Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и постановка задачи построения интегральною показателя (ИП) 12
1.1. Формулировка общей задачи построения ИП 12
1.2. Классификация методов построения ИП 17
1.3. Методы построения ИП, использующие количественное аппроксимирующее отношение 20
1.4. Методы построения ИП, использующие качественное аппроксимирующее отношение 31
1.5. Цели и задачи диссертации 42
2. Разработка алгоршмов построения интегрального показателя . 46
2.1. Построение линейного количественного ИП 46
2.1.1. Постановка задачи и ее обсуждение 47
2.1.2. Итерационный алгоритм построения линейного количественного ИП 49
2.1.3. Алгоритм построения оптимальной перестановки на шкале линейного количественного ИП 53
2.1.4. Алгоритмы построения начальной перестановки объектов (задача одномерного метрического шкалирования) 59
2.2. Построение линейного качественного ИП 67
2.2.1. Типы аппроксимирующих отношений 67
2.2.2. Общий алгоритм построения линейного качественного ИП 71
2.2.3. Переборная процедура построения условно-оптимальной шкалы для аппроксимирующих отношений, определяемых фиксированными границами на шкале 74
2.2.4. Переборная процедура построения условно-оптимальной шкалы для аппроксимирующих отношений, определяемых взаимным располо жением объектов на шкале 78
2.3. Построение квазилинейного ИП 82
2.3.1. Постановка задачи и ее обсуждение 83
2.3.2. Построение квазилинейного количественного ИП. 86
2.3.3. Построение квазилинейного качественного ИП. 90
3. Исследование разработанных алгоришов построения ип и их применение для решения практических задач 93
3.1. Экспериментальное исследование алгоритмов построения ИП 93
3.1.1. Эксперименты на модельных данных .93
3.1.2. Эксперименты на реальных данных 102
3.2. Применение алгоритмов построения ИП в задачах отраслевого управления 114
3.2.1. Методика анализа отраслевых данных с применением методов построения ИП 114
3.2.2. Анализ организации нормирования труда в отрасли 117
3.2.3. Отраслевой анализ текучести рабочих кадров 127
Заклкяение 141
Литература 144
Приложение
- Методы построения ИП, использующие количественное аппроксимирующее отношение
- Алгоритм построения оптимальной перестановки на шкале линейного количественного ИП
- Переборная процедура построения условно-оптимальной шкалы для аппроксимирующих отношений, определяемых взаимным располо жением объектов на шкале
- Применение алгоритмов построения ИП в задачах отраслевого управления
Введение к работе
Актуальность проблемы. Одной из важнейших проблем, возникают щих при обработке эмпирических (опытных, экспериментальных, статистических) данных в самых различных областях научных исследований является агрегирование (сжатие) данных, цель которого г приведение данных к компактному и обозримому виду, удобному для дальнейших исследований, получения выводов и принятия решений. Широко распространенным подходом к агрегированию эмпирических данных является переход от исходных показателей (признаков, параметров), значения которых измеряются на объектах (наблюдениях), к небольшому числу некоторых обобщенных показателей, функционально связанных с исходными и обладающих теми, или иными оптимальными свойствами. В настоящее время известны десятки различных формализации этой общей задачи и соответствующих методов ее решения. Обычно эти методы именуются методами снижения размерности пространства показателей [3,5,31] . Сюда относятся такие методы .и группы методов, как факторный анализ [36,105] , метод главных компонент [40, ] , экстремальная группировка параметров [ 5] , регрессионный [24,2?] и дискриминантный [99, 02] анализ, мнот гомерное шкалирование І97, Ш] и т.д. Методы снижения размерно-г сти имеют многочисленные практические применения: в экономике [48,80,85"], социальной экономике [32,22,90] , социологии L46, 5"/, 93] , медицине Ї83І , при разработке диалоговых систем анализа данных [4 ,И8І и т.д. С32,400] .
На практике многие методы агрегирования показателей часто применяются для получения единственного обобщенного показателя, иногда называемого интегральным показателем (ИИ). Такая задача возникает в ситуациях, когда необходимо получить однозначные оценки соотношений между объектами качественного (например, "лучше - хуже") или количественного (например, "во сколько раз ...")
