Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ существующих подходов к оценке платежеспособности страховой-компании 9
1.1.1 Факторы управления платежеспособностью страховой компании.-. 9
1.1.2 Финансовая модель страхового фонда 13
1.1.3 Перспективы развития методики оценки платежеспособности страховой компании 16
1.2 Обзор моделей управления платежеспособностью страховой компании 18
1.2.1 Модель Спарре - Андерсен 20
1.2.2 Модель Лундберга - Крамера 21
1.2.3 Модель Шоргина 23
1.2.4 Модель Диксона - Уотерса 27
1.2.5 Модель Мельникова 29
1.3 Вероятность разорения страховой компании как показатель платежеспособности страховой компании' 30
1.3.1 Теоретические оценки вероятности разорения страховой компании 30
1.3.2 Численные методы вычисления вероятности разорения страховой компании 30
1.3.3 Анализ возможности применения имитационного моделирования-к процессу управления платежеспособностью страховой компании 30
2 Вычисление показателей'платежеспособности и факторов ее управления ... 30
2.1 Анализ проблемы 30
2.2 Стохастическая модель : 30
2.3 Алгоритм-расчета показателей платежеспособности страховой компании за ограниченное время 30
2.4 Исследование алгоритма расчета показателей платежеспособности страховой компании.с позиции точности получаемого решения 30
2.5 Алгоритм расчета показателей платежеспособности страховой компании за неограниченное время 30-
2.6 Зависимости показателей платежеспособности страховой компании от факторов управления 30
2.7 Методика оценки факторов управления платежеспособностью 30
2.8 Обработка статистических данных 30
3 Система поддержки принятия решений «CalcRuin» 30
3.1 Информационная технология поддержки принятия решений 30
3.2 Система MATLAB как среда разработки системы поддержки принятия решений 30
3.3 Архитектура системы поддержки принятия решений «CalcRuin» 30
3.4 Блок вычислений системы поддержки принятия решений «CalcRuin» 30
4 Стратегии управления платежеспособностью страховой компании 30
4.1 Страховая компания «УралСиб» 30
4.2 Страховая компания «СОГАЗ» 30
4.3 Сравнительный анализ деятельностей Уфимских филиалов страховых компаний «СОГАЗ» и «УралСиб» 30
4.4 Результаты вычисления 30
Основные выводы и результаты работы 30
Литература
- Перспективы развития методики оценки платежеспособности страховой компании
- Теоретические оценки вероятности разорения страховой компании
- Исследование алгоритма расчета показателей платежеспособности страховой компании.с позиции точности получаемого решения
- Архитектура системы поддержки принятия решений «CalcRuin»
Введение к работе
Актуальность темы
В развитых странах страхование в силу специфики и выполняемых функций в обществе является стратегическим сектором экономики. Помимо снижения нагрузки на расходную часть бюджета (поскольку возмещаются убытки при наступлении непредвиденных природных и техногенных явлений), страхование выполняет в обществе еще две важнейшие-функции. Во-первых, страхование позволяет успешно решать вопросы социального обеспечения, являясь важнейшим элементом социальной системы государства. Во-вторых, позволяет привлечь в экономику значительные инвестиционные ресурсы.
Проблема определения платежеспособности страховой компании является одной из важнейших как для отдельной страховой компании (СК), так и для всего национального страхового бизнеса. В странах с развитой страховой индустрией используется несколько различных схем оценки платежеспособности. В Европейском сообществе это подход, основанный на определении, минимальной маржи платежеспособности и минимального гарантийного фонда, в США используется подход на базе концепции рискового капитала, все большую популярность приобретает динамическое тестирование, которое широко применяется в Канаде.
Современный страховой рынок в России начал свое развитие в 1992 году и находится в процессе формирования. Исследования рейтингового агентства «Эксперт РА», проведённые в 2007 году, подтверждают наметившуюся несколькими годами ранее долгосрочную тенденцию к росту убыточности страховой деятельности на российском рынке. По данным ФССН 98% компаний имеют «хотя бы один настораживающий финансовый показатель», а более половины - «основания для пристального внимания надзора».
