указанная проблема формулируется следующим образом: "Обеспечивать охрану окружающей среды, охранять биологическое равновесие во всей стране и каждом районе". Сказанное подчеркивает актуальность выбранной темы диссертации.
Для рациональной организации мероприятий по охране поверхностных вод прежде всего необходимо изучение процесса разбавления сточных вод при сбросе их в открытые водотоки. Разбавление сточных вод в естественных потоках является важным фактором, определяющим интенсивность самоочищения. Одновременно с разбавлением и смешением сточных вод с водами потока протекают физико-химические и биологические процессы самоочищения. В зависимости от свойств и состава загрязняющих веществ и от гидрологических особенностей потока преобладающая роль может принадлежать разбавлению или собственно самоочистительным процессам. В настоящей работе рассматривается вопрос о расчете разбавления пассивных примесей в открытых потоках, то есть таких веществ, которые не подвергаются действию биологических и тепловых факторов.
Трудами советских ученых были разработаны способы анализа процесса разбавления сточных вод, которые изложены в работе Государственного гидрологического института СССР "Методические основы антропогенного влияния на качество поверхностных вод" [в б] , а также в инструктивных материалах ряда организаций (Министерство милиорации и водного хозяйства СССР, Министерство рыбного хозяйства СССР, Госстрой СССР).
Основным способом анализа процесса разбавления сточных вод считается метод, основанный на численном моделировании общего уравнения турбулентной диффузии, позволяющий получить поле концентрации загрязнений в пределах всей исследуемой области. Серьезным препятствием для широкого внедрения такого метода является необходимость проведения трудоемких расчетов. Не устраняют затруднений и имеющиеся стандартные программы для численных расчетов на ЭВМ [в ]. , поскольку они дают результаты только для конкретных случаев и не носят обобщающего характера.
В настоящей работе предполагается усовершенствовать численные способы анализа процесса разбавления сточных вод. Для решения поставленной задачи используется математическая модель процесса, где исходное уравнение турбулентной диффузии приведено к безразмерному виду. Это позволяет проигрывать на ЭВМ разнообразные реальные ситуации, задаваемые параметрами модели, а также начальными и граничными условиями. Полученные данные носят обобщающий характер и могут быть представлены в виде графиков или аппроксимирующих формул, удобных для инженерного использования.
Появление и интенсивное внедрение ЭВМ в практику анализа сложных систем требует проведения дополнительных исследований моделей и алгоритмов моделирования процесса разбавления сточных вод. В этом случае возникают вопросы адекватности численной модели,устойчивости решения уравнений турбулентной диффузии, моделирования
различных возмущающих воздействий и т.п. Опыт разработки алгоритмов и программ анализа на ЭВМ процесса разбавления сточных вод освещен недостаточно в имеющейся литературе, отсутствуют методика моделирования и проведения имитационных экспериментов с учетом устойчивости решений.
Изложенное позволяет цель настоящей работы в общих чертах сформулировать так:
Разработать на основании критического изучения существующих способов анализа и расчета процесса разбавления сточных вод с использованием безразмерных параметров более совершенную методику, которая даст возможность получить более простые, но вместе с тем достаточно точные зависимости, удобные для проведения инженерных расчетов.