Конечной целью построения ИИ является обычно получение обоб? щенного критерия для соотнесения и соизмерения анализируемых мно? гомерных объектов. Например, в работах строятся ИИ, имеющие смысл обобщенного размера предприятия и которые далее используются для выбора эталонных предприятий, решения задач типиза? ции подсистем АСУ L 0- и анализа концентрации производства И 03J • в І95І построенный ИП использовался для оптимизации структуры фондов потребления; в [2] для формализованной оценки мастерства хоккеиста; в І9&1 - для оценки уровня обеспеченности ресурсами здравоохранения. В работе [90] был построен набор ИП, отражающих различные аспекты для характеристики социально?экономических райо? нов СССР, и на их основе получена типология районов. Проблема по? строения ИП является одной из центральных в квалиметрии научной дисциплине, изучающей проблематику количественной оценки качества [7,-НО]. В квалиметрии показатели, измеряемые объективными или экспертными методами, характеризуют свойства товаров, а ИП (комп? лексный показатель интегрального качества) их общую потребитель? скую ценность. Проблема построения ИП связана также с задачами многокритериальной оптимизации. Решение этих задач с использовали? ем ИП, т.е. на основе перехода к одномерным задачам, носит в лите? ратуре название скалярной редукции многокритериальной оптимизации . онной схемы [2,3] , свертки критериев lS&] и т.д. Несмотря на то, что иногда такой подход в теории принятия решений вызывает возра? жения [20J , он широко применяется на практике. К нему примыкает теория принятия решений, основанная на понятии функции полезности
Очерченный круг проблем, в рамках которых так или иначе воз? никает задача построения ИП, не является исчерпывающих их обзором. Однако он в достаточной мере показывает актуальность и практическую важность этой задачи. В этой связи кроме упомянутых статистических методов снижения размерности развиваются также специальт ные методы построения ИП, основанные на различных методических предпосылках І7, # t 2. і І . В большинстве случаев в них используются линейные функции от исходных показателей, а для опреде-г ления коэффициентов применяются либо экспертные методы i2.il , либо некоторые формальные модели оценки информативности показателей IS , М1 . Иногда вид ИП фиксируется из содержательных соображений [5-ої .
Таким образом, на практике для построения ИП используются многочисленные и существенно различающиеся между собой методы. Некоторые из них предназначены для решения более общих задач и в частных случаях применяются для построения ИП (методы снижения размерности), другие - специально предназначены для построения ИП в некоторых достаточно специфических ситуациях. Такое положение в значительной мере затрудняет выбор адекватного метода при решении практических задач и вызывает необходимость иметь в распоряжении обширные библиотеки программ, реализующих различные методы. В то же время, несмотря на актуальность и важность проблемы построения ИП, попыток решения этой проблемы с едия ых методических позиций, насколько нам известно, не предпринималось. В данной диссертации разрабатывается вариант формализации задачи построения ИП, оснот ванный на ряде специально вводимых для этого понятий. Предлагаемая в диссертации постановка задачи охватывает многие известные задачи и удовлетворяет совокупности требований которые предполагаются специалистами при использовании понятия ИП,
Цель работы состоит в том, чтобы с учетом особенностей существующих методов агрегирования показателей сформулировать общую задачу построения ИП как задачу аппроксимации заданного парного отношения другим парным отношением определенного типа, разработать алгоритмы ее решения для различных типов аппроксимирующих отношений (количественные и качественные) и различных способов за-г дания ИП (линейный и нелинейный), создать программное обеспечение методов построения ИП, провести экспериментальное исследование разработанных методов построения ИП и использовать их для решения практических задач отраслевого управления.
В этой связи в диссертации решены следующие научные задачи;
сформулирована общая задача построения ИП и на ее основе систематизированы существующие методы ее решения;
разработан метод построения линейного ИП для количестве ного аппроксимирующего отношения, включающий в себя три алгоритм ма;
разработан метод построения линейного ИП для качественного аппроксимирующего отношения, модификации которого соответствуют различным типам бинарных отношений и способов их заданий;
разработана схема конструирования нелинейного ИП, обеспет чивающая автоматическое определение конкретного вида нелинейной функции, согласованное с общим критерием, и в рамках этой схемы разработаны алгоритмы для количественных и качественных аппроксит мирующих отношений;
«г разработан общий методический подход к решению задач отраслевого управления, основанный на построении дерева агрегировав ния показателей, отражающих проблему управления, и применении к нему методов построения ИП»
Научная новизна. В диссертации предложена формулировка общей задачи построения ИП, частными случаями которой (при соответствуют щем уточнении элементов общей задачи) являются постановки задач, решаемые многими известными из литературы методами агрегирования показателей. Эти методы в диссертации систематизированы и раст смотрены как в обычных постановках, так и с точки зрения общей задачи построения ИП. Такое рассмотрение с одной стороны дало возможность по-новому осветить научное содержание ряда известных методов снижения размерности, указать их общие и специфические черты, выявить взаимосвязи между ними. С другой стороны оно показало, что известные методы при всей своей многочисленности охватывают далеко не все интересные для практики ситуации построения ИИ и, кроме того, обладают определенными недостатками.