Практические проблемы современного страхового рынка России объясняются недостаточным их теоретическим обоснованием и
4 методическим обеспечением. Зарубежные подходы и методики без. учета российских реалий достаточно эффективными считать нельзя. Эффективность управления в страховом бизнесе все в большей степени зависит от качества и достоверности финансового анализа, методов оценки и обработки информации, технологии выбора управленческих решений.
О платежеспособности страховой компании можно судить по вероятности того, что созданный компанией фонд окажется достаточным для выполнения ей своих обязательств (возмещения ущерба). Среди зарубежных и российских ученых, работы которых посвящены вычислению вероятности разорения страховой компании, следует отметить Ф. Лундберга, X. Крамера, Е.С. Андерсена, Д. Диксона, X. Уотерса, А. В. Мельникова, С.Я. Шоргина, Е.М. Бронштейна, Г.О. Темнова, СИ. Спивака, А.С. Климина и др.
В данной диссертационной работе особое внимание уделено разработке системы поддержки принятия решений в процессе управления платежеспособностью страховой компании на основе стохастической модели, в которой учитываются, реальное состояние отдельной компании и неопределенность как ее активов, так и обязательств в динамике.
Объектом исследования является деятельность страховых компаний, занимающихся видами страхования иными, чем страхование жизни.
Предметом исследования является платежеспособность страховой компании.
Цель работы и основные задачи исследования — разработка системы поддержки принятия решений, позволяющей вычислять зависимость показателей платежеспособности страховой компании от наиболее существенных факторов для любого временного интервала и рекомендовать характеристики управления этими факторами для обеспечения допустимого риска неплатежеспособности страховщика.
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:
Разработать стохастическую модель управления платежеспособностью страховой компании.
Разработать алгоритм вычисления показателей платежеспособности СК и проверить его эффективность на рассмотренных ранее примерах.
Разработать методику оценки факторов управления платежеспособностью, гарантирующих выполнение обязательств СК перед страхователями с заданной величиной вероятности (согласно рекомендациям «Solvency II: an integrated risk approach for Europe an insurers» равной 99%).
Разработать систему поддержки принятия решений, позволяющую вычислять показатели платежеспособности СК и параметры стохастической модели, соответствующие управляемым факторам платежеспособности»СК, а также оценить эффективность данной системы.
Провести вычислительный эксперимент на базе статистических данных филиалов страховых компаний, функционирующих в Республике-Башкортостан, для анализа возможности исполнения обязательств по принимаемым ими договорам страхования.
Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы теории вероятностей, математической статистики, теории финансового анализа, математического анализа рисков, Монте-Карло, объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Новизна разработанной стохастической модели управления платежеспособностью страховой компании состоит в том, что в отличие от существующих моделей в ней учитываются инвестиционный доход, случайности поступления страховых взносов и выплат.
Новизной разработанного алгоритма вычисления показателей платежеспособности СК за ограниченное и неограниченное время на основе метода Монте-Карло является то, что в нем одновременно учитывается неопределенность предъявления требований и поступления взносов.
Введена новая временная характеристика платежеспособности страховой компании («характеристическое время» разорения), которая является оценкой времени превышения обязательств СК над страховыми резервами на предстоящем периоде.
Новизна системы поддержки принятия решений заключается в использовании предложенной методики оценки факторов управления платежеспособности СК.
Впервые проведено сравнение оценок показателей неплатежеспособности на основе имитационного моделирования входящих и исходящих финансовых потоков СК с соответствующими оценками вероятности разорения Лундберга - Крамера, Диксона - Уотерса, Мельникова, Валдера, полученными в частных случаях.
Практическая значимость и внедрение результатов работы.
Предложена методика оценки факторов управления платежеспособностью, позволяющая скорректировать «слабые стороны» деятельности страховой компании. Разработанная методика служит основой для принятия решений о снижении риска банкротства с помощью управления величиной страховых взносов и размером начального запаса свободных активов.