Аналитический обзор работ по решению уравнения турбулентной диффузии методом конечных разностей
Теорией турбулентной диффузии в связи с вопросами массообмена начали заниматься в первой половине XX века Ричардсон, Тейлор, Шмидт, [ Ъ\ ] . Однако применительно к исследованию процесса разбавления пассивных примесей в открытых водотоках начало положил в 1931 г. крупный советский ученый В.М.Маккавеев. Используя явление массопереноса с помощью законов сохранения массы вещества и количества движения, автор впервые {_Z3] вывел уравнение турбулентной диффузии, которое имеет вид: Это уравнение можно применять для анализа процесса разбавления растворенных в .жидкости веществ, (то есть таких пассивных примесей, где гидравлическая крупность считается равной нулю). Здесь: С - концентрация вещества в данной точке потока; ЭС,Ур2г - координаты течения в горизонтальном, поперечном и вертикальном направлениях. Для установившегося и равномерного потока в прямолинейном русле можно пренебречь локальной и конвективными производными в поперечном и вертикальном направлениях Кроме того, для решения задач речной гидравлики автор принимает еще упрощающее предположение о постоянстве диффузии в процессе движения, то есть принимается условие С учетом изложенного уравнение турбулентной диффузии (I.I) примет вид где кинематический показатель диффузии Аналогичное уравнение автор предложил для решения задачи о теплопроводности при изучении зимнего режима рек. Затем В.М.Маккавеев [ 3 4 ] применил выведенные уравнения для возможности измерения расхода воды в реках, используя эффект смешения раствора за счет турбулентной диффузии.
Метод смешения раствора для измерения расхода заключается в следующем. В поток в течение длительного промежутка времени вводится раствор какого-либо вещества (например, поваренной соли или краски) постоянной концентрации Св и расхода Я . Расход потока О. определяется из условия постоянства расхода растворенного вещества в нижележащих створах. Если Я достаточно мало по сравнению с & , то это условие записывается так: где Vi и Ct- - скорость и концентрация элементарного слоя в рассматриваемом створе, а средняя концентрация раствора Таким образом, зная , сс и с , из уравнения (1.4) определяем искомый расход а . Точность результатов измерений возрастает с увеличением степени разбавления, когда концентрация О - с равна практически постоянной величине, тогда Для этого надо знать расстояние до створа "полного перемешивания" от места выпуска раствора. Определение же последнего требует решения уравнения (1.2). Автор упрощает уравнение (1.2), полагая поток плоским (- - 0); это возможно для широких и относительно неглубоких русел. Кроме того, делается допущение о том, что эффект продольной дифн фузии намного меньше поперечной, то есть, что членом — мож но пренебречь по сравнению с J2, . Тогда уравнение (1.2) дуъ переходит в Полученное выражение является уравнением математической физики, которое можно решать аналитически с помощью рядов Фурье. Еще необходимо задать величину кинематической диффузии. В.М. Маккавеев считает, что эффект переноса количества движения и пассивной примеси равнозначны: другими словами фактор турбулентного обмена или турбулентной вязкости 6 равен «2 , то есть Величину же можно определить, имея гидравлические характеристики и зная закон распределения осредненных скоростей по вертикали в данном створе потока. В.М.Маккавеев также дает указания, как учитывать влияние поперечной циркуляции на процесс перемешивания, которая появляется вследствие искривления русла в плане.
Анализ существующих численных методов решения уравнения турбулентной диффузии
Развитие средств вычислительной техники дало новый импульс в исследованиях сложных процессов с использованием численных методов [5"8] . Все больший удельный вес в общей структуре исследований стали занимать численные методы решения задач турбулентной диффузии [3 2 Т на повестку дая стали вопросы построения быстродействующих алгоритмов, устойчивости решений и точности аппроксимации характеристик систем. Ряд работ С А Му Ъ ] определяют общие принципы и схемы моделирования процессов разбавления с учетом различных факторов -перемешивания, искривленности русел, произвольной конфигурации, сечения. Выбор той или иной схемы решения параболического уравнения численным методом связан с устойчивостью и быстродействием алгоритма. Исследования различных схем, проведенные Р.Рихтмайером, К.Мор-тоном [44] , подчеркивают, что большинство обычных четырех и шеститочечных разностных схем для уравнения параболического типа содержится в равенстве где коэффициент Л = ду2-Коэффициент & является неотрицательной (постоянной) величиной. Значение 0-=0 дает четырехточечную явную схему, с взятой вперед разностью по времени, другие значения в- дают неявные схемы. & - -=- дает шеститочечную схему с центральной разностью по вре мени, а В- - I четырехточечную схему, с взятой назад разностью по времени. Символ о означает центральную разность по простран ственному переменному. Простой алгоритм для решения таких неявных уравнений приводится ниже. В соответствии с результатами (2.6) погрешность аппроксимации определяется формулой где С = с ( эс ,у ) есть точное решение дифференциального уравнения.