В диссертации для решения задачи построения ИЇЇ разработан ряд новых алгоритмов, образующих взаимосвязанный комплекс и исчерпывающим образом обслуживающих выделенные в диссертации ситуации, в которых возникает задача построения ИП. Используя эти алгоритмы, исследователь может проводить многовариантные расчеты, варьируя требования, которые он предъявляет к искомому ИП, и способы удовлетворения этих требований. Научная новизна предложенных в диссертации методов построения ИП кроме того состоит в том, что в зависимости от конкретизации элементов общей задачи она носит либо характер-регрессионного анализа, либо факторного анализа. В первом случае полученный ИП можно интерпретировать как модель некоторого (или некоторых) "внешних" показателей; во втором - как обобщенный "внутренний фактор", объясняющий и агрегирующий исходные показатели. Тем самым, в диссертации естественным образом удалось добиться взаимоувязки двух основных проблем снижения размерности на уровне постановки задачи и методов ее решения.
Новым является также и то, что в диссертации кроме широко распространенного в существующих методах бинарного отношения эквивалентности, формализующего требования, предъявляемые к ИП, используется целый ряд других бинарных отношений, например, отно-г шения квазипорядка, толерантности и др. Эти отношения часто встречаются в приложениях, но использующие их методы либо разработаны слабо, либо не разработаны вообще.
Подавляющее большинство методов агрегирования показателей являются линейными, т.е. предполагается, что искомый ИЛ представляет собой линейную функцию от исходных показателей. Известно, что линейная модель не всегда дает приемлемые результаты, однако, нелинейные методы известны только для отдельных частных постановок. В диссертации предлагается новый подход к построению нелинейных ИП, основанный на разработанной в ней конструкции квазилинейной шкалы. Эта конструкция, с одной стороны, охватывает широкий класс нелинейных функций и, с другой стороны, дает возможность на единых методических основах провести нелинейное обобщение разработанных в диссертации линейных методов, что приводит к ряду новых алгоритмов построения нелинейного ИП. Как и в линейном случае, они охватывают все выделяемые в работе ситуации построения ИП и в зависимости от задачи дают "регрессионное" или "факторное" решение.
Практическая ценность работы состоит в возможности использо-г вания разработанных в ней методов построения ИП в различных обт ластях исследований. Прежде всего это относится к задачам отраслевого управления, для решения которых в диссертации предложена общая методика, основанная на методах построения ИП, и имеющая практическое внедрение. Инструментом решения как отраслевых задач, так и задач анализа данных различной природы является разработанный в диссертации пакет прикладных программ ТИПОЛОГ, в которых реализованы методы построения ИП, некоторые другие методы агрегирования (методы главных компонент, автоматической классификации объектов и др.), а также ряд вспомогательных средств (ввод, накопление и преобразование данных, формирование подмножеств данных и т.д.). На основе разработанных методов построения ИП и с помощью пакета ТИПОЛОГ удается существенно расширить и ускорить процедуры анализа данных и получать адекватные агрегированные характеристики изучаемых совокупностей объектов.
Реализация результатов работы. Разработанные в диссертации методы построения ИИ, методика решения задач отраслевого управт ления и пакет прикладных программ были использованы для решения задач анализа организации нормирования труда рабочих и факторов, связанных с текучестью кадров на предприятиях отрасли тракторного и сельскохозяйственного машиностроения СССР. Конечным потре-г бителем результатов анализа являлись работники Управления орга-г низации труда и заработной платы Министерства. Решение указанных задач с 1984 г. планируется проводить регулярно. С этой целью все необходимое методическое и программное обеспечение передано в НПО "НИИТракторосельхозмаш", где указанные задачи будут нахот даться в промышленной эксплуатации. Предполагается, что круг рет шаемых задач отраслевого управления будет расширяться и будет включать в себя задачи анализа организации заработной платы, организации и условий труда и т.д.