Разработана система поддержки принятия решений (011 IP) «CalcRuin», которая позволяет решать задачи проверки надежности отдельной СК и выработки рекомендаций по управлению факторами платежеспособности в случае выявления недостаточного уровня безопасности страховых операций, осуществляемых исследуемой компанией.
Разработанная система поддержки принятия решений «CalcRuin» взята к рассмотрению в Уфимских филиалах страховых компаний «СОГАЗ» и «УралСиб». Разработанные модель, алгоритм и методика используются в практической деятельности ОАО «УРАЛСИБ» в процессе оценки страховых компаний-контрагентов.
Апробация работы и публикации. Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, обсуждались на научных семинарах Уфимского государственного авиационного технического университета и были представлены на следующих научных конференциях: Всероссийская молодежная научно-техническая конференция «Интеллектуальные системы управления и обработки» (УГАТУ, 2003), VI Международный симпозиум «Компьютерные науки и информационные технологии» (Венгрия, 2004), V Всероссийская конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2006), Башкирско-Саксонский форум «Информационные технологии и математические методы исследований в экономике» (Уфа, 2006), Международнаяг научная школа-семинар имени академика С.С. Шаталина «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Воронеж, 2006), III Международная научно-практическая конференция «Экономическое' моделирование: модели и методы» (Воронеж, 2007), XX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, 2007).
Основные положения, представленные в диссертации, опубликованы в 13 научных работах, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК. Разработанный алгоритм зарегистрирован в отраслевом фонде алгоритмов и программ
Исследования проводились в рамках грантов РФФИ 04-06-80009, 07-06-00021.
Во введении обосновывается актуальность изучения проблематики предлагаемой работы. Определены объект, предмет, цели, задачи и методы исследования. Изложена научная новизна, практическая значимость и структура диссертации.
В первой главе рассматриваются особенности понятия «платежеспособность» применительно к страховой компании. Представлена финансовая модель, которая дает общее представление о непосредственном движении финансовых ресурсов страхового фонда и о факторах, влияющих
8 на изменение его стоимости. Обосновывается разработка методики определения достаточности капитала СК на основе модели внутренних рисков, присущих отдельной страховой компании. Приводится обзор моделей управления платежеспособностью страховой компании, а также описываются методы вычисления оценки вероятности разорения.
Во второй главе приводится анализ проблемы, описывается разработанный алгоритм вычисления показателей платежеспособности СК и приводится его исследование с позиции точности получаемого решения. Характеризуются зависимости показателей платежеспособности СК от управляемых факторов. Предлагается методика оценки параметров стохастической модели с целью обеспечения допустимого уровня разорения страховой компании.
В третьей главе приведено описание разработанной системы
поддержки принятия решений, с помощью которой были получены
результаты диссертационной работы. Система поддержки принятия решений
«CalcRuin» предназначена для вычисления показателей платежеспособности
страховой компании, получения зависимостей показателей
платежеспособности от управляемых факторов, оценки этих факторов и др. СППР разработана на основе пакета математических и инженерных вычислений MATLAB 7.1 с использованием встроенного языка программирования.
В четвертой главе дается краткая характеристика Уфимских филиалов двух страховых компаний, проведен сравнительный анализ их деятельности, представлены результаты применения разработанного алгоритма вычисления показателей платежеспособности и методики оценки факторов управления платежеспособностью СК на реальных статистических данных.
Перспективы развития методики оценки платежеспособности страховой компании
Обязательным условием обеспечения платежеспособности страховых компаний в соответствии с «Положением о порядке расчета страховщиками нормативного соотношения активов и принятыми ими страховых обязательств», утвержденным приказом Минфина России от 02.11.01 № 90н (зарегистрирован в Минюсте России за № 3112 от 21.12.01), является соблюдение определенного соотношения активов и обязательств, т.е. фактический размер свободных активов страховой организации (фактическая, маржа платежеспособности) не должен быть меньше нормативной маржи. Расчет маржи платежеспособности страховщики обязаны производить ежеквартально: Данная методика регулирования платежеспособности страховых компаний, применяемая в России, базируется на методике,, разработанной и применяемой в странах ЕС начиная с 70-х годов.