Разлагая входящие в эту формулу функции в ряды Тейлора в окрестности точки ( у - ]ду 3 Xs=7i/\oc ), находим, что -[с] = О(АХ)-ЬО[(&У)Ь] ) так как эта величина стремится к нулю при неограниченном измельчении сетки, то следует, что условие согласованности разностного уравнения (2.6) с уравнением параболического типа выполнено. Если функция С (х ,у ) - точное решение уравнения разбавления сточных вод является достаточно гладкой, то, учитывая, что ос/дх?- - одЪ/ЭуЧ t погрешность аппроксимации можно записать в виде Рассмотренное условие устойчивости и погрешностей метода конечных разностей определяет параметры, которые подлежат изменению в процессе планирования экспериментов на модели. Так шаг разбиения русла по одному (плоская задача) и двум (пространственная задача) измерениям является одним из наиболее чувствительных элементов любой разностной схемы. Поэтому обязательным является проведение машинного эксперимента на модели трех различных схем разбиения русла на клетки. Вторым важным моментом, влияющим на точность решения задачи, является правильный выбор соотношения А приращения по координатам схемы. Следуя Д.Мак-Кракену и У".Дорну [ 3 2 J , выбор рационального значения коэффициента может быть проведен на основе следующей схемы (рис.2.1). В практических расчетах коэффициент Л. в конкретных случаях считается постоянным, однако, в общем случае он зависит от ряда параметров модели В качестве примера физической задачи, приводящей к уравнению этого типа, рассмотрим процесс разбавления сточных вод по прямолинейному руслу, лежащему вдоль оси от 0 до a: = L . Предположим, что в точке ос = о концентрация поддерживается на уровне с0 , а в точке ос - L концентрация поддерживается на уровне CL. Предположим также, что при начальном условии задачи концентрация задается функцией СНйА ( х. , у ). Тогда распределение концентрации вдоль русла на всех последующих участках русла дается решением уравнения Уравнение (2.9) представляет собой параболическое дифференциальное уравнение в частных производных, известное под названием уравнения диффузии. Чтобы преобразовать решение в разностную формулу (2.6), представим сетку, охватывающую область o c -L и с о о интервалом разбиения в направлении - и интервалом разбиения . в направлении у . Используя формулу конечных разностей, получаем: где Л я -Щ- и индекс -І изменяется от I до с? , а индекс изменяется от I до u-I.
Планирование численных экспериментов на модели процесса разбавления сточных вод
Задача исследования сводится к нахождению функции с = (ос, у » "t ), то есть к интегрированию уравнения (I.I) при заданных и граничных условиях. Так как решение этого уравнения в общем виде сложно, ограничимся исследованием установившегося движения, то есть когда член уравнения (I.I) -= - = 0. В этом случае поле концентрации зависит только от расположения данного створа от места выпуска с= (сс,г/,г-). Основные этапы машинных имитационных экспериментов процесса разбавления сточных вод представляются следующим образом: 1. Плоская задача. Экспериментальное изучение вопроса начнем с наиболее простого случая, когда русло широкое ( B2 h ) и прямолинейное, а движение равномерное. В этом случае отыскивание функции о = Jf ( ос , у ) составляет так называемую плоскую задачу. Решение такой задачи дает поле концентрации в двухмерном представлении, то есть по ширине и длине русла. В частности, можно найти зону первоначального смешения „ , когда примесь достигает берега. 2. Пространственная задача. Для относительно узких русел, ког да глубина потока сопоставима с шириной ( б- М), необходимо ре шать пространственную задачу, решение которой дает поле концент рации в трехмерном представлении, то есть в координатах х. ,у ,2 . 3. Учет извилистости потока. Если водоток не прямолинейный, а имеет криволинейное очертание в плане (извилистость), возникают добавочные перемещения масс жидкости в поперечном направлении, которые способствуют перемешиванию и интенсифицирует процесс разбавления пассивных примесей. Эффект этого явления так называемой поперечной циркуляции, достаточно точно оценить очень трудно.