Экономический эффект от применения результатов работы в Управлении организации труда и заработной платы Министерства тракторного и сельскохозяйственного машиностроения СССР состав ляг ет в соответствии с прилагаемым к работе актом о внедрении 134 тыс. руб.
Публикации. Содержание диссертации отражено в II печатных работах [2 3, 60-66, 70-71] , а также в трех отчетах по НИР ІП -75І.
Диссертация состоит из трех разделов и приложений.
В первом разделе дается формулировка общей задачи построения ИП (подраздел I.I), предлагается классификация существующих методов построения ИП (подраздел 1.2) и далее эти методы рассматг риваются как в обычных формулировках, так и с точки зрения общей задачи (подразделы 1.3 и 1.4), в заключение главы формулируются цели и основные научные задачи диссертации (подраздел 1.5).
Вторая глава посвящена разработке методов построения ИП. В подразделе 2.1 рассматривается задача построения линейного колит чественного ИП и для ее решения предлагаются два алгоритма, обът единяемых в единую процедуру; там же ставится и решается задача одномерного метрического шкалирования для отыскания начального решения. В подразделе 2.2 исследуется задача построения линейно-г го качественного ИП, указываются используемые в диссертации типы аппроксимирующих бинарных отношений, описан алгоритм решения задачи и две входящие в него процедуры перебора, соответствующие различным типам аппроксимирующих отношений. В подразделе 2.3 вводится конструкция квазилинейной шкалы, лежащая в основе метог дов построения нелинейного ИП, далее на основе этой конструкции предлагаются алгоритмы построения квазилинейных количественного и качественного ИП, обобщающие соответствующие линейные методы.
В третьем разделе приведены результаты экспериментального исследования разработанных в диссертации методов построения ИП и их практического применения в задачах отраслевого управления. В подразделе 3.1 описано экспериментальное исследование методов построения ИП на модельных данных и на данных, известных из лит тературы и обрабатывавшихся другими методами анализа. В подразт деле 3.2 разработаны основные методические положения решения заг дач отрасдевого управления с применением методов построения Ш и описаны результаты анализа организации нормирования труда рабог чих и факторов, связанных с текучестью рабочих кадров на пред-г приятиях отрасли тракторного и сельскохозяйственного машиностро-г ения.
В приложении I собраны акты о внедрении результатов работы.
В приложении 2 описан пакет прикладных программ ТИП0І0Г, разработанный в диссертации.
Методы построения ИП, использующие количественное аппроксимирующее отношение
В данном подразделе рассматриваются методы, для которых при формулировке решаемых ими задач в терминах задачи (I.I.I) оказывается, что в них используется аппроксимирующее отношение D количественного типа. В том случае, если аппроксимируемое отношение Q также относится к количественному типу, то к ним относятся такие широко распространенные методы, как регрессионный анализ и метод главных компонент. На долю этих методов приходится значительная часть публикаций по анализу данных. Важное место здесь занимает также метрическое шкалирование, интенсивно используемое в последние годы. Особенностью этого метода является то, что аппроксимируемое отношение Q может быть произвольной симметричной матрицей, тогда как в регрессионном анализе и метог де главных компонент способ его определения жестко зафиксирован. К метрическому шкалированию в этом смысле примыкает инвариантное шкалирование, где отношение Q всегда порождается пространством X (т.е. всегда является внутренним), но на способ его определет ния не накладывается существенных ограничений. В том случае, когда аппроксимируемое отношение - качественное, в обзоре рассматриваются дискриминантный анализ и вероятностная задача обучения распознаванию образов. Первый - довольно специфичен по отношению к общей задаче построения ИП: в нем отношение Q представляет собой матрицу с равными элементами, а вторая - является специальным случаем регрессионного анализа, когда значения восстанавливаемой функции сообщаются с огрублением. Кроме того рассмотрен метод классификации объектов с построением факторов классов, а также сочетание кластер-анализа и дискриминантного анализа.