Методика оценка платежеспособности страховщиков, применяемая в России, имеет следующие недостатки:
1) проверка платежеспособности по состоянию на конкретные даты не дает гарантий защиты интересов страхователей в каждый момент времени, т.к. существует вероятность фиктивного улучшения показателей;
2) не позволяет учитывать специфику деятельности отдельной страховой компании и может привести к ошибочным выводам при ее применении.
Реформирование системы регулирования платежеспособности страховых компаний в EG началось в,2002 г., когда директивами "Solvency Г Life Directive" (Первая; директива по: платежеспособности: для страховых компаний, осуществляющих страхование жизни), 2002/12/ЕС и "Solvency Г Non-life Directive" (Первая директива по платежеспособности для страховых компаний, осуществляющих страхование иное, чем страхование жизни) 2002/13/ЕС от 5 марта 2002 г. были внесены изменения в директивы по страхованию, устанавливающие правила расчета маржи платежеспособности. Существенными изменениями в системе регулирования платежеспособности страховых компаний в соответствии с директивами Solvency I являются: страховые компании должны поддерживать требуемый фактический размер маржи платежеспособности в любой момент времени; если раньше фактический размер маржи платежеспособности рассчитывался на основании данных за один год, то теперь необходимы данные, как минимум, за три года; о размер минимального гарантийного фонда поставлен в зависимость от изменения потребительских цен и будет ежегодно пересматриваться.
К 2010 г. в Европе планируется ввести в действие Вторую директиву по платежеспособности Solvency II. Целью Второй директивы по платежеспособности является пересмотр Европейской системы контроля за страховыми компаниями. Согласно проекту Solvency II изменения коснутся методики определения достаточности величины капитала страховых компаний с учетом уровня риска, присущего их деятельности, а также модели внутренних рисков страховых компаний. Одной из функций, выполняемой системой регулирования размера капитала страховой компании в ЕС, является определение размера капитала, достаточного для защиты от колебаний деловой активности, т.е. обеспечивающего очень малый, практически равный нулю уровень риска неплатежеспособности (99% в соответствии с рекомендациями «Solvency II: an integrated risk approach for Europe an insurers»). Расчет данного уровня капитала должен отражать деятельность конкретной страховой компании, уровень ее риска, прогнозы развития. В первую очередь данный показатель должен быть полезным для самой компании и учитываться руководством компании при принятии решений, при определении рисковой политики, политики по выплате дивидендов и политики ценообразования. Существующая система рискового капитала и метод оценки маржи платежеспособности, применяемый в ЕС, не отвечают данной функции, поэтому возрастает интерес к моделям внутренних рисков страховой компании.
Динамическая модель разорения СК представляет собой частный случай модели входа-выхода и может применяться к всевозможным реальным процессам, в частности:
1) управлению запасами, где пополнение и потребление — это входящий и выходящий потоки, а уровень запасов характеризует состояние системы;
2) массовому обслуживанию, где на вход поступают требования, на выход — обработанные заявки, а состояние системы определяется длиной очереди;
3) управлению финансами предприятия, где на вход поступают денежные средства или их заменители (ценные бумаги, векселя, акции и т.п.), на выход - всевозможные выплаты, характеризующееся размером капитала.
Рассмотри разновидности модели, применяемой в процессе управления платежеспособностью страховой компании (рис. 1), в которой процесс поступления страховых взносов является входящим потоком, а процесс предъявления исков - выходящим.
В моделях Спарре - Андерсена и Лундберга - Крамера случайными являются размеры и моменты выплат, но не учтен фактор случайности поступления страховых взносов. Модели с постоянной скоростью поступления страховых премий больше подходят для страховых компаний, функционирующих в развитых странах со стабильной экономикой. Российский страховой рынок начал свое развитие в 1992 году и подвержен колебаниям.