Однако в первом приближении решается пространственная задача с наложением заданного циркуляционного течения поперек потока на основное движение. Математический анализ применяется не к реальным явлениям, а к их математическим моделям. Поэтому первая стадия работы - это формулировка математической модели. Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, описывающих процесс, в эти уравнения в виде коэффициентов входят характеристики величин, участвующих в процессе. Здесь поле концентрации примесей в пространстве определяется уравнением турбулентной диффузии (1.2). Вторая стадия работы - математическое исследование для наиболее сложных и точных моделей, основными методами решения являются численные, которые требуют проведения расчетов на ЭВМ. Эти методы зачастую позволяют добиться хорошего количественного описания явления, не говоря уже о качественном. Третья стадия работы - анализ математического решения и сопоставление его с физическими экспериментальными данными. Если расчеты хорошо согласуются с контрольными экспериментами, то это свидетельствует о правильном выборе модели. Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Решение уравнения (2.10) по схеме конечных разностей дает поле концентрации примесей с = (рс,у). При расчете вручную точность расчета не велика, число узлов невозможно увели чить, чтобы приблизиться к реальным явлениям. Например: ширина реки 2000 м, если разделить 6 на 10 частей, сетка получается очень грубой и не может достаточно отражать особенности явления турбулентной диффузии. Можные ЭВМ позволяют эффективно решать уравнение (2.10). Результаты расчета на ЭВМ обеспечивают необходимую точность, быстроту без вмешательства человека. Как указывалось выше, серьезным препятствием для широкого применения численных методов исследования [3 6] являлось громоздкость необходимых вычислений. При использовании ЭВМ остается основной недостаток численных расчетов: получение результатов только для конкретных данных с отсутствием обобщающих моделей.
Для получения обобщающих моделей следует преобразовать уравнение (1.2) к безразмерной форме, как указывалось во второй главе. Модель и алгоритм процесса разбавления сточных вод решается на ЭВМ EC-I022. Программа записывается на языке ФОРТРАН. Для решения подобных задач используются приближенные математические методы. Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде Отметим, что при дифференцировании на ЭВМ невозможно произвести предельный переход - 1- -0. С другой стороны, не можем придать некоторое малое, хотя и не нулевое значение, и попытаться проверить, что приближение получается достаточно точным и что ошибка не возрастает в ходе процесса вычислений. Заменяя чисто формально дифференциалы dc , 6с , dy , г- в уравнении (2.4) малыми конечными разностями, или, как их иначе называют, конечными приращениями Ас, Ах. ,АУ » АтЬ , получаем уравнение (2.4) в виде конечных разностей. Говоря иначе, для применения разностного метода в области изменения переменных С (х, и ,2 ) вводят некоторую сетку.