Отношение Q - количественное внешнее. Прежде всего рас смотрим широко известную задачу регрессионного анализа 12 ,27,781 В ней кроме матрицы данных X предполагается также заданным вектор У=(ч ,..., О значений некоторого "внешнего" показателя У на объектах множества Е . Задача состоит в том, чтобы отыскать функцию & - ф (0С) (в нашей терминологии шкалу), где еФ, чтобы обеспечить Если Ф - класс линейных функций, т.е. Z = #a, где a вектор коэффициентов, решение задачи (1.3 1) сводится к решению системы линейных уравнений
Чтобы сформулировать задачу регрессионного анализа в терминах задачи (I.I.I), определим отношение Q в виде и отношение D в виде а также введем оценку их близости (критерий наименьших квадратов): окончательно получаем Учитывая, что 21 2=0 и Zl u = const , Таким образом, задача построения ИЇЇ вида (1.3.5) эквивалентна задаче (I.3.I) регрессионного анализа. Представление количественных показателей в виде матриц типа (1.3.3), (1.3.4) использо вано в [5б] , где показано, что скалярное произведение таких матриц пропорционально ковариации порождающих их векторов. Этим собственно и объясняется эквивалентность (I.3.I) и (1.3.5).
В регрессионном анализе часто применяют нелинейные преобразования исходных показателей. Например, в [78] описано 26 преобразований, используемых в различных ситуациях. В работе L60J предложена постановка и решение регрессионной задачи на основе конструкции построения квазилинейного ИП. Эта конструкция лежит также в основе методов, развиваемых в подразделе 2.3.
В работах [44,35,4-5, 87J аппарат регрессионного анализа с использованием нелинейных преобразований исходных показателей применяется для построения обобщенной функции качества комплексного ресурса по оценкам его компонент.
Опишем задачу метрического шкалирования [92,9?, М9І. В ней предполагается известной матрица Q попарных расстояний между объектами в некотором метрическом пространстве и необходимо в евклидовом пространстве 2 фиксированной (и обычно малой) размерности подобрать такое расположение m точек, чтобы матрица D попарных расстояний между ними возможно меньше отличалась от Q . Степень этого отличия оценивается, например, величинами [92]
Алгоритм построения оптимальной перестановки на шкале линейного количественного ИП
Ниже описывается метод минимизации расширенного критерия, основанный на необходимых условиях минимума другого типа, нежели в алгоритме А24е . Рассмотрим пространство $. и всякому вектору Z R. поставим в соответствие матрицу Ui Z) (lLt где 7JL -множество транзитивных кососимметричных матриц с элементами I и -I: Легко видеть, что для всякой (Je 91 найдется такой вектор Z , что U(ZbU. Введем пространство перестановок. Для некоторого Z упорядочим все его компоненты %х } ч т по убыванию, причем для ?= 2 значение г поставим раньше t , если t k . Сопоставим каждому объекту ег є номер рг , который имеет величина %г в этом упорядоченном ряду, и получим, таким образом, набор номеров P(Z) = = (fn 2 т} » который будем называть перестановкой. Множество fP всех перестановок будем называть пространством перестановок. Легко видеть, что для всякой Р Р найдется такой Z 5l , что PCZ) = P. Покажем, что между U и 9 существует взаимно-однозначное соответствие. Возьмем некоторую матрицу U « & . Рассмотрим множество 2 с!Я такое, что для всех ZeZ„ l/(Z) = l/(Zu) = I/ . Покажем, что для всех Л є 1 и P(ZbP(Z„). Действительно, если и. = ї , то для Z е Z w либо 7 2 и тогда рг pb , либо 7=fe и & и тогда рг рк ; если utfe = - { , то для Z Z у либо 2г и тогда рт Рг » либо = и т Ь и тогда f7 pb . Следовательно, для всех ZeZ упорядочения компонент 3rt } г = ,т одинаковы, значит и перестановки PCZ.) совпадают.
Поэтому каждой \JCLj2/ однозначно соответствует перестановка P(ZW), Обратно: рассмотрим PCZJ введем матрицу 4 21 с элементами -4 » если рг рь » и = - » если f7 pfe » и покажем, что V=f(Zu) . Действительно, если а » то рг pfe , т.е. либо 2 . либо г=к и fc fe ; если = --( , то рг р{, т.е. либо t, либо 2.t= fcfe и k . Следовательно, і5г = = г ( и), t,k 4,rw . Отсюда V = L/ Zy) , т.е. перестановке Р(1и) однозначно соответствует матрица U(ZU) 1( Таким образом, каждой матрице Ue2Z соответствует одна и только одна перестановка Р є 9 . Зафиксируем некоторый вектор Z и введем оператор переупорядочения строк и столбцов матриц Q и U(Z) в соответствии с перестановкой PCZ) : 3-nUN, ЇЇШ = П((Ш, (3.1.22) где в Q и U(Z.) строка и столбец, соответствующие объекту ет , имеют номер рг . Очевидно, что в матрице U(Z) элементы, стоящие на главной диагонали и выше, равны I, а под главной диагональю равны -I. Для всякой Ue# по (2.1.12) определен вектор {(U). Из факта взаимно-однозначного соответствия 2С и fP следует, что f(U(Z)) = f (P(Z)) . Запишем в виде, явно зависящем от перестановки: где -L - значение (P(Z)) для объекта ег , имеющего в P(Z) номер рг . Выразим расширенный критерий (2.1.13) так, чтобы он был определен на пространстве перестановок.