Теоретические оценки вероятности разорения страховой компании
В теории страхования различают вероятность разорения за ограниченное время и вероятность разорения- за бесконечное время. Вероятность разорения за время t — это вероятность того, что компания разорится в один из моментов периода t. Вероятность разорения за бесконечное время (далее безусловная вероятность) — это вероятность того, что компания когда-нибудь разорится. .
Вычисление вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента имеет как теоретический, так практический интерес. Обзор существующих методов и алгоритмов, связанных с вычислением вероятности разорения с учетом банковского процента, можно найти в статье Пал сена [81].
В теории риска многими авторами используются мартингалы. В 1973 г. Гербер с помощью мартингалов получил неравенство Лундберга [76]. В 1987 г. Делбаен и Хаезендох применяли метод мартингалов для вычисления верхней границы вероятности разорения за ограниченное время [67]. В 1994 г. Эмбрехт и Шмидли в [74] использовали Марковские процессы для изучения вероятности разорения за неограниченное время. В двух последних работах рассматривается случай, когда индивидуальный иск подчиняется экспоненциальному закону распределения.
В 1995 г. Сандом и Теугелсом было получено интегральное уравнение, решающееся численным методом, для вычисления вероятности разорения при определенных значениях силы процента. В [84] подробно рассматриваются частные случаи, связанные с начальным капиталом, равным нулю, и индивидуальным иском, имеющим экспоненциальное распределение. Также приводятся формулы верхней и нижней границы вероятности неразорения с учетом процентной ставки.
В 1998 г. Клёпельбергом и Стадтмюллером рассмотрена вероятность разорения за бесконечное время в модели с исками, имеющими распределение с «тяжелыми хвостами», и с учетом силы процента [80].
В 1999 г. Янгом исследована дискретная модель с учетом банковского процента. Используя технику мартингалов, им были получены неравенство Лундберга и неэкспоненциальная верхняя граница вероятности разорения [85].
В [42] Матвеевым получены два метода приближенного нахождения вероятности разорения, основанные на преобразовании Лапласа и вычислении полиномиальных сплайнов. При этом получено усиление теоремы Лундберга - Крамера.
Вероятность разорения с учетом банковского процента исследовалась Диксоном и Уотерсом. В [70] представлены алгоритмы для вычисления вероятности разорения за ограниченное время в рамках классической задачи теории риска. Основная идея алгоритмов Диксона и Уотерса -аппроксимация вероятности разорения в условиях непрерывной модели вероятностью для дискретно-целочисленного процесса. При вычислении вероятности разорения за неограниченное время используются методы Валдера [66] и Санда-- Теугелса [84]. В [71] приводятся оценки вероятности разорения СК, полученные перечисленными тремя методами, в случае экспоненциального и Парето распределений индивидуальных исков.
Теоретические оценки вероятности разорения страховой компании
В страховой математике всегда большое внимание уделялось оценкам вероятности разорения страховой компании как в статической, так и в динамической моделях. Существует целый ряд алгоритмов и методов, позволяющих вычислять вероятность разорения. Общие предположения, лежащие в основе динамической модели коллективного риска, впервые были сделаны Лундбергом в 1903 году. Результатом данной теории является неравенство Лундберга, использующее характеристический коэффициент. Известно, что данное неравенство дает весьма завышенную оценку разорения. Так, по сообщению польского актуария проф. К. Строинского, суммарный начальный капитал страховых компаний Европы, обеспечивающий по неравенству Лундберга приемлемую вероятность разорения, существенно больше суммарного бюджета стран Европы [7]. Оценка Лундберга
В модели Лундберга - Крамера вероятность разорения СК в какой-либо момент или вероятность того, что в некоторый момент СК не сможет выполнить требований страхователей, определяется (2), а время разорения -равенством (3).