Рекомендации для расчета разбавления пассивных примесей в открытых водотоках
Интересно также сопоставить натурные данные М.А.Бесценной, приведенные в работе В.О.Михайлова [37] , для ручьев со значительной извилистостью и выпуска сточных вод у берега с расчетом (табл.4.10). В этой таблице У„ подсчитана по формуле (4.10), коэффициент Кп. по (3.24). Как видно, что результаты расчета очень близки к замеренным концентрациям. Подводя итоги изложенному в этом параграфе, можно констатировать, что предложенная методика расчета разбавления консервативных примесей в открытых водотоках является достаточно надежной и благодаря своей простоте может быть рекомендована для применения в инженерной практике. Правила охраны поверхностных вод от загрязнения сточными водами, регламентируемые соответствующими административными органами СССР, предусматривают прогнозирование степени загрязненности водного объекта ниже по течению проектируемого выпуска, расчет величины предельно допустимого сброса на основе уравнения баланса, учитывающего гидравлические и гидродинамические особенности водного объекта, возможную степень разбавления сточных вод при условии обязательного обеспечения в расчетном створе концентрации контролируемых веществ, не превышающей нормативных требований. Разбавление сточных вод - процесс снижения концентраций загрязняющих веществ в водотоках. Основным показателем концентрации является интенсивность разбавления, которая количественно характеризуется отношением суммы расходов сточных вод І и водотока к расходу до сброса &0
Это отношение называют кратностью разбавления. Кратность разбавления выражается и через концентрации где Ост- концентрация сбрасываемых стоков; См - максимальная концентрация в данном створе водотока; Со - фоновая концентрация загрязняющих веществ до сброса сточных вод. Если фоновую концентрацию не принимать во внимание ( а « 0), тогда кратность разбавления В начальном створе при сосредоточенном выпуске с - сот и кратность \ = I. По мере разбавления примеси вдоль водотока концентрация снижается, а кратность разбавления возрастает. В наших исследованиях концентрация выражается в безразмерных величинах, отнесенных к средней концентрации С . Таким образом, кратность разбавления также равна: Во всех графиках и формулах, полученных в гл.З, для плоской задачи принята относительная концентрация стока См = ЮО. Тогда Так как на бесконечно большом расстоянии см- - . , то кратность разбавления r)\f - 100. Таким образом, получаем зависимость также гиперболического типа с асимктотой \ = 100. На рис.4.II показан график этой зависимости для случая -—- = 20; «Д= 2 ; п выпуск сточных вод посередине и у берега потока. Переход к конкретным условиям водотока осуществляется уравнением баланса (законом сохранения массы), который гласит, что количество сбрасываемой примеси в процессе разбавления остается неизменным, то есть откуда Это означает соответствующее изменение масштаба приводимых в гл.З данных. Однако соотношение между величинами сохраняется, и форму-ла (4.18) остается справедливой, независимо от отношения . Рассматриваются только сосредоточенные выпуски с небольшими скоростями сброса, когда можно не учитывать эффект начального разбавления.
Сбрасываемые загрязняющие вещества считаются пассивными (консервативными), не подвергающимися действию биологических и тепловых факторов. Согласно [36] применяются три основных метода расчета разбавления: ВОДГЕО, ТШ, ГГИ. Содержание этих методов изложено в п. 1.2. Целью настоящей работы, как указывалось выше, является совершенствование методики ГГИ. Приведенные в п.4.2 материалы свидетельствуют о применимости разработанных приемов расчета. Должны быть заданы следующие величины: - средние размеры и характеристика водотока (ширина б , глубина Н , извилистость); - гидравлические параметры (уклон -с или коэффициент Шези С , расход до сбора s» ); - расход сточной жидкости Я и начальная концентрация сст . Следует отметить, что наличие гидротехнических сооружений на исследуемых участках водотока существенно может изменить гидродинамическую обстановку процесса разбавления и влияние их не рассматривается. Ниже излагаются основные положения рекомендуемой методики. 1. Устанавливается категория водотока (река или канал) боль шой или малый; критерий оценки - расход. Если 3„ 50 м3/с - водоток большой, Зв 50 MVc - водоток малый. 2. Формулы для расчета процесса разбавления сточных вод в общем виде: Можно определить cw , 1ф% Хдо# по графикам 3.II, 3.12 или по (4.22), (4.23) и коэффициенты f , л. , & , U , /- и их пределы применения в табл.3.2. При выпуске сточных вод, сбрасываемых между берегом и центром потока, коэффициенты ф , , & , L берутся по графику 3.9. В пределах 5 —2_ 20 результаты расчета берутся обратно пропорциональным ——-.