Для этого подставим в (2.1.13) выражение (2.1.17) для вектора (1/) , минимизирующего (2.1.13) при фиксированной матрице (J . Упрощая получаемое при этом выражение, а также учитывая, что всякой U е соответствует одна и только одна Р е Ф , получаем Введем понятие точки локального минимума произвольного критерия, определяемого на пространстве перестановок. Зафиксируем некоторую перестановку Р и опишем два типа операций ее преобразования в перестановку Р . Первая операция называется переносом объекта е назад на в шагов и обозначается и . Она состоит в том, что объекту е7 присваивается вместо номера рг новый номер К р, » причем в= рт-рг» а Для всех объектов eh с номерами fx pk рг выполняется рк = р - - f , т.е. все объекты, находящиеся в перестановке Р между р и рг , сдвигаются на один номер вперед. Номера остальных объектов остаются неизменными: для всех р рг и рь рг : Вторая операция называется переносом объекта &г вперед на р шагов и обозначается через С. . После ее выполнения объект ег вместо номера рг имеет номер р"г рг t причем f яР -рт , а для всех рг рь $ р7 выполняется "рь в рь 4 Номера остальных объ ектов остаются неизменными: для всех pfe р и pfe рт pfe = pfe . Операция Ь означает инверсию объекта 6 с объектом efe , который по отношению к е является "меньшим" соседом по переста-новке Р . Операция С означает инверсию ег с "большим" соседом по Р . Операции В0 и Со оставляют перестановку Р неизменной. Назовем окрестностью перестановки Р множество е (Р) перестановок, которые могут быть получены из Р с помощью операций переносов назад и вперед на произвольное число шагов, т.е. (Р)-{РР= р), - , р-О/ Л) или Р-С (Р);Ы , -0 )} Назовем перестановку Р неподвижной относительно критерия 3(Р) заданного на г , если J(P ) 3(Р) ДЛЯ ВСЄХ Р (Р ). Таким образом, переход от неподвижной перестановки к любой перестановке в ее окрестности приводит к увеличению критерия 3 (р) и в этом смысле неподвижная перестановка является точкой локального минимума критерия 0(Р). Алгоритм поиска перестановки Р представляет собой многошаговый процесс, на каждом t-м шаге которого осуществляется перебор в окрестности Є (? " ) и выбор Р СР )
Переборная процедура построения условно-оптимальной шкалы для аппроксимирующих отношений, определяемых взаимным располо жением объектов на шкале
Таким образом, для пересчета критерия необходимо для каждой точки перехода помнить только номер z объекта, которому она соответствует, а также знать текущее состояние набора чисел W . Для организации перебора интервалов безразличия в порядке их следования на оси A CL нет необходимости заранее вычислять и упорядочивать все т (L-i) точек перехода (что оценивается числом операций порядка m(L-4)&g m (L-0 ). На t-м шаге для каждой t-f v точки & на шкале і можно определить номер ближайшей боль шей границы «У1 , которую эта точка должна пройти при увеличении Ас» : яГ7 = is - \ ; далее по (2.2.12) можно вычислить величину f (точку перехода), на которую следует увеличить которая будет достигнута первой при увеличении Ай , т.е. ко _ t торая определяет начало интервала I . Можно убедиться, что процедура перебора при использовании указанного способа определения точек перехода требует число операций порядка m(L- 4 ) floa т t что несколько экономнее предварительного вычисления и упорядочивания всех точек перехода. Опишем процедуру перебора в окрестности h(o.) для отношений j) -г Ъ в индуктивной форме. Переборная процедура построения условно-оптимальной шкалы для аппроксимирующих отношений,определяемых взаимным расположением объектов на шкале Рассмотрим отношение 0 -неразличимости, определяемое (2.2.7). Зафиксируем некоторый вектор 0-$Ли получим 0. є h(a)i где аґ « a + Л аА } 3. = а , j = -/, и , j. / . Векторам а и Сі согласно (2.2.8) соответствуют матрицы В и D , причем с учетом (2.2.II) можно записать J И . если lSr kHVV V v- !i г" I 0 в противном случае, 7;fe 4,m. Как и в п. 2.2.3, введем числовую ось А й . Будем рассматривать на ней точки с такими значениями Д 0. , при которых 1 , - і k \ " " Эти точки будем называть точками перехода. Каждой паре объектов ($Z)Qb) на оси Дек соответствуют две точки перехода: точка , первого типа, для которой при AcL=?,,L-f? & i = и при Д ex Я -v a , « где i - достаточно малое положитель ное число, т.е. при переходе через г при движении по оси Д 0. от меньших значений к большим величина d . меняется с 0 на I, и точка 1 с второго типа, для которой при LOL - I y н" и при Асу = С?3 + Ц zk Из (2-2 21) можно получить