Естественно считать, что в среднем за единицу времени поступит больше средств, чем в среднем требуется на выплату исков. Это условие имеет вид: c X\i. (27) Относительной страховой надбавкой является величина: Л=с/(А.ц,)-1. (28) Можно доказать, что вероятность разорения при нулевом и ненулевом начальном капитале определяется следующими равенствами соответственно [88]:
Исследование алгоритма расчета показателей платежеспособности страховой компании.с позиции точности получаемого решения
В основе модели управления платежеспособностью СК находится величина свободных активов, для определения которой используются два основных математических подхода [15]:
1. «Объективный», с использованием имеющихся данных: статистических или полученных путем имитационного моделирования, которые, в свою очередь, являются материалом для определения вероятности наступления случайного события (реализации случайной величины).
В страховании имущества и иных имущественных интересов случайность величины страховых выплат (убытков) характеризуется законом распределения, который может быть задан с помощью функции распределения F(x) или плотности распределения ). Теория вероятностей позволяет определять параметры распределения случайной величины, используя такие типы функций распределения случайной величины, как нормальная (или гауссовская), экспоненциальная (больцмановская) и самоподобная (функция Парето), которые, в свою очередь, учитывают особенности наступления случайных событий в экономике, технике или природе.
2. «Субъективный», с определением предельной полезности (ценности) страхования и построением функции полезности. Стоимость страхования (и соответственно, страхового фонда) определяется исходя из субъективных предпочтений индивида. Положения и аксиомы теории предельной полезности должны использоваться при сравнении и выборе уровня организации страхового фонда: на государственном уровне, уровне страховщика, предприятия или индивида, или при выборе приемов риск-менеджмента (проведение превентивных мероприятий, договорные методы и др.), где они будут более, эффективными, стоимость же страховых фондов следует определять «объективными» методами.
Кроме того, стоимость страхового фонда может определяться экспертным, опытным, интуитивным и др. методами (например, типовыми стратегиями оптимизма, пессимизма, критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица в управленческих решениях) в зависимости от наличия информации об объектах страховой зашиты и ее полноты.
Предпосылки использования имитационного моделирования 1. Вычисление величины свободных активов предполагает анализ входящих и исходящих финансовых потоков в каждый момент предъявления исков к страховой компании..Входной финансовый поток может включать все или некоторые компоненты: страховые премии, процентный и дивидендный доход, выплаты от перестрахователей и др. Исходящий финансовый поток может состоять из оплаченных требований или сумм переведенных на счет страхователя, премий у перестрахователей, затрат, налогов, дивидендов и др.
Анализ расходов, учитываемых в момент осуществления, должен быть проведен в отношении всей совокупности активов и обязательств. Для этого не имеет смысла проводить различие между техническими резервами и свободными активами (далее по тексту - страховой фонд), хотя оценка будущих выплат необходима. Неопределенности, возникающие в страховании не-жизни, таковы, что обычно недостаточно использовать детерминированные значения для активов и обязательств. Это означает лишь то, что некоторые или все вышеперечисленные величины должны рассматриваться как случайные переменные. Чтобы добиться этого, анализ расходов в моменты осуществления может быть проведен с использованием имитации. :
2. Отдельная имитация есть одна,реализация случайного процесса, в которой каждому необходимому параметру присваивается значение. Путем; многократного повторения имитаций может быть получена картина вероятного развития ситуации, вытекающая из взаимодействия различных переменных. Имитационный анализ позволяет учесть неопределенность неоплаченных убытков и неопределенность прибыльности новых договоров страхования;
3. Процедура моделирования: является очень гибкой. Она делает, например, возможным вопрос о. воздействии альтернативных стратегий при назначении страховых премий: или при инвестировании, или об эффектах возможного негативного: развития резервов или неисполнения; обязательств перестраховщиками. Позволяет учитывать специфические риски ОС и имеющиеся виды неопределенности в отношении как активов, так; и: обязательств.
4. Когда рассматриваются будущие выплаты или взносы, то нужно учитывать неопределенности двух видов: неопределенность размера выплаты или взноса и неопределенность времени выплаты или взноса.