Из симметричности отношения І5" следует, что ! в и l -f 5. Для пар (ё е тчки перехода не определены, так как ОС = і . Та-ким образом, на оси A Су имеется т(тп-4) точек перехода. Обозна-чим их упорядоченную в порядке возрастания последовательность в виде f\ , .., 1 - . Выражение (2.2.8) через точки перехода может быть представлено как ет, что для каждого 1 всякому А (уві соответствует одна и только одна матрица D и, следовательно, одно и то же значение критерия 3(1 ) . Поэтому указанные интервалы будем называть ин тервалами безразличия. Так как между множеством классов { A f = } , введенных в п. 2.2.2, и множеством интервалов безразличия можно установить взаимно-однозначное соответствие, то перебор в окрестности (сО сводится к перебору упорядоченных на оси Д су интервалов безразличия. Рассмотрим два соседних интервала безразличия I и I , разделяемых точкой перехода , и рассмотрим изменение вектора Таким образом, увеличивая АО. и последовательно переходя можно рекуррентно пересчитывать критерий только на основе знания типа точки перехода, соответствующего элемента О, , и предыдущего значения критерия. Выбрав такой интервал без-различия I , для которого значение критерия минимально, можно любую точку Лй єІ (например, середину этого интервала) использовать в качестве решения. Процесс перебора начинается с интервала безразличия X , т.е. с Д&м - - А » гДе -некоторое положительное число.
При этом согласно (2.2.23) d. , 0 rk Trn t-Ф k , т.е. J (I )= ZL CL, - rn . Перед началом этого процесса должно быть выполнено вычисление по (2.2.22) всех In (Vr -і) точек перехода и их упорядочивание. Последнее - наиболее трудоемкая часть процедуры, так как оценивается числом операций порядка Для отношения упорядоченной О -неразличимости, определяемого по (2.2.8), аналогично (2.2.21) можно записать _ ( І, если I [ 0 в противном случае t z}k- (/rn. Значение Д а для пары (t назовем точкой перехода "р , , если выполняются Ife -? и t- jj - Так как для пар (\,0 точки перехода не определены (с( э-f) , то на оси Д 0. имеется m(m-4) точек перехода, которые, будучи упорядоченными по возрас танию: 1 , ,,..,1 m m , определяют m(m-0 + 4 интервалов безразличия 1,1,.,.,1 .
При переходе от 1 к I через точку = г величина d , изменяется на сі ., причем в зависи мости от знака (sc -oc , как это следует из (2.2.26), измене ние происходит с 0 на I (при ос -їк 0), либо с І на 0 (при 2СТ - 0). В первом случае будем говорить, что точка пере хода f - первого типа, т.е. = . , а во втором - второго типа, T.e.f а?ги (случай s - u = без ограничения общнос ти исключаем, так как он соответствует oL = \ или - и- Q незави симо от А а , т.е. просто приводит к уменьшению числа точек пе рехода). Через точки перехода (2.2.26) записывается в виде { , если Д V при 1 =1,1,
Применение алгоритмов построения ИП в задачах отраслевого управления
В данном пункте излагаются методические положения, связанные с решением задач отраслевого управления на основе применения методов построения ИП, разработанных в диссертации. Они составляют базу "Методики исследования эффективности использования трудовых ресурсов в отрасли на основе математико-статистического анализа на ЭВМ" [23,75] , внедренной в отрасли тракторного и сельскохозяйственного машиностроения и применяемой для решения ряда задач анализа социально-экономических данных о предприятиях отрасли. Две из этих задач: анализ состояния нормирования труда и анализ текучести рабочих кадров описаны в данном подразделе.
В основе используемого в диссертации подхода к решению задач отраслевого управления лежат следующие представления о процессе принятия управленческих решений. Пусть сформулирована некоторая проблема управления, например, повышение производительности труда, снижение текучести кадров и т.д. Специалистгуправленец отраслевого уровня прежде всего определяет множество показателей, измеряемых на предприятиях и раскрывающих проблему, а также совокупность предприятий, подлежащих анализу, например, отрасль в целом, отдельно взятые Всесоюзные промышленные объединения (ВПО) и т.д. Показатели определяются так, чтобы отразить все существенные частные аспекты проблемы, поэтому обычно эти аспекты формулируются в явном виде и затем для каждого из них подбираются характеризующие его показатели, причем предварительно аспект может быть разбит на еще более частные составляющие и т.д. Таким образом, на этапе формирования множества исходных показателей применяется логическое расчленение проблемы, означающее выделение в проблеме составляющих ее подпроблем, разбиваемых в свою очередь на еще более частные аспекты и так далее вплоть до показателей, измерят емых на предприятиях. Результат этого процесса расчленения проблемы можно представить в. виде дерева, верхняя вершина которого соответствует проблеме, вершины более низких уровней г все более частным ее аспектам, а вершины нижнего уровня г показателям, хаг растеризующим предприятия. Такой дерево, с одной стороны, отражает внутреннюю структуру проблемы, а с другой г логику обобще-г ния показателей. Поэтому это дерево мы будем называть деревом агрегирования.
После того, как показатели анализа определены и собраны исходные данные (значения этих показателей на предприятиях или значения показателей, необходимых для их вычисления), выделяются предприятия или группы предприятий, в каком-то смысле особенные, т.е. требующие некоторых управленческих воздействий. Так как обычно показатели, характеризующие предприятия, носят оценочный (критериальный) характер, то смысл этих особенностей отражает лучшее или худшее состояние предприятия (группы предприятий) ОТ-г носительно анализируемой совокупности. При этом особенности могут проявляться по отдельным частным аспектам, а содержательный характер этих особенностей определяет содержание необходимых управленческих воздействий. Этот этап, на котором для предприятий определяются их относительные состояния и, как следствие, выделяются те из них, на которые должны быть направлены управт ленческие воздействия, будем называть сопоставительным анализом. По существу сопоставительный анализ - это представление структуры совокупности предприятий, имеющей место в пространстве пока-7 зателей, в компактном виде, отражающем соотношения между ними и удобном для формирования конкретных управленческих решений.
На этапе формирования дерева агрегирования принципиальное значение имеют целевые установки и содержательные знания и сот ображения специалиста. В отличие от этого этап сопоставитель-г ного анализа связан с переработкой больших массивов статистит ческих данных и многовариантными расчетами с целью выявить и наиболее выпукло отразить основные закономерности и особенности данных. Поэтому на этом этапе необходимо применение формальных методов и вычислительной техники. В условиях большого числа исходных показателей и необходимости, в конечном счете, получения возможности соизмерения и соотнесения предприятий в данной диссертации для агрегирования показателей предлагается использовать разработанные в ней методы построения ИП и далее в терминах обобщенных показателей, вотпервых, исследовать структуру совот купности предприятий, используя методы типологических группиро-г вок, клатер-ганализа и т.д. и, во-гвторых, исследовать статистит ческие взаимосвязи между аспектами, используя корреляционные и другие методы. Такой подход в сочетании со структуризацией пот казателей в виде дерева агрегирования представляется наиболее естественным, так как при этом ИП строятся по отношению к вершит нам дерева агрегирования и, следовательно, всегда имеют четкий содержательный смысл.
Проблемы автоматизации последнего этапа - формирования управленческих решений г в диссертации не рассматриваются, т.е. предполагается, что управленческие решения формулируются на сог держательном уровне по результатам сопоставительного анализа.
Ниже положения описанной методики проиллюстрированы на двух конкретных задачах анализа отраслевых данных. Основное внимание при этом уделено этапу сопоставительного анализа: построение ИП, исследование структуры совокупности предприятий и связей между