5: Имитационный процесс подразумевает реализацию отдельных сценариев из их бесконечного множествами, следовательно, в; результате присутствует статистическая ошибка. Необходимо проводить большее число испытаний, чтобы увеличить точность оценок.
б. Результаты имитаций могут быть представлены в форме числа неплатежеспособностей среди данного числа испытаний; И это есть оценка вероятности разорения СК. Процесс имитации может быть использован для-определения требуемого начального запаса свободных активов, достаточного, чтобы достичь заданной величины вероятности разорения в каждом частном случае.
Архитектура системы поддержки принятия решений «CalcRuin»
Рассматриваемая нами стохастическая модель содержит две случайных величины (страховые взносы и выплаты) и два случайных процесса (поступление взносов и предъявление требований). Для получения достоверных оценок ВР и СВР необходимо извлечь максимум информации из эмпирических данных, предоставляемых страховой компанией по результатам деятельности за прошлые периоды.
В нашем случае выборка является основным источником информации о случайных величинах. По выборкам оцениваются распределения случайных величин и определяются числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсия) и т.п.
Выборка СК «СОГАЗ» была сформирована по результатам деятельности за 2005 и 2006 года, по СК «УралСиб» в выборку вошли суммарные показатели взносов и выплат за 9 месяцев 2006 года.
В табл. 10 представлены результаты первичной обработки выборочных данных по уфимским филиалам двух страховых компаний, где CY — выборка интервалов времени между выплатами; СТ - выборка интервалов времени между премиями; Г - выборка суммарных выплат, которые осуществляет компания по итогам рабочего дня; С — выборка кумулятивных объемов страховых взносов, собираемых страховой компанией по итогам одного рабочего дня.
Первичная обработка данных состоит обычно в отыскании минимального Min и максимального значений Мах выборки, размаха R = Мах-Міп, в получении оценочных значений параметров распределений, в частности, математического ожидания М, дисперсии D и среднеквадратического отклонения G ([38],[52]).
Для оценки математического ожидания случайной величины используют выборочное среднее, т.е. (Ш)„ = х = Xl+ 2+- + " . (42) п Доказано, что для нормально распределенной случайной величины эта оценка является наилучшей, т.е. несмещенной и состоятельной [13]. Для дисперсии случайной величины используют оценку: (DX)n=S = - -i(x,- x)2. (43) П — 1 1=1 Среднеквадратичное отклонение вычисляют по формуле: v = 4 s. (44)
Гистограмма и эмпирическая функция распределения Следующий этап обработки - группировка и ее графическое представление. Целью этого этапа является получение информации о распределении случайной величины. Группировка выборки объемом п состоит в следующем. Промежуток [Max,Min] разбивают на т интервалов группировки (чаще всего одинаковой длины) и подсчитывают число nj выборочных значений, которые попали в у -й интервал. Над каждым интервалом строят прямоугольник высотой hj=njln. Числа hj называются относительными частотами попадания значений хі в у -й интервал группировки.
Гистограмма дает очень наглядное представление об эмпирической функции распределения исследуемой случайной величины.
Величина интервала группировки существенно влияет на вид гистограммы. При малой их ширине в каждый интервал попадает незначительное количество значений xi или даже не попадает ни одного, в результате гистофамма становится сильно «изрезанной» и плохо передает основные особенности изучаемого распределения. Другая крайность -большие интервалы группировки; в этом случае скрадываются характерные черты распределения.
Количество интервалов группировки т (от которого зависит величина интервала) обычно выбирают в пределах от 7 до 20. Число т может быть вычислено по формуле: т=1+3.31 \gn. (45) Для построения эмпирической функции распределения можно вычислить относительные накопленные частоты F, =2] и построить ы п график ломаной, соединяющей точки с абсциссами, равными правым границам интервалов группировки, и ординатами, равными Fj . Применяя вышеописанную методику [52], были построены гистограммы накопительных частот суммарных выплат и кумулятивных взносов исследуемых страховых компаний (рис. 17 - рис. 20).
